סיכום קצר של הקורס - "חדו"א - פונקציות של משתנה אחד" שהועבר ע"י ד"ר לור ברתל. הסיכום כולל מושגים כמו מושג הגבול, נגזרות, פונקציות, משפט הערך הממוצע של לגראנז', חקירת פונקציות, כלל לופיטל ועוד....

1. ‫אחד‬ ‫משתנה‬ ‫של‬ ‫פונקציות‬ :‫חדו"א‬
‫ברתל‬ ‫לור‬ ‫ד"ר‬ :‫מרצה‬
‫תשע"ב‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫סמסטר‬
!‫בהצלחה‬
1

2. .1815 .(‫אנגליה‬ ,'‫)קיימבריג‬ '‫קולג‬ ‫בטרינטי‬ ‫הספריה‬
I ‫חלק‬
‫הגדרות‬
‫קטעים‬ 1
a ‫מנקודה‬ ‫מרחק‬ 1.1
.a‫ל־‬ x ‫בין‬ ‫מרחק‬ ‫־‬ |x − a|
⇐⇒ x ∈ (a − δ, a + δ)⇐⇒ |x − a| < δ
.−δ < x − a < δ
.x ∈ [a − δ, a + δ] ⇐⇒ |x − a| ≤ δ
‫)היות‬ 0‫מ־‬ a ‫של‬ ‫מרחק‬ ‫־‬ |a| ‫של‬ ‫גיאומטרית‬ ‫משמעות‬
.(‫הכיוונים‬ ‫בשני‬ ‫בהזזה‬ ‫מדובר‬ ‫אזי‬ ,‫מוחלט‬ ‫בערך‬ ‫ומדובר‬
‫ותחתונים‬ ‫עליונים‬ ‫חסמים‬ 1.2
:‫הבאות‬ ‫הקבוצות‬ ‫את‬ ‫ניקח‬
A = [3, 7)
B = {2, 5, 9, 11}
C = [5, ∞)
D =
sin x x ∈ R
‫את‬ ‫חוסם‬ ‫אשר‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ (‫מליעל‬ ‫חסם‬ :‫)או‬ ‫עליון‬ ‫חסם‬
‫שיותר‬ ‫בקבוצה‬ ‫איבר‬ ‫שום‬ ‫שאין‬ ,‫כלומר‬ ,‫מלמעלה‬ ‫הקבוצה‬
‫שעבור‬ ‫כך‬ M ∈ R ‫קיים‬ ‫אם‬ ‫מליעל‬ ‫חסומה‬ A .‫ממנו‬ ‫גדול‬
.a ≤ M :‫מתקיים‬ a ∈ A ‫כל‬
‫עבור‬ ‫רק‬ ‫רעיון‬ ‫אותו‬ ‫בדיוק‬ (‫מלרע‬ ‫חסם‬ :‫)או‬ ‫תחתון‬ ‫חסם‬
.‫ממנו‬ ‫קטן‬ ‫שיותר‬ ‫בקבוצה‬ ‫איבר‬
‫תחתון‬ ‫חסם‬ ‫עליון‬ ‫חסם‬ ‫קבוצה‬
1 12 A
−8 18 B
5 !‫אין‬ C
−12 1 D
‫של‬ ‫קטן‬ ‫הכי‬ ‫העליון‬ ‫החסם‬ ‫הוא‬ sup K :K ‫קבוצה‬ ‫עבור‬
.‫גדול‬ ‫הכי‬ ‫התחתון‬ ‫החסם‬ ‫הוא‬ ‫־‬ inf K ,K
inf sup ‫קבוצה‬
3 7 A
2 11 B
5 !‫אין‬ C
−1 1 D
:‫למשל‬ ,Q ‫עבור‬ ‫ולא‬ R ‫עבור‬ ‫נכונים‬ ‫שהדברים‬ ‫לציין‬ ‫חשוב‬
.(sup) ‫וסופרימום‬ (inf) ‫אינפימום‬ ‫אין‬ (3, 8) ∈ Q ‫־‬ ‫לקטע‬
‫)הערך‬ ‫ומינימום‬ (‫הקבוצה‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫)הערך‬ ‫מקסימום‬
:(‫הקבוצה‬ ‫של‬ ‫המינימלי‬
‫מינימום‬ ‫מקסימום‬ ‫קבוצה‬
3 !‫אין‬ A
2 11 B
5 !‫אין‬ C
−1 1 D
‫בו‬ ‫להשתמש‬ ‫וניתן‬ sup‫ה־‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫המקסימום‬ ‫לפעמים‬
,K ‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬ ‫על‬ ‫לומר‬ ‫ניתן‬ :‫למשל‬ .‫דרכים‬ ‫מיני‬ ‫בכל‬
: a ∈ K ‫שעבור‬
. x a ⇐ x ∈ K ‫כל‬ ‫שעבור‬ ‫לומר‬ ‫ניתו‬ ‫ולכן‬ a ≤ sup K
.inf ‫עבור‬ ‫רעיון‬ ‫אותו‬ ‫וכמובן‬
‫גם‬ ‫)שנקראת‬ ‫הבאה‬ ‫התכונה‬ ‫את‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬ ‫כמו־כן‬
,a = sup A ,A ‫קבוצה‬ ‫עבור‬ ,‫נניח‬ ‫אם‬ :(‫המאפיינת‬ ‫התכונה‬
.inf‫ה־‬ ‫לגבי‬ ‫וכנל‬ x ≤ a ‫מתקיים‬ x ∈ A ‫כל‬ ‫עבור‬ ‫אזי‬
‫גבולות‬ 2
limx→a f (x) ‫וכי‬ a ‫של‬ ‫בסביבה‬ f (x) ≥ 0 ‫כי‬ ‫נניח‬ :‫משפט‬
‫אם‬ :‫אחרות‬ ‫במילים‬ .limx→a f (x) ≥ 0 ‫אזי‬ ,‫קיים‬
‫של‬ 1
‫מנוקבת‬ ‫סביבה‬ ‫קיימת‬ ‫אזי‬ limx→a f (x) = l 0
.f (x) 0 ‫שבה‬ a
.f (x) ≤ 0 ‫או‬ l 0 ‫עבור‬ ‫בדיוק‬ ‫דבר‬ ‫ואותו‬
‫גבול‬ ‫של‬ ‫פורמלית‬ ‫הגדרה‬ 2.1
:‫אזי‬ ‫קיים‬ limx→a f (x) = l ‫אם‬
:‫מתקיים‬ x ‫שלכל‬ ‫כך‬ δ 0 ‫קיים‬ ε 0 ‫לכל‬
0 |x − a| δ ⇒ |f (x) − l| ε
‫הפונקציה‬ ‫אחרות‬ ‫במילים‬ ‫או‬ ,limx→a f (x) = f (a) ‫)אם‬
(0 ‫ה־‬ ‫ללא‬ |x − a| δ ‫לכתוב‬ ‫אפשר‬ ‫אזי‬ ,‫רציפה‬
‫יתקיים‬ ‫שתנאי‬ ‫כך‬ .ε‫ב־‬ ‫כתלות‬ δ ‫של‬ ‫להיות‬ ‫צריכה‬ ‫התשובה‬
.(‫לוגית‬ ‫נכון‬ ‫)יהיה‬
