Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

CAPÍTULO I

1. Ajustamento de observações aplicado na Fotogrametria

Devido às propriedades estocásticas das observações (variabilidade
das observações), sua redundância não é compatível com o modelo
funcional que representa a realidade física. Por exemplo, considere um
conjunto de n observações coletadas por um operador humano: se o
conjunto supracitado for dividido em 4 (quatro) subconjuntos; ao aplicar
qualquer um deles, diferentes resultados serão apresentados, tendo em
vista a variabilidade randômica das observações.
O Método de estimação por Mínimos Quadrados (MMQ) tem como
objetivo encontrar solução única para os parâmetros a serem estimados
através da minimização da soma dos quadrados dos resíduos, como segue:

2
V → min (1.1)

Dentre os métodos de ajustamento de observações, os mais usados
em aplicações fotogramétricas são: o método paramétrico para funções
lineares e não lineares; o método combinado; e a filtragem kalman. Aqui
serão tratados os métodos de ajustamento de observações: paramétrico
para funções lineares e não lineares; e combinado.

1.1. Método paramétrico para funções não lineares

Admitindo que um conjunto de dados seja observado e suas
variâncias são de qualidades diferentes; pode-se então realizar uma

1
Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Capítulo I

ponderação na Equação (1.1) associando um peso para cada um dos
elementos do vetor dos resíduos V . Tem-se então a seguinte expressão, a
saber (DALMOLIN, 2002):

V T PV → min (1.2)
Onde, P é o peso das observações e V é o vetor dos resíduos.

O modelo funcional do método paramétrico é dado por:

La = F ( X a ) (1.3)

Onde, La = Lb + V é vetor das observações ajustadas, F é o modelo
matemático funcional (linear ou não linear), X a = X 0 + X é o vetor dos
parâmetros ajustados, Lb é o vetor das observações, X 0 é o vetor dos
parâmetros aproximados (somente para funções não lineares) e X é o
vetor das correções dos parâmetros aproximados.

Com os elementos descritos acima, pode-se reescrever a Equação
(1.2) da seguinte forma:

Lb + V = F ( X 0 + X ) (1.4)

Expandindo o termo Lb + V = F ( X 0 + X ) pela série de Taylor e
desprezando os termos maiores ou iguais a 2, tem-se:

2

Capítulo I

∂F
Lb + V = F ( X 0 + X ) = F ( X 0 ) + (Xa − X0) (1.5)
∂X 0
∂F
Fazendo L0 = F ( X 0 ) e A = tem-se:
∂X 0

V = A( X a − X 0 ) + (L0 − Lb ) (1.6)

A partir da Equação (1.6) é obtido o modelo matemático linearizado
do método paramétrico, como segue:

V = AX + L (1.7)

Sendo X = X a − X 0 e L = L0 − Lb .

Substituindo a Equação (1.7) na equação (1.2), tem-se:

( AX + L )T P( AX + L ) → min (1.8)

Minimizando a Equação (1.8), ou seja, derivando a Equação (1.8),
obtêm-se o vetor das correções aos parâmetros, como segue:

X = −( u An n Pn n Au ) −1 ( u An n Pn n L1 )
T T
(1.9)

N = ( AT PA) −1 e U = ( AT PL) (1.10)
Onde,
• N é a matriz das equações normais;
• n é o número de observações;

3

Capítulo I

• u número de parâmetros ou incógnitas;
1 / σ obs
2
0 0 0 0 0 
 
 0 1 / σ obs
2
0 0 0 0 
•  0 0 .... 0 0 0 ;
P = σ 0 ∑ −1
2
Lb =σ0 
2

 0 0 0 .... 0 0 
 0 0 0 0 1 / σ obs
2 n
0 
 2 n

 0
 0 0 0 0 1 / σ obs 

• σ 02 é a variância de unidade peso a priori; e
• σ obs é a variância das observações.
2

A Matriz Variância-Covariância (MVC) dos parâmetros ajustados (

∑X a ) é dada por:

^ 2
∑ X a = σ 0 ( N ) −1 (1.11)

^ 2
Sendo σ0 a variância de unidade peso a posteriori. A variância de unidade
peso a posteriori é calculada como segue:

^ 2 V T PV
σ0 = (1.12)
n−u

A Matriz Variância-Covariância (MVC) das observações ajustadas (

∑L a ) é dada por:

4

Capítulo I

 ^ 2 −1  T
∑ La = A σ 0 N  A
  (1.13)
 

A linearização do modelo matemático funcional F é realizada por
meio de um processo iterativo, onde os parâmetros aproximados são
atualizados a cada iteração e o processo converge quando o vetor das
correções se aproxima de zero ou quando for igual ou inferior a um valor de
limiar pré-estabelecido.
A seguir será apresentado o método paramétrico para funções não
lineares com injunção de peso ou absoluta.

1.1.2. Método Paramétrico para funções não lineares com injunção
de peso ou absoluta

Este método é descrito pela adição do modelo funcional
apresentado por:

Lia = G ( X a ) (1.14)

Onde,

• Lia : vetor das novas observações ajustadas relativas às injunções;
• G : modelo matemático funcional da injunção absoluta.

O modelo funcional linearizado do método é o que segue:

Vi = A i X + Li (1.15)

Sendo,
• Vi : vetor dos resíduos das injunções;
5

Capítulo I

∂G
• Ai = ( Xa − Xo ) matriz das derivadas parciais do modelo funcional
∂X
das injunções; e
• Li : vetor das observações relativo às injunções.

