Introduction à la Logique Formelle (Part 1)

Polytechnique Maroua, SEC/DSC/RTE/GLO 336
Première Partie: Introduction à la Logique
Pr. Kaladzavi G./M. Awé Samalna Dénis
LaRI, ENSPM/INFOTEL
Mars 2023

Agenda
1 INTRODUCTION
2 LOGIQUE PROPOSITIONNELLE
3 LOGIQUE DES PRÉDICATS
4 PROLOG
5 INTRO A LA LOGIQUE NON-CLASSIQUE
Pr. Kaladzavi G./M. Awé Samalna Dénis (ENSPM)
Première Partie: Introduction à la Logique Mars 2023 2 / 103

INTRODUCTION
Le but de la logique
Caractériser les raisonnements valides

INTRODUCTION
Champ d’applications de la logique :
a. Vie quotidienne : Analyse de l’argumentation (discours politiques)
b. Informatique
Programmation : Preuve de (correction des) programmes;
Programmation en logique (PROLOG)
Réseaux : Preuve des propriétés du réseau (absence de blocage)
Intelligence artificielle : Robotique (génération de plans) ; diagnostique
de pannes ; dialogue homme-machine ; analyse de documents (résumé
automatique)
Bases de données déductives (qui sont une généralisation des bases de
données relationnelles) et web sémantique

INTRODUCTION
Exemples de raisonnements
SI il pleut ALORS la route est mouillée.
OR il pleut.
DONC la route est mouillée.
SI il neige ALORS il fait froid.
OR Il ne fait pas froid.
DONC il ne neige pas.

INTRODUCTION
Relation avec le langage naturel
Lorsqu’on étudie le langage naturel,
ce qu’on appelle langage en logique est appelé lexique,
et ce qu’on appelle axiomatique en logique est appelé syntaxe.
Les niveaux de syntaxe et de sémantique ne peuvent alors être identifiés.
Chaque niveau permet d’éliminer plus de phrases comme étant incorrectes.
Il existe un autre niveau au-delà de la sémantique, appelée la
pragmatique. Il s’agit ici d’étudier l’utilisation du raisonnement en tenant
compte du contexte d’énonciation et des conventions de communication.

INTRODUCTION
Relation avec le langage naturel(fin)
Exemples
”Il avait le nez collé à un mur haut, large et épais ...
... il avança à un cha”: lexicalement incorrect;
... il avança à un chat”: lexicalement correct, mais
syntaxiquement incorrect;
... il avança d’un chat”: syntaxiquement correct, mais
sémantiquement incorrect;
... il avança d’un pas”: sémantiquement correct, mais
pragmatiquement incorrect (incorrect dans le contexte de la phrase
précédente, c-à-d. étant donné que la personne est devant un mur)
... il recula d’un pas”: pragmatiquement correct.

LOGIQUE PROPOSITIONNELLE
LANGAGE . Alphabet
Définition (alphabet)
L’alphabet de la logique propositionnelle est constitué de
un ensemble dénombrable ATM de variables propositionnelles (ou
formules atomiques, ou encore atomes)
les connecteurs FALSE, ˜ , ∧, ∨, − >
les séparateurs (ou parenthèses) ( et )
Notation. Nous utiliserons p, q, r, p1, p2 ,. . . pour des variables
propositionnelles.

LANGAGE . Formule
Définition (formule)
L’ensemble FOR des formules (ou formules bien formées) de la logique
propositionnelle est le plus petit ensemble de mots construits sur
l’alphabet tel que
si A est une formule atomique alors A est une formule
FALSE est une formule
(˜ A) est une formule si A est une formule
(A ∧ B) est une formule si A et B sont des formules
(A∨B) est une formule si A et B sont des formules
(A − > B) est une formule si A et B sont des formules

LANGAGE . Exemples de formules
EXEMPLES DE FORMULES
Formules bien formés Non-formulés
p p ∧
(˜ p) p ˜ q
FALSE ∧ p
p ∧ q (∧)
(˜(p ∧ q) ∨ r) (p
(p − > (r ∨ q)) (q − > (r ∨ q)
N.B: Remarquer l’importance du parenthésage dans les deux derniers
exemples

Notation
Nous utilisons A, B, C , A1, A2, . . . pour des formules (strictement
parlant, A, B, . . . sont des Meta variables, car ils ne font pas partie de
l’alphabet de la logique).
S, S1, S2, . . . dénotent des ensembles de formules.

