1. Universidad Interamericana de Puerto Rico
Recinto Metropolitano
Facultad de Ciencias y Tecnología
Propuesta LiNUS-MSP
Prof. Manuel Fernández
2. Los números enteros
1. Los números enteros. Representación y valor absoluto
2. Ordenación de los números enteros
3. Operaciones con números enteros
4. Propiedades de los números enteros
5. Operaciones combinadas
3. 1. Los números enteros. Representación y
valor absoluto
LOS NÚMEROS ENTEROS
• El conjunto de los números enteros está formado
por los números positivos, N, el cero y los números
negativos. Lo representamos con la letra Z.
Z = {…, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
• Los utilizamos para expresar temperaturas bajo
cero, fechas históricas, altitudes, latitudes, deudas,…
4. 1. Los números enteros. Representación y
valor absoluto
LOS NÚMEROS ENTEROS
El valor absoluto de un número entero es el mismo
número con signo positivo. Se expresa escribiendo
el número entre barras.
|+ a| = |− a| = a
|+ 12| = |− 12| = 12
Dos números enteros son opuestos o simétricos
si tienen distinto signo y el mismo valor absoluto.
|+ 7| = |− 7| = 7 op (– 7) = 7
5. 2. Ordenación de los números enteros
LOS NÚMEROS ENTEROS
• La forma más sencilla de ordenar los números
enteros es mediante su representación en la recta
numérica.
• Un número entero a es mayor que un número
entero b, a > b, si a está a la derecha de b en la
recta numérica, mientras que es menor si se
encuentra a la izquierda. También podemos decir
que :
a > b a – b > 0 a < b a – b < 0
6. 3. Operaciones con números enteros.
Adición y sustracción
LOS NÚMEROS ENTEROS
Para sumar dos o más números enteros del mismo
signo se suman los valores absolutos de los
sumandos y se deja el mismo signo. El resultado
siempre es un número entero.
(+8) + (+3) + (+5) = (+16)
(–6) + (–8) + (–9) = (–23)
7. 3. Operaciones con números enteros.
Adición y sustracción
LOS NÚMEROS ENTEROS
Para sumar dos o más números enteros de
distinto signo se suman por separado los del
mismo signo y después se restan sus valores
absolutos, el menor del mayor, y se pone el signo
del que tenga mayor valor absoluto. El resultado es
un número entero.
(–5) + (+4) + (–3) = (–5) + (–3) + (+4) =
= (–8) + (+4) = (–4)
8. 3. Operaciones con números enteros.
Adición y sustracción
LOS NÚMEROS ENTEROS
Para restar dos números enteros se suma al
minuendo el opuesto del sustraendo y se obtiene
así otro número entero.
(–7) – (–3) = (–7) + (+3) = (–4)
9. 3. Operaciones con números enteros.
Multiplicación y división
LOS NÚMEROS ENTEROS
Para multiplicar dos o más números enteros se
multiplican sus valores absolutos. El signo del
producto se obtiene mediante la regla de los
signos.
+ · + = + (+ 3) · (+ 5) = (+15)
+ · – = – (+ 4) · (– 5) = (– 20)
– · + = – (– 7) · (+ 2) = (– 14)
– · – = + (– 6) · (– 3) = (+18)
10. 3. Operaciones con números enteros.
Multiplicación y división
LOS NÚMEROS ENTEROS
Para dividir dos números enteros se dividen sus
valores absolutos. El signo de la división se
obtiene mediante la regla de los signos.
+ : + = + (+ 15) : (+ 5) = (+3)
+ : – = – (+ 18) : (– 2) = (– 9)
– : + = – (– 12) : (+ 4) = (– 3)
– : – = + (– 24) : (– 6) = (+4)
11. 3. Operaciones con números enteros.
Potencias y raíces
LOS NÚMEROS ENTEROS
La potencia de un número entero es otro número
entero que se halla multiplicando la base por sí
misma tantas veces como indique el exponente.
• Si la base es positiva, la potencia es siempre
positiva.
(+5)2 = 25
• Si la base es negativa, la potencia será positiva si
el exponente es par y negativa si el exponente es
impar.
