PoliKalc: Guia de Orientações Didáticas

1. Guia de Orientações Didáticas do software PoliKalc
Everaldo Gomes Leandro
Antônio José de Lima Batista
Stefânia Efigênia Izá
Amanda Castro Oliveira
UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS
OBJETIVOS DA PROPOSTA DIDÁTICO-PEDAGÓGICA EFETIVADA PELA
TECNOLOGIA EDUCACIONAL
PoliKalc é um software livre destinado ao ensino e a aprendizagem de cálculos
aritméticos (mentais, com calculadora, com algoritmos: exatos e aproximados). Ele é composto
de quatro calculadoras (Kalc Exata, Kalc Mental, Kalc Aproximada, Kalc Quebrada) com o
objetivo de possibilitar trabalho com os diferentes tipos de cálculos aritméticos, bem como
permitir a compreensão das operações básicas, do sistema de numeração decimal e suas
propriedades. Tal software tem características multimídia, respalda-se na teorização
construcionista de aprendizagem e pode ser executado tanto em sistemas operacionais Windows
e Linux.
PRESSUPOSTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS ASSUMIDOS PELA
TECNOLOGIA
1. As Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) para o Ensino e a
Aprendizagem de Matemática
Para compreendermos em qual contexto se inserirá o Objeto de Aprendizagem criado
por nós, foi necessário entender a sociedade na qual será inserido, os sujeitos que os utilizarão e
em qual perspectiva de ensino e aprendizagem da Matemática estará alicerçado. Assim, este
tópico foi pensado para que houvesse essas discussões que também deram suporte para criação
do software.
O termo tecnologia provém do grego e seu significado está intrinsecamente ligado ao
conhecimento de uma técnica. No dicionário Houaiss Online1, tecnologia é a “teoria geral e/ou
estudo sistemático sobre técnicas, processos, métodos, meios e instrumentos de um ou mais
ofícios ou domínios da atividade humana”. Em diferentes momentos históricos, diversas
técnicas foram criadas para responder às necessidades dos seres humanos. O conhecimento
dessas técnicas e o ensino para os seus descendentes foi o que possibilitou o desenvolvimento
de uma determinada sociedade. Para Ponte (2000, p. 64):
1 Dicionário disponível no endereço <http://200.241.192.6/cgi-bin/houaissnetb.dll/frame>. Acessado em:
09 de Ago. de 2013.

2. Todas as épocas têm as suas técnicas próprias que se afirmam como produto
e também como fator de mudança social. Assim, os utensílios de pedra, o
domínio do fogo e a linguagem constituem as tecnologias fundamentais que,
para muitos autores, estão indissociavelmente ligadas ao desenvolvimento da
espécie humana há muitos milhares de anos.
Deste modo, podemos dizer que apagadores, quadros-negros, lápis e outros
instrumentos utilizados em salas de aula são tecnologias, mas de qual época? Da atual com
certeza (BORBA; PENTEADO, 2003), pois são utilizadas no cotidiano pelos alunos e
professores, mas estivemos interessados em discutir as mídias provenientes da atual e
denominada Sociedade de Informação2 que podem possibilitar o desenvolvimento de trabalhos
em aulas de Matemática nas escolas.
Assim, para que processos de aprendizagem, com aparatos tecnológicos da Sociedade
de Informação, possam ocorrer faz-se necessário um ambiente apropriado. Este deve ter
características construtivistas, por entender que o aluno é o centro de sua própria aprendizagem
e, por se tratar da utilização de tecnologias, de aspectos construcionistas (PAPERT, 2008) por
meio do qual o sujeito constrói conhecimentos usando a tecnologia.
A teoria Construcionista está intimamente ligada ao Construtivismo tanto quanto seus
teóricos principais. Jean Piaget (1896 - 1980) influenciou Seymour Papert (1928 - hoje) em sua
teorização. A Epistemologia Genética Piagetiana3 tenta “explicar a forma como o conhecimento
é adquirido pelo sujeito. Piaget nunca se preocupou com a transposição de suas teorias para a
sala de aula” (ROSA, 2011, p. 15). Já Papert, que estudou com Piaget em Genebra na Suíça,
teve tal preocupação e sua perspectiva “era considerar o uso da matemática para entender como
as crianças podem aprender e pensar” (CAMPOS, 2008, p. 79). Assim, surge o
Construcionismo que tem como ideia principal propor uma nova abordagem do uso de
tecnologias na educação, tendo como:
Principal fundamento a utilização do computador para a concretização das
construções internas do indivíduo, que, consequentemente, torna-se matéria-prima
para novas construções internas. Essas construções, por sua vez, geram
novas concretizações. Sendo assim, esse movimento torna-se continuo entre
o concreto e o abstrato (CAMPOS, 2008, p. 95)
Deste modo, percebe-se que o uso, de computadores e calculadoras4, pode ser pensado e
estar alinhado com a ideia de construção do conhecimento. Por outro lado, quem são os sujeitos
que constroem esses conhecimentos?
2 Alguns autores entre eles Maltempi (2005) conceituam a sociedade atual como uma Sociedade do
Conhecimento, já outros como Castells (2005), Ponte (2000), Mendes (2013) a denominam como
Sociedade de Informação. Nesse trabalho utilizaremos a terminologia de Sociedade de Informação.
3 Teoria apresentada por Jean Piaget que objetiva entender a Gênese do Conhecimento, ou seja, os
processos que acorrem com o sujeito e que possibilitam a construção do conhecimento.
4 Concordamos com a ideia de Van de Walle (2009, p.130) de que “o termo tecnologia no contexto de
Matemática Escolar se refere principalmente às calculadoras de qualquer tipo e aos computadores,
incluindo o acesso a internet e outros recursos disponíveis”, assim ao longo desse texto os termos
computadores e calculadoras estarão se referindo a diversos tipos de tecnologias voltadas para o ensino de

