Cap´   ıtulo 12Fluidos12.1.      Conceptos Preliminares                                                      pasadorUn flui...
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12.2 La presi´n atmosf´rica P0             o        e                                                                   31...
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12.3 Principio de Arqu´                      ımedes                                                           321paralelep...
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12.4 La f´rmula barom´trica         o           e                                                                   323el ...
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12.4 La f´rmula barom´trica         o           e                                                                      325...
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12.5 Tensi´n superficial          o                                                                          327Por otra pa...
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12.7 Fluidos en movimiento                                                                 329El peso del l´             ı...
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  1. 1. Cap´ ıtulo 12Fluidos12.1. Conceptos Preliminares pasadorUn fluido es una substancia incapaz de so-portar fuerzas de cizalla. Es ´sta la propie- edad que distingue a un s´lido de un fluido. o   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡ F F                                     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡En la figura 12.1 se muestra una placa, la   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £cual se intenta deslizar hacia la derecha ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £                                     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £                                     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡                                     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡mediante la aplicaci´n de una fuerza F . o   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡Un pasador s´lido evita que esto ocurra. oSin embargo, cuando el pasador es susti- placatuido por un l´ ıquido o un gas, la placa co-menzar´ a deslizarse (aun para fuerzas F ıa Figura 12.1peque˜as). El fluido no es capaz de ejer- ncer una fuerza de cizalla para mantener elequilibrio.La densidad de una sustancia es la raz´n entre su masa y volumen: ρ = m/V . La densidad odel agua, a 4◦ C, es 1.00 g/cm3 (es el valor m´ximo de la densidad del agua). aLos fluidos se dividen en dos subclases: los l´ ıquidos y los gases. Los l´ ıquidos se caracterizanpor ocupar un volumen definido independiente del volumen del recipiente que lo contiene.Un gas, por otra parte, tiende a expandirse y a ocupar todo el volumen del recipiente quelo contiene. La compresibilidad del fluido es otra propiedad marcadamente distinta en losl´ ıquidos y en los gases. Un l´ ıquido es bastante incompresible y en la gran mayor´ de las ıaaplicaciones se puede suponer que su densidad es constante. Lo opuesto es cierto para los ´gases. Estos son sustancias muy compresibles y generalmente no se puede suponer que sudensidad sea constante.A pesar de que los fluidos est´n constituidos por mol´culas, en le presente cap´ a e ıtulo setratan como un medio continuo. El uso de los aspectos macrosc´picos de un fluido est´ jus- o atificado cuando el camino libre medio (es decir, la distancia media que alcanza a recorreruna mol´cula del fluido antes de colisionar con otra) es mucho menor que las distancias einvolucradas del sistema bajo consideraci´n. o 317