ComoG é representado pelo modelo matemático dado por
∂G
a = b , a matriz das derivadas parciais é: Ai = = 1 . Admitindo que não
∂b
i
existe corelação entre L e L então a solução da correção aos parâmetros
por meio do método paramétrico para funções não lineares com injunção
absoluta é dado como segue:

i
X = −( u An n Pn n Au + u Pui ) −1 ( u An n Pn n L1 + u Pui u L1 )
T T
(1.16)

Onde,
1 / σ 2
par 0 0 0 0 0 
 
 0 1/ σ 2
par 0 0 0 0 
•  0 0 1/ σ 2 0 0 0 
Pi = σ 0 
2 par

 0 0 0 ... 0 0 
 0 0 0 0 ... 0 
 

 0 0 0 0 0 1 / σ par 
2

• P i é a matriz dos pesos das injunções calculada em função da
confiabilidade atribuída aos parâmetros aproximados;
• σ par
2
é a variância dos parâmetros aproximados; e

• Li = G ( X a ) = X 0− X a .

A MVC dos parâmetros ajustados é calculada pela expressão que
segue:

^ 2
∑ X a = σ 0 ( N + N i ) −1 (1.17)

6

Capítulo I

^ 2 (V T PV ) + (ViT P iVi )
σ0 = (1.18)
n + ni − u
i
Onde n é o número de injunções aplicadas ao modelo.
A seguir será apresentado o método paramétrico para funções
lineares.

1.1.3. Método paramétrico para funções lineares

No caso de funções matemáticas lineares L = − Lb , pois L0 → 0 e
−1
a Equação X = −( u An n Pn n Au ) ( u An n Pn n L1 ) é reescrita na forma como
T T

segue:

X = (u An n Pn n Au ) −1 (u An n Pn n Lb1 )
T T
(1.19)

Nos casos em que a variância das observações possuem o mesmo
peso, isto é, a mesma variância, tem-se que: P = I ; ou seja, a matriz dos
pesos é igual a identidade.

1.2. Método combinando de ajustamento de observações

De acordo com Mikhail e Ackerman (1976) o método combinado é
aplicado em modelos funcionais que combinam observações e parâmetros.
Os modelos funcionais aplicados a este método são formados por
equações implícitas do tipo:

7

Capítulo I

F ( X a , La ) = 0 (1.20)

O número de equações de condições (c) é a soma dos graus de
liberdade (r) e o número de parâmetros incógnitos (u), expresso por
(MIKHAIL e ACKERMAN, 1976):

c = r+u (1.21)

Onde, r = n − n0 , n0 é o número mínimo de parâmetros no modelo, n é o
número total de observações. A Equação (1.20) deve atender as seguintes
condições, a saber:

r≤c≤n (1.22)

0 < u ≤ n0 (1.23)

O modelo linearizado correspondente ao método combinado de
ajustamento de observações é obtido através da linearização da equação
(1.19) utilizando a expansão em série de Taylor. Tomando-se apenas os
dois primeiros termos da série, tem-se:

AX + BV + W = 0 (1.24)
Sendo,
∂F
• B= X 0 , Lb matriz das derivadas parciais do modelo funcional
∂La
em relação as observações;
• W = F ( Lb , X 0 ) : vetor das correções.

8

Capítulo I

Assim sendo tem-se a seguinte solução para as equações normais, a
saber:

[
X = AT ( BPB T ) −1 A ]
−1
AT ( BPB T ) −1W (1.25)

O vetor das observações inseridas menos o vetor das observações
ajustadas denominado de vetor resíduo é dado por:

V = − P −1B T ( BPBT ) −1 ( AX + W ) (1.26)

No caso de modelos não lineares, iterações são requeridas.
Assim para a i-ésima interação expansão em série de Taylor:

Ai X i + BiVi + Wi = 0 (1.27)

Sendo,
∂F
• A = Xi , Li ;
∂X a
∂F
• B = a Xi , Li ;
∂L
• Wi = Bi ( Lb − Li ) + F ( X i , Li ) .

A solução para as equações normais é dada por:

[ T T
X i = Ai ( Bi PBi ) −1 Ai ] −1 T T
Ai ( Bi PBi ) −1Wi (1.28)

9

Capítulo I

Sendo admitido para a primeira iteração X
a
= X o e Li = Lb Para
as demais iterações os parâmetros ajustados da iteração anterior ( )
serão usados na próxima iteração como parâmetros aproximados
(GEMAEL, 1994). As observações ajustadas da iteração anterior serão
usadas na montagem das matrizes , e . O vetor dos parâmetros
ajustados é obtido por:

X ia = X ia−1 + X i (1.29)

O vetor das observações ajustadas é obtido por:

La = Lb + Vi
i (1.30)

−1 T −1
Sendo Vi = P ( Bi PBi ) Ai X i + Wi .

O ajustamento converge, quando os resíduos e os parâmetros
tendem a estabilizar e, portanto, as correções dos parâmetros tendem a
zero. Segundo Mikhail e Ackerman (1976) os graus de liberdade ( ) é
calculado pela equação:

r = n−u
(1.31)
Assim sendo, a MVC dos parâmetros ajustados (Σ ) é dada por:

[ ]
^ 2
∑ X a = σ 0 ( AT ( BPB T ) −1 A
−1
(1.32)

10

Capítulo I

Como a realidade física é demasiadamente complexa é
impossível desenvolver um modelo matemático que a represente de forma
fidedigna. Ao assumir que o modelo matemático é adequado a um suposto
problema, deve ser verificada a consistência entre as observações e o
modelo matemático, para que seja indicada a presença de erros grosseiros.

1.3. Controle de qualidade

O controle de qualidade se resume na verificação da consistência
entre as observações e o modelo matemático, bem como identificar a
presença de erros grosseiros não modelados para que os mesmos sejam
eliminados (TEUNISSEN, 1998).
O controle de qualidade está vinculado à execução de testes
estatísticos, onde uma determinada condição, denominada hipótese nula (
H 0 ), é estabelecida para os parâmetros a serem examinados. Os testes
estatísticos são baseados em testes de hipóteses.
O teste de hipótese pode ser entendido como uma regra de decisão
para aceitar ou rejeitar uma suposição, que pode ser verdadeira ou falsa,
quanto ao valor de um parâmetro populacional para uma dada
probabilidade. Devido à dificuldade de se examinar a população inteira,
utiliza-se uma amostra aleatória. Com isto, formula-se a denominada
hipótese nula ( H 0 ) para os parâmetros a serem testados.

