20120512 repeatsinsymbolicsequences shur_lecture03-04

1. ¿¸ üº º üº º ´ ÿ µ ½»¿

2. ú û¸ ú û º ÜÔ(Û) = |Û|/Ô Ö(Û)º º ¸ ¸ ºþ º ÜÔ(Û) = ¾ ú û´ µ¸ ¸ ü ü ÜÔ(Û) > ¾ ú û¸ ¸ ü ü ü ´ ÜÔ = /¾µ ÜÔ(Û) > ¾ ú û ¸ ¸ ´ ÜÔ = / µ üý ü ü üý ü ´ ÜÔ = ½½/ µº üº º ´ ÿ µ ¾»¿

3. ú û¸ ú û º ÜÔ(Û) = |Û|/Ô Ö(Û)º º ¸ ¸ ºþ º ÜÔ(Û) = ¾ ú û´ µ¸ ¸ ü ü ÜÔ(Û) > ¾ ú û¸ ¸ ü ü ü ´ ÜÔ = /¾µ ÜÔ(Û) > ¾ ú û ¸ ¸ ´ ÜÔ = / µ üý ü ü üý ü ´ ÜÔ = ½½/ µº üº º ´ ÿ µ ¾»¿

4. ú û¸ ú û º ÜÔ(Û) = |Û|/Ô Ö(Û)º º ¸ ¸ ºþ º ÜÔ(Û) = ¾ ú û´ µ¸ ¸ ü ü ÜÔ(Û) > ¾ ú û¸ ¸ ü ü ü ´ ÜÔ = /¾µ ÜÔ(Û) > ¾ ú û ¸ ¸ ´ ÜÔ = / µ üý ü ü üý ü ´ ÜÔ = ½½/ µº þ üº º ´ ÿ µ ¾»¿

5. Û β¹ ¸ β β + ¹ ¸ βº β+ ú û¸ β º β ¹ ¸ ¹ β¹ ¸ ¹ º ú û β+ º ¾¹ ¾+ ¹ ¸ ¸ º ½ β ¹ ¸ β >β ¹ º ¾ β ¹ ¸ β¹ ω¹ ¹ º üº º ´ ÿ µ ¿»¿

6. üº º ´ ÿ µ »¿

7. ü ´½ ¿¹½ ¾¾µ ¸ ¹ º ú ¹ û º ¹ º ½ ¼¹ º üº º ´ ÿ µ »¿

8. ü ´½ ¿¹½ ¾¾µ ¸ ¹ º ú ¹ û º ¹ º ½ ¼¹ º ´½ ¼ µ ¾ ¿¹ º ´½ ½¾µ ¾ + ¾¹ º ¸ ¾+ ¹ ¹ ÓÚ ÖÐ Ô¹ Ö ´ µ¸ ¹ º üº º ´ ÿ µ »¿

9. : Σ∗ → Σ∗ ¸ (λ) = λ (Û ) = (Û [½]) · · · (Û [|Û |]) Ûº ¸ ´ º º¸ ½µº θ : {¼, ½}∗ → {¼, ½}∗ θ(¼) = ¼½, θ(½) = ½¼. º Û ¾+ ¹ ¸ θ(Û ) ¾+ ¹ º ¾+ ¹ º ¸ β¹ β ¾+ º üº º ´ ÿ µ »¿

12. θ(Û ) ¾+ ¹ ¸ º º >¾ ½º ýº º º ¼º ´ µ ¼Ü ¼Ü ¼ Ü º ¸ θ(Û ) |Û | ¼½ ½¼º þ ¸ Ü = λ¸ ¼Ü ¼Ü ¼¸ ¸ º ´ µº ¼Ü ¼½¸ ¼ ½¸ º º θ(Û ) ¼½Ü ¼½Ü ¼½ θ(Û ) = ¼½ Ü ¼½ Ü ¼½ |Ü | ¸ Ü ¼ ½Ü º ¸Ü ¼¸ ½ º ¸ º ¸ |Ü | º Ü ¸ ¸ Û ¼θ−½ (Ü )¼θ−½ (Ü )¼ ¼½Ü ¼½Ü ¼½ ¾+ ¹ º üº º ´ ÿ µ »¿