(– 3)2 = (+9) (– 3)3 = (– 27)
12. 4. Propiedades de los números enteros
LOS NÚMEROS ENTEROS
La suma y la multiplicación de números enteros
tienen las siguientes propiedades:
Suma Multiplicación
Conmutativa (–3) + (+ 4) = (+ 4) + (–3) (–3) · (+ 4) = (+ 4) · (–3)
Asociativa [(+ 5) + (+ 7)] + (– 9) =
= (+ 5) + [(+7) + (–9)]
[(+ 5) · (+ 7)] · (– 9) =
= (+ 5) · [(+7) · (–9)]
Elemento neutro (–6) + 0 = (– 6) (+ 5) · 1 = (+ 5)
Elemento opuesto
o simétrico
(+3) + (– 3) = 0
Distributiva de la
multiplicación con
respecto a la suma
(–2) · [(+7) + (–3)] = (–2) · (+7) + (–2) · (–3)
13. 5. Operaciones combinadas
LOS NÚMEROS ENTEROS
Las operaciones entre paréntesis son las primeras
que debes realizar. También puedes eliminarlas de
la siguiente manera:
• Si delante del paréntesis hay un signo positivo, los
signos de los números que hayan dentro del mismo
no se modifican.
3 + (–7 + 6) = 3 – 7 + 6 = 2
• Si delante del paréntesis hay un signo negativo,
cambiarán de signo todos los números que se
encuentren dentro.
5 – (–3 + 8) = 5 + 3 – 8 = 0
14. 5. Operaciones combinadas
LOS NÚMEROS ENTEROS
Cuando hay varias operaciones juntas debes seguir el
siguiente orden:
1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis y
corchetes.
2.º Calcular las potencias y las raíces.
3.º Realizar las multiplicaciones y divisiones en orden de
aparición.
4.º Efectuar las sumas y restas de izquierda a derecha.
[(– 5) – 3] · (– 2) + (– 8) : 22
16. Los números racionales, son el conjunto de números
fraccionarios y números enteros representados por
medio de fracciones.
Todos los números fraccionarios son números
racionales, y sirven para representar medidas.
Números Racionales
17. Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde
todos los números se pueden escribir como fracción,
es decir:
a
b
/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45; -2;
7
0,489; 2,18; -0,647-1;
8
14;
3
NO es racional
a: numerador y b: denominador
15
0
19. Son todos los números Cardinales a los
cuales se les ha añadido el reflejo de los
números Naturales en la parte izquierda
de la recta numérica, o sea, los puestos
de los números Naturales.
{…, - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Números Enteros
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
20. Son los números que se pueden escribir como una fracción,
en la cual el numerador y denominador son Enteros, excepto
el denominador que no puede ser cero.
Números Racionales
21. Naturales:
Para determinar si un número Natural es también Racional,
basta tomar un ejemplo.
Tomemos como ejemplo el número 5.
¿Se puede escribir el 5 como una fracción que cumpla con
la definición de Racional?
Si. El 5 se puede escribir como:
5
1
Ejemplos de Racionales
22. Para determinar si un número Entero es también
Racional, con un ejemplo es suficiente.
Por ejemplo un número negativo: -4
¿Se puede escribir el -4 como una fracción que cumpla
con la definición de Racional?
Si. El -4 se puede escribir como:
−4
1
Enteros
23. Propiedades:
Cuando los números enteros tienen el mismo signo,
se suman y el resultado queda con el mismo signo de
los números sumados.
Ejemplo:
1+3+5+8=17
-2-4-7=-13
Los números Enteros
24. Cuando los números enteros tienen distinto signo, se
resta el mayor (en valor absoluto) con el menor (en
valor absoluto) y el resultado (en valor absoluto)
queda con el signo del mayor.
Ejemplo:
-5+3= -2
6-2=4
25. Si delante de un paréntesis, corchete o llave, no hay
nada o un signo positivo, entonces se considera que
hay un signo positivo que al retirar el paréntesis
mantiene el signo de los términos que estaban dentro
de el.
Ejemplo:
54235423
5423
5423
0
26. Si delante de un paréntesis, corchete o llave, hay un
signo negativo, entonces al retirar el paréntesis se
cambia el signo de los términos que estaban dentro
de el.
Ejemplo:
412
412
1
412412
27. Para sumar o restar números enteros:
Eliminar los paréntesis, llaves y corchetes aplicando las
propiedades que correspondan.
Sumar primero todos los positivos por un lado y los
negativos por otro poniéndoles el signo
correspondiente al resultado de cada uno.
Restar ambos y pongo el signo del mayor al resultado.
35. Resta de Enteros
Regla para restar números enteros
a – b =
• La resta se cambia a suma del opuesto del
sustraendo.
a + (-b)
• Después se aplican las reglas de suma de
enteros
Suma