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Cap´
   ıtulo 12

Fluidos

12.1.      Conceptos Preliminares
                                                      pasador
Un fluido es una substancia incapaz de so-
portar fuerzas de cizalla. Es ´sta la propie-
                              e
dad que distingue a un s´lido de un fluido.
                          o                            
                                                      ¡
                                                           
                                                          ¡
                                                               
                                                              ¡
                                                                   
                                                                  ¡
                                                                       
                                                                      ¡
                                                                           
                                                                          ¡
                                                                               
                                                                              ¡
                                                                                   
                                                                                  ¡
                                                                                       
                                                                                      ¡
                                                                                           
                                                                                          ¡
                                                                                                   
                                                                                                  ¡
                                                                                                           
                                                                                                          ¡
                                                                                                                   
                                                                                                                  ¡
                                                                                                                           
                                                                                                                          ¡
                                                                                                                                   
                                                                                                                                  ¡
                                                                                                                                           
                                                                                                                                          ¡
                                                                                                                                                   
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                                                                                                                                                          ¡




                                                 F                                                                                                                                                                    F
                                                                                                                                                           
                                                      ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡




En la figura 12.1 se muestra una placa, la              
                                                      ¡




                                                       
                                                      ¡
                                                           
                                                          ¡




                                                           
                                                          ¡
                                                               
                                                              ¡




                                                               
                                                              ¡
                                                                   
                                                                  ¡




                                                                   
                                                                  ¡
                                                                       
                                                                      ¡




                                                                       
                                                                      ¡
                                                                           
                                                                          ¡




                                                                           
                                                                          ¡
                                                                               
                                                                              ¡




                                                                               
                                                                              ¡
                                                                                   
                                                                                  ¡




                                                                                   
                                                                                  ¡
                                                                                       
                                                                                      ¡




                                                                                       
                                                                                      ¡
                                                                                           
                                                                                          ¡




                                                                                           
                                                                                          ¡
                                                                                              ¢
                                                                                              £
                                                                                                   
                                                                                                  ¡




                                                                                                   
                                                                                                  ¡
                                                                                                      ¢
                                                                                                      £
                                                                                                           
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                                                                                                                                                                                          ¢
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                                                                                                                                                                                                  ¢
                                                                                                                                                                                                  £
                                                                                                                                                                                                      ¢
                                                                                                                                                                                                      £
                                                                                                                                                                                                          ¢
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                                                                                                                                                                                                              ¢
                                                                                                                                                                                                              £
                                                                                                                                                                                                                  ¢
                                                                                                                                                                                                                  £




cual se intenta deslizar hacia la derecha
                                                                                              ¢       ¢       ¢       ¢       ¢       ¢       ¢       ¢       ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢
                                                                                              £       £       £       £       £       £       £       £       £   £   £   £   £   £   £   £   £   £   £   £   £   £




                                                                                                                                                           

                                                      ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡




                                                                                              ¢       ¢       ¢       ¢       ¢       ¢       ¢       ¢       ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢   ¢
                                                                                              £       £       £       £       £       £       £       £       £   £   £   £   £   £   £   £   £   £   £   £   £   £




                                                                                                                                                           
                                                      ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡




                                                                                                                                                           
                                                      ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡       ¡




mediante la aplicaci´n de una fuerza F .
                     o                                 
                                                      ¡




                                                       
                                                      ¡
                                                           
                                                          ¡




                                                           
                                                          ¡
                                                               
                                                              ¡




                                                               
                                                              ¡
                                                                   
                                                                  ¡




                                                                   
                                                                  ¡
                                                                       
                                                                      ¡




                                                                       
                                                                      ¡
                                                                           
                                                                          ¡




                                                                           
                                                                          ¡
                                                                               
                                                                              ¡




                                                                               
                                                                              ¡
                                                                                   
                                                                                  ¡




                                                                                   
                                                                                  ¡
                                                                                       
                                                                                      ¡




                                                                                       
                                                                                      ¡
                                                                                           
                                                                                          ¡




                                                                                           
                                                                                          ¡
                                                                                                   
                                                                                                  ¡




                                                                                                   
                                                                                                  ¡
                                                                                                           
                                                                                                          ¡




                                                                                                           
                                                                                                          ¡
                                                                                                                   
                                                                                                                  ¡




                                                                                                                   
                                                                                                                  ¡
                                                                                                                           
                                                                                                                          ¡




                                                                                                                           
                                                                                                                          ¡
                                                                                                                                   
                                                                                                                                  ¡




                                                                                                                                   
                                                                                                                                  ¡
                                                                                                                                           
                                                                                                                                          ¡




                                                                                                                                           
                                                                                                                                          ¡
                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                  ¡




                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                  ¡
                                                                                                                                                           
                                                                                                                                                          ¡




                                                                                                                                                           
                                                                                                                                                          ¡




Un pasador s´lido evita que esto ocurra.
              o
Sin embargo, cuando el pasador es susti-                                                                                                                                                                  placa
tuido por un l´
              ıquido o un gas, la placa co-
menzar´ a deslizarse (aun para fuerzas F
        ıa                                                                                    Figura 12.1
peque˜as). El fluido no es capaz de ejer-
      n
cer una fuerza de cizalla para mantener el
equilibrio.

La densidad de una sustancia es la raz´n entre su masa y volumen: ρ = m/V . La densidad
                                        o
del agua, a 4◦ C, es 1.00 g/cm3 (es el valor m´ximo de la densidad del agua).
                                              a

Los fluidos se dividen en dos subclases: los l´
                                             ıquidos y los gases. Los l´
                                                                       ıquidos se caracterizan
por ocupar un volumen definido independiente del volumen del recipiente que lo contiene.
Un gas, por otra parte, tiende a expandirse y a ocupar todo el volumen del recipiente que
lo contiene. La compresibilidad del fluido es otra propiedad marcadamente distinta en los
l´
 ıquidos y en los gases. Un l´
                             ıquido es bastante incompresible y en la gran mayor´ de las
                                                                                     ıa
aplicaciones se puede suponer que su densidad es constante. Lo opuesto es cierto para los
       ´
gases. Estos son sustancias muy compresibles y generalmente no se puede suponer que su
densidad sea constante.
A pesar de que los fluidos est´n constituidos por mol´culas, en le presente cap´
                                a                         e                           ıtulo se
tratan como un medio continuo. El uso de los aspectos macrosc´picos de un fluido est´ jus-
                                                                  o                      a
tificado cuando el camino libre medio (es decir, la distancia media que alcanza a recorrer
una mol´cula del fluido antes de colisionar con otra) es mucho menor que las distancias
         e
involucradas del sistema bajo consideraci´n.
                                          o

                                                317
318                                                                                 Fluidos

Sea F una fuerza que act´a en forma perpendicular sobre un ´rea A. Se define la presi´n
                        u                                  a                        o
P por la relaci´n
               o
                                           F
                                       P ≡
                                           A
Considere un fluido en reposo (por ejemplo, un vaso de agua, una piscina o una lago). Al
sumergir un objeto en el fluido, ´ste ejercer´ una fuerza sobre las superficies del objeto. La
                                 e          a
fuerza por unidad de ´rea (o presi´n) que ejerce un fluido sobre los objetos (o superficies)
                      a            o
con las que est´ en contacto, tiene varias propiedades importantes:
               a

  a) La fuerza que un fluido en reposo ejerce sobre una superficie es siempre perpendicular
     a ella. Esto est´ directamente relacionado con el hecho de que un fluido es incapaz de
                     a
     ejercer una fuerza de cizalla.

  b) Un fluido, en un punto particular, ejerce la misma presi´n en todas las direcciones
                                                               o
     (Principio de Pascal ). En otras palabras, la presi´n es una magnitud escalar. Si su-
                                                         o
     mergimos en el fluido un cubo infinitesimal, la fuerza sobre todas las caras del cubito
     ser´ la misma, siendo su magnitud F = P A. Aqu´ A es el ´rea de una de las caras del
        a                                              ı       a
     cubito y P es la presi´n del fluido en el lugar donde se encuentra el cubo (estamos
                            o
     despreciando variaciones de la presi´n sobre distancias del tama˜o del cubito).
                                         o                           n

  c) Los lugares isob´ricos (de igual presi´n) en un fluido en reposo (y de densidad cons-
                      a                    o
     tante) son los planos horizontales. En la figura 12.2, en los puntos A, B, C, D y E
     la presi´n es la misma. Tambi´n la presi´n es igual en los puntos F , G, H e I. La
             o                      e          o
     presi´n es mayor en puntos ubicados a mayor profundidad. En el punto J la presi´n
          o                                                                           o
     es menor que en el punto F .


                                 aire                 J
                        F                    G        H                 I


                        A               B        C        D         E


                                                               líquido

                                            Figura 12.2




12.2.     La presi´n atmosf´rica P0
                  o        e
La presi´n en la superficie de un fluido que se encuentra en un recipiente abierto a la
        o
atm´sfera no es nula, sino igual a la presi´n atmosf´rica. Esta ultima se debe a que estamos
   o                                       o        e           ´
inmersos en un fluido (compresible) constituido por el aire. La atm´sfera de la Tierra ejerce
                                                                     o
una presi´n sobre todos los objetos con los que est´ en contacto, en particular sobre otros
         o                                          a
12.2 La presi´n atmosf´rica P0
             o        e                                                                   319

fluidos. La presi´n atmosf´rica sobre la superficie terrestre la denotaremos por P0 , y es igual
                 o        e
a la presi´n ejercida por el peso de toda la columna de aire que est´ por encima.
          o                                                          a

P0 no es despreciable o insignificante como algunas personas suelen creer. Por el contrario,
la presi´n atmosf´rica juega un papel importante en numerosos aparatos y m´quinas de la
        o        e                                                           a
vida diaria.

Antes de continuar digamos algo sobre las unidades de la presi´n:
                                                              o

En el sistema SI, la unidad de presi´n es el Pascal: 1 Pa = 1 N/m2 . A 105 Pa se le suele
                                     o
llamar bar , o sea 1 bar = 105 Pa. Observe que 1 bar es aproximadamente la presi´n que
                                                                                  o
ejerce una masa de 1 kg si ´sta est´ apoyada sobre un ´rea de 1 cm
                           e       a                   a          2 . En efecto,


                                 9,81 N
                 1 Kg/cm2 =             2
                                          = 0,981 · 105 N/m2 = 0,981 bar.
                               0,0001 m

Tambi´n observe que 1 kg es la masa de una columna de agua de 10 m de altura y 1 cm2
      e
de secci´n transversal.
        o

Otra unidad frecuentemente usada para medir la presi´n es la atm´sfera (atm). 1 atm
                                                        o             o
corresponde a la presi´n promedio que ejerce la atm´sfera terrestre a nivel del mar. Expe-
                      o                            o
rimentalmente se encuentra que ´sta es aproximadamente 1,013 · 105 N/m2 = 1.013 bar. Se
                               e
define la atm´sfera est´ndar por
            o         a

                          1atm = 1,0135 · 105 N/m2 = 1,0135bar .

O sea, y esto es util recordar, 1 atm es aproximadamente igual a un bar e igual a la presi´n
                 ´                                                                        o
que ejerce el peso de una masa de 1 kg sobre 1 cm2 , que a su vez es igual a la presi´n   o
adicional ejercida por una columna de agua a 10 metros de altura.
La palma de una mano tiene un ´rea de aproximadamente 100 cm2 , luego la fuerza que
                                    a
ejerce la atm´sfera sobre la palma extendida es aproximadamente igual a la que ejercer´
              o                                                                            ıa
una masa de 100 kg apoyada sobre ella. La fuerza sobre la palma es balanceada por una
fuerza igual y contraria aplicada sobre el dorso de la mano.

Considere un tubo de 1 m de largo y secci´n o
transversal A, cerrado por uno de los extre-
mos. Llenemos el tubo con mercurio y colo-          vacío
                                                   presión 0
quemos el tubo, con el extremo abierto hacia
abajo, en un recipiente con mercurio. Obser-
varemos que el nivel de mercurio se situar´ a
                                           a                          h = 760 mm
aproximadamente 760 mm del nivel del reci-
                                                   presión P0
piente (ver figura 12.3). El extremo superior
del tubo queda al vac´ıo.
Apliquemos la segunda ley de Newton a la                                           Hg
columna de mercurio (que sobresale de la su-
perficie del l´
             ıquido en el recipiente). ¿Cu´les
                                          a
son las fuerzas que act´an sobre ella?
                       u                                        Figura 12.3
320                                                                                   Fluidos

Hay s´lo dos: por una parte est´ la presi´n que el fluido que est´ en el recipiente ejerce
      o                          a         o                      a
sobre el mercurio que est´ en el tubo: tal fuerza es F1 = P0 Aˆ; por otra, est´ el peso del
                           a                                  z               a
mercurio al interior de la columna, F2 = −AhρHg gˆ. Como el fluido est´ en reposo la fuerza
                                                  z                   a
neta debe ser nula, o sea
                                      P0 A = AhρHg g .
La densidad del mercurio es ρHg = 13,6 g/cm3 . Con esto obtenemos par P0 el valor

                                P0   1,014 · 105 Pa = 1 atm .

¡La fuerza que eleva l mercurio al interior del tubo es la presi´n atmosf´rica! El dispositivo
                                                                o        e
que acabamos de describir es un bar´metro de mercurio. La altura de la columna de mercurio
                                    o
mide la presi´n atmosf´rica. La presi´n atmosf´rica promedio a nivel del mar corresponde
             o         e              o          e
a 760 mm de mercurio.

Al repetir el mismo experimento, pero con una columna de agua, la altura ser´ 13.6 ve-
                                                                                   a
ces mayor (recuerde que la densidad del mercurio es 13.6 g/cm3 y la del agua 1 g/cm3 ).
Multiplicando los 76 cm por 13.6 se obtienen 10.34 m. Este dato es muy importante, ya
que interviene en varias aplicaciones tecnol´gicas. Por ejemplo, al intentar elevar agua de
                                             o
un pozo (cuya superficie est´ en contacto con el aire que nos rodea) succionando por el
                              a
extremo superior de un tubo largo, s´lo se tendr´ ´xito si el nivel de agua no est´ a m´s de
                                      o          ae                               a    a
10.34 metros de profundidad (en la pr´ctica esta altura es menor ya que el agua comienza
                                        a
a hervir bastante antes de llegar a los 10.34 metros).


12.3.     Principio de Arqu´
                           ımedes
                                                           ^
                                                           z                 A
Al sumergirnos en un fluido, la presi´n au-
                                        o                       P0
menta. Evaluemos este aumento de presi´n     o
para un fluido incompresible (l´ıquido) de den-
sidad ρ. para ello consideremos el fluido con-                   ρ                     g
                                                       h
tenido en un paralelep´ıpedo imaginario de al-
tura h y ´rea A. Una de las caras de ´rea
          a                                a
A la ubicamos de manera que coincida con
la superficie del l´
                  ıquido mientras que la otra
queda a una profundidad h (ver figura 12.4).
Por lo dicho en la secci´n anterior, la presi´n
                        o                    o
P = P (h) es s´lo una funci´n de la profundi-
              o             o                                       Figura 12.4
dad h.
Es claro que las fuerzas netas horizontales ejercidas por el fluido externo sobre el parale-
lep´
   ıpedo son nulas, de lo contrario el fluido del paralelep´ıpedo acelerar´ —lo que estar´
                                                                           ıa              ıa
en contradicci´n con la suposici´n de que el fluido se encuentra en reposo.
               o                 o
Las fuerzas que act´an sobre el paralelep´
                     u                       ıpedo en la direcci´n vertical son: i) la fuerza
                                                                o
que el aire ejerce sobre la cara superior, que es F1 = −P0 Aˆ, ii) la fuerza que el fluido
                                                                z
(exterior) ejerce sobre la cara inferior, que es F2 = P (h)Aˆ y iii) la fuerza debida al peso
                                                            z
del paralelep´ıpedo con su fluido. Esta fuerza de gravedad es F3 = −(ρAh)gˆ. Como el
                                                                                  z
12.3 Principio de Arqu´
                      ımedes                                                           321

paralelep´
         ıpedo est´ en equilibrio, la fuerza total debe ser nula, es decir,
                  a


                      0 = F1 + F2 + F3 = (−P0 A + P (h)A − ρAhg)ˆ .
                                                                z


De la ecuaci´n anterior se deduce que
            o


                                     P (h) = P0 + ρgh ,


donde P0 es la presi´n atmosf´rica que act´a sobre la superficie del fluido. Observe que el
                    o        e            u
aumento de la presi´n con la profundidad es igual a la presi´n ejercida por el peso de la
                    o                                       o
columna del fluido que se encuentra por encima.

Estamos en condiciones de demostrar el Principio de Arqu´
                                                        ımedes:


      Al sumergir un cuerpo parcial o totalmente en un fluido aparece una fuerza
      llamada empuje que act´a sobre el cuerpo y apunta en la direcci´n opuesta a
                             u                                        o
      la gravedad. La magnitud del empuje es Fe = ρgV , donde ρ es la densidad del
      fluido y V es el volumen del fluido que fue desplazado por el cuerpo.


Para demostrar este principio observe prime-
ramente que la fuerza que el l´  ıquido ejerce
sobre cada parte de la superficie del cuerpo         ^
                                                    z
                                                                        A
sumergido o parcialmente sumergido es in-
dependiente del material de que est´ hecho.
                                      a
Por lo tanto, en lo que a empuje respecta,
podemos reemplazar la parte sumergida del
cuerpo A por un l´ ıquido igual al l´
                                    ıquido que
lo rodea (ver figura 12.5). Si ρ es la densi-
dad del l´
         ıquido y Vs el volumen de la par-
te sumergida del cuerpo A, entonces el peso                             B
del cuerpo B es W = −ρVs gˆ. Por supues-
                               z
to que el cuerpo B estar´ en equilibrio, por
                          a
consiguiente la fuerza de empuje que el l´ıqui-
do exterior ejerce sobre B debe exactamente
contrarrestar el peso. Luego la fuerza de em-                    Figura 12.5
puje es Fe = ρVs gˆ.
                   z

M´s a´n, el cuerpo B est´ en equilibrio neutro (es decir, dentro del l´
   a u                    a                                              ıquido lo podemos
trasladar a cualquier punto y orientarlo en cualquier direcci´n, quedando en reposo), luego
                                                             o
la fuerza de empuje debe estar actuando como si estuviera aplicada en el centro de gravedad
de B. Esto es un dato de importancia para analizar el equilibrio de objetos flotantes o
sumergidos.
322                                                                                    Fluidos

Ejemplo: Considere tres cubos del mismo
tama˜o, adheridos tal como se muestra en la
     n
figura 12.6. El material del cual est´n hechos
                                    a                               β
los dos cubos A y B es ρ1 = 0,5 g/cm3 , mien-                               B
tras que el cubo C est´ hecho de un material
                      a                                             A
de densidad ρ2 = 2 g/cm3 . Observe que la
densidad media de los tres cubos es igual a                             C
la del agua (ρ = 1 g/cm3 ) y, por lo tanto,
al sumergirlo en agua, la fuerza de empuje
exactamente cancela el peso. ¿Cu´l ser´ la
                                    a     a
orientaci´n de equilibrio estable que el obje-
         o
to adquirir´ cuando est´ “flotando” rodeado
            a           a                                        Figura 12.6
de agua?

