Dokumen tersebut membahas tentang trigonometri dan rumus-rumus yang terkait pada segitiga, termasuk definisi trigonometri, perbandingan trigonometri untuk berbagai sudut, serta aturan sinus dan kosinus."

1. TRIGONOMETRI DAN RUMUS-
RUMUS PADA SEGITIGA
Cynthia Barbara Simanjuntak
(SMA Negeri 1 Medan)

2. A. TRIGONOMETRI
Trigonometri berasal dari bahasa Yunani (dari
kata trigonon= tiga sudut dan metro=
mengukur).
Trigonometri merupakan cabang dari ilmu
Matematika yang mempelajari sudut tentang
segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus,
cosinus, dan tangen.

3. 1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
Pada segitiga siku-siku, berlaku rumus
phytagoras:
a2 +b2=c2
Perbandingan trigonometri dapat dirumuskan dengan:
α
b
ca
c
a
mirings
tegaks

.
.
sin
a
b
 
 1
tancot
c
b
mirings
datars

.
.
cos
a
c
 
 1
sincsc
b
c
 
 1
cossec
b
a
datars
tegaks

.
.
tan

4. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa

5. 2. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
UNTUK SUDUT-SUDUT BERELASI

6. sin (90-α) = cos α
cos (90-α) = sin α
tan (90-α) = cot α
cot (90-α) = tan α
sin (90+α) = cos α
cos (90+α) = -sin α
tan (90+α) = -cot α
cot (90+α) = -tan α
sin (180-α) = sin α
cos (180-α) = -cos α
tan (180-α) = -tan α
cot (180-α) = -cot α
sin (180+α) = -sin α
cos (180+α) = -cos α
tan (180+α) = tan α
cot (180+α) = cot α
sin (270-α) = -cos α
cos (270-α) = -sin α
tan (270-α) = cot α
cot (270-α) = tan α
sin (270+α) = -cos α
cos (270+α) = sin α
tan (270+α) = -cot α
cot (270+α) = -tan α
sin (360-α) = -sin α
cos (360-α) = cos α
tan (360-α) = -tan α
cot (360-α) = -cot α
sin (360+α) = sin α
cos (360+α) = cos α
tan (360+α) = tan α
cot (360+α) = cot α
Kuadran I
Kuadran III
Kuadran II
Kuadran I
Kuadran IV
Kuadran IIIKuadran II
Kuadran IV
•Jika α ± 90ᵒ atau α ± 270ᵒ maka akan ‘berubah’. Berubah dalam arti sin
menjadi cos, tan menjadi cot, dan seterusnya;
•Jika α ± 180ᵒ atau α ± 360ᵒ maka akan ‘tetap’. Tetap dalam arti sin tetap
menjadi sin, tan tetap menjadi tan, dan seterusnya.

7. Perbandingan Trigonometri Sudut (90o - αo)
• sin (90o - αo) = cos αo
• cos (90o - αo) = sin αo
• tan (90o - αo) = cot αo
• cot (90o - αo) = tan αo
• sec (90o - αo) = cosec αo
• cosec (90o - αo) = sec αo

8. Perbandingan Trigonometri Sudut
(90o + αo)
• sin (90o + αo) = cos αo
• cot (90o + αo) = -tan αo
• cos (90o + αo) = -sin αo
• sec (90o + αo) = -cosec αo
• tan (90o + αo) = -cot αo
• cosec (90o + αo) = sec αo

9. Perbandingan Trigonometri Sudut (180o - αo)
• sin (180o - αo) = sin αo
• cot (180o - αo) = -cot αo
• cos (180o - αo) = -cos αo
• sec (180o - αo) = -sec αo
• tan (180o - αo) = -tan αo
• cosec (180o - αo) = cosec αo

10. Perbandingan Trigonometri Sudut
(180o + αo)
• sin (180o + αo) = -sin αo
• cot (180o + αo) = cot αo
• cos (180o + αo) = -cos αo
• sec (180o + αo) = -sec αo
• tan (180o + αo) = tan αo
• cosec (180o + αo) = -cosec αo

11. Perbandingan Trigonometri Sudut
(270o - αo)
• sin (270o - αo) = -cos αo
• cot (270o - αo) = tan αo
• cos (270o - αo) = -sin αo
• sec (270o - αo) = -cosec αo
• tan (270o - αo) = cot αo
• cosec (270o - αo) = -sec αo

12. Perbandingan Trigonometri Sudut
(270o + αo)
• sin (270o + αo) = -cos αo
• cot (270o + αo) = -tan αo
• cos (270o + αo) = sin αo
• sec (270o + αo) = cosec αo
• tan (270o + αo) = -cot αo
• cosec (270o + αo) = -sec αo