13. ¹ ¸ ( ) ¸ ¾ Ò+½ Ò ( ) = ( ( )) ( )¸ º º¸ º º ( ) ( ) Ò Ò Òº ( )| → ∞¸ ∞ | { ( )}¼ Ò ú û ω¹ ¸ ( ) º ¸ ¸ º ¸ ¸ ¹ ¸ ∞ Ø = θ (¼) = ¼½½¼ ½¼¼½ ½¼¼½ ¼½½¼ ½¼¼½ ¼½½¼ ¼½½¼ ½¼¼½ ½¼¼½ . . . üº º ´ ÿ µ »¿

14. ¹ ¸ ( ) ¸ ¾ Ò+½ Ò ( ) = ( ( )) ( )¸ º º¸ º º ( ) ( ) Ò Ò Òº ( )| → ∞¸ ∞ | { ( )}¼ Ò ú û ω¹ ¸ ( ) º ¸ ¸ º ¸ ¸ ¹ ¸ ∞ Ø = θ (¼) = ¼½½¼ ½¼¼½ ½¼¼½ ¼½½¼ ½¼¼½ ¼½½¼ ¼½½¼ ½¼¼½ ½¼¼½ . . . ¾+ ¹ ¸ ½¼ ¸ ¸ ¸ ý üº º ´ ÿ µ »¿

15. ¹ Ø = θ∞ (¼) = ¼½½¼ ½¼¼½ ½¼¼½ ¼½½¼ ½¼¼½ ¼½½¼ ¼½½¼ ½¼¼½ ½¼¼½ . . . ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¾º üº º ´ ÿ µ »¿

16. ¹ Ø = θ∞ (¼) = ¼½½¼ ½¼¼½ ½¼¼½ ¼½½¼ ½¼¼½ ¼½½¼ ¼½½¼ ½¼¼½ ½¼¼½ . . . ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¾º ¹ ¸ ¸ [½..¾Ò ] ¸ ¹ ¸ ´Ò ¾µ ºº º (Ò− )½¹ º üº º ´ ÿ µ »¿

17. ¹ Ø = θ∞ (¼) = ¼½½¼ ½¼¼½ ½¼¼½ ¼½½¼ ½¼¼½ ¼½½¼ ¼½½¼ ½¼¼½ ½¼¼½ . . . ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¾º ¹ ¸ ¸ [½..¾Ò ] ¸ ¹ ¸ ´Ò ¾µ ºº º ½¹ (Ò− ) º ¸ ¸ ´ ¸ [¼..¾Ò −½]ºµ ¸ ½¾ + ¾ + ¾ + ¾ = ¾¾ + ¿¾ + ¾ + ¾ =½¼¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ +¿ + + =½ +¾ + + = ¼ üº º ´ ÿ µ »¿

18. ÿ ¸ Û ∈ {¼, ½}∗ >¿ º ÿ ¹ ÊÌ( ) = Ò {β ∈ R | β ¹ }º ¸ ÊÌ(¾) = ¾¸ ¾ ¾¹ º ÊÌ( ) ½ ¾ º ÿ ÊÌ(¿) = / , ÊÌ( ) = / , ÊÌ( ) = /( −½) , ÊÌ( ) ¹ º ¸ º ´ µº þ ¸ ¹ ÊÌ( ) ¹ + º üº º ´ ÿ µ »¿

19. ÿ ¸ Û ∈ {¼, ½}∗ >¿ º ÿ ¹ ÊÌ( ) = Ò {β ∈ R | β ¹ }º ¸ ÊÌ(¾) = ¾¸ ¾ ¾¹ º ÊÌ( ) ½ ¾ º ÿ ÊÌ(¿) = / , ÊÌ( ) = / , ÊÌ( ) = /( −½) , ÊÌ( ) ¹ º ¸ º ´ µº þ ¸ ¹ ÊÌ( ) ¹ + º üº º ´ ÿ µ »¿

