The document discusses algebraic expressions and their operations. It defines an algebraic expression as any expression formed by combining constants and variables using addition, subtraction, multiplication, exponents, and roots. The simplest algebraic expressions are polynomials. It then provides examples of adding, subtracting, multiplying, dividing, factorizing, and applying notable products to algebraic expressions. It includes definitions and properties used for each operation.

1. EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
ANDERSON MENDOZA
CI 26.136.217

2. Se llama expresión algebraica a todo expresión que se obtiene combinando constantes y
variable mediante la operación de adición, sustracción, multiplicación, elevando a
potencias y extrayendo raíces.
Las expresiones algebraicas mas simples son los polinomios. Un polinomio de grado n en
la variable x, donde n≥0, es una expresión algebraica de la forma:
P(x)=𝒂𝒏𝒙𝒏+𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏+ . . .+ 𝒂𝟏𝒙
Donde 𝑎1, 𝑎𝑛 . . . son contantes, siendo 𝑎𝑛≠0

3. Adición y sustracción
en esencia, la adición y sustracción de expresiones algebraicas, se reduce a sumar y a
restar términos semejantes. Para sumar o restar términos semejantes se aplica la
propiedad distributiva, leyéndola siempre de derecha a izquierda.
ab±ac= a(b±c) o bien conmutando ba±ca= (b±c)a
de acuerdo a esta propiedad, para sumar o restar términos semejantes, solo
tenemos que sumar o restar los coeficientes.

4. Ejercicios de suma
a) 𝟓𝒙𝟑
− 𝟖𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟏 + −𝟕𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝟐
− 𝟏𝟏𝒙 + 𝟗
→ 𝟓𝑥3
− 8𝑥2
+ 2𝑥 − 1 − 7𝑥3
+ 3𝑥2
− 11𝑥 + 9
= −𝟐𝑥3
− 5𝑥2
− 9𝑥 + 8
b)
𝟑
𝟒
𝐱𝟐
−
𝟏
𝟐
𝐱 + 𝟏 +
𝟏
𝟓
𝐱𝟑
−
𝟏
𝟖
𝐱𝟐
+
𝟓
𝟔
𝐱 −
𝟐
𝟕
→
3
4
x2
−
1
2
x + 1+
1
5
x3
−
1
8
x2
+
5
6
x −
2
7
→
3
4
x2
−
1
8
x2
−
1
2
x +
5
6
x −
2
7
+1
→
5
8
𝑥2 −
1
3
𝑥 +
1
5
𝑥3 +
5
7
=
1
5
𝑥3+
5
8
𝑥2 −
1
3
𝑥 +
5
7

5. Ejercicios de resta
a) 𝟑𝒙𝟐
− 𝟖𝒙𝒚 + 𝟓𝒚𝟐
− 𝟏 - −𝟗𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙𝒚 − 𝟏𝟑𝒚𝟐
+ 𝟗
→ 3𝑥2 − 8𝑥𝑦 + 5𝑦2 − 1 +9𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 13𝑦2 − 9
= 12𝑥2
+ 18𝑦2
− 11𝑥𝑦 − 10
b)
𝟐
𝟑
𝒂𝟐𝒃 +
𝟑
𝟒
𝒂𝒃𝟐 −
𝟏
𝟐
𝒃𝟑 − −𝒂𝟑 −
𝟏
𝟔
𝒂𝟐𝒃 −
𝟏
𝟒
𝒂𝒃𝟐 −
𝟏
𝟐
𝒃𝟑
→
2
3
𝑎2𝑏 +
3
4
𝑎𝑏2 −
1
2
𝑏3 + 𝑎3 +
1
6
𝑎2𝑏 +
1
4
𝑎𝑏2 +
1
2
𝑏3
→
5
6
𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑎3
= 𝑎3 + 𝑎𝑏2+
5
6
𝑎2𝑏

