1. Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
Åëåíà Èêîííèêîâà
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

2. DPLL àëãîðèòìû
Ðàñùåïëåíèå ïî êàæäîé ïåðåìåííîé.
Ф
x 1= 1
x 1= 0
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

3. Îòñå÷åíèå
Ðåáðà ïîìå÷åíû âåðîÿòíîñòüþ èõ îòñå÷åíèÿ.
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

4. DPLL àëãîðèòì ñ îòñå÷åíèåì
A âûáèðàåò ïåðåìåííóþ äëÿ ðàñùåïëåíèÿ
B âûáèðàåò ïåðâîå ïðèñâàèâàåìîå ýòîé ïåðåìåííîé
çíà÷åíèå
C îáðåçàåò âåòâè äåðåâà ðàñùåïëåíèÿ
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

5. DPLL àëãîðèòì ñ îòñå÷åíèåì
Âõîä: Φ ôîðìóëà â ÊÍÔ.
if Φ íå ñîäåðæèò íè îäíîãî äèçúþíêòà then return 1
end if
if Φ ñîäåðæèò ïóñòîé äèçúþíêò then return 0
end if
x ← A(Φ)
c ← B(Φ, x)
if C(Φ, x, c) = 1 then
if DA,B,C (Φ[x := c]) = 1 then return 1
end if
end if
if C(Φ, x, 1 − c) = 1 then
if DA,B,C (Φ[x := 1 − c]) = 1 then return 1
end if
end if
return 0
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

6. Îáçîð òåìû
Dmitry Itsykson and Dmitry Sokolov Lower bounds for myopic
DPLL algorithms with a cut heuristic.
Áëèçîðóêàÿ ïðîöåäóðà èìåþùàÿ äîñòóï ê ôîðìóëå ñ
óäàëåííûìè ñèìâîëàìè îòðèöàíèÿ.
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

7. Îáçîð òåìû
Òåîðåìà
Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ñòðîÿùèé çà ïîëèíîìèàëüíîå îò n âðåìÿ
íåâûïîëíèìóþ ôîðìóëó Φ(n). Ñóùåñòâóåò δ 0, ò.÷. äëÿ ëþáûõ
áëèçîðóêèõ ïîëèíîìèàëüíûõ A è C ñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî
ðàñïðåäåëåíèé Rn íà âûïîëíèìûõ ôîðìóëàõ, òàêîå ÷òî
åñëè äëÿ íåê. B è ε 0
Prφ←Rn [DA,B,C (φ) = 1] ≥ 1 − ε,
òî âðåìÿ ðàáîòû DA,B,C(Φ) íå ìåíåå (1 − ε)2N , ãäå
N = min{nδ , r /K } è r = Ω(n). Ïðè ýòîì òàêîå ñåìåéñòâî
ðàñïðåäåëåíèé ìîæíî ïîñòðîèòü çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ.
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

8. Íàøè ýâðèñòèêè
A äåòåðìèíèðîâàííàÿ
B âûáèðàåò 0 èëè 1 ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ
C îáðåçàåò ðåáðî óðîâíÿ s ñ âåðîÿòíîñòüþ q(s).
(ïüÿíàÿ ýâðèñòèêà)
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

9. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò íåôîðìàëüíî
Trade-o:
Ëèáî àëãîðèòì ñëèøêîì ÷àñòî îøèáàåòñÿ...
ëèáî îí ñëèøêîì ÷àñòî ðàáîòàåò äîëãî.
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

10. Ýêñïàíäåðû
G äâóäîëüíûé ãðàô, X,Y åãî äîëè.
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü I ⊆ Y . δ(I ) ýòî ìíîæåñòâî âåðøèí èç X, ñîåäèíåííûõ
ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç I è ðîâíî îäíèì ðåáðîì.
Îïðåäåëåíèå
Ãðàô G íàçûâàåòñÿ (r ; d; c)-ãðàíè÷íûì ýêñïàíäåðîì, åñëè
∀y ∈ Y deg (y ) ≤ d
∀I ⊆ Y , ò. ÷. |I | ≤ r , δ(I ) ≥ c|I |
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

11. Çàìûêàíèå è åãî ñâîéñòâà
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü G (r , d, c)-ãðàíè÷íûé ýêñïàíäåð, J ⊆ X .
Çàìûêàíèåì
ìíîæåñòâà J íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ
ìíîæåñòâî I ⊆ Y , ò. ÷. |I | ≤ r è δ(I ) ⊆ J .
Îáîçíà÷åíèå: Cl(J) ëåêñèêîãðàôè÷åñêè ïåðâîå çàìûêàíèå J
Ëåììà
Ïóñòü I çàìûêàíèå J , òîãäà |I | ≤ |J|
c
Ñëåäñòâèå
Ïóñòü c 1, J ⊆ X , |J| r /2. Òîãäà çàìûêàíèå J îïðåäåëÿåòñÿ
åäèíñòâåííûì îáðàçîì.
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