20. ÿ ø ¸ Û ∈ { , , }∗ ¿ / º ¸ ( / )+ ¿¹ ¸ ( / )+ ¹ ½ º ¸ ü ½ ¿ º αÓ ´ ø µ α ´ ø µ { , , } { , , }∗ αÓ : → , → , → , α : → , → , → ü α:{ , , } →{ , , } ∗ ∗ α(Û ) = αÓ (Û [½])α (Û [¾])αÓ (Û [¿]) · · · ¸ º º ¸ º ¸ α( ) ¸ ¸ αÒ+½ ( ) αÒ ( ) Òº ¸ ü ω¹ ü = α∞ ( ) = ··· . ü ¸ ¸ ´ ¸ ¸ ½ µ ü ( / ) ¹ + º üº º ´ ÿ µ ½¼ » ¿

23. ü üº º ´ ÿ µ ½½ » ¿

24. ü = α∞ ( ) = ··· ý ü ¿¸ ´ αÓ µ ´ α µ ¸ , , º ( / )+¹ ü º ¸ ú û ¸ / ¸ Ò ¸ αÒ ( ) ¸ Û αÒ ( ) Ñ = Ô Ö (Û )º Ñ =½ ¸ ¸ ¸ ¸ Ò Ñ =¾ ¸ Ñ =¿ Ñ = º üº º ´ ÿ µ ½¾ » ¿

27. ü þ ¸ Ñ = , . . . , ½¼º ¡ Ñ Ù º Ù º´ º º Ù ¸ Û ºµ ¸ ¸ º ¸ ¸ º´ ¸ ¸ ¸ º α( )¸ Ò º þ ºµ ¸ ¸ º ¸ ú û ü ¸ ¸ º üº º ´ ÿ µ ½¿ » ¿

28. ü ¸ Û αÒ ( )º Ù Û ¸ Ûº ¸ Ô Ö (Û ) ½½º ÜÔ(Û) > / |Ù | º ¸ Ù ÜÔ(Û)¸ ¸ αÒ ( ) ¸ ¸ º ¸ ¸ ¸ ¸ º´ Û ¸ ¸ Û ¸ Û ºµ Û = α−½ (Û ) |Û |/¿ αÒ−½ ( )º |Ù |/¿ Û ¸ ¹ Ù º ¸ ÜÔ(Û ) ÜÔ(Û)¸ Ò Û º ¸ / ¸ º º ÊÌ(¿) = / º üº º ´ ÿ µ ½ »¿

29. ü ¸ Û αÒ ( )º Ù Û ¸ Ûº ¸ Ô Ö (Û ) ½½º ÜÔ(Û) > / |Ù | º ¸ Ù ÜÔ(Û)¸ ¸ αÒ ( ) ¸ ¸ º ¸ ¸ ¸ ¸ º´ Û ¸ ¸ Û ¸ Û ºµ Û = α−½ (Û ) |Û |/¿ αÒ−½ ( )º |Ù |/¿ Û ¸ ¹ Ù º ¸ ÜÔ(Û ) ÜÔ(Û)¸ Ò Û º ¸ / ¸ º º ÊÌ(¿) = / º üº º ´ ÿ µ ½ »¿

30. ÿ ¡ ¸ ½¾¾ ¹ / º ¡ −½ ¹ ¹ +½º | Ü | −½ ¹ Ü ¸ ¸ | Ü| < −½ ¸ |Ü | −½º ¸ º +¾ ¹ ¸ +¾ ¸ ½ ¾ ··· ½ ¾ −½ º þ ¸ º ´ý ¸ ½ ¿µ + −½ ¹ ¹ º ( / )+¹ ¹ º üº º ´ ÿ µ ½ »¿

31. ÿ ¡ ¸ ½¾¾ ¹ / º ¡ −½ ¹ ¹ +½º | Ü | −½ ¹ Ü ¸ ¸ | Ü| < −½ ¸ |Ü | −½º ¸ º +¾ ¹ ¸ +¾ ¸ ½ ¾ ··· ½ ¾ −½ º þ ¸ º ´ý ¸ ½ ¿µ + −½ ¹ ¹ º ( / )+¹ ¹ º üº º ´ ÿ µ ½ »¿

32. ø þ½ ¹ ø ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ º º º −½ þ ¹ ´ −¾ ¹ ¹ µ −½ º ¸ Û Û [½.. − ½] ØÖ(Û ) |Û |− +½¸ ¼ Û [ + −½] = Û [ ], ØÖ(Û )[ ] = ½ Û [ + −½] ∈ {Û [ ], . . . , Û [ + −¾]}. / Û = ... ØÖ(Û ) = ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ... ¹ ¸ º º º ¸ ω¹ ¸ ¹ ω¹ º üº º ´ ÿ µ ½ »¿

33. ω¹ ¸ º ø ¸ ρ : {¼, ½}∗ → {¼, ½}¸ ρ(¼) = ½¼½½¼½¸ ρ(½) = ½¼¸ ω¹ ¸ ¹ ( / )+ ¹ ¸ º º ¸ ρ ∞ ( ½) = ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ½ ¼ ··· Û = ··· ¸ º ¼¼ ½½½º ¸ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½ ¾ ··· −½ ½ ¾ ½ ¾ ··· −½ ½ ¾ ¸ ¸ ¸ º üº º ´ ÿ µ ½ »¿

34. ω¹ ¸ º ø ¸ ρ : {¼, ½}∗ → {¼, ½}¸ ρ(¼) = ½¼½½¼½¸ ρ(½) = ½¼¸ ω¹ ¸ ¹ ( / )+ ¹ ¸ º º ¸ ρ ∞ ( ½) = ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ½ ¼ ··· Û = ··· ¸ º ¼¼ ½½½º ¸ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½ ¾ ··· −½ ½ ¾ ½ ¾ ··· −½ ½ ¾ ¸ ¸ ¸ º üº º ´ ÿ µ ½ »¿

35. ´¾µ ¸ ¸ ¸ ´ µº ¸ ¸ º º üý ü ü üý ü ½½» ü ü ¿»¾¸ ¸ ¸ º º ¸ ¸ ¸ º ¸ ¸ º ÜÝÜ ¸ Ô Ö(ÜÝÜ ) = |ÜÝ |º ¾ º |Ü | < |Ü | º ¾ ¸ ¸ ω¹ º üº º ´ ÿ µ ½ »¿

36. ´¾µ ¸ ¸ ¸ ´ µº ¸ ¸ º º üý ü ü üý ü ½½» ü ü ¿»¾¸ ¸ ¸ º º ¸ ¸ ¸ º ¸ ¸ º ÜÝÜ ¸ Ô Ö(ÜÝÜ ) = |ÜÝ |º ¾ º |Ü | < |Ü | º ¾ ¸ ¸ ω¹ º üº º ´ ÿ µ ½ »¿

37. ¸ {½, . . . , Ò}º Σ¸ −½ ··· ¸ ¼½¼½½¼½¼ ¸ º º ½ → , ¾ → , ¿ → ½, → ¾, → ¿, (½ ¾ ¿). ¼ (½¾ . . . −½)¸ ½ (½¾ . . . )º ¸ º ÜÝÜ ¸ |Ü | = −½ |ÜÝ | ¸ º º ´Ü Ü µº ÜÝÜ ¸ |Ü | |ÜÝÜ | − + ½¸ |ÜÝ | ¸ º ¸ ¸ ú ûº üº º ´ ÿ µ ½ »¿

38. ¸ {½, . . . , Ò}º Σ¸ −½ ··· ¸ ¼½¼½½¼½¼ ¸ º º ½ → , ¾ → , ¿ → ½, → ¾, → ¿, (½ ¾ ¿). ¼ (½¾ . . . −½)¸ ½ (½¾ . . . )º ¸ º ÜÝÜ ¸ |Ü | = −½ |ÜÝ | ¸ º º ´Ü Ü µº ÜÝÜ ¸ |Ü | |ÜÝÜ | − + ½¸ |ÜÝ | ¸ º ¸ ¸ ú ûº üº º ´ ÿ µ ½ »¿

39. ´¿µ ¸ ¹ ¸ Ò ( −½)(Ò+ −½) Ô < ¸ Ô º ω¹ ¸ ω¹ ¹ ¸ ú û ¸ ¸ º ω¹ Û ¸ Ò ( ) Æ Ò ¸ Û ( ) Æ Ò Û Ò º ω¹ ¸ ¸ Ò ¸ ( )º Æ Ò üº º ´ ÿ µ ¾¼ » ¿

40. ´¿µ ¸ ¹ ¸ Ò ( −½)(Ò+ −½) Ô < ¸ Ô º ω¹ ¸ ω¹ ¹ ¸ ú û ¸ ¸ º ω¹ Û ¸ Ò ( ) Æ Ò ¸ Û ( ) Æ Ò Û Ò º ω¹ ¸ ¸ Ò ¸ ( )º Æ Ò üº º ´ ÿ µ ¾¼ » ¿

