Este documento contém 16 exercícios resolvidos de geometria plana sobre triângulos retângulos. Os exercícios envolvem determinar medidas desconhecidas em figuras geométricas como triângulos, trapézios e círculos, utilizando propriedades como seno, cosseno e tangente. As soluções fornecem os cálculos passo a passo para chegar aos valores solicitados.

1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(01)
Solução
1

2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(02)
Determine os valores de x e y nas figuras planas abaixo:
(a)
(b)
Solução
(a)
(c)
(b)
(d)
2

3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(c)
(d)
(03)
Solução
3

4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(04)
Um ponto interno de um ângulo reto dista 4 m e 8 m dos lados do ângulo.
Qual a distância desse ponto à bissetriz desse ângulo?
Solução
(05)
Um ponto P, interno de um ângulo reto, dista, respectivamente, √ m e 2 m de
um lado e da bissetriz do ângulo. Determine a distância entre P e o vértice
desse ângulo.
Solução
(06)
Um ponto P, interno de um ângulo de 60°, dista 6 m e 9 m dos lados desse
ângulo. Qual a distância entre P e a bissetriz do ângulo?
Solução
4

5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(07)
Um ponto P, interno de um ângulo de 60°, dista 3 m e 6 m dos lados do ângulo.
Determine a distância entre P e o vértice desse ângulo.
Solução
Prolongando o segmento de medida 6 m, obtemos o
triângulo BCD com 𝐶𝐵 𝐷 = 30°. Daí:
A
6m
𝑆𝑒𝑛 30° =
D
∆𝐴𝑂𝐵: 𝑇𝑎𝑛𝑔 60° =
6m
x
𝐶𝐷 1
3
→ =
→ 𝐵𝐷 = 6 𝑚; 𝐴𝐵 = 12 𝑚
𝐵𝐷 2
𝐵𝐷
3m
60°
O
∆𝐴𝑂𝐷: 𝑥² =
30°
C
𝐴𝑂
2
𝐴𝐵
12
→ √3 =
→ 𝐴𝑂 = 4√3
𝐴𝑂
𝐴𝑂
𝐴𝐷
2
→ 𝑥 2 = 48 + 36 → 𝒙 = 𝟐√𝟐𝟏 𝒎
B
(08)
Um ponto P, interno de um ângulo de 30°, dista 3 m de um lado e √
vértice do ângulo. Quanto esse ponto dista do outro lado do ângulo?
m do
Solução
5

6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
B
Prolongamos o segmento cuja medida vamos
determinar e obtemos o triângulo ABC. Temos:
90°
x
𝑦 2 + 33 = 3√13
𝑡𝑎𝑛𝑔 60° =
3√13
w
𝑆𝑒𝑛 60° =
3
30°
60°
a
y
A
z
𝒙=
→ 𝒚 = 𝟔√𝟑𝒎
3
3
→ √3 = → 𝒛 = √𝟑𝒎
𝑧
𝑧
3
√3 3
→
= → 𝒘 = 𝟐√𝟑
𝑤
2
𝑤
∆𝐴𝐵𝐶: 𝑆𝑒𝑛 30° =
C
2
𝑥+ 𝑤 1
𝑥 + 2√3
→ =
→
𝑦+ 𝑧
2
7√3
𝟑√𝟑
𝒎
𝟐
(09)
Um ponto P, externo de um ângulo de 60°, dista √
dos lados do
√
ângulo, sendo que nenhuma destas distâncias é até o vértice do ângulo. Qual é
a distância entre P e a bissetriz do ângulo?
Solução
Na figura abaixo precisamos determinar a distância PT. Assim, temos:
𝟏
𝑵𝒐 ∆𝑷𝑸𝑾:
P
90° W
y
𝑠𝑒𝑛 60° =
60°
𝟐 𝑵𝒐 ∆𝑷𝑹𝑺:
90°
60°
x
9√3
3√3 √3 3√3
→
=
→ 𝒚= 𝟔 𝒎
𝑦
2
𝑦
𝑠𝑒𝑛 60° =
T
9√3 √3 9√3
→
=
→ 𝑷𝑺 = 𝟏𝟖 𝒎
𝑃𝑆
2
𝑃𝑆
𝟑 𝑪𝒐𝒎𝒐: 𝑷𝑺 = 𝟏𝟖
x
𝑦 + 2𝑥 = 18 → 6 + 2𝑥 = 18 → 𝒙 = 𝟔 𝒎
30°
30°
60°
R
S
𝑷𝑻 = 𝒙 + 𝒚 → 𝑃𝑇 = 6 + 6 → 𝑷𝑻 = 𝟏𝟐 𝒎
6

7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(10)
Determine o ângulo que a diagonal de um trapézio isósceles forma com a
altura do trapézio, sabendo que a altura do trapézio é igual a sua base média
multiplicada por √ .
Solução
(11)
Determine a tangente do ângulo “â”, sabendo que “E” é o ponto médio do
lado ̅̅̅̅ do quadrado ABCD.
D
C
Solução
2a
A
E
B
7

8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(12)
Determine o raio de um círculo inscrito num setor circular de 60° e 6 dm de
raio.
Solução
(13)
Seja AB = 3r, tangente em “A” a uma circunferência de centro “O” e raio “r”.
Traça-se por “B” a tangente ̅̅̅̅, que tem “C” por ponto de contato. Calcule a
distância “C” à reta ⃡ .
Solução
8

9. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(14)
Consideremos um triângulo retângulo ABC, onde a medida de um ângulo
agudo é . Determine a medida do raio da circunferência inscrita em função
de e da hipotenusa “a”.
Solução
(15)
Um paralelogramo tem lados respectivamente iguais a 10 cm e 8 cm. Sabendo
que um de seus ângulos internos vale 120°, calcule o perímetro do
quadrilátero convexo formado pelas bissetrizes de seus ângulos internos.
Solução
9

10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(16)
Solução
10