12. Ôîðìóëû, îñíîâàííûå íà ýêñïàíäåðàõ
Ïóñòü G (r , d, c)-ãðàíè÷íûé ýêñïàíäåð ñ n âåðøèíàìè â
êàæäîé äîëå, c 2, A ìàòðèöà ñìåæíîñòè (íàä F2 ).
Ïóñòü
Φ ôîðìóëà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìå Ax = b
Φ èìååò åäèíñòâåííóþ âûïîëíÿþùóþ ïîäñòàíîâêó.
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

13. Ëîêàëüíàÿ êîððåêòíîñòü
Îïðåäåëåíèå
×àñòè÷íàÿ ïîäñòàíîâêà ρ äëÿ ïåðåìåííûõ èç x íàçûâàåòñÿ
ëîêàëüíî êîððåêòíîé, åñëè |ρ| r /2 è ñèñòåìa Ax|I = b|I , ãäå
I = Cl(vars(ρ)), èìååò ðåøåíèå, ñîãëàñîâàííîå ñ ρ.
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

14. Ñëó÷àé áåç ïðàâèë óïðîùåíèÿ
Ïóñòü DA,B,C íå ïðèìåíÿåò ïðàâèë óïðîùåíèÿ ôîðìóëû.
T äåðåâî ðàñùåïëåíèÿ äëÿ ôîðìóëû Φ.
Ïðàâèëüíûé ïóòü îò äåðåâà ê ëèñòó â T ñîîòâåòñòâóþùèé
âûïîëíÿþùåé ïîäñòàíîâêå. Äîõîäèò äî êîíöà ñ âåðîÿòíîñòüþ
n−1
P= p(j),
j=1
ãäå p(j) = 1 − q(j) âåðîÿòíîñòü, ñ êîòîðîé âåòâü âûæèâàåò
íà j -ì øàãå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî P 1 − ε.
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

15. Ïðàâèëüíûé ïóòü
us âåðøèíû ïðàâèëüíîãî ïóòè
∗
us+1 èõ ïîòîìêè, íå ëåæàùèå íà ïðàâèëüíîì ïóòè
u0
u 1* u1
u 2* u2
un-1
u n* un
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

16. Ïðåîáðàçóåì äåðåâî...
T T
(óäàëèëè ïîääåðåâüÿ, êîðíè êîòîðûõ íå ëîêàëüíî êîððåêòíû )
Ëåììà
 T äëèíà êàæäîãî ïóòè îò êîðíÿ ê ëèñòó, íå ëåæàùåìó íà
ïðàâèëüíîì ïóòè, íå ìåíåå r /2 − 1.
Ëåììà
Íà ëþáîì ïóòè îò êîðíÿ ê ëèñòó â T ïî êðàéíåé ìåðå
ïîëîâèíà èç ïåðâûõ r /2 − 3 âåðøèí èìåþò äâóõ ïðÿìûõ
ïîòîìêîâ (ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ðàñùåïëåíèÿ).
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

17. Áîëüøèå ïîääåðåâüÿ
Ñëåäñòâèå
Ïóñòü Ts+1 ïîääåðåâî â T ñ êîðíåì us+1, Ïî êðàéíåé ìåðå
∗
r /16 − 1 èç äåðåâüåâ Ts+1 èìååò ðàçìåð ïîðÿäêà 2Ω(r )
u0
u 1* u1
u 2* u2
T2
un-1
u n* un
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

18. Áîëüøèå ïîääåðåâüÿ
Ñëåäñòâèå
Ïóñòü Ts+1 ïîääåðåâî â T ñ êîðíåì us+1, Ïî êðàéíåé ìåðå
∗
r /16 − 1 èç äåðåâüåâ Ts+1 èìååò ðàçìåð ïîðÿäêà 2Ω(r )
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñðåäè âåðøèí us , s ∈ {0, . . . r /8 − 4}, õîòÿ áû r /16 − 2 òî÷êè
ðàñùåïëåíèÿ â T (ñîîòâåñòâóþùèå èì äåðåâüÿ Ts+1 íåïóñòû).
Äîêàæåì: â ëþáîì èç ýòèõ äåðåâüåâ íà êàæäîì ïóòè îò êîðíÿ ê
ëèñòó áóäåò íå ìåíåå r /8 + 1 òî÷åê ðàñùåïëåíèÿ.
Ïóòü îò êîðíÿ ê ëèñòó â ïîääåðåâå ýòî êóñîê íåêîòîðîãî ïóòè
îò êîðíÿ ê ëèñòó â äåðåâå T. Åñëè äðóãàÿ ÷àñòü ýòîãî
äëèííîãî ïóòè äëèíû íå áîëåå r /8 − 3, òî íà ïóòü â
ïîääåðåâå ïðèõîäèòñÿ íå ìåíåå r /8 + 1 âåðøèí ñ äâóìÿ
ïîòîìêàìè.
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

19. Áîëüøèå ïîääåðåâüÿ
Ëåììà
Ïóñòü W ÷èñëî âåðøèí â Ts+1. Òîãäà óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü
Pr [DA,B,C ïîñåòèë W âåðøèí Ts+1 | DA,B,C ïîñåòèë us ]
∗
áîëüøå 1 − 2ε
2
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

20. Áîëüøèå ïîääåðåâüÿ
Ëåììà
Ïóñòü W ÷èñëî âåðøèí â Ts+1. Òîãäà óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü
Pr [DA,B,C ïîñåòèë W âåðøèí Ts+1 | DA,B,C ïîñåòèë us ]
∗
áîëüøå 1 − 2ε
2
Äîêàçàòåëüñòâî.
∗
Pr [àëãîðèòì DA,B,C ïîñåòèë w |îí ïîñåòèë us ] =
= p(s) · . . . · p(s + i − 1) ≥ 1 − ε
Ïî íåðàâåíñòâó Ìàðêîâà
∗ 1
Pr [íå ïîñåùåííûõ âåðøèí µεW |DA,B,C ïîñåòèë us ] ≤
µ
1
Âîçúì¼ì µ= 2ε
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

21. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò
Òåîðåìà
Åñëè àëãîðèòì DA,B,C ñ âåðîÿòíîñòüþ, áîëüøåé (1 − ε), âûäàåò
ïðàâèëüíûé îòâåò íà ôîðìóëå Φ, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå
(1 − 2ε)(1 − 2−Ω(r ) ) åãî âðåìÿ ðàáîòû íà Φ íå ìåíåå 2Ω(r ) .
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

22. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò
Òåîðåìà
Åñëè àëãîðèòì DA,B,C ñ âåðîÿòíîñòüþ, áîëüøåé (1 − ε), âûäàåò
ïðàâèëüíûé îòâåò íà ôîðìóëå Φ, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå
(1 − 2ε)(1 − 2−Ω(r ) ) åãî âðåìÿ ðàáîòû íà Φ íå ìåíåå 2Ω(r ) .
Äîêàçàòåëüñòâî.
1 C âåðîÿòíîñòüþ 1 − 2−Ω(r ) àëãîðèòì çàõîäèò â ïîääåðåâî
Ts+1 .
2 C âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå 1 − 2ε îí ïîñåùàåò â ýòîì äåðåâå
2Ω(r ) âåðøèí.
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

23. Ñëó÷àé ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðîùåíèé
Ïóñòü òåïåðü DA,B,C èñïîëüçóåò ïðàâèëî åäèíè÷íûõ
äèçúþíêòîâ.
Ïîñòðîèì DA ,B,C , íå èñïîëüçóþùèé ïðàâèë óïðîùåíèÿ.
T T
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

24. Ïðåîáðàçóåì äåðåâî...
Ñíîâà îñòàâëÿåì òîëüêî âåðøèíû ñ ëîêàëüíî êîððåêòíûìè
ïîäñòàíîâêàìè.
T T
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

25. Äëèíà ïðàâèëüíîãî ïóòè
Ëåììà
Ïóñòü L äëèíà ïðàâèëüíîãî ïóòè â T . Òîãäà L ≥ r /4 − 2.
T T
Îáðåæåì âñå âåòâè T ïî óðîâíþ L.
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

26. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðàâèë
óïðîùåíèÿ
Ëåììà
Ω(r ) èç äåðåâüåâ Ts+1 èìååò ðàçìåð ïîðÿäêà 2Ω(r )
Ëåììà
T íå áîëåå ÷åì â n ðàç áîëüøå T .
Òåîðåìà
Åñëè àëãîðèòì DA,B,C ñ âåðîÿòíîñòüþ, áîëüøåé (1 − ε), âûäàåò
ïðàâèëüíûé îòâåò íà ôîðìóëå Φ, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå
(1 − 2ε)(1 − 2−Ω(r ) ) åãî âðåìÿ ðàáîòû íà Φ íå ìåíåå 2Ω(r ) .
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

27. Ñïàñèáî çà âíèìàíèå!
Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì