RESUMO Serão investigados conhecimentos de professores do Ensino Básico sobre o princípio fundamental da contagem (PFC) e seu uso na resolução de problemas combinatórios. Trata-se de uma pesquisa de mestrado, em andamento, e como recurso metodológico, serão realizadas entrevistas semiestruturadas com professores da rede pública de ensino, dos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. A entrevista será realizada em três etapas: levantamento de informações sobre a formação inicial e continuada dos professores e suas experiências de ensino e planejamento; questionamento acerca das dificuldades enfrentadas pelos professores e seus alunos durante as aulas de Análise Combinatória, como essas dificuldades são superadas e sobre uso do PFC como estratégia para solução de problemas de produto cartesiano e para a construção de fórmulas de arranjo, permutação e combinação; e avaliação pelos professores de protocolos de situações combinatórias resolvidas por alunos.

1. XXI EPENN
Encontro de Pesquisa Educacional do
Norte e Nordeste
Período: 10 a 13 de novembro de 2013. UFPE
Internacionalização da Educação e Desenvolvimento Regional: implicações para a
GT 19
CONHECIMENTOS D
MÉDIO SOBRE O USO DO
– Educação Matemática
DE PROFESSORES DO ENSINOFUNDAMENTAL E
DOPRINCÍPIO MULTIPLICATIVOEM SITUAÇÕES
COMBINATÓRIAS
Ana Paula Barbosa de Lima
Rute Elizabete de Souza Rosa Borba
Agência Financiadora:
Resumo
Serão investigadosconhecimentos de
fundamental da contagem
Trata-se de uma pesquisa de mestradoe
entrevistas semiestruturada
e finais do Ensino Fundamental e
etapas: levantamento de informações sobre a f
professores e suas experiência
dificuldades enfrentadas pelos professores e
Combinatória, como essas dificuldades são superadas e sobre u
estratégia para solução de problemas de
fórmulas de arranjo, permutação
protocolos de situações combinatórias resolvidas por alunos.
Palavras-chave: Princípio Fundamental da Contagem,
Análise Combinatória.
conhecimentos professores do Ensino Básico sobre o
(PFC) e seu uso na resolução de problemas
semiestruturadas com professores da rede pública de ensino,dos anos iniciais
evantamento formação inicial e continuada
experiências de ensino e planejamento; questionamento
O ensino atual de Combinatória
Os conteúdos de
como recurso metodológico
do Ensino Médio. A entrevista será realizada em
seus alunos durante as aulas de Análise
uso d
produto cartesianoe para a construção de
e combinação; e avaliação pelos professores de
Conhecimentos
Análise Combinatória são indicados pelos P
Curriculares Nacionais (PCN)
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Parâmetros
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2. pode fazer com que os conceitos combinatórios sejam tratados de uma forma mais
construtiva.Na mesma direção,Borba (2010), em seu estudo sobre o raciocínio
combinatório na Educação Básica, recomenda que professores aproveitem as estratégias
espontâneas desenvolvidas pelos estudantes, como desenhos, diagramas, listagens e
operações aritméticas, e, gradativamente, sejam desenvolvidos procedimentos mais
formais. Dessa forma, o professor estará estimulando seus alunos a pensarem sobre as
generalizações possíveis no estudo de situações combinatórias.
Borba (2010) enfatiza, ainda, que “Estas generalizações possibilitarão o
reconhecimento da natureza multiplicativa de problemas de Combinatória, o que
facilitará a compreensão que nas diversas situações combinatórias o
PrincípioFundamental da Contagem é válido”. Sendo assim, considera-se o
princípiofundamentaldacontagem, também conhecido como princípiomultiplicativo,
como a base das fórmulas utilizadas na Análise Combinatória.
Estudos anteriores (SABO, 2010; STURM, 1999) indicam, contudo, que esta
prática – de um trabalho com aprofundamento gradativo da Análise Combinatória – não
é seguida nas aulas de Matemática. Isso se justifica pelo fato de professores usaram
apenas as fórmulas para resolver problemas combinatórios, o que contraria o
recomendado em documentos oficiais. A Base Curricular Comum (BCC) do Estado de
Pernambuco (PERNAMBUCO, 2008) e as Orientações Educacionais Complementares
(BRASIL, 2002) indicam que as atividades combinatórias devem ser elaboradas de
modo que os alunos ampliem as estratégias básicas de resolução, usando o princípio
multiplicativo, e a partir do raciocínio combinatório se chegue às fórmulas gerais.
Assim, as fórmulas teriam como função simplificar cálculos quando a quantidade de
dados for muito grande.
O princípio fundamental da contagem
O princípio fundamental da contagem (PFC), ou princípio multiplicativo,é
enunciado, segundo Lima (2006), como, “Se uma decisão D1 pode ser tomada de p
modos e, qualquer que seja esta escolha, a decisão D2 pode ser tomada de q modos,
então o número de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisões D1 e D2 é
igual apq”.

