Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang konsep-konsep dasar matriks, termasuk pengertian matriks, operasi matriks, jenis-jenis matriks khusus seperti matriks diagonal, matriks segitiga, dan matriks simetrik, serta sifat-sifat operasi pada jenis-jenis matriks tersebut.

1. Assalamua’alaikum Wr. Wb

2. MIPA MATEMATIKA IV
A
Oleh:
Dea Nindria Imansari
Media
pembelajara
n
matematika
Media
pembelajara
n
matematika

5. Materi pembelajaran
--- Matriks
--- Pengertian matriks
--- Operasi dan sifat matriks
--- Matriks persegi
--- Determinan dan invers matriks
--- Penerapan matriks pada sistem
persamaan linear

6. Kegiatan Pembelajaran
•Mencari data-data yang disajikan dalam bentuk baris dan kolom
•Menyimak sajian data dalam bentuk matriks
•Mengenal unsur-unsur matriks
•Mengenal pengertian ordo dan jenis matriks
•Melakukan operasi aljabar matriks
•Mengenal matriks invers melalui perkalian dua matriks persegi yang
menghasilkan matriks satuan
•Mendeskripsikan determinan suatu matriks
•Mengunakan algoritma untuk menentukan nilai determinan matriks
pada soal
•Menemukan rumus untuk mencari invers dari matriks 2 x 2
•Menyajikan masalah sistem persamaan linear dalam bentuk matriks
•Menentukan invers matriks koefisien pada persamaan matriks
•Menyelesaikan persamaan matriks dari sistem persamaaan matriks dari
sistem persamaan linear dua variabel

7. matriks bujur sangkar yang semua entri nondiagonal utamanya
nol disebut matriks diagonal
2 0 1 0 0 6 0 0 0
0 -5 0 1 0 0 -4 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 8

8. n x n dapat ditulis sebagai
d1 0 … 0
0 d2 … 0
⁞ ⁞ ⁞
0 0 … dn

9. Suatu matriks diagonal dapat dibalik jika
dan hanya jika semua entri
diagonalnya tidak nol, hal ini invers
dari matriks diagonal sebelumnya
1/d1 0 … 0
0 1/d2 … 0
⁞ ⁞ ⁞
0 0 … 1/dn

10. Pangkat matriks diagonal mudah dihitung; jika D
adalah matriks diagonal (1) dan k adalah suatu bilangan
bulat positif, maka
d1
k
0 … 0
0 d2
k
… 0
⁞ ⁞ ⁞
0 0 … dn
k

11. Hasil kali matriks yang melibatkan
faktor-faktor matriks diagonal
sangatlah mudah
d1 0 0 a11 a12 a13 a14
0 d2 0 a21 a22 a23 a23
0 0 d3 a31 a32 a33 a34
d1a11 d1a12 d1a13 d1a14
d2a21 d2a22 d2a23 d2a24
d3a31 d3a32 d3a33 d3a34

12. d1 0 0
0 d2 0
0 0 d3
d1a11 d2a12 d3a13
d1a21 d2a22 d3a23
d1a31 d2a32 d3a33
d1a41 d2a42 d3a43
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a41 a42 a43

13. Matriks-matriks segitiga
a11 a12 a13 a14
0 a22 a23 a24
0 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
a21 a22 0 0
a31 a32 a32 0
Sebuah matriks
segitiga atas
umum
4 x 4
Sebuah matriks
segitiga bawah umum
4 x 4
Matriks bujur sangkar yang semua entri dibawah diagonal
utamanya nol disebut matriks segitiga atas.
Matriks bujur sangkar yang semua entri di atas
diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga
bawah.

14. CONTOH
2 1 4 3
0 1 5 5
0 0 7
8
0 0 0 9
2 1 4 3
0 1 5 5
0 0 7
8
0 0 0 9
Matriks segitiga atas
Matriks segitiga atas
2 0 0 0
1 3 0 0
7 0 0 0
1 5 5 9
2 0 0 0
1 3 0 0
7 0 0 0
1 5 5 9

15. sifat – sifat matriks segitiga
1. Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] adalah
segitiga atas jika dan hanya jika baris ke-i dimulai
dengan paling tidak i - 1 nol
2. Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] adalah
segitiga bawah jika dan hanya jika kolom ke-j
dimulai dengan paling tidak j - 1 nol
3. Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] adalah
segitiga atas jika dan hanya jika aij = 0 untuk i > j
4. Suatu matriks bujur sangkar A=[aij] adalah
segitiga bawah jika dan hanya jika aij = 0 untuk i <
j