A rejeição de H 0 significa a aceitação de uma hipótese alternativa (

H a ), que advém da insuficiência de evidências para rejeitar H 0 . Sendo
assim, ao se acatar o resultado de um teste de hipóteses, cometem-se dois
tipos de erros: o erro α e o erro β , no qual o erro do tipo α , também
11

Capítulo I

denominado de nível de significância, é a probabilidade de se rejeitar uma
hipótese que na realidade é verdadeira. O erro do tipo β , é a probabilidade
de se aceitar uma hipótese que na realidade é falsa (TIBERIUS, 1998).
Geralmente a etapa de detecção de erros é a etapa mais importante
no controle de qualidade. Nesta etapa testa-se a hipótese H 0 contra H a ,

com a finalidade de verificar a consistência entre o modelo matemático e as
observações.
O processo de estimação também fornece o vetor dos resíduos das
observações que possuem uma mistura de todos os tipos de erros. Os
erros sistemáticos são passíveis de modelagem, enquanto os erros
aleatórios são de natureza desconhecida e os erros grosseiros, geralmente,
requerem o uso de técnicas de detecção e eliminação aplicada aos
resíduos provenientes do processo de estimação.
Por isso, os resíduos das observações ajustadas no processo de
estimação devem ser analisados estatisticamente e o processo mais
adequado é o uso de alguma técnica de controle de qualidade das
observações. As técnicas mais comumente utilizadas para análise de dados
paramétricos são: Qui-Quadrado; t-Student; data-snooping, método
danishing, entre outras. Algumas das bibliografias mais utilizadas na área
são: Baarda (1968); Mikhail e Ackermann (1976); Gemael (1994);
Teunissen (1998); Dalmolin (2000). Aqui, serão tratadas as técnicas Qui-
Quadrado e data-snooping.

1.3.1. Teste Qui-Quadrado

Segundo Gemael (1994), o teste estatístico Qui-quadrado (χ )
amostral é calculado por:
12

Capítulo I

σ 02
ˆ
χ = 2 r
2
a
σ (1.33)
Onde, χ é o qui-quadrado amostral, é a variância da observação de
peso unitário a priori e é o grau de liberdade no ajustamento ( ).

A estatística Qui-quadrado populacional é obtida em função de e do
nível de significância ( ), através de uma tabela de dupla entrada (bimodal).
Deste modo os parâmetros ajustados são rejeitados nos testes estatísticos
ao nível de confiança se não cumprir com a condição imposta por:

χ a < χ (2r ,α )
2
(1.34)
Onde, χ ,α
é o qui-quadrado tabelado (ver tabelas estatísticas).

Se as observações forem rejeitadas neste teste, existem erros
grosseiros a serem analisadas ou retiradas do processo de ajustamento. A
seguir será apresentada a técnica de detecção de erros grosseiros e
outliers conhecida como data-snooping.

1.3.2. Teste data-snooping

Esta técnica é muito utilizada em processos de estimação cujo
conjunto de observações pode ser tratado de forma dinâmica. O teste para
detecção pode ser realizado a partir de uma análise dos resíduos, que por
estarem em função das observações. A estatística a ser utilizada para
testar H 0 contra H a é dado por (BAARDA, 1968):

13

Capítulo I

rn
S= (1.35)
σr n

Onde, rn é o resíduo predito das observações, σrn
o desvio-padrão dos

resíduos preditos e S a estatística denominada correção normalizada. As
estatísticas apresentadas possuem distribuição normal padrão, isto é,
S ~ N α / 2 (0,1) , e trata localmente as observações. Se a primeira hipótese
é verdadeira, não existem erros nas observações. Então, as observações
não contêm erros quando a estatística S , a um nível de significância α ,
estiverem situadas no intervalo:

− Nα / 2 < S < Nα / 2 (1.36)

Nα /2 é extraída da curva normal padrão. Caso algum erro seja
detectado e identificado, as observações são descartadas do processo e o
vetor dos parâmetros calculados não é atualizado.

1.4. Projeto fotogramétrico

Para a execução de um projeto fotogramétrico, usualmente, é
seguido um fluxograma de etapas. Atualmente, com o uso de câmaras
digitais de pequeno, médio e grande formato, o fluxograma é dividido em:
fluxo de etapas baseado no uso de câmaras métricas convencionais; e
baseado em uso de câmaras digitais. A Figura 1.1 apresenta um
fluxograma para a execução de um projeto fotogramétrico.

14

Capítulo I

FIGURA 1.1. Fluxograma para um projeto fotogramétrico.

(Adaptado de Santos et al. 2000)
O sucesso na execução de qualquer projeto fotogramétrico depende
da qualidade do planejamento de vôo elaborado. Por isso, geralmente, o
planejamento de vôo é executado pelo engenheiro de maior experiência e o
15

Capítulo I

fator de maior importância está relacionado com o tipo de produto que
deverá ser gerado pelo processo fotogramétrico, cuja imposição geralmente
é feita pelo usuário.
Neste caso é necessário decidir a escala da fotografia e a precisão
dos produtos que serão derivados. Por exemplo, um usuário de cartografia
exigiu um produto cartográfico (otofotocarta, por exemplo) na escala
1:2000. Desta forma, poderão ser adquiridas fotografias na escala até
1:8000, tendo em vista que o fator de redução é de 4 vezes.
Como descrito anteriormente, uma missão fotogramétrica deve ser
cuidadosamente planejada e rigorosamente executada de acordo com o
plano de vôo. O plano de vôo consiste de um mapa de vôo (Figura 1.2) e as
devidas especificações, tais como, altura e altitude de vôo, autonomia e
velocidade da aeronave, tempo de exposição das fotografias etc.

