1. Números enterosNúmeros enteros 1
LOS NÚMEROS
ENTEROS
–Mate Básica II Curso
Prof. Cesar A. De León
CIG 2015.

2. Números enterosNúmeros enteros 2
Buena temperatura: + 20 ºC
+20
+5000
+7
– 7
– 5000
– 20
0
Mucho frío: – 20 ºC
Soy rico: tengo +5000 q.
Debo dinero: “tengo” -5000 Q.
Los números naturales se consideran
enteros positivos.
Por cada entero positivo hay un entero negativo.
Van precedidos por un signo menos (–)
De los números naturales a los enteros
Los números enteros
están formados por:
enteros positivos,
enteros negativos
y el cero
Los juegos olímpicos
empezaron en el año 776
antes de Cristo
– 776
– 250
El submarino
navega a 250 m
bajo el nivel del
mar

3. Números enterosNúmeros enteros 3
1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0.
2º. A la derecha del 0 se representa el +1.
3º. La distancia entre 0 y +1 será la que
exista entre cada dos enteros consecutivos.
4º. A la derecha del 0 se
colocan los enteros positivos.
4º. A la izquierda del 0 se
colocan los enteros negativos.
PositivosNegativos
Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos:
+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5
Representación de los números enteros

4. Números enterosNúmeros enteros 4
Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo.
Se indica escribiéndolo entre barras
Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso:
222 =−=+
444 =−=+
Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero:
+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5 –2 +2
El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2.
Se indica así:
Otro ejemplo:
Valor absoluto de un número entero

5. Números enterosNúmeros enteros 5
Ordenación:
Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo
Se indica escribiéndolo entre barras. Así:
Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando
en la recta numérica está a la derecha.
,77 =+ 77 =−
0 +1 +3+2 +4 +6–5 +5–4 –3 –2 –1
Más grandesMás pequeños
Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.
El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo.
Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
137pues,137Luego +<++<+
Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
137pues,137Así, −<−−>−
Valor absoluto y ordenación de los números enteros

6. Números enterosNúmeros enteros 6
0 +1 +3+2 +4 +6+5–2 –1
(+2) + (+3) = +5
Para sumar dos números enteros del mismo signo:
1.º Se suman sus valores absolutos.
(–2) + (–3) = –5
2.º Al resultado se añade el signo que tienen.
+2 +3
–4 –3 –1–2 0 +2+1–6 –5
–2–3
(+6) + (+12) = +18
(+4) + (+21) = +25
(–4) + (–11) = –15
(–17) + (–31) = –48
Suma de enteros del mismo signo

7. Números enterosNúmeros enteros 7
(+12) + (–9) = +3
Para sumar dos números enteros de distinto signo:
1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor.
(+18) + (–19) = –1
2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto.
Teresa y Miguel hacen cuentas ... Nos han dado
12 soles
Y hemos gastado
9 solesLes quedan 3 soles
Carola y Pablo también hacen sus cuentas ...
Nos han dado
18 soles Y hemos gastado
19 soles
Deben 1 sol
¿Les queda o deben dinero?
(Observa que el resultado es negativo,
como el número de mayor valor absoluto).
Suma de números enteros de distinto signo

8. Números enterosNúmeros enteros 8
Para sumar varios números enteros:
1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos.
2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido.
Otros ejemplos:
(+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5
(+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17
Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos.
(+100) + (–40) + (–70) + (+50) =
= (+150) + (–110) = +40
Veamos un ejemplo:
(+100) + (+50) + (–40) + (–70) =
Suma de varios números enteros

9. Números enterosNúmeros enteros 9
4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor
absoluto, pero distinto signo.
4 = op.(–4) –4 = op. (+4)
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número
8 6–2 –8 –6–6
–7 –12 7 12
+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5–6
Se llaman opuestos.
Opuesto del opuesto:
op.(–5) = 5
op.(5) = –5
Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos.
2
–5 5 12
a b a + b op. (a) op. (b) op. (a+b) op. (a) + op. (b)
Opuesto de un número entero

10. Números enterosNúmeros enteros 10
Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del
segundo.
1º. Como signo de la operación resta: 9 – 5
(+9) – (+5) = 9 – 5 = 4
2º. Como indicador de número negativo: –3
(+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0).
(–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8
(–9) – (+5) = –9 – 5 = –14 (–9) – (–5) = –9 + 5 = –4
(+9) – (–5) = 9 + 5 = 14
Algunos ejemplos:
–7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43
El signo – tiene dos significados:
Resta de números enteros

11. Números enterosNúmeros enteros 11
Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras:
1º. Haciendo las operaciones del paréntesis.
2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene.
9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6
9 – (12 + 3)Vamos a calcular:
1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis:
9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6
2º. También se puede hacer así:
12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8
12 – (10 – 6)Calculamos ahora:
1º. Operando antes el paréntesis:
Como ves, sale el mismo resultado.
12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8
2º. También se puede hacer así:
Son iguales
El uso del paréntesis

12. Números enterosNúmeros enteros 12
(a) 15 + (17 – 38) – (–14 + 17) = 15 – 21 – 3 = – 9 (operando dentro de los paréntesis).
Otros ejemplos:
Un signo – delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro.
8 + (4 – 14) = 8 – 10 = – 2
(c) 8 – (–7 + 14 – 19) = 8 + 7 – 14 + 19 = 34 – 14 = 20 (quitando el paréntesis).
8 + (4 – 14)La expresión: se puede calcular de dos maneras:
1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis:
8 + (4 – 14) = 8 + 4 – 14 = 12 – 14 = – 22º. Quitando el paréntesis:
15 – (12 – 2) = 15 – 10 = 5
15 – (12 – 2)Análogamente: se puede calcular de dos maneras:
1º. Operando antes el paréntesis:
2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 12 + 2 = 3 + 2 = 5
Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él.
Operar con paréntesis

13. Números enterosNúmeros enteros 13 SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS:
1) Cuando los números enteros tienen el MISMO SIGNO
SE SUMAN
y el resultado queda con el
MISMO SIGNO que tienen los números que sumé.
EJEMPLO:
1 + 3 + 5 + 8 = 17
POSITIVOS POSITIVO
-1 - 3 - 5 - 8 = - 17
NEGATIVOS NEGATIVO
2) Cuando los números tienen DISTINTO SIGNO
resto al mayor (en valor absoluto) el menor ( en valor absoluto)
y el resultado me da con el signo del mayor (en valor absoluto).
EJEMPLO:
5 + 3 = -2 ME DA NEGATIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO
5 - 3 = 2 ME DA POSITIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO

14. Números enterosNúmeros enteros 14
OPERACIONES CON PARÉNTESIS
3) Si delante de un paréntesis, corchete o llave NO HAY NADA
entonces hay un signo positivo que no se escribe.
EJEMPLO:
HAY UN SIGNO POSITIVO
4) Cuando delante de un paréntesis, corchete o llave hay :
a) un SIGNO NEGATIVO,
se saca el paréntesis, corchete o llave
y SE CAMBIAN todos los signos de los números que están adentro.
EJEMPLO: - ( 4 - 3 ) = - 4 + 3 SE CAMBIAN LOS SIGNOS
b) un SIGNO POSITIVO,
se saca el paréntesis, corchete o llave
y se NO SE CAMBIAN los signos de los números que están adentro.
EJEMPLO: ( 4 - 3 ) = 4 - 3 NO SE CAMBIAN LOS SIGNOS