Remarque
Notre jeu de connecteurs primitifs consiste en FALSE, ˜, ∧, ∨, − >.
D’autres connecteurs peuvent être définis en tant que abréviations:
TRUE abrévié (˜ FALSE) et
l’équivalence (A < − > B) abrévié ((A − > B)∧(B − > A)).
Parfois on choisit − >, FALSE comme jeu de connecteurs primitifs, et on
définit

˜ A comme A − > FALSE
A ∨ B comme (A − > FALSE) − > B, et
A∧B comme (A -> (B− > FALSE)) − > FALSE
Il est aussi possible de déclarer ˜, ∧, ∨ primitifs, et de définir
FALSE comme p ∧ ˜ p, pour un atome p quelconque, et
A − > B comme ˜ A ∨ B.

LANGAGE . sous-formule
Définition (sous-formule)
L’ensemble des sous-formules d’une formule A est le plus petit ensemble
tel que
A est une sous-formule de A.
Si (˜ B) est une sous-formule de A alors B est une sous-formule de A.
Si (B∧C) est une sous-formule de A alors B et C sont des
sous-formules de A.
Si (B∨C) est une sous-formule de A alors B et C sont des
sous-formules de A.
Si (B − > C) est une sous-formule de A alors B et C sont des
sous-formules de A.

LANGAGE . substitution uniforme
Définition (substitution uniforme)
Une substitution (ou substitution uniforme) associe à une variable
propositionnelle p une formule A. Elle est notée [p∖A]. L’application de
[p∖A] à une formule B, notée (B)[p∖A], est le résultat du remplacement
simultané de toutes les occurrences de p dans B par A. (A)[p∖B] est
appelé une instance de A.

LANGAGE . substitution uniforme . Exemples
Exemples de substitutions
(p ∨ q)[p∖r] = r∨q
(p − > q)[q∖p] = p − > p
(p − > q)[r∖s] = p − > q
((p ∨q) ∧ p)[p∖˜ p] = (˜ p ∨ q) ∧ ˜ p
((p ∨ q) ∧˜ p)[p∖(r ∧s)] = ((r ∧s) ∨q) ∧ ˜ (r ∧ s)
(p − > r)[p∖(q − > s)] = (q − > s) − > r

Théorie des modèles -Introduction
En théorie des modèles, on fixe d’abord un ensemble de modèles (aussi
appelés valuations ou interprétations).
Ensuite, pour un modèle donné, on stipule des conditions de vérité
permettant d’établir pour n’importe quelle formule A du langage si A est
vraie ou fausse dans ce modèle.
En logique propositionnelle, les notions de modèle et de vérité dans un
modèle sont déterminés par les deux postulats suivants :
1 Bivalence: une formule est soit vraie, soit fausse;
2 Vérifonctionnalité: la valeur de vérité d’une formule non-atomique
est déterminé par les valeurs de ses constituants.

Théorie des modèles - Définition
Interprétation
Une interprétation I (ou valuation) est une application de l’ensemble des
variables propositionnelles ATM dans l’ensemble des valeurs de vérité
{0,1}.

Interprétation des formules
Une interpretation donnée I peut être étendue à l’ensemble des formules
FOR par :
I(FALSE) = 0
I(˜A) = 1 - I(A)
I(A ∧ B) = min(I(A),I(B))
I(A ∨ B) = max(I(A),I(B))
I(A − > B) = 1 ssi I(A) = 0 ou I(B) = 1
I est un modèle pour A (ou I satisfait A) ssi I(A) = 1.
I(A) = 1 est parfois noté | =I A.
I est un modèle pour un ensemble de formules S ssi I est un modèle pour
toute formule A de S.

Exemples d’Interprétations
Soit ATM = {p1, p2, ...}. Alors l’application I telle que
I(p1) = 1, I(p2) = I(p3) = ... = 0 est une interpretation.
L’interprétation étendue correspondante est un modèle
pour p1 ∨ p2 et (p1 ∧ p2) − > (p1 ∧ p1),
mais non pour p1 ∧ (p2 ∨ ˜p1) :
I(p1 ∨ p2) = 1
I((p1 ∧ p2) − > (p1 ∧ p1)) = 1
I(p1 ∧ (p2 ∨ ˜p1)) = 0

validité, satisfiabilité
Soit A une formule.
A est valide (ou tautologique; noté |= A)
si I(A) = 1 pour toute interpretation I.
Sinon A est invalide ou falsifiable.
A est satisfiable ssi il existe une interpretation I telle que I(A) = 1.
Sinon A est insatisfiable ou contradictoire.

Théorie des modèles - Exemples de formules valides et satisfiables
Formules valides Formules satisfiables et invalides Formules insatisfiables
p∨˜p p p∧˜p
p ∨˜p∨p p∨q FALSE
q − >q p− >q p∧˜p∧q
(p∧q)− >(q∧p) q− >(q∧p) (p∨q)∧˜p∧˜q
FALSE− >q p∨q

Théorie des modