Um Estudo sobre Lógica Modal

Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Física e Matemática - IFM
Curso de Bacharelado em Informática
UM ESTUDO SOBRE LÓGICA MODAL
Fernanda Oviedo Bizarro
Pelotas - RS
1998

ESTA CAIXA DEVERÁ SER PREENCHIDA POR UM BIBLIOTECÁRIO

Fernanda Oviedo Bizarro
UM ESTUDO SOBRE LÓGICA MODAL
Monografia apresentada ao Curso de Bacharelado
em Informática do Instituto de Física e Matemática
da Universidade Federal de Pelotas, como requisito
parcial à obtenção do título de Bacharel em
Informática.
Área de Concentração ou ênfase: Sistemas de
Computação
Orientador: Carlos Antônio Pereira Campani
Universidade Federal de Pelotas
Pelotas, RS
1998

Monografia defendida e aprovada, em 16 de janeiro de 1998, pela banca
examinadora constituída pelos professores:
Prof. Carlos Antônio Pereira Campani - Orientador
Prof. Luiz Alberto Brettas
Profª Débora Schuch da Rosa

Dedico este trabalho carinhosamente à minha mãe e ao meu irmão

AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente à minha mãe, pela paciência e dedicação; ao meu
irmão pelo companheirismo sempre mostrado; ao meu pai, que com certeza está
torcendo por mim; ao meu orientador, pela oportunidade e atenção no desenvolvimento
desse trabalho; a todos os colegas e amigos, que de alguma forma sempre me
incentivaram.
ii

SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO......................................................................................... 01
1.1 Lógica Modal............................................................................................... 01
1.2 Uma Teoria de Conhecimento e Ação......................................................... 03
2 SEMÂNTICA DOS MUNDOS POSSÍVEIS DE KRIPKE.......... 05
3 SISTEMAS DA LÓGICA MODAL.................................................... 07
3.1 Sistema K..................................................................................................... 07
3.1.1 Diagrama.................................................................................................... 07
3.1.2 Apresentação Axiomática............................................................................ 08
3.2 Sistema T...................................................................................................... 09
3.2.1 Diagrama.................................................................................................... 09
3.3 Sistema K4.................................................................................................... 11
3.3.1 Diagrama..................................................................................................... 11
3.4 Sistema S4.................................................................................................... 12
3.4.1 Diagrama..................................................................................................... 13
3.5 Sistema S5.................................................................................................... 14
3.5.1 Diagrama..................................................................................................... 14
3.6 Sistema Deôntico (D) ................................................................................... 15
3.6.1 Diagrama..................................................................................................... 16
3.7 Resumo......................................................................................................... 17
4 A FÓRMULA DE BARCAN................................................................. 18
5 SISTEMA DE TABLEAU..................................................................... 20
5.1 Lógica Modal Proposicional........................................................................ 21
5.2 Sistema de Tableau com Unificação............................................................ 26
6 B-RESOLUTION DE KONOLIGE..................................................... 29
6.1 Lógica Modal Proposicional........................................................................ 29
6.2 Lógica Modal de Primeira Ordem............................................................... 33
7 RESOLUÇÃO UTILIZANDO WORLD-PATHS............................. 35
7.1 Lógica Modal................................................................................................ 35
7.2 P-Lógica........................................................................................................ 36
7.2.1 Sintaxe da P-Lógica..................................................................................... 36
7.3 Tradução da Sintaxe da Lógica Modal para Sintaxe da P-lógica............... 37
7.4 Forma Normal Conjuntiva.......................................................................... 41
7.5 World-Paths - Uma Sintaxe alternativa para W-termos.............................. 41
7.6 Unificação..................................................................................................... 42
8 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS....................................... 46
iii

8.1 Sistema K...................................................................................................... 46
8.2 Sistema T...................................................................................................... 56
8.3 Sistema D...................................................................................................... 60
8.4 Sistema K4.................................................................................................... 62
8.5 Sistema S5..................................................................................................... 65
9 CONCLUSÕES.......................................................................................... 70
10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................. 71
iv

LISTA DE FIGURAS
1 - Acessibilidade no Sistema K (a)....................................................................... 08
2 - Acessibilidade no Sistema K (b)....................................................................... 08
3 - Acessibilidade no Sistema T............................................................................. 10
4 - Acessibilidade no Sistema K4........................................................................... 11
5 - Acessibilidade no Sistema S4........................................................................... 13
6 - Acessibilidade no Sistema S5............................................................................ 14
7 - Acessibilidade no Sistema D............................................................................. 16
8 - Um exemplo de Modelo.................................................................................... 31
v

Resumo
Lógica modal é uma lógica não clássica que trabalha com os conceitos de
necessidade, possibilidade e mundos possíveis. Este estudo apresenta três métodos para
provas de teoremas: Sistema de tableau, B-Resolution de Konolige e Resolução
utilizando World-Paths, desenvolvendo exemplos e, em cima desses exemplos, fazendo
comparações entre os métodos. Nossa abordagem teve a finalidade de esclarecê tais
métodos e verificar a eficiência de cada um, visto que, em todo material pesquisado, os
métodos eram apresentados separadamente, por autores diferentes. Além disso, o
trabalho esclarece o conceito de sub-resolução proposto por Konolige, que é um método
de resolução por redução de operadores modais. Este estudo têm aplicação na área de
Inteligência Artificial, na construção de agentes inteligentes.
vi

1 INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como objetivo fazer um estudo sobre lógica modal,
apresentado métodos de provas de teoremas para esta lógica. Durante a fase de pesquisa
bibliográfica, encontramos livros e artigos que traziam métodos de prova, porém com
pouca clareza. Outro aspecto que nos chamou atenção foi o fato de que tais métodos
eram mostrados separadamente, em artigos separados e por autores diferentes. Essas
duas observações foram nossa maior dificuldade e principal motivação para que
desenvolvêssemos um material reunindo os métodos encontrados, exemplificando provas
de fórmulas para cada método e, principalmente, fazendo a comparação entre esses
métodos mediante exemplos. Tal enfoque marca o ineditismo de nosso trabalho e é nossa
principal contribuição.
Os métodos de provas de teoremas que iremos apresentar e comparar são:
 Sistema de tableau;
 B-Resolution de Konolige;
 Resolução utilizando World-Paths.
Cada método tem um capítulo dedicado à sua apresentação e à explicação de
seu algoritmo, tanto para a lógica proposicional, quanto para a lógica de predicados de
primeira ordem, em vários sistemas da lógica modal. Os mesmos exemplos são
desenvolvidos para todos os métodos, para que a comparação entre eles seja clara e
objetiva, facilitando o entendimento dos métodos ao leitor e uma possível escolha de
qual método adotar futuramente.
1.1 Lógica Modal
Lógica modal é uma lógica não clássica que se preocupa com argumentos
que envolvem os conceitos de necessidade e possibilidade. Lógicas não clássicas
[TUR84] são aquelas que extendem ou rivalizam a lógica clássica [CAS87].Uma verdade

necessária é a verdade que não poderia ser contrariada; uma verdade possível é aquela
que poderia ser. Adistinção é explicada através de referência à noção de mundo possível:
uma verdade necessária é verdade em todos os mundos possíveis, enquanto que uma
verdade possível é verdade no mundo real mas não em todos os mundos possíveis.
A distinção entre verdades necessárias e possíveis é metafísica e não deveria
ser confundida com a distinção entre verdades a priori e a posteriori. Uma verdade a
priori é aquela que pode ser conhecida independentemente da experiência, e uma
verdade a posteriori é aquela que não pode. Tais noções atraem considerações
epistemológicas. Não é possível em um texto como este dar conta de quaisquer desses
assuntos. A área inteira sofre com dificuldades filosóficas. Ao invés, nós nos
concentraremos nos aspectos formais do assunto e sua possível aplicação à ciência da
computação.
Nesta seção nós nos envolveremos com lógica modal e sua interpretação
semântica. A linguagem modal, LML, é obtida da linguagem do cálculo de predicado (L)
pela adição de dois operadores novos:  (pode ser lido como “é necessário que”) e 
(pode ser lido como “é possível que”). Mais precisamente, LML é obtido de L pela adição
da seguinte regra sintática: se P é uma fórmula bem formada de LML então P e  P
também são.
Diferente dos conetivos clássicos (     , , , e ) estes operadores não
possuem uma interpretação verdade-funcional. Ao invés, representam uma noção de
mundos possíveis.  A é verdade se A é verdade em algum mundo possível, e P é
verdade se A é verdade em todo mundo possível. Para fazer estes assuntos mais precisos
formalmente, nós precisamos introduzir a noção de uma estrutura modal [TUR84].
Definição 1.1. Um estrutura modal M é uma estrutura (W, D,  , F) onde:
(i) W é um conjunto não-vazio (de mundos possíveis);
(ii) D é um domínio não-vazio de indivíduos;
(iii)  é uma relação binária de acessibilidade em W;
(iv) F é uma função que atribui a cada par que consiste em um símbolo funcional (n-
ário, n 0) e um elemento w de W, uma função de D n
D, e para cada par que consiste
de um símbolo relacional (n-ário, n>0) e um elemento w de W, um elemento de 2Dn
.
A interpretação de LML em tal estrutura modal difere da interpretação do
cálculo de predicados, pois em tal estrutura o domínio W representa um papel crucial.
2

Porém, a interpretação ainda é determinada com relação a uma função de substituição g
que nomeia elementos de D para variáveis individuais. (Para conveniência nós
escreveremos w w ' para indicar que <w, w'> satisfaz a relação  ). Nós
empregaremos a notação
M |= w, g P
para indicar que g satisfaz à fórmula bem formada P, para o mundo w, na estrutura M,
onde o símbolo |= representa a relação de conseqüência lógica. Isto é definido
recursivamente como segue.
(1) M |= w, g C(t0,..., tn-1) se e somente se <Val(t0, w, g), ..., Val(tn-1, w, g)>  F(w, C)
onde Val
se e uma variavel
Val Val se , , )
( , , )
( )
( , )( ( ' , , ), , ( ' , , ) ( ' '
t w g
g t t
F w f t w g t w g t f t tm m




