Matematica e Realtà Uni Perugia 2013

1. DAI CERCHI SACRI …
AL CERCHIO LIMITE
Liceo Scientifico Statale “L. Siciliani” Catanzaro
Convegno “Esperienze a confronto”
Matematica & Realtà
6-8 Maggio 2013 - Perugia
Tutor:
Prof.ssa Anna Alfieri
Studenti:
Fabiola Boccuto
Giuseppe Lazzaro
Lucrezia Mengani
Mariagiulia Orlando

3. Una trasformazione geometrica è una corrispondenza
biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un
solo punto del piano stesso.
A(x;y)→ A’(x’;y’)

4. 4
b in b (in una posizione diversa)
b b





byy
axx
'
'
























b
a
y
x
y
x
10
01
'
'

5. 5
b in q
b
q







cossin'
sincos'
yxy
yxx











 






y
x
y
x


cossin
sincos
'
'

6. 6
b
p p










yy
axx
yy
xx
'
'
'
'


























010
01
'
' a
y
x
y
x

7. 7
d b
p

8. Dati un numero reale k diverso
da zero e un punto P del piano,
l’omotetia di rapporto k e
centro O è quella
trasformazione geometrica che
associa a P il punto P’ tale che:
OP’=k(OP)
b b→


















y
x
k
k
y
x
0
0
'
'

9. Dalla fine del XIX sec. la scienza si è orientata verso lo studio dei sistemi
complessi. Queste problematiche hanno dato l’avvio allo studio del
“caos deterministico”, ossia di situazioni di disordine ottenute però da
processi matematico-fisici deterministici.
Nell’universo reale sono presenti infiniti elementi “perturbatori”.
Tale complessità può essere semplificata dai…
Figure geometriche complesse e caotiche determinate
per approssimazione di una funzione ricorsiva.
Più semplicemente:
Una figura geometrica in cui un motivo identico si
ripete su scala continuamente ridotta.
Merletto di Koch

10. Se alcuni dettagli vengono osservati a scale
differenti, si nota sempre una certa
somiglianza approssimativa con il frattale
originale.
•
Non è possibile definire in modo netto e
assoluto i confini dell’insieme (i bordi
dell’immagine).

11. Tutti i frattali hanno una dimensione non intera,
ma non le normali figure geometriche . Le quali
hanno una dimensione geometrica
Un segmento ad esempio ha dimensione 1
A B
Un quadrato ha dimensione 2
A B
C D
Un cubo ha dimensione 3
B C
A D
F H
E
G
• Dimensione
frazionaria:

12. Preso un oggetto che ha dimensione euclidea D e riducendola di un fattore
1/r, la sua misura (perimetro , area, volume) aumenta di:
N=r D
Dove N indica il ricoprimento mentre D indica la dimensione.
Per calcolare D dobbiamo ricorrere all’utilizzo dei logaritmi, mentre r indica la
riduzione

13. Deriva dal latino fractus, rotto, spezzato infatti le immagini frattali sono
considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.
Il fondatore della geometria frattale fu: Benoit Mandelbrot
Un matematico contemporaneo che, all’inizio degli anni ’80, ha pubblicato i
risultati delle sue ricerche nel volume “The fractal geometry of nature”
fondando quella che viene chiamata geometria dei frattali.

16. Le forme della geometria piana,
così simmetriche e regolari sono
state utilizzate nella Geometria
sacra, da cui è derivata anche la
Radionica.
Sono forme armonizzanti e
riequilibranti.
Tuttavia , sebbene armoniche
come forme, dopo un po’
diventano
costrittive e di chiusura con il
divenire dell’esistenza.
Le forme della geometria piana, così simmetriche e regolari, come già
detto, sono state poi utilizzate nella Geometria sacra, da cui è derivata
anche la Radionica.

17. Il rosone è un elemento decorativo applicato alle facciate
delle chiese di stile romanico e gotico.

18. ROMANICI GOTICI
SIGNIFICATO
Nella forma del rosone è possibile riconoscere
1. Il mandala
2. Il Fiore d’Oro
3. La rosa

21. Animazione del rosone costituito da 12
triangoli simmetrici

22. Il rosone di san Nicola presenta la struttura dell’ .
L'ipocicloide è una curva piana
appartenente alla categoria
delle rullette ovvero delle curve
generate da una figura che
rotola su di un'altra.
L'ipocicloide infatti è definita
come la curva generata da una
circonferenza che rotola sulla
parte interna di un'altra
circonferenza. Essa è un caso
particolare di ipotrocoide.