FIGURA 1.2. Mapa de vôo.

16

Capítulo I

1.4.1 Sobreposição longitudinal e lateral

A cobertura fotogramétrica de uma área é realizada por meio de
fotografias verticais obtidas ao longo de diversas faixas ou linhas de vôo
com uma série de fotografias com sobreposição longitudinal (bloco
fotogramétrico). Cada fotografia possui uma sobreposição em relação à sua
sucessiva fotografia. A Figura 1.3 mostra a sobreposição longitudinal.

FIGURA 1.3. (a) Sobreposição longitudinal. (b) Faixa fotogramétrica.

(a)

(b)
17

Capítulo I

Usualmente, o recobrimento longitudinal entre duas fotografias é
entre 60% e 65% (Fig. 1.3a) para fotografias tomadas com câmara métricas
convencionais e de 80% para fotografias tomadas com câmara digitais de
pequeno formato. A razão para tais números se deve à rigidez geométrica
que deve ser estabelecida em função da distância focal e o tamanho do
quadro focal da câmara. Uma seqüência de fotografias tomadas na direção
de vôo forma uma faixa fotogramétrica (Fig. 1.3b). A sobreposição
longitudinal consiste em permitir uma cobertura do terreno de dois pontos
de vista diferentes, permitindo a produção de estereopares para a
observação e medição estereoscópica, construção de mosaicos (Fig. 1.3b,
ilustração à direita), e geração de apoio fotogramétrico derivados do
processo de fototriangulação de imagens.
A sobreposição lateral é requerida para prevenir falhas entre faixas
fotogramétricas consecutivas, como resultado da deriva, inclinações,
variação na altura de vôo da aeronave e na variação do terreno. No caso do
recobrimento lateral entre fotografias adjacentes (alocadas em faixas
fotogramétricas consecutivas, ver Fig. 1.4a) deve-se considerar um
recobrimento entre 30% e 40%. Uma vantagem do uso da sobreposição
lateral é eliminar a necessidade de uso das bordas extremas das
fotografias, cuja qualidade geométrica é influenciada pela distorção radial
da lente e pela característica da propriedade perspectiva da fotografia. A
Figura 1.4 mostra a sobreposição lateral entre as fotografias.

18

Capítulo I

FIGURA 1.4. (a) Sobreposição lateral. (b) Ilustração visual.

(a) (b)

A seguir será apresentada a teoria de escala vertical de uma
fotografia.

1.4.2 Escala vertical de uma fotografia

A escala é a razão de uma distância medida em um mapa e sua
correspondente no terreno. A escala de um mapa é geralmente expressa
como uma fração, com numerador e denominador na mesma unidade. Isto
mostra que uma escala não possui dimensão e quanto maior seu
denominador menor é a escala.
A Figura 1.5 ilustra uma seção transversal tomada por meio de uma
fotografia aérea vertical com a estação de exposição posicionada no Centro
Perspectiva da câmara (CP). A distância entre o Datum e a estação de
exposição é denominada altitude de vôo ( hV ) e a distância entre a

superfície física (S.F.) e a estação de exposição é denominada de altura de
vôo H V .

19

Capítulo I

FIGURA 1.5. (a) Escala de uma fotografia vertical. (b) GSD para aplicações
com câmaras digitais.

(a) (b)
Onde, o é o ponto principal da fotografia, m é o tamanho físico do pixel no
CCD, M é o tamanho do pixel no terreno também conhecido como GSD (em
inglês, Ground Sample Distance) e f é a distância focal da câmara.

O terreno se apresenta plano, porém possui uma altitude média da
região em relação ao Datum, representado por h . O ponto. A distância
entre CP e o plano da fotografia CPo é denominada distância focal da

câmara ( f ). A escala da fotografia ( E f ) é expressa pela razão das

ab
distâncias . Mas, pela semelhança de triângulos ∆CPab ∆CPAB tem-se
AB
que:

f
Ef = (1.37)
HA − h

A escala do produto final geralmente é especificada pelo contratante
(usuário) do projeto e o fotogrametrista deverá se encarregar em definir
uma escala da fotografia, cujo menor objeto de interesse para o projeto
20

Capítulo I

possa ser identificado no produto final compilado. Por isso, este fator é
variante de acordo com as especificações do projeto e depende da
experiência do Engenheiro responsável pela execução do projeto.
No caso de vôos executados com câmaras digitais o conceito
exposto acima deve ser reformulado. Por exemplo, o conceito de escala
não pode ser mais usado e o mesmo é substituído pelo conceito de GSD. O
GSD representa o tamanho real de um determinado pixel no terreno.
Quanto menor o valor do GSD melhor é a resolução espacial da imagem,
ou seja, melhor será a definição geométrica dos objetos presentes na cena.
Considerando a geometria apresentada na Figura 1.5b pela
semelhança de triângulos ∆CPab ∆CPAB tem-se a equação que determina
o valor do GSD, dado por:

mH v
M= (1.38)
f
Como pode ser percebido na Equação (1.38), o GSD (M) é função da
altura de vôo, da distância focal da câmara e do tamanho físico do pixel no
CCD.
Outro fator de importância consideração é o tipo de equipamento a
ser utilizado para a execução do projeto e que influencia na determinação
da escala da fotografia.

1.4.3 Escolha dos equipamentos

É de extrema importância a escolha dos equipamentos adequados
para realizar o recobrimento aéreo, bem como executar o produto final. Para
um recobrimento aéreo é necessário sugerir uma aeronave que tenha
velocidade de cruzeiro, capacidade de peso e estabilidade adequada.
21

Capítulo I

Dependendo do trabalho a ser realizado, até mesmo um ultra-leve (Figura
1.6b) ou um aeromodelo (Figura 1.6c) podem ser propostas. A Figura 1.6
mostra alguns exemplos de aeronaves a serem selecionados para um vôo
fotogramétrico.