13. Perbandingan Trigonometri Sudut (-αo)
• sin (-αo) = -sin αo
• cot (-αo) = -cot αo
• cos (-αo) = cos αo
• sec (-αo) = sec αo
• tan (-αo) = -tan αo
• cosec (-αo) = -cosec αo

14. Perbandingan Trigonometri Sudut (n . 360o - αo)
• sin (n . 360o - αo) = -sin αo
• cot (n . 360o - αo) = -cot αo
• cos (n . 360o - αo) = cos αo
• sec (n . 360o - αo) = sec αo
• tan (n . 360o - αo) = -tan αo
• cosec (n . 360o - αo) = -cosec αo

15. Perbandingan Trigonometri Sudut (n . 360o + αo)
• sin (n . 360o + αo) = sin αo
• cot (n . 360o + αo) = cot αo
• cos (n . 360o + αo) = cos αo
• sec (n . 360o + αo) = sec αo
• tan (n . 360o + αo) = tan αo
• cosec (n . 360o + αo) = cosec αo

16. Persamaan Identitas Trigonometri
A. Jika masing-masing dibagi dengan x2
Rumus: x2 + y2 = r2

17. • B. Jika masing-masing dibagi dengan y2

18. • B. Jika masing-masing dibagi dengan r2

19. Rumus jumlah dan selisih sudut

20. Rumus perkalian trigonometri

21. Rumus sudut rangkap dua

22. Contoh Soal
1. Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah…
Penyelesaian:
Soal dengan bentuk seperti ini dapat dikerjakan dengan rumus
Kuadran I. Dimana sin α = cos (90-α) atau cos α = sin (90-α).
Penyelesaiannya juga bisa menggunakan identitas trigonometri.
Dimana:
sin²α + cos²α = 1
Jadi,
cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75°
= cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55°
= cos²(90-75)° + cos²75° + cos²(90-55)° + cos²55°
= sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55°
= 1 + 1 = 2 ——-> (identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)

23. 2. Diketahui sinx + cosx = -1/5.
Maka nilai dari sin2x adalah…
Penyelesaian:
sinx + cosx = -1/5
(sinx + cosx)² = (-1/5)² —–> (Kuadratkan kedua ruas.)
sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1/25
sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1/25
1 + 2sinxcosx = 1/25 —–> (Identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)
2sinxcosx = 1/25 – 1
2sinxcosx = 1/25 – 25/25
2sinxcosx = -24/25
sin2x = -24/25
(aturan sudut rangkap sin2x = 2sinxcosx).

24. B. RUMUS-RUMUS PADA SEGITIGA
a. ATURAN SINUS
 sinsinsin
CBA


25. Untuk membuktikan aturan sinus pada segitiga tersebut, dapat dengan cara:
Buat segitiga lancip ABC dilakukan dengan AP, BQ, dan CR masing-masing adalah garis
tinggi dari sisi a, b, dan c.
b
AP
AC
AP
C
a
BQ
BC
BQ
C
c
AP
AB
AP
B
a
CR
BC
CR
B
c
BQ
AB
BQ
A
b
CR
AC
CR
A






sin
sin
sin
sin
sin
sin

26. CR= b.sinA CR= a.sinB AP= b.sinC
BQ= c.sinA AP= c.sinB BQ= a.sinC
C
c
A
a
C
c
B
b
B
b
A
a
sinsin
c.sinAa.sinCBQ3.)
sinsin
b.sinCc.sinBAP2.)
sinsin
a.sinBb.sinACR1.)



C
c
B
b
A
a
sinsinsin


27. Contoh Soal

28. 26
4
1
15sinsin
26
4
1
4
26
2
2
.
22
)13(
15sin
2
1
2.
15sin
)13(
30sin15sin
sinsin
sinsinsin















A
hACBC
B
b
A
a
C
c
B
b
A
a



29. b. Aturan Cosinus
Dalam menentukan besar sudut α,β,ϒ dipakai
formula:
A B
C
ᵞ
α ᵝ
c
ab
ab
cba
ac
bca
bc
acb
2
cos
2
cos
2
cos
222
222
222












cos2
cos2
cos2
222
222
222
abbac
accab
bccba




30. Untuk membuktikan bahwa
perhatikanlah gambar disamping:
siku-siku di D
Jadi, koordinat C adalah (b cos α).
Penentuan α berdasarkan jarak titik B(c,0) dan (b cos α) yaitu:
,cos2222
bccba 


sinsin
coscos
;
bv
b
v
bu
b
u
ADC



)(cos2
cos2)sin(cos
sincos2cos
)sin()cos(
)0sin()cos(
222
22222
222222
222
22
terbuktibccba
cbcba
bcbcba
bcba
ataubcba