Las unicas fuerzas que est´n actuando sobre el objeto son el peso W y el empuje Fe . Ya
     ´                      a
sabemos que ambas fuerzas tienen la misma magnitud y apuntan en direcciones opuestas
y, por lo tanto, la fuerza neta sobre el objeto es nula. Pero para que se encuentre en
equilibrio tambi´n el torque neto debe ser nulo. Esto se logra s´lo si ambas fuerzas son
                 e                                                o
colineales (act´an a lo largo de la misma recta). Encontremos los puntos en que act´an las
               u                                                                   u
dos fuerzas.
La gravedad act´a en el centro de masas. El
                 u                                          A             B
centro de masas de los cubos A y B se en-
cuentra en a y el centro de masas de C se
encuentra en b. El centro de masas del obje-                          a
to completo se encontrar´ sobre la recta que
                          a                                     2                  L
une a con b. Como el cubo C tiene el doble
de masa de los dos cubos A + B juntos, el
centro de masas del objeto completo se ubi-                 1 β
car´ m´s cerca de b que de a. En la figura 12.7
    a a                                            C
hemos designado el centro de masas del ob-                b
jeto completo con el n´mero 1. Se tiene que
                        u
b, 1 = a, b/3.
La fuerza de empuje, por otra parte, act´a en
                                         u                  L
el centro de masas que se obtiene al sustituir
los tres cubos por agua (en la figura lo hemos                 Figura 12.7
designado con el n´mero 2).
                   u

Nuevamente el centro de masas de los cubos A+B se encuentra en a, mientras que el de C se
encuentra en b. El centro de masas de los centros de masas nuevamente se encontrar´ sobrea
la recta a, b. Pero ahora los cubos A + B pesan el doble de lo que pesa C, luego el centro
de masas ahora estar´ m´s cerca de a que de b. De hecho, el centro de masas cuando los
                      a a
tres cubos est´n hechos de agua debe estar sobre el plano de simetr´ indicado en la figura
               a                                                        ıa
con una l´ınea punteada.
En resumen, la fuerza de gravedad act´a en 1 y el empuje act´a en 2. Para que no haya
                                         u                          u
torque sobre el sistema la recta a, b debe orientarse a lo largo de la vertical. Concluimos que
12.4 La f´rmula barom´trica
         o           e                                                                   323

el ´ngulo β de la figura 12.6 debe coincidir con el de la figura 12.7. Se deduce inmediatamente
   a
que tan β = 1/2. Conv´nzase de que el equilibrio es estable cuando el punto 2 est´ sobre el
                        e                                                            a
punto 1 e inestable cuando 1 est´ sobre 2.
                                  a


12.4.      La f´rmula barom´trica
               o           e
Considere N mol´culas de un gas confinadas en un volumen V y a una temperatura T . Si
                  e
la ecuaci´n de los gases ideales es aplicable se tiene que
         o

                                          P V = N kB T .

Aqu´ P es la presi´n del gas y kB = 1,38 · 10−16 erg/K es la constante de Boltzmann. Sea
    ı             o
m la masa de cada mol´cula, entonces
                       e
                                          N m kB T    kB T
                                   P =             =ρ      ,
                                           V m         m
donde ρ es la densidad de masa del gas. De esta relaci´n se deduce que, mientras la tem-
                                                        o
peratura se mantenga constante, la presi´n de un gas es proporcional a su densidad. En
                                          o
particular, si ρ0 y P0 son la densidad y presi´n de la atm´sfera al nivel del mar (z = 0) y
                                              o           o
ρ(z)y P (z) son las mismas magnitudes, pero a una altura z (por sobre el nivel del mar),
entonces
                                        P0       ρ0
                                             =       .
                                       P (z)    ρ(z)
Por otra parte (ver figura 12.8), la presi´n a
                                         o                        ^
                                                                  z
una altura z es la misma que la que hay a
una altura z es la misma que la que hay a
                                                                z+dz
una altura z + dz m´s la presi´n ejercida por
                    a         o
                                                      g           z
el peso del gas que hay entre las alturas z y
z + dz, o sea,

        P (z) = P (z + dz) + ρ(z)g dz .

Esta ecuaci´n se puede reescribir de la forma
           o                                                   Figura 12.8
     dP              gρ0
        = −ρ(z)g = −     P (z) .          (12.1)
     dz              P0


´
Esta es la ecuaci´n diferencial que gobierna el comportamiento de la presi´n atmosf´rica
                 o                                                        o         e
(a temperatura constante). Para resolver esta ecuaci´n debemos antes discutir la funci´n
                                                    o                                 o
exponencial .

La funci´n exponencial
        o
La ecuaci´n diferencial del tipo
         o
                                           df (t)
                                   f˙(t) =        = Γf (t) ,                          (12.2)
                                             dt
324                                                                                     Fluidos

donde Γ es una constante (real o compleja), aparece frecuentemente en las ciencias naturales
(y tambi´n en las ciencias econ´micas). Es muy importante discutir y analizar sus soluciones.
         e                     o
Una ecuaci´n diferencial es una ecuaci´n que involucra una funci´n y sus derivadas (primera,
           o                            o                         o
segunda, etc.). La derivada de m´s alto orden que aparece en la ecuaci´n define el orden
                                    a                                     o
de la ecuaci´n diferencial. La ecuaci´n diferencial (12.2) es de primer orden.
            o                         o
Nos interesa encontrar la soluci´n m´s general de (12.2). Un resultado importante de la
                                  o     a
teor´ de ecuaciones diferencial (y que no demostraremos aqu´ es que la soluci´n general
    ıa                                                           ı)               o
de una ecuaci´n diferencial de orden n tiene n constantes arbitrarias. En otras palabras,
              o
sabremos que tenemos la soluci´n general de la ecuaci´n (12.2) si ´sta tiene una constante
                                 o                       o          e
que se puede elegir arbitrariamente. Una vez que se ha encontrado la soluci´n general, la
                                                                               o
constante arbitraria se elige de manera que la soluci´n corresponda a la soluci´n del pro-
                                                       o                         o
blema planteado (o sea, cumpla con las condiciones iniciales).

                                     o             ¨       ´
Ejemplo: Consideremos la ecuaci´n diferencial z = a0 . Esta es una ecuaci´n diferencial de
                                                                               o
segundo orden. La soluci´n general es z(t) = z0 + v0 t + a0 t2 /2. La soluci´n general tiene dos
                         o                                                  o
constantes arbitrarias z0 y v0 , las que deben elegirse de manera que la soluci´n corresponda
                                                                                 o
a la situaci´n f´
            o ısica concreta que se est´ considerando.
                                          a

Definamos la funci´n exp(t) mediante la serie
                 o

                                             t  t2 t3
                              exp(t) = 1 +     + + + ··· .                               (12.3)
                                             1! 2! 3!
Es evidente que su derivada es igual a la funci´n, es decir,
                                               o

                                     d
                                        exp(t) = exp(t) .
                                     dt
Ejercicio: Demuestre que la funci´n f (t) = A exp(Γt), donde A es una constante arbitraria,
                                   o
es la soluci´n general de la ecuaci´n
            o                      o

                                        f˙(t) = Γf (t) .

Como consecuencia del ejercicio anterior concluimos que la soluci´n general de la ecuaci´n
                                                                 o                      o
(12.1) es
                                                 gρ0
                                P (z) = A exp −      z ,
                                                 P0
donde la constante arbitraria A se determina exigiendo que la presi´n en z = 0 sea P0 . Esto
                                                                   o
nos da la condici´n A = P0 . De esta manera obtenemos la f´rmula barom´trica
                 o                                          o             e

                                                     gρ0
                                 P (z) = P0 exp −        z   .
                                                     P0

Reiteramos que este resultado, que nos da la presi´n barom´trica en funci´n de la altura,
                                                  o       e              o
es s´lo aproximadamente correcto ya que, contrariamente a nuestra suposici´n, la tempe-
    o                                                                      o
ratura de la atm´sfera normalmente disminuye a medida que uno se eleva.
                o
12.4 La f´rmula barom´trica
         o           e                                                                      325

Ejercicio: Demuestre que la funci´n f (t) = exp(Γ1 t) exp(Γ2 t) es una soluci´n de la ecuaci´n
                                 o                                           o              o
diferencial
                                  f˙(t) = (Γ1 + Γ2 )f (t) .
Por consiguiente, f (t) = exp(Γ1 t) exp(Γ2 t) debe poder escribirse de la forma f (t) = A exp((Γ1 +
Γ2 )t). Demuestre que en ese caso A = 1, o sea

                            exp(Γ1 t) exp(Γ2 t) = exp((Γ1 + Γ2 )t) .                     (12.4)

Observe que esta relaci´n justifica la introducci´n de la notaci´n
                       o                        o              o

                                        exp(Γt) = eΓt .

La funci´n et = exp(t) se llama funci´n exponencial .
        o                            o

Ejercicio: Evaluando la serie (12.3) para t = 1, demuestre que e = 2,718 . . .

Problemas (relacionados con la funci´n exponencial)
                                    o

 1.   Suponiendo que la atm´sfera tiene una temperatura constante, determine la presi´n
                               o                                                       o
      atmosf´rica a 10 km de altura. (La densidad del aire, en la vecindad de la superficie
             e
      terrestre, a 20◦ C, es aproximadamente ρ0 = 1,29 kg/m3 .)

 2.   Considere un cilindro de radio R sobre el cual se apoya una cuerda. Sea µe el coeficien-
      te de roce est´tico entre la cuerda y el cilindro. Suponga que en uno de los extremos
                    a
      de la cuerda est´ colgando una masa M . ¿Cu´l es la m´
                      a                               a        ınima masa que debe colgarse
      en el otro extremo para que la cuerda no resbale?

      Respuesta: m = M e−µe π .

