study Streaming Multigrid For Gradient Domain Operations On Large Images
1. Streaming Multigrid for Gradient-Domain Operations on Large Images Michael Kazhdan , Johns Hopkins University Hugues Hoppe , Microsoft Research SIGGRAPH 08
1. Toledo [1999] presents an excellent survey of out-of-core algorithms for large linear systems
本文要處理的對象 , gradient-domain image processing U is the 2D image ▽ U = G. 是 vector function 不過 , 我們要運算的對象是 scalar, ▽ . ▽ U=▽ . G=f 在 image processing 的課題上 , 通常是設定 f, 解 U 提醒自己: 1. Lapalicain eq: Δ 2 u = 0 Δ 2 u = 0 2. Poisson eq: Δ 2 u = f Δ u = f
後註:以這種方式理解數值分析法對 u x 的處理 . u xx = u(x+h)-u(x) 教科書通常是用 Taylor seriers 展開後相減
後註:以這種方式理解數值分析法對 u x 的處理 . 教科書通常是用 Taylor seriers 展開後相減
詳細內容請參照 , 所以針對這個特例 , 可以得到以下的 Lu=f, Each row of the matrix L cor
這種反覆地求 u, 被稱為 relaxation 他們是這麼說 , the pressure of constraint is relaxed 若本題的 constrain 是 e 0 則逐次逼進 e = 0, 使得 e 的壓力變少 本文的 relaxation 都用 Gauss-seidel method !!
1. Error 和 residual 的定義 2. 目的 : e 0. 這是一種 relaxation problem. 將 error 變小 , 也就是將限制放鬆 ( 開山祖師的奇妙想法…其實和答案越接近 , 和答案越緊更直覺 ) 要注意到兩件事 , e k 是不是 smooth function ? 有沒有好 initial e 0 ?
完整的說法是 , Gauss-Seidel relaxation converges slowly on the low-frequency components of the solution. . 作 R J 的 Fourier transform (or series?). 可以分析出是 R J 的低頻成分的確要多次才收歛
L H 和 L h 一樣嗎 ? 不一樣 !
將之前的整合成 V-cycle, 直接改用本 paper 圖文說明 [figure 1] Restriction: 由 residual 求得 coarse-grid 的 f ( 很奇怪吧 .. 應該也只能求 coarse-grid 的 residual) Base solution: 足夠 coarse level 後 , 直接 求 u 於 Lu = f Prolongation: 由 coarse-grid 的 u, 求得 fine-grid u ( 很難接受 , 仍然應該是 u = u + P e) 至於 data flow, 則改為本 multi-grid 的說法
N=2, k=3, 3 times Gauss-Seidel relaxations update, 2 V-cycles
MAX ERROR: dash Rms (root mean square error) : solid line V-cycles : 表示 幾次 v-cycle. 越多當然越精確 神奇的是 , 2nd order B-spline 收斂最快 . 3rd order B-spline 反而收斂慢
很多都是細節 : 像是用半精度存 u, f, 就可以加快一半速度
Panorama: 全景圖
HDR normal tone : 求 log-luminance gradient, apply non-linearly attenuation ( 衰減 ) Tone mapping 比 stitching 更難 ! adaptive method can not be applied full resolution over the entire grid of Poisson eq !!!
收集不同光圈下的 photos
Dirichlet boundary condition, 像是在邊界加值 如 d 2 y/dx 2 + 3y=1, x = [0,1], y[0]=a, y[0]=b