41. ü ¸ ´ ¹ ½ ¼ µ = |Σ| ´ ¸ µ ¹ Æ (Ò)¸ Ò Ñ ¸ ½ | Ñ ( )| Æ (Ò) Ñ( ) ½ Ñ ¸ ω¹ ( ½) º ¸ ¹ ¸ = , , . . . , ½½º ¸ = ½½ ¼ → ½¼½¼½¼½¼½¼½¼½½¼½½¼½¼½½¼½¼½½¼½¼½¼½¼½½¼½½¼ ½ → ½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½½¼½½¼½½¼½½¼½½¼½½¼½¼½¼½½¼½ üº º ´ ÿ µ ¾½ » ¿

42. ü ¸ ´ ¹ ½ ¼ µ = |Σ| ´ ¸ µ ¹ Æ (Ò)¸ Ò Ñ ¸ ½ | Ñ ( )| Æ (Ò) Ñ( ) ½ Ñ ¸ ω¹ ( ½) º ¸ ¹ ¸ = , , . . . , ½½º ¸ = ½½ ¼ → ½¼½¼½¼½¼½¼½¼½½¼½½¼½¼½½¼½¼½½¼½¼½¼½¼½½¼½½¼ ½ → ½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½½¼½½¼½½¼½½¼½½¼½½¼½¼½¼½½¼½ üº º ´ ÿ µ ¾½ » ¿

43. ¹ ¸ º ¸ = ½½ ¹ º þ ¾¼¼ ¹ º üº º ´ ÿ µ ¾¾ » ¿

44. ¹ ¸ º ¸ = ½½ ¹ º þ ¾¼¼ ¹ º üº º ´ ÿ µ ¾¾ » ¿

45. ¹ ¸ º ¸ = ½½ ¹ º þ ¾¼¼ ¹ º ··· üº º ´ ÿ µ ¾¾ » ¿

46. ¹ ¸ º ¸ = ½½ ¹ º þ ¾¼¼ ¹ º ··· ¸ ¸ = ,...,½ º üº º ´ ÿ µ ¾¾ » ¿

47. ¸ ¾¼¼ ü ¸ −¿ Ñ = Ñ : {½, . . . , Ñ}∗ → {¼, ½}∗ ¸ ¿¼ ¸ ¾ ( − )( ½ / ¾ + ) ½¸ ¾ ω¹ {½, . . . , Ñ} ¸ º Ñ ¿¿ º º þ ¾¼¼ ¸ ω¹ ¹ ¸ ¸ ¿¿ ¾ º ¹ ¸ ½ ,...,¾ º ¸ ¾¼¼ º = ,...,¿ ¸ ¹ º üº º ´ ÿ µ ¾¿ » ¿

48. ¸ ¾¼¼ ü ¸ −¿ Ñ = Ñ : {½, . . . , Ñ}∗ → {¼, ½}∗ ¸ ¿¼ ¸ ¾ ( − )( ½ / ¾ + ) ½¸ ¾ ω¹ {½, . . . , Ñ} ¸ º Ñ ¿¿ º º þ ¾¼¼ ¸ ω¹ ¹ ¸ ¸ ¿¿ ¾ º ¹ ¸ ½ ,...,¾ º ¸ ¾¼¼ º = ,...,¿ ¸ ¹ º üº º ´ ÿ µ ¾¿ » ¿

49. ¸ ¾¼¼ ¸ ¿ º Ñ ÓÚ Ö ý ¸ Æ ÜØ Ð Ú Ð ×× º üº º ´ ÿ µ ¾ »¿

50. ¸ ¾¼¼ ¸ ¿ º Ñ ÓÚ Ö ý ¸ Æ ÜØ Ð Ú Ð ×× º º ½º ´ µ ¸ ´ µ¸ º º ÊÌ( , ) ´ ÊÌ( , ½) = ÊÌ( )µº ¾¼¼ ´ ¸ ¸ µº ¸ º üº º ´ ÿ µ ¾ »¿

51. ¸ ¾¼¼ ¸ ¿ º Ñ ÓÚ Ö ý ¸ Æ ÜØ Ð Ú Ð ×× º º ½º ´ µ ¸ ´ µ¸ º º ÊÌ( , ) ´ ÊÌ( , ½) = ÊÌ( )µº ¾¼¼ ´ ¸ ¸ µº ¸ º ¾º ´ µ ¸ ¸ ºý ¸ú û ¸ Ò Ò º ¿ ½ ¼¹ ¸ = ¿, ´ ¸ ¾¼¼ µ¸ = , . . . , ½¼ ´ ¸ ¸ ¾¼½½µ¸ ½¼½ ´ ¸ ¸ ¾¼½¾µº þ ¸ ¸ º üº º ´ ÿ µ ¾ »¿

52. ´¾µ ¿º ´ µ º ´ µº ¸ ü ü ¸ º ¸ ω¹ ¸ ´ ¸ ¸ ¸ ¾¼¼ µº ¸ º üº º ´ ÿ µ ¾ »¿

53. ´¿µ º´ µ ÊÌ( ) º ¸ ú û üº º ´ ÿ µ ¾ »¿

54. ´¿µ º´ µ ÊÌ( ) º ¸ ú û ¹ ¸ ú û¸ ¹ ¸ ´ µ¸ , , . ¸ β¹ º ÊÌ( ) = β ¸ ¹ β+¹ Ò ¸ Ò ¹ β+ ¹ º üº º ´ ÿ µ ¾ »¿

55. ´¿µ º´ µ ÊÌ( ) º ¸ ú û ¹ ¸ ú û¸ ¹ ¸ ´ µ¸ , , . ¸ β¹ º ÊÌ( ) = β ¸ ¹ β+¹ Ò ¸ Ò ¹ β+ ¹ º ÊÌ(¾) = /¾ ´ü ¸ ¸ ¾¼¼ µ¸ ÊÌ(¿) = ¾ ´ ¸ ¾¼½¼µ¸ ÊÌ( ) = /¾ ¾+½ / ´ÿ ¸ ¾¼½¾µº = , º üº º ´ ÿ µ ¾ »¿

56. ø ø ´½ ½¿¹½ µ ¸ ú ¹ û¸ ¹ ¸ ½ ¼¼ ´ ¹ µº ú ø û ¹ ø º ¹ ¸ º þ úËÓÑ ÙÒ×ÓÐÚ ÔÖÓ Ð Ñ×û ½ ½ ø ¸ ¸ ¸ ú ûº üº º ´ ÿ µ ¾ »¿

57. ø ø ´½ ½¿¹½ µ ¸ ú ¹ û¸ ¹ ¸ ½ ¼¼ ´ ¹ µº ú ø û ¹ ø º ¹ ¸ º þ úËÓÑ ÙÒ×ÓÐÚ ÔÖÓ Ð Ñ×û ½ ½ ø ¸ ¸ ¸ ú ûº üº º ´ ÿ µ ¾ »¿

58. ´ µ º´ µ ÊÌ( ) º ¸ Û Ô ¸ Û = Û½ · · · ÛÒ Û ¸ Û½ , . . . , ÛÒ Ô ¸ Û º ¸ Û Ô ¸ Û Û |Û |º ¸ ü üüü üü ¿ ´ü ü üü üüµ¸ ¸ üü ü ´ü üü ü üüµ¸ ¸ ´ü üüü üüµ¸ üü ü ü ´ü üüü üüµ¸ ´ ¹ üü ü µ ´ü üüü ü üµ¸ ¸ º ü ¸ β¹ ¸ º üº º ´ ÿ µ ¾ »¿

59. ´ µ º´ µ ÊÌ( ) º ¸ Û Ô ¸ Û = Û½ · · · ÛÒ Û ¸ Û½ , . . . , ÛÒ Ô ¸ Û º ¸ Û Ô ¸ Û Û |Û |º ¸ ü üüü üü ¿ ´ü ü üü üüµ¸ ¸ üü ü ´ü üü ü üüµ¸ ¸ ´ü üüü üüµ¸ üü ü ü ´ü üüü üüµ¸ ´ ¹ üü ü µ ´ü üüü ü üµ¸ ¸ º ü ¸ β¹ ¸ º üº º ´ ÿ µ ¾ »¿