 3.   La cantidad de n´cleos de un elemento radiactivo que decae en un intervalo [t, t ]
                       u
      es proporcional al n´mero de n´cleos no deca´
                          u           u             ıdos que se ten´ inicialmente (en el
                                                                   ıa
      instante t). Demuestre que la afirmaci´n anterior implica que
                                           o

                                           N (t) = N0 e−λt ,

      donde N (t) es el n´mero de n´cleos en el instante t que no ha deca´
                         u          u                                    ıdo, N0 la misma
      magnitud pero en el instante t = 0 y λ es una constante positiva (la as´ llamada
                                                                                ı
      constante de desintegraci´n).
                               o
      Para el caso en que λ = 0,01 s−1 , determine el tiempo que debe transcurrir para que
      decaiga la mitad de los n´cleos.
                               u

 4.   Suponga que cierto banco (en el pa´ de las maravillas) para intereses a una tasa de
                                            ıs
      100 % anual sobre los dep´sitos, y m´s a´n, los paga en forma continua, sumando los
                                 o           a u
      intereses al capital depositado. Si una persona deposita $1000, ¿cu´nto le devolver´ el
                                                                         a               a
      banco al cabo de un a˜o?n

      Respuesta: $ 2 718.28. . . = e · 1000.
326                                                                                 Fluidos

12.5.     Tensi´n superficial
               o
Entre dos mol´culas de un fluido act´an fuerzas. Estas fuerzas, llamadas fuerzas de van
               e                      u
der Waals o fuerzas cohesivas son de origen el´ctrico. Una de las caracter´
                                                 e                          ısticas de estas
fuerzas es que su alcance es muy peque˜o (r´pidamente se desvanecen cuando la distancia
                                        n    a
entre las mol´culas es dos o tres veces su tama˜o); otra caracter´
             e                                   n               ıstica es que mientras las
mol´culas no se traslapan, la fuerza es atractiva.
    e

El efecto neto de las fuerzas de cohesi´n so-
                                        o
bre una mol´cula que est´ en el interior del
             e             a
l´
 ıquido es nulo, pero no as´ para una mol´cula
                           ı             e
que se encuentra en la superficie (ver figura
12.9). Para poner una mol´cula en la super-
                             e
ficie hay que realizar un trabajo. O sea, la
existencia de una superficie en un fluido in-
troduce una energ´ potencial. Esta energ´
                    ıa                      ıa
es proporcional a la superficie y se tiene que
                                                               Figura 12.9
                dW = σ dA .



Aqu´ σ es una constante que depende del fluido y se llama tensi´n superficial y dA es un
    ı                                                            o
elemento (infinitesimal) de superficie. En realidad la tensi´n superficial depende de las dos
                                                          o
substancia que est´n en contacto. La siguiente tabla da valores de la tensi´n superficial
                   a                                                        o
para algunos casos.

               Substancia           En contacto con    Temp. ◦ C    σ [N/m]
               Agua                       aire            0          0.0756
               Agua                       aire            20        0.07275
               Agua                       aire            80         0.0626
               Hg                        vac´ıo           20          0.475
               Hg                         aire            20          0.436
               Alcohol met´ ılico         aire            20         0.0227
               Glicerol C3 H8 O3          aire            20         0.0634
               Soluci´n jabonosa
                     o                    aire            20           0,025
                                                                        F
Para medir la tensi´n superficial se pue-
                       o
de usar el dispositivo mostrado en la figura
12.10. Un alambre movible, inicialmente su-              h
mergido, se tira lentamente, extray´ndolo del
                                     e
l´
 ıquido (con una pel´ ıcula del l´
                                 ıquido adosa-
da). Midiendo la fuerza F se puede deducir
σ. En efecto, al mover el alambre movible a                         L
una altura h a h+dh, el trabajo que se realiza
es dW = F dh.
                                                              Figura 12.10
12.5 Tensi´n superficial
          o                                                                          327

Por otra parte, la superficie de la pel´
                                      ıcula aumenta en dA = 2L dh (el factor 2 se debe a
que la pel´
          ıcula tiene una superficie a cada lado). Se tiene


                                     dW   F dh    F
                                σ=      =       =    .
                                     dA   2L dh   2L


Problema: Deseamos encontrar la diferencia de presi´n entre el interior y exterior de una
                                                   o
pompa de jab´n de radio R = 1 cm.
            o

Si, soplando con una pajita, aumentamos el radio de la pompa de R a R + dR, entonces la
superficie aumenta en


                       dA = 2 · (4π(R + dr)2 − 4πR2 ) = 16πR dR .


El factor 2 nuevamente se debe a que hay que considerar tanto la superficie interior como
exterior de la pompa. El cambio de energ´ debido al aumento de la superficie es por lo
                                         ıa
tanto

                                dW = σ dA = 16σπR dR .


Por otra parte, podemos evaluar el trabajo directamente, multiplicando el desplazamiento
dR por la fuerza ∆P · 4πR2 , es decir,


                                  dW = ∆P · 4πR2 dR .


Igualando las dos ultimas expresiones se encuentra la diferencia de presi´n
                  ´                                                      o


                                              4σ
                                       ∆P =      .
                                              R


Con σ = 0,025 N/m y R = 0,01 m se obtiene ∆P = 10 N/m2 . Si se deja de soplar por la
pajita, la pompa se desinfla.
Observe que la presi´n al interior de una pompa de jab´n es mayor tanto m´s peque˜o
                     o                                  o                     a       n
es su radio. De esta observaci´n se deduce que al juntarse una pompa de jab´n grande
                              o                                                o
con una peque˜a, la peque˜a inflar´ a la m´s grande. De esta manera la pompa grande
               n           n       a       a
aumentar´ su tama˜o mientras que la peque˜a disminuir´: en otras palabras, la m´s grande
         a         n                      n           a                         a
absorber´ a la m´s peque˜a.
        a        a       n
328                                                                                                                                                       Fluidos

12.6.      Capilaridad

La fuerza entre mol´culas de dos substancias
                       e
distintas se llama fuerza de adhesi´n. Con-
                                        o                                                                                                             Γ
sideremos una peque˜a cantidad de l´
                         n                 ıquido     

                                                     ¡
                                                          

                                                         ¡
                                                              

                                                             ¡
                                                                  

                                                                 ¡
                                                                      

                                                                     ¡
                                                                          

                                                                         ¡
                                                                              

                                                                             ¡
                                                                                  

                                                                                 ¡
                                                                                     α
                                                                                      

                                                                                     ¡
                                                                                          

                                                                                         ¡
                                                                                              

                                                                                             ¡
                                                                                                  

                                                                                                 ¡
                                                                                                      

                                                                                                     ¡
                                                                                                          

                                                                                                         ¡
                                                                                                               

                                                                                                              ¡
                                                                                                                   

                                                                                                                  ¡
                                                                                                                       

                                                                                                                      ¡
                                                                                                                           

                                                                                                                          ¡
                                                                                                                               

                                                                                                                              ¡
                                                                                                                                   

                                                                                                                                  ¡
                                                                                                                                       

                                                                                                                                      ¡
                                                                                                                                           

                                                                                                                                          ¡
                                                                                                                                               

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                                                                                                                                                  ¡
                                                                                                                                                       

                                                                                                                                                      ¡
                                                                                                                                                           

                                                                                                                                                          ¡
                                                                                                                                                               

                                                                                                                                                              ¡




(medio #2) en contacto con una superficie
                                                                                                                                                               

                                                     ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡    ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡




                                                                                                                                                               

                                                     ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡    ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡




s´lida plana(medio #3) y ambos en contacto
 o
con un gas (medio #1) (ver figura 12.11). Sea
{σi,j }, con i, j = 1, 2, 3 las tensiones superfi-
ciales para las distintas interfases de la figura
12.11.
Si la fuerza de adhesi´n (entre el l´
                          o              ıquido y
                                                                             α
el s´lido) es mucho mayor que la fuerza de
    o                                                ¢
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                                                                                                                                                  ¢
                                                                                                                                                  £




                                                                                                                                                  ¢

                                                                                                                                                  £
                                                                                                                                                      ¢
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                                                                                                                                                      £
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                                                                                                                                                          £




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                                                                                                                                                              £




                                                                                                                                                              ¢

                                                                                                                                                              £




cohesi´n (entre las mol´culas del l´
        o                 e           ıquido), en-   ¢

                                                     £
                                                         ¢

                                                         £
                                                             ¢

                                                             £
                                                                 ¢

                                                                 £
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                                                                     £
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                                                                         £
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                                                                             £
                                                                                 ¢

                                                                                 £
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                                                                                     £
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                                                                                         £
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                                                                                             £
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                                                                                                 £
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tonces el l´ ıquido tender´ a esparcirse sobre el
                           a
s´lido (ver figura 12.6a). En este caso se dice
 o
que el l´ ıquido moja al s´lido.
                            o                                                            Figura 12.11

Por otra parte, si la fuerza de adhesi´n es mucho menor que la fuerza de cohesi´n, entonces
                                      o                                        o
el l´
    ıquido tender´ a concentrarse, adquiriendo una forma compacta tipo gota (ver figura
                  a
12.11 b).
Como resultado de esta competencia entre las distintas fuerzas de adhesi´n y cohesi´n,
                                                                           o          o
se forma un ´ngulo de contacto α bien caracter´
            a                                 ıstico entre el l´
                                                               ıquido y el s´lido. Experi-
                                                                            o
mentalmente se determina que este ´ngulo de contacto para las substancias agua–vidrio es
                                  a
aproximadamente 0◦ , mientras que para mercurio–vidrio α = 140◦ .
Considere la l´
              ınea Γ a lo largo de la cual conviven las tres fases. Conocemos la magnitud
y la direcci´n de la fuerza sobre Γ proveniente de la tensi´n superficial del l´
            o                                              o                  ıquido. Por el
principio de acci´n y reacci´n, el s´lido ejercer´ sobre el l´
                 o           o      o            a           ıquido una fuerza de la misma
magnitud pero en direcci´n opuesta. Esta fuerza es la que hace subir un fluido por un
                           o
capilar.
Consideremos un tubo fijo, de di´metro in-
                                   a                                                                     2r
terior muy peque˜o 2r y con un extremo in-
                   n
merso verticalmente en un l´ ıquido cuya ten-
si´n superficial es σ. El largo de la l´
  o                                     ınea Γ
en este caso es 2πr. La fuerza que el tubo
ejerce sobre el l´
                 ıquido a trav´s de la tensi´n
                              e             o
                                                                                                                              h
superficial es

              F = σ(2πr) cos α ,

donde α es el ´ngulo de contacto del l´
                a                          ıqui-
do con el material del tubo. Esta fuerza de-
be compensarse exactamente con el peso del                                               Figura 12.12
l´
 ıquido (que est´ por sobre el nivel exterior).
                a
12.7 Fluidos en movimiento                                                                 329

