1. 1
ครูเสวตร
บทที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
คำว่ำ “ ตรีโกณมิติ ” ตรงกับภำษำอังกฤษว่ำ “ Trigonometry ” หมำยถึง การวัดรูปสามเหลี่ยม ได้มีกำรนำควำมรู้วิชำ
ตรีโกณมิติไปใช้ในกำรหาระยะทาง พื้นที่ มุม และ ทิศทางที่ยำกแก่กำรวัดโดยตรง เช่น
กำรหำควำมสูงของภูเขำ กำรหำควำมกว้ำงของแม่น้ำ
ทบทวนเนื้อหาที่เกี่ยวข้อง
กำหนดรูปสำมเหลี่ยม ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉำก ดังรูป
c
b
a
C
B
A
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดรูปสำมเหลี่ยมมุมฉำกดังต่อไปนี้
x
1)
5
4
B
C
A
12
2)
13
y
B
C
A
จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส จะได้ว่า
2 2 2
a b c
จงหาค่า x
จงหาค่า y
2. 2
ครูเสวตร
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
พิจำรณำสำมเหลี่ยมมุมฉำก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉำก ดังรูป
c
b
a
C
B
A
ไซน์ของมุม A คือ
มมุมฉาก
ด้านตรงข้า
ความยาวของ
A
มมุม
ด้านตรงข้า
ความยาวของ
เขียนแทนด้วย sin A
โคไซน์ของมุม A คือ
มมุมฉาก
ด้านตรงข้า
ความยาวของ
A
มุม
ด้านประชิด
ความยาวของ
เขียนแทนด้วย cosA
แทนเจนต์ของมุม A คือ
A
มุม
ด้านประชิด
ความยาวของ
A
มมุม
ด้านตรงข้า
ความยาวของ
เขียนแทนด้วย tan A
นอกจำกนี้ยังมีอัตรำส่วนตรีโกณมิติที่เป็นส่วนกลับของ sin A , cosA , tanA ดังนี้
- 1
cosecA
sin A
เมื่อ sinA 0
- 1
secA
cosA
เมื่อ cosA 0
- 1
cot A
tan A
เมื่อ tanA 0
หมายเหตุ โดยปกตินิยมเขียน
sin แทน ไซน์ เช่น ไซน์ของมุม o
30 เขียนแทนด้วย o
30
sin
cos แทน โคไซน์ เช่น โคไซน์ของมุม o
60 เขียนแทนด้วย o
60
cos
tan แทน แทนเจนต์ เช่น แทนเจนต์ของมุม o
45 เขียนแทนด้วย o
45
tan
ดังนั้นจะได้ว่ำ
c
a
A
sin ,
c
b
A
cos และ
b
a
A
tan
AB เป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย
BC เป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม A ยาว a หน่วย
AC เป็นด้านประชิดมุม A ยาว b หน่วย
3. 3
ครูเสวตร
ตำรำงแสดงค่ำของ ine
cos
,
e
sin และ gent
tan ของมุม o
o
45
,
30 และ o
60
o
30 o
45 o
60
sin
2
1
2
2
2
3
cos
2
3
2
2
2
1
tan
3
1
1 3
ตัวอย่างที่ 2 จงหำค่ำของ A
cos
,
A
sin , tanA ,cosecA,secA และ cot A จำกรูปต่อไปนี้
x
8
15
B
C
A
ตัวอย่างที่ 3 จงหำค่ำของ a จำกรูปสำมเหลี่ยมมุมฉำกที่กำหนดให้ในข้อต่อไปนี้
30o
1)
a
4
B
C
A
60o
2)
a
2 3
B
C
A
4. 4
ครูเสวตร
ตัวอย่างที่ 4 จงหำค่ำของแต่ละข้อต่อไปนี้
1. sin45 cos30 cos45 sin30
o o o o
2.
3sin30 4sec60 2tan 45
o o o
3.
2 o 2 o 2 o 2 o
o o
tan 60 sin 30 cot 60 cos 60
3sin 45 cos45
ตัวอย่างที่ 5 ถ้ำ 2 5
sec
3
แล้วค่ำของ 2 2 2 2
cos ( )tan ( ) sin ( )tan ( )
คือข้อใดต่อไปนี้
ก.
ข.
ค.
ง.
ตัวอย่างที่ 6 ให้ ABC เป็นสำมเหลี่ยมมุมฉำก โดยมีมุม ABC เป็นมุมฉำก และมุม CAB กำง องศำ
ถ้ำผลบวกของควำมยำวด้ำน AB กับ AC เท่ำกับ หน่วย แล้ว CB จะยำวเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. )
(
หน่วย
ข. หน่วย
ค.
หน่วย
ง.
หน่วย
5. 5
ครูเสวตร
ตัวอย่างที่ 7 กำหนดให้ 5
sec
3
แล้ว sin c s
tan c s
o
o ec
มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก.
.
ข.
ค.
ง.
.
ตัวอย่างที่ 8 ค่ำของ
2 2 3
4 1
3tan 30 cos 30 sec 60
3 8
o o o
คือข้อใดต่อไปนี้
ก.
ข.
ค.
ง.
ตัวอย่างที่ 9 ถ้ำ 4
cos
5
แล้วค่ำของ 2
5tan 4sec
คือข้อใดต่อไปนี้
ก. 4
ข. 8
ค. 10
ง. 20
ตัวอย่างที่ 10 เมื่อดวงอำทิตย์ทำมุม o
กับแนวระนำบแล้ว ตึกสูง 150 เมตร จะทอดเงำยำวเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก.
ข.
ค.
ง.
6. 6
ครูเสวตร
ตัวอย่างที่ 11 ถ้ำรูปสำมเหลี่ยมหน้ำจั่วมีฐำนยำว
และสูง 1 เมตร แล้วมุมยอด จะเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. o
ข. o
60
ค. o
90
ง. o
120
ตัวอย่างที่ 12 กำหนดให้สำมเหลี่ยม ABC มีด้ำน BC ยำว 18 นิ้ว มุม 30o
B และมุม 60o
C แล้วด้ำน AC ยำว
เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 10 นิ้ว
ข. 9 นิ้ว
ค. 8 นิ้ว
ง. 7 นิ้ว
ตัวอย่างที่ 13 จำกจุด A วัดมุมเงยของยอดเขำได้ 45o
เมื่อเขำเดินเข้ำหำยอดเขำตำมแนวรำบ 1,818 เมตร วัดมุมเงยได้
60o
ภูเขำนี้เท่ำใด
8. 8
ครูเสวตร
6) ถ้ำ 3
tan
4
A แล้ว sin cos
A A
มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 0
ข. 1
ค. 2
1
5
ง. 1
2
5
7) ถ้ำ 4
sin
5
A แล้ว ค่ำของ sin cos tan
A A A
เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 1
1
15
ข. 1
2
5
ค. 11
2
15
ง. 14
3
15
8) กำหนดให้ 0 90
o o
A
และ 5
sin
13
A แล้ว tan cos
A A
มีค่ำเท่ำใด
ก. 5
13
ข. 6
13
ค. 7
13
ง. 8
13
9) กำหนดให้ 0 90
o o
A
และ 4tan 3
A ค่ำของ sin A และ cos A มีค่ำเท่ำใด
ก. 3 4
,
5 5
ข. 3 4
,
4 5
ค. 4 3
,
5 5
ง. 3 3
,
5 4
10) สำมเหลี่ยม ABC มี C เป็นมุมฉำก และ 5cos 3
A แล้ว tan cot
A B
มีค่ำเท่ำใด
ก. 1
2
3
ข. 2
2
3
ค. 1
3
3
ง. 2
3
3
9. 9
ครูเสวตร
11) ค่ำของ sin A และ cos A จะเท่ำกันเมื่อมุม A กำงกี่องศำ
ก. 30o
ข. 45o
ค. 60o
ง. 90o
12) tan30
sec30
o
o
มีค่ำเท่ำกับ cos กี่องศำ
ก. 30o
ข. 45o
ค. 60o
ง. 90o
13) 2 2 2
sin 45 tan 30 cos 60
o o o
มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด
ก. 1
ข. 1
1
12
ค. 2
ง. 1
2
2
14) 2 2
3sec 45 2cos 30
o o
มีค่ำเท่ำใด
ก. 6
ข. 1
6
2
ค. 7
ง. 1
7
2
15) ถ้ำ 1
tan30 cos30
o o
x
แล้ว x มีค่ำเท่ำใด
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4
16) sin30
tan 45
cos45
o
o
o
มีค่ำเท่ำใด
ก. 2 1
2
ข. 1 2
2
ค. 1 2
ง. 1
2
10. 10
ครูเสวตร
17) sin45 cos45 sin30 cos30
o o o o
มีค่ำเท่ำใด
ก. 2 3
3
ข. 2 3
4
ค. 1 2
3
ง. 1 2
2
18) 2 2 2
sin 45 tan 30 cos 60
o o o
มีค่ำเท่ำใด
ก. 1
ข. 1
1
12
ค. 2
ง. 1
2
2
19) 2 2
3sec 45 2cos 30
o o
มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด
ก. 6
ข. 1
6
2
ค. 7
ง. 1
7
2
20) ถ้ำ cos30 tan30 1
o o
x แล้ว x มีค่ำเท่ำใด
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4
21) sin 45
tan30
cos30
o
o
o
มีค่ำเท่ำใด
ก. 1.4
ข. 1.5
ค. 1.6
ง. 1.7
22) sin45 cos30 cos45 sin30
o o o o
มีค่ำเท่ำใด
ก. 0.25
ข. 1.25
ค. 2
ง. 2.25
11. 11
ครูเสวตร
23) สำมเหลี่ยมมุมฉำกซึ่งมีมุม B เป็นมุมฉำก ถ้ำ tan 1
A แล้ว cos A มีค่ำเท่ำใด
ก. 0
ข. 1
ค. 2
ง. 2
2
24) ถ้ำ 3
tan
7
A แล้ว 2 2
2cos sin cos
1 sin sin cos
A A A
A A A
มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด
ก. 3
7
ข. 4
7
ค. 7
3
ง. 7
4
25) ถ้ำ 2 2
sin cos 1
A A
แล้ว
2 2
sin ( 60 ) cos 60
o o
A A
มีค่ำเท่ำใด
ก. 0
ข. 1
ค. 1
2
ง. 1
2
26) ถ้ำ 2
tan
3
A แล้ว cos (sec cos )
sin ( sec sin )
A A A
A co A A
มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด
ก. 1
3
ข. 3
ค. 2
3
ง. 4
9
27) เด็กคนหนึ่งยืนอยู่บนท่ำเรือซึ่งอยู่สูงกว่ำระดับน้ำทะเล 120 ฟุต มองเห็นเรือเป็นมุมก้ม 30 องศำ เรือจะอยู่ห่ำงจำก
ท่ำเรือเท่ำใด
ก. 200 ฟุต
ข. 207.8 ฟุต
ค. 212.5 ฟุต
ง. 220 ฟุต
