polígrafo

1. C´ALCULO DE DERIVADAS
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Regras de deriva¸c˜ao
As regras servem para simplificar o trabalho no processo de deriva¸c˜ao de
uma fun¸c˜ao. Com as regras ´e poss´ıvel evitar, na maioria dos casos, o uso
da defini¸c˜ao formal, que muitas vezes envolve a determina¸c˜ao de um limite
trabalhoso e dif´ıcil de obter.
1.1 Derivada da fun¸c˜ao constante
Seja f(x) = k, k ∈ R.
f (x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
k − k
h
= lim
h→0
(0) = 0
d
dx
k = 0 para k ∈ R
1.2 Derivada da fun¸c˜ao potˆencia
Seja f(x) = xn
. Para deduzir uma regra para a derivada da fun¸c˜ao
potˆencia, vamos analisar esta fun¸c˜ao para os diversos valores que n pode
assumir.
1. f(x) = xn
e n ∈ Z+
.
1

2. Para este c´alculo ´e necess´ario conhecer a expans˜ao de (a + b)n
:
(a + b)n
=
n
0
an
b0
+
n
1
an−1
b1
+
n
2
an−2
b2
+ · · · +
+
n
1
a1
bn−1
+
n
0
a0
bn
com
n
k
=
n!
k!(n − k)!
=
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
k!
e
(x + h)n
= xn
+ nxn−1
h +
n(n − 1)
2!
xn−2
h2
+ · · · + nxhn−1
+ hn
Assim,
f (x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
(x + h)n
− xn
h
=
lim
h→0
xn
+ nxn−1
h + n(n−1)
2!
xn−2
h2
+ · · · + nxhn−1
+ hn
− xn
h
=
lim
h→0
nxn−1
h + n(n−1)
2!
xn−2
h2
+ · · · + nxhn−1
+ hn
h
=
lim
h→0
nxn−1
+
n(n − 1)
2!
xn−2
h + · · · + nxhn−2
+ hn−1
=
= nxn−1
+ 0 + · · · + 0 = nxn−1
Alguns resultados aplicando esta regra:
(a) d
dx
x = d
dx
x1
= 1 (b) d
dx
x2
= 2x1
= 2x (c) d
dx
x3
= 3x2
2. Para obter uma regra para n ∈ Z−
, vamos supor n = −1, f(x) = x−1
=
1/x, e generalizar. Ent˜ao,
f (x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
1
x+h
− 1
x
h
= lim
h→0
x − x − h
x(x + h)h
=
lim
h→0
−
1
x(x + h)
= −
1
x2
= −x−2
= −1.x−2
= nxn−1
2

3. 3. Para obter uma regra para n ∈ Q, vamos supor n = 1/2, f(x) = x1/2
=√
x, e generalizar.
f (x) = lim
h→0
√
x + h −
√
x
h
=
lim
h→0
√
x + h −
√
x
h
√
x + h +
√
x
√
x + h +
√
x
= lim
h→0
x + h − x
h(
√
x + h +
√
x)
=
lim
h→0
1
√
x + h +
√
x
=
1
2
√
x
=
1
2
x−1/2
= nxn−1
Podemos generalizar estes resultados para n ∈ R.
d
dx
xn
= nxn−1
para n ∈ R
1.3 Regra da multiplica¸c˜ao por constante
Seja g(x) = cf(x), c ∈ R. Ent˜ao,
g (x) = lim
h→0
g(x + h) − g(x)
h
= lim
h→0
cf(x + h) − cf(x)
h
=
lim
h→0
c
f(x + h) − f(x)
h
= c lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= cf (x)
d
dx
[cf(x)] = c
d
dx
f(x)
1.4 Regra da soma e diferen¸ca
d
dx
[f(x) ± g(x)] =
d
dx
f(x) ±
d
dx
g(x)
3

4. 1.5 Regra do produto
Seja h(x) = f(x)g(x). Ent˜ao, se f (x) e g (x) existirem,
h (x) = f(x)g (x) + g(x)f (x)
1.6 Regra da divis˜ao
Seja h(x) = f(x)
g(x)
, onde g(x) = 0. Ent˜ao, se f (x) e g (x) existirem,
h (x) =
g(x)f (x) − f(x)g (x)
[g(x)]2
2 Exemplos
A) Calcule a derivada de f(x) = 7x − 5.
f (x) = (7x − 5) = (7x) − (5) = 7(x) − 0 = 7
B) Seja f(x) = 1
x2 . Determine f .
f (x) =
d
dx
f(x) =
d
dx
1
x2
=
d
dx
(x−2
) = −2x−3
= −
2
x3
ou
f (x) =
1
x2
= (x−2
) = −2x−3
= −
2
x3
ou
f (x) = Dx
1
x2
= Dx(x−2
) = −2x−3
= −
2
x3
Observe que, embora pudessemos ter usado a regra da divis˜ao, optamos
por transformar a fra¸c˜ao em uma potˆencia, pois a regra da potˆencia ´e muito
mais f´acil de ser usada. Qualquer que seja a regra usada, o resultado ser´a o
mesmo.
C) Seja f(x) = 7x4
− 2x3
+ 8x + 5. Determine a derivada de f.
f (x) =
d
dx
(7x4
− 2x3
+ 8x + 5) =
d
dx
(7x4
) −
d
dx
(2x3
) +
d
dx
(8x) +
d
dx
(5) =
7
d
dx
(x4
) − 2
d
dx
(x3
) + 8
d
dx
(x) + 0 = 7.4x3
− 2.3x2
+ 8.1 = 28x3
− 6x2
+ 8
4

5. D) Determine a derivada de f(x) = x2
(1 − 2x3
).
f (x) =
d
dx
[x2
(1 − 2x3
)] = x2 d
dx
(1 − 2x3
) + (1 − 2x3
)
d
dx
(x2
) =
x2 d
dx
(1) −
d
dx
(2x3
) + (1 − 2x3
)2x = x2
0 − 2
d
dx
x3
+ 2x − 4x4
=
x2
(−2.3x2
) + 2x − 4x4
= −10x4
+ 2x
E) Seja f(x) = (x2
+ 1)(1 − x3
). Obtenha f .
f (x) =
d
dx
[(x2
+ 1)(1 − x3
)] = (x2
+ 1)
d
dx
(1 − x3
) + (1 − x3
)
d
dx
(x2
+ 1) =
(x2
+ 1)
d
dx
(1) −
d
dx
(x3
) + (1 − x3
)
d
dx
(x2
) +
d
dx
(1) =
(x2
+ 1)(0 − 2x2
) + (1 − x3
)(2x + 0) = −4x4
− 2x2
+ 2x
F) Seja f(x) = x
x2−1
. Determine f .
f (x) =
d
dx
x
x2 − 1
=
(x2
− 1) d
dx
(x) − x d
dx
(x2
− 1)
(x2 − 1)2
=
(x2
− 1).1 − x d
dx
(x2
) − d
dx
(1)
(x2 − 1)2
=
x2
− 1 − x(2x)
(x2 − 1)2
= −
x2
+ 1
(x2 − 1)2
G) Seja f(x) =
3
√
x2. Determine f e f .
f (x) =
d
dx
3
√
x2 =
d
dx
(x2/3
) =
2
3
x−1/3
=
2
3 3
√
x
f (x) =
d
dx
f (x) =
d
dx
2
3 3
√
x
=
d
dx
2
3
x−1/3
=
2
3
d
dx
(x−1/3
) =
2
3
−
1
3
x−4/3
= −
2
9
3
√
x4
5

6. H) Determine a derivada de f(x) = 1
1−
√
x
.
f (x) =
d
dx
1
1 −
√
x
=
(1 −
√
x) d
dx
(1) − 1. d
dx
(1 −
√
x)
(1 −
√
x)2
=
=
0 − ( d
dx
(1) − d
dx
√
x)
(1 −
√
x)2
=
−(0 − 1
2
√
x
)
(1 −
√
x)2
=
1
2
√
x(1 −
√
x)2
I) Obtenha a derivada da fun¸c˜ao g(x) = 3
x2 + 5
x4 .
g (x) =
d
dx
3
x2
+
5
x4
=
d
dx
3
x2
+
d
dx
5
x4
=
d
dx
(3x−2
) +
d
dx
(5x−4
) = −6x−3
+ (−20x−5
) = −
6
x3
−
20
x5
J) Obtenha a derivada da fun¸c˜ao f(s) = s2
2
+ 2
s2 .
f (s) =
d
ds
s2
2
+
2
s2
=
d
ds
s2
2
+
d
ds
(2s−2
) =
2s
2
+ 2.(−2)s−3
= s +
−4
s3
3 Derivada de fun¸c˜oes exponenciais
Seja a fun¸c˜ao exponencial f(x) = ax
. Ent˜ao,
f (x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
ax+h
− ax
h
= lim
h→0
ax
ah
− ax
h
=
lim
h→0
ax ah
− 1
h
= ax
lim
h→0
ah
− 1
h
=
Observe que
lim
h→0
ah
− 1
h
= f (0)
Logo,
f (x) = f (0)f(x)
Ent˜ao, a derivada de f(x) = ax
´e proporcional ao pr´oprio valor da fun¸c˜ao.
Sabemos que
lim
h→0
ah
− 1
h
= ln a
para a = 1, que ´e um dos limites fundamentais.
6

7. Logo,
d
dx
ax
= ax
ln a
Se tomarmos esta ´ultima express˜ao para a = e, teremos ln e = 1 e
d
dx
ex
= ex
EXEMPLOS
A) Seja f(x) = ex
−x. Obtenha f e f e compare os gr´aficos das derivadas
e da fun¸c˜ao.
f (x) = (ex
− x) = (ex
) − (x) = ex
− 1
f (x) = (ex
− 1) = (ex
) − (1) = ex
O gr´afico de f, f e f ´e apresentado na seguinte ilustra¸c˜ao.
7

8. Cor verde fun¸c˜ao f
Cor vermelha primeira derivada f
Cor azul segunda derivada fun¸c˜ao f
Observe que:
• f tem uma tangente horizontal em a = 0, onde f anula-se.
• Para x < 0, o valor de f ´e negativo e a fun¸c˜ao f ´e decrescente.
• Para x > 0, o valor de f ´e positivo e a fun¸c˜ao f ´e crescente.
• A segunda derivada f ´e positiva em todo o conjunto R, portanto a
primeira derivada f ´e sempre crescente em todo seu dom´ınio.
B) Seja f(x) = 3.2x
− 1. Determine f .
f (x) = (3.2x
− 1) = (3.2x
) − (1) = 3(2x
) − 0 = 3.2x
ln 2 = 2x
ln 23
= 2x
ln 8
4 Derivada de fun¸c˜oes logar´ıtmicas
d
dx
loga x =
1
x ln a
d
dx
ln x =
1
x
EXEMPLOS
A) Derive a fun¸c˜ao y = x log10 x.
y =
d
dx
(x log10 x) = x
d
dx
log10 x + (log10 x)
d
dx
(x) =
x
x ln 10
+ (log10 x).1 =
=
1
ln 10
+ log10 x
8

9. B) Calcule
d
dx
[ln(2x3
) + 5]
Ent˜ao,
d
dx
[ln(2x3
) + 5] =
d
dx
ln(2x3
) +
d
dx
(5) =
d
dx
[ln(2) + ln x3
] + 0 =
=
d
dx
ln(2) +
d
dx
ln x3
= 0 +
d
dx
(3 ln x) = 3
d
dx
ln x =
3
x
5 Derivada de fun¸c˜oes trigonom´etricas
Desejamos calcular a derivada da fun¸c˜ao f(x) = sin x.
Sabemos que
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
Sejam os seguintes limites fundamentais:
lim
x→0
sin x
x
= 1
e
lim
x→0
1 − cos x
x
= 0
Ent˜ao,
f (x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
sin(x + h) − sin x
h
=
lim
h→0
sin x cos h + cos x sin h − sin x
h
= lim
h→0
sin x(cos h − 1)
h
+ lim
h→0
cos x sin h
h
=
− sin x lim
h→0
1 − cos h
h
+ cos x lim
h→0
sin h
h
= − sin(x).0 + cos(x).1 = cos x
d
dx
sin x = cos x
N˜ao apresentaremos as dedu¸c˜oes das derivadas das demais fun¸c˜oes trigo-
nom´etricas.
9

10. d
dx
cos x = − sin x
d
dx
tan x =
1
(cos x)2
= (sec x)2
d
dx
cot x = −(csc x)2
d
dx
sec x = sec x. tan x
d
dx
csc x = − csc x. cot x
EXEMPLOS
A) Obtenha d
dx
[(x − sin x) cos x]
d
dx
[(x − sin x) cos x] = (x − sin x)
d
dx
cos x + cos x
d
dx
(x − sin x) =
(x − sin x)(− sin x) + cos x
d
dx
x −
d
dx
sin x =
−x sin x + (sin x)2
+ cos x(1 − cos x) = −x sin x + (sin x)2
+ cos x − (cos x)2
B) Seja f(x) = 1
1−sec x
. Determine f .
f (x) =
d
dx
1
1 − sec x
=
(1 − sec x) d
dx
(1) − 1. d
dx
(1 − sec x)
(1 − sec x)2
=
(1 − sec x).0 − d
dx
(1) − d
dx
sec x
(1 − sec x)2
=
0 − (0 − sec x tan x)
(1 − sec x)2
=
sec x tan x
(1 − sec x)2
10

11. C) Determine d
dx
(tan x sec x).
d
dx
(tan x sec x) = tan x
d
dx
sec x + sec x
d
dx
tan x =
tan x sec x tan x + sec x(sec x)2
= sec x(tan x)2
+ (sec x)3
6 Regra da cadeia
Suponha que vocˆe deseja derivar a fun¸c˜ao f(x) =
√
x2 + 1. Nenhuma
regra anteriormente mencionada resolve este problema. Esta fun¸c˜ao f ´e uma
fun¸c˜ao composta das fun¸c˜oes g(x) =
√
x e h(x) = x2
+ 1, f = g ◦ h. Temos
regra para derivar g e temos regra para derivar h, por´em n˜ao temos regra
para derivar f. Para isso precisamos da regra da cadeia.
DEFINIC¸ ˜AO DA REGRA DA CADEIA
Se g for diferenci´avel em x e f for diferenci´avel em g(x), ent˜ao a fun¸c˜ao
composta f ◦ g ser´a diferenci´avel em x e
(f ◦ g) (x) = f (g(x))g (x)
ou se y = f(u) e u = g(x)
dy
dx
=
dy
du
du
dx
APLICANDO A REGRA
Seja f(x) =
√
x2 + 1, encontre f .
1ª solu¸c˜ao
f(x) = (g ◦ h)(x) = g(h(x))
e
g (u) =
1
2
u−1/2
=
1
2
√
u
e
h (x) = 2x
11

12. Ent˜ao temos,
f (x) = g (h(x)).h (x) =
1
2
√
x2 + 1
.2x =
x
√
x2 + 1
2ª solu¸c˜ao
Tomamos y =
√
u e u = x2
+ 1. Ent˜ao,
f (x) =
dy
du
du
dx
=
1
2
√
u
.2x =
1
2
√
x2 + 1
.2x =
x
√
x2 + 1
Vamos refletir mais sobre a regra da cadeia. Devemos entender a estrutura
exata da regra:
d
dx



 f
fun¸c˜ao de fora
(g(x))
aplicada na de dentro



 = f
derivada da de fora
(g(x))
aplicada na de dentro
g (x)
derivada da de dentro
Seja y = sin x2
. Apliquemos a regra da cadeia para obter dy/dx.
d
dx
sin
fun¸c˜ao de fora
x2
aplicada na de dentro
= cos
derivada da de fora
x2
aplicada na de dentro
2x
derivada da de dentro
= 2x cos x2
Seja y = (sin x)2
. Aplicando a regra da cadeia para obter dy/dx:
d
dx
( sin x
fun¸c˜ao de dentro
)2
= 2
derivada da de fora
sin x
aplicada na de dentro
cos x
derivada da de dentro
= 2 sin x cos x
7 Exemplos
1. Determine a derivada de F(x) = (x2
+ 4x − 5)4
.
F (x) =
d
dx
(x2
+ 4x − 5)4
= 4(x2
+ 4x − 5)3 d
dx
(x2
+ 4x − 5) =
4(x2
+ 4x − 5)3
(2x + 4)
12

13. 2. Calcule d
dx
ln sin x.
d
dx
ln sin x =
1
sin x
d
dx
sin x =
1
sin x
cos x = cot x
3. Seja f(x) = cos(3x2
+ 1). Calcule a derivada de f.
f (x) = (cos(3x2
+ 1)) = − sin(3x2
+ 1).(3x2
+ 1) =
− sin(3x2
+1).((3x2
) +(1) ) = − sin(3x2
+1).(6x+0) = −6x sin(3x2
+1)
4. Seja f(x) = sin cos(2x). Obtenha f .
f (x) =
d
dx
sin cos(2x) = cos cos(2x)
d
dx
cos(2x) =
cos cos(2x)(− sin(2x))
d
dx
(2x) = −2 sin(2x) cos cos(2x)
5. Derive y = esin x
.
dy
dx
=
d
dx
esin x
= esin x d
dx
sin x = esin x
cos x
6. Seja g(t) = t−2
2t+1
9
Combinando a regra da potˆencia e do quociente:
g (t) = 9
t − 2
2t + 1
8
d
dt
t − 2
2t + 1
= 9
t − 2
2t + 1
8
(2t + 1).1 − (t − 2).2
(2t + 1)2
=
45(t − 2)8
(2t + 1)10
7. Seja f(x) = (sin
√
x)5
. Calcule f .
f (x) =
d
dx
(sin
√
x)5
= 5(sin
√
x)4 d
dx
sin
√
x =
5(sin
√
x)4
cos
√
x
d
dx
√
x = 5(sin
√
x)4
cos
√
x
1
2
√
x
=
5(sin
√
x)4
cos
√
x
2
√
x
13

14. 8. Derive a fun¸c˜ao f(x) = (tan x2
)2
.
f (x) = [(tan x2
)2
] = 2 tan x2
[tan x2
] = 2 tan x2
sec x2
[x2
] =
= 2 tan x2
sec x2
(2x) = 4x tan x2
sec x2
9. Determine Dx
1√
2x+1
.
Dx
1
√
2x + 1
= Dx(2x + 1)−1/2
= −
1
2
(2x + 1)−3/2
Dx(2x + 1) =
−
1
2
(2x + 1)−3/2
2 = −
1
(2x + 1)3
10. Calcule d
dx
sin(1 + e3x
).
d
dx
sin(1+e3x
) = cos(1+e3x
)
d
dx
(1+e3x
) = cos(1+e3x
)(0+e3x d
dx
(3x)) =
3e3x
cos(1 + e3x
)
11. Derive a fun¸c˜ao f(x) = xex2−1
3
.
f (x) =
d
dx
xex2−1
3
= 3 xex2−1
2 d
dx
xex2−1
=
3 xex2−1
2
x
d
dx
ex2−1
+ ex2−1 d
dx
x =
3 xex2−1
2
xex2−1 d
dx
(x2
− 1) + ex2−1
.1 =
3 xex2−1
2
xex2−1
(2x) + ex2−1
= 3 xex2−1
2
2x2
ex2−1
+ ex2−1
=
3x2
e3x2−3
(2x2
+ 1)
12. Calcule d
dx
ln sin cos x.
d
dx
ln sin cos x =
1
sin cos x
d
dx
sin cos x =
1
sin cos x
cos cos x
d
dx
cos x =
1
sin cos x
cos cos x(− sin x) = −
sin x cos cos x
sin cos x
14

15. 13. Seja a fun¸c˜ao f(x) = sec x
1+tan x
. Determine f e encontre os n´umeros em
que o gr´afico de f apresenta reta tangente horizontal.
f (x) =
(1 + tan x) d
dx
sec x − sec x d
dx
(1 + tan x)
(1 + tan x)2
=
(1 + tan x) sec x tan x − sec x(sec x)2
(1 + tan x)2
=
sec x (tan x + (tan x)2
− (sec x)2
)
(1 + tan x)2
=
sec x sin x
cos x
+ (sin x
cos x
)2
− ( 1
cos x
)2
(1 + tan x)2
=
sec x (sin x cos x + (sin x)2
− 1)
(cos x)2(1 + tan x)2
=
sec x (sin x cos x − (cos x)2
)
(cos x)2(1 + tan x)2
=
=
sec x (tan x − 1)
(1 + tan x)2
Para encontrar os n´umeros em que o gr´afico da fun¸c˜ao apresenta reta
tangente horizontal, precisamos determinar os n´umeros em que a deri-
vada anula-se. Ou seja, precisamos resolver a seguinte equa¸c˜ao:
sec x (tan x − 1) = 0
j´a que quem anula uma fra¸c˜ao ´e o numerador. Sabemos que a fun¸c˜ao
secante nunca anula-se. Assim, a equa¸c˜ao fica:
tan x − 1 = 0 ⇒ tan x = 1
e isso ocorre em
S = {x ∈ R|x = kπ + π/4, k ∈ Z}
que s˜ao os n´umeros em que sin x = cos x.
15

16. 8 Deriva¸c˜ao impl´ıcita
Seja a equa¸c˜ao da circunferˆencia y2
+ x2
= 25, com centro na origem e
raio r = 5, cujo gr´afico ´e apresentado a seguir.
Observe que este gr´afico n˜ao representa uma fun¸c˜ao, pois n˜ao satisfaz o
teste da reta vertical. Isso significa que n˜ao podemos representar explicita-
mente y como uma f(x). Basta ver que,
y = ±
√
25 − x2
No entanto, ainda podemos obter a derivada da equa¸c˜ao, usando de-
riva¸c˜ao impl´ıcita. Para isso, devemos derivar em ambos os lados da equa¸c˜ao
e isolar o dy/dx.
d
dx
(y2
+ x2
) =
d
dx
(25)
d
dx
y2
+
d
dx
x2
= 0
Observe que y2
´e a composi¸c˜ao de y com a fun¸c˜ao z = x2
, e a derivada de
y2
, portanto, deve fazer uso da regra da cadeia:
d
dx
y2
=
d
dy
y2 dy
dx
= 2y
dy
dx
Aplicando na dedu¸c˜ao,
2y
dy
dx
+ 2x = 0
16

17. Logo,
dy
dx
= −
x
y
Vejamos outro exemplo. Seja (x + y)2
− (x − y)2
= x4
+ y4
. Ache dy/dx.
d
dx
[(x + y)2
− (x − y)2
] =
d
dx
[x4
+ y4
]
2(x + y) 1 +
dy
dx
− 2(x − y) 1 −
dy
dx
= 4x3
+ 4y3 dy
dx
(4x − 4y3
)
dy
dx
= 4x3
− 4y
dy
dx
=
x3
− y
x − y3
9 Deriva¸c˜ao logar´ıtmica
Podemos muitas vezes simplificar o processo de diferencia¸c˜ao, calculando
a derivada do logaritmo da fun¸c˜ao.
Por exemplo,
y =
x3/4
√
x2 + 1
(3x + 2)5
ln y =
3
4
ln x +
1
2
ln(x2
+ 1) − 5 ln(3x + 2)
Derivando implicitamente:
1
y
dy
dx
=
3
4
1
x
+
1
2
2x
x2 + 1
− 5
3
3x + 2
Isolando dy/dx:
dy
dx
= y
3
4x
+
x
x2 + 1
−
15
3x + 2
dy
dx
=
x3/4
√
x2 + 1
(3x + 2)5
3
4x
+
x
x2 + 1
−
15
3x + 2
17