  2. 2. 318 FluidosSea F una fuerza que act´a en forma perpendicular sobre un ´rea A. Se define la presi´n u a oP por la relaci´n o F P ≡ AConsidere un fluido en reposo (por ejemplo, un vaso de agua, una piscina o una lago). Alsumergir un objeto en el fluido, ´ste ejercer´ una fuerza sobre las superficies del objeto. La e afuerza por unidad de ´rea (o presi´n) que ejerce un fluido sobre los objetos (o superficies) a ocon las que est´ en contacto, tiene varias propiedades importantes: a a) La fuerza que un fluido en reposo ejerce sobre una superficie es siempre perpendicular a ella. Esto est´ directamente relacionado con el hecho de que un fluido es incapaz de a ejercer una fuerza de cizalla. b) Un fluido, en un punto particular, ejerce la misma presi´n en todas las direcciones o (Principio de Pascal ). En otras palabras, la presi´n es una magnitud escalar. Si su- o mergimos en el fluido un cubo infinitesimal, la fuerza sobre todas las caras del cubito ser´ la misma, siendo su magnitud F = P A. Aqu´ A es el ´rea de una de las caras del a ı a cubito y P es la presi´n del fluido en el lugar donde se encuentra el cubo (estamos o despreciando variaciones de la presi´n sobre distancias del tama˜o del cubito). o n c) Los lugares isob´ricos (de igual presi´n) en un fluido en reposo (y de densidad cons- a o tante) son los planos horizontales. En la figura 12.2, en los puntos A, B, C, D y E la presi´n es la misma. Tambi´n la presi´n es igual en los puntos F , G, H e I. La o e o presi´n es mayor en puntos ubicados a mayor profundidad. En el punto J la presi´n o o es menor que en el punto F . aire J F G H I A B C D E líquido Figura 12.212.2. La presi´n atmosf´rica P0 o eLa presi´n en la superficie de un fluido que se encuentra en un recipiente abierto a la oatm´sfera no es nula, sino igual a la presi´n atmosf´rica. Esta ultima se debe a que estamos o o e ´inmersos en un fluido (compresible) constituido por el aire. La atm´sfera de la Tierra ejerce ouna presi´n sobre todos los objetos con los que est´ en contacto, en particular sobre otros o a
  3. 3. 12.2 La presi´n atmosf´rica P0 o e 319fluidos. La presi´n atmosf´rica sobre la superficie terrestre la denotaremos por P0 , y es igual o ea la presi´n ejercida por el peso de toda la columna de aire que est´ por encima. o aP0 no es despreciable o insignificante como algunas personas suelen creer. Por el contrario,la presi´n atmosf´rica juega un papel importante en numerosos aparatos y m´quinas de la o e avida diaria.Antes de continuar digamos algo sobre las unidades de la presi´n: oEn el sistema SI, la unidad de presi´n es el Pascal: 1 Pa = 1 N/m2 . A 105 Pa se le suele ollamar bar , o sea 1 bar = 105 Pa. Observe que 1 bar es aproximadamente la presi´n que oejerce una masa de 1 kg si ´sta est´ apoyada sobre un ´rea de 1 cm e a a 2 . En efecto, 9,81 N 1 Kg/cm2 = 2 = 0,981 · 105 N/m2 = 0,981 bar. 0,0001 mTambi´n observe que 1 kg es la masa de una columna de agua de 10 m de altura y 1 cm2 ede secci´n transversal. oOtra unidad frecuentemente usada para medir la presi´n es la atm´sfera (atm). 1 atm o ocorresponde a la presi´n promedio que ejerce la atm´sfera terrestre a nivel del mar. Expe- o orimentalmente se encuentra que ´sta es aproximadamente 1,013 · 105 N/m2 = 1.013 bar. Se edefine la atm´sfera est´ndar por o a 1atm = 1,0135 · 105 N/m2 = 1,0135bar .O sea, y esto es util recordar, 1 atm es aproximadamente igual a un bar e igual a la presi´n ´ oque ejerce el peso de una masa de 1 kg sobre 1 cm2 , que a su vez es igual a la presi´n oadicional ejercida por una columna de agua a 10 metros de altura.La palma de una mano tiene un ´rea de aproximadamente 100 cm2 , luego la fuerza que aejerce la atm´sfera sobre la palma extendida es aproximadamente igual a la que ejercer´ o ıauna masa de 100 kg apoyada sobre ella. La fuerza sobre la palma es balanceada por unafuerza igual y contraria aplicada sobre el dorso de la mano.Considere un tubo de 1 m de largo y secci´n otransversal A, cerrado por uno de los extre-mos. Llenemos el tubo con mercurio y colo- vacío presión 0quemos el tubo, con el extremo abierto haciaabajo, en un recipiente con mercurio. Obser-varemos que el nivel de mercurio se situar´ a a h = 760 mmaproximadamente 760 mm del nivel del reci- presión P0piente (ver figura 12.3). El extremo superiordel tubo queda al vac´ıo.Apliquemos la segunda ley de Newton a la Hgcolumna de mercurio (que sobresale de la su-perficie del l´ ıquido en el recipiente). ¿Cu´les ason las fuerzas que act´an sobre ella? u Figura 12.3
