Bonjour Analyse Convexe : Intérieurs relatifs d’ensembles convexes Cours d'analyse convexe dans le cadre du master : Mathématiques et Applications de la FST de Settat - Université Hassan 1er. Vidéo : https://youtu.be/DdUTVKKpu70 Cordialement Pr JAOUAD DABOUNOU FST DE SETTAT UNIVERSITE HASSAN 1er

1. Analyse Convexe 1 Jaouad DABOUNOU-FSTS
Intérieurs relatifs d’ensembles convexes
Définition : Soit A un sous-ensemble convexe non vide de R
n
, on appelle dimension affine de A la
dimension de son enveloppe affine aff(A).
Remarque : Soit A un sous-ensemble convexe non vide de R
n
, a un point quelconque de A, aff(A)
son enveloppe affine et V= aff(A) - a le sous-espace vectoriel sous-jacent. V est égal au sous-espace
vectoriel engendré par A – a, c’est à dire V=vect(A – a).
Définition : Soit A un sous-ensemble convexe non vide de R
n
, on appelle intérieur relatif de A,
noté intr(A), l’intérieur de A pour la topologie induite sur aff(A).
Remarque : On peut ainsi écrire
intr(A)={xRn
/ >0, B(x,)∩aff(A)A}
Théorème : Pour tout sous-ensemble convexe non vide A de R
n
, intr(A) est non vide.
Démonstration : Il suffit de démontrer que si A est un ensemble convexe de dimension affine n,
alors l’intérieur de A est non vide. Pour cela, soit S=(x0, x1,…, xn) une famille de n+1 éléments de
A, avec S affinement indépendante. On pose :
x̅ =
1
n+1
∑ xi
n
i=0
x̅A car il s’agit d’une combinaison convexe d’éléments de A. On va montrer que x̅A
o
. C’est-à-
dire qu’il existe une boule B(x̅ , )A, >0.
S est une base affine, ce qui revient à dire que (x1-x0,…, xn-x0) est une base de R
n
.
Donc pour tout x R
n
, on se propose d’écrire y = x - x̅ dans cette base. On peut ainsi écrire de façon
unique :
x = x̅ + y = x̅ + ∑αixi
n
i=0
avec ∑αi
n
i=0
=0
On peut ainsi définir une fonction f de R
n
dans R
n+1
donnée par f(x) =  = (0, 1, …, n) vérifiant
l’égalité ci-dessus.
On peut aussi écrire :
x = x̅ + y = ∑(αi
+
1
n+1
)xi
n
i=0
, avec ∑αi
n
i=0
=0
Nous avons par ailleurs

2. Analyse Convexe 2 Jaouad DABOUNOU-FSTS
∑ (αi
+
1
n+1
)
n
i=0
= 1
Cependant, les nombres αi +
1
n+1
ne sont pas forcément positifs ou nuls.
Remarquer que les relations ci-dessus permettent de construire un isomorphisme h de R
n
tel que :
h(y) = (1, 2, …, n).
Il est facile d’en déduire que f est continue.
En plus on a f(x̅) = (0, 0, …, 0). Donc :
>0 >0 / || x - x̅||<  ||  ||<
On choisit  =
1
n+1
, On peut ainsi trouver une boule B(x̅ , ) telle que :
xB(x̅ , ),
x = x̅ + y = ∑(αi
+
1
n+1
)xi
n
i=0
, avec ∑αi
n
i=0
=0 et ||  || <
1
n+1
Ce qui permet d’écrire
x = ∑i
xi
n
i=0
, avec i
 0, i=1,n et ∑i
n
i=0
=1 où i
= αi +
1
n+1
x est combinaison convexe d’éléments de A et A convexe, donc x A et B(x̅ , )  A et x̅A
o
.