FIGURA 1.6. (a) Cessna 210 bimotor. (b) Ultra-leve. (c) Aeromodelo.

(a) (b) (c)

No entanto, o que definirá o tipo de aeronave a ser utilizada é a
câmara a ser empregada para a aquisição das imagens. A câmara pode ser
métrica convencional (Fig. 1.7a), câmara digital de pequeno formato (de 6-15
MegaPixels, Fig. 1.7b), médio formato (em torno de 15-40 MegaPixels, Fig.
1.7c) ou grande formato (superior à 40 MegaPixels, Fig. 1.7d). A Figura 1.7
mostra os tipos de câmaras supracitados.

FIGURA 1.7. (a) Câmara métrica convencional. Câmaras digitais: (b) Sony
CyberShot. (c) Canon S5 Pro. (d) Intergraph DMC e Leica ADS40.

(a) (b) (c) (d)

22

Capítulo I

Quando uma câmara métrica convencional ou câmaras digitais de
grande formato são selecionadas para a execução do projeto fotogramétrico
não restam dúvidas que a melhor aeronave é a ilustrada na Figura 1.6a.

Definido os parâmetros mais críticos para o planejamento de vôo é
necessário estudar a região de recobrimento, calcular a fotobase e aerobase,
a distância entre as faixas, o número de faixas por fotografias, o número de
faixas fotogramétricas e o número total de fotografias para o recobrimento
aéreo.

1.4.3 Região de recobrimento

A variação de escala da fotografia ou entre fotografias, ou GSD é
causada pela variação da movimentação do terreno, pela variação da altura
de vôo, ou ambas as variações. Como exemplo, considere duas fotografias
adquiridas sobre um terreno com elevação média de 120 m em relação ao
Datum, com altitudes variando entre 50 e 180 m. Dada a distância focal da
câmara de 152 mm e uma altitude de vôo de 500 m, qual seria a escala
média da fotografia?

Solução:

Para uma altitude média de 50 m, tem-se:

0.152m
Ef = ∴ A escala da fotografia é 1:2960.
(500 − 50)m

Para uma altitude média de 180 m, tem-se:

0.152m
Ef = ∴ A escala da fotografia é 1:2105.
(500 − 180)m

23

Capítulo I

Sendo assim, a escala média da fotografia é 1:2500.

Como descrito anteriormente, a variação de escala da fotografia ou
entre fotografias é causada pela variação da movimentação do terreno, pela
variação da altura de vôo ou ambas as variações. No caso de variação de
escala causada por movimentação do terreno a Figura 1.8 mostra uma
situação onde a aeronave sobrevoa uma região com altura de vôo constante
e o terreno varia da esquerda para a direita, dois efeitos são visíveis, isto é: a
sobreposição longitudinal diminui conforme a movimentação do terreno
aumenta (Fig. 1.8a); e ocorre redução da área de recobrimento e da
sobreposição lateral, conforme a altitude do terreno aumenta (Fig. 1.8b).

FIGURA 1.8. Variação de escala devido à movimentação do terreno. (a)
redução da sobreposição longitudinal. (b) redução da área de recobrimento.

(a)

(b)

24

Capítulo I

A solução para os problemas apresentados é variar a altura de vôo da
aeronave ou a distância focal da câmara. Porém, estes fatores devem ser
considerados no momento da elaboração do planejamento de vôo, por isso, é
de extrema importância o estudo da área de recobrimento. Outro fator
importante que deve ser considerado é a precisão dos produtos que deverão
ser obtidos com o processo fotogramétrico, como por exemplo, as curvas de
nível, a ortofotocarta etc.

No momento da tomada das fotografias os componentes de rotação da
câmara nas direções em x (denominado de ω -“movimento de asa da
aeronave”-, Fig. 1.9a) e y (denominado de ϕ -“movimento de nariz da
aeronave”-, Fig. 1.9b) provocam inclinações na aeronave e por isso devem
ser considerados no planejamento de vôo. Quando a aeronave sofre o
movimento em ϕ a sobreposição longitudinal será afetada e quando ocorre o
movimento em ω a sobreposição lateral sofrerá distorções.

FIGURA 1.9. (a) Movimento em ω. (b) Movimento em ϕ.

(a) (b)

O movimento de deriva da aeronave (Fig. 1.10) é provocado pelas
fortes rajadas de vento e da impossibilidade do piloto de vôo manter a
aeronave em linha reta, provocando falhas no recobrimento fotogramétrico.

25

Capítulo I

FIGURA 1.10. Deriva (movimento em κ).

A deriva é o ângulo formado entre a direção de vôo e o alinhamento da
aeronave no momento de deriva. A seguir serão apresentadas as
formulações para os devidos cálculos da elaboração do plano de vôo.

1.4.4 Cálculo da altura de vôo

Ao fixar a sobreposição longitudinal e lateral pode ser calculada a
altura de vôo que será estabelecida para a tomada das fotografias. Para isto
é necessário considerar a precisão dos equipamentos que serão utilizados
para a compilação do produto final. Geralmente, quanto maior a precisão
requerida menor a altura de vôo, entretanto, maior será a quantidade de
fotografias a serem adquiridas para o recobrimento completo do terreno.
Portanto, desde que a acurácia vertical do produto é o fator limitante no
processo fotogramétrico, a altura de vôo é função do intervalo entre as curvas
de nível que devem ser geradas. A relação é expressa por um fator de
precisão denominado FatorC do equipamento fotogramétrico, a saber:

HV
FatorC = (1.39)
V
26

Capítulo I

Onde, V é o intervalo entre as curvas de nível.