3. Os exemplos a seguir ilustram o uso do princípiofundamentaldacontagem em
suas resoluções. O primeiro exemplo é uma situação de permutação e o segundo
exemplo é uma combinação.
Para verificar de quantos modos distintos cinco pessoas podem se posicionar em
um banco de cinco lugares, se tem, segundo o PFC, que para o primeiro lugar hácinco
possibilidades de escolha, ou seja, qualquer uma das cinco pessoaspode ocupar o
primeiro lugar; para o segundo lugar háquatro possibilidades de escolha – uma vez que
uma das pessoas já estaria sentada no primeiro lugar; hátrês possibilidades para o
terceiro lugar – já que o primeiro e segundo lugares estariam ocupados; duas
possibilidades de escolha para o quarto lugar e apenas uma possibilidade para o quinto
lugar – pois todos os outros lugares já estariam ocupados. A solução da situação
poderia, assim, ser representada por5 x 4x3x2x1, ou seja, seriam 120 maneiras distintas
das cinco pessoas se posicionarem.
Se, em outra situação, um técnico fosse escolher, dentre 12 atletas, cinco para
comporem a equipe titular de um time de basquete, usando o PFC se teria: para a
escolha do primeiro componente 12 possibilidades de escolha, ou seja, qualquer um dos
12 atletas; para a escolha do segundo componente haveria 11 possibilidades de escolha,
já que um atleta já foi escolhido; 10 possibilidades para a escolha do terceiro atleta; 9
possibilidades para a escolha do quarto atleta e 8 possibilidades para a escolha do quinto
e último componenteda equipe.Nesse caso, além dessa aplicação do PFC, seria
necessário aplicá-lo outra vez, dividindo o resultado obtido pelo produto 12 x 11 x 10 x
9 x 8 pela permutação dos cinco elementos escolhidos entre si, pois um time composto
por André, Beto, Carlos, Daniel e Ênio, por exemplo, é idêntico ao time composto por
Beto, Carlos, Daniel, Ênio e André. A permutação dos cinco elementos,
semelhantemente ao exemplo anterior, poderia ser obtido pelo produto 5 x 4 x 3 x 2 x 1,
e o resultado final seria dado por: × × × ×
× ×
× × .
Observa-se, assim, que o princípio fundamental da contagem, pode ser aplicado
a distintas situações combinatórias – como produtos cartesianos, arranjos, combinações
e permutações e pode servir de base para a construção de procedimentos formais da
Análise Combinatória. É preciso, entretanto que professores tenham conhecimento de
como o PFC pode ser utilizado para a resolução de distintas situações combinatórias e
como este princípio é base das fórmulas.

4. Conhecimento docente
Estudos anteriores destacam a importância dos conhecimentos do professor em
relação aos conteúdos específicos e alguns, da área de Educação Matemática,também
apontam o uso do PFC como estratégia para resolução de problemas combinatórios.
Shulman (2005) defende em seus estudos que seja criada uma base de
conhecimento do professor. Assim, essa base seria composta pelas seguintes categorias,
a) conhecimento do conteúdo; b) conhecimento didático geral, tendo em
conta especialmente aqueles princípios e estratégias gerais de manejo e
organização da classe que transcendem o âmbito da disciplina; c)
conhecimento do currículo, com um especial domínio dos materiais e dos
programas que servem como ―ferramentas para o ofício do docente; d)
conhecimento didático do conteúdo: esse especial amálgama entre matéria e
pedagogia que constitui uma esfera exclusiva dos professores, sua própria
forma especial de compreensão profissional; e) conhecimento dos alunos e de
suas características; f) conhecimento dos contextos educativos, que abarcam
desde o funcionamento do grupo classe, a gestão e financiamento dos
distritos escolares até o caráter das comunidades e culturas; e g)
conhecimento dos objetivos, das finalidades e dos valores educativos, e de
seus fundamentos filosóficos e históricos. (SHULMAN, 2005, p.11, apud
ROCHA 2011).
Sabo (2010) em seu estudo,intitulado“Saberes Docentes: A Análise
Combinatória no Ensino Médio” faz um trabalho investigativo sobre práticas e
formação inicial dos professores que atuam no Ensino Médio. O autor conclui em seu
estudo que os professoresentrevistados reproduzem, de certo modo, a prática docente e
o saber herdado dos seus professores, com relação ao ensino de Análise Combinatória,
assim valorizam a memorização e a aplicação de fórmulas.
Rocha (2011) enfatiza em sua pesquisa que professores de mesma formação e
com experiência em diferentes níveisde ensino recomendaram o uso do
princípiomultiplicativo como estratégia eficaz na resolução de problemas de Análise
Combinatória. Observou, ainda, a necessidade de maispesquisas que enfoquem as
especificidades do conhecimento de conteúdo da Combinatória, e também sobre o
conhecimento didático desse conteúdo pelos professores.
Método

5. O objetivo do estudo é investigar conhecimentos de professores acerca do
princípiofundamentaldacontagem (PFC) como estratégia para solução de problemas de
Combinatória– de produto cartesiano, arranjo, permutação e combinação e sobre como
o PFC está presente no uso das fórmulas de Análise Combinatória.
Neste estudo serãorealizadas entrevistas semiestruturadas com professores de
escolas públicas (dos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental e do Ensino
Médio).A entrevista serárealizada em três etapascomobjetivos distintos.
A primeira etapa terá comoobjetivo identificar a formação inicial e
continuada,bem como a experiência profissional dos professores, o planejamento das
aulas de Análise Combinatória e os recursos metodológicos que utilizam durante as
aulas.
Na segunda etapa oobjetivoseráidentificar o conhecimento e as dificuldades dos
professores no ensino de Combinatória; o conhecimento dos mesmos sobre o uso do
PFC como estratégia de resolução de problemas de produtocartesiano e construção das
fórmulas de arranjo, permutação e combinação. Serão, assim, questionadossobre qual
tipo de problema é mais difícil trabalhar;como propõem a superação de dificuldades;se
fazem relação entre o PFC e as fórmulas gerais daAnálise Combinatória; se seus alunos
são levados a perceberem essa relação e de que forma isso é feito.
A última etapa consistirá em analisar o conhecimento que os professores têm
sobre o uso do PFC como estratégia para resolução de problemas combinatórios.Para
isso,será propostoque os mesmos avaliem protocolos de situações combinatórias
resolvidas por alunos. Assim, acreditamos teremos uma melhor visão de como os
professores aplicam seus conhecimentos na sala de aula, quais suas reais dificuldades e
estratégias utilizadas durante as aulas de Análise Combinatória.
Deseja-se, dessa forma, contribuir para o levantamento de conhecimentos
docentes e práticas de ensino, em particular da Combinatória, e, assim, trazer
contribuições para o ensino de Matemática na Educação Básica.
Referências bibliográficas
BORBA, Rute. O Raciocínio Combinatório na Educação Básica. Anais do X
Encontro Nacional de Educação Matemática, Salvador, 2010.

6. BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino
Médio:Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
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Brasília:MEC; SEMTEC, 2002.
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MEC, 2002.
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MORGADO, Augusto Cesar.Temas e Problemas Elementares.12 ed. Rio de Janeiro:
SBM, 2006.
PERNAMBUCO. Secretária de Educação. Base Curricular Comum para as Redes
públicas de Ensino Pernambuco: Matemática. Recife: SE, 2008.
ROCHA, Cristiane. Formação Docente e o Ensino de Problemas Combinatórios:
diversos olhares, diferentes conhecimentos. (Dissertação de Mestrado – EDUMATEC
UFPE) – Recife, PE, 2011.
SABO, Ricardo. Saberes Docentes: A Análise Combinatória no Ensino Médio.
(Dissertação de Mestrado – PUC/SP) – São Paulo, 2010.
SHULMAN, Lee S.Conocimiento y enseñanza: fundamentos de lanueva reforma. In:
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30).
STURM, Wilton. As Possibilidades de um Ensino de Análise Combinatória Sob
uma Abordagem Alternativa. (Dissertação de Mestrado - UNICAMP) – Campinas,
SP, 1999.