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Dérivation et Intégration numériques

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Introduction des méthodes de base de dérivation et d'intégration numériques. Ce cours fait partie du module d'analyse numérique donné en Parcours MIP à la FST de Settat, Université Hassan 1er.

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Dérivation et Intégration numériques

  1. 1. Analyse numérique Jaouad DABOUNOU Département de Mathématiques et Informatique Dérivation et Intégration numériques Année universitaire2014/2015 Université Hassan Premier Faculté des Sciences et Techniques Settat
  2. 2. Dérivation et Intégration numériques - Soit f une fonction définie et dérivable sur [a , b] - Soit x]a , b[, la dérivée de f en x est donnée par : - Soit f une fonction définie et continue sur [a , b] - L’intégrale de f sur [a , b] est donnée par : Le calcul analytique des dérivées ou des intégrales est souvent difficile ou couteux. h xfhxf xf h )()( lim)(' 0           1 0 )(lim)( n in b a n ab iaf n ab dxxf Dérivation et Intégration numériques
  3. 3. Dérivation numérique Formule de différences progressives Soit x]a , b[ et h > 0 tel que x+h ]a , b[, on a : x x+h (x , f(x)) (x+h , f(x+h)) Pente de f en x à l’ordre 1 près x y h xfhxf xf )()( )('   avec )(" 2 )( cf h xe  c] x , x+h[, On a ici une approximation d'ordre 1 de f '(x) Pente de f en x
  4. 4. Dérivation numérique Formule de différences centrales Soit x]a , b[ et h > 0 tel que x-h ]a , b[ et x+h ]a , b[, on a : h hxfhxf xf 2 )()( )('   avec ),( !3 )( )3( 2 cf h xe  c] x-h , x+h[, On a ici une approximation d'ordre 1 de f '(x) x x+h (x+h , f(x+h)) Pente de f en x à l’ordre 2 près x y x-h (x-h , f(x-h)) Pente de f en x
  5. 5. Intégration numérique Soit f une fonction définie et continue sur [a , b]. L’intégrale de f sur [a , b] est donnée par : On approche f sur [a , b] par un polynôme P, ensuite, on considère que :
  6. 6. Intégration numérique Estimation de l’erreur d’intégration On approche f par P, le polynôme d’interpolation de f en x0, x1,… , xn. L’erreur d’interpolation est donnée par En plus, on a Donc
  7. 7. 7 Méthode des rectangles Polynôme d’interpolation : P0(x) = f(a). On a [a , b]
  8. 8. 8 Méthode des trapèzes Polynôme d’interpolation en x0=a et x1=b: P1(x) = f[a] + (x – a) f[a,b]. On a [a , b]
  9. 9. 9 Méthode de Simpson P2(x) Polynôme d’interpolation en x0=a, x1=m= et x2=b. On a [a , b]
  10. 10. 10 Intégration numérique Exemple d'application Soit f(x) = 2(x –1) + cos(x) esin(x) Une primitive de f est donnée par : F(x) = x2 - 2x + esin(x)
  11. 11. 11 Intégration numérique Exemple d'application On a Tableau de l'intégrale obtenue pour chacune des méthodes présentées La méthode de Simpson donne le meilleur résultat Méthode Intégrale Rectangles 1,2534 Trapèzes 1,1101 Simpson 1,1646
  12. 12. 12 Subdivision de l'intervalle d'intégration Subdivision de [a , b] en des sous-intervalles d'intégration. Ainsi, pour deux sous-intervalles [a , m] et sur [m , b] avec La méthode des rectangles donne [a , b] On voit que l’erreur est divisée par 2.
  13. 13. 13 Subdivision de l'intervalle d'intégration Exemple: On reprend la fonction : f(x) = 2(x –1) + cos(x) esin(x) Tableau des résultats avec et sans subdivision de [1 , 2]. On rappelle que la solution analytique est On voit que la précision est améliorée par la subdivision de l'intervalle pour chacune des méthodes utilisées est divisée par 2. Méthode Intégration sur [1 , 2] Intégration sur [1 , 1.5] et [1.5 , 2] Rectangles 1,2534 1,2226 Trapèzes 1,1101 1,1510 Simpson 1,1646 1,16288

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