60. ü ´ ú û ¸ µº ÊÌ(¾) < ¸ ÊÌ(¿) < ¿ ´ ¸½ µ¸ ÊÌ( ) < ¾ ´ ¸ ½ µ ¾¼½¼ ´ ¸ µº ¸ ¾ ¿ ... Ò ... ½½ ¿ −¾ ÊÌ( ) ¿ ¾ ¾ ... −¿ ... ¸ ¹ º º üº º ´ ÿ µ ¾ »¿

61. ü ´ ¸ ¸ ¾¼½¼µ −¾ −¿ ¹ º Σ = {½, . . . , }¸ ´ = , ¸ µº Ù Û Ð ¹ ¸ |Ù | = Ð º Û [ .. + Ð −½] ¹ Ð ¹ Û º −¾ Û ∈ Σ∗ ¹ −¿ ¹ º ´½µ ( −¾)¹ Û −¾ ´¾µ ( − ½) ¹ Û −½ º º ´½µ [ ] = Û[ ] Û < ¸ Û [ .. ] − +½ − º − − ¾º ´¾µ Ù = Û [ .. + −¾] Ú = Û [ + ½.. + −½] ( −½)¹ Ûº Ù¸ Ú −¾ º Ù Ú º Û [ ] = Û [ + −¾]¸ Û [ +½] = Û [ + −½]¸ Ù = Û [ .. + −½] −¾ > −¾ º −¿ üº º ´ ÿ µ ¿¼ » ¿

62. ü ´¾µ −¾ ¸ ¹ −¿ ¹ Σ ( −½)¹ ¸ ¸ ¸ º ¹ ¸ º −¾ ¹ −¿ ¹ +½ +¾ ¾ ½ ¾ ½ −½ ¸ º º −½ −¿ −¿ º −¾ ¹ ¹ −¿ ¹ ¸ ¸ − ¾º üº º ´ ÿ µ ¿½ » ¿

63. º Û º Û ´ µ ´ µ +½ −½ µ ¸ ø ( −½)¹ Û º ¸ |Û | − ½º ( −½)¹ Û ¿ +½º ¸ Û ¹ ´ µ º ¸ Û ¸ º ¹ ( −½)¹ Þ ¹ ( −½)¹ ¯ Þ ¸ − >½ º Þ ¯ Þ Û ¸ ÜÝ Ü ¸ ¯ ÜÝ = Þ ÝÜ = Þº ¯ ¯ ¸ |Ü | ¾ ¯ Ü Ü º +½ ¸ ¯ ÜÝ Ü −½ ¸ º üº º ´ ÿ µ ¿¾ » ¿

64. ´ µ ¸ Þ ¯ Þ Û º Û ¸ − ¸ ( + ½) ¹ ( −½)¹ ( −½)¹ Û º Ù = Û [ .. + −¾] = ÞÝ Þ º ¯ − ¸ Ù º ( −½)¹ Ù º ¸ Ù ¿ ( − ½) ¹ º |Ù | − ¾º Ù |Ù | |Ù |− +½ º |Ù | −¾ −¾ , |Ù | − + ½ ¿ −½ −¿ º üº º ´ ÿ µ ¿¿ » ¿

65. ´ µ −¾ ¸ ¸ −¿ ¹ ¸ −¾ Ï ¹ ¹ −¿ ¹ º ( −½)¹ Ï ´ µ ¸ ¹ Ï ´ µ ø ¹ Ï ´ Ï +¾ ¸ µº ¸ , ¸ +½< ¸ ¹ ¹ ¹ Ï ¸ ¹ º Ï ¸ ÜÝ Ü ¯¸ |ÜÝ | = ¸ |Ü | ¾¸ ¯ Ü Ü º +¾ ¸ º Ï ¸ Ï Ù = ÜÝ Ü ¸ ¯ Ü ¯ Ü ´ ¸ ¸ µº Ù ¸ −¾ ¹ −¿ ¹ ¸ º ¸ |Ù | − ¾ − ¾¸ º º |Ù | º Ù /¿¸ º ¸ Ï ¸ −¾ −¿ ¹ º üº º ´ ÿ µ ¿ »¿

68. ÌÀ Æ üº º ´ ÿ µ ¿ »¿

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