6. Multiplicación
Para multiplicar expresiones algebraicas se hace uso reiterado de la ley distributiva. Así,
por ejemplo, tenemos:
𝒂 + 𝒃 𝒄 + 𝒅 = 𝒂 𝒄 + 𝒅 + 𝒃 𝒄 + 𝒅
= 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 + 𝒃𝒅

7. Ejercicios multiplicación
a) 𝟑𝒙𝟐
− 𝟏 𝟑𝒙 + 𝟗 → 3𝑥2
3𝑥 + 9 − 3𝑥 + 9
= 9𝑥3
+ 27𝑥2
− 3𝑥 − 9
b) (x+2)(x-2)(𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟑) → 𝑥 𝑥 − 2 + 2 𝑥 − 2 (𝑥2
− 2𝑥 + 3)
→ 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟒 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑
→ 𝒙𝟐
− 𝟒 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟑
→ 𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 −4 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑
→ 𝒙𝟒
− 𝟐𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝟐
− 𝟒𝒙𝟐
+ 𝟖𝒙 − 𝟏𝟐
= 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟏𝟐

8. división
para dividir un polinomio entre un monomio nos basamos en la siguiente
propiedad de las fracciones:
𝒂+𝒄
𝒃
=
𝒂
𝒃
+
𝒄
𝒃
La división de expresiones algebraicas consta de las mismas partes que la
división aritmética, así que si hay 2 expresiones algebraicas, p(x) dividiendo,
y q(y) siendo el divisor , de modo que el grado de p(x) sea mayor o iguala 0
siempre hallaremos a 2 expresiones algebraicas dividiéndose

9. • Sean dos polinomios P(x) y Q(x) tales que el grado de P(x) > que el grado de Q(x), y que
Q(x)≠0 (Q(x) distinto del polinomio nulo), entonces, existen dos polinomios tales que:
• P(x) = Q(x).G(x)+R(x) donde P(x) es el dividendo, Q(x) es el divisor, G(x) es el cociente,
R(x) es el resto.
• El grado de G(x) es igual a la diferencia de los grados de P(x) y Q(x).
• El grado de R(x) es menor que el grado de Q(x). Si R(x) es el polinomio nulo, entonces se
dice que el cociente P(x)/Q(x) es exacto.
• En este sentido, la división de polinomios no es siempre posible.
• Por ejemplo, si queremos dividir el polinomio P(x) del polinomio Q(x), y que el grado de
Q(x) es mayor que el grado de P(x), entonces, no existe ningún polinomio G(x) tal que
P(x) = Q(x).G(x).

10. Ejercicios división
a)
36𝑥5+20𝑥4−8𝑥3
4𝑥2 =
36𝑥5
4𝑥2 +
20𝑥4
4𝑥2 −
8𝑥3
4𝑥2
= 9𝑥3
+ 5𝑥2
− 2x

11. Productos notables y factorización
Productos notables
es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se
puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen
ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas
multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo,
1. 𝑨 + 𝑩 𝑨 − 𝑩 = 𝑨𝟐
− 𝑩𝟐
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA
DIFERENCIA
2. (𝑨 + 𝑩)𝟐
= 𝑨𝟐
+ 𝟐𝑨𝑩 + 𝑩𝟐
CUADRADO DE LA SUMA
3. (𝑨 − 𝑩)𝟐
= 𝑨𝟐
− 𝟐𝑨𝑩 + 𝑩𝟐
CUADRADO DE LA
DIFERENCIA
4. (𝑨 + 𝑩)𝟑
= 𝑨𝟑
+ 𝟑𝑨𝟐
𝑩 + 𝟑𝑨𝑩𝟐
+ 𝑩𝟑
CUBO DE LA SUMA
5. (𝑨 − 𝑩)𝟑= 𝑨𝟑 − 𝟑𝑨𝟐𝑩 + 𝟑𝑨𝑩𝟐 − 𝑩𝟑 CUBO DE LA DIFERENCIA

12. factorización
si una expresión algebraica es escrita como un producto de otras expresiones
algebraicas. Entonces cada una de estas expresiones es un factor. Se llama
factorización al proceso de convertir una expresión algebraica en producto de sus
factores.
Factor común
el caso mas simple y común de factorización es sacar el factor común a dos o mas
expresiones algebraicas. Esta técnica se basa en la propiedad distributiva, mirándola
de izquierda a derecha.
𝐴𝐵 ± 𝐴𝐶 = 𝐴(𝐵 ± 𝐶)

13. Factorizacion del trinomio 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
La factorización del trinomio 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 lo reducimos al caso 𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄. Para
esto, en primer lugar, multiplicamos y dividimos al polinomio por el coeficiente a y
luego hacemos el cambio de variable y=ax.
𝒂(𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄)
𝒂
=
(𝒂𝒙)𝟐
+𝒃 𝒂𝒙 + 𝒂𝒄
𝒂
=
𝒚𝟐
+ 𝒃𝒚 + 𝒂𝒄
𝒂

14. Formulas de factorización
1. 𝑨𝟐
− 𝑩𝟐
= 𝑨 + 𝑩 𝑨 − 𝑩 diferencia de cuadros
2. 𝑨𝟐 + 𝟐𝑨𝑩 + 𝑩𝟐 = (𝑨 + 𝑩)𝟐 cuadro perfecto
3. 𝑨𝟐
− 𝟐𝑨𝑩 + 𝑩𝟐
= (𝑨 − 𝑩)𝟐
cuadro perfecto
4. 𝑨𝟑 − 𝑩𝟑 = (𝑨 − 𝑩)(𝑨𝟐 + 𝑨𝑩 + 𝑩𝟐) diferencia de cubos
5. 𝑨𝟑 + 𝑩𝟑 = (𝑨 + 𝑩)(𝑨𝟐 − 𝑨𝑩 + 𝑩𝟐) diferencia de cubos
6. 𝑨𝑵 − 𝑩𝑵 = 𝑨 − 𝑩 𝑨𝑵−𝟏 + 𝑨𝑵−𝟐𝑩 + 𝑨𝑵−𝟑𝑩𝟐 … . . diferencia de n-simas
potencias

15. Ejercicios producto notable
1. (2𝒙𝟑 + 𝟓) 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓
→ (2𝑥3
)2
− 5
2
= 4𝑥3
− 5
2.(𝟒𝒙𝟐
− 𝟑𝒚)𝟑
→ (4𝑥2
)3
− 3(4𝑥2
)2
3𝑦 + 3 4𝑥2
3𝑦 2
− (3𝑦)2
→ 64𝑥6 − 3 16𝑥4 3𝑦 + 3 4𝑥2 9𝑦2 − 27𝑦3
= 64𝑥6 − 144𝑥4𝑦 + 108𝑥2𝑦2 − 27𝑦3

16. Ejercicios de factorización
1. 𝟏𝟐𝒙𝟑
𝒚𝒛 + 𝟏𝟖𝒙𝟐
𝒚𝟐
→ 𝟔𝑥2
𝑦 2𝑥𝑧 + 𝟔𝑥2
𝑦 𝟑𝒚
= 𝟔𝑥2𝑦 2𝑥𝑧 + 3𝑦
2. 𝟑𝒙𝟑
− 𝟐𝒙𝒚𝟐
− 𝟔𝒙𝟐
+ 𝟒𝒚𝟐
→ 𝟑𝒙𝟑
− 𝟔𝒙𝟐
+ −𝟐𝒙𝒚𝟐
+ 𝟒𝒚𝟐
→ 𝟑𝒙𝟐 𝒙 − 𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 𝒙 − 𝟐
=(𝒙 − 𝟐)(𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐)

17. bibliografía
 Calculo diferencial para administración y economía
segunda edición
Jorge Sáenz
Barquisimeto 2007
Pg(26-41)