3. Em relação ao uso de tecnologias, Prensky (2001) propõe uma divisão das pessoas com
base nas gerações tecnológicas e cunha os termos nativo digital e imigrante digital que
expressam essa divisão. Com base em Prensky, Palfrey e Gasser (2011) utilizam o termo nativo
digital para caracterizar os sujeitos nascidos, dentro da Sociedade de Informação na chamada
era digital, após 1980 e os que não nasceram, mas estão imersos nessa sociedade, denominaram
de imigrante digital. O sujeito considerado nativo digital possui algumas características, como:
uma identidade virtual, pois passam a maior parte do tempo conectados
através das redes sociais, blogs, jogos online, em meio às inovações
tecnológicas. Nesses espaços socializam, se expressam criativamente e
compartilham ideias e novidades. Desse modo, muitos nativos digitais não
distinguem o online do offline (SANTOS et AL, 2001, p.15845).
Deste modo, acreditamos que os nativos se interessam por meios de aprendizagens, com
uso de tecnologias, por exemplo, que podem se distinguir da forma como o professor aprendeu.
Palfrey e Gasser (2013, p.13) consideram que os imigrantes têm menos familiaridade
com o meio digital. A intimidade dos nativos digitais com as inovações tecnologias é
considerável quando comparada a dos imigrantes digitais.
Há também o grupo de pessoas denominadas de “colonizadores digitais” (SANTOS et
al., 2011) que se caracteriza por serem mais velhos, também estarem conectados e contribuirem
para o avanço tecnológico, mas interagem com a tecnologia de forma diversa dos nativos.
Coloca-se nesse contexto as relações entre o professor, o saber e o aluno e deste modo,
acreditamos que os professores necessitam atentar para seu papel enquanto educadores exposta
por D’Ambrosio (2005, p. 45) quando argumenta que:
Nossa missão de educadores tem como prioridade absoluta obter paz nas
gerações futuras. Não podemos nos esquecer de que essas gerações viverão
num ambiente multicultural, suas relações serão interculturais e seu dia-a-dia
será impregnado de tecnologia.
Acreditamos que essa impregnação tecnológica necessita ser levada em conta pelo
educador matemático que, por sua vez, pode inserir em suas aulas tecnologias que se relacionem
com a aprendizagem e o ensino de Matemática para que os estudantes entendam/façam
Matemática tanto quanto dominem as tecnologias.
Entendemos também que não são quaisquer tipos de softwares que podem ser inseridos
em diversas escolas, por conta de seus preços. Assim, dentre as tecnologias disponíveis,
acreditamos que a proposta do software livre pode possibilitar maior acesso de usuários às
tecnologias de informação e comunicação.
Software livre, por sua vez, se refere a “liberdade de usuários executarem, copiarem,
distribuírem, estudarem, modificarem e aperfeiçoarem o software.” (PSL BRASIL, 2013). Isso
quer dizer que os códigos fonte dos softwares são abertos, podendo assim, serem modificados
Matemática, dado que grande quantidade de tecnologias utilizadas nas escolas são disponibilizadas em
computadores e calculadoras.

4. por qualquer pessoa que entenda da linguagem de programação utilizada, além do usuário ou
instituição (no nosso caso a escola) realizar as ações expostas acima.
Nessa perspectiva, estamos de acordo com Borba e Penteado (2003, p.17) de que a
inserção da informática e de outras mídias na educação deve ser justificada de duas formas: o
direito ao acesso e a alfabetização tecnológica. O direito ao acesso, argumentam esses autores,
pode ser visto como projeto social que tem por finalidade a democratização das tecnologias. Por
outro lado
O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas
escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma
educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização
tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de
Informática, mas, sim, como um aprender a ler essa nova mídia. Assim, o
computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender
a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver
noções espaciais etc. (BORBA; PENTEADO, 2003, p.17).
Assim, nossa proposta de criação de um software livre está alinhada com o direito ao
acesso e pode vir a ser utilizado para uma alfabetização tecnológica. Acreditamos que o
software livre é um dos caminhos possíveis para a problemática da inserção de tecnologias nas
escolas e quando defendemos isso estamos pensando nas possibilidades de instalação, copia e
distribuição que tais softwares disponibilizam sem que nos esbarremos em direitos autorais e
uso ilegal de programas. Assim nossa proposta de criação da PoliKalc vem no sentido de ser um
software livre abrangendo as quatro liberdades (PSL BRASIL, 2013) do usuário desse tipo de
software que são:
 A liberdade de executar o programa para qualquer propósito;
 Liberdade de estudar como o programa funciona, e adaptá-lo para as suas
necessidades. Acesso ao código-fonte é um pré-requisito para esta liberdade;
 A liberdade de redistribuir cópias de modo que você possa ajudar ao seu próximo;
 E a liberdade de aperfeiçoar o programa, e liberar os seus aperfeiçoamentos, de
modo que toda a comunidade se beneficie. Acesso ao código-fonte é um pré-requisito
para esta liberdade;
Outro ponto que nos fez querer que o código fosse aberto é a possibilidade de
colaboração de outros programadores e pesquisadores interessados em dar suas contribuições
para a PoliKalc, pois temos consciência de nossas próprias limitações tanto no que diz respeito
as técnicas de programação como as limitações dos conhecimentos em relação ao ensino e a
aprendizagem dos diversos tipos de cálculos.
Deste modo, percebemos também a importância da inserção de tecnologia para a
aprendizagem Matemática em sala de aula, observamos que o ensino da Matemática como o das

5. outras ciências está sofrendo processos de transformação. Essas mudanças, sugeridas pelos
Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs (BRASIL, 1998, p.43), apontam que:
As tecnologias, em suas diferentes formas e usos, constituem um dos
principais agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que
exercem nos meios de produção e por suas conseqüências no cotidiano das
pessoas.
Nessa linha de raciocínio, os PCNs nos mostram a importância da tecnologia para os
processos de ensino e aprendizagem da Matemática e enumeram quatro contribuições para se
repensar tais processos, são elas:
 Relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples manipulação simbólica, uma vez que
por meio de instrumentos esses cálculos podem ser realizados de modo mais rápido e eficiente;
 Evidencia para os alunos a importância do papel da linguagem gráfica e de novas formas de
representação, permitindo novas estratégias de abordagem de variados problemas;
 Possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente interesse pela realização de projetos
e atividades de investigação e exploração como parte fundamental de sua aprendizagem;
 Permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade
matemática e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo. (BRASIL, 1998, p.43).
Desta forma e entendendo que “a humanidade está envolvida pela tecnologia” (SKOVSMOSE,
2001, p.77), defendemos que tecnologias devem ser formuladas/criadas para que possam
auxiliar no ensino e na aprendizagem da Matemática em seus diferentes campos como a
geometria, a álgebra e, no nosso foco de trabalho, os diversos tipos de cálculos aritméticos.
2. O ensino e a aprendizagem de cálculos mentais, exatos, aproximados e com
calculadora
Algumas pesquisas (GOMES, 2007; MEGID, 2009) apontam a importância das
construções de estratégias de cálculos para o desenvolvimento de conceitos matemáticos pelos
estudantes. Outras (FONTES, 2010; GUIMARÃES; FREITAS, 1997; PARRA, 1996;) se
concentram em analisar e refletir sobre o valor, o ensino e/ou a aprendizagem dos cálculos
aritméticos nos anos iniciais do ensino fundamental.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1998) e em toda sua extensão
é focalizado o papel basilar da compreensão e apropriação dos diversos tipos de cálculos - o
mental e o escrito, com calculadora, o exato e o aproximado - em todos os anos do ensino
fundamental. O NCTM (National Council of Teachers of Mathematics), por sua vez, elaborou
um esquema (Figura 1) para a compreensão das relações entre os cálculos:

6. Figura 1 Relações entre os Cálculos segundo NCTM (apud FONTES, 2010)
Por meio do esquema apresentado, suponhamos que exista um problema a ser resolvido
e para resolvê-lo um sujeito necessita fazer um cálculo. Dependendo do problema em questão
faz-se uso de um cálculo exato ou aproximado. Se exato, pode-se utilizar estratégias de cálculo
mental, algoritmo (utilizando-se da escrita) e/ou uso de calculadora/computador. Por outro lado,
se o cálculo requerido for aproximado utiliza-se a estimativa por meio de algoritmo, cálculo
mental ou a calculadora/computador.
Neste contexto, percebe-se a necessidade de inserção nas salas de aulas de Matemática
de práticas de ensino que integrem os cálculos, mas que também seja um projeto contínuo do
professor de Matemática.
Por outro lado, autoras como Parra (1996) e Fontes (2010) constataram que os cálculos
nos anos iniciais são basicamente ensinados na forma escrita e exata por meio de algoritmos
pré-estabelecidos, assim intervenções que se proponham a ampliar tais práticas como a
defendida nessa pesquisa por meio da criação de um objeto de aprendizagem, contribuem para
um novo entendimento em relação ao ensino e a aprendizagem de cálculos.
Assim pretendemos caracterizar o ensino e a aprendizagem dos diversos tipos de cálculo
(mental, com calculadora, com algoritmo: exatos ou aproximados) e justificar a importância da
inserção e do ensino de diferentes estratégias de cálculo em aulas de Matemática utilizando as
tecnologias de informação e comunicação, no nosso caso o software PoliKalc.
2.1 Cálculo Mental: “Conta de cabeça” ou uma possibilidade para o início do ensino e
da aprendizagem de cálculos na educação básica?

7. À entrada do auditório, umas mocinhas da Universidade encarregam-se da venda dos
livros de Torrente. Escolho uma meia dúzia deles e fico à espera de que me façam as
contas e digam quanto tenho que pagar. Seis livros, seis parcelas de uma soma simples,
nenhuma delas com mais de dois dígitos.
A primeira tentativa falhou, a segunda não foi melhor. Eu olhava, assombrado, o modo
como a rapariga ia somando, dizia sete mais seis, treze, e vai um, escrevia 3 na soma, 1 ao
lado, e prosseguia, adicionando por escrito os que iam aos que estavam, como, nos velhos
tempos, um estudante da primeira classe antes de aprender a usar a memória.
Uma colega explicou-me com um sorriso envergonhado: “É que falta a máquina.” Diante
daquela florida e ignorante juventude, senti-me,de súbito, infinitamente sábio em
aritméticas: pedi o papel e o lápis e, com um ar de triunfo condescendente, rematei a soma
num instante,mentalmente. As pobres pequenas ficaram esmagadas, confusas, como se,
tendo-lhes faltado os fósforos no meio da selva, lhes tivesse aparecido um selvagem com
dois pauzinhos secos e a arte de fazer lume sem calculadora.
(SARAMAGO, 1997)
Os primeiros indícios de introdução do cálculo mental nos currículos brasileiros datam
de 1891 e são encontrados em documentos do Colégio Pedro II. Tal colégio era referência e
modelo para outras escolas brasileiras até as primeiras três décadas do século XX5 e a
concepção de educação estava direcionada para os exames preparatórios para os estudos
superiores (GOMES, 2007).
Passados mais de 100 anos, as concepções e o entendimento em relação ao cálculo
mental não tiveram grandes mudanças. Quando nos referimos ao cálculo mental, uma das
primeiras ideias que nos vem em mente é a ideia de “fazer conta de cabeça”. Tal pensamento
não está errado, mas incompleto. Fontes (2010, p. 219), se referindo a concepção que alguns de
seus sujeitos de pesquisa tinham em relação ao cálculo mental, afirma que:
As crianças não precisam pensar em cálculo mental somente de cabeça,
podem escrever as etapas do cálculo mental para registrar as etapas do seu
pensamento, podem voltar e conferir como pensaram e mostrar esse caminho
aos outros colegas.
Outro ponto que necessita estar claro em relação ao cálculo mental é a corriqueira
confusão existente quando um sujeito resolve uma operação utilizando um algoritmo 6
mentalmente, algumas vezes escrevendo até a conta armada no ar com os dedos das mãos. Essa
ação não é considerada cálculo mental.
Não existe também a dicotomia entre cálculo escrito e cálculo mental, uma vez que o
cálculo mental pode ser realizado com o apoio de “lápis e papel”, assim:
cada vez mais a criança poderá elaborar estratégias observáveis e passíveis de
conferência, para torná-la cada vez mais independente desses objetos e
aproximando-se cada vez mais do cálculo sem tais recursos concretos
(FONTES, 2010, p.32).
5 Em 1931 surge a Reforma Francisco Campos que se torna parâmetro para as escolas da época.
6 Entendemos por algoritmo “uma série finita de regras a serem aplicadas em uma ordem determinada a
um número finito de dados para chegar com certeza (quer dizer, sem indeterminação ou ambiguidades) e
em um número finito de etapas, a determinado resultado, e isso independentemente dos dados” (Bouvier,
apud Parra (1996, p.189)).

8. O cálculo mental algumas vezes é relacionado também com rapidez de resolução. Não
necessariamente isso pode ocorrer. Essa concepção de rapidez se dá por entender que em
situações cotidianas, como ir a um supermercado, o cálculo exigido mentalmente deve ser
rápido e não exato. Assim, surge outro equivoco: a confusão entre cálculo mental e aproximado.
Pode-se perceber pelo esquema do NCTM (Figura 1) que há sim uma relação entre os
cálculos mentais e aproximados, bem como com o cálculo exato. Suponhamos a seguinte
situação: “Pedrinho vai com sua mãe em uma feira no dia de domingo. Ela compra 5 tomates
por R$ 3,00, 10 laranjas por R$ 5,00 e algumas peras por R$ 7,00. Depois disso, ela pede para
Pedrinho fazer a conta de quanto ela deve pagar ao dono da banca de frutas”.
Podemos observar por essa situação que uma das formas de resolução que poderia
surgir seria Pedrinho somar os três valores, achando uma resposta exata. O cálculo mental
entraria nessa situação a partir do momento em que ele escolheria uma estratégia para encontrar
a solução. Pedrinho poderia pensar o seguinte: Primeiramente somaria 7 com 3, encontrando
R$10,00 e depois aumentaria 5, encontrando o resulta exato de R$ 15,00. Mas, se os preços
fossem R$ 3,75, R$ 5,92 e R$ 7,05 respectivamente. Pedrinho poderia dar uma resposta exata
utilizando estratégias de cálculo mental ou dar uma resposta aproximada utilizando ou não essas
mesmas estratégias de cálculo mental.
Assim, entendemos que uma definição única de cálculo mental se torna difícil de ser
elaborada, como acredita Parra (1996, p.186) quando afirma que “‘cálculo mental’ é uma
expressão que pode ter muitos significados, dividindo opiniões, provocando dúvidas e
expectativas”. Mas, uma conceituação sobre cálculo mental, para essa mesma autora é que
cálculo mental é:
um conjunto de procedimentos em que, uma vez analisados os dados a serem
tratados, estes se articulam, sem recorrer a um algoritmo pré-estabelecido
para obter resultados exatos ou aproximados (PARRA, 1996, p.189).
Deste modo, continuando suas argumentações, Fontes (2010) e Parra (1996) ao longo
de seus escritos nos mostram algumas vantagens da aprendizagem de estratégias de cálculo
mental que indicamos a seguir:
 As aprendizagens no campo do cálculo mental influem na capacidade de resolver
problemas;
 Aumento do conhecimento no campo numérico;
 Habilita para uma maneira de construção do conhecimento que fornece uma melhor
relação do aluno com a Matemática;
 Aumenta a capacidade de iniciativa do aluno;
 Desenvolve o pensamento flexível;
 Promove o sentido do número e a compreensão do sistema decimal;
 Encoraja a criatividade;
 Permite liberdade e flexibilidade na escolha do processo de solução e;
 Amplia o conceito de valor posicional de número.

9. Com o passar do tempo, enquanto as relações e o repertório de cálculo vão se
expandindo surge espaço para a memorização. Assim, alguns cálculos como, por exemplo, 1 + 1
e 10x10 são rapidamente realizados por estarem memorizados. Esse processo proporciona o
aprendizado de conceitos mais sofisticados e abstratos, fato que a aprendizagem apenas do
algoritmo seja ela da divisão, subtração, multiplicação ou adição não proporcionam.
Em relação aos algoritmos aprendidos na escola, Fontes (2010) acredita que deveriam
ser ensinados pelos professores mais tardiamente. O algoritmo permite encontrar as soluções
facilmente, mas podem dificultar o processo de compreensão das relações numéricas. Assim,
Quando se ‘atropela’ a aprendizagem com o ensino de algoritmos antes do
domínio do cálculo, não se trabalha sua lógica, somente sua sequência e
regras e, por se tratar de um conhecimento não questionado, apenas
memorizado, unilateral, pode bloquear o raciocínio, não permitindo que se
realize o estabelecimento de relações, a principal característica do cálculo
mental. (FONTES, 2010, p. 36)
Portanto, esquecer ou inverter a ideia de que o ensino deve partir de onde o aluno está,
pode comprometer a aprendizagem. Aproveitar a vivência que o estudante teve antes de chegar
a idade escolar (LORENZATO, 2006) tanto quanto inseri-las em sala de aula oferecendo
oportunidades “de resolver problemas em contextos práticos” (CARRAHER; CARRAHER;
SCHLIEMANN, 2006, p. 82) pode ser um dos pontos para o ensino e a aprendizagem da
Matemática com compreensão.
2.2 Os Cálculos Exatos e Aproximados
Os cálculos exatos perpassam todos os anos escolares e são necessários em diferentes
conteúdos da Matemática. São ensinados basicamente por meio de algoritmos e na forma
escrita. Isso já não acontece com os cálculos aproximados, deixados de lado e julgados como
um tipo de cálculo menor, que não tem utilidade.
Em sociedade, ao contrário, os cálculos exatos, tanto quanto os aproximados têm
diversas utilidades. Assim, é aconselhável que estejam nos mesmos patamares quando um
professor planeja ensinar as operações básicas.
Livros didáticos (IMENES; LELLIS, 2006; LOPES, 2006) abordam os diversos tipos de
cálculo de maneira diferente de livros mais antigos. Imenes e Lellis (2006), por exemplo, em
seus livros, de sexto ao nono ano, da coleção “Matemática para todos” traz os cálculos exatos e
aproximados contextualizados juntamente com propostas de ensino utilizando calculadoras e o
cálculo mental.
Percebemos também por meio dos livros didáticos que a maneira de abordar e/ou inserir
os cálculos ao longo do tempo sofre mudanças. Lopes (1994) em seu livro didático “Matemática
Atual” da oitava série (hoje nono ano) não insere a calculadora como instrumento para

10. aprendizagem de cálculos, 12 anos depois, Lopes (2006) na coleção “Matemática hoje é feita
assim” aborda atividades voltadas para o uso da calculadora, bem como trata os outros tipos de
cálculos (exatos e aproximados) de maneira contextualizada.
2.3 Cálculos com Calculadoras: (In)verdades e possibilidades para o ensino e a
aprendizagem da Matemática
O Rodrigo não entendia por que precisava aprender matemática, já que a sua
minicalculadora faria todas as contas por ele, pelo resto da vida, e então a professora
resolveu contar uma história. Contou a história do Supercomputador.
Um dia disse a professora, todos os computadores do mundo serão unificados num único
sistema, e o centro do sistema será em alguma cidade do Japão. Todas as casas do mundo,
todos os lugares do mundo terão terminais do Supercomputador. As pessoas usarão o
Supercomputador para compras, para recados, para reservas de avião, para consultas
sentimentais. Para tudo.
Ninguém mais precisará de relógios individuais, de livros ou de calculadoras portáteis.
Não precisará mais nem estudar. Tudo que alguém quiser saber sobre qualquer coisa
estará na memória do Supercomputador, ao alcance de qualquer um. Em milésimos de
segundo a resposta à consulta estará na tela mais próxima. E haverá bilhões de telas
espalhadas por onde o homem estiver, desde lavatórios públicos até estações espaciais.
Bastará ao homem apertar um botão para ter a informação que quiser.
Um dia, um garoto perguntará ao pai:
_Pai, quanto é dois mais dois?
_Não pergunte a mim – dirá o pai -, pergunte a Ele.
E o garoto digitará os botões apropriados e num milésimo de segundo a resposta
aparecerá na tela. E então o garoto dirá:
_Como é que sei que a resposta é certa?
_Porque Ele disse que é certa – responderá o pai.
_E se Ele estiver errado?
_Ele nunca erra.
_ Mas se estiver?
_Sempre podemos contar nos dedos.
_O quê?
_Contar nos dedos, como faziam os antigos. Levante dois dedos. Agora mais dois. Viu?
Um, dois, três, quatro. O computador está certo.
_Mas, pai, e 362 vezes 17? Não dá para contar nos dedos. A não ser reunindo muita gente
e usando os dedos das mãos e dos pés. Como saber se a resposta d’Ele está certa?
Aí o pai suspirou e disse:
_Jamais saberemos...
O Rodrigo gostou da história, mas disse que, quando ninguém mais soubesse matemática e
não pudesse pôr o Computador à prova, então não faria diferença se o Computador estava
certo ou não, já que a sua resposta seria a única disponível e, portanto, a certa, mesmo que
estivesse errada, e...
Aí foi a vez da professora suspirar.
(VERÍSSIMO, 2001, p. 25)
As calculadoras bem como outras tecnologias não podem ser observadas como as
redentoras do ensino e da aprendizagem da Matemática, mas também não podem ser vistas
como o mal que assola a aprendizagem dessa disciplina escolar.

11. Dentro dos discursos existentes acerca dos malefícios dos cálculos com calculadoras em
aulas de Matemática estão alguns que abordaremos e que entendemos que estão equivocados
por se respaldarem em juízos/avaliações superficiais dessa tecnologia.
Uma das primeiras ideias que surgem é que a calculadora impossibilitará o aprendizado
dos conceitos de número, sistema decimal e suas operações. Mas, as (im)possibilidades do
aprendizado desses conceitos vão muito além da utilização ou não dessa mídia. Se pensarmos
que uma mídia influência/atrapalha no aprendizado de algum conceito, podemos fazer a mesma
analogia para o lápis e o papel, justificando que tais materiais (que são tecnologias) são espécies
de “muletas” para a construção de conhecimento. Mas isso não acontece, e concordamos
também que:
sempre há uma dada mídia envolvida na produção de conhecimento. Dessa
forma, essa dependência sempre existirá e estará bastante relacionada ao
contexto educacional em que nos encontremos. (BORBA; PENTEADO,
2003, P. 13).
Van de Walle (2009, p.131) defende que é mais importante argumentar ou resolver
problemas do que o desempenho nas tediosas operações a mão que não envolve o pensar e,
assim deve-se ter em mente também que:
a calculadora não opera por si mesma e que os alunos precisam decidir o que
realizarão com o auxilio desse recurso e, assim, essa ferramenta não restringe
a autonomia dos alunos em decidirem quais os procedimentos que adotarão
para a resolução de determinado problema. (SELVA; BORBA, p.11, 2010)
Deste modo, também é equivocado o argumento de que os estudantes ficariam
dependentes das calculadoras e se tornariam preguiçosos na medida em que, dependendo do
planejamento do professor, a calculadora se torna um instrumento no qual os estudantes podem
interpretar dados, decidir a melhor maneira de resolver um problema e entender os resultados
que aparecem no visor por exemplo.
Para Van de Walle (2009) há também a concepção de que os estudantes “devem
aprender o ‘modo real’ antes de usar calculadoras”. Mas, tal autor argumenta que, lápis, papel,
regras e fórmulas para se calcular, que são considerados modos reais, contribuem pouco para a
compreensão. Outro fator determinante é que as calculadoras são rotineiras no dia-a-dia, assim
constituem um “modo real” e legítimo para se calcular.
Os computadores e as calculadoras perpassam as atividades cotidianas das pessoas.
Assim, “é importante não pensar em tecnologia como um fardo extra adicionado à lista de
coisas que você – professor – já realiza em sua sala de aula” (VAN DE WALLE, 2009, p.130).
Acreditamos que tais mídias devem estar a disposição de estudantes e professores quando forem
necessárias, por entendermos que há benefícios a serem observados, tais como: a possibilidade
de desenvolvimento de conceitos, trabalho com a exercitação, fortalecimento da resolução de
problemas e economia de tempo.

12. Em relação ao desenvolvimento de conceitos utilizando a calculadora, Van de Walle
(2009, p. 131), cita um exemplo: Peguemos 796/42 = 18,95348. A tarefa consiste em determinar
o resto inteiro dessa divisão. Assim acreditamos que, deste modo, o conceito de divisão está
sendo desenvolvido e tal tarefa constitui-se um problema que pode ser resolvido de diferentes
formas.
A resolução de problemas por sua vez constitui a base do ensino de Matemática
atualmente, pois “a maioria, senão todos, dos conceitos e procedimentos matemáticos podem ser
ensinados melhor através da resolução de problemas” (VAN DE WALLE, 2009, p. 57).
Todavia, existem alguns problemas que requerem cálculos que podem distrair a atenção do
sujeito do significado do problema em questão. Assim, a calculadora se insere como material de
apoio para a resolução do problema.
Há também a possibilidade que reside em exercitar/treinar por meio da calculadora. Por
exemplo, coloca-se 5 + 7 na calculadora. O exercício será apertar diversas vezes a tecla =
acrescentando, a cada vez que pressionada, sete unidades. O objetivo é o sujeito descobrir qual
será o resultado que aparecerá no visor antes de apertar a tecla de igualdade. Outra possibilidade
é descobrir as funções das memórias M+, M- E MRC e planejar atividades a partir dessas
funções.
Ciente de todas essas possibilidades, Van de Walle (2009, p. 132) acredita que “as
calculadoras devem estar nas escrivaninhas dos estudantes a toda hora desde a educação infantil
até o ensino médio”. Mas, surgem impedimentos. Entre eles: A viabilidade, da pluralidade de
estudantes e escolas brasileiras, de terem acesso a essa tecnologia e a formação dos professores
para trabalharem com calculadoras.
Deste modo, nosso OA, a PoliKalc, é um software que pode ser instalada nos
computadores. Assim, todos os custos referentes aos aparatos físicos que compõem uma
calculadora comum, na PoliKalc são inexistentes.
ORGANIZAÇÃO GERAL DA TECNOLOGIA
Decidimos, primeiramente, pela escolha do nome “PoliKalc”. O prefixo “Poli” refere-se
a pluralidade/multiplicidade de calculadoras que tal software contempla. A palavra “Kalc”, por
sua vez, faz alusão a palavra calculadora.
A PoliKalc foi implementada na linguagem de programação Java, uma plataforma que
não é livre, mas na qual o programador conhecia a linguagem. Tal linguagem permite ainda que
a PoliKalc possa ser executada em diferentes Sistemas Operacionais, como Windows e Linux.
As imagens presentes na PoliKalc foram feitas no software Inkscape. O Inkscape é um
software livre, cuja principal finalidade é lidar com imagens vetoriais, não deixando que as

13. imagens percam resolução ao sofrerem transformações de redimensionamento ou rotação e
possibilita a construção de objetos com contornos bem definidos. Para colorir as imagens
utilizamos o software livre GIMP (GNU Image Manipulation Program), porque sua
manipulação para colorir figuras se tornou mais simples quando comparada ao Inkscape. A
interface inicial da PoliKalc (Figura 2) foi pensada para permitir a fácil interação do sujeito com
o software.
Figura 2 Interface tela inicial
A partir da tela inicial, consegue-se acessar as quatro calculadoras que foram
implementadas (Kalc Exata, Kalc Quebrada, Kalc Aproximada e Kalc Mental), como pode-se
ver no esquema da macroestrutura da PoliKalc (Figura 3).
Figura 3 Macroestrutura da PoliKalc