  0 1 0 1 
(2) M |= w, g t1 = t2 se e somente se Val (t1, w, g) = Val(t2, w, g)
(3) M |= w, g P Q se e somente se M |= w, g P e M | = w, g Q,
(4) M |= w, g P se e somente se M |= w, g P ,
onde |= representa que a fórmula não é válida,
(5) M |= w, g xP se e somente se para cada d em D, M |= w, g(d|x) P
onde g(d/x) representa a substituição uniforme de x por d,
(6) M |= w, g P se e somente se existe um w’  W tal que w w ' e M |= w', g P.
Além disso, nós definimos P = df P .
1.2 Uma Teoria de Conhecimento e Ação
Lógica modal foi utilizada por pequisadores de Inteligência Artificial - IA,
onde a interpretação de operadores modais é fornecida por tentativas para construir
teorias de crença e conhecimento [TUR84, CER84]. Essas teoria são fundamentais no
desenvolvimento de agentes inteligentes. Nós concluiremos este capítulo dando uma
explicação de tal aplicação.
Em sua tese e em um paper posterior, Moore desenvolveu uma lógica modal
de conhecimento e ação [TUR84, CER84, HAR79]. Moore adotou a noção de mundos
possíveis para a lógica de conhecimento introduzida por Hintikka (1962, 1971). A
3

semântica de Kripke para necessidade e possibilidade pode ser convertida em semântica
de Hintikka para conhecimento mudando a interpretação da relação de acessibilidade 
. Para analisar comandos da forma KNOW(p, P) Moore, seguindo Hintikka, apresenta
para uma relação K, tal que K(p, W1, W2) significa que o mundo possível W2 é compatível
ou consistente com o que o agente p sabe do mundo possível W1. Em outras palavras,
tudo o que p conhece de W1, ele pode conhecer da mesma maneira em W2. O predicado
KNOW(p, P) representa o que p conhece a respeito de P no mundo atual.
A teoria é declarada de fato em metalinguagem - uma linguagem de mais alta
ordem que não só permite quantificação em cima de mundos possíveis mas também é
rica o bastante em codificação para representar fórmulas bem formadas da linguagem
objeto como condições. Por exemplo, a fórmula da linguagem objeto
KNOW(JOHN, xP x( ) ) (1)
é representado na metalinguagem pelo termo de metalinguagem
KNOW(JOHN, EXIST ( , ( ))x P x ) (2)
onde JOHN e x são constantes da metalinguagem e KNOW, EXIST e P são funções da
metalinguagem. Desta maneira (2) é um termo do qual nós queremos afirmar sua
verdade. Isto é alcançado introduzindo um predicado TRUE(predicado DEMO da
metalinguagem) na fórmula:
TRUE(KNOW(JOHN, EXIST ( , ( ))x P x ).
A formalização da análise de conhecimento em mundos possíveis permite
serem feitas inferências sobre o conhecimento de um agente em uma construção de
primeira-ordem. Esta técnica de formalizar uma explicação semântica de alguma noção
intuitiva como teoria de primeira-ordem parece ser útil em IA mesmo quando tudo
parece bastante direto. Pelo menos Moore foi explicitamente guiado por considerações
semânticas.
4

2 SEMÂNTICA DOS MUNDOS POSSÍVEIS DE KRIPKE
Para apresentarmos um sistema semântico para a lógica modal, é necessário
construirmos uma estrutura capaz de conter as noções de mundos, mundos possíveis ou
acessíveis. Uma estrutura como esta, que pudesse prover o significado de diversos
sistemas de lógicas modais, foi proposta por Kripke [COS92].
Definição 2.1: Uma estrutura é definida como a terna ordenada:
W, , 
onde:
W é um conjunto não vazio dos referidos mundos possíveis;
 é uma relação binária entre mundos possíveis chamada relação de
acessibilidade e
 é uma função binária, chamada função de valoração, definida como:
 : ,W V F
onde  é o conjunto de todos os símbolos proposicionais.
Definição 2.2: Sejam  o conjunto de todas as fórmulas, P e Q  e
W , ,  , uma estrutura onde w é um mundo possível qualquer de W ( w W ).
Definimos a noção de satisfação ( ), sendo uma relação com assinatura
  W
e satisfazendo as seguintes condições:
( S ) w P se e somente se w P,
onde indica que a fórmula P não é válida;
( S  ) w P Q se e somente se w P e w Q;
( S  ) w P Q se e somente se w P ou w Q;
( S )w P Q se e somente se w P ou w Q;
( S ) w P se e somente se para todo w W' t.q. w w, '  , w’ P;
( S ) w P se e somente se existir w W' t.q. w w, '  , w’ P.
Seja M uma estrutura. Dizemos que M satisfaz P se existe algum mundo
w W tal que w P. Uma fórmula P é válida para M se para todo mundo w W , w
P.
5

3 SISTEMAS DA LÓGICA MODAL
Dependendo das características da relação de acessibilidade  , existem
diversos sistemas de lógica modal [COS92]. Essas características são: reflexividade,
simetria, transitividade e serialidade. Os sistemas podem ter acessibilidade com apenas
uma dessas características, alguma combinação delas ou nenhuma delas.
Os sistemas que apresentam a propriedade serial são chamados deônticos e
possuem a característica de que todo mundo existente possui pelo menos um mundo que
pode acessar. Este sistema está ligado à idéia de moralidade, na qual se acredita que
sempre existirá um mundo mais perfeito que o atual.
3.1 Sistema K
Os axiomas  P P  e ( )P Q  ( P  Q) são válidos em
quaisquer classes de estruturas (sistemas) modais, independentemente das características
da relação de acessibilidade entre os mundos.
A fórmula ( )P Q  ( P  Q) é conhecida como fórmula K e é válida
em todos os sistemas da lógica modal, sem restrições. Sistema K é o sistema da lógica
modal que tem como exigência mínima a validação da fórmula K.
3.1.1 Diagrama
Suponhamos que a fórmula ( P  ( ))P Q  Q seja válida em uma
estrutura W , ,  e que  P  ( )P Q seja satisfeita em um mundo possível
w W . Então, por S, a fórmula Q deve ser satisfeita em w, assim como  P e 
( )P Q , por S  , como ilustra a FIG. 1.
( P  ( ))P Q  Q
7

 P  ( )P Q
Q
 P w’
( )P Q
w w’’
FIGURA 1 - Acessibilidade no Sistema K (a)
Mas, pelo significado do operador , é preciso que P, P Q e Q sejam
satisfeitas em todos os mundos w’, acessíveis a partir de w, como ilustra a FIG. 2.
( P  ( ))P Q  Q P
 P  ( )P Q ( )P Q
Q Q
 P w’
( )P Q
P
( )P Q
Q
w w’’
FIGURA 2 - Acessibilidade no Sistema K (b)
Portanto, o diagrama apresentado justifica o axioma ( )P Q  ( P 
Q), característico do sistema K.
3.1.2 Apresentação Axiomática
O conjunto de axiomas e regras de inferência é o mesmo da Lógica
proposicional, acrescido da fórmula K e da regra de inferência de necessitação.
8

a) Axiomas:
 P Q P ( ) (Tautologias)
 ( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q     
 ( ) (( ) )      P Q P Q P
 ( )P Q  ( P  Q) (K)
b) Regras de Inferência
  P,  P Q (Modus Ponens)
 Q
 P (Necessitação)
P
onde P e Q são fórmulas modais proposicionais e  é um conjunto de fórmulas.
A regra da necessitação diz que se uma fórmula é um teorema então ela deve
ser um teorema em todos os mundos possíveis. Os teoremas da Lógica Modal devem ser
aceitos em todos os mundos possíveis.
3.2 Sistema T
Nesse sistema, a relação de acessibilidade  é reflexiva, ou seja, dada uma
estrutura W , ,  , para todo w W , w w,  . De acordo com essa condição, a
fórmula  P P é um axioma. Esta fórmula é característica desse sistema da lógica
modal e fornece exatamente a noção de reflexividade - um mundo ser acessível por ele
mesmo.
3.2.1 Diagrama
Seja a fórmula P válida em uma estrutura W , ,  e P seja satisfeita
em um mundo possível w W . Então, por S, a fórmula P deve ser satisfeita em todos
os mundos Ww ' acessíveis a partir de w. Como a relação de acessibilidade  é
reflexiva (w é acessível a partir dele mesmo), a fórmula P também deve ser satisfeita em
w, como mostra a FIG. 3.
9

P P
P
w’
P
w w’’
FIGURA 3 - Acessibilidade no Sistema T
Assim, verificamos que a fórmula  P P é um axioma para todos os
sistemas com relação de acessibilidade reflexiva.
Nesse sistema temos todos os axiomas e regras de inferência do sistema K,
mais o axioma T.
a) Axiomas:
 ( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q     
 ( ) (( ) )      P Q P Q P
 ( )P Q  ( P  Q) (K)
  P P (T)
 Q
10

P
3.3 Sistema K4
Nesse sistema, os modelos possuem relação de acessibilidade  transitiva,
ou seja, dada uma estrutura W , ,  , para todo w W , se w w, '  e
w w' , ' '  , então w w, ' '  . Sistemas da lógica modal com acessibilidade transitiva
são caracterizados pelo axioma  P  P.
3.3.1 Diagrama:
Seja a fórmula P válida em uma estrutura W, ,  e P seja satisfeita
os mundos acessíveis a partir de w. w1 é acessível diretamente, e os demais acessíveis
transitivamente. Dessa maneira, P também é satisfeito em todos os mundos acessíveis a
partir de w1, e também para os demais mundos, portanto P é satisfeito em todos os
mundos. Daí, P é satisfeito em w, como mostra a FIG. 4.
P P P P
P P P
P w1 w2 w3
w
FIGURA 4 - Acessibilidade no Sistema K4
11

Assim, verificamos que a fórmula  P P é um axioma para todos os
sistemas com relação de acessibilidade transitiva. Observa-se que a relação reflexiva
existente nos mundos w1, w2 e w3 é decorrente do fato que w'=w'' é possível.
Nesse sistema temos todas os axiomas e regras de inferência do sistema K,
mais o axioma K4.
a) Axiomas:
 ( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q     
 ( ) (( ) )      P Q P Q P
 ( )P Q  ( P  Q) (K)
  P P (K4)
 Q
P
3.4 Sistema S4
Nesse sistema, os modelos possuem relação de acessibilidade  reflexiva e
transitiva, ou seja, dada uma estrutura W, ,  , para todo w W , ww, e, se
w w, '  e w w' , ' '  , então w w, ' '  .
12

3.4.1 Diagrama:
O diagrama nesse sistema é semelhante ao do sistema K4. A diferença é a
relação de acessibilidade que, além de transitiva, é reflexiva, como ilustra a FIG. 5.
P P P P
P P P P
P w1 w2 w3
w
FIGURA 5 - Acessibilidade no Sistema S4
Nesse sistema temos todas os axiomas e regras de inferência do sistema T,
mais o axioma K4.
a) Axiomas:
 ( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q     
 ( ) (( ) )      P Q P Q P
 ( )P Q  ( P  Q) (K)
  PP  (T)
  P P (K4)
 Q
13

P
3.5 Sistema S5
Nesse sistema, a relação de acessibilidade  é reflexiva, transitiva e
simétrica. Entenda-se relação de acessibilidade simétrica como aquela onde, dada uma
estrutura W, ,  , se w w W,   , w w,   , então w w , . De acordo com
essa condição e as demais já apresentadas para reflexividade e transitividade, a fórmula
característica deste sistema da lógica modal é  P   P .
3.5.1 Diagrama
Seja a fórmula P válida em uma estrutura W , ,  e P seja satisfeita
em um mundo possível w W . Então, por S, a fórmula P deve ser satisfeita em algum
mundo w’ acessível a partir de w. Suponhamos que em nosso esquema este mundo seja
w2. Como w2 é acessível a partir dos demais mundos, então P é satisfeita em todos os
mundos acessíveis a partir de w. Assim, como por S , P é verdadeiro em w,
podemos verificar que  P P é um axioma para este sistema de lógica modal, como
ilustra a FIG. 6.
P P
P P
P
w w1 w2
FIGURA 6 - Acessibilidade no Sistema S5
14

Nesse sistema temos todas os axiomas e regras de inferência do sistema T,
mais o axioma S5.
a) Axiomas:
 ( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q     
 ( ) (( ) )      P Q P Q P
 ( )P Q  ( P  Q) (K)
  PP  (T)
  P P (S5)
 Q
P
3.6 Sistema Deôntico (D)
No sistema deôntico (D) os modelos possuem relação de acessibilidade
serial, ou seja, dada uma estrutura W, ,  , para todo w W existe um w W' , tal
que w w, '  . Nesse sistema, modalidade é relacionada com moral, ou seja, um
mundo possível como sendo uma versão melhor que o mundo atual. Temos como
axioma característico desse sistema ou o axioma  P P  , ou o axioma    P P.
15