  4. 4. 320 FluidosHay s´lo dos: por una parte est´ la presi´n que el fluido que est´ en el recipiente ejerce o a o asobre el mercurio que est´ en el tubo: tal fuerza es F1 = P0 Aˆ; por otra, est´ el peso del a z amercurio al interior de la columna, F2 = −AhρHg gˆ. Como el fluido est´ en reposo la fuerza z aneta debe ser nula, o sea P0 A = AhρHg g .La densidad del mercurio es ρHg = 13,6 g/cm3 . Con esto obtenemos par P0 el valor P0 1,014 · 105 Pa = 1 atm .¡La fuerza que eleva l mercurio al interior del tubo es la presi´n atmosf´rica! El dispositivo o eque acabamos de describir es un bar´metro de mercurio. La altura de la columna de mercurio omide la presi´n atmosf´rica. La presi´n atmosf´rica promedio a nivel del mar corresponde o e o ea 760 mm de mercurio.Al repetir el mismo experimento, pero con una columna de agua, la altura ser´ 13.6 ve- aces mayor (recuerde que la densidad del mercurio es 13.6 g/cm3 y la del agua 1 g/cm3 ).Multiplicando los 76 cm por 13.6 se obtienen 10.34 m. Este dato es muy importante, yaque interviene en varias aplicaciones tecnol´gicas. Por ejemplo, al intentar elevar agua de oun pozo (cuya superficie est´ en contacto con el aire que nos rodea) succionando por el aextremo superior de un tubo largo, s´lo se tendr´ ´xito si el nivel de agua no est´ a m´s de o ae a a10.34 metros de profundidad (en la pr´ctica esta altura es menor ya que el agua comienza aa hervir bastante antes de llegar a los 10.34 metros).12.3. Principio de Arqu´ ımedes ^ z AAl sumergirnos en un fluido, la presi´n au- o P0menta. Evaluemos este aumento de presi´n opara un fluido incompresible (l´ıquido) de den-sidad ρ. para ello consideremos el fluido con- ρ g htenido en un paralelep´ıpedo imaginario de al-tura h y ´rea A. Una de las caras de ´rea a aA la ubicamos de manera que coincida conla superficie del l´ ıquido mientras que la otraqueda a una profundidad h (ver figura 12.4).Por lo dicho en la secci´n anterior, la presi´n o oP = P (h) es s´lo una funci´n de la profundi- o o Figura 12.4dad h.Es claro que las fuerzas netas horizontales ejercidas por el fluido externo sobre el parale-lep´ ıpedo son nulas, de lo contrario el fluido del paralelep´ıpedo acelerar´ —lo que estar´ ıa ıaen contradicci´n con la suposici´n de que el fluido se encuentra en reposo. o oLas fuerzas que act´an sobre el paralelep´ u ıpedo en la direcci´n vertical son: i) la fuerza oque el aire ejerce sobre la cara superior, que es F1 = −P0 Aˆ, ii) la fuerza que el fluido z(exterior) ejerce sobre la cara inferior, que es F2 = P (h)Aˆ y iii) la fuerza debida al peso zdel paralelep´ıpedo con su fluido. Esta fuerza de gravedad es F3 = −(ρAh)gˆ. Como el z
  5. 5. 12.3 Principio de Arqu´ ımedes 321paralelep´ ıpedo est´ en equilibrio, la fuerza total debe ser nula, es decir, a 0 = F1 + F2 + F3 = (−P0 A + P (h)A − ρAhg)ˆ . zDe la ecuaci´n anterior se deduce que o P (h) = P0 + ρgh ,donde P0 es la presi´n atmosf´rica que act´a sobre la superficie del fluido. Observe que el o e uaumento de la presi´n con la profundidad es igual a la presi´n ejercida por el peso de la o ocolumna del fluido que se encuentra por encima.Estamos en condiciones de demostrar el Principio de Arqu´ ımedes: Al sumergir un cuerpo parcial o totalmente en un fluido aparece una fuerza llamada empuje que act´a sobre el cuerpo y apunta en la direcci´n opuesta a u o la gravedad. La magnitud del empuje es Fe = ρgV , donde ρ es la densidad del fluido y V es el volumen del fluido que fue desplazado por el cuerpo.Para demostrar este principio observe prime-ramente que la fuerza que el l´ ıquido ejercesobre cada parte de la superficie del cuerpo ^ z Asumergido o parcialmente sumergido es in-dependiente del material de que est´ hecho. aPor lo tanto, en lo que a empuje respecta,podemos reemplazar la parte sumergida delcuerpo A por un l´ ıquido igual al l´ ıquido quelo rodea (ver figura 12.5). Si ρ es la densi-dad del l´ ıquido y Vs el volumen de la par-te sumergida del cuerpo A, entonces el peso Bdel cuerpo B es W = −ρVs gˆ. Por supues- zto que el cuerpo B estar´ en equilibrio, por aconsiguiente la fuerza de empuje que el l´ıqui-do exterior ejerce sobre B debe exactamentecontrarrestar el peso. Luego la fuerza de em- Figura 12.5puje es Fe = ρVs gˆ. zM´s a´n, el cuerpo B est´ en equilibrio neutro (es decir, dentro del l´ a u a ıquido lo podemostrasladar a cualquier punto y orientarlo en cualquier direcci´n, quedando en reposo), luego ola fuerza de empuje debe estar actuando como si estuviera aplicada en el centro de gravedadde B. Esto es un dato de importancia para analizar el equilibrio de objetos flotantes osumergidos.