‫הרחב‬ ‫במובן‬ ‫גבולות‬ 2.2
:‫דוגמאות‬
x ‫שלכל‬ ‫כך‬ ∆ 0 ‫קיים‬ ε 0 ‫לכל‬ : limx→∞ f (x) = l
:‫מתקיים‬
‫מספיק‬ x ‫עבור‬ :‫המשמעות‬ .x ∆ ⇒ |f (x) − l| ε
.l − ε ‫ובין‬ l + ε ‫בין‬ f (x) ,‫גדול‬
‫כך‬ ∆ 0 ‫וקיים‬ E 0 ‫קיים‬ :limx→∞ f (x) = −∞
:‫מתקיים‬ x ‫שלכל‬
. x ∆ ⇒ f (x) −E
δ 0 ‫קיים‬ E 0 ‫לכל‬ ‫אם‬ :limx→a f (x) = ∞
:‫מתקיים‬ x ‫שלכל‬ ‫כך‬
‫אזי‬ ,−∞ ‫היה‬ ‫אם‬ ‫)או‬ 0 |x − a| δ ⇒ f (x) E
(f (x) −E
2
?‫תשובה‬ ‫להיראות‬ ‫צריכה‬ ‫איך‬
‫צריך‬ , 1
√
ε
n :‫למשל‬ ,ε‫ל־‬ n ‫בין‬ ‫היחס‬ ‫את‬ ‫שמצאנו‬ ‫אחרי‬
‫ב־‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫להתחיל‬
.(‫ארכימדס‬ ‫בגלל‬ ‫)קיים‬ 1
√
ε
N ‫ניקח‬ .ε 0 ‫יהי‬
. . 1
n2 ε ⇐ 1
ε n ⇐ N n ‫יהי‬
(a − δ, a + δ) − {a} ,‫כלומר‬1
‫גם‬ ‫יש‬ ‫דומה‬ ‫מאוד‬ ‫)רעיון‬ ‫סדרה‬ ‫של‬ ‫לגבול‬ ‫תשובה‬ ‫על‬ ‫כאן‬ ‫מדובר‬2
.(‫בפונקציות‬
2

3. ‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫מושגים‬ 3
3
a ‫של‬ ‫סביבה‬ 3.1
a ‫של‬ ‫רגילה‬ ‫סביבה‬ 3.1.1
‫מוגדרת‬ a ‫של‬ ‫הסביבה‬ δ 0 ‫ועבור‬ ‫כלשהו‬ ‫ערך‬ a ‫עבור‬
.(a − δ, a + δ) :‫כקטע‬
a ‫של‬ ‫מנוקבת‬ ‫סביבה‬ 3.1.2
:‫עצמה‬ a ‫בלי‬ ‫רק‬ a ‫של‬ ‫הרגילה‬ ‫ב־סביבה‬ ‫כמו‬ ‫רעיון‬ ‫אותו‬
.(a − δ, a + δ) − {a}
‫מקומי‬ ‫ומינימום‬ ‫מקסימום‬ 3.2
‫ל־‬ ‫יש‬ ‫כי‬ ‫נאמר‬ .a ‫של‬ ‫בסביבה‬ ‫מוגדרת‬ ‫פונקציה‬ f ‫תהי‬
x ∈ ‫שלכל‬ ‫כך‬ δ 0 ‫קיים‬ ‫אם‬ a‫ב־‬ ‫מקומי‬ ‫מקסימום‬ f
‫מקומי‬ ‫מינימום‬ .f (x) ≤ f (a) ‫מתקיים‬ (x − δ, x + δ)
.a ‫של‬ ‫בסביבה‬ f (a) ≤ f (x) :‫שהפעם‬ ‫רק‬ ,‫רעיון‬ ‫אותו‬ ‫זה‬
‫מוחלט‬ ‫ומינימום‬ ‫מקסימום‬ 3.3
‫ומקסימום‬ ‫מינימום‬ ‫נקודות‬ ‫מספק‬ ‫להיות‬ ‫יכולים‬ ‫לפנוקציה‬
‫גדול‬ ‫הכי‬ ‫המקסימום‬ ‫הוא‬ ‫המוחלט‬ ‫המקסימום‬ .‫מקומיים‬
‫למשל‬ :‫שוות‬ ‫שהן‬ ‫להיות‬ ‫)יכול‬ ‫המקסימום‬ ‫נקודות‬ ‫כל‬ ‫מבין‬
‫מקומי‬ ‫מקסימום‬ ‫גם‬ ‫הוא‬ 1 [−5, 5] ‫בקטע‬ sin x ‫בפונקציה‬
.(‫מוחלט‬ ‫מקסימום‬ ‫וגם‬
‫נקודות‬ ‫מכל‬ ‫קטן‬ ‫הכי‬ ‫המינימום‬ ‫הוא‬ ‫המוחלט‬ ‫המינימום‬
.‫שישנן‬ ‫המינימום‬
‫קריטית‬ ‫נקודה‬ 3.4
,(a ∈ Domain) a ‫של‬ ‫בסביבה‬ ‫מוגדרת‬ ‫פונקציה‬ f ‫תהי‬
‫גזירה‬ ‫אינה‬ f ‫אם‬ f ‫של‬ ‫קריטית‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬ f ‫כי‬ ‫נאמר‬
.f0
(a) = 0 ‫אם‬ ‫או‬ (...../‫רציפה‬ ‫אינה‬/‫)שפיץ‬ a‫ב־‬
II ‫חלק‬
‫משפטים‬
.(‫לספירה‬ 212) ‫רומאי‬ ‫חייל‬ ‫בידי‬ ‫ארכימדס‬ ‫של‬ ‫מותו‬ ‫את‬ ‫המתאר‬ ‫פסיפס‬
‫)על‬ ‫הממשים‬ ‫המספרים‬ ‫על‬ ‫משפטים‬ 4
(...'‫וכו‬ R, Q
‫ארכימדס‬ (‫)אקסיומת‬ ‫תכונת‬ 4.1
.x n ‫ש־‬ ‫כך‬ n ∈ N ‫קיים‬ x ∈ R ‫לכל‬
‫של‬ ‫סביבה‬ ‫והמושג‬ ‫היות‬ ‫אבל‬ ,(a, b) ‫מהצורה‬ ‫בקטע‬ ‫מדובר‬ ‫בעיקרון‬3
.‫לכאן‬ ‫אותו‬ ‫להכניס‬ ‫החלטתי‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫לערכים‬ ‫בדכ‬ ‫מתייחס‬ a
‫הרציונאלים‬ ‫צפיפות‬ 4.2
.x r y ‫ש־‬ ‫כך‬ r ∈ Q ‫קיים‬ R‫ב־‬ x y ‫לכל‬
‫יש‬ ‫רציונאלים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫בין‬ :‫הקשר‬ ‫באותו‬ ‫נוסף‬ ‫משפט‬
.‫אי־רצינאלי‬ ‫מספר‬
‫פונקציות‬ ‫על‬ ‫משפטים‬ 5
‫הביניים‬ ‫ערך‬ ‫משפט‬ 5.1
(!!Q‫ב־‬ ‫נכון‬ ‫אינו‬ ‫הביניים‬ ‫ערך‬ ‫)משפט‬
‫אזי‬ f (a) f (b)‫ו־‬ [a, b]‫ב־‬ ‫רציפה‬ ‫פונקציה‬ f (x) ‫אם‬
.f (a) f (c) f (b)‫ש־‬ ‫כך‬ a c b ‫קיים‬
‫ווירשטראוס‬ ‫משפטי‬ 5.2
‫הראשון‬ ‫ווירשטראוס‬ ‫משפט‬ 5.2.1