25. Animazione del rosone costituito
da 15 triangoli simmetrici

26. M. C. Escher nacque in Olanda il 17
Giugno del 1898. Frequentò la scuola di
Architettura e Arti Decorative di Harlem
in Olanda e nel 1923 venne in Italia. Le
sue opere si basavano sul sottile gioco
tra lo sfondo e la figura, che si
completano. Morì il 27 Marzo del 1971.

27. Nel 1954 Escher incontrò Coxeter, un famoso geometra, in un meeting
internazionale di matematica. In seguito, nel 1957, Coxeter inviò a Escher
un’illustrazione del piano di Poincarè e guardando la tassellatura di questo
cerchio, riuscì a capire le regole del gioco.
Cerchio di Coxeter
Piano di Poincarè Cerchio limite di Escher

28. Prima di poter parlare di cerchio limite dobbiamo introdurre
il concetto di punto limite. Questo si ottiene con delle
traslazioni composte a delle riduzioni .
L + L/2 + L/4 + L/8 + … = 2L

29. Ecco qui i cerchi limite riprodotti da Escher :
Cerchio limite I
Cerchio limite II
Cerchio limite III
Cerchio limite IV

30. Dal punto di vista architettonico le sue opere sono caratterizzate da una forte
componente matematica.
I punti principali su cui si concentrano i suoi lavori sono :
L’infinito
 Spazi differenti che si incastrano scambievolmente
Fredda logica delle scienze esatte e mondi naturali differenti

31. Possiamo distinguere i vari cerchi limite in due categorie:
• Nella prima il limite delle figure disegnate tende verso l’interno del cerchio
• Nella seconda il limite delle figure
disegnate tende verso l’interno del cerchio

32. •Farfalle
(1959)
xilografia

33. • Circle
Limit
III

34. Il nostro punto di partenza
è un foglio origami
Abbiamo dunque piegato il foglio lungo la
sua diagonale per poi piegarlo a metà
1
2
3

35. A questo punto pieghiamo 1/3 del triangolo ottenuto e poi l’altra parte in modo
da ottenere una «coda di rondine»
Tagliamo dunque la parte in eccesso in
modo da ottenere un triangolo grande
un terzo rispetto a quello iniziale
4 5
6

36. 7 8
9
Partendo dal nostro triangolo iniziamo a
ritagliare la sagoma di mezza farfalla per
poter poi, aprendo il foglio, ottenere una
farfalla intera.

37. 10 11
12
Ritagliamo dunque su entrambi i lati la
sagoma delle farfalle

38. 13
14
15
Dopo aver ritagliato le sagome
tagliamo la punta del triangolo
Infine apriamo il foglio ed
otteniamo un disegno riportato
nella figura 15

39. Riconsideriamo le prime 6 fasi
precedentemente illustrate per poter
costruire la << coda di rondine>>
1 Disegnamo dunque il motivo
caratterizzante del rosone sul foglio origami
2

40. 3 Con un taglierino ritagliamo il
contorno della sagoma
4

41. 5 Tagliamo dunque la punta del triangolo
Come ultimo passaggio non
ci resta che aprire il foglio
per ottenere un rosone
simile a quello
precedentemente analizzato
6

42. 1
2
Partendo sempre dal sesto punto
della prima costruzione e dopo
aver studiato la costruzione
geometrica effettuata con
Geogebra riportiamo le figure
goemetriche che caratterizzano
questo rosone
Ritagliamo con un taglierino le figure
precedentemente disegnate

43. 3
4
Tagliamo la punta del triangolo
Quando apriamo il foglio
otteniamo una copia del
rosone della chiesa di
Santa Chiara ad Assisi

44. • http://www.mcescher.com/
• Trasformazioni geometriche e strutture algebriche di Massimo
Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi
• I frattali a fumetti di N. Lesmoir-Gordon , W.Rood, R.Edney