  6. 6. 322 FluidosEjemplo: Considere tres cubos del mismotama˜o, adheridos tal como se muestra en la nfigura 12.6. El material del cual est´n hechos a βlos dos cubos A y B es ρ1 = 0,5 g/cm3 , mien- Btras que el cubo C est´ hecho de un material a Ade densidad ρ2 = 2 g/cm3 . Observe que ladensidad media de los tres cubos es igual a Cla del agua (ρ = 1 g/cm3 ) y, por lo tanto,al sumergirlo en agua, la fuerza de empujeexactamente cancela el peso. ¿Cu´l ser´ la a aorientaci´n de equilibrio estable que el obje- oto adquirir´ cuando est´ “flotando” rodeado a a Figura 12.6de agua?Las unicas fuerzas que est´n actuando sobre el objeto son el peso W y el empuje Fe . Ya ´ asabemos que ambas fuerzas tienen la misma magnitud y apuntan en direcciones opuestasy, por lo tanto, la fuerza neta sobre el objeto es nula. Pero para que se encuentre enequilibrio tambi´n el torque neto debe ser nulo. Esto se logra s´lo si ambas fuerzas son e ocolineales (act´an a lo largo de la misma recta). Encontremos los puntos en que act´an las u udos fuerzas.La gravedad act´a en el centro de masas. El u A Bcentro de masas de los cubos A y B se en-cuentra en a y el centro de masas de C seencuentra en b. El centro de masas del obje- ato completo se encontrar´ sobre la recta que a 2 Lune a con b. Como el cubo C tiene el doblede masa de los dos cubos A + B juntos, elcentro de masas del objeto completo se ubi- 1 βcar´ m´s cerca de b que de a. En la figura 12.7 a a Chemos designado el centro de masas del ob- bjeto completo con el n´mero 1. Se tiene que ub, 1 = a, b/3.La fuerza de empuje, por otra parte, act´a en u Lel centro de masas que se obtiene al sustituirlos tres cubos por agua (en la figura lo hemos Figura 12.7designado con el n´mero 2). uNuevamente el centro de masas de los cubos A+B se encuentra en a, mientras que el de C seencuentra en b. El centro de masas de los centros de masas nuevamente se encontrar´ sobreala recta a, b. Pero ahora los cubos A + B pesan el doble de lo que pesa C, luego el centrode masas ahora estar´ m´s cerca de a que de b. De hecho, el centro de masas cuando los a atres cubos est´n hechos de agua debe estar sobre el plano de simetr´ indicado en la figura a ıacon una l´ınea punteada.En resumen, la fuerza de gravedad act´a en 1 y el empuje act´a en 2. Para que no haya u utorque sobre el sistema la recta a, b debe orientarse a lo largo de la vertical. Concluimos que
  7. 7. 12.4 La f´rmula barom´trica o e 323el ´ngulo β de la figura 12.6 debe coincidir con el de la figura 12.7. Se deduce inmediatamente aque tan β = 1/2. Conv´nzase de que el equilibrio es estable cuando el punto 2 est´ sobre el e apunto 1 e inestable cuando 1 est´ sobre 2. a12.4. La f´rmula barom´trica o eConsidere N mol´culas de un gas confinadas en un volumen V y a una temperatura T . Si ela ecuaci´n de los gases ideales es aplicable se tiene que o P V = N kB T .Aqu´ P es la presi´n del gas y kB = 1,38 · 10−16 erg/K es la constante de Boltzmann. Sea ı om la masa de cada mol´cula, entonces e N m kB T kB T P = =ρ , V m mdonde ρ es la densidad de masa del gas. De esta relaci´n se deduce que, mientras la tem- operatura se mantenga constante, la presi´n de un gas es proporcional a su densidad. En oparticular, si ρ0 y P0 son la densidad y presi´n de la atm´sfera al nivel del mar (z = 0) y o oρ(z)y P (z) son las mismas magnitudes, pero a una altura z (por sobre el nivel del mar),entonces P0 ρ0 = . P (z) ρ(z)Por otra parte (ver figura 12.8), la presi´n a o ^ zuna altura z es la misma que la que hay auna altura z es la misma que la que hay a z+dzuna altura z + dz m´s la presi´n ejercida por a o g zel peso del gas que hay entre las alturas z yz + dz, o sea, P (z) = P (z + dz) + ρ(z)g dz .Esta ecuaci´n se puede reescribir de la forma o Figura 12.8 dP gρ0 = −ρ(z)g = − P (z) . (12.1) dz P0´Esta es la ecuaci´n diferencial que gobierna el comportamiento de la presi´n atmosf´rica o o e(a temperatura constante). Para resolver esta ecuaci´n debemos antes discutir la funci´n o oexponencial .La funci´n exponencial oLa ecuaci´n diferencial del tipo o df (t) f˙(t) = = Γf (t) , (12.2) dt
  8. 8. 324 Fluidosdonde Γ es una constante (real o compleja), aparece frecuentemente en las ciencias naturales(y tambi´n en las ciencias econ´micas). Es muy importante discutir y analizar sus soluciones. e oUna ecuaci´n diferencial es una ecuaci´n que involucra una funci´n y sus derivadas (primera, o o osegunda, etc.). La derivada de m´s alto orden que aparece en la ecuaci´n define el orden a ode la ecuaci´n diferencial. La ecuaci´n diferencial (12.2) es de primer orden. o oNos interesa encontrar la soluci´n m´s general de (12.2). Un resultado importante de la o ateor´ de ecuaciones diferencial (y que no demostraremos aqu´ es que la soluci´n general ıa ı) ode una ecuaci´n diferencial de orden n tiene n constantes arbitrarias. En otras palabras, osabremos que tenemos la soluci´n general de la ecuaci´n (12.2) si ´sta tiene una constante o o eque se puede elegir arbitrariamente. Una vez que se ha encontrado la soluci´n general, la oconstante arbitraria se elige de manera que la soluci´n corresponda a la soluci´n del pro- o oblema planteado (o sea, cumpla con las condiciones iniciales). o ¨ ´Ejemplo: Consideremos la ecuaci´n diferencial z = a0 . Esta es una ecuaci´n diferencial de osegundo orden. La soluci´n general es z(t) = z0 + v0 t + a0 t2 /2. La soluci´n general tiene dos o oconstantes arbitrarias z0 y v0 , las que deben elegirse de manera que la soluci´n corresponda oa la situaci´n f´ o ısica concreta que se est´ considerando. aDefinamos la funci´n exp(t) mediante la serie o t t2 t3 exp(t) = 1 + + + + ··· . (12.3) 1! 2! 3!Es evidente que su derivada es igual a la funci´n, es decir, o d exp(t) = exp(t) . dtEjercicio: Demuestre que la funci´n f (t) = A exp(Γt), donde A es una constante arbitraria, oes la soluci´n general de la ecuaci´n o o f˙(t) = Γf (t) .Como consecuencia del ejercicio anterior concluimos que la soluci´n general de la ecuaci´n o o(12.1) es gρ0 P (z) = A exp − z , P0donde la constante arbitraria A se determina exigiendo que la presi´n en z = 0 sea P0 . Esto onos da la condici´n A = P0 . De esta manera obtenemos la f´rmula barom´trica o o e gρ0 P (z) = P0 exp − z . P0Reiteramos que este resultado, que nos da la presi´n barom´trica en funci´n de la altura, o e oes s´lo aproximadamente correcto ya que, contrariamente a nuestra suposici´n, la tempe- o oratura de la atm´sfera normalmente disminuye a medida que uno se eleva. o
  9. 9. 12.4 La f´rmula barom´trica o e 325Ejercicio: Demuestre que la funci´n f (t) = exp(Γ1 t) exp(Γ2 t) es una soluci´n de la ecuaci´n o o odiferencial f˙(t) = (Γ1 + Γ2 )f (t) .Por consiguiente, f (t) = exp(Γ1 t) exp(Γ2 t) debe poder escribirse de la forma f (t) = A exp((Γ1 +Γ2 )t). Demuestre que en ese caso A = 1, o sea exp(Γ1 t) exp(Γ2 t) = exp((Γ1 + Γ2 )t) . (12.4)Observe que esta relaci´n justifica la introducci´n de la notaci´n o o o exp(Γt) = eΓt .La funci´n et = exp(t) se llama funci´n exponencial . o oEjercicio: Evaluando la serie (12.3) para t = 1, demuestre que e = 2,718 . . .Problemas (relacionados con la funci´n exponencial) o 1. Suponiendo que la atm´sfera tiene una temperatura constante, determine la presi´n o o atmosf´rica a 10 km de altura. (La densidad del aire, en la vecindad de la superficie e terrestre, a 20◦ C, es aproximadamente ρ0 = 1,29 kg/m3 .) 2. Considere un cilindro de radio R sobre el cual se apoya una cuerda. Sea µe el coeficien- te de roce est´tico entre la cuerda y el cilindro. Suponga que en uno de los extremos a de la cuerda est´ colgando una masa M . ¿Cu´l es la m´ a a ınima masa que debe colgarse en el otro extremo para que la cuerda no resbale? Respuesta: m = M e−µe π . 3. La cantidad de n´cleos de un elemento radiactivo que decae en un intervalo [t, t ] u es proporcional al n´mero de n´cleos no deca´ u u ıdos que se ten´ inicialmente (en el ıa instante t). Demuestre que la afirmaci´n anterior implica que o N (t) = N0 e−λt , donde N (t) es el n´mero de n´cleos en el instante t que no ha deca´ u u ıdo, N0 la misma magnitud pero en el instante t = 0 y λ es una constante positiva (la as´ llamada ı constante de desintegraci´n). o Para el caso en que λ = 0,01 s−1 , determine el tiempo que debe transcurrir para que decaiga la mitad de los n´cleos. u 4. Suponga que cierto banco (en el pa´ de las maravillas) para intereses a una tasa de ıs 100 % anual sobre los dep´sitos, y m´s a´n, los paga en forma continua, sumando los o a u intereses al capital depositado. Si una persona deposita $1000, ¿cu´nto le devolver´ el a a banco al cabo de un a˜o?n Respuesta: $ 2 718.28. . . = e · 1000.
  10. 10. 326 Fluidos12.5. Tensi´n superficial oEntre dos mol´culas de un fluido act´an fuerzas. Estas fuerzas, llamadas fuerzas de van e uder Waals o fuerzas cohesivas son de origen el´ctrico. Una de las caracter´ e ısticas de estasfuerzas es que su alcance es muy peque˜o (r´pidamente se desvanecen cuando la distancia n aentre las mol´culas es dos o tres veces su tama˜o); otra caracter´ e n ıstica es que mientras lasmol´culas no se traslapan, la fuerza es atractiva. eEl efecto neto de las fuerzas de cohesi´n so- obre una mol´cula que est´ en el interior del e al´ ıquido es nulo, pero no as´ para una mol´cula ı eque se encuentra en la superficie (ver figura12.9). Para poner una mol´cula en la super- eficie hay que realizar un trabajo. O sea, laexistencia de una superficie en un fluido in-troduce una energ´ potencial. Esta energ´ ıa ıaes proporcional a la superficie y se tiene que Figura 12.9 dW = σ dA .Aqu´ σ es una constante que depende del fluido y se llama tensi´n superficial y dA es un ı oelemento (infinitesimal) de superficie. En realidad la tensi´n superficial depende de las dos osubstancia que est´n en contacto. La siguiente tabla da valores de la tensi´n superficial a opara algunos casos. Substancia En contacto con Temp. ◦ C σ [N/m] Agua aire 0 0.0756 Agua aire 20 0.07275 Agua aire 80 0.0626 Hg vac´ıo 20 0.475 Hg aire 20 0.436 Alcohol met´ ılico aire 20 0.0227 Glicerol C3 H8 O3 aire 20 0.0634 Soluci´n jabonosa o aire 20 0,025 FPara medir la tensi´n superficial se pue- ode usar el dispositivo mostrado en la figura12.10. Un alambre movible, inicialmente su- hmergido, se tira lentamente, extray´ndolo del el´ ıquido (con una pel´ ıcula del l´ ıquido adosa-da). Midiendo la fuerza F se puede deducirσ. En efecto, al mover el alambre movible a Luna altura h a h+dh, el trabajo que se realizaes dW = F dh. Figura 12.10
  11. 11. 12.5 Tensi´n superficial o 327Por otra parte, la superficie de la pel´ ıcula aumenta en dA = 2L dh (el factor 2 se debe aque la pel´ ıcula tiene una superficie a cada lado). Se tiene dW F dh F σ= = = . dA 2L dh 2LProblema: Deseamos encontrar la diferencia de presi´n entre el interior y exterior de una opompa de jab´n de radio R = 1 cm. oSi, soplando con una pajita, aumentamos el radio de la pompa de R a R + dR, entonces lasuperficie aumenta en dA = 2 · (4π(R + dr)2 − 4πR2 ) = 16πR dR .El factor 2 nuevamente se debe a que hay que considerar tanto la superficie interior comoexterior de la pompa. El cambio de energ´ debido al aumento de la superficie es por lo ıatanto dW = σ dA = 16σπR dR .Por otra parte, podemos evaluar el trabajo directamente, multiplicando el desplazamientodR por la fuerza ∆P · 4πR2 , es decir, dW = ∆P · 4πR2 dR .Igualando las dos ultimas expresiones se encuentra la diferencia de presi´n ´ o 4σ ∆P = . RCon σ = 0,025 N/m y R = 0,01 m se obtiene ∆P = 10 N/m2 . Si se deja de soplar por lapajita, la pompa se desinfla.Observe que la presi´n al interior de una pompa de jab´n es mayor tanto m´s peque˜o o o a nes su radio. De esta observaci´n se deduce que al juntarse una pompa de jab´n grande o ocon una peque˜a, la peque˜a inflar´ a la m´s grande. De esta manera la pompa grande n n a aaumentar´ su tama˜o mientras que la peque˜a disminuir´: en otras palabras, la m´s grande a n n a aabsorber´ a la m´s peque˜a. a a n
  12. 12. 328 Fluidos12.6. CapilaridadLa fuerza entre mol´culas de dos substancias edistintas se llama fuerza de adhesi´n. Con- o Γsideremos una peque˜a cantidad de l´ n ıquido   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡ α   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡(medio #2) en contacto con una superficie                                                       ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡                                                       ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡s´lida plana(medio #3) y ambos en contacto ocon un gas (medio #1) (ver figura 12.11). Sea{σi,j }, con i, j = 1, 2, 3 las tensiones superfi-ciales para las distintas interfases de la figura12.11.Si la fuerza de adhesi´n (entre el l´ o ıquido y αel s´lido) es mucho mayor que la fuerza de o ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £cohesi´n (entre las mol´culas del l´ o e ıquido), en- ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £tonces el l´ ıquido tender´ a esparcirse sobre el as´lido (ver figura 12.6a). En este caso se dice oque el l´ ıquido moja al s´lido. o Figura 12.11Por otra parte, si la fuerza de adhesi´n es mucho menor que la fuerza de cohesi´n, entonces o oel l´ ıquido tender´ a concentrarse, adquiriendo una forma compacta tipo gota (ver figura a12.11 b).Como resultado de esta competencia entre las distintas fuerzas de adhesi´n y cohesi´n, o ose forma un ´ngulo de contacto α bien caracter´ a ıstico entre el l´ ıquido y el s´lido. Experi- omentalmente se determina que este ´ngulo de contacto para las substancias agua–vidrio es aaproximadamente 0◦ , mientras que para mercurio–vidrio α = 140◦ .Considere la l´ ınea Γ a lo largo de la cual conviven las tres fases. Conocemos la magnitudy la direcci´n de la fuerza