‫מליעל‬ ‫חסומה‬ f ‫אזי‬ [a, b]‫בקטע־‬ ‫רציפה‬ ‫פונקציה‬ f ‫תהי‬
:‫מתקיים‬ x ∈ [a, b] ‫שלכל‬ ‫כך‬ M ‫קיים‬ ,‫כלומר‬ ,[a, b]‫ב־‬
.f (x) ≤ M
!‫יתקיים‬ ‫שהמשפט‬ ‫כדי‬ ‫חשובות‬ ‫ההנחות‬ ‫כל‬ :‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫השני‬ ‫ווירשטראוס‬ ‫משפט‬ 5.2.2
‫הראשון‬ ‫ווירשטראוס‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬ ,[a, b] ‫בקטע‬ ‫רציפה‬ f ‫תהי‬
f ‫של‬ ‫עליון‬ ‫חסם‬ ‫קיים‬ ⇐ ‫מליעל‬ ‫חסומה‬ f (‫קודם‬ ‫)סעיף‬
,f (c) = sup f
[a,b]
‫ש־‬ ‫כך‬ c ∈ [a, b] ‫קיים‬ ‫אזי‬ .[a, b] ‫בקטע‬
f‫ל־‬ ‫יש‬ ,‫כלומר‬ .f (c) ≥ f (x) :x ∈ [a, b] ‫לכל‬ ‫כי‬ ‫זא‬
.[a, b]‫ב־‬ ‫מקסימום‬
‫רציפה‬ ‫אינה‬ ‫שהפונקציה‬ ‫למקרה‬ ‫נגדית‬ ‫דוגמא‬ 5.2.2.1
‫לה‬ ‫אין‬ ‫אך‬ ‫ומלרע‬ ‫מליעל‬ ‫חסומה‬ ‫שהפונקציה‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬
!‫מקסימום‬
‫משפטי‬ ‫שני‬ ‫המשפטים‬ ‫שני‬ ‫לגבי‬ ‫הערה‬ 5.2.2.2
.‫מלרע‬ ‫חסם‬ ‫עבור‬ ‫גם‬ ‫נכונים‬ ‫ויירשטראוס‬
‫המשפטים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫סיכום‬ 5.2.3
‫ומלרע‬ ‫מליעל‬ ‫חסומה‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ ,[a, b] ‫בקטע‬ ‫רציפה‬ f ‫אם‬
‫לכל‬ f (c) ≥ f (x) ‫כך‬ c ∈ [a, b] ‫קיים‬ :‫כלומר‬ ,[a, b]‫ב־‬
f (d) ≤ f (x) ‫כך‬ d ∈ [a, b] ‫וקיים‬ ,(‫)מקסימום‬ x ∈ [a, b]
.(‫)מינימום‬ x ∈ [a, b] ‫לכל‬
‫פרמה‬ ‫משפט‬ 5.3
(‫מינימום‬ ‫)או‬ ‫מקסימום‬ f‫ל־‬ ‫יש‬ ‫כי‬ ‫נניח‬ .‫פונקציה‬ f ‫תהי‬
.f0
(a) = 0 :‫בהכרח‬ ‫אזי‬ ,a‫ב־‬ ‫גזירה‬ f ‫אם‬ .a‫ב־‬ ‫מקומי‬
‫רול‬ ‫משפט‬ 5.4
‫אם‬ .(a, b) ‫בקטע‬ ‫וגזירה‬ [a, b]‫ב־‬ ‫רציפה‬ ‫פונקציה‬ f ‫תהי‬
.f0
(c) = 0 ‫ש־‬ ‫כך‬ c ∈ (a, b) ‫קיים‬ ‫אזי‬ f (a) = f (b)
!‫נכון‬ ‫בהכרח‬ ‫לא‬ ‫זה‬ ‫אחרת‬ ,‫חשובות‬ ‫ההנחות‬ ‫כל‬ ‫־‬ ‫כאן‬ ‫גם‬
3

4. '‫לגרנז‬ ‫של‬ ‫הממוצע‬ ‫הערך‬ ‫משפט‬ 5.5
c ∈ ‫קיים‬ (a, b)‫ב־‬ ‫וגזירה‬ [a, b]‫ב־‬ ‫רציפה‬ ‫פונקציה‬ f ‫תהי‬
. f0
(c) = f(b)−f(a)
b−a ‫ש־‬ ‫כך‬ (a, b)
.‫רול‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫מסקנה‬ ‫הוא‬ '‫לגרנז‬ ‫משפט‬ :‫הערה‬
‫למצוא‬ ‫נרצה‬ ‫אם‬ ,‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫למשל‬ ‫בו‬ ‫להשתמש‬ ‫אפשר‬
:‫רול‬ ‫משפט‬ ‫עפ‬ ‫אז‬ ,f (x) = 3x2
‫בפונקציה‬ c ∈ [1, 3]
f0
(c) = f(3)−f(1)
3−1 ⇒ 6 · c
|{z}
f0(c)
= 27−3
2 ...
‫משפט‬ ‫את‬ ‫להסיק‬ ‫שניתן‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬ :‫הערה‬ 5.5.0.1
...‫ההפך‬ ‫ולא‬ ‫רול‬ ‫ממשפט‬ '‫לגנרז‬ ‫של‬ ‫הממוצע‬ ‫הערך‬
‫לופיטל‬ ‫כלל‬ 5.6
‫מותר‬ ,‫)כלומר‬ ‫נכון‬ ‫לופטיל‬ ‫כלל‬ ,‫להגדרה‬ ‫להכנס‬ ‫מבלי‬
.∞
∞ , 0
0 :‫הוא‬ ‫הגבול‬ ‫כאשר‬ ‫רק‬ (‫בו‬ ‫להשתמש‬
‫הלא־מסוים‬ ‫האינטגרל‬ 6
F0
(x) = :‫אזי‬ f (x) ‫של‬ ‫קדומה‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ F (x) ‫אם‬
.f (x)
.(‫כלשהו‬ ‫קבוע‬ ‫־‬ c)
´
f = F (x) + c
:‫בסיסית‬ ‫אינטגרלים‬ ‫טבלת‬ 6.1
.(α 6= −1)
´
xα
dx = xα+1
α+1 + c .1
.
´ 1
x dx = ln |x| + c .2
.
´
cos xdx = sin x + c .3
.
´
sin xdx = − cos x + c .4
.
´ 1
cos2 x dx = tan x + c .5
.
´
1 + tan2
x
dx = tan x + c .6
.
´ 1
sin2 x
dx = − cot x + c .7
.
´
ex
dx = ex
+ c .8
.
´ 1
1+x2 dx = arctan (x) + c .9
.
´ 1
√
1+x2
dx = arcsin (x) + c .10
:‫אינטרגלים‬ ‫כללי‬ 6.2
.