El peso del l´
             ıquido que subi´ por el tubo capilar es
                            o

                                      Fg = ρ0 (πr2 h)g ,

donde ρ0 es la densidad del l´
                             ıquido. Igualando las dos fuerzas se obtiene para la altura
m´xima h a la que sube el l´
  a                        ıquido la expresi´n
                                            o
                                             2σ cos α
                                        h=            .
                                              ρ0 gr
Ejemplo: Los xilemas que trasportan los nutrientes en una plante t´   ıpicamente tienen un
radio de 10−3 cm. Evaluemos la altura m´xima a la que podr´n llegar los nutrientes. Su-
                                          a                    a
pondremos que el ´ngulo de contacto α = 0 y para la densidad y tensi´n superficial del
                   a                                                      o
l´
 ıquido usaremos la del agua.
Usando la f´rmula expuesta m´s arriba se encuentra que h
             o                  a                                 1,5 m. La capilaridad es
efectivamente uno de los mecanismos que las plantas usan para elevar la savia, sin embargo,
no puede ser el mecanismo responsable para elevar el agua de las ra´ ıces hasta la punta de
los ´rboles grandes (cuya altura puede superar los 100 metros), ya que para ello los xilemas
    a
tendr´ que tener un di´metro 100 veces menor.
      ıan                a


12.7.     Fluidos en movimiento
Consideraciones preliminares
Los fluidos en movimiento se pueden clasificar con respecto a varios aspectos. Uno de
ellos es la compresibilidad. La hidrodin´mica se preocupa de estudiar el flujo de fluidos
                                          a
incompresibles, mientras que la aerodin´mica analiza los flujos de fluidos compresibles.
                                           a
Notamos, sin embargo, que incluso los gases pueden aproximadamente como incompresibles
mientras su velocidad no supere a la tercera parte de la velocidad del sonido.
Otro aspecto clasificatorio se introduce respecto al roce interno. Se tiene el flujo de un fluido
ideal si se ignoran todos los efectos debido al roce interno (es decir, se ignora la viscosidad
del fluido). En caso contrario se estar´ considerando flujos de l´
                                       a                          ıquidos y gases reales.
La trayectoria de un peque˜o elemento de
                               n
fluido define una l´  ınea de corriente o l´ınea
                                                                                  ρ2
de flujo. A su vez todo un haz de l´   ıneas de                                       A2
flujo define un tubo de flujo (ver figura 12.13)               ρ1                        v2

tambi´n podemos clasificar los fluidos en mo-
       e                                               A1
vimiento con respecto al comportamiento de
                                                              v1
sus l´
     ıneas de corriente. Si ´stas no var´ a
                             e           ıan
medida que transcurre el tiempo se tiene un
flujo estacionario o flujo laminar ; en caso                       Figura 12.13
contrario, el flujo es turbulento.

En un flujo laminar, dos l´
                         ıneas de corriente cercanas entre s´ en cierto lugar, se mantendr´n
                                                            ı                             a
cercanas en todas partes. Tambi´n dos l´
                                e        ıneas de corriente del fluido nunca se cruzan.
Cuando el flujo es turbulento entonces elementos de fluido que inicialmente est´n infinite-
                                                                                   a
simalmente cerca pueden llegar a estar separados por distancias macrosc´picas a medida
                                                                             o
330                                                                                   Fluidos

que transcurre el tiempo. El flujo del fluido en este caso es ca´tico y se forman remolinos
                                                              o
err´ticos (llamadas tambi´n corrientes par´sitas).
   a                     e                a




                   Flujo laminar                                   Flujo turbulento
                                          Figura 12.14


La disipaci´n de energ´ es mucho mayor cuando el flujo es turbulento que cuando es
           o          ıa
laminar.

Ecuaci´n de continuidad
      o
Consideremos un tubo de flujo como, por ejemplo, el que se muestra en la figura 12.7. Sean
A1 , ρ1 y v1 el ´rea transversal del tubo, la densidad y velocidad del fluido en la entrada
                a
del tubo y A2 , ρ2 y v2 las mismas magnitudes pero a la salida del tubo. Para un flujo
estacionario, la cantidad de fluido que ingresa por el tubo durante un intervalo de tiempo
dt debe coincidir con la que emerge en ese mismo intervalo por el otro extremo, luego

                                     ρ1 A1 v1 dt = ρ2 A2 v2 dt ,

relaci´n a la que se denomina ecuaci´n de continuidad . Cuando el flujo es incompresible,
      o                             o
la densidad no cambia (o sea, ρ1 = ρ2 ), luego, para fluidos incompresibles, la ecuaci´n de
                                                                                     o
continuidad es
                                     A1 v1 = A2 v2 .

Ecuaci´n de Bernoulli
      o
En lo que sigue consideraremos el flujo estacionario de un fluido ideal incompresible. Sean
P1 y P2 las presiones a la entrada y salida de un tubo de flujo, respectivamente. Evaluemos
el trabajo neto en el punto de entrada realizado por la presi´n sobre el fluido que est´ al
                                                               o                        a
interior del tubo. En un tiempo dt la secci´n transversal inicial avanza una distancia v1 dt,
                                            o
siendo el trabajo sobre el fluido

                                   W1 = F1 v1 dt = P1 A1 v1 dt .

Por otra parte, el fluido que emerge del tubo realiza un trabajo igual a

                                   W2 = F2 v2 dt = P2 A2 v2 dt .

La diferencia es el trabajo neto realizado sobre el fluido:

                          dW = W1 − W2 = (P1 A1 v1 − P2 A2 v2 ) dt .
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  • 1. Cap´ ıtulo 12 Fluidos 12.1. Conceptos Preliminares pasador Un fluido es una substancia incapaz de so- portar fuerzas de cizalla. Es ´sta la propie- e dad que distingue a un s´lido de un fluido. o   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡ F F                                     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ En la figura 12.1 se muestra una placa, la   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £   ¡   ¡ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ cual se intenta deslizar hacia la derecha ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £                                     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £                                     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡                                     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ mediante la aplicaci´n de una fuerza F . o   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡ Un pasador s´lido evita que esto ocurra. o Sin embargo, cuando el pasador es susti- placa tuido por un l´ ıquido o un gas, la placa co- menzar´ a deslizarse (aun para fuerzas F ıa Figura 12.1 peque˜as). El fluido no es capaz de ejer- n cer una fuerza de cizalla para mantener el equilibrio. La densidad de una sustancia es la raz´n entre su masa y volumen: ρ = m/V . La densidad o del agua, a 4◦ C, es 1.00 g/cm3 (es el valor m´ximo de la densidad del agua). a Los fluidos se dividen en dos subclases: los l´ ıquidos y los gases. Los l´ ıquidos se caracterizan por ocupar un volumen definido independiente del volumen del recipiente que lo contiene. Un gas, por otra parte, tiende a expandirse y a ocupar todo el volumen del recipiente que lo contiene. La compresibilidad del fluido es otra propiedad marcadamente distinta en los l´ ıquidos y en los gases. Un l´ ıquido es bastante incompresible y en la gran mayor´ de las ıa aplicaciones se puede suponer que su densidad es constante. Lo opuesto es cierto para los ´ gases. Estos son sustancias muy compresibles y generalmente no se puede suponer que su densidad sea constante. A pesar de que los fluidos est´n constituidos por mol´culas, en le presente cap´ a e ıtulo se tratan como un medio continuo. El uso de los aspectos macrosc´picos de un fluido est´ jus- o a tificado cuando el camino libre medio (es decir, la distancia media que alcanza a recorrer una mol´cula del fluido antes de colisionar con otra) es mucho menor que las distancias e involucradas del sistema bajo consideraci´n. o 317
  • 2. 318 Fluidos Sea F una fuerza que act´a en forma perpendicular sobre un ´rea A. Se define la presi´n u a o P por la relaci´n o F P ≡ A Considere un fluido en reposo (por ejemplo, un vaso de agua, una piscina o una lago). Al sumergir un objeto en el fluido, ´ste ejercer´ una fuerza sobre las superficies del objeto. La e a fuerza por unidad de ´rea (o presi´n) que ejerce un fluido sobre los objetos (o superficies) a o con las que est´ en contacto, tiene varias propiedades importantes: a a) La fuerza que un fluido en reposo ejerce sobre una superficie es siempre perpendicular a ella. Esto est´ directamente relacionado con el hecho de que un fluido es incapaz de a ejercer una fuerza de cizalla. b) Un fluido, en un punto particular, ejerce la misma presi´n en todas las direcciones o (Principio de Pascal ). En otras palabras, la presi´n es una magnitud escalar. Si su- o mergimos en el fluido un cubo infinitesimal, la fuerza sobre todas las caras del cubito ser´ la misma, siendo su magnitud F = P A. Aqu´ A es el ´rea de una de las caras del a ı a cubito y P es la presi´n del fluido en el lugar donde se encuentra el cubo (estamos o despreciando variaciones de la presi´n sobre distancias del tama˜o del cubito). o n c) Los lugares isob´ricos (de igual presi´n) en un fluido en reposo (y de densidad cons- a o tante) son los planos horizontales. En la figura 12.2, en los puntos A, B, C, D y E la presi´n es la misma. Tambi´n la presi´n es igual en los puntos F , G, H e I. La o e o presi´n es mayor en puntos ubicados a mayor profundidad. En el punto J la presi´n o o es menor que en el punto F . aire J F G H I A B C D E líquido Figura 12.2 12.2. La presi´n atmosf´rica P0 o e La presi´n en la superficie de un fluido que se encuentra en un recipiente abierto a la o atm´sfera no es nula, sino igual a la presi´n atmosf´rica. Esta ultima se debe a que estamos o o e ´ inmersos en un fluido (compresible) constituido por el aire. La atm´sfera de la Tierra ejerce o una presi´n sobre todos los objetos con los que est´ en contacto, en particular sobre otros o a
  • 3. 12.2 La presi´n atmosf´rica P0 o e 319 fluidos. La presi´n atmosf´rica sobre la superficie terrestre la denotaremos por P0 , y es igual o e a la presi´n ejercida por el peso de toda la columna de aire que est´ por encima. o a P0 no es despreciable o insignificante como algunas personas suelen creer. Por el contrario, la presi´n atmosf´rica juega un papel importante en numerosos aparatos y m´quinas de la o e a vida diaria. Antes de continuar digamos algo sobre las unidades de la presi´n: o En el sistema SI, la unidad de presi´n es el Pascal: 1 Pa = 1 N/m2 . A 105 Pa se le suele o llamar bar , o sea 1 bar = 105 Pa. Observe que 1 bar es aproximadamente la presi´n que o ejerce una masa de 1 kg si ´sta est´ apoyada sobre un ´rea de 1 cm e a a 2 . En efecto, 9,81 N 1 Kg/cm2 = 2 = 0,981 · 105 N/m2 = 0,981 bar. 0,0001 m Tambi´n observe que 1 kg es la masa de una columna de agua de 10 m de altura y 1 cm2 e de secci´n transversal. o Otra unidad frecuentemente usada para medir la presi´n es la atm´sfera (atm). 1 atm o o corresponde a la presi´n promedio que ejerce la atm´sfera terrestre a nivel del mar. Expe- o o rimentalmente se encuentra que ´sta es aproximadamente 1,013 · 105 N/m2 = 1.013 bar. Se e define la atm´sfera est´ndar por o a 1atm = 1,0135 · 105 N/m2 = 1,0135bar . O sea, y esto es util recordar, 1 atm es aproximadamente igual a un bar e igual a la presi´n ´ o que ejerce el peso de una masa de 1 kg sobre 1 cm2 , que a su vez es igual a la presi´n o adicional ejercida por una columna de agua a 10 metros de altura. La palma de una mano tiene un ´rea de aproximadamente 100 cm2 , luego la fuerza que a ejerce la atm´sfera sobre la palma extendida es aproximadamente igual a la que ejercer´ o ıa una masa de 100 kg apoyada sobre ella. La fuerza sobre la palma es balanceada por una fuerza igual y contraria aplicada sobre el dorso de la mano. Considere un tubo de 1 m de largo y secci´n o transversal A, cerrado por uno de los extre- mos. Llenemos el tubo con mercurio y colo- vacío presión 0 quemos el tubo, con el extremo abierto hacia abajo, en un recipiente con mercurio. Obser- varemos que el nivel de mercurio se situar´ a a h = 760 mm aproximadamente 760 mm del nivel del reci- presión P0 piente (ver figura 12.3). El extremo superior del tubo queda al vac´ıo. Apliquemos la segunda ley de Newton a la Hg columna de mercurio (que sobresale de la su- perficie del l´ ıquido en el recipiente). ¿Cu´les a son las fuerzas que act´an sobre ella? u Figura 12.3
  • 4. 320 Fluidos Hay s´lo dos: por una parte est´ la presi´n que el fluido que est´ en el recipiente ejerce o a o a sobre el mercurio que est´ en el tubo: tal fuerza es F1 = P0 Aˆ; por otra, est´ el peso del a z a mercurio al interior de la columna, F2 = −AhρHg gˆ. Como el fluido est´ en reposo la fuerza z a neta debe ser nula, o sea P0 A = AhρHg g . La densidad del mercurio es ρHg = 13,6 g/cm3 . Con esto obtenemos par P0 el valor P0 1,014 · 105 Pa = 1 atm . ¡La fuerza que eleva l mercurio al interior del tubo es la presi´n atmosf´rica! El dispositivo o e que acabamos de describir es un bar´metro de mercurio. La altura de la columna de mercurio o mide la presi´n atmosf´rica. La presi´n atmosf´rica promedio a nivel del mar corresponde o e o e a 760 mm de mercurio. Al repetir el mismo experimento, pero con una columna de agua, la altura ser´ 13.6 ve- a ces mayor (recuerde que la densidad del mercurio es 13.6 g/cm3 y la del agua 1 g/cm3 ). Multiplicando los 76 cm por 13.6 se obtienen 10.34 m. Este dato es muy importante, ya que interviene en varias aplicaciones tecnol´gicas. Por ejemplo, al intentar elevar agua de o un pozo (cuya superficie est´ en contacto con el aire que nos rodea) succionando por el a extremo superior de un tubo largo, s´lo se tendr´ ´xito si el nivel de agua no est´ a m´s de o ae a a 10.34 metros de profundidad (en la pr´ctica esta altura es menor ya que el agua comienza a a hervir bastante antes de llegar a los 10.34 metros). 12.3. Principio de Arqu´ ımedes ^ z A Al sumergirnos en un fluido, la presi´n au- o P0 menta. Evaluemos este aumento de presi´n o para un fluido incompresible (l´ıquido) de den- sidad ρ. para ello consideremos el fluido con- ρ g h tenido en un paralelep´ıpedo imaginario de al- tura h y ´rea A. Una de las caras de ´rea a a A la ubicamos de manera que coincida con la superficie del l´ ıquido mientras que la otra queda a una profundidad h (ver figura 12.4). Por lo dicho en la secci´n anterior, la presi´n o o P = P (h) es s´lo una funci´n de la profundi- o o Figura 12.4 dad h. Es claro que las fuerzas netas horizontales ejercidas por el fluido externo sobre el parale- lep´ ıpedo son nulas, de lo contrario el fluido del paralelep´ıpedo acelerar´ —lo que estar´ ıa ıa en contradicci´n con la suposici´n de que el fluido se encuentra en reposo. o o Las fuerzas que act´an sobre el paralelep´ u ıpedo en la direcci´n vertical son: i) la fuerza o que el aire ejerce sobre la cara superior, que es F1 = −P0 Aˆ, ii) la fuerza que el fluido z (exterior) ejerce sobre la cara inferior, que es F2 = P (h)Aˆ y iii) la fuerza debida al peso z del paralelep´ıpedo con su fluido. Esta fuerza de gravedad es F3 = −(ρAh)gˆ. Como el z
  • 5. 12.3 Principio de Arqu´ ımedes 321 paralelep´ ıpedo est´ en equilibrio, la fuerza total debe ser nula, es decir, a 0 = F1 + F2 + F3 = (−P0 A + P (h)A − ρAhg)ˆ . z De la ecuaci´n anterior se deduce que o P (h) = P0 + ρgh , donde P0 es la presi´n atmosf´rica que act´a sobre la superficie del fluido. Observe que el o e u aumento de la presi´n con la profundidad es igual a la presi´n ejercida por el peso de la o o columna del fluido que se encuentra por encima. Estamos en condiciones de demostrar el Principio de Arqu´ ımedes: Al sumergir un cuerpo parcial o totalmente en un fluido aparece una fuerza llamada empuje que act´a sobre el cuerpo y apunta en la direcci´n opuesta a u o la gravedad. La magnitud del empuje es Fe = ρgV , donde ρ es la densidad del fluido y V es el volumen del fluido que fue desplazado por el cuerpo. Para demostrar este principio observe prime- ramente que la fuerza que el l´ ıquido ejerce sobre cada parte de la superficie del cuerpo ^ z A sumergido o parcialmente sumergido es in- dependiente del material de que est´ hecho. a Por lo tanto, en lo que a empuje respecta, podemos reemplazar la parte sumergida del cuerpo A por un l´ ıquido igual al l´ ıquido que lo rodea (ver figura 12.5). Si ρ es la densi- dad del l´ ıquido y Vs el volumen de la par- te sumergida del cuerpo A, entonces el peso B del cuerpo B es W = −ρVs gˆ. Por supues- z to que el cuerpo B estar´ en equilibrio, por a consiguiente la fuerza de empuje que el l´ıqui- do exterior ejerce sobre B debe exactamente contrarrestar el peso. Luego la fuerza de em- Figura 12.5 puje es Fe = ρVs gˆ. z M´s a´n, el cuerpo B est´ en equilibrio neutro (es decir, dentro del l´ a u a ıquido lo podemos trasladar a cualquier punto y orientarlo en cualquier direcci´n, quedando en reposo), luego o la fuerza de empuje debe estar actuando como si estuviera aplicada en el centro de gravedad de B. Esto es un dato de importancia para analizar el equilibrio de objetos flotantes o sumergidos.
  • 6. 322 Fluidos Ejemplo: Considere tres cubos del mismo tama˜o, adheridos tal como se muestra en la n figura 12.6. El material del cual est´n hechos a β los dos cubos A y B es ρ1 = 0,5 g/cm3 , mien- B tras que el cubo C est´ hecho de un material a A de densidad ρ2 = 2 g/cm3 . Observe que la densidad media de los tres cubos es igual a C la del agua (ρ = 1 g/cm3 ) y, por lo tanto, al sumergirlo en agua, la fuerza de empuje exactamente cancela el peso. ¿Cu´l ser´ la a a orientaci´n de equilibrio estable que el obje- o to adquirir´ cuando est´ “flotando” rodeado a a Figura 12.6 de agua? Las unicas fuerzas que est´n actuando sobre el objeto son el peso W y el empuje Fe . Ya ´ a sabemos que ambas fuerzas tienen la misma magnitud y apuntan en direcciones opuestas y, por lo tanto, la fuerza neta sobre el objeto es nula. Pero para que se encuentre en equilibrio tambi´n el torque neto debe ser nulo. Esto se logra s´lo si ambas fuerzas son e o colineales (act´an a lo largo de la misma recta). Encontremos los puntos en que act´an las u u dos fuerzas. La gravedad act´a en el centro de masas. El u A B centro de masas de los cubos A y B se en- cuentra en a y el centro de masas de C se encuentra en b. El centro de masas del obje- a to completo se encontrar´ sobre la recta que a 2 L une a con b. Como el cubo C tiene el doble de masa de los dos cubos A + B juntos, el centro de masas del objeto completo se ubi- 1 β car´ m´s cerca de b que de a. En la figura 12.7 a a C hemos designado el centro de masas del ob- b jeto completo con el n´mero 1. Se tiene que u b, 1 = a, b/3. La fuerza de empuje, por otra parte, act´a en u L el centro de masas que se obtiene al sustituir los tres cubos por agua (en la figura lo hemos Figura 12.7 designado con el n´mero 2). u Nuevamente el centro de masas de los cubos A+B se encuentra en a, mientras que el de C se encuentra en b. El centro de masas de los centros de masas nuevamente se encontrar´ sobrea la recta a, b. Pero ahora los cubos A + B pesan el doble de lo que pesa C, luego el centro de masas ahora estar´ m´s cerca de a que de b. De hecho, el centro de masas cuando los a a tres cubos est´n hechos de agua debe estar sobre el plano de simetr´ indicado en la figura a ıa con una l´ınea punteada. En resumen, la fuerza de gravedad act´a en 1 y el empuje act´a en 2. Para que no haya u u torque sobre el sistema la recta a, b debe orientarse a lo largo de la vertical. Concluimos que
  • 7. 12.4 La f´rmula barom´trica o e 323 el ´ngulo β de la figura 12.6 debe coincidir con el de la figura 12.7. Se deduce inmediatamente a que tan β = 1/2. Conv´nzase de que el equilibrio es estable cuando el punto 2 est´ sobre el e a punto 1 e inestable cuando 1 est´ sobre 2. a 12.4. La f´rmula barom´trica o e Considere N mol´culas de un gas confinadas en un volumen V y a una temperatura T . Si e la ecuaci´n de los gases ideales es aplicable se tiene que o P V = N kB T . Aqu´ P es la presi´n del gas y kB = 1,38 · 10−16 erg/K es la constante de Boltzmann. Sea ı o m la masa de cada mol´cula, entonces e N m kB T kB T P = =ρ , V m m donde ρ es la densidad de masa del gas. De esta relaci´n se deduce que, mientras la tem- o peratura se mantenga constante, la presi´n de un gas es proporcional a su densidad. En o particular, si ρ0 y P0 son la densidad y presi´n de la atm´sfera al nivel del mar (z = 0) y o o ρ(z)y P (z) son las mismas magnitudes, pero a una altura z (por sobre el nivel del mar), entonces P0 ρ0 = . P (z) ρ(z) Por otra parte (ver figura 12.8), la presi´n a o ^ z una altura z es la misma que la que hay a una altura z es la misma que la que hay a z+dz una altura z + dz m´s la presi´n ejercida por a o g z el peso del gas que hay entre las alturas z y z + dz, o sea, P (z) = P (z + dz) + ρ(z)g dz . Esta ecuaci´n se puede reescribir de la forma o Figura 12.8 dP gρ0 = −ρ(z)g = − P (z) . (12.1) dz P0 ´ Esta es la ecuaci´n diferencial que gobierna el comportamiento de la presi´n atmosf´rica o o e (a temperatura constante). Para resolver esta ecuaci´n debemos antes discutir la funci´n o o exponencial . La funci´n exponencial o La ecuaci´n diferencial del tipo o df (t) f˙(t) = = Γf (t) , (12.2) dt
  • 8. 324 Fluidos donde Γ es una constante (real o compleja), aparece frecuentemente en las ciencias naturales (y tambi´n en las ciencias econ´micas). Es muy importante discutir y analizar sus soluciones. e o Una ecuaci´n diferencial es una ecuaci´n que involucra una funci´n y sus derivadas (primera, o o o segunda, etc.). La derivada de m´s alto orden que aparece en la ecuaci´n define el orden a o de la ecuaci´n diferencial. La ecuaci´n diferencial (12.2) es de primer orden. o o Nos interesa encontrar la soluci´n m´s general de (12.2). Un resultado importante de la o a teor´ de ecuaciones diferencial (y que no demostraremos aqu´ es que la soluci´n general ıa ı) o de una ecuaci´n diferencial de orden n tiene n constantes arbitrarias. En otras palabras, o sabremos que tenemos la soluci´n general de la ecuaci´n (12.2) si ´sta tiene una constante o o e que se puede elegir arbitrariamente. Una vez que se ha encontrado la soluci´n general, la o constante arbitraria se elige de manera que la soluci´n corresponda a la soluci´n del pro- o o blema planteado (o sea, cumpla con las condiciones iniciales). o ¨ ´ Ejemplo: Consideremos la ecuaci´n diferencial z = a0 . Esta es una ecuaci´n diferencial de o segundo orden. La soluci´n general es z(t) = z0 + v0 t + a0 t2 /2. La soluci´n general tiene dos o o constantes arbitrarias z0 y v0 , las que deben elegirse de manera que la soluci´n corresponda o a la situaci´n f´ o ısica concreta que se est´ considerando. a Definamos la funci´n exp(t) mediante la serie o t t2 t3 exp(t) = 1 + + + + ··· . (12.3) 1! 2! 3! Es evidente que su derivada es igual a la funci´n, es decir, o d exp(t) = exp(t) . dt Ejercicio: Demuestre que la funci´n f (t) = A exp(Γt), donde A es una constante arbitraria, o es la soluci´n general de la ecuaci´n o o f˙(t) = Γf (t) . Como consecuencia del ejercicio anterior concluimos que la soluci´n general de la ecuaci´n o o (12.1) es gρ0 P (z) = A exp − z , P0 donde la constante arbitraria A se determina exigiendo que la presi´n en z = 0 sea P0 . Esto o nos da la condici´n A = P0 . De esta manera obtenemos la f´rmula barom´trica o o e gρ0 P (z) = P0 exp − z . P0 Reiteramos que este resultado, que nos da la presi´n barom´trica en funci´n de la altura, o e o es s´lo aproximadamente correcto ya que, contrariamente a nuestra suposici´n, la tempe- o o ratura de la atm´sfera normalmente disminuye a medida que uno se eleva. o
  • 9. 12.4 La f´rmula barom´trica o e 325 Ejercicio: Demuestre que la funci´n f (t) = exp(Γ1 t) exp(Γ2 t) es una soluci´n de la ecuaci´n o o o diferencial f˙(t) = (Γ1 + Γ2 )f (t) . Por consiguiente, f (t) = exp(Γ1 t) exp(Γ2 t) debe poder escribirse de la forma f (t) = A exp((Γ1 + Γ2 )t). Demuestre que en ese caso A = 1, o sea exp(Γ1 t) exp(Γ2 t) = exp((Γ1 + Γ2 )t) . (12.4) Observe que esta relaci´n justifica la introducci´n de la notaci´n o o o exp(Γt) = eΓt . La funci´n et = exp(t) se llama funci´n exponencial . o o Ejercicio: Evaluando la serie (12.3) para t = 1, demuestre que e = 2,718 . . . Problemas (relacionados con la funci´n exponencial) o 1. Suponiendo que la atm´sfera tiene una temperatura constante, determine la presi´n o o atmosf´rica a 10 km de altura. (La densidad del aire, en la vecindad de la superficie e terrestre, a 20◦ C, es aproximadamente ρ0 = 1,29 kg/m3 .) 2. Considere un cilindro de radio R sobre el cual se apoya una cuerda. Sea µe el coeficien- te de roce est´tico entre la cuerda y el cilindro. Suponga que en uno de los extremos a de la cuerda est´ colgando una masa M . ¿Cu´l es la m´ a a ınima masa que debe colgarse en el otro extremo para que la cuerda no resbale? Respuesta: m = M e−µe π . 3. La cantidad de n´cleos de un elemento radiactivo que decae en un intervalo [t, t ] u es proporcional al n´mero de n´cleos no deca´ u u ıdos que se ten´ inicialmente (en el ıa instante t). Demuestre que la afirmaci´n anterior implica que o N (t) = N0 e−λt , donde N (t) es el n´mero de n´cleos en el instante t que no ha deca´ u u ıdo, N0 la misma magnitud pero en el instante t = 0 y λ es una constante positiva (la as´ llamada ı constante de desintegraci´n). o Para el caso en que λ = 0,01 s−1 , determine el tiempo que debe transcurrir para que decaiga la mitad de los n´cleos. u 4. Suponga que cierto banco (en el pa´ de las maravillas) para intereses a una tasa de ıs 100 % anual sobre los dep´sitos, y m´s a´n, los paga en forma continua, sumando los o a u intereses al capital depositado. Si una persona deposita $1000, ¿cu´nto le devolver´ el a a banco al cabo de un a˜o?n Respuesta: $ 2 718.28. . . = e · 1000.
  • 10. 326 Fluidos 12.5. Tensi´n superficial o Entre dos mol´culas de un fluido act´an fuerzas. Estas fuerzas, llamadas fuerzas de van e u der Waals o fuerzas cohesivas son de origen el´ctrico. Una de las caracter´ e ısticas de estas fuerzas es que su alcance es muy peque˜o (r´pidamente se desvanecen cuando la distancia n a entre las mol´culas es dos o tres veces su tama˜o); otra caracter´ e n ıstica es que mientras las mol´culas no se traslapan, la fuerza es atractiva. e El efecto neto de las fuerzas de cohesi´n so- o bre una mol´cula que est´ en el interior del e a l´ ıquido es nulo, pero no as´ para una mol´cula ı e que se encuentra en la superficie (ver figura 12.9). Para poner una mol´cula en la super- e ficie hay que realizar un trabajo. O sea, la existencia de una superficie en un fluido in- troduce una energ´ potencial. Esta energ´ ıa ıa es proporcional a la superficie y se tiene que Figura 12.9 dW = σ dA . Aqu´ σ es una constante que depende del fluido y se llama tensi´n superficial y dA es un ı o elemento (infinitesimal) de superficie. En realidad la tensi´n superficial depende de las dos o substancia que est´n en contacto. La siguiente tabla da valores de la tensi´n superficial a o para algunos casos. Substancia En contacto con Temp. ◦ C σ [N/m] Agua aire 0 0.0756 Agua aire 20 0.07275 Agua aire 80 0.0626 Hg vac´ıo 20 0.475 Hg aire 20 0.436 Alcohol met´ ılico aire 20 0.0227 Glicerol C3 H8 O3 aire 20 0.0634 Soluci´n jabonosa o aire 20 0,025 F Para medir la tensi´n superficial se pue- o de usar el dispositivo mostrado en la figura 12.10. Un alambre movible, inicialmente su- h mergido, se tira lentamente, extray´ndolo del e l´ ıquido (con una pel´ ıcula del l´ ıquido adosa- da). Midiendo la fuerza F se puede deducir σ. En efecto, al mover el alambre movible a L una altura h a h+dh, el trabajo que se realiza es dW = F dh. Figura 12.10
  • 11. 12.5 Tensi´n superficial o 327 Por otra parte, la superficie de la pel´ ıcula aumenta en dA = 2L dh (el factor 2 se debe a que la pel´ ıcula tiene una superficie a cada lado). Se tiene dW F dh F σ= = = . dA 2L dh 2L Problema: Deseamos encontrar la diferencia de presi´n entre el interior y exterior de una o pompa de jab´n de radio R = 1 cm. o Si, soplando con una pajita, aumentamos el radio de la pompa de R a R + dR, entonces la superficie aumenta en dA = 2 · (4π(R + dr)2 − 4πR2 ) = 16πR dR . El factor 2 nuevamente se debe a que hay que considerar tanto la superficie interior como exterior de la pompa. El cambio de energ´ debido al aumento de la superficie es por lo ıa tanto dW = σ dA = 16σπR dR . Por otra parte, podemos evaluar el trabajo directamente, multiplicando el desplazamiento dR por la fuerza ∆P · 4πR2 , es decir, dW = ∆P · 4πR2 dR . Igualando las dos ultimas expresiones se encuentra la diferencia de presi´n ´ o 4σ ∆P = . R Con σ = 0,025 N/m y R = 0,01 m se obtiene ∆P = 10 N/m2 . Si se deja de soplar por la pajita, la pompa se desinfla. Observe que la presi´n al interior de una pompa de jab´n es mayor tanto m´s peque˜o o o a n es su radio. De esta observaci´n se deduce que al juntarse una pompa de jab´n grande o o con una peque˜a, la peque˜a inflar´ a la m´s grande. De esta manera la pompa grande n n a a aumentar´ su tama˜o mientras que la peque˜a disminuir´: en otras palabras, la m´s grande a n n a a absorber´ a la m´s peque˜a. a a n
  • 12. 328 Fluidos 12.6. Capilaridad La fuerza entre mol´culas de dos substancias e distintas se llama fuerza de adhesi´n. Con- o Γ sideremos una peque˜a cantidad de l´ n ıquido   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡ α   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡ (medio #2) en contacto con una superficie                                                       ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡                                                       ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ s´lida plana(medio #3) y ambos en contacto o con un gas (medio #1) (ver figura 12.11). Sea {σi,j }, con i, j = 1, 2, 3 las tensiones superfi- ciales para las distintas interfases de la figura 12.11. Si la fuerza de adhesi´n (entre el l´ o ıquido y α el s´lido) es mucho mayor que la fuerza de o ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ cohesi´n (entre las mol´culas del l´ o e ıquido), en- ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ tonces el l´ ıquido tender´ a esparcirse sobre el a s´lido (ver figura 12.6a). En este caso se dice o que el l´ ıquido moja al s´lido. o Figura 12.11 Por otra parte, si la fuerza de adhesi´n es mucho menor que la fuerza de cohesi´n, entonces o o el l´ ıquido tender´ a concentrarse, adquiriendo una forma compacta tipo gota (ver figura a 12.11 b). Como resultado de esta competencia entre las distintas fuerzas de adhesi´n y cohesi´n, o o se forma un ´ngulo de contacto α bien caracter´ a ıstico entre el l´ ıquido y el s´lido. Experi- o mentalmente se determina que este ´ngulo de contacto para las substancias agua–vidrio es a aproximadamente 0◦ , mientras que para mercurio–vidrio α = 140◦ . Considere la l´ ınea Γ a lo largo de la cual conviven las tres fases. Conocemos la magnitud y la direcci´n de la fuerza sobre Γ proveniente de la tensi´n superficial del l´ o o ıquido. Por el principio de acci´n y reacci´n, el s´lido ejercer´ sobre el l´ o o o a ıquido una fuerza de la misma magnitud pero en direcci´n opuesta. Esta fuerza es la que hace subir un fluido por un o capilar. Consideremos un tubo fijo, de di´metro in- a 2r terior muy peque˜o 2r y con un extremo in- n merso verticalmente en un l´ ıquido cuya ten- si´n superficial es σ. El largo de la l´ o ınea Γ en este caso es 2πr. La fuerza que el tubo ejerce sobre el l´ ıquido a trav´s de la tensi´n e o h superficial es F = σ(2πr) cos α , donde α es el ´ngulo de contacto del l´ a ıqui- do con el material del tubo. Esta fuerza de- be compensarse exactamente con el peso del Figura 12.12 l´ ıquido (que est´ por sobre el nivel exterior). a
  • 13. 12.7 Fluidos en movimiento 329 El peso del l´ ıquido que subi´ por el tubo capilar es o Fg = ρ0 (πr2 h)g , donde ρ0 es la densidad del l´ ıquido. Igualando las dos fuerzas se obtiene para la altura m´xima h a la que sube el l´ a ıquido la expresi´n o 2σ cos α h= . ρ0 gr Ejemplo: Los xilemas que trasportan los nutrientes en una plante t´ ıpicamente tienen un radio de 10−3 cm. Evaluemos la altura m´xima a la que podr´n llegar los nutrientes. Su- a a pondremos que el ´ngulo de contacto α = 0 y para la densidad y tensi´n superficial del a o l´ ıquido usaremos la del agua. Usando la f´rmula expuesta m´s arriba se encuentra que h o a 1,5 m. La capilaridad es efectivamente uno de los mecanismos que las plantas usan para elevar la savia, sin embargo, no puede ser el mecanismo responsable para elevar el agua de las ra´ ıces hasta la punta de los ´rboles grandes (cuya altura puede superar los 100 metros), ya que para ello los xilemas a tendr´ que tener un di´metro 100 veces menor. ıan a 12.7. Fluidos en movimiento Consideraciones preliminares Los fluidos en movimiento se pueden clasificar con respecto a varios aspectos. Uno de ellos es la compresibilidad. La hidrodin´mica se preocupa de estudiar el flujo de fluidos a incompresibles, mientras que la aerodin´mica analiza los flujos de fluidos compresibles. a Notamos, sin embargo, que incluso los gases pueden aproximadamente como incompresibles mientras su velocidad no supere a la tercera parte de la velocidad del sonido. Otro aspecto clasificatorio se introduce respecto al roce interno. Se tiene el flujo de un fluido ideal si se ignoran todos los efectos debido al roce interno (es decir, se ignora la viscosidad del fluido). En caso contrario se estar´ considerando flujos de l´ a ıquidos y gases reales. La trayectoria de un peque˜o elemento de n fluido define una l´ ınea de corriente o l´ınea ρ2 de flujo. A su vez todo un haz de l´ ıneas de A2 flujo define un tubo de flujo (ver figura 12.13) ρ1 v2 tambi´n podemos clasificar los fluidos en mo- e A1 vimiento con respecto al comportamiento de v1 sus l´ ıneas de corriente. Si ´stas no var´ a e ıan medida que transcurre el tiempo se tiene un flujo estacionario o flujo laminar ; en caso Figura 12.13 contrario, el flujo es turbulento. En un flujo laminar, dos l´ ıneas de corriente cercanas entre s´ en cierto lugar, se mantendr´n ı a cercanas en todas partes. Tambi´n dos l´ e ıneas de corriente del fluido nunca se cruzan. Cuando el flujo es turbulento entonces elementos de fluido que inicialmente est´n infinite- a simalmente cerca pueden llegar a estar separados por distancias macrosc´picas a medida o
  • 14. 330 Fluidos que transcurre el tiempo. El flujo del fluido en este caso es ca´tico y se forman remolinos o err´ticos (llamadas tambi´n corrientes par´sitas). a e a Flujo laminar Flujo turbulento Figura 12.14 La disipaci´n de energ´ es mucho mayor cuando el flujo es turbulento que cuando es o ıa laminar. Ecuaci´n de continuidad o Consideremos un tubo de flujo como, por ejemplo, el que se muestra en la figura 12.7. Sean A1 , ρ1 y v1 el ´rea transversal del tubo, la densidad y velocidad del fluido en la entrada a del tubo y A2 , ρ2 y v2 las mismas magnitudes pero a la salida del tubo. Para un flujo estacionario, la cantidad de fluido que ingresa por el tubo durante un intervalo de tiempo dt debe coincidir con la que emerge en ese mismo intervalo por el otro extremo, luego ρ1 A1 v1 dt = ρ2 A2 v2 dt , relaci´n a la que se denomina ecuaci´n de continuidad . Cuando el flujo es incompresible, o o la densidad no cambia (o sea, ρ1 = ρ2 ), luego, para fluidos incompresibles, la ecuaci´n de o continuidad es A1 v1 = A2 v2 . Ecuaci´n de Bernoulli o En lo que sigue consideraremos el flujo estacionario de un fluido ideal incompresible. Sean P1 y P2 las presiones a la entrada y salida de un tubo de flujo, respectivamente. Evaluemos el trabajo neto en el punto de entrada realizado por la presi´n sobre el fluido que est´ al o a interior del tubo. En un tiempo dt la secci´n transversal inicial avanza una distancia v1 dt, o siendo el trabajo sobre el fluido W1 = F1 v1 dt = P1 A1 v1 dt . Por otra parte, el fluido que emerge del tubo realiza un trabajo igual a W2 = F2 v2 dt = P2 A2 v2 dt . La diferencia es el trabajo neto realizado sobre el fluido: dW = W1 − W2 = (P1 A1 v1 − P2 A2 v2 ) dt .