1.4.5 Cálculo da Aerobase ( B ) e fotobase ( b )

A Aerobase e a fotobase são elementos a serem determinados para o
cálculo da distância entre cada estação de exposição da câmara. A Aerobase
é a distância entre cada estação de exposição medida no terreno (Fig. 1.11b)
e a fotobase é a distância entre dois centros fiduciais, medida na fotografia
(Fig. 1.11a).

FIGURA 1.11. (a) Fotobase. (b) Aerobase.

(a) (b)

Para calcular ambos os elementos faz-se:

b = (1 − SL ) * TFx (1.40)

Onde,

27

Capítulo I

SL : é a sobreposição longitudinal fixada para a elaboração do
planejamento de vôo; e

TFx : é a dimensão da fotografia no eixo x.

b f
= (1.41)
B HV

b
∴B = HV (1.42)
f

Determinada a aerobase deve ser calculado o intervalo de exposição
entre cada fotografia, como segue:

B
i_e = (1.43)
v

Onde,

i _ e : é o intervalo de exposição entre cada fotografia; e

v : velocidade de cruzeiro da aeronave.

1.4.6 Cálculo da distância entre faixas ( W )

Para o recobrimento completo de uma área a ser mapeada é
necessário estabelecer faixas fotogramétricas. O cálculo da distância entre as
faixas é necessário para posicionar a aeronave na execução do planejamento

28

Capítulo I

de vôo com a devida sobreposição lateral fixada no plano de vôo. A Figura
1.12 mostra um esquema da distância entre as faixas fotogramétricas.

FIGURA 1.12. Distância entre faixas fotogramétricas.

Para calcular a distância entre as faixas deve-se realizar os seguintes
cálculos, a saber:

w = (1 − Sa ) * TFy (1.44)

Onde,

Sa : é a sobreposição lateral fixada para a elaboração do planejamento de
vôo;

w : medida entre dois centro fiduciais em fotografias pertencentes à faixas
fotogramétricas adjacentes;

TFy : é a dimensão da fotografia no eixo y;

29

Capítulo I

w f
= (1.45)
W HV

w
∴W = HV (1.46)
f

1.4.7 Número de faixas fotogramétricas ( Nf ) e do número total de

fotografias ( Tf )

Para calcular o número de faixas fotogramétricas necessário para
recobrir completamente a região de interesse, basta considerar a largura do
terreno a ser mapeado ( Lr ) e a distância entre as faixas fotogramétricas,
calculada anteriormente.

Lr
Nf = (1.47)
W
Para calcular o número total de fotografias necessária para recobrir
completamente o terreno, basta considerar os seguintes elementos, a saber:

Cr
N= (1.48)
B
Onde,

N : é o número de fotografias por faixa fotogramétrica;

Cr : comprimento do terreno a ser mapeado;

Tf = N * Nf (1.49)

30

Capítulo I

Desta forma, são determinados os elementos mais importantes para
elaborar um plano de vôo adequado para o recobrimento aéreo. Após os
devidos cálculos, um fator importante a ser considerado é o planejamento do
apoio de campo a ser realizado para os processos de orientação
fotogramétrica (resseção espacial, fototriangulação entre outros).

Além do planejamento de vôo deve ser planejado também o apoio de
campo (levantamento geodésico de pontos de apoio para processos
fotogramétricos), estimativa de custo e tempo de execução do projeto, entre
outros.

1.4.8 Planejamento do apoio de campo

O planejamento do apoio de campo consiste em determinar pontos
tridimensionais sobre a superfície física por meio de métodos de
levantamento direto. Existem dois tipos de pontos de apoio, isto é: pontos
naturais; e pontos artificiais. Os pontos naturais são aqueles pontos
fotoidentificáveis cuja identificação está em cruzamentos de vias, cantos de
culturas e de edificações, entre outros (círculo branco, Figura 1.13a). Os
pontos de apoio artificiais são figuras geométricas implantadas na superfície
física (Figura 1.13b), de forma que os mesmos sejam fotoidentificáveis. Esses
pontos são implantados, geralmente, com diâmetros de 3 à 5 vezes o
tamanho de um pixel no terreno.

31

Capítulo I

FIGURA 1.13. Apoio de campo. (a) Pontos naturais. (b) Pontos artificiais.

(a)

(b)

A partir do apoio de campo se define o sistema referencial no espaço-
objeto a ser adotado no projeto fotogramétrico, assim como é fornecido
subsídios para os processos de orientação fotogramétrica.

Diversos produtos são obtidos a partir de um projeto fotogramétrico,
tais como: fotografias ou imagens digitais; foto índice; mosaicos; ortofotos;
ortofotocartas; mapas e cartas topográficas digitais ou vetoriais; base de
dados para SIG; Modelos Digitais de Terreno; mapas cadastrais etc.

32

Capítulo I

ANEXO A

DEFINIÇÕES ESTATÍSTICAS

33

Capítulo I

As definições e termos apresentados a seguir deverão ser entendidos
para discussões do MMQ.
As observações são valores observados diretamente (ou medidos)
que contém erros randômicos e, por isso, não fornecem solução única ao
problema.
O valor verdadeiro é o valor teoricamente exato de uma medida.
Entretanto, valores verdadeiros, nunca podem ser determinados. Não
importa o cuidado dispensado para medir uma observação, erros
randômicos sempre estarão presentes, devido a natureza probabilística das
observações.
O erro ou discrepância é a diferença entre qualquer quantidade de
medida e o valor adotado como verdadeiro ou de referência, para aquela
medida. Desde que o valor verdadeiro de uma quantidade de medida nunca
pode ser determinado (como descrito anteriormente), os erros também são
indeterminado; portanto, eles são quantidades estritamente teóricas. Os
erros devem ser estimados comparando-se medidas ou valores calculados
com aqueles obtidos por métodos independentes ou de melhor precisão.
Por exemplo, foi calculada uma distância (d1) por meio de técnica
fotogramétrica; para encontrar o erro determinado no cálculo da distância
basta calcular a diferença entre d1 e a mesma distância (d2) determinada
por técnica de levantamento topográfico ou geodésico de precisão.
A média de uma medida ( x ) corresponde a um valor que
representa uma quantidade de medida realizada diretamente ou
independentemente n vezes com observações de mesmo peso ou desvio
padrão. A média de uma medida por ser determinado por:

34

Capítulo I

x
x=∑ (A1)
n

Os resíduos são a diferença entre qualquer quantidade de medida e
o valor verdadeiro para aquela quantidade de medida. Os resíduos são
valores tratados no ajustamento de observações, desde que os erros são
indeterminados. Muitas vezes erros e resíduos são tratados como termos
similares, mas existe uma diferença teórica entre eles.
Graus de liberdade ou redundância ( gl ) representam o número de
observações redundantes, ou seja, observações que excedem o número
necessário para solucionar um problema pelo MMQ. Observações
redundantes revelam discrepâncias nos valores observados e tornam
possível a prática do MMQ para solução única e mais provável.
O peso é o valor relativo de uma observação comparada com
qualquer outra observação. No ajustamento de observação são atribuídos
pesos para as observações de acordo com a sua precisão do valor medido.
Isto é, uma observação medida com alta qualidade (precisão) deverá
apresentar um valor de peso maior que medidas de baixa qualidade de
observação. Caso seja utilizado o mesmo equipamento para realizar um
conjunto de medidas deverá ser atribuído o mesmo peso para todas as
observações.
Desvio padrão é uma quantidade usada para expressar a precisão
de um grupo de medidas. O desvio padrão também pode ser chamado de
erro médio quadrático, embora não seja totalmente adequado. Uma
expressão para calcular o desvio padrão de um conjunto de observações de
mesmo peso é a que segue:

35

Capítulo I

σ =± ∑v 2

n −1 (A2)

Considere a Tabela A1 dada abaixo. Os dez valores apresentados na
coluna (a) foram medidas por meio de técnicas fotogramétricas, onde cada
valor foi medido usando o mesmo instrumento. Sendo assim, é assumido o
mesmo peso para cada uma das medidas.

Tabela A1 – Valores medidos, resíduos e o quadrado dos resíduos
(FONTE: Wolf e Dewitt, 2000).
Valores medidos Resíduos (mm) Quadrado dos
(mm) resíduos (mm2)
105,27 -0,005 0,000025
105,26 -0,015 0,000225
105,29 0,015 0,000225
105,29 0,015 0,000225
105,30 0,025 0,000625
105,27 -0,005 0,000025
105,26 -0,015 0,00025
105,28 0,005 0,000025
105,28 0,005 0,000025
105,25 -0,025 0,000625

∑ = 1052,75 ∑ = 0,00 ∑ = 0,00225

Da tabela acima o desvio padrão é calculado como segue:

0,00225
σ =± = ±0,016mm
10 − 1

36

Capítulo I

Aqui serão apresentados alguns problemas algébricos simples para a
solução com aplicação do MMQ paramétrico para funções lineares e não
lineares.

Problema 1
Dado o modelo matemático da equação paramétrica da reta, a saber:

y = ax + b (A3)

Considere que 2 pontos de coordenadas cartesianas foram
observados n vezes, e para cada observação foram atribuídas variâncias de
diferentes qualidades. O método de estimação a ser considerado depende
exclusivamente de quatro requisitos básicos, a saber:
1º) Quem são as observações ou medidas e quais os parâmetros a
serem determinados?
2°) O modelo matemático ( F ) é explícito ou implícito?
3º) F é linear ou não linear?
4º) Existe deficiência de posto na matriz das equações normais ( N )?

Baseado nesta seqüência de indagações e o modelo matemático
apresentado na Equação (A1), vamos responder as questões levantadas
para melhor elucidação do leitor em relação ao processo a ser
desenvolvido.
Em primeiro lugar, as medidas observadas são as coordenadas x e y,
sendo x uma observação fixa ao longo da linha reta e y uma observação
variável. Os parâmetros a serem determinados são os coeficientes angular
(a) e linear (b) da linha reta.

37

Capítulo I

O modelo matemático ( F ) é explícito, pois as observações (y) estão
em função dos parâmetros (a e b), além de ser linear. Uma dica
importante para descobrir como determinar se F é linear ou não linear:
basta derivar o modelo matemático em função dos parâmetros e verificar se
na formação algébrica da matriz A está adicionado algum parâmetro. Caso
isto aconteça, F não é linear; caso contrário F é linear.
Como sabemos que a equação paramétrica da reta é linear e fornece
uma linha reta, outra dica interessante é analisar se F possui as mesmas
características que a equação paramétrica da reta.
Neste caso o método de ajustamento de observações a ser adotado
é o método paramétrico para funções lineares.
Ainda é necessário verificar se na matriz das equações normais N
existe deficiência de posto. A análise do problema é baseada na existência
ou inexistência da dependência linear entre as linhas da matriz N . Por
exemplo, ao montar o sistema de equações normais verifique se as
mesmas são linearmente dependentes, ou seja, existe uma linha que é
combinação linear das demais? Caso exista: esta linha na matriz Né
combinação linear de quantas outras linhas?
De acordo com a definição de dependência linear, a mesma não se
efetua em função das seguintes operações, a saber:
• Troca de linhas (ou colunas)entre si;
• Multiplicação de uma linha (ou coluna) por um fator
significativo;
• Adição a uma linha (ou coluna) de outra linha (ou coluna)
multiplicada por um fator significativo.