´
(f + g) (x) dx =
´
f (x) dx +
´
g (x) dx .1
´
af (x) dx = a
´
f (x) dx .2
‫בחלקים‬ ‫אינטגרציה‬ 6.3
´
fg0
= fg −
´
f0
g :‫הנוסחה‬ ‫עפ‬
‫משהו‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אם‬ ‫ככל‬ ‫בדרך‬ ,‫הפונקציות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫בוחרים‬
‫ואת‬ f (x) = xn
‫את‬ ‫נבחר‬ ‫אזי‬
´
xn
cos xdx :‫של‬ ‫בסגנון‬
:‫טבלה‬ ‫נעשה‬ g0
(x) = cos x
f (x) = xn
f0
(x) = (n − 1) · xn−1
g0
(x) = cos x g (x) = sin x
‫וככה‬ ‫האינטרגל‬ ‫את‬ ‫נעשה‬ ‫לנוסחה‬ ‫ובהתאם‬ ‫הטבלה‬ ‫לפי‬
‫שעבורו‬ ‫משהו‬ ‫ולקבל‬ ‫להתקדם‬ ‫נוכל‬ ‫וככה‬ ‫בחזקה‬ ‫ירד‬ x‫ה־‬
.‫האינטגרל‬ ‫את‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬
:‫בחלקים‬ ‫אינטגרציה‬ ‫בהם‬ ‫לעשות‬ ‫שכדאי‬ ‫מקרים‬
‫וגם‬ x ‫או‬ arctan (x)‫ו־‬ x ‫וגם‬ ,ex
‫ו־‬ x ‫או‬ ,ln x‫ו־‬ x ‫שיש‬
....‫לאלו‬ ‫דומים‬ ‫ומקרים‬ arcsin (x)
:‫נוספת‬ ‫דוגמא‬
:‫שנעשה‬ ‫מה‬ ‫אזי‬ ,
´ 1
0
x · ex
dx ‫־‬ ‫לחשב‬ ‫צריכים‬ ‫ואנחנו‬ ‫נניח‬
f (x) = x f0
(x) = 1
g0
(x) = ex
g (x) = ex
.‫האינטגרל‬ ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫ונוכל‬ x‫מה־‬ ‫נפטרים‬ ‫אנחנו‬ ‫ככה‬ ‫כי‬
:‫הוא‬ ‫הנוסחה‬ ‫עפ‬ ,‫שנקבל‬ ‫ומה‬
´ 1
0
x · ex
dx = [x · ex
]
1
0 −
´ 1
0
ex
dx =
[x · ex
]
1
0 − [ex
]
1
0 = 1 − ex
− (−1) = ex
‫המסוים‬ ‫האינטגרל‬ 7
(x‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫לבין‬ ‫הגרך‬ ‫בין‬ ‫שנמצא‬ ‫השטח‬ ‫)חישוב‬
‫המסוים‬ ‫האינגרל‬ ‫של‬ ‫תכונות‬ 7.1
´ b
a
(f (x) + g (x)) dx =
´ b
a
f (x) dx+
´ b
a
g (x) dx .1
´ b
a
c · f (x) dx = c ·
´ b
a
f (x) dx .2
:‫אזי‬ x ∈ [a, b] ‫לכל‬ f (x) ≤ g (x) ‫אם‬ .3
´ b
a
f (x) dx ≤
´ b
a
g (x) dx
´ b
a
f (x) dx = −
´ a
b
f (x) dx .4
´ b
a
f (x) dx =
´ c
a
f (x) dx +
´ b
c
f (x) dx .5
(‫האינטגרל‬ ‫של‬ ‫הממוצע‬ ‫)הערך‬ :‫משפט‬
f (c) = ‫ש־‬ ‫כך‬ [a, b]‫ב־‬ c ‫קיים‬ ‫אזי‬ .[a, b]‫ב־‬ ‫רציפה‬ f ‫תהי‬
. 1
b−a ·
´ b
a
f (x) dx
:‫הבסיסית‬ ‫הנוסחה‬ 7.2
‫־‬ ‫אזי‬ g0
(x) = f (x) :‫אם‬
´ b
a
f (x) dx = g (b) − g (a)
:‫לסמן‬ ‫ונהוג‬
´ b
a
f (x) dx = [g (x)]
b
a = g (b) − g (a)
'‫והאינ‬ '‫הדיפ‬ ‫החשבון‬ ‫של‬ ‫היסודי‬ ‫המשפט‬ 7.3
(‫בו‬ ‫)והשימוש‬
.F (x) =
´ x
a
f (t) dt =⇒ F0
(x) = f (x) :‫המשפט‬
:‫בו‬ ‫השימוש‬
:‫הבאה‬ ‫הפונקציה‬ ‫לנו‬ ‫ונתונה‬ ‫נניח‬
‫אנחנו‬ ‫אזי‬ ,‫אותה‬ ‫לגזור‬ ‫רוצים‬ ‫ואנחנו‬
´ 2x+1
a
cos2
(t) dt
.F0
(x) = cos2
x :‫ש‬ ‫יודעים‬
‫במקום‬ ‫נציב‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬ ‫)כי‬ g (x) = F (2x + 1)‫ש־‬ ‫וגם‬
.(a ‫ואת‬ 2x + 1 ‫את‬ ‫זה‬ t‫ה־‬
‫שתי‬ ‫את‬ ‫את‬ ‫נגזור‬ ‫אנחנו‬ ,‫בנגזרת‬ ‫ומדובר‬ ‫היות‬ ‫אבל‬
:‫הוא‬ ‫שנקבל‬ ‫מה‬ ,‫לכן‬ ,‫יתאפס‬ a‫ו־‬ ‫הפונקציות‬
g0
(x) = (2x + 1)
0
· F0
(2x + 1) = 2 · cos2
(2x + 1)
‫בעצם‬ ‫שזאת‬ ‫היא‬ cos2
(t) ‫בפונקציה‬ ‫נגענו‬ ‫שלא‬ ‫)הסיבה‬
.(‫הגזורה‬ ‫הפונקציה‬
‫מסוים‬ ‫באינטגרל‬ ‫הצבה‬ ‫שיטות‬ 7.4
‫ראשונה‬ ‫שיטה‬ 7.4.1
(‫הקודם‬ ‫בחלק‬ ‫)כמו‬ ‫מסוים‬ ‫לא‬ ‫אינטגרל‬ ‫על‬ ‫קודם‬ ‫עובדים‬
:‫למשל‬ .‫הערכים‬ ‫את‬ ‫שמים‬ ‫ואז‬
‫ואנחנו‬ ‫היות‬ ,
´ 8
3
cos (4x + 8) dx ‫־‬ ‫האינטגרל‬ ‫את‬ ‫ניקח‬
,‫הראשונה‬ ‫השיטה‬ ‫עפ‬ ‫אזי‬ ,‫ההצבה‬ ‫בשיטת‬ ‫לעבוד‬ ‫צריכים‬
‫אחרי‬ ‫ורק‬
´
cos (4x + 8) :‫האינטגרל‬ ‫את‬ ‫נחשב‬ ‫כל‬ ‫קודם‬
:‫כלומר‬ ,‫הערכים‬ ‫את‬ ‫נשים‬ ‫זה‬
‫נמצא‬ ‫ההמשך‬ ‫לגבי‬ ‫)הסבר‬ [−4 · sin (4x + 8)]
8
3 = ...