14. Abaixo explicamos como está elaborada cada uma das calculadoras, exemplificando
algumas situações de ensino que podem ocorrer:
A Kalc Exata
Figura 4 Interface Kalc Exata
A Kalc Exata foi planejada para ser uma calculadora comum, das habitualmente
encontradas no dia-a-dia. Ela contém as teclas dos números de 0 a 9 e das quatro operações
básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão), além das teclas de memória (MRC, M+, M-
).
Na PoliKalc optamos por colocar as memórias aditiva (M+), subtrativa (M-) e a que
retoma a memória e limpa (MRC – Memory Recall and Clear). Alguns autores, entre eles Lopes
(1997), em suas pesquisas traz propostas de trabalho utilizando calculadoras e as teclas de
memória para a aprendizagem de determinados conteúdos matemáticos.
Para melhor compreender como se dará um possível trabalho utilizando as teclas de
memória tomemos o exemplo trazido por Lopes (1997).
Há uma Liquidação e os preços de alguns produtos são: lápis – R$ 0,30 cada; bloco de
papel – R$ 0,75 cada; calculadora – R$ 1,20 cada. Suponhamos que alguém necessite comprar
36 lápis, 15 blocos de papel e 18 calculadoras. Os cálculos necessários para encontrar o preço
total a se pagar seriam: 36 x 0,30 + 15 x 0,75 + 18 x 1,20.
Na resolução à mão, utilizando lápis e papel, Lopes (1997) expõe que há o costume de
se fazer quatro operações: 36 x 0,30 que dará o valor gasto com os lápis, 15 x 0,75 valor gasto
com os blocos de papel, 18 x 1,20 valor gasto com as calculadoras e por último a adição desses
três valores encontrados para chegar ao preço total a ser pago.

15. Utilizando a calculadora e as teclas de memória, tal operação se concentra em digitar a
seguinte sequência de teclas: 36 x 0,30 = M+ 15 X 0,75 = M+ 18 x 1,20 = M+ MRC. Abaixo é
representada no quadro, adaptada de Lopes (1997), as operações realizadas na/pela calculadora.
Quadro 1 Ações realizadas pela calculadora no decorrer da operacionalização
Tecla Visor Acumulado na
memória
O que a
calculadora está
fazendo
3
6
X
0
.
3
0
=
M+
1
5
X
0
.
7
5
=
M+
1
8
X
1
.
2
0
=
M+
MRC
3
36
36x
36x0
36x0.
36x0.3
36x0.30
10.8
0
1
15
15x
15x0
15x0.
15x0.7
15x0.75
11.25
0
1
18
18x
18x1
18x1.
18x1.2
18x1.20
21.6
0
43.65
0
0
0
0
0
0
0
0
10.8
10.8
10.8
10.8
10.8
10.8
10.8
10.8
10.8
22.05
22.05
22.05
22.05
22.05
22.05
22.05
22.05
22.05
43.65
43.65
Envia o valor
registrado no visor
para a memória
Soma o valor
11.25 registrado
no visor com 10.8
da memória
Soma 21.6
registrado no visor
com 22.05 da
memória e o MRC
exibe o valor
acumulado na
memória
O visor da PoliKalc comporta 12 posições para mostrar números e símbolos, enquanto
calculadoras comuns comportam 8 posições e científicas ou financeiras comportam de 10 a 12
posições.

16. A PoliKalc é uma calculadora que arredonda, ao contrário de algumas que truncam. Isso
significa que se tentarmos obter o resultado da fração 1/6, pensando nela como a divisão de dois
termos, encontraremos o resultado, de 12 posições, igual a 0.1666666667. Lopes (1997, p.3)
acredita que tarefas que explorem a calculadora, investigando-a, possibilitam:
[...] mergulhar os alunos (as) na introdução ou aprofundamento de conceitos
ou procedimentos tais como: frações, números decimais, representações
numéricas, ideias de operações, dízimas, aproximações, etc.
Assim, um planejamento voltado a conhecer as funcionalidades básicas da calculadora
pode ser significativo. Outro ponto presente na PoliKalc é o que chamamos de caixa de criação
de problemas, que tem por objetivo possibilitar aos professores e alunos um espaço em que
podem criar seus problemas para serem resolvidos utilizando uma das calculadoras,
compartilhar com os estudantes e os estudantes compartilharem com seus colegas os problemas
elaborados.
Incluímos também em cada calculadora um bloco de anotações (Figura 5). Esse bloco
foi pensado para que os estudantes registrem seus pensamentos e resoluções e para que o
professor tenha um feedback da atividade que está sendo aplicada.
Figura 5 Bloco de Anotações
O bloco de anotações foi feito exclusivamente para a PoliKalc. Quando o estudante
optar por salvar suas anotações, o software gerará um arquivo, no formato “.kalc”, que pode ser
armazenado em qualquer pasta do computador. Quando o estudante ou o professor quiser
retomar as anotações salvas terá que selecionar a opção “carregar anotações” e buscá-las na
pasta do computador que foram salvas e então, a PoliKalc abrirá o arquivo.
A Kalc Quebrada

17. Figura 6 Interface Kalc Quebrada
A Kalc Quebrada tem todas as funcionalidades presentes na Kalc Exata, com mais
alguns incrementos e modificações.
As cores de uma calculadora em relação a outra foram modificadas para que o software
tenha cada tela com uma aparência diferente. Incluímos dois botões, um em formato de martelo
e outro com formato de uma chave de boca. O primeiro botão tem a finalidade de quebrar as
teclas da calculadora. Quando essa ação acontece a tecla que foi quebrada modifica-se e aparece
trincada, inviabilizando sua utilização. Para que tal tecla possa ser novamente utilizada, usa-se o
botão em formato de chave de boca que consertará a tecla que foi quebrada.
O objetivo da Kalc Quebrada está ligado a compreensão do Sistema de Numeração
Decimal, das operações básicas e das relações existentes entre elas. Para entendermos o
funcionamento da Kalc Quebrada, trazemos um exemplo de atividade presente no trabalho de
Fanizzi (2005) utilizando a ideia de uma calculadora quebrada.
Suponhamos que se quebre a tecla 7 da Kalc Quebrada. Pensemos na operação 740 x 26
e em como essa operação poderá ser resolvida?
Fanizzi (2005) nos mostra relatos de alguns de seus estudantes quando perguntados
como resolveriam tal operação. Um deles resolve o que foi pedido da seguinte maneira:
740 = 640 + 100 → Cálculo mental
640 x 6 = 3840 → Calculadora
640 x 20 = 12800 → Calculadora
12800 + 3840 = 16640 → Calculadora
100 x 26 = 2600 → Cálculo Mental
16640 + 2600 = 19240 → Calculadora

18. Atentemo-nos a perceber que a calculadora é utilizada em determinados passos, em
outros é utilizado o cálculo mental, havendo assim, ligação entre os dois tipos de cálculo. Nesse
caso a calculadora foi utilizada como elemento auxiliar para os cálculos mais robustos.
Outro ponto a ser destacado é a utilização da decomposição dos números, em centenas,
dezenas e unidades. Observe que o estudante decompõe 740 em 640 + 100, assim não precisará
utilizar a tecla 7, que está quebrada, para a resolução da multiplicação. Fez o mesmo com o
número 26, decompondo-o em 20 dezenas e 6 unidades. Para a resolução, o estudante utilizou a
propriedade distributiva com os números decompostos e chegou ao resultado.
Carraher, Carraher e Schliemann (2006) ao se referirem ao cálculo mental convertido na
forma oral, identificaram dois procedimentos, que denominaram de heurísticas da decomposição
e do agrupamento repetido.
No fragmento acima, o estudante utiliza da heurística da decomposição que, entre suas
utilidades, possibilita mostrar “o conhecimento que a criança tem sobre o sistema de numeração
decimal” (CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 2006, p.59) e se caracteriza por ser
um processo de:
Resolução de problemas em que as crianças parecem buscar formas de
arredondar os números porque os números redondos não apenas são
relacionados ao conhecimento memorizado com maior facilidade [...], mas
também porque eles ajudam a evitar a sobrecarga que ocorreria no
processamento mental dos dados se a criança tivesse que operar
simultaneamente sobre centenas, dezenas e unidades (ibidem, p.59).
Outras atividades podem ser elaboradas a partir da Kalc Quebrada. Como por exemplo,
quebrar uma quantidade maior de teclas e pedir aos estudantes que tentem encontrar alguns
valores dados, utilizando apenas as teclas que restaram.
As heurísticas de decomposição e agrupamento repetidos serão retomadas e abordadas
na Kalc Mental. O Agrupamento repetido, por sua vez, é adequado para multiplicações e
divisões.

19. A Kalc Aproximada
Figura 7 Interface Kalc Aproximada
Em muitas situações do dia-a-dia não é necessário conhecer o resultado exato de
algumas operações aritméticas. Basta conhecer uma solução aproximada por meio de
estimativas.
A Kalc Aproximada permitirá ao professor elaborar atividades e aulas com foco no
desenvolvimento de estratégias com os cálculos aproximados.
A caixa de texto, que nas duas calculadoras anteriores se mantinha estática se torna na
Kalc Aproximada e posteriormente na Kalc Mental uma caixa de diálogo.
A partir do momento em que digita-se uma operação e aperta-se a tecla de igualdade,
aparecerá o arredondamento que a calculadora está programada para fazer (dependendo da
seleção de arredondamento feito pelo usuário). Por exemplo: Digita-se 23 x 19 na calculadora.
Pensemos que no problema em questão não é necessário encontrar a resposta exata, somente a
aproximada.
A Kalc Aproximada, por sua vez, está programada para fazer arredondamentos, entre
eles, um aonde os números 23 e 19 se transformam em 20 unidades, chegando ao resultado de
400.
No visor dessa calculadora, aparecerá o resultado aproximado, e na caixa de diálogo
aparecerá para quais números foram arredondados os números digitados inicialmente.
Nessa calculadora, o estudante deverá habilitar na Caixa de Aproximações (Figura 8) o
arredondamento que se deseja. Por exemplo, dada a operação aritmética 2345 + 234,45, o
estudante poderá, ao selecionar uma opção na caixa, decidir se esses dois números serão
arredondados em relação a unidade de milhar, a centena, a dezena, a unidade, aos décimos etc.
Deste modo, as soluções variam de acordo com as escolhas feitas.

20. Figura 8 Caixa de Aproximações
Enfatizamos que as estimativas e os cálculos aproximados são importantes instrumentos
para o cálculo mental. Além disso, segundo Coll e Teberosky (2000, p.114) existem
características que fazem com que o cálculo aproximado se diferencie do cálculo exato, entre
elas estão:
 É realizado, em geral, mentalmente e de forma rápida. Há a substituição dos
números por outros mais fáceis de calcular;
 O resultado obtido não tem de ser o exato, mas suficientemente próximo a ele;
 O resultado pode ser diferente dependendo da pessoa que realiza o cálculo
estimado.
Entendemos que quando o sujeito tem uma calculadora em mãos raramente irá fazer
contas aproximadas, mas a Kalc Aproximada, elaborada por nós, foi pensada para fins didáticos.
Assim, entendemos que a Kalc Aproximada, pode acarretar em desdobramentos que auxiliem o
entendimento do cálculo aproximado e das estimativas, bem como vislumbra aclarar a
importância desse tipo de cálculo no dia-a-dia.
A Kalc Mental

21. Figura 9 Interface Kalc Mental
Nosso objetivo com essa calculadora, que denominamos de Kalc Mental, é permitir que
existam trabalhos iniciais com o cálculo mental nas escolas. Temos em mente que as estratégias
de cálculo mental variam de pessoa para pessoa, para que elas possam criar suas próprias
estratégias entendemos que é importante que os aprendizes, principalmente nas séries iniciais,
tenham ciência da existência de diferentes formas para resolver as operações. Deste modo, a
Kalc Mental traz algumas das estratégias mais utilizadas e que foram encontradas nos trabalhos
de Carraher, Carraher e Schliemann (2006) e Parra (1996).
Quando o estudante digita uma operação na calculadora e aperta a tecla de igualdade
aparecerá o resultado no visor e, na caixa de diálogo, aparecerão sugestões de estratégias
mentais de resolução. O número de estratégias que aparecerão dependerá da operação utilizada.
Alguns desafios surgiram na programação de tal calculadora, por exemplo: Como
transformar estratégias de cálculo mental em algoritmos que possam ser reproduzidos por um
software?Como a Kalc Mental reconhecerá qual estratégia conveniente a ser mostrada na caixa
de diálogo? Quantas estratégias serão mostradas dentro da vasta variedade existente?
Desses desafios, concordamos que o número de estratégias seria limitado e que
deveríamos criar categorias nas quais diferentes estratégias estariam presentes. Assim,
percebemos que as estratégias de cálculo mental divergem dependendo da operação (adição,
subtração, multiplicação ou divisão).
Com isso, para a adição foram elencadas três estratégias de cálculo que a Kalc Mental
mostraria no quadro de diálogo: Decomposição e Agrupamento (em centenas, dezenas, unidades
e em seus múltiplos e submúltiplos), reagrupamento em torno de um dobro e reagrupamento em
torno de 10, 100, 1000 etc.
A primeira estratégia consiste em dois passos. Primeiramente a decomposição, que já
foi abordada por nós na Kalc Quebrada, que na Kalc Mental aparece com o objetivo de reduzir

22. Os números de tal forma que o problema passa a ter zeros em uma ou mais
das casas do sistema de numeração. Pode-se obter esse resultado pela
decomposição direta do número em dois componentes, um dos quais é um
número redondo (por exemplo, 252 transforma-se em 200 e 52)
(CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 2006, p.59).
Assim, por exemplo, tomemos uma operação: 252 + 39. A Kalc Mental irá fazer a
decomposição dos dois números (200 + 50 + 2) + (30 + 9). A calculadora foi programada para
que dê a maior quantidade de números redondos possível. Após serem decompostos em
centenas, dezenas, unidades e/ou em seus múltiplos e submúltiplos os números serão agrupados.
O agrupamento, pensado para a Kalc Mental, foi proposital em dois sentidos, em
primeiro lugar porque a programação se tornaria mais fácil e, em segundo lugar, porque é uma
estratégia de agrupamento comumente encontrada nas resoluções dos estudantes (PARRA,
1996; FONTES, 2010; CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 2006).
A Kalc Mental agrupa, no primeiro momento, dezenas com dezenas7, unidades com
unidades e assim por diante. No exemplo citado a calculadora agrupará 50 + 30 = 80, 9 + 2 = 11
e colocará na linha de baixo da caixa de diálogo o 200 que não somou com nenhuma outra
centena juntamente com os resultados parciais encontrados, 80 e 11.
Após essas operações, aparecerá na caixa 200 + 80 + 11, possibilitando, para o
estudante, a observação de que a adição, entendida como essas três parcelas, se torna, em certa
medida, mais simples do que somar diretamente 252 + 39.
Nas operações que envolvem adições, ainda aparecem na Kalc Mental outras duas
estratégias de cálculo mental: O reagrupamento em torno de um dobro e o reagrupamento em
torno de 10, 100, 1000 etc.
Parra (1996, p.215) acredita que, além da utilização de resultados memorizados, pode-se
resolver operações que envolvem somas por meio de operações mais simples de serem feitas:
“Por exemplo, dispor dos pares de parcela que resultam em 10, permite aos alunos tratar
diversos cálculos. Assim, para fazer 8 + 6 muitas crianças pensam em (8 + 2) + 4.”
O reagrupamento em torno de 1, 10, 100 etc, consiste em encontrar parcelas que
resultem em números da forma 10x, onde x pertence aos números inteiros. Por sua vez o
reagrupamento em torno do dobro consiste em: Dado uma soma, por exemplo 7 + 8, pensa-se
em (7 + 7) + 1. Assim, na Kalc Mental, quando a operação em questão consistir em adições,
aparecerão essas três possibilidades de estratégias de cálculo mental.
Para as operações que envolvam subtrações selecionamos três estratégias que foram
incluídas na Kalc Mental, são elas: decomposição e agrupamento em unidades, dezenas,
centenas etc, reagrupamento em torno de números redondos, arredondamento.
7 Quando nos referimos em adições de dezenas com dezenas, estamos pensando em quantidade de
unidades, como os números 50 e 30, que podem converter-se em quantidades de dezenas inteiras, no caso
5 e 3 dezenas respectivamente.

23. A primeira estratégia para a subtração consiste em: Dado dois números, um subtraído
do outro, por exemplo: 325 – 145 = 180. A calculadora mostrará na caixa de diálogo a seguinte
solução mental:
(300 + 20 + 5) – (100 + 40 + 5)
(300 – 100) + (20 – 40) + (5 – 5)
200 – 20 + 0
180
Para os mesmo valores, a segunda estratégia (reagrupamento em torno de números
redondos), consiste em diminuir do maior valor uma quantidade que faça com que o resultado
dessa subtração seja um número redondo. Assim, essa estratégia diminuirá 25 unidades das 325
iniciais e o resultado parcial consistirá do número redondo 300. Na caixa de diálogo aparecerá a
seguinte sequência de passos:
325 – 145
(325 – 25) – 120
300 – 120
180
O arredondamento, por sua vez, a terceira estratégia da subtração, consiste em
arredondar os números da operação para o número redondo (terminados em 0, ou no caso de
números pequenos para 1 unidade, 1 décimo e assim por diante) mais próximo, dependendo do
número que está se trabalhando. No nosso exemplo, na caixa de diálogo, apareceria o seguinte:
325 – 145
(330 – 5) – (150 – 5)
(330 – 150) – 5 + 5
180 + 0
180
Para números terminados com dígitos maiores ou iguais a cinco os números são
arredondados para o número redondo mais próximo e maior que o número em questão, para
números com dígitos terminados entre 1 e 4 arredonda-se para o número redondo anterior.
Para as operações de multiplicação e divisão foi implementado, na Kalc Mental, um
algoritmo que reconstruísse a ideia do agrupamento repetido. Carraher, Carraher e Schliemann
(2006, p.61) perceberam em seus trabalhos que o agrupamento repetido era uma estratégia
comumente utilizada por crianças que trabalhavam como vendedoras em Recife-PE e
complementam que, o agrupamento repetido é adequado para a multiplicação e divisão, pois “a
multiplicação é resolvida por adições sucessivas e a divisão, por subtrações sucessivas”.
Deste modo, se tivermos uma operação do tipo 3x30 = 90, a calculadora mostrará
adições sucessivas, assim teremos: 30 + 30 + 30 = 90. Em relação as divisões, se tivermos, por
exemplo, 90/30= 3 a Kalc Mental mostrará na caixa de diálogo a subtração sucessiva 90 – 30 –
30 – 30 = 0. Assim, o estudante poderá perceber que as 30 unidades “caberão dentro” do
número 90 três vezes.
Se os números envolvidos nas multiplicações ou divisões forem extensos, por exemplo:
100x500 ou 10.000/10. Teríamos adições e subtrações sucessivas em grandes quantidades,

24. sendo a representação pela calculadora ruim e uma estratégia, para os estudantes, trabalhosa.
Deste modo, a calculadora mostrará reticências quando o número de caracteres a serem
mostrados na caixa de diálogo ultrapassarem 30.
Algumas dessas estratégias, dependendo dos números em questão, podem tornar, para
alguns estudantes, o trabalho mais complexo. Acreditamos que esse aspecto pode transformar-se
em investigações significativas.
Enfim, queremos com a Kalc Mental que propostas iniciais de trabalho sejam criadas,
que tenham como parâmetro as estratégias básicas trazidas por nós, que a exploração da Kalc se
dê, que emirjam perguntas das crianças como: Será que minha estratégia, para uma dada
operação, é melhor que a da calculadora? Quais são as minhas estratégias de cálculo? Tenho
consciência delas? Para quais operações as estratégias da Kalc Mental não são aconselháveis?
Quais seriam melhores? Dentre outros. Assim, corroboramos com os pensamentos de Parra
(1996, p.215) que:
não se trata, sem dúvida, de “ensinar” estas diferentes alternativas, nem de
que cada aluno deva “conhecer” cada uma delas. Trata-se de que cada aluno
encontre suas maneiras preferidas.
ESTRATÉGIAS DE ENSINO EMPREGADAS PARA O USO DA POLIKALC
Acreditamos que o uso do software PoliKalc deve-se respaldar na Perspectiva de
Resolução de Problemas (estratégia de ensino) e no Construcionismo.
POSSIBILIDADES DE TRABALHOS INTERDISCIPLINARES
Percebemos que pode-se existir trabalhos Multidisciplinares e Interdisciplinares entre as
disciplinas de Matemática e Língua Portuguesa.
INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO QUE PODERÃO SER UTILIZADOS
Incluímos uma caixa de anotações no software para que o estudante possa fazer suas
anotações das atividades planejadas pelo professor. Acreditamos que essa caixa de
anotações possa servir como instrumento de avaliação para o professor dependendo de
seu objetivo com a atividade/prova/teste formulado.
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