3.6.1 Diagrama
Seja a fórmula P válida em uma estrutura W, ,  e P seja satisfeita
os mundos w’ acessíveis a partir de w. Portanto P é satisfeita em w’ . Assim, como P é
satisfeita em algum mundo acessível a partir de w,  P é satisfeita em w, como mostra a
FIG. 7.
P P
P 
w w’
FIGURA 7 - Acessibilidade no Sistema D
Nesse sistema temos todas os axiomas e regras de inferência do sistema K,
mais um dos axiomas D.
a) Axiomas:
 ( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q     
 ( ) (( ) )      P Q P Q P
 ( )P Q  ( P  Q) (K)
  P P  (D) ou
   P P (D’)
 Q
P
16

3.7 Resumo
A TAB. 1 apresenta um resumo das características dos sistemas da lógica
modal vistos neste capítulo.
TABELA 1 - Resumos das características dos sistemas da lógica modal
Sistema Relação de Acessibilidade Axiomas
Sistema K ( )P Q  ( P  Q)
Sistema T Reflexiva ( )P Q  ( P  Q)
 P P
Sistema K4 Transitiva ( )P Q  ( P  Q)
 P  P
Sistema S4 Reflexiva e Transitiva ( )P Q  ( P  Q)
 P P
 P  P.
Sistema S5 Reflexiva, Transitiva e
Simétrica
( )P Q  ( P  Q)
 P P
 P P
Sistema Deôntico (D) Serial ( )P Q  ( P  Q)
 P P  ou
  P P
Sistema KB Simétrica ( )P Q  ( P  Q)
P   P ou
  P  P
Sistema B Reflexiva e Simétrica ( )P Q  ( P  Q)
 P P
P   P ou
  P  P
17

4 FÓRMULA DE BARCAN
A lógica modal de primeira ordem poderia ser uma extensão da lógica de
primeira ordem obtida pela adição dos operadores modais, como a lógica modal
proposicional. Porém, problemas relacionados a existência de vários mundos possíveis e
domínios diferentes, tornam a extensão de uma lógica para outra um passo mais
complexo.
Uma interpretação para a lógica modal de primeira ordem deve considerar
questões relacionadas à possibilidade de existência de diversos mundos, ao passo que a
lógica clássica de primeira ordem considera indivíduos em somente um universo. Assim
questões, como as abaixo, devem ser consideradas antes de se criar uma semântica para
a linguagem:
 um indivíduo que pertence a um mundo possível w, pode não existir em algum outro
mundo possível acessível a partir de w, direta ou indiretamente?
 podemos ter novos indivíduos em um mundo alternativo?
 uma constante pode ser atribuída a diferentes indivíduos em diferentes mundos
alternativos?
Em 1946, R.C. Barcan levantou a questão sobre a aceitação da seguinte
fórmula, chamada fórmula de Barcan [COS92, TUR84]:
x(  P x( ))   ( ( ( )))x P x .
De fato, suponha que o antecedente da fórmula de Barcan seja satisfeito no
mundo w (isto é, todos os elementos de w têm a propriedada associada a P em todos os
mundos acessíveis a partir de w).
Imaginemos um mundo w1, acessível a partir de w, no qual existam elementos
b não existentes em w. Da aceitação do antecedente (todos os elementos de w possuem
propriedade associada a P em todos os mundos acessíveis a partir de w) não podemos
concluir que b possua propriedade associada a P.
Logo, da aceitação do antecedente em w não segue a aceitação do
conseqüente  ( ( ( )))x P x em w, pois isto significaria que em cada mundo
18

acessível a partir de w inclusive o mundo w1, todos os seus elementos (inclusive b) têm
propriedade associada a P, em cada um desses mundos. Portanto, se aceitarmos a
fórmula de Barcan não podemos ter a presença de novos elementos nos mundos
possíveis acessíveis a partir de um outro.
A aceitação dessa fórmula impõe um domínio constante ou decrescente nos
mundos possíveis.
A aceitação da reversa da fórmula de Barcan, isto é:
 ( ( ( )))x P x  x(  P x( )) ,
impõe um domínio constante ou crescente nos mundo possíveis. Aaceitação da fórmula
de Barcan e sua reversa, implica um domínio constante.
19

5 SISTEMA DE TABLEAU
Uma refutação [CAS87, GUE88] baseada em tableau [COS92] para a lógica
modal exige a criação de diversos sub-tableaux, como que para simular a mudança entre
diversos mundos. Além disso, a criação de sub-tableaux e a forma com que as
informações circulam por esses tableaux será influenciada pela sistema em que nos
encontramos, de tal forma que para cada sistema teremos um conjunto específico de
regras de tableau.
Se a fórmula de Barcan e sua reversa são aceitas como axiomas, então as
regras do sistema implicam na adição de fórmulas a sub-tableaux já existentes, gerando a
necessidade de um mecanismo para nomear sub-tableaux. Adotaremos como básico o
sistema de tableau onde os sub-tableaux podem ser referenciados.
Definição 5.1.1 Um ramo  de um tableau é dito ramo fechado se ele
contiver P e P , para qualquer fórmula P.
Definição 5.1.2 Um tableau T é dito ser um tableau fechado se cada um de
seus ramos for fechado.
Definição 5.1.3 Um prefixo é qualquer expressão utilizada para nomear um
tableau que pode aparecer na refutação de uma determinada fórmula.
Desta maneira, uma fórmula em uma refutação por tableau é unicamente
identificada pelo par ( , )T P , onde T é o prefixo do tableau no qual a fórmula P ocorre.
Além disso, para administrar a criação de tableau e adição de fórmulas a tableau
existentes, foi criado o operador  , que aplicado a um prefixo T e a uma fórmula P ou
cria um novo tableau, de nome T, ou adiciona P a um tableau já existente, designado por
T.
Na seção 5.1 apresentaremos o sistema de tableau para lógica modal
proposicional, para os sistemas K, T, D, K4, S4 e S5 e na seção 5.2 apresentaremos um
sistema de tableau com unificação para lógica modal de primeira ordem, para o sistema
D, baseados no material escrito por Costa [COS92]. Serão desenvolvidas provas de
fórmulas válidas nesses sistemas. Essas mesmas fórmulas serão utilizadas para provas
20

nos métodos de resolução de Konolige e por World-Paths, para fins de comparação entre
os métodos.
5.1 Lógica Modal Proposicional
 Sistema K
Regras Tipo A:
P Q
P
Q
  


( )P Q
P
Q
 

( )P Q
P
Q
P
P
Regras Tipo B
P Q
P Q
P Q
P Q
 ( )P Q
P Q
Regras Tipo E
P
( ' , )T P


P
T P( ' , )
Onde T’ é um tableau previamente gerado por
aplicação da regra tipo F (que será vista a seguir) a
uma fórmula do ramo.
Regras Tipo F
P
T P( ', )
P
( ', )T P
Onde T’ é um novo tableau.
21

 Sistema T
Regras Tipo A:
P Q
P
Q
  


( )P Q
P
Q
 

( )P Q
P
Q
P
P
Regras Tipo B
P Q
P Q
P Q
P Q
 ( )P Q
P Q
Regras Tipo E
P
( ', )T P


P
T P( ' , ) Onde T’ é um tableau previamente gerado por
aplicação da regra tipo F a uma fórmula do ramo.
Regras Tipo E-R
P
P


P
P
Regras Tipo F
P
T P( ', )
P
( ' , )T P
 Sistema Deôntico (D)
Regras Tipo A:
P Q
P
Q
  


( )P Q
P
Q
 

( )P Q
P
Q
P
P
Regras Tipo B
P Q
P Q
P Q
P Q
 ( )P Q
P Q
Regras Tipo E
P
( ' , )T P


P
Regras Tipo F
22

P
T P( ', )
P
( ', )T P
 Sistema K4
Regras Tipo A:
P Q
P
Q
  


( )P Q
P
Q
 

( )P Q
P
Q
P
P
Regras Tipo B
P Q
P Q
P Q
P Q
 ( )P Q
P Q
Regras Tipo E
P
( ' , )T P


P
Regras Tipo E-T
P
( ' ,T P)


P
T P( ', ) Onde T’ é um tableau previamente gerado por
Regras Tipo F
P
T P( ', )
P
( ' , )T P
 Sistema S4
Regras Tipo A:
P Q
P
Q
  


( )P Q
P
Q
 

( )P Q
P
Q
P
P
Regras Tipo B
P Q
P Q
P Q
P Q
 ( )P Q
P Q
Regras Tipo E
23

P
( ' , )T P


P
Regras Tipo E-R
P
P


P
P
Regras Tipo E-T
P
( ' ,T P)


P
Regras Tipo F
P
T P( ', )
P
( ' , )T P
 Sistema S5
Regras Tipo A:
P Q
P
Q
  


( )P Q
P
Q
 

( )P Q
P
Q
P
P
Regras Tipo B
P Q
P Q
P Q
P Q
 ( )P Q
P Q
Regras Tipo E
P
( ' , )T P


P
Regras Tipo E-R
P
P


P
P
Regras Tipo E-T
P 

P
24

( ' ,T P) aplicação da regra tipo F a uma fórmula do ramo.
Regras Tipo E-S
P
P
P
P
Regras Tipo F
P
T P( ', )
P
( ' , )T P
Regras Tipo F-S
P
T P( ', )
P
( ' ,T  P)
Onde T’ é um tableau previamente gerado.
25

5.2 Sistema de Tableau com Unificação
Iniciaremos a apresentação desse sistema de refutação [COS92] com
algumas considerações necessárias para obtenção da forma normal de Skolem de uma
fórmula dada.
As formas normais de Prenex e Skolem na lógica modal são obtidas como na
lógica clássica, considerando somente os operadores externos aos operadores modais.
Para exemplificar, vamos encontrar uma das formas normais de Skolem da fórmula
x    yP x y z( , )  R z( )
Skolemizando,
x    yP x y z( , )  R z( )
 z x(   yP x y( , )  R z( )
  z x(   yP x y( , )  R z( )
 z(   yP f z y( ( ), )  R z( )
temos
z(   yP f z y( ( ), )  R z( ) )
como uma de suas formas normais de Skolem.
Teorema 5.2.1 Seja P uma fórmula na forma normal de Prenex e P’ a sua
forma normal de Skolem correspondente. Então P é insatisfatível se e somente se P’ o
for.
 Regras do sistema de tableau com unificação
Regras Tipo A:
P Q
P
Q
  


( )P Q
P
Q
 

( )P Q
P
Q
P
P
Regras Tipo B
P Q
P Q
P Q
P Q
 ( )P Q
P Q
26

Regras Tipo C


xP
xP
P x yy
( / )



xP
xP
P x yy
( / )
Onde a variável y é nova para o tableau e Py
é obtida
conforme definido abaixo.
Regras Tipo D
xP
P x t( / )


xP
P x t( / )
Onde t é um termo nova para o tableau
Regras Tipo E
P
( ', )T P


P
Regras Tipo F
P
T P( ' , )
P
( ' , )T P
Na utilização das regras do sistema de tableau com unificação devemos
tomar os seguintes cuidados:
 em qualquer estado do tableau, qualquer fórmula está na forma normal de
Skolem;
 o algoritmo de unificação é usado a fim de se obter pares complementares de
fórmulas atômicas;
 depois de cada aplicação das regras E ou F, precisamos skolemizar a fórmula
resultante.
Notamos que as regras do tipo C apresentam uma notação desconhecida.
Abaixo apresentaremos uma formalização para as regras do tipo C.
1.. O processo de renomeação de variáveis para unificação fica sujeito à seguinte
restrição: Seja Q (ou Q) uma subfórmula de xP . Se
aplicarmos a regra F a Q (ou Q), então não podemos renomear a
variável x quando formos unificar a fórmula Q (ou alguma de suas
subfórmulas) no sub-tableaux gerado. E, indicamos este procedimento
colocando uma marca “” antes da variável x.
27

2.. Sejam P uma fórmula e x uma variável ou uma variável marcada na forma x y 
. Então, a fórmula Px
é obtida pelas regras:
3.. P Px
 , se P é uma fórmula atômica;
4.. P Qx x
  , se P Q  ;
5.. P Q Rx x x
  , se P Q R  ;
6.. P xQx x
  , se P xQ  ;
7.. Px
 x
Qx
, se P   Q com polaridade positiva;
8.. Px
 x
Q x
, se P   Q com polaridade negativa.
OBS: A ocorrência de uma subfórmula Q tem polaridade positiva em uma
fórmula se P está no escopo de um número par de operadores “”, implícitos ou
explícitos. Caso contrário, P é dita ter uma polaridade negativa.
28

6 B-RESOLUTION DE KONOLIGE
A resolução clássica não é completa para a lógica modal a menos que, de
alguma maneira, hajam restrições. Existem duas razões para isto. A primeira é que
quando um literal se encontra no escopo de diferentes operadores modais, seu valor
verdade pode ter interpretações diferentes. Ou seja, o literal p pode não ter
necessariamente o mesmo valor quando ocorre uma vez no escopo de um operador  e
ocorre novamente no escopo de outro operador . Portanto, mesmo quando p ocorre
num contexto e p ocorre em outro, não há justificativa para resolvê-los. A segunda
complicação se deve à quantificação em contextos modais: quando o escopo de um
quantificador se extende através do escopo de operadores modais diferentes, não existe
garantias de que a interpretação de uma variável em duas ocorrências seja a mesma.
A seguir serão apresentadas duas técnicas que tentam extender o método de
resolução da lógica clássica para a lógica modal. Neste capítulo o método apresentado
será o método descrito por Konolige em 1986 [PEL93, COS92], considerado um
método misto, e no próximo capítulo apresentaremos um método de resolução que
utililiza a noção de World-Paths.
Konolige descreve um sistema no qual existe um senso misto. Discutiremos
inicialmente o caso da lógica modal proposicional e após as adições ao modelo
requeridas pela lógica modal de primeira ordem.
6.1 Lógica Proposicional
Konolige usa o que chama de B-resolution, que é um sistema de resolução
para lógicas modais K, K4, K45, T, S4 e S5, baseado na total narrow theory resolution
de Stickel.
Primeiramente, se faz necessário apresentar definições relativas ao uso de
cláusulas em linguagem com modalidades. Para transformar um fórmula qualquer em
29

uma fórmula na forma normal conjuntiva, pode-se utilizar as mesmas regras de
transformação da lógica clássica considerando fórmulas modais (P ou P) como
literais. Ou seja, as transformações ocorrem somente fora dos quantificadores modais.
Como exemplo encontraremos a forma normal clausal da fórmula  (P
Q)   ( )P Q .
1.  (P Q)   ( )P Q
2.  (P Q)    P Q
3. P  Q   P Q
Portanto,  (P Q)   ( )P Q tem como sua forma normal clausal
P  Q   P Q
Uma vez obtida a forma normal conjuntiva, as cláusulas são separadas e
tratadas isoladamente.
A B-resolution de Konolige, em sua forma geral diz que: Sejam
    1 2, ,... e     1 2, ,... dois conjuntos finitos de fórmulas e     1 2, ,...
um conjunto finito de literais fora do escopo de algum operador modal. Sejam os Ci’s,
Cj’s, etc., cláusulas arbitrárias. Então:
 1 1 C

 n nC
1 1 C '

m mC '
1 1 C ''

i iC ''
C C C C C Cn m1 1 1 1         ' ' ' ' ' '
30

onde:
(1) Para K e T: { , , , }  k n1  é insatisfatível para algum k .
(2) Para K4 e S4: { , , , ,  k n1   1 , ,n} é insatisfatível para algum k .
(3) Para S5: { , , , ,  k n1   1 , , n ,  1 , ,  m ,   1 , , 
i} é insatisfatível para algum k .
Além das regras acima, para aqueles sistemas com relação de acessibilidade
reflexiva, temos:
(4)   C
  C
Porque podemos usar somente um conjunto i nas regras apresentadas?
Consideremos a seguinte refutação:
( )P Q
P
Q
Z P Q P Q   { , , } é um conjunto insatisfatível na lógica modal clássica,
porém na lógica modal não é, pois podemos apresentar o modelo da FIG. 8.
( )P Q ( )P Q
P Q
Q
( )P Q
P
FIGURA 8 - Um exemplo de modelo
Pelo conceito de insatisfatibilidade não poderia existir um modelo de
representação dessas fórmulas pois isso significa que elas são satisfatíveis na situação
31

considerada. A figura apresentada acima é um modelo para aquele conjunto de fórmulas,
portanto se existe um modelo, o conjunto não é insatisfatível.
P significa que em algum mundo acessível a partir de w, P é
satisfeito, ou seja, P , valendo o mesmo para Q. Portanto, pode perfeitamente
existir um mundo acessível a partir de w onde P e Q são satisfeitos.
Todas as regras tratam fórmulas que apresentam o operador . O operador 
pode ser representado em função de  (P   P ), sendo assim tratável pelas
mesmas regras.
Note que a regra (1) não é efetiva, involvendo uma sub-resolução aninhada
para verificar se algum outro conjunto é satisfatível. Dependendo de que teste será usado
para determinar este outro conjunto, a regra poderia ter ou não um valor prático. Nós
notamos que o conjunto a ter sua consistência testada deve conter apenas literais
(incluindo literais modais). O método de Konolige faz uso desse fato; um conjunto de
literais Z é insatisfatível se e somente se um outro conjunto W (no qual os membros são
efetivamente determináveis de Z), que tem um caminho modal menor que Z, é ele
próprio insatisfatível. Tal conjunto W varia de um sistema modal para outro. Por
exemplo, no sistema K, se Z onde { 1 ,  2 , ,  1 ,  2 , } , então o conjunto
requerido W de menor caminho modal poderia ser { , , , }  1 2  i , para algum i .
Neste ponto, sentimos claramente a necessidade de sub-resoluções. Mas o
que é uma sub-resolução dentro do método de Konolige? Sub-resolução é o processo no
qual ocorre a redução dos operadores modais. Esta é a idéia principal por trás da B-
resolution. Quanto mais simples é a relação de acessibilidade do sistema da lógica modal
empregada, maior número de sub-resoluções serão necessárias. Ao verificarmos que nas
regras de resolução apresentadas um conjunto insatisfatível para o sistema K é menor
que um conjunto insatisfatível para o sistema S5, entendemos porque mais operadores
modais precisam ser reduzidos no primeiro caso que no segundo, por exemplo.
Esta noção de sub-resolução não estava clara em nenhum artigo ou livro que
pesquisamos. O ponto inicial para desenvolvermos esta idéia foi dado por uma citação de
Geissler e Konolige [PEL93], que diz o seguinte:
“Suppose, each time we wish to do a resolution, we start another refutation
procedure using the indicated sets of sentences. Then we intermix the
executation in the subsidiary ones being used to check unsatifiability. If at
32

some point a subsidiary refutation succeds, we can construct a resolvent in
the main refutation.”
No capítulo 8 serão apresentados exemplos de resoluções
utilizando o método de Konolige para os sistemas K, T, K4, S4 e
S5 da lógica modal proposicional.
6.2 Lógica Modal de Primeira Ordem
Para generalizar o método de Konolige para lógica modal de primeira ordem,
é necessário direcionar o problema de interpretação de quantificadores cujas variáveis
ocorrem em diferentes contextos modais. Intuitivamente, a interpretação de uma variável
é determinado com respeito ao mundo possível no qual quantificador da expressão é
interpretado. Em ( )( ( ) x F x G x( )) , o ( )x ocorre no mundo atual, e todas as
ocorrências da variável se referem a este item particular. Mesmo que o x que ocorre em
G x( ) seja interpretado como o x cuja interpretação é dada pelo quantificador da
expressão, tal que G x( ) nesta sentença signifique o item do mundo atual, x, o qual
está atualmente em F, tal item está em G em todo o mundo possível. O resultado disso é
que o quantificador não pode ser movido para fora do operador modal sem que sua
interpretação mude de “falando sobre entidades de um mundo” para “falando de
entidades de outro mundo”. Além disso, quantificadores do lado de fora não permitem
instanciação para constantes internas. Isto se torna mais claro quando interpretamos 
como acredita e  como sabe: pode ser verdade que, de todos os alemães que vivem
atualmente, Mary acredita que todas essas pessoas falam alemão. Embora o Major de
Edmonton seja alemão, Mary poderia não acreditar que ele fale alemão, pois ela não sabe
que este Major é alemão. Porém, Mary acredita que Manfred fala alemão, mesmo sendo
ele o Major de Edmonton (Manfred é o Major de Edmonton em outro contexto). Para
resolver este último problema, Konolige introduziu um operador chamado bullet () que
é aplicado a variáveis sempre que aparecem dentro de um contexto modal menor que o
do quantificador e a substituição será redefinida tal que a variável torne-se o desejado, de
acordo com a interpretação de mundo relativo. A variável marcada diz basicamente que:
não importa em qual mundo eu ocorra, interprete-me como o que eu era no mundo no
33

qual meu quantificador da expressão ocorre. Visto isso, o bullet é uma espécie de
operador de atualidade.
As regras para B-resolution de Konolige são aplicadas da mesma maneira
que na lógica modal proposicional. Porém, convém salientar que no momento da
unificação uma variável marcada não pode ser renomeada, como visto no sistema de
tableau com unificação.
34

7 RESOLUÇÃO UTILIZANDO WORLD-PATHS
Os métodos de refutação para a lógica modal apresentados anteriormente
possuem limitações como veremos mais adiante, por isso Ohlbach propõe um novo
método refutacional baseado em resolução [OHL88]. Inicialmente nós iremos
caracterizar brevemente as lógicas modais particulares que nós estaremos considerando.
7.1 Lógica Modal
As fórmulas são as mesmas da lógica de predicados de primeira ordem com a
adição dos dois operadores modais (necessidade) e (possibilidade). Para limitar a
variedade sintática da lógica modal (sem perder a expressividade), as fórmulas a serem
provadas passarão por um processo de tradução, onde os sinais de implicação e de
equivalência são retirados, e todos os sinais de negação são movidos para frente dos
átomos. Ao final do processo de tradução teremos a fórmula em sua forma normal
negada e somente então terá início o processo de unificação. Qualquer fórmula pode ser
trazida para esta forma fazendo-se uso das regras de transformação apropriadas da
lógica de predicados e das regras adicionais  P P  e  P  P .
Podem ser distinguidas duas classes principais de relações de acessibilidade:
serial e não serial. Nós consideraremos apenas relações de acessibilidade seriais, porém
em combinação com as seguintes propriedades ou relações  : reflexividade, simetria e
transitividade. Em interpretações seriais, relações simétricas e transitivas são também
reflexivas.
35