.(7.3 ‫בחלק‬
4

5. ‫שניה‬ ‫שיטה‬ 7.4.2
‫האינטגרל‬ ‫של‬ ‫הערכים‬ ‫את‬ ‫מציבים‬ ‫אנחנו‬ ‫השניה‬ ‫בשיטה‬
‫אנחנו‬ ‫אזי‬ ,u = x + 2 ‫מציבים‬ ‫אנחנו‬ ‫נניח‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ,u‫ב־‬
.‫מהערכים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫מציבים‬
‫הזה‬ ‫האינטגרל‬ ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫בשביל‬ ,
´ 3
2
(2x + 4)
4
dx :‫למשל‬
‫את‬ ‫ונשנה‬ ,u = 2x + 4 ‫כאשר‬ ‫ההצבה‬ ‫בשיטת‬ ‫נשתמש‬
:‫כלומר‬ ,‫בהתאם‬ ‫הערכים‬
u (3) = ‫־‬ 3 ‫במקום‬ ‫הצבנו‬ ‫העליון‬ ‫בערך‬ ‫־‬
´ 2·3+4=10
2·2+4=8
u4
.u (2) = 2 · 2 + 4 = 8 ‫־‬ 2 ‫ובמקום‬ ,2 · 3 + 4 = 10
‫נציב‬ u ‫את‬ ‫להציב‬ ‫במקום‬ ‫אז‬ ,u ‫עם‬ ‫משהו‬ ‫שנקבל‬ ‫ולבסוף‬
:‫נקבל‬ ‫שלנו‬ ‫במקרה‬ ,‫כלומר‬ ,‫שקיבלנו‬ ‫הערכים‬ ‫את‬
‫)כמו‬ ‫ונחסר‬ 8 ‫ואז‬ 10 ‫פעם‬ ‫נציב‬ u‫ה־‬ ‫במקום‬ ‫אזי‬ ‫־‬
h
u5
5
i10
8
.(7.2 ‫בסעיף‬ ‫שמפורט‬
‫)שאנחנו‬ ‫התקינות‬ ‫היחידות‬ ‫הדרכים‬ ‫שתי‬ ‫אלו‬ :‫לזכור‬ ‫חשוב‬
!‫פסולה‬ ‫תיחשב‬ ‫אחרת‬ ‫דרך‬ ,(...‫מכירים‬
‫פונקציות‬ ‫חקירת‬ 8
.‫הפונקציה‬ ‫חקירת‬ ‫שלבי‬ ‫את‬ ‫יתאר‬ ‫הבא‬ ‫החלק‬
:‫חשובות‬ ‫הגדרות‬ ‫שתי‬ ,‫החקירה‬ ‫בשלב‬ ‫שנתחיל‬ ‫לפני‬
‫הנגזרת‬ ‫פונקצית‬ ‫אם‬ I ‫בקטע‬ ‫קמורה‬ f ‫פונקציה‬ ‫כי‬ ‫נאמר‬ .1
.∪ ‫־‬ I ‫בקטע‬ ‫עולה‬ f0
‫פונקציית‬ ‫אם‬ I ‫בקטע‬ ‫קעורה‬ f ‫פונקציה‬ ‫כי‬ ‫נאמר‬ .2
.∩ ‫־‬ I ‫בקטע‬ ‫יורדת‬ f0
‫הנגזרת‬
.‫משתנה‬ ‫הקמירות‬ ‫שבה‬ ‫נקודה‬ ‫־‬ ‫פיתול‬ ‫נקודת‬
‫ואסימפטוטות‬ ‫הגדרה‬ ‫תחום‬ 8.1
.(.‫ה‬.‫)ת‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫את‬ ‫מוצאים‬ ‫הראשון‬ ‫בשלב‬
‫מוצאים‬ ,‫מוגדרת‬ ‫אינה‬ ‫הפונקציה‬ ‫שבם‬ ‫ערכים‬ ‫ויש‬ ‫במידה‬
.(‫שואפת‬ ‫היא‬ ‫)לאן‬ ‫גבול‬
‫שואפת‬ ‫היא‬ ‫כאשר‬ ‫מתנהגת‬ ‫הפונקציה‬ ‫כיצד‬ ‫בודקים‬ ‫בנסוף‬
.(‫מתנהגת‬ ‫היא‬ ‫איך‬ ‫לדעת‬ ‫)כדי‬ −∞ ‫ול־‬ ∞‫ל־‬
.‫אסימפטוטות‬ ‫מוצאים‬ ‫מכן‬ ‫לאחר‬
:‫אסימפטוטות‬ ‫סוגי‬ ‫שלושה‬ ‫ישנם‬
,lim
x→a
f (x) = ±∞ ‫כאשר‬ ‫־‬ (|) ‫אנכית‬ ‫אסימפטוטה‬ .1
, lim
x→0+
f (x) = ∞ ,f (x) = 1
x ‫בפונקציה‬ :‫למשל‬
‫ב־‬ ‫אנכית‬ ‫אסימפטוטה‬ ‫יש‬ ⇐ lim
x→0−
f (x) = −∞‫ו־‬
.x = 0
lim
x→∞
f (x) = l ‫אם‬ ‫־‬ (−) ‫אופקית‬ ‫אסימפטוטה‬ .2
‫אם‬ .∞‫ב־‬ ‫אופקית‬ ‫אסימפטוטה‬ y = l ⇐
‫אופקית‬ ‫אסימפטוטה‬ y = m ⇐ lim
x→−∞
f (x) = m
.−∞‫ב־‬
'‫אס‬ y = π
2 ,f (x) = arctan (x) ‫בפונקציה‬ :‫למשל‬
.−∞‫ב־‬ '‫אס‬ y = −π
2 ,∞‫ב־‬
‫משופעת‬ '‫אס‬ ‫יש‬ ‫אם‬ ‫)בודקים‬ :‫משופעת‬ ‫אסימפטוטה‬ .3
(±∞ ‫הוא‬ ±∞‫ב־‬ ‫הגבול‬ ‫אם‬ ‫רק‬
.‫קיים‬ limx→∞ f (x) ‫אם‬ ‫מחפשים‬ (‫)א‬
‫אין‬ ‫־‬ ‫אינסופי‬ ‫גבול‬ ‫יש‬ ‫אם‬ ‫או‬ ‫גבול‬ ‫אין‬ ‫אם‬ .i
.‫אסימפטוטה‬
‫הגבול‬ ‫אם‬ ‫מחפשים‬ ‫אזי‬ limx→∞
f(x)
x = a ‫אם‬ (‫)ב‬
.‫קיים‬ limx→∞ (f (x) − ax) ‫של‬
‫אין‬ ‫־‬ ‫אינסופי‬ ‫גבול‬ ‫יש‬ ‫אם‬ ‫או‬ ‫גבול‬ ‫אין‬ ‫אם‬ .i
.‫אסימפטוטה‬
limx→∞ (f (x) − ax) = b :‫אזי‬ ,‫כן‬ ‫אם‬ (‫)ג‬
.y = ax + b ‫־‬ ‫היא‬ ‫והאסימפטוטה‬
‫שניה‬ ‫ונגזרת‬ ‫ראשונה‬ ‫נגזרת‬ 8.2
‫הנגזרות‬ ‫מתי‬ ‫ומחפשים‬ ,‫פעמיים‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫גוזרים‬
.‫מתאפסות‬
‫טבלה‬ 8.3
:‫כך‬ ‫בערך‬ ‫שנראית‬ ‫טבלה‬ ‫בונים‬
x a b c
f (x) % 0 % 0
f0
(x) + 0 ‫־‬
f00
(x) + 0 ‫־‬ 0 +
,‫מתאפסות‬ ‫השניה‬ ‫והנגזרת‬ ‫הפונקציה‬ x = a ‫בנקודה‬ ‫כאשר‬
‫הנגזרת‬ x = c ‫ובנקודה‬ ‫מתאפסת‬ ‫הנגזרת‬ x = b ‫בנקודה‬
.‫מתאפסת‬ ‫השניה‬
‫משחירים‬ ‫אזי‬ ,‫מוגדרת‬ ‫לא‬ ‫הפונקציה‬ ‫שעבורו‬ ‫ערך‬ ‫יש‬ ‫)אם‬
.(‫העמודה‬ ‫את‬
:‫הבאה‬ ‫הפונקציה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ :‫סימן‬ ‫שינוי‬ ‫לגבי‬ ‫הערה‬
‫או‬ ‫עצמה‬ ‫הפונקציה‬ ‫או‬ ‫להיות‬ ‫יכולה‬ ‫)זה‬ x(x−1)(x+3)
(x+4)2
,‫מתאפסת‬ ‫היא‬ 1‫שב־‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ,(‫השניה‬ ‫הנגזרת‬ ‫או‬ ‫הנגזרת‬
‫מה‬ ‫לדעת‬ ‫ניתן‬ ‫כך‬ !‫שלילית‬ ‫הפונקציה‬ 1‫ל־‬ 0 ‫בין‬ ‫אבל‬
.‫מסוימים‬ ‫בקטעים‬ ‫הסימן‬
‫לנו‬ ‫יש‬ b ‫בנקודה‬ ,‫ופיתול‬ ‫מינימום‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ a ‫בנקודה‬
.‫פיתול‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ c ‫ובנקודה‬ ‫מקסימום‬
‫גרף‬ 8.4
.‫לטבלה‬ ‫בהתאם‬ ‫מציירים‬ ‫הגרף‬ ‫את‬
‫הפיכות‬ ‫פונקציות‬ 9
:‫הגדרה‬
‫אומרים‬ ‫אזי‬ (g ◦ f) (x) = x ‫וגם‬ (f ◦ g) (x) = x :‫אם‬
,f = g−1
, g = f−1
:‫ומסמנים‬ ‫לזו‬ ‫זו‬ ‫הפוכות‬ g‫ו־‬ f‫ש־‬
‫שתי‬ ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫להיות‬ ‫חייב‬ ‫לא‬ ‫שזה‬ ‫כמובן‬
‫לכך‬ ‫)דוגמא‬ ‫מהטווח‬ ‫חלק‬ ‫על‬ ‫רק‬ ‫להיות‬ ‫ויכול‬ ‫הפונקציות‬
.(‫הטריגונומטריות‬ ‫בפונקציות‬ ‫נראה‬
‫הטווח‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ ‫בדכ‬ (‫)פולינומים‬ ‫רציונאליות‬ ‫בפונקציות‬
.‫חדשה‬ ‫בפונקציה‬ ‫המצומצם‬
‫)או‬ g (y) = x ‫אזי‬ f (x) = y ‫אם‬ : g = f−1
‫אם‬
.(f−1
(y) = x
:‫הפיכה‬ ‫ופונקציה‬ ‫פונציה‬ ‫של‬ ‫נגזרת‬ ‫לגבי‬ ‫נוסחה‬
f−1
0
(x) =
1
f0 (f−1 (x))
f (x) ‫לנו‬ ‫ונתונה‬ ‫נניח‬ ,‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫לזכור‬ ‫שחשוב‬ ‫מה‬
‫אזי‬ , f−1
0
(a) ‫את‬ ‫הנוסחה‬ ‫עפ‬ ‫לחשב‬ ‫רוצים‬ ‫ואנחנו‬
.f−1
(a) ‫מהו‬ ‫למצוא‬ ‫צריכים‬ ‫כל‬ ‫קודם‬ ‫אנחנו‬
‫פשוט‬ ,f−1
(a) = b ‫אזי‬ f (b) = a ‫אם‬ ?‫מוצאים‬ ‫איך‬
.‫אחר‬ ‫דבר‬ ‫שום‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫ולא‬ ‫במידה‬ ,‫ולחפש‬ ‫להציב‬ ‫צריך‬
Range (f) =‫ו־‬ Domain (g) = Range (f) :‫וגם‬
.Domain (g)
‫תמיד‬ ‫שלה‬ ‫הנגזרת‬ ‫אם‬ ‫חחע‬ ‫היא‬ ‫שפונקציה‬ ‫להוכיח‬ ‫ניתן‬
.‫שלילית‬ ‫או‬ ‫חיובית‬
‫והפונקציות‬ ,ex
,ln x :‫הפונקציות‬ 10
‫הטריגונומטריות‬
ln x ‫הפונקציה‬ 10.1
(0, ∞) :‫הגדרה‬ ‫תחום‬
.ln x 0 ⇔ 1 x ,ln x 0 ⇔ 1 x
.(ln x)
0
= 1
x :‫נגזרת‬
5

6. .ln e = 1, ln 1 = 0
ln (xy) = ln x + ln y .1
ln 1
x = − ln x .2
.ln x
y = ln x − ln y .3
.(r ∈ Q) ln (xr
) = r · ln x .4
ex
‫הפונקציה‬ 10.2
.R :‫הגדרה‬ ‫תחום‬
‫גם‬ ‫להיות‬ ‫)יכול‬ ax
= ex ln a
.(ex
)
0
= ex
:‫לזכור‬ ‫כדאי‬
.(ab
= ea ln b
. (bx
)
0
= ex ln b
0
= ex ln b
· ln b
.logb (t) = ln t
ln b :t 0 ‫לכל‬
.log0
b (t) = 1
t·ln(b) :‫והנגזרת‬
(‫הפיכה‬ ‫היא‬ ‫שבו‬ ‫)בקטע‬ sin x ‫הפונקציה‬ 10.3
sin (x) :
−π
2 , π
2
→ [−1, 1]
:‫ההפוכה‬ ‫הפונקציה‬
arcsin (x) : [−1, 1] →
−π
2 , π
2
(arcsin (x))
0
= 1
√
1−x2
‫היא‬ ‫שבו‬ ‫)בקטע‬ arccos x ‫הפונקציה‬ 10.4
(‫הפיכה‬
cos (x) : [0, π] → [−1, 1]
:‫ההפוכה‬ ‫הפונקציה‬
arccos (x) : [−1, 1] → [0, π]
(arccos (x))
0
= − 1
√
1−x2
.±1‫ב־‬ ‫גזירה‬ ‫אינה‬ arccos x :‫לזכור‬ ‫חשוב‬
arctan x ‫הפונקציה‬ 10.5
tan (x) : −π
2 , π
2
→ R
(arctan (x))
0
= 1
1+x2
‫חלקי‬ ‫פולינום‬ ‫של‬ ‫אינטגרלים‬ 11
f (x) = p(x)
q(x) :‫פולינום‬
:deg p (x) deg q (x) ‫כאשר‬ 11.1
:‫למשל‬ ,‫לשברים‬ ‫חלוקה‬ ‫עושים‬ ‫אזי‬
p(x)
(x−a)n
·(x−b) = A1
(x−a) + A2
(x−a)2 +· · ·+ An
(x−a)n + B
(x−b)
p(x)
(x−a)n
·(x2−b) = A1
(x−a) + A2
(x−a)2 +· · ·+ An
(x−a)n + Bx+C
(x2−b)
‫מחת‬ ‫אחת‬ ‫דרגה‬ ‫הוא‬ (‫)בשברים‬ ‫שלמעלה‬ ‫הפולינום‬ ‫תמיד‬
‫השבר‬ ‫יהיה‬ ‫מה‬ ‫לדעת‬ ‫למשל‬ ‫נרצה‬ ‫אם‬ ,‫לכן‬ ,‫כופל‬ ‫שהוא‬ ‫לזה‬
Ax2
+ Bx + c :‫יהיה‬ ‫הוא‬ ‫אזי‬ x3
− 1 :‫הפולינום‬ ‫שמעל‬
.(‫לצורך‬ ‫בהתאם‬ ‫ישתנו‬ ‫שהאתויות‬ ‫להיות‬ ‫)יכול‬
,‫אי־פריקים‬ ‫להיות‬ ‫צריכים‬ ‫במכנה‬ ‫שהפולינומים‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫אי־אפשר‬ ‫כאן‬ ‫שיש‬ ‫הפולינומים‬ ‫שני‬ ‫)את‬ x x2
+ 1
:‫למשל‬
.(...‫לגורמים‬ ‫לפרק‬
:deg p (x) ≥ deg q (x) ‫כאשר‬ 11.2
‫שאנחנו‬ ‫מה‬ ,‫פולינום‬ ‫חלקי‬ ‫פולינום‬ ‫של‬ ‫אוקלידי‬ ‫חילוק‬ ‫עושים‬
:‫הוא‬ ‫מקבלים‬
p(x)
q(x) = a(x)q(x)+r(x)
q(x) = a (x) + r(x)
q(x)
.‫השארית‬ ‫זאת‬ r (x)‫ו־‬ ‫המנה‬ ‫זאת‬ a (x) ‫כאשר‬
´ x2
x2+1 dx :‫הבא‬ ‫ההאינטגרל‬ ‫את‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ :‫למשל‬
1 (= a (x))
x2
x2
+ 1
(‫סופית‬ ‫)תוצאה‬ −1 (= r (x))
.‫המנה‬ ‫־‬ a (x) = z
.‫שארית‬ ‫־‬ r (x) =♣
:‫את‬ ‫לחשב‬ ‫לעשות‬ ‫לנו‬ ‫שנאשר‬ ‫מה‬ ,‫כעת‬
...‫לחשב‬ ‫יודעים‬ ‫כבר‬ ‫אנחנו‬ ‫זה‬ ‫ואת‬
´
1 − 1
x2+1
dx
:‫למשל‬ ‫או‬
´ x3
−4x2
+4x+1
x2−4x+4 dx =
´ x(x2
−4x+4)+1
x2−4x+4 dx =
´
x + 1
x2−4x+4
dx =
´
x + 1
(x−2)2
dx
...‫למעלה‬ ‫שמוסברת‬ ‫השיטה‬ ‫עפ‬
‫נוספים‬ ‫מקרים‬ 11.3
ˆ
1
x2 + a2
dx =
1
a
· arctan
x
a
+ c
:‫למשל‬
´ 1
x2+4 dx = 1
2 · arctan x
2
+ c
‫כאשר‬ 1
x2+px+q ‫של‬ ‫אינטגרל‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫במקרים‬ ‫גם‬ ‫טוב‬ ‫זה‬
,‫לריבוע‬ ‫השלמה‬ ‫לעשות‬ ‫צריך‬ ‫אז‬ .‫פריק‬ ‫איננו‬ x2
+ px + q
.arctan (x) ‫של‬ ‫בסגנון‬ ‫משהו‬ ‫לקבל‬ ‫יכולים‬ ‫ואנחנו‬
:‫מורכבת‬ ‫יותר‬ (‫)הרבה‬ ‫קצת‬ ‫דוגמא‬
‫־‬
´ x+2
x2+x+1
dx :‫את‬ ‫נחשב‬
:
´ x+2
x2+x+1 dx =
´ x
x2+x+1 dx + 2
´ 1
x2+x+1 dx
´ x
x2+x+1 dx =
u = x2
+ x + 1
du = (2x + 1) dx
......