Na Fotogrametria, usualmente, a última operação é bastante usual,
através da prática da aplicação de injunções.
38

Capítulo I

Considerando que o modelo matemático é linear e 10 medidas foram
observadas (n) e 2 incógnitas (u) a serem determinadas, tem-se:

Lb1 = [ y1 , y 2 , y3 , y 4 , y5 , y 6 , y7 , y8 , y 9 , y10 ]
T
n

n L01 = 0
 1 
σ 2 
 y1 
 1 
n P = σ0
n
2
 σy
2 
 2

 ... 
 1 
 σ y10 
2
 
 ∂F 1 ∂F 1 
 ∂a ∂b 
 2   x1 1 
 ∂F ∂F 2  x2 1 
n Au =
 ∂a ∂a = 
... ...  ... ...
   x10 1 
 ∂F 10 ∂F 10   
 ∂a
 ∂b  

Basta agora calcular o vetor correção dos parâmetros X e ter-se-á
o vetor dos parâmetros ajustados, uma vez que X 0 = 0 , para modelos

funcionais lineares. Pode-se também calcular a MVC das observações e
dos parâmetros e analisar estatisticamente ambas as informações.

Problema 2
Dado o modelo matemático da equação normal da reta, a saber:

x cos(θ ) + ysen (θ ) − ρ = 0 (A4)

39

Capítulo I

Considere que 2 pontos de coordenadas cartesianas foram
observadas n vezes, e para cada observação foram atribuídas variâncias de
diferentes qualidades.
1º) Quem são as observações ou medidas e quais os parâmetros a
serem determinados?
2°) O modelo matemático ( F ) é explícito ou implícito?
3º) F é linear ou não linear?
4º) Existe deficiência de posto na matriz das equações normais ( N )?

Baseado na seqüência de indagações apresentadas acima tem-se
que: as medidas observadas são as coordenadas x e y; os parâmetros a
serem determinados são os coeficientes θ e ρ; o modelo matemático ( F ) é
implícito e não linear.
Neste caso o método de ajustamento de observações a ser adotado
é o método combinado com ou sem injunção. Considerando que o modelo
matemático não é linear, 10 medidas foram observadas (n) e existem 2
incógnitas (u) a serem determinadas, tem-se:

40

Capítulo I

[ ]T
X 0 = θ 0 , ρ 0 − > aproximado s
Lb1 = [x1 , y1 ; x2 , y 2 ; x3 , y 3 ; x4 , y 4 ; x5 , y5 ; x6 , y6 ; x7 , y 7 ;...; x10 , y10 ;]
T
n

n L01 = 0
 1 
σ 2 
 x1 
 1 
 σy
2 
2 
1

n P = σ0 
n
... 
 1 
 σ x10 
2

 
 1 
 σ y10 
2
 
 ∂F 1 ∂F 1 
 ∂θ ∂ρ 
 
 ∂F 2 ∂F 2 
 ∂θ ∂ρ 
n Au =
 
... ... 
 ∂F 10 ∂F 10 
 
 ∂θ
 ∂ρ  
 ∂F 1 ∂F 1 
 ∂x ∂y 
 
 ∂F 2 ∂F 2 
 ∂x ∂y 
n B2 =
 
... ... 
 ∂F 10 ∂F 10 
 
 ∂x
 ∂y  

Problema 3 - Prático
O seguinte exemplo é apresentado para ilustrar uma aplicação
prática do MMQ em fotogrametria (WOLF e DEWITT, 2000). O exemplo
também mostra o método de determinação dos coeficientes do polinômio
41

Capítulo I

da curva de distorção radial simétrica para uma câmara métrica
convencional.
Considere os dados de calibração de uma câmara métrica
convencional apresentados na Tabela A2. Calcule os coeficientes do
polinômio que modela a curva de distorção radial simétrica do sistema de
lentes.
Tabela A2 – Distância radial e distorções das lentes (FONTE: Wolf e
Dewitt, 2000).
Distância radial r Distorção radial das
(mm) lentes ∆r (mm)
20,170 0,004
41,051 0,007
63,460 0,007
88,454 0,001
107,276 -0,003
128,555 -0,004

Para a solução do problema proposto deve ser encontrado o modelo
matemático que melhor represente a realidade física. Neste caso, o modelo
polinomial da forma que segue é a função apropriada para a distorção radial
simétrica das lentes, a saber:

∆r = k1r + k 2 r 3 + k3 r 5 + k 4 r 7 (A5)

Na Equação (A5), existem quatro incógnitas, ou seja, k1 , k 2 , k3 , k 4

que descrevem os coeficientes de distorção das lentes. Então, no mínimo
quatro observações são necessárias para aplicar o MMQ.

42

Capítulo I

Do processo de calibração, as distorções são determinadas por seis
distâncias radiais (ver Tabela A2); sendo assim, seis equações podem ser
escritas, e os coeficientes podem ser determinados pelo MMQ.
Baseado nos dados de calibração, as seguintes equações de
observação devem ser escritas (note que a as distâncias radiais foram
convertidas para metros):
0,020170 0,020170 3 0,020170 5 0,020170 7 
 δ∆r obs1 δ∆r obs1   0,041051 0,0410513 0,0410515 0,0410517 

 ...  
 k1 k4  
0,063460 0,063460 3 0,063460 5 0,063460 7

6 A4 =  ... ... ...  =  3 
 δ∆r
obs 6
δ∆r obs 6  0,088454 0,088454 0,088454 5 0,088454 7 
...
 k k4   0,107276 0,107276 0,107276 7 
3
0,107276 5
 1   3


 0,128555 0,128555 0,1285555 0,1285557 
 0,004 
 0,007 
 
 0,007 
6 Lb1 =  
 0,001 
 − 0,003
 
− 0,004
 
P=I

−1
Resolvendo o sistema de equações X = ( A PA) A PLb tem-se:
T T

 k1   0,229581 
k   − 35,8926 
X =  2 =  
 k 3   1018,26 
   
k 4   12105,00 

43

Cap. I - Fotogrametria II

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (13)

Similar a Cap. I - Fotogrametria II

Similar a Cap. I - Fotogrametria II (20)

Cap. I - Fotogrametria II