sobre Γ proveniente de la tensi´n superficial del l´ o o ıquido. Por elprincipio de acci´n y reacci´n, el s´lido ejercer´ sobre el l´ o o o a ıquido una fuerza de la mismamagnitud pero en direcci´n opuesta. Esta fuerza es la que hace subir un fluido por un ocapilar.Consideremos un tubo fijo, de di´metro in- a 2rterior muy peque˜o 2r y con un extremo in- nmerso verticalmente en un l´ ıquido cuya ten-si´n superficial es σ. El largo de la l´ o ınea Γen este caso es 2πr. La fuerza que el tuboejerce sobre el l´ ıquido a trav´s de la tensi´n e o hsuperficial es F = σ(2πr) cos α ,donde α es el ´ngulo de contacto del l´ a ıqui-do con el material del tubo. Esta fuerza de-be compensarse exactamente con el peso del Figura 12.12l´ ıquido (que est´ por sobre el nivel exterior). a
  13. 13. 12.7 Fluidos en movimiento 329El peso del l´ ıquido que subi´ por el tubo capilar es o Fg = ρ0 (πr2 h)g ,donde ρ0 es la densidad del l´ ıquido. Igualando las dos fuerzas se obtiene para la alturam´xima h a la que sube el l´ a ıquido la expresi´n o 2σ cos α h= . ρ0 grEjemplo: Los xilemas que trasportan los nutrientes en una plante t´ ıpicamente tienen unradio de 10−3 cm. Evaluemos la altura m´xima a la que podr´n llegar los nutrientes. Su- a apondremos que el ´ngulo de contacto α = 0 y para la densidad y tensi´n superficial del a ol´ ıquido usaremos la del agua.Usando la f´rmula expuesta m´s arriba se encuentra que h o a 1,5 m. La capilaridad esefectivamente uno de los mecanismos que las plantas usan para elevar la savia, sin embargo,no puede ser el mecanismo responsable para elevar el agua de las ra´ ıces hasta la punta delos ´rboles grandes (cuya altura puede superar los 100 metros), ya que para ello los xilemas atendr´ que tener un di´metro 100 veces menor. ıan a12.7. Fluidos en movimientoConsideraciones preliminaresLos fluidos en movimiento se pueden clasificar con respecto a varios aspectos. Uno deellos es la compresibilidad. La hidrodin´mica se preocupa de estudiar el flujo de fluidos aincompresibles, mientras que la aerodin´mica analiza los flujos de fluidos compresibles. aNotamos, sin embargo, que incluso los gases pueden aproximadamente como incompresiblesmientras su velocidad no supere a la tercera parte de la velocidad del sonido.Otro aspecto clasificatorio se introduce respecto al roce interno. Se tiene el flujo de un fluidoideal si se ignoran todos los efectos debido al roce interno (es decir, se ignora la viscosidaddel fluido). En caso contrario se estar´ considerando flujos de l´ a ıquidos y gases reales.La trayectoria de un peque˜o elemento de nfluido define una l´ ınea de corriente o l´ınea ρ2de flujo. A su vez todo un haz de l´ ıneas de A2flujo define un tubo de flujo (ver figura 12.13) ρ1 v2tambi´n podemos clasificar los fluidos en mo- e A1vimiento con respecto al comportamiento de v1sus l´ ıneas de corriente. Si ´stas no var´ a e ıanmedida que transcurre el tiempo se tiene unflujo estacionario o flujo laminar ; en caso Figura 12.13contrario, el flujo es turbulento.En un flujo laminar, dos l´ ıneas de corriente cercanas entre s´ en cierto lugar, se mantendr´n ı acercanas en todas partes. Tambi´n dos l´ e ıneas de corriente del fluido nunca se cruzan.Cuando el flujo es turbulento entonces elementos de fluido que inicialmente est´n infinite- asimalmente cerca pueden llegar a estar separados por distancias macrosc´picas a medida o

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