Computación gráfica, una visión matemática del arte

GRUPO LINUX UNIVERSIDAD DISTRITAL

COMPUTACIÓN GRÁFICA, UNA
VISIÓN MATEMÁTICA DEL ARTE

POR:
David Toro Triana
bochica@gmail.com
OCG

“El conocimiento te hace libre”

Introducción
Sería injusto y hasta limitante dar una visión matemática
del arte, o a la inversa, una visión artística de la
matemática, tal es vez imposible.

Buscaremos entonces un paso que nos lleve desde el arte
a la matemática y otro que nos lleve desde la matemática
hacia el arte.

Esto es un sano ejercicio intelectual o incluso espiritual.
Coloquemos entonces nuestra mente en un estado creativo.


Agenda
●
UNA BREVE HISTORIA PARA COMENZAR : Un
universo que se piensa, es creativo y es lógico
●
DESDE EL ARTE HACIA LA MATEMÁTICA: La obra del
el señor M.C. Escher.
●
DESDE LA MATEMATICA AL ARTE: Los fractales, el
viaje psicodélico sin drogas
●
SECCIÓN COMPUTACIONAL: El placer de jugar con los
bits.


Una breve historia
En una galaxia como muchas


Una breve historia
En una de tantas esquinas de esa galaxia


Una breve historia
Nuestra estrella mas cercana comienza a brillar


Una breve historia
En un proceso similar al que la creo, nacen mundos, que
giran alrededor de ella, así como ella gira alrededor de su
galaxia


Una breve historia
En uno de esos mundos la materia se organiza en
estructuras que son capaces de copiarse a si mismas


Una breve historia
Estas estructuras son el comienzo para la aparición de una
cantidad enorme de organismos


Una breve historia
En estos organismos aparecen muchos niveles de algo que
hoy reconocemos como inteligencia


Una breve historia
En algunos de esos seres inteligentes reconocemos algo que
llamamos creatividad


Una breve historia
También reconocemos algo que llamamos lógica


Una breve historia
Sin animo de ser excluyentes, asociemos la lógica a la
matemática y la creatividad al arte.


Desde el arte hacia la matemática
¿QUIEN ES M.C. ESCHER?

Maurits Cornelis Escher,
nacio en Leeuwarden,
Holanda en 1898. Muere en
Baarn en 1972.

Artista inclasificable, su
obra es poco convencional
en el arte.



A menudo me encuentro más
cerca de los matemáticos que de
mis colegas los artistas.

Todos mis trabajos son juegos.
Juegos serios.



ALGUNOS TEMAS RECURRENTES EN LA OBRA DE
ESCHER
●
El dibujo es un engaño
●
El estudio de la perspectiva
●
Mundos simultáneos, mundos
imposibles.
●
Cristales y otras construcciones
●
El infinito


EL DIBUJO ES UN ENGAÑO Manos dibujando 1948


EL DIBUJO ES UN ENGAÑO Reptiles


EL DIBUJO ES UN ENGAÑO Encuentro 1944


EL DIBUJO ES UN ENGAÑO Galería de grabados
1956


EL DIBUJO
ES UN ENGAÑO

Balcón


EL ESTUDIO DE LA PERSPECTIVA relatividad 1953


Partición cúbica
del espacio 1952

EL ESTUDIO
DE LA
PERSPECTIVA


Profundidad
1955

EL ESTUDIO
DE LA
PERSPECTIVA


Arriba y abajo

EL ESTUDIO
DE LA
PERSPECTIVA


EL ESTUDIO DE LA PERSPECTIVA
San Pedro Roma 1935


MUNDOS
SIMULTÁNEOS

Naturaleza muerta
con espejo 1934


MUNDOS
SIMULTÁNEOS

Naturaleza muerta
con calle 1937


MUNDOS SIMULTÁNEOS
Gota de rocío 1948


MUNDOS SIMULTÁNEOS
Ondulaciones en agua 1950


MUNDOS
SIMULTÁNEOS

Tres mundos 1955


MUNDOS
SIMULTÁNEOS

Mano con esfera
reflejante


MUNDOS IMPOSIBLES Cóncavo y convexo 1955


MUNDOS
IMPOSIBLES

Belvedere 1958


MUNDOS
IMPOSIBLES

Cascada 1958


MUNDOS
IMPOSIBLES

Escaleras arriba
escaleras abajo


CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES

Planetoide
tetraédrico 1954


CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES

Cinta de Moebio


CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES

Cinta de
Moebio 1963

Hay un
salvapantallas con
este tema


CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES

Partición regular
de la superficie,
traslación,
rotación y reflexión

Ángeles y diablos
1941


CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES

Partición regular
de la superficie,
traslación,
rotación y reflexión


CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES

Partición regular
de la superficie


CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES

Metamorfosis


CRISTALES Y
CONSTRUCCIONES Metamorfosis


EL INFINITO Evolución II 1959


EL INFINITO Limite circular III 1959


EL INFINITO Cielo e infierno


EL INFINITO

Remolino 1957


EL INFINITO

Mariposas


EL INFINITO

Serpientes 1969


Desde la matemática al arte
¿QUE ES UN FRACTAL?

Se suele dar una definición
matemática oscura para el
común de los mortales, es
conveniente mejor comenzar
con algunas de las
características de un fractal.


AUTOSIMILITUD

Si al ver una de sus partes
reconocemos la estructura en
su totalidad


NATURALEZA IRREGULAR

Aunque es una característica
mas bien intuitiva, es muy
común encontrarla; la palabra
fractal viene de “fractus” o
“frangere” que se refiere a algo
muy quebrado.


UNA NUEVA
DIMENSIONALIDAD

Una curva con longitud
infinita, y no diferenciable pero
continua:

LA CURVA DE KOCH


UNA NUEVA
DIMENSIÓNALIDAD
Perímetro:
a) 1 x 3 = 3
b) (1/3) x 12 = 4
c) (1/9) x 48 = 5.333
d) hasta el infinito y mas
allá = curva de Koch.
[tamaño de linea] x (1/3)
[numero lineas nuevas] x 4


UNA NUEVA DIMENSIÓNALIDAD

longitud = (Numero de unidades) x (unidad de medida)^1
área = (Numero de unidades) x (unidad de medida)^2
Se podría decir que:
Tamaño = N x u^D con D= dimensión


UNA NUEVA DIMENSIÓNALIDAD
Si se toma una D menor a la correspondiente,
la figura tiene un tamaño infinito (área de
longitud infinita)
Si se toma un D mayor a la correspondiente la
figura tiene un tamaño nulo (linea con área
nula)
La curva de Koch se comporta bien con una
dimensión D=1.2618=(log 4)/(log 3)
(numero de partes similares / factor de escala)


DEFINICIÓN

“Un fractal es una figura cuya dimensión
topológica es menor que su dimensión fractal.“

No es conveniente simplemente decir que
tienen dimensión fraccionaria.

La dimensión fractal también se conoció como
dimensión Hausdorff/Besicovich.


NATURALEZA FRACTAL DE LAS COSTAS
Con una unidad de medida(H) menor se obtienen longitudes cada vez mayores
(Richardson 1961)


En un figura euclideana estas relaciones se cumplen:

perímetro² = K x (área) > cuadrado: p² = 16 x área
área³ = K x (Volumen)² > cubo: a³ = 216 x v²

En una estructura fractal , el volumen no esta elevado al
cuadrado, o el área a la 1.


NATURALEZA FRACTAL DEL
CEREBRO DE LOS MAMIFEROS
La relación entre el volumen del cerebro y
el área de la superficie que
lo encierra:

área³ = K x (Volumen)^d

con d entre 2.73 y 2.79.


NATURALEZA FRACTAL DE LA
ESTRUCTURA NASAL DE ALGUNOS
ANIMALES

La relación entre el área y el volumen
encerrado no es euclideana.


NATURALEZA FRACTAL DE ALGUNOS
FENÓMENOS ECONÓMICOS

El comportamiento en el cambio de precio
de las algunas mercancías muestra
una naturaleza fractal.
Otros fenómenos: lingüística,
comportamiento de circuitos,
....... las levaduras del guarapo :)


IRREGULARIDAD REGULAR
El grado de irregularidad de un
fractal es el mismo a medida que se
cambia de escala.
El grado de irregularidad de una
costa es el mismo a medida que se
cambia la escala.
El modelo fractal es conveniente en
muchos casos.


UNA GOTA DE TINTA


CADENAS MONTAÑOSAS TEXTURAS


Sección computacional
EL TRIANGULO DE SIERPINSKY


Sección computacional
EL CONJUNTO DE MANDELBROT

Benoît Mandelbrot nació en 1924 en Varsovia, Polonia


Referencias
Los objetos fractales: forma azar y dimensión.
●

Mandelbrot, Benoit B.
La geometría fractal de la naturaleza. Mandelbrot,
●

Benoit B.
Caos, fractales y cosas raras. Braun, Eliecer.
●

El cerebro de broca: reflexiones sobre el
●

apasionante mundo de la ciencia. Sagan, Carl.
El espejo mágico de Maurits Cornelis Escher. Ernst,
●

Bruno.


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