....x ‫רק‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אבל‬ 2x+1 :‫במונה‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ‫־‬ ‫הבעיה‬
‫שלו‬ ‫שהנגזרת‬ ‫נראה‬ ,‫המכנה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫אם‬ ?‫עושים‬ ‫מה‬
.‫צריכים‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬ ‫בדיוק‬ ‫שזה‬ 2x + 1 ‫היא‬
´ 2x+1
x2+x+1 dx = ln x2
+ x + 1
+ :‫את‬ ‫לחשב‬ ‫נוכל‬ ‫אז‬ ‫כי‬
:‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫את‬ ‫זה‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ ,‫לכן‬ ,c
x + 2
x2 + x + 1
=
†
z }| {
1
2
(2x + 1) −
1
2
+2
x2 + x + 1
=
1
2
·
2x + 1
x2 + x + 1
| {z }
X
+
3
2
·
1
x2 + x + 1
| {z }
X
(‫המכנה‬ ‫של‬ ‫)הנגזרת‬ 2x+1‫ל־‬ x ‫את‬ ‫הופכים‬ ‫אנחנו‬ ‫ככה‬ = †
....‫ערכו‬ ‫את‬ ‫לאבד‬ ‫מבלי‬
...‫האינטגרל‬ ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫איך‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬ ‫־‬X
:‫כללי‬ ‫באופן‬ ‫והנוסחה‬
ax + b
x2 + px + q
=
a
2 (2x + p) − ap
2 + b
x2 + px + q
:‫או‬
ax + b
x2 + px + q
=
a
2
·
2x + p
x2 + px + q
+
b −
ap
2
·
1
x2 + px + q
‫עושים‬ ‫פשוט‬ ,‫במכנה‬ ‫היחיד‬ ‫הגורם‬ ‫אינו‬ x2
+ px + q‫כש־‬
:‫למשל‬ ,‫פשוטים‬ ‫לשברים‬ ‫פירוק‬
x2
− x + 1
x3 + x
=
x2
− x + 1
x (x2 + 1)
=
A
x
+
Bx + c
x2 + 1
III ‫חלק‬
‫סדרות‬
.‫תמיד‬ n ≥ 0 ,an :‫כלשהי‬ ‫סדרה‬ ‫עבור‬ :‫תזכורת‬
.n ‫לכל‬ an+1 an :‫ממש‬ ‫עולה‬ ‫סדרה‬
.n ‫לכל‬ an+1 ≥ an :‫עולה‬ ‫סדרה‬
6

7. .n ‫לכל‬ an+1 an :‫ממש‬ ‫יורדת‬ ‫סדרה‬
.n ‫לכל‬ an+1 ≤ an :‫יורדת‬ ‫סדרה‬
?‫יורדת‬ ‫או‬ ‫עולה‬ ‫סדרה‬ ‫אם‬ ‫בודקים‬ ‫איך‬
.an+1 − an ‫של‬ ‫הסימן‬ ‫לפי‬ .1
‫לכל‬ an 0‫כש־‬ ‫)טוב‬ 1‫ל־‬ ‫ביחס‬ an+1
an
‫של‬ ‫המנה‬ ‫לפי‬ .2
.(n
‫אם‬ .f0
‫של‬ ‫הסימן‬ ‫את‬ ‫בודקים‬ ‫אזי‬ ‫־‬ an = f (n) ‫אם‬ .3
‫יורדת‬ ‫הסדרה‬ f0
0 ‫אם‬ ,‫ממש‬ ‫עולה‬ ‫הסדרה‬ ‫־‬ f0
0
.‫ממש‬
n‫מ־‬ ‫החל‬ ‫רק‬ (‫יורדת‬ ‫)או‬ ‫עולה‬ ‫הסדרה‬ ‫לפעמים‬ :‫הערה‬
an‫מ־‬ ‫רק‬ ‫יורדת‬ ‫עולה‬ ‫שהסדרה‬ ‫לומר‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ ,‫מסוים‬
.‫כלשהו‬
‫סדרה‬ ‫של‬ ‫גבול‬ 12
‫שלכל‬ ‫כך‬ ,N ‫קיים‬ ,ε 0 ‫לכל‬ ‫־‬ limn→∞ an = l :‫עבור‬
.|l − an| ε :‫מתקיים‬ n N
,E 0 ‫לכל‬ ‫־‬ limn→∞ an = ∞ :‫אינסופי‬ ‫גבול‬ ‫עבור‬
.E an ‫מתקיים‬ n N ‫שלכל‬ ,‫כך‬ N ‫קיים‬
‫הסדרה‬ ‫כי‬ ‫אומרים‬ (l ∈ R) limn→∞ an = l‫כש־‬ :‫הגדרה‬
‫אזי‬ ,∞‫ל־‬ ‫שווה‬ ‫שהוא‬ ‫או‬ l ‫קיים‬ ‫לא‬ ‫אם‬ ,‫אחרת‬ ,‫מתכנסת‬
.‫מתבדרת‬ ‫הסדרה‬ ‫כי‬ ‫אומרים‬
‫אריתמטיקה‬ ‫כמו‬ ‫היא‬ ,‫סדרות‬ ‫של‬ ‫אריתמטיקה‬ ‫לגבי‬
‫פחות‬ ‫קצת‬ ‫שהוא‬ ‫אחד‬ ‫כלל‬ ‫רק‬ ‫אזכיר‬ ‫אני‬ ‫אבל‬ ,‫גבולות‬ ‫של‬
:‫טריוויאלי‬
‫רציפה‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ f (x) ‫כי‬ ‫ונניח‬ limn→∞ an = l ‫אם‬
.limn→∞ f (an) = f (l) :‫אזי‬ ,l‫ב־‬
‫אזי‬ ,limn→∞ an = l ‫אם‬ :‫חשוב‬ ‫משפט‬
,limn→∞ an+1 = l
:‫כגון‬ ‫סדרה‬ ‫של‬ ‫גבול‬ ‫לחשב‬ ‫ניתן‬ ‫כך‬
an+1 = 3
an + 2
an
⇒ l = 3 l + 2
l
‫שלכל‬ ‫כך‬ ‫פונקציה‬ ‫קיימת‬ ‫וגם‬ limn→∞ an = l ‫אם‬
‫עבור‬ ‫גם‬ ‫)נכון‬ limx→∞ f (x) = l ‫אזי‬ an = f (n) ,n
.(l = ∞
‫ולבדוק‬ ‫לפונקציה‬ ‫סדרה‬ ‫להמיר‬ ‫ניתן‬ ‫ככה‬ ‫כי‬ ‫שימושי‬ ‫)זה‬
.(...‫למשל‬ ‫לופיטל‬ ‫באמצעות‬ ‫שלה‬ ‫הגבול‬ ‫את‬
‫על‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫דומות‬ ‫פעולות‬ ‫לבצע‬ ‫או‬ ,‫לגזור‬ ‫אסור‬
