1. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫אנליטית‬ ‫גיאומטריה‬
(807 ‫שאלון‬ ‫־‬ ‫תשע"ג‬ ‫חורף‬ ‫מבגרות‬ ‫)שאלה‬
‫הם‬ ‫וקדקודיה‬ ‫האליפסה‬ ‫מוקדי‬ ‫הם‬ F2 ‫ו־‬ F1 .a > b ,x2
a2 + y2
b2 = 1 ‫האליפסה‬ ‫נתונה‬
‫ושניים‬ ‫האליפסה‬ ‫מרכז‬ ‫דרך‬ .AF2 ‫הקטע‬ ‫אמצע‬ ‫הוא‬ F1 ‫המוקד‬ ‫כי‬ ‫נתון‬ .B1, B, A1, A
.
√
17 ‫הוא‬ ‫המעגל‬ ‫קוטר‬ ‫כי‬ ‫נתון‬ .‫מעגל‬ ‫העביר‬ ‫מקדקודיה‬
.‫האליפסה‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
‫של‬ ‫המרכזים‬ .‫מקדקודיה‬ ‫ושניים‬ ‫האליפסה‬ ‫מרכז‬ ‫דרך‬ ‫אחרים‬ ‫מעגלים‬ ‫שלושה‬ ‫עוד‬ ‫העביר‬ .‫ב‬
.‫מרובע‬ ‫של‬ ‫קדקודים‬ ‫הם‬ ‫המעגלים‬ ‫ארבעת‬
‫את‬ ‫מצא‬ .S(0, 3, 4) ‫הוא‬ ‫שקדקודה‬ ‫פירמידה‬ ‫של‬ ‫בסיס‬ ‫הוא‬ ,[xy] ‫במישור‬ ‫נמצא‬ ‫המרובע‬
.‫הפירמידה‬ ‫נפח‬
x
y
A
B
1

2. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫אנליטית‬ ‫גיאומטריה‬
‫מעגל‬ ‫נתון‬ .(‫הצירים‬ ‫בראשית‬ ‫שמרכזה‬ ‫)אליפסה‬ ‫קנונית‬ ‫אליפסה‬ ‫הינה‬ ‫הנתונה‬ ‫האליפסה‬ .‫א‬
‫את‬ ‫נבנה‬ .(0, b) ‫ו־‬ (a, 0) ‫הקודקודים‬ ‫ודרך‬ (O (0, 0) ‫)נקודה‬ ‫האליפסה‬ ‫במרכז‬ ‫העובר‬
:‫קרטזית‬ ‫צירים‬ ‫במערכת‬ ‫והמעגל‬ ‫האליפסה‬
x
y
A
B
M
:‫הם‬ ‫הצלעות‬ ‫של‬ ‫שהאורכים‬ ‫להגיד‬ ‫נוכל‬ BOA ‫זוית‬ ‫ישר‬ ‫משולש‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫אם‬
OA = a, OB = b
:‫פיתגורס‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬ ‫ולכן‬ ‫המעגל‬ ‫של‬ ‫הקוטר‬ ‫הוא‬ ‫זוית‬ ‫ישר‬ ‫במשולש‬ ‫היתר‬ ‫אורך‬
a2
+ b2
= 17 (1)
F1(c, 0) ‫הערכים‬ ‫את‬ ‫מקבלים‬ ‫האליפסה‬ ‫שמוקדי‬ ‫יודעים‬ ‫אנו‬ ,2AF1 = AF2 ‫נתון‬ ‫בשאלה‬
:‫הבאים‬ ‫המרחקים‬ ‫את‬ ‫נשווה‬ .F2(−c, 0) ‫ו־‬
2dAF1
= dAF2
:‫ונקבל‬
2 (a + c)2 = (a − c)2
2(a + c) = a − c
:‫ונקבל‬ c =
√
a2 − b2 ‫הקשר‬ ‫את‬ ‫נציב‬
2(a +
√
a2 − b2) = a −
√
a2 − b2
2a + 2
√
a2 − b2 = a −
√
a2 − b2
2

3. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫אנליטית‬ ‫גיאומטריה‬
a = −3
√
a2 − b2
a2
= 9a2
− 9b2
:‫השנייה‬ ‫המשוואה‬ ‫את‬ ‫מקבלים‬ ‫אנו‬
9
8 b2
= a2
:‫ונקבל‬ (1) ‫משוואה‬ ‫בתוך‬ ‫המשוואה‬ ‫את‬ ‫נציב‬
9
8 b2
+ b2
= 17
.x2
9 + y2
8 = 1 ‫האליפסה‬ ‫את‬ ‫ונקבל‬ ‫האליפסה‬ ‫במשוואת‬ ‫נציב‬ .a2
= 9 ‫ו־‬ b2
= 8 ‫ולכן‬
.‫הצירים‬ ‫ראשית‬ ‫ודרך‬ ‫האליפסה‬ ‫קודקודי‬ ‫דרך‬ ‫העוברים‬ ‫נוספים‬ ‫מעגלים‬ ‫שלושה‬ ‫העבירו‬ .‫ב‬
‫שמרכזו‬ ‫להגיד‬ ‫אפשר‬ ‫ולכן‬ (AB ‫קטע‬ ‫)אמצע‬ ‫הקוטר‬ ‫מרכז‬ ‫הוא‬ ‫הראשון‬ ‫המעגל‬ ‫של‬ ‫מרכזו‬
:‫הוא‬ ‫הראשון‬ ‫המעגל‬ ‫של‬
M(a+0
2 , 0+b
2 , 0) → M(a
2 , b
2 , 0) → M(1.5,
√
2, 0)
‫מרכז‬ ‫את‬ ‫)נמספר‬ ‫סימן‬ ‫כדי‬ ‫עד‬ ‫שונות‬ ‫בנקודות‬ ‫מרכזם‬ ‫אך‬ ,‫זהים‬ ‫המעגלים‬ ‫שכל‬ ‫לראות‬ ‫קל‬
:‫ז"א‬ ,(‫המעגלים‬
M2(−1.5,
√
2, 0)
M3(−1.5, −
√
2, 0)
M4(1.5, −
√
2, 0)
:‫הבא‬ ‫המרובע‬ ‫את‬ ‫בנינו‬
M
M3 M4
M2
‫כיוון‬ ‫וקטור‬ .‫המרובע‬ ‫מישור‬ ‫את‬ ‫הפורשים‬ ‫כיוון‬ ‫וקטורי‬ ‫שני‬ ‫נבנה‬
.v =
−−−−→
M3M4 = (−3, 0, 0) ‫כיוון‬ ‫ווקטור‬ u =
−−−−→
M3M2 = (0, −2
√
2, 0)
:‫הכיוון‬ ‫וקטורי‬ ‫גודל‬ ‫את‬ ‫נמצא‬ .‫המרובע‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫נקבל‬ ‫הוקטורים‬ ‫גודל‬ ‫את‬ ‫נכפול‬ ‫אם‬
|v| = (−3)2 + 02 + 02 = 3
3

4. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫אנליטית‬ ‫גיאומטריה‬
|u| = 02 + (−2
√
2)2 + 02 = 2
√
2
:‫הוא‬ ‫המרובע‬ ‫של‬ ‫שטחו‬ ‫ולכן‬
SMM2M3M4
= 3 · 2
√
2 = 6
√
2 (2)
:‫למישור‬ ‫הנורמל‬ ‫וקטור‬ ‫את‬ ‫נחשב‬
A B C
0 −2
√
2 0
−3 0 0
=



A = (−2
√
2 · 0) − (0 · 0) = 0
B = −(0 · 0) + (0 · (−3))
C = (0 · 0) − ((−2
√
2) · (−3)) = −6
√
2
:(‫החופשי‬ ‫האיבר‬ ‫)ללא‬ ‫המישור‬ ‫משוואת‬ ‫ולכן‬
0x + 0y − 6
√
2z + D = 0
:‫ונקבל‬ D ‫של‬ ‫ערכו‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫נוכל‬ M2 ‫נקודה‬ ‫את‬ ‫נציב‬ ‫אם‬
0 · (−1.5) + 0 ·
√
2 − 6
√
2 · 0 + D = 0 → D = 0
:‫המישור‬ ‫משוואת‬ ‫ולכן‬
−6
√
2z = 0 (3)
:‫הפירמידה‬ ‫למישור‬ ‫הפירמידה‬ ‫מקודקוד‬ ‫מרחק‬ ‫ע"י‬ ‫הפירמידה‬ ‫גובה‬ ‫את‬ ‫נמצא‬ :‫למישור‬ ‫מקודקוד‬ ‫מרחק‬
|Ax1+By1+Cz1+D|
√
A2+B2+C2
d =
|(0, 0, −6
√
2) · (0, 3, 4) + 0|
02 + 02 + (−6
√
2)2
= 4 (4)
.VSM1M2M3M4 = 1
3 · 4 · 6
√
2 = 8
√
2 ‫הוא‬ ((4)‫ו־‬ (2) ‫)לפי‬ ‫הפירמידה‬ ‫נפח‬ ‫ולכן‬
4