7.2 P-lógica
P-lógicas (P para estilo de lógica de Predicado) são variantes sintáticas de
lógicas modais onde os operadores modais são substituídos através de world-terms
[OHL88]. Um world-term representa o contexto modal, isto é, a seqüência de
operadores modais aninhados, e está amarrado às condições e átomos como um
argumento adicional. Assegura a informação de qual mundo o termo ou fórmula é
interpretado. Para preservar a semântica dos mundos possíveis para fórmulas da P-
lógica, um world-term tem que denotar um mundo e não um elemento do domínio. Isto
sugere às fórmulas da P-lógicas a idéia de uma lógica de dois conjuntos disjuntos:
conjunto D (para Domínio) e conjunto W (para Mundos).
Os World-Paths [OHL88] são variantes sintáticas dos world-terms e serão
introduzidos abaixo. Os world-terms são mais apropriados para entendimento da
semântica desta estrutura, enquanto que os World-Paths são considerados uma estrutura
de dados satisfatória para os algoritmos de unificação.
7.2.1 Sintaxe da P-lógica
Começaremos com a definição de uma assinatura que consiste em um
conjunto D e um conjunto W. O conjunto D, isto é, símbolos D-variáveis (variáveis do
domínio), símbolos funcionais D-estimados e símbolos predicativos, são os mesmos da
lógica modal. O que surge de novo é o conjunto W que é usado para construir os world-
terms. Consiste em símbolos funcionais W-estimados que são funções de skolem quando
trabalhamos com world-terms, substituindo o operador , e símbolos W-variáveis que
substituem o operador .
Definição 7.2.1.1: Assinatura da P-Lógica
O alfabeto para construção de termos e fórmulas da P-logica [OHL88]
consiste de conetivos lógicos e dos seguintes símbolos:
VD é um conjunto de variáveis (símbolos D-variáveis)
FD é o conjunto dos símbolos funcionais (símbolos funcionais D-estimados)
P é o conjunto de símbolos predicativos
0 é um símbolo constante W-estimado, denotando o mundo inicial
VW é o conjunto dos mundos possíveis (símbolos W-variáveis)
36

FW é o conjunto dos símbolos funcionais relativos à mundança de mundos
(símbolos funcionais W-estimados).
Assim, o conjunto  p D D W wV F P V F { , , , , }0, é uma P-assinatura.
Exemplos de termos e fórmulas da P-lógica e seus correspondentes na lógica
modal:
Lógica Modal P-Lógica
P wP w( ( ))0
P P g( ( ))0
x ( ( ))P Q x   x u P u Q u x( ( ( ( ( ), ))0 0
7.3 Tradução da Sintaxe da Lógica Modal para Sintaxe da P-lógica
Nós temos que definir como traduzir a assinatura da lógica modal para a
assinatura da P-lógica e fórmulas da lógica modal para fórmulas da P-lógica [OHL88].
1. Tradução da assinatura: Seja uma P-assinatura inicial  p D DV F P { , , , ,{ }, }0 0
onde VD, FD e P são as mesmas variáveis, símbolos funcionais e predicativos das
fórmulas da lógica modal.
2. Tradução de termos e fórmulas. Seja a função de tradução  que toma uma fórmula
da lógica modal P, traduz para uma fórmula ( )P da P-lógica e atualiza a assinatura
 P com as W-variáveis geradas que substituem o operador  e as funções de skolem
que substituem o quantificador  e o operador .  precisa de uma função auxiliar
 que faça o descendente recursivo na fórmula e termos modais.  registra como
um segundo argumento o contexto modal na forma de um W-termo w e como um
terceiro argumento as variáveis universalmente quantificadas D-vars. Faça  P ser
uma variável global que é atualizada durante o descendente recursivo.
D-vars + x significa a concatenação de uma lista D-vars = ( )x xn1 com x,
cujo resultado é ( )x x xn1
f (w+D-vars) denota o termo f w x xn( , , , )1  onde D-vars = ( )x xn1
As regras de transformação são:
37

1. A chamada da função num primeiro nível é ( ): ( , , ())P P  0 onde ( ) é uma lista
vazia.
2.  ( , ,P Q w D-vars): ( , ,P w D-vars)  ( , ,Q w D-vars)
3. ( , ,P Q w D-vars): ( , ,P w D-vars)  ( , ,Q w D-vars)
4. ( , ,xP w D-vars): x P w( , , D-vars + x)
5.  ( P,w,D-vars): u P u w( , ( ), D-vars), onde u é adicionado em VW
como um novo mundo para  P .
6.  ( , ,xP w D-vars):  ( , ,P w D-vars)[ x f w ( D-vars)], onde f é adicionada
em FD como um novo símbolo
funcional
7.  ( P,w,D-vars):  ( , (P g w  D-vars),D-vars), onde g é adicionada em FW como
novo símbolo funcional relativo a mudança de mundos
Seja P um símbolo predicativo n-ário e seja f um símbolo funcional n-ário.
8.  ( ( , , ), ,P t t wn1  D-vars) : P w t w( , ( , , 1 D-vars), , ( , , t wn D-vars))
9. ( ( , , ), ,P t t wn1  D-vars) : P w t w( , ( , , 1 D-vars), , ( , , t wn D-vars))
10. ( ( , , ), ,f t t wn1  D-vars) : f w t w( , ( , , 1 D-vars), , ( , , t wn D-vars))
11.  ( , ,x w D-vars) : x, onde x é uma variável.
Para entendermos melhor as regras de tradução 4, 5, 6 e 7, que envolvem
quantificadores e funções de Skolem, consideraremos o seguinte exemplo: seja o
predicado L x y( , ) , cujo signifcado é “ x ama y”. Sejam as fórmulas:
a)  x yL x y( , ) - que significa “todo mundo tem alguém que ama”
b)  y xL x y( , ) - que significa “existe alguém que é amado por todo
mundo”
Apesar da semelhança entre as fórmulas, notamos que seus significados são
diferentes. Após serem skolemizadas, tal diferença fica mais clara:
a) xL x f x( , ( )) , onde f x( ) é uma função de Skolem que mapeia um
indivíduo do domínio: f D D:  .
x f(x)
Maria Carlos
José Maura
38

 
b) xL x a( , ) , onde a é um indivíduo específico (constante) do domínio D.
Quando temos fórmulas modais, a função de Skolem tem um significado
mais complexo. Vamos considerar os seguintes casos:
a) xP x( )
Como vimos, esta fórmula pode ser traduzida para
xP g w x( ( ), ) , onde g é uma função de Skolem que mapeia um mundo
do conjunto W . Neste caso a função de Skolem tem a notação g W W: 
w g(w)
w1 w2
w2 w3
 
b)  x P x( )
Quando traduzido para P-lógica fica xP g w x x( ( , ), ) . Por que
a função g agora mapeia também um elemento do domínio D? Porque a função de
Skolem, neste caso tem que mapear um indivíduo do mundo atual num mundo possível,
garantindo a interpretação correta desse indivíduo, portanto g W D W:  
x w g(w)
a w1 w2
b w2 w3
  
Desenvolveremos agora uma tradução, baseado no exemplo do artigo de
Ohlbach [OHL88].
39

Tradução:
 x R x( ( )  y R y( ))
       p x y R , , , , , , 0 0
1)   (  x R x( ( )  y R y( )) )
2)  (  x R x( ( )  y R y( )) , 0, ( ) ) [de 1) pela regra 1]
3) u  (  x R x( ( )  y R y( )) ,  u 0 , ( ) ) [de 2) pela
regra 5]
       p x y R u , , , , , , , 0 0
4) u x  ( ( )R x   y R y( ) ,  u 0 ,  x ) [de 3) pela
regra 4]
5) u x     ( ( ), , ) (R x u x0    y R y( ) ,  u 0 ,  x ) [de 4) pela
regra 2]
6) u x         ( , , , ) (R u x u x0 0   y R y( ) ,  u 0 ,  x )
[de 5) pela
regra 9]
7) u x    ( , ) (R u x0    y R y( ) ,  u 0 ,  x ) [de 6) pela
regra 11]
8) u x    ( , ) (R u x w0    y R y( ) ,   w u 0 ,  x ) [de 7) pela
regra 5]
       p x y R u w , , , , , , , , 0 0
9) u x    ( , ) (R u x w0   R f w u x( ( ( ( )), ))0 ,   w u 0 ,  x )
[de 8)
pela regra 6]
         p x y f R u w , , , , , , , ,0 0 
10) u x   R u x w0 , ) R g w u x f w u x( ( ( ( )), ), ( ( ( ( ))), ),0 0
  g w u x( , )0 ,  x )) [de 9) pela
regra 9]
11) u x   R u x w0 , )  R g w u x f w u x( ( ( ( )), ), ( ( ( ))), ),0 0
  ( , ( , )x g w u x0 ,  x ))
[de 10) pela regra 10]
40

12) u x   R u x w0 , )  R g w u x f w u x( ( ( ( )), ), ( ( ( ))), ),0 0 x)
[de 11) pela
regra 11]
Teorema 7.3.1: Completude e Correção do Algoritmo de Tradução
P é uma fórmula modal satisfatível se e somente se ( )P é uma P-fórmula
P-satisfatível. A prova segue o recursão de  e assegura que a informação sobre o
contexto modal foi corretamente modificada de operadores modais aninhados para W-
termos.
Esses resultados são a base para um procedimento de prova completo: para
provar que uma fórmula da lógica modal é insatisfatível, é suficiente provar que a
fórmula da P-lógica traduzida é P-insatisfatível.
7.4 Forma Normal Conjuntiva
Considerando que a sintaxe da P-lógica não contém nem quantificadores
existenciais nem operadores modais, uma transformação de uma fórmula arbitrária para
um conjunto equivalente de cláusulas é essencialmente igual à lógica de predicado, mas
sem a necessidade de skolemização.
7.5 World-Paths - Uma Sintaxe alternativa para W-termos
W-termos contêm símbolos de W-variáveis em uma posição funcional e são
então termos de mais alta ordem. Para muitos propósitos, especialmente para a definição
dos algoritmos de unificação, a sintaxe de World-Paths é muito mais conveniente pois
passamos a trabalhar com lógica de primeira ordem. A transição de W-termos para
World-Paths pode ser explicada facilmente no nível semântico onde símbolos funcionais
e símbolos W-variáveis (mundos) são interpretados como funções. Seja a operação
currying, que transforma uma função n-ária f em uma função (n-1)-ária f c
e produz uma
41

função unária que, quando aplicada aos argumentos restantes retorna o mesmo valor que
f retornaria quando aplicada a todos os n argumentos de uma só vez, isto é
f s s s f s sn
c
n( , , ) ( , , )1 1 2  . A operação currying pode ser usada para remover o
argumento “mundo” da interpretação de um símbolo funcional relativo a mudança de
mundo (W-estimado) (1,n)-ário, deixando uma função que é aplicável somente a
elementos do domínio. Para uma chamada de função aninhada como
f g w s s t tn m( ( , , , ), , , )1 1  a chamada de função curried equivalente é vista como:
g w s s f t t wg s s f t t w g s s f t tn
c
m
c
n
c
m
c
n
c
m( , , , ) ( , , ) ( ( , , )) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ))1 1 1 1 1 1       
onde “ ” é a composição de funções. Um termo f t tc
m( , , )1  cujo primeiro argumento
não é um W-termo será chamado um CW-termo.
Exemplos de diferentes versões sintáticas
Lógica Modal P-Lógica, c/ W-termos P-Lógica, c/ World-Paths
P wP w( ( ))0 wP w[ ]0
P P g( ( ))0 P g[ ]0
 x Q x a( , ) xQ h x x a h x( ( , ), , ( ( , )))0 0xQ h x x a h x([ ( ), , [ (0 0
P wP h w g( ( ( ( ))))0wP gwh[ ]0
7.6 Unificação
A unificação de World-Paths deve produzir substituições compatíveis com a
relação de acessibilidade  (substituições  -compatíveis). Esta é então a única
diferença em relação à unificação entre termos da lógica de predicados de primeira
ordem.
 Unificação quando a relação de acessibilidade não tem propriedades especiais
World-Paths como [ ]0va e [ ]0bw são unificáveis tendo como um
unificador{ , }v b w a  . Esta é uma substituição  -compatível para este tipo de relação
de acessibilidade. Agora, os termos [ ]0va e [ ]0vuw iriam requerer uma substituição 
-não compatível { [ ], }v bc w a  . Estes termos não são unificáveis. Em geral dois World-
Paths são unificáveis quando eles têm tamanho igual e os CW-termos são unificáveis
42

com unificadores compatíveis. Assim, os World-Paths podem ser tratados como termos
ordinários não havendo diferença significante em relação unificação de termos da lógica
de predicados de primeira ordem. Há no máximo um unificador mais geral para cada
problema de unificação.
 Unificação quando a relação de acessibilidade é somente reflexiva
O componente de substituição w  [ ] representa a declaração da identidade
mapeando uma W-variável (um mundo). É  -compatível porque em interpretações
reflexivas um mundo é acessível a partir de si mesmo. Os componentes de substituição
w  [ ] removem uma variável completamente de um World-Path, tal que os World-
Paths [ ]0va e [ ]0vuw sejam unificáveis com o dois unificadores independentes
{ ,v bu  [ ], }w a e { , ,v bu aw   [ ]}. O algoritmo de unificação tem que considerar
todas as possibilidades para remover W-variáveis w pelo componente de substituição
w  [ ] e unificar os CW-termos com um número reduzido de pares World-Paths. Já que
podem existir muitas variáveis a serem finitamente removidas, há no máximo um número
finito de unificadores mais gerais para cada problema de unificação.
 Unificação quando a relação de acessibilidade é somente simétrica
Quando a relação de acessibilidade  é simétrica, símbolos funcionais
relativos a mudança de mundos tem uma função inversa associada. Um componente de
substituição w a 1
é apropriado para eliminar o World-Path parcial [ ]aw em
[ ]aa 
1
[ ]. É permitido a uma W-variável (mundo) substituições  -compatíveis para
substituir um World-Path parcial com exatamente um CW-termo ou um CW-termo
inverso. A inversa v 1
de uma W-variável (mundo) também é permitida, pois a
interpretação de uma W-variável é também uma função cuja inversa existe em
interpretações simétricas. Por exemplo os dois World-Paths [ ]0vw e [ ]0 é unificável
com um unificador { }w v 1
. O algoritmo de unificação tem que considerar todas as
possibilidades para se tranformar uma W-variável w e seu predecessor t no World-Path,
através do componente de substituição w t 1
, no caminho vazio [ ] e unificar os CW-
termos num número reduzidos de pares World-Paths. Já que podem existir muita
43

variáveis a serem finitamente transformadas, há no máximo um número finito de
unificadores mais gerais para cada problema de unificação.
 Unificação quando a relação de acessibilidade é reflexiva e simétrica
As duas idéias básicas para reflexividade e simetria podem ser simplesmente
unidas. O algoritmo de unificação tem que considerar todas as possibilidades para
remover W-variáveis w pelo componente de substituição w [ ] e transformar uma W-
variável w e seu predecessor t no World-Path pelo componente de substituição w t 1
no caminho vazio [ ], e unificar os CW-termos com um número de pares World-Paths
reduzido. Já que podem existir muitas variáveis a serem finitamente removidas ou
transformadas, há no máximo um número finito de unificadores mais gerais para cada
problema de unificação. Por exemplo os dois World-Paths [ ]0auv e [ ]0w são
unificáveis com dois unificadores independentes { , }u a v w 1
e { , }v u w a 1
.
 Unificação quando a relação de acessibilidade é somente transitiva
Substituições  -compatíveis podem substituir World-Paths parciais
arbitrários para uma W-variável. Um unificador para os dois World-Paths [ ]0vcd e
[ ]0abwd seria { [ ], }v ab w c  , mas a substituição { [ ' ], [ ' ]}v abw w w c  com uma
nova W-variável w’ é também um unificador.
O algoritmo de unificação para dois World-Paths s s sn [ ]1 e t t tm [ ]1
trabalha da esquerda para a direita. Consiste claramente em três passos principais:
1. Unifique o termo s1 com t1 e chame o algoritmo de unificação de World-Paths
recursivamente para [ ]s sn2  e [ ]t tm2  .
2.a. Quando s1 é uma W-variável, então para i = 2,..., m crie o componente de
substituição s t tm1 1 [ ]e chame o algoritmo de unificação de World-Paths
recursivamente para [ ]s sn2  e [ ]t ti m1 .
2.b. Quando ti é uma W-variável, então divida ti em duas W-variáveis novas [ ]uv , crie
o componente de substituição { [ ], [ ]}s t t u t uvi i1 1 1   e chame o algoritmo de
unificação de World-Paths novamente para [ ]s sn2  e [ ]vt ti m1 .
 Unificação quando a relação de acessibilidade é reflexiva e transitiva
44

As idéias para o caso reflexivo e caso transitivo podem ser unidas sem
problemas adicionais. O algoritmo para o caso transitivo simplesmente deve ser
aumentado com um passo que remove W-variáveis w com um componente de
substituição w [ ]. Ainda há no máximo um número finito de unificadores mais geral
para cada problema de unificação.
 Unificação quando a relação de acessibilidade é uma relação de equivalência (S5)
World-Paths para interpretação do sistema S5 na forma normal de grau
modal 1 consistem de, no máximo, dois CW-termos, isto é, eles parecem com [ ]0 ou
[ ]0t .Dois World-Paths [ ]0 e [ ]0t só podem ser unificados quando t é uma variável e
o unificador é t  [ ]. Dois World-Paths [ ]0s e [ ]0t podem ser unificados quando s e t
são unificáveis. Então há no máximo um unificador mais geral para cada problema de
unificação.
45

8 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS
Este capítulo terá como ênfase a comparação dos diversos métodos
apresentados. A literatura sobre o assunto não apresentava uma abordagem desse nível,
além disso, apresentava poucos exemplos de provas de teoremas. Nenhum material
pesquisado trazia exemplos de resolução e a teoria apresentada era pouco clara na
maioria dos casos. Daí veio a motivação de se elaborar um trabalho reunindo os métodos
conhecidos, como tableau, e outros menos conhecidos na área, como o de World-Paths,
desenvolvendo exemplos e, o mais interessante, fazendo comparações entre os métodos
utilizando esses exemplos.
Neste capítulo um mesmo exemplo será desenvolvido através dos três
métodos apresentados nos capítulos anteriores, as diferentes provas serão comparadas e
suas vantagens e desvantagens comentadas. Procuramos desenvolver no mínimo um
exemplo para cada sistema da lógica modal (K, T, D, K4, S4 e S5), porém quase todos
os sistemas têm pelo menos dois exemplos apresentados.
Os algoritmos para prova de teoremas apresentados cobrem tanto a lógica
modal proposicional, como a lógica modal de primeira ordem, porém, por falta de
espaço neste trabalho, apresentaremos apenas exemplos da lógica modal proposicional.
8.1 Sistema K
Exemplo 8.1.1 - Vamos provar a fórmula ( ) (P Q   P  Q).
 Sistema de Tableau
1) ( ( ) (P Q   P  Q)) (negação da fórmula)
2) ( )P Q (de 1, pela regra A)
3) (  P  Q) (de 1, pela regra A)
4) P (de 3, pela regra A)
46

5) Q (de 3, pela regra A)
Agora, de 5, pela regra F obtemos um novo tableau começando com Q :
5.1) Q (de 5, pela regra F)
5.2) P (de 4, pela regra E)
5.3) P Q (de 2, pela regra E)
5.4) P Q (de 5.3, pela regra B)
Temos assim um sub-tableaux fechado (por 5.1 e 5.4 e por 5.2 e 5.4), logo o
ramo que deu origem a ele é fechado também e como ele é o único ramo do tableau
original, este também o é.
 B-Resolution de Konolige
1) ( ( ) (P Q   P  Q))  (negação da fórmula)
2)   ( ( ) (P Q    P  Q)) 
3)  ( ) (    P Q  P  Q) 
4)  ( )   P Q  P   Q 
5)  ( )  P Q  P   Q (forma normal clausal)
Z = { 1 ,  2 ,  1 }
onde:
 1 : ( ) P Q
 2 :  P
1 : Q (1)
De (1) verificamos a necessidade de uma nova sub-resolução.
1ª Sub-resolução:
W = { , , }  1 2 1
47

onde:
 1 :  P Q
 2 : P
1 : Q (2)
Como chegamos a cláusula vazia por (2), o conjunto em (1) é insatisfatível.
Logo, como o corte em (1) pode ser feito, é provado o teorema.
 Método de Resolução Utilizando World-Paths
1) ( ( ) (P Q   P  Q))  (negação da fórmula)
2)   ( ( ) (P Q    P  Q)) 
3)  ( ) (    P Q  P  Q) 
4)  ( )   P Q  P   Q 
5)  ( )  P Q  P   Q (forma normal clausal)
Tradução:
a) (  ( )  P Q  P Q  )
b)  (  ( )  P Q  P Q  , ,0 ( )) (de a, pela regra 1)
c)  ( ( ), P Q 0, ( ))  (  P, ,0 ( ))   ( , ,Q 0 ( )) (de b, pela regra 2)
d) u ( , ( ), P Q u 0 ( ))  w P w( , ( ),0 ( ))  ( , ( ),Q g 0 ( ))
(de c, pelas
regras 5 e 7)
e) u ( , ( ),P u 0 ( ))  ( , ( ),Q u 0 ( ))  wP w( ( ))0
 Q g( ( ))0
(de d, pelas regras 3, 8, 9)
f) u ( ( ( ))P u 0  Q u( ( ))0 )  wP w( ( ))0  Q g( ( ))0 (de e,
pelas regras 8,9)
Unificação
World-Paths
C1: P u( ( ))0 Q u( ( ))0 C1’: P u[ ]0 Q u[ ]0
48

C2: P w( ( ))0 C2’: P w[ ]0
C3: Q g( ( ))0 C3’: Q g[ ]0
49

C1’: P u[ ]0 Q u[ ]0
C2’’: P u[ ]0 { }w u
C3’: Q u[ ]0 { }g u

Exemplo 8.1.2 - Vamos provar o teorema ( P   Q)   ( )P Q .
1) ( ( P   Q)   ( )P Q ) (negação da fórmula)
2)  P  Q (de 1, pela regra A)
3)  ( )P Q (de 1, pela regra A)
5) Q (de 2, pela regra A)
Agora, de 3, pela regra F obtemos um novo tableau:
3.1  ( )P Q (de 3, pela regra F)
3.2 P (de 4, pela regra E)
3.3 Q (de 5, pela regra E)
3.4 P Q (de 3.1, pela regra B)
1) ( ( P   Q)   ( )P Q )  (negação da fórmula)
2)  ( ( P   Q)   ( )P Q ) 
3)  ( ( P   Q)   ( )P Q ) 
4)  ( P  Q)    ( )P Q ) 
5)   P  Q    ( )P Q (forma normal clausal)
50

Z = { 1 ,  2 ,  1 }
onde:
 1 : P
 2 : Q
1 :  ( )P Q (1)
Assim verificamos a necessidade de uma sub-resolução.
W = { , , }  1 2 1 , derivado de Z,
onde:
 1 : P
 2 : Q
1 :  ( )P Q (2)
 Resolução Utilizando World-Paths
1) ( ( P   Q)   ( )P Q )  (negação da fórmula)
2)  ( ( P   Q)   ( )P Q ) 
3)  ( ( P   Q)   ( )P Q ) 
4)  ( P  Q)    ( )P Q ) 
5)   P  Q   ( )P Q 
6)   P  Q P Q    ( ) (forma normal clausal)
Tradução
a) (  P  Q P Q    ( ) )
b)  (  P  Q P Q    ( ) ,0,( )) (de a, pela regra 1)
c)  (  P, ,0 ( ))  ( Q,0,( ))     ( ( ), ,P Q 0 ( )) (de b, pela regra 2)
d) u P u ( , ( ),0 ( ))  w Q w( , ( ),0 ( ))    ( , ( ),P Q g 0 ( ))
(de c, pelas
regras 5, 7)
51

e) uP u( ( ))0  wQ w( ( ))0  ( ( , ( ), P g 0 ( ))
  ( , ( ),Q g 0 ( )))
(de d, pelas regras 9, 3)
f) uP u( ( ))0  wQ w( ( ))0  ( ( ( ))P g 0
 Q g( ( ))0 ) (de e, pela regra 8)
Unificação
World-Paths
C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0
C2: Q w( ( ))0 C2’: Q w[ ]0
C3:  P g Q g( ( )) ( ( ))0 0 C3’:  P g Q g[ ] [ ]0 0
C1’: P g[ ]0 { }u g
C2’’: Q g[ ]0 { }w g
C3’:  P g Q g[ ] [ ]0 0

Exemplo 8.1.3 - Vamos provar o teorema  ( )P Q  ( P  Q).
1) ( ( )P Q  ( P  Q)) (negação da fórmula)
2) ( )P Q (de 1, pela regra A)
3) (  P  Q) (de 1, pela regra A)
4) P Q (de 3, pela regra B)
Agora, da fórmula 4 no ramo da esquerda e pela regra F, obtemos um novo
tableau:
4.1.1 P (de 4, pela regra F)
4.1.2 P Q (de 2, pela regra E)
4.1.3 P (de 4.1.2, pela regra A)
4.1.4 Q (de 4.1.2, pela regra A)
52

Agora, da fórmula 4 no ramo da direita e pela regra F, obtemos um novo
tableau:
4.2.1 Q (de 4, pela regra F)
4.2.2 P Q (de 2, pela regra E)
4.2.3 P (de 4.1.2, pela regra A)
4.2.4 Q (de 4.1.2, pela regra A)
1) ( ( )P Q  ( P  Q))  (negação da fórmula)
2)  ( ( )P Q  ( P  Q)) 
3)  ( )P Q   ( P  Q)) 
4)  ( )P Q    P  Q (forma normal clausal)
Z = { 1 , 1 } ou Z’ = { 1 , 2 }
onde: onde:
 1 : ( )P Q  1 : ( )P Q
1 : P 2 : Q (1)
Assim, verificamos a necessidade de uma sub-resolução.
W = { , } 1 1 ou W’ = { , } 1 2
derivado de Z, derivado de Z’,
onde: onde:
 1 : ( )P Q  1 : ( )P Q
1 : P 2 : Q (2)
 Método de Resolução Utilizando World-Paths
1) ( ( )P Q  ( P  Q))  (negação da fórmula)
2)  ( ( )P Q  ( P  Q)) 
3)  ( )P Q   ( P  Q)) 
53

4)  ( )P Q    P  Q 
5)  ( ) ( )P Q P Q     (forma normal clausal)
Tradução
a) ( ( ) ( )P Q P Q     )
b)  ( ( ) ( )P Q P Q     , 0, ( )) (de a, pela regra 1)
c)  ( ( ), ,P Q 0 ( ))    ( , ,P Q 0 ( )) (de b, pela regra 2)
d)  u P Q u( , (0),( ))  ( ( , , P 0 ( ))   ( , ,Q 0 ( ))) (de c, pelas
regras 5, 3)
e) u P u( , ( ),0 ( ))   ( , ( ),Q u 0 ( ))  ( ( , ( ), P g 0 ( ))  ( , ( ),Q g 0 ( )))
(de d, pelas regras 2,
7)
f) uP u( ( ))0  Q u( ( ))0  ( ( ( ))P g 0  Q g( ( ))0 (de e,
pelas regras 9, 8)
Unificação
World-Paths
C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0
C2: Q u( ( ))0 C2’: Q u[ ]0
C3:  P g Q g( ( )) ( ( ))0 0 C3’:  P g Q g[ ] [ ]0 0
C1: P u[ ]0
C2: Q u[ ]0
C3’:  P u Q u[ ] [ ]0 0
{ }g u

Notamos que neste exemplo que tanto para o método de tableau quanto para
a B-resolution houve a necessidade de ramificação para que a prova fosse efetuada.
Pensando-se computacionalmente, isto é um problema pois o espaço de busca fica muito
54

grande. Entretanto, o método de resolução utilizando World-Paths jamais ramifica,
reduzindo o esforço computacional para prova de teoremas.
Exemplo 8.1.4 - Vamos provar o teorema ( )P Q  ( Q  P) .
1) ( ( )P Q  (  Q  P) ) (negação da fórmula)
2) ( )P Q (de 1, pela regra A)
3) ( Q  P) (de 1, pela regra A)
4)  Q (de 3, pela regra A)
5)  P (de 3, pela regra A)
5.1 P (de 5, pela regra F)
5.2 Q (de 3, pela regra E)
5.3 P (de 5.1, pela regra A)
5.4 P Q (de 2, pela regra E)
5.5 P Q (de 5.4, pela regra B)
1) ( ( ) (P Q   Q  P) )  (negação da fórmula)
2)  ( ( ) (P Q   Q  P) ) 
3)  ( ( ) (  P Q   Q  P) ) 
4)  ( ) (   P Q   Q  P) ) 
5)  ( )   P Q    Q  P 
6)  ( )  P Q   Q  P (forma normal clausal)
Z = { 1 ,  2 ,  1 }
onde:
 1 : ( ) P Q
 2 : Q
55

1 : P (1)
W = { , , }  1 2 1 , derivado de Z,
onde:
 1 : ( ) P Q
 2 : Q
1 : P  P (2)
1) ( ( ) (P Q   Q  P) )  (negação da fórmula)
2)  ( ( ) (P Q   Q  P) ) 
3)  ( ( ) (  P Q   Q  P) ) 
4)  ( ) (   P Q   Q  P) ) 
5)  ( )   P Q    Q  P 
6)  ( )  P Q    Q P (forma normal clausal)
Tradução
a) ( ( )  P Q    Q P )
b)  ( ( )  P Q    Q P ,0,( )) (de a, pela regra 1)
c)  ( ( ), P Q 0, ( ))  (  Q, ,0 ( ))   ( P ,0,( )) (de b, pela regra 2)
d)   u P Q u( , (0),( ))   w Q w( , ( ),0 ( ))  ( , ( ),P g 0 ( ))
(de c, pelas
regras 5, 7)
e)  u P u( ( , ( ), 0 ( ))   ( , ( ),Q u 0 ( )))   w Q w( ( ))0
 P g( ( ))0
(de d, pelas regras 3, 8, 9)
56

f)  u P u( ( ))0  Q u( ( ))0   w Q w( ( ))0  P g( ( ))0 (de e,
pelas regras 8, 9)
57

Unificação
World-Paths
C1: P u( ( ))0 Q u( ( ))0 C1’: P u[ ]0 Q u[ ]0
C2: Q w( ( ))0 C2’: Q w[ ]0
C3: P g( ( ))0 C3’: P g[ ]0
C1: P u[ ]0 Q u[ ]0
C2: Q w[ ]0 { }w u
C3’: P g[ ]0 { }g u

8.2 Sistema T
Exemplo 8.2.1 - Vamos provar o teorema  P P .
1) (  P P ) (negação da fórmula)
3) P (de 1, pela regra A)
4) P (de 2, pela regra E-R)
1) (  P P )  (negação da fórmula)
2)  (  P P ) 
3)   P P  
4)   P P  (forma normal clausal)
58

Z = { 1 ,  1 }
onde:
 1 : P
1 : P (1)
W = { , } 1 1 , derivado de Z,
onde:
 1 :P
1 : P (2)
1) (  P P )  (negação da fórmula)
2)  (  P P ) 
3)   P P  
4)   P P  (forma normal clausal)
Tradução
a) (  P P  )
b) (  P P  , ,0 ( )) (de a, pela regra 1)
c) (  P, ,0 ( ))  ( , ,P 0 ( )) (de b, pela regra 2)
d) u P u( , ( ),0 ( ))  P( )0 (de c, pelas regras 5,
8)
e) uP u( ( ))0  P( )0 (de d, pela regra 9)
59

Unificação
World-Paths
C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0
C2: P( )0 C2’: P[ ]0
C1’’: P[ ]0 {u [ ]}
C2’: P[ ]0

Exemplo 8.2.2 - Vamos provar a fórmula  P  P.
1) (  P  P) (negação da fórmula)
2) P (de 1, pela regra A)
3) P (de 1, pela regra A)
Agora, de 3, pela regra F obtemos o seguinte tableau
3.1 P (de 3, pela regra F)
3.2 P (de 2, pela regra E)
3.3 P (de 3.2, pela regra E-R)
1) (  P  P)  (negação da fórmula)
2)  (  P  P) 
3)   P   P
4)   P   P (forma normal clausal)
Z = { 1 , 1 }
onde:
 1 : P
1 : P (1)
60

1ª Sub-resolução
W = { 1 ,  1 }, derivado de Z,
onde:
 1 : P
1 : P (2)
Como existem operadores modais a serem eliminados ainda, precisamos de
uma segunda sub-resolução.
Y = { , } 1 1 , derivado de Z,
onde:
 1 :P
1 : P (3)
Dessa forma, o conjunto em (1) também é insatisfatível. Logo, como os cortes em (2) e
em (1) podem ser feitos, é provado o teorema.
1) (  P  P)  (negação da fórmula)
2)  (  P  P) 
3)   P   P
4)   P   P
5)   P P  (forma normal clausal)
Tradução
a) (  P P  )
b) (  P P  , ,0 ( )) (de a, pela regra 1)
c) (  P, ,0 ( ))   ( , ,P 0 ( )) (de c, pela regra 2)
d) u(  P u, ( ),0 ( ))  ( , ( ),P g 0 ( )) (de d, pelas regras 5, 7)
e)  u w( P w u, ( ( )),0 ( ))  P g( ( ))0 (de d, pelas regras 5, 8)
61

f)  u w P w u( ( ( )))0  P g( ( ))0 (de e, pela regra 9)
Unificação
World-Paths
C1: P w u( ( ( )))0 C1’: P uw[ ]0
C2: P g( ( ))0 C2’: P g[ ]0
C1’’: P u[ ]0 {w [ ]}
C2’: P u[ ]0 { }g u

No sistema T, as provas no sistema de tableau ficaram um pouco mais
simples que a B-resolution, porém, em ambos, nota-se que ao aumentarmos o número de
operadores modais aninhados, o número de sub-tableaux e sub-resoluções aumenta. No
caso de uso de World-Paths, o processo de tradução trata os operadores modais
aninhados, e a prova nunca vai precisar do que mais de um passo. A novidade nesse
método é que o número de possibilidades de unificações bem sucedidas aumenta, mas
isto não significa que o espaço de busca vai aumentar.
8.3 Sistema D (Deôntico)
Exemplo 8.3.1 - Vamos provar o teorema  P P  .
1) (  P P  ) (negação da fórmula)
3) P (de 1, pela regra A)
Agora, de 2 (ou 3) obtemos pela regra E o seguinte tableau:
2.1 P (de 2, pela regra E)
62

2.2 P (de 3, pela regra E)
1) (  P P  )  (negação da fórmula)
2)  (  P P  ) 
3)   P P  
4)   P    P 
5)   P   P (forma normal clausal)
Z = { 1 ,  2 }
onde:
 1 : P
 2 : P (1)
Existem operadores modais a serem eliminados, portanto necessitamos de
uma sub-resolução.
W = { , } 1 2 , derivado de Z,
onde:
 1 :P
 2 : P (2)
1) (  P P  )  (negação da fórmula)
2)  (  P P  ) 
3)   P P  
4)   P    P 
5)   P   P (forma normal clausal)
63

Tradução
a) (  P   P)
b) (  P   P, ,0 ( )) (de a, pela regra 1)
c) (  P, ,0 ( ))  (  P, ,0 ( )) (de b, pela regra 2)
d) u P u( , ( ),0 ( ))   w P w( , ( ),0 ( )) (de c, pela regra 5)
e) uP u( ( ))0   w P w( ( ))0 (de d, pelas
regras 9, 8)
Unificação
World-Paths
C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0
C2: P w( ( ))0 C2’: P w[ ]0
C1’: P u[ ]0
C2’: P u[ ]0 { }w u

8.4 Sistema K4
Exemplo 8.4.1 - Vamos provar o teorema  P  P.
1) (  P  P) (negação da fórmula)
3) P (de 1, pela regra A)
3.1 P (de 3, pela regra F)
3.2 P (de 2, pela regra E-T)
64

1) (  P  P)  (negação da fórmula)
2)  (  P  P) 
3)   P  P
4)   P  P (forma normal clausal)
Z = { 1 , 1 }
onde:
 1 : P
1 : P (1)
Existem operadores modais a serem eliminados, portanto necessitamos de
uma sub-resolução.
W = { 1 , 1 }, derivado de Z,
onde:
 1 :P
1 : P (2)
Existem ainda operadores modais a serem eliminados, portanto precisamos
de uma segunda sub-resolução.
Y = { 1 ,  1 }, derivado de W,
onde:
 1 :P
 1
: P (3)
Dessa forma, o conjunto em (1) também é insatisfatível. Logo, como os cortes em (2) e
em (1) podem ser feitos, é provado o teorema.
65

1) (  P  P)  (negação da fórmula)
2)  (  P  P) 
3)   P  P
4)   P  P
5)   P P  (forma normal clausal)
Tradução
a) (  P P  )
b) (  P P  , ,0 ( )) (de a, pela regra 1)
c) ( P,0,( ))  ( , ,P 0 ( )) (de b, pela regra 2)
d) u P u( , ( ),0 ( ))   ( , ( ),P g 0 ( )) (de c, pelas regras 5, 7)
e) uP u( ( ))0   ( , ( ( )),P h g 0 ( )) (de d, pelas
regras 9, 7)
f) uP u( ( ))0  P h g( ( ( )))0 (de e, pela regra 8)
Unificação
World-Paths
C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0
C2: P h g( ( ( )))0 C2’: P gh[ ]0
C1’: P gu[ ']0 { '}u gu
C2’: P gu[ ']0 { '}h u

Aqui percebemos novamente o problema dos operadores modais aninhados.
Na B-resolução precisamos novamente de duas sub-resoluções para efetuar a prova,
mesmo não sendo necessário eliminar todos os operadores modais.
66

8.5 Sistema S5
Exemplo 8.5.1 - Vamos provar a fórmula ( )P Q   ( )P Q
1) ( ( )P Q   ( )P Q ) (negação da fórmula)
2) P Q (de 1, pela regra A)
3)  ( )P Q (de 1, pela regra A)
4)  ( )P Q (de 2, pela regra E-S)
1) ( P  P)  (negação da fórmula)
2)  (  P  P) 
3)   P  P
4)  P  P (forma normal clausal)
Z = { 1 , 1 }
onde:
 1 : P
1 : P (1)
Existem operadores modais a serem eliminados, portanto precisamos de uma
sub-resolução.
W = { 1 ,  2 } { 1 ,  2 }, derivado de Z,
onde:
 1 : P
 2 : P (2)
67

1) ( ( )P Q   ( )P Q )  (negação da fórmula)
2)  (   ( )P Q  ( )P Q ) 
3)     ( )P Q     ( )P Q ) 
4)  ( )  P Q ( ) P Q 
5)  ( )  P Q  ( )P Q  (forma normal clausal)
Tradução
a) (   P Q ( ))P Q 
b) (   P Q ( ), ,P Q  0 ( )) (de a, pela regra 1)
c) ( , ,P 0 ( ))  ( , ,Q 0 ( ))  ( ( ), ,P Q  0 ( )) (de b, pela regra 3, 2)
d)   P Q( ) ( ) (0 0  ( ), ( ),P Q g  0 ( )) (de c, pelas regras 8,
9, 7)
e)     P Q u P Q u g( ) ( ) ( , ( ( )),0 0 0 ( )) (de d, pela regra 5)
f)    P Q u P u g( ) ( ) ( ( , ( ( )),0 0 0 ( ))  ( , ( ( )),Q u g 0 ( )))
(de e, pela
regra 2)
g)      P Q uP u g Q u g( ) ( ) ( ( ( ))) ( ( ( )))0 0 0 0
(de f, pela regra 9, 8)
Unificação
World-Paths
C1: P( )0 Q( )0 C1’: P[ ]0 Q[ ]0
C2: P u g( ( ( )))0 C2’: P gu[ ]0
C3: Q u g( ( ( )))0 C3’: Q gu[ ]0
C1’: P[ ]0 Q[ ]0
C2’: P[ ]0 { }u g 1
C3’’: Q[ ]0 { }u g 1

68

Exemplo 8.5.2 - Vamos provar a fórmula ( )P Q   ( )P Q .
1) ( ( )P Q   ( )P Q ) (negação da fórmula)
2) ( )P Q (de 1, pela regra A)
3)  ( )P Q (de 1, pela regra A)
Agora, de 2 (ou de 3), pela regra F obtemos o novo tableau:
2.1 P Q (de 2, pela regra F)
2.2  ( )P Q (de 3, pela regra F)
Agora de 2.1, pela regra F-S, obtemos o seguinte tableau:
2.1.1 ( )P Q (de 2.1, pela regra F-S)
2.1.2  ( )P Q (de 2.2, pela regra F-T)
1) ( ( )P Q  ( )P Q )  (negação da fórmula)
2)  ( ( )P Q  ( )P Q ) 
3)  ( ( )  P Q ( ) P Q ) 
4)  ( )  P Q ( ) P Q 
5)  ( )  P Q ( ) P Q 
6)  ( )  P Q ( ) P Q 
7)  ( )P Q   ( )P Q  (forma normal clausal)
Z = {1 ,2 }
onde:
1 : ( )P Q 
2 : ( )P Q  (1)
Como existem operadores modais a serem eliminados, precisamos de uma
sub-resolução.
70

W = {1 , 1 }  {1 , 1 }, derivado de Z,
onde:
1 : ( )P Q 
 1 : ( )P Q  (2)
1) ( ( )P Q  ( )P Q )  (negação da fórmula)
2)  ( ( )P Q  ( )P Q ) 
3)  ( ( )  P Q ( ) P Q ) 
4)  ( )  P Q ( ) P Q 
5)  ( )  P Q ( ) P Q 
6)  ( )  P Q ( ) P Q 
7)  ( )P Q   ( )P Q  
8)      ( )P Q ( )P Q  (forma normal clausal)
Tradução
a) ( ( )   P Q  ( )P Q  )
b) ( ( )   P Q  ( ), ,P Q  0 ( )) (de a, pela regra 1)
c) ( ( ), ,  P Q 0 ( ))  ( ( ), ,P Q  0 ( )) (de b, pela regra 2)
d) ( , ( ), P Q g 0 ( ))  ( ( ), ( ),P Q h  0 ( )) (de c, pela regra 7)
e) ( , ( ),P g 0 ( ))  ( , ( ),Q g 0 ( ))    u P Q u h( , ( ( )),0 ( ))
(de d, pelas
regras 3, 5)
f) P g( ( ))0  Q g( ( ))0  u P u h( ( , ( ( )), 0 ( ))   ( , ( ( )),Q u h 0 ( )))
(de e, pelas
regras 8, 9, 2)
71

g) P g( ( ))0  Q g( ( ))0  uP u h( ( ( )))0  Q u h( ( ( )))0 (de f,
pelas regras 9, 8)
72

Unificação
World-Paths
C1: P g Q g( ( )) ( ( ))0 0 C1’: P g Q g[ ] [ ]0 0
C2: P u h( ( ( )))0 C2’: P hu[ ]0
C3: Q u h( ( ( )))0 C3’: Q hu[ ]0
C1’: P Q[ ] [ ]0 0 {g [ ]}
C2’’: P[ ]0 { }u h 1
C3’’: Q[ ]0 { }u h 1

Notamos que nos exemplos do sistema S5, a B-resolução se tornou mais
efetiva que antes, pois como já haviamos comentado no capítulo 6, as regras de
insatisfatibilidade para este sistema são mais efetivas, permitindo mais cortes. Na
resolução com World-Paths as possibilidades de unificação bem sucedida aumentam
bastante, porém como já dissemos, isto não é problema.
73

9 CONCLUSÃO
Nosso trabalho apresentou uma comparação entre os diferentes métodos de
provas de teoremas para a lógica modal.
O maior mérito da nossa abordagem foi conseguir esclarecer o que é uma
sub-resolução no método de Konolige e, principalmente, reunir esses três métodos num
único trabalho, comparando-os através de exemplos, o que até então era inédito.
Como conseqüência deste trabalho de comparação, chegamos à conclusão de
que o método de resolução utilizando World-Paths se mostrou mais efetivo
computacionalmente, já que não apresenta o problema do espaço de busca se tornar
muito grande e de possuir um processo de unificação mais tranqüilo, o que é um dos
principais problemas do método de tableau.
Perspectivas para trabalhos futuros seriam:
 extensão do método de resolução utilizando World-Paths para sistemas
não seriais;
 implementação computacional desse método;
 o estudo de lógica modal de conhecimento e ação para o desenvolvimento
de agentes inteligentes.

10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[CAS87] CASANOVA, M. et alii. Programação em Lógica e a Linguagem Prolog.
São Paulo, Ed. Edgard Blücher Ltda, 1987, 461p.
[CER84] CERRO, L. MOLOG: A system that Extends PROLOG with Modal Logic.
[s.l.]:[s.n], [1984?], 26p. (Relatório).
[COS92] COSTA, M. Introdução à Lógica Modal Aplicada à Computação. Gramado:
VIII Escola de Computação, 1992, 200p.
[GUE88] GUERREIRO, R. et alii. Programação em Cláusulas Genéricas Utilizando o
Método de Eliminação de Modelos. In: SBIA, 5., 1988, Natal, Anais...,
Natal: SBC, 1988, p.508-519.
[HAR79] HAREL, D. First Order Dynamic Logic. Berlim: Springer-Verlag, 1979, p.5-
56. (Lecture Notes in Computer Science, Vol. 68)
[OHL88] OHLBACH, H. A Resolution Calculus for Modal Logics. In: Conference on
Automated Deduction, 3., 1988, Arjanne: Anais..., Berlim: Springer-
Verlag, 1988, p.500-516.
[PEL93] PELLETIER, F. Automated Modal Logic Theorem Proving in THINKER.
[s.l.]:[s.n], [1993?], p.26-31. (Relatório)
[TUR84] TURNER, R. Logics for Artificial Intelligence. Inglaterra:. Ellis Horwood
Limited, 1984. p10-20

Um Estudo sobre Lógica Modal

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a Um Estudo sobre Lógica Modal

Similar a Um Estudo sobre Lógica Modal (20)

Más de Carlos Campani

Más de Carlos Campani (20)

Um Estudo sobre Lógica Modal