‫וזה‬ ‫)במידה‬ ‫לפונקציה‬ ‫הסדרה‬ ‫את‬ ‫להמיר‬ ‫צריך‬ ,‫סדרות‬
...‫הפעולות‬ ‫את‬ ‫עליה‬ ‫לבצע‬ ‫אז‬ ‫ורק‬ (‫אפשרי‬
'‫הסנדוויץ‬ ‫כלל‬ 13
limn→∞ an = ‫אם‬ .n ‫לכל‬ an ≤ bn ≤ cn ‫כי‬ ‫נניח‬
.limn→∞ bn = l :‫אזי‬ limn→∞ cn = l
:‫כן‬ ‫כמו‬
:a ∈ R ‫עבור‬
.limn→∞ an
= 0 :‫אזי‬ ,|a| 1 ‫אם‬
.limn→∞ 1n
= 1 :‫ׁזי‬‫א‬ ,a = 1 ‫אם‬
.limn→∞ an
= ∞ ‫אזי‬ ,a 1 ‫אם‬
.‫הרחב‬ ‫במובן‬ ‫אפילו‬ ,‫גבול‬ an
‫לסדרה‬ ‫אין‬ ‫אזי‬ ,a ≤ −1 ‫אם‬
‫סדרה‬ ‫התכנסות‬ ‫על‬ ‫חשוב‬ ‫משפט‬ 14
‫)ל־‬ ‫מתכנסת‬ an ‫אזי‬ ,‫ועולה‬ ‫מליעל‬ ‫חסומה‬ an ‫הסדרה‬ ‫אם‬
.(sup an
‫מתכנסת‬ an ‫אזי‬ ,‫ויורדת‬ ‫מלרע‬ ‫חסומה‬ an ‫הסדרה‬ ‫אם‬
.(inf an‫)ל־‬
‫חסומה‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ (l ∈ R ‫)לגבול‬ ‫מתכנסת‬ an ‫הסדרה‬ ‫אם‬
.‫ומלרע‬ ‫מלעיל‬
.limn→∞ an = ∞ ‫אזי‬ ,‫מליעל‬ ‫חסומה‬ ‫ואינה‬ ‫עולה‬ an ‫אם‬
limn→∞ an = ‫אזי‬ ,‫מלרע‬ ‫חסומה‬ ‫ואינה‬ ‫יורדת‬ an ‫אם‬
.−∞
IV ‫חלק‬
‫ושיטות‬ ‫טכניקות‬
‫מוחלט‬ ‫ומינימום‬ ‫מקסימום‬ ‫מציאת‬ 15
‫סגור‬ ‫בקטע‬ ‫רציפה‬ ‫פונקציה‬ ‫של‬
[a, b] ‫וחסום‬
‫)אפסים‬ (a, b)‫ב־‬ ‫הקריטיות‬ ‫הנקודות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מחפשים‬ .1
.(‫מוגדרת‬ ‫או‬ ‫רציפה‬ ‫אינה‬ f0
‫שבהן‬ ‫נקודות‬ ‫או‬ f0
‫של‬
‫הפונקציה‬ ‫אם‬ (‫)שניהם‬ ‫ווירשטראוס‬ ‫משפט‬ ‫]עפ‬
,‫ומקסימום‬ ‫מינימום‬ ‫לה‬ ‫יש‬ ‫סגור‬ ‫בקטע‬ ‫וחסומה‬ ‫רציפה‬
(...‫השני‬ ‫השלב‬ ‫כבר‬ ‫)זה‬ ‫אותם‬ ‫מוצאים‬ ‫פרמה‬ ‫לפי‬ ‫ואז‬
.[‫וקצוות‬ ‫הפתוח‬ ‫בקטע‬ ‫קריטיות‬ ‫נקודות‬ ‫־‬
+ ‫הקריטיות‬ ‫הנקודות‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ f (x) ‫את‬ ‫מחשבים‬ .2
.f (b) + f (a)
.‫מוחלט‬ ‫מקסימום‬ ⇐ ‫ביותר‬ ‫הגדול‬ ‫הערך‬
.‫מוחלט‬ ‫מינימום‬ ⇐ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫הערך‬
‫נגזרת‬ ‫באמצעות‬ ‫לינארי‬ ‫קירוב‬ 16
:‫הבאה‬ ‫הנוסחא‬ ‫את‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
f (a + h) = f (a) + f0
(a) h + ε (h) h
.‫מדויק‬ ‫ערך‬ ‫־‬ f (a + h)
.‫מקורב‬ ‫ערך‬ ‫־‬ f (a) + f0
(a) · h
.‫הטעות‬ ‫־‬ ‫השניים‬ ‫בין‬ ‫ההפרש‬ ‫־‬ ε (h) · h
?‫עובד‬ ‫כאן‬ ‫הרעיון‬ ‫איך‬ ‫אז‬
,
√
4.03 ‫של‬ ‫הלינארי‬ ‫הקירוב‬ ‫את‬ ‫לחשוב‬ ‫רוצים‬ ‫ואנחנו‬ ‫נניח‬
h‫ו־‬ ‫היות‬ .a+h = 4.03 :‫כלומר‬ .f(a+h) =
√
4.03 :‫אזי‬
a = 4, h =‫ש־‬ ‫נאמר‬ ‫אזי‬ ,‫קטן‬ ‫שיותר‬ ‫כמה‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬
:‫כעת‬ ,0.03
.4
f (x) ≈ f (a) + f0
(a) (x − a) ‫־‬ x = a + h
f (a + h) ≈ f (a) + f0
(a) h :‫אחרות‬ ‫במילים‬ ‫או‬
√
4.03 ≈
√
4 + 1
2
√
4
· 0.03 ≈ 2 + 3
40 ≈ 2.0075
.(2.0074859... :‫המחשבון‬ ‫עפ‬ ‫)הערך‬
...'‫וכו‬ ,∼
=, ' :‫הסימנים‬ ‫גם‬ ‫להופיע‬ ‫יכולים‬ ,≈ :‫הסימן‬ ‫במקום‬4
7

8. ‫נגזרות‬ ‫טבלת‬ 17
(f + g)
0
= f0
+ g0
(1)
(f · g)
0
= f0
g + g0
f (2)
1
f
0
= −
f0
f2
(3)
g
f
0
=
f · g0
− f0
· g
f2
(4)
(xn
)
0
= nxn−1
(5)
(f (x)
n
)
0
=nf (x)
n−1
· f0
(x) (6)
1
f (x)
n
0
=
−nf0
(x)
f (x)
n+1 (7)
(g ◦ f)
0
= g0
(f (x)) · f0
(x) (8)
f (x)
(g (x))
n
0
=
· · ·
g (x)
n+1 (9)
(sin (x))
0
= cos (x) (10)
(cos (x))
0
= − sin (x) (11)
(− sin (x))
0
= − cos (x) (12)
(− cos (x))
0
= sin (x) (13)
(tan (x))
0
=
2
cos (2x) + 1
(14)
http://letach.net :‫מהאתר‬ ‫לקוח‬ ‫הסיכום‬
.(http://sn.im/csnotes :‫נוספת‬ ‫)כתובת‬
.‫נתאי‬ :‫עי‬ ‫נכתב‬
.(‫האתר‬ ‫)דרך‬ ‫בכך‬ ‫אותי‬ ‫תיעדו‬ ‫אם‬ ‫אשמח‬ ?‫טעות‬ ‫נפלה‬ ?‫שגיאה‬ ‫מצאתם‬
8