Y
X
D
C(u,v)
A B(c,0)
a
c
b
u
v

31. Contoh soal
Jawab:
75105180
180
60
2
1
)13)(2(2
6)13(4
2
cos
45cos
)1800(
2
2
1
2
1
)13)(6(2
4)13(6
cos
22
cos
)13(
6
2
)13(:6:2::
222222
1
2222
222222




























C
CBA
B
kk
kkk
ac
bca
B
AA
A
kk
kkk
A
ac
acb
bc
acb
A
kc
kb
ka
kkkcba

32. c. Penentuan Luas Segitiga
Berdasarkan rumus luas segitiga yang
sederhana, yaitu ½ x alas x tinggi (dengan sisi
alas tegak lurus sisi tinggi, kita dapat
mengembangkan berbagai rumus luas segitiga
dalam berbagai keadaan.
BCABABCLuas ..
2
1

A
C
B

33. (1) Penentuan luas segitiga bila dua sisi dan satu sudut yang diapit kedua sisi
diketahui
Perhatikan berikut. Penentuan luas:
Tarik garis tinggi dari puncak C hingga memotong tegak lurus garis
AB. CD menjadi garis tinggi dan AB sebagai alas.
Luas = ½ .AB.CD
CD/b = sinA
CD = b sinA
AB = C
Luas = ½ bc sinA
C
BA D
c
ab

34. ½ bc sinA
Luas ½ ac sinB
½ ab sinC
PENTING DIINGAT!!!

35. (2)Penentuan luas segitiga apabila dua sudut dan satu sisi
diketahui
Berdasarkan rumus luas =1/2 bc sinA dan aturan
sinus diperoleh:
luas
Pada berlaku A+B+C= 180,
berarti A=180-(B+C), maka sin A =sin[180-(B+C)] ATAU
sinA=sin(B+C)
Shg, Luas =
Dengan cara yang sama diperoleh luas dengan dua sudut dan
satu sisi diketahui.
D
A
b
.
sin
.
sin
sin
.
2
1
sin.
sin
sin
.
sin
sin
.
2
1
2
C
A
Ba
A
A
Ca
A
Ba


)sin(2
sin.sin.2
CB
CBa


36. PERLU DIINGAT!!!
Luas
)sin(2
sin.sin.2
BA
BAc

)sin(2
sin.sin.2
CA
CAb

)sin(2
sin.sin.2
CB
CBa


37. (3) Penentuan luas segitiga apabila ketiga
sisinya diketahui
Luas = ½ .b.sinA Berdasarkan aturan cosinus,
dan
Diperoleh:
Karena 0 A 180 dan sin A 0.
bc
acb
A
2
cos
222

 AA 22
cos1sin 
))()(.(.16)sin2(
)(2
)(2
),(222)(,2)(
))()()(()sin2(
)2)(2()sin2(
)2(
)(()2(
4
)(
sin
2
2
2222222
2
22222
22
2222
2
csbsassAbc
bsbac
asacb
cscscbamakascbaJika
cbacbacbacbaAbc
abbbcacbbcAbc
bc
acbbc
cb
acb
A
a











38. Luas dengan ketiga sisinya diketahui
ditentukan oleh formula Heron berikut.
Luas =
Dimana s= ½ Keliling segitiga, yaitu ½(a+b+c)
c)-b)(s-a)(s-s(sLuas
c)-b)(s-a)(s-s(ssinA)bc(½
c)-b)(s-a)(s-s(s4.sinA)bc(2
2
2



ABC
c)-b)(s-a)(s-s(s

39. 1. Segitiga sama sisi ABC dengan panjang sisi 12 cm diperlihatkan
gambar berikut!
Pembahasan:
Cari setengah dari keliling segitiga terlebih dahulu
Masuk rumus nomor tiga

40. 2. Segitiga samasisi ABC dengan ukuran diperlihatkan
gambar berikut!
Tentukan luas segitiga!
Pembahasan
Satu sudut diketahui beserta dua sisi pengapitnya, gunakan
rumus (1).

41. 3.
Panjang PQ adalah 10 cm dan QR adalah 8 cm. Sudut PQR =
60°. Tentukan luas jajargenjang PQRS!
Jajar genjang tersusun dari dua buah segitiga, yaitu segitiga PQR dan
segitiga PSR yang luasnya sama.
Sehingga luas jajargenjang sama dengan dua kali luas salah satu segitiga.