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Intérieurs relatifs d’ensembles convexes

Bonjour

Analyse Convexe : Intérieurs relatifs d’ensembles convexes

Cours d'analyse convexe dans le cadre du master : Mathématiques et Applications de la FST de Settat - Université Hassan 1er.

Vidéo :

https://youtu.be/DdUTVKKpu70

Cordialement

Pr JAOUAD DABOUNOU
FST DE SETTAT
UNIVERSITE HASSAN 1er

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Intérieurs relatifs d’ensembles convexes

  1. 1. Analyse Convexe 1 Jaouad DABOUNOU-FSTS Intérieurs relatifs d’ensembles convexes Définition : Soit A un sous-ensemble convexe non vide de R n , on appelle dimension affine de A la dimension de son enveloppe affine aff(A). Remarque : Soit A un sous-ensemble convexe non vide de R n , a un point quelconque de A, aff(A) son enveloppe affine et V= aff(A) - a le sous-espace vectoriel sous-jacent. V est égal au sous-espace vectoriel engendré par A – a, c’est à dire V=vect(A – a). Définition : Soit A un sous-ensemble convexe non vide de R n , on appelle intérieur relatif de A, noté intr(A), l’intérieur de A pour la topologie induite sur aff(A). Remarque : On peut ainsi écrire intr(A)={xRn / >0, B(x,)∩aff(A)A} Théorème : Pour tout sous-ensemble convexe non vide A de R n , intr(A) est non vide. Démonstration : Il suffit de démontrer que si A est un ensemble convexe de dimension affine n, alors l’intérieur de A est non vide. Pour cela, soit S=(x0, x1,…, xn) une famille de n+1 éléments de A, avec S affinement indépendante. On pose : x̅ = 1 n+1 ∑ xi n i=0 x̅A car il s’agit d’une combinaison convexe d’éléments de A. On va montrer que x̅A o . C’est-à- dire qu’il existe une boule B(x̅ , )A, >0. S est une base affine, ce qui revient à dire que (x1-x0,…, xn-x0) est une base de R n . Donc pour tout x R n , on se propose d’écrire y = x - x̅ dans cette base. On peut ainsi écrire de façon unique : x = x̅ + y = x̅ + ∑αixi n i=0 avec ∑αi n i=0 =0 On peut ainsi définir une fonction f de R n dans R n+1 donnée par f(x) =  = (0, 1, …, n) vérifiant l’égalité ci-dessus. On peut aussi écrire : x = x̅ + y = ∑(αi + 1 n+1 )xi n i=0 , avec ∑αi n i=0 =0 Nous avons par ailleurs
  2. 2. Analyse Convexe 2 Jaouad DABOUNOU-FSTS ∑ (αi + 1 n+1 ) n i=0 = 1 Cependant, les nombres αi + 1 n+1 ne sont pas forcément positifs ou nuls. Remarquer que les relations ci-dessus permettent de construire un isomorphisme h de R n tel que : h(y) = (1, 2, …, n). Il est facile d’en déduire que f est continue. En plus on a f(x̅) = (0, 0, …, 0). Donc : >0 >0 / || x - x̅||<  ||  ||< On choisit  = 1 n+1 , On peut ainsi trouver une boule B(x̅ , ) telle que : xB(x̅ , ), x = x̅ + y = ∑(αi + 1 n+1 )xi n i=0 , avec ∑αi n i=0 =0 et ||  || < 1 n+1 Ce qui permet d’écrire x = ∑i xi n i=0 , avec i  0, i=1,n et ∑i n i=0 =1 où i = αi + 1 n+1 x est combinaison convexe d’éléments de A et A convexe, donc x A et B(x̅ , )  A et x̅A o .

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