16. Teorema 1.7.1
•Transpos suatu matriks segitiga bawah adalah segitiga
atas, dan transpose suatu matriks segitiga atas adalah
segitiga bawah
•Hasil kali matriks-matriks segitiga bawah adalah segitiga
bawah, dan hasil kali matriks-matriks segitiga atas adalah
segitiga atas
•Suatu matriks segitiga dapat dibalik jika anggota-anggota
diagonalnya semua tidak nol
•Invers suatu matriks segitiga bawah yang dapat dibalik
adalah segitiga bawah, dan invers suatu matriks segitiga
atas yang dapat dibalik adalah segitiga atas

17. Matriks matriks simetrikMatriks matriks simetrik
Suatu matriks bujur sangkar A disebut simetris jika A=AT
Cara memeriksa Matriks simetrik adalah entri-entri di diagonal
utama boleh sembarang, tetapi entri-entri yang “bercerminan”
terhadap diagonal utama harus sama
(gambar 1)
1 4 5
4 -3 0
5 0 7

18. 7 -3
-3 5
1 4 5
-4 3 0
5 0 7
d1 0 0 0
0 d2 0 0
0 0 d3 0
0 0 0 d4

19. TEOREMA 1.7.2
jika A dan B adalah matriks-matriks simetrik
dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah
sembarang scalar, maka:
• AT
adalah simetrik
•A+B dan A-B adalah simetrik
•kA adalah simetrik

20. A = 1 4 5
4 -3 0
5 0 7
AT
= 1 4 5
4 -3 0
5 0 7
TERBUKTI

21. A+B DAN A-B ADALAH
SIMETRIK
A+B
A = + B = =
A-B
A = - B = =
1 4 5
4 -3 0
5 0 7
1 4 5
4 -3 0
5 0 7
2 7 4
7 1 0
4 0 3
2 7 4
7 1 0
4 0 3
3 11 9
11 -2 0
9 0 10
3 11 9
11 -2 0
9 0 10
1 4 5
4 -3 0
5 0 7
1 4 5
4 -3 0
5 0 7
2 7 4
7 1 0
4 0 3
2 7 4
7 1 0
4 0 3
-1 -3 1
-3 -2 0
1 0 4
-1 -3 1
-3 -2 0
1 0 4
TERBUKTI

22. Misalkan k = 3
k.A
= 3 . 1 4 5 3 12 15
4 -3 0 = 12 -9 0
5 0 7 15 0 21
TRANSPOS 3 12 15
12 -9 0
15 0 21
TERBUKTI

23. Anggap A adalah simetrik dan dapat
dibalik. Dari teorema 1.4.10 dan fakta
bahwa A= A-1
kita dapatkan
(A-1
)T
= (AT
)-1
= A-1
yang membuktikan bahwa A-1
adalah
simetrik.
Anggap A adalah simetrik dan dapat
dibalik. Dari teorema 1.4.10 dan fakta
bahwa A= A-1
kita dapatkan
(A-1
)T
= (AT
)-1
= A-1
yang membuktikan bahwa A-1
adalah
simetrik.
Teorema 1.7.3.
jika A adalah suatu matriks simetrik yang dapat dibalik, maka
A-1
adalah simetrik
Teorema 1.7.3.
jika A adalah suatu matriks simetrik yang dapat dibalik, maka
A-1
adalah simetrik

24. Matriks-matriks berbentuk AAT
dan AT
A
Hasil kali matriks berbentuk AAT
dan
AT
A muncul dalam berbagai penerapan.
Jika A adalah suatu matriks m x n, maka
AT
adalah suatu matriks n x m sehingga
hasil kali AAT
dan AT
A keduanya
adalah matriks-matriks bujur sangkar,
matriks A AT
mempunyai ukuran m x m
dan matriks AT
A mempunyai ukuran n x
n. Hasil kali ini selalu simetrik karena
(AAT
)T
=(AT
)T
AT
=AAT
dan (AT
A)T
= AT
(AT
)T
= AT
A

25. TEOREMA 1.7.4
JIKA A ADALAH MATRIKS YANG
DAPAT DIBALIK, MAKA AAT
DAN
AT
A JUGA DAPAT DIBALIK

26. contohAnggap A adalah matriks 2 x 3
A = 1 -2 4 AT
= 1 3
3 0 -5 -2 0
4 -5
Maka AT
A = 1 3 1 -2 4 10 -2 11
-2 0 3 0 -5 = -2 4 -8
4 5 -11 -8 41
AAT
= 1 -2 4 1 3
3 0 - 5 -2 0 = 21 -17
4 5 -17 34

27. Thanks for
attentions 
danke
schon 
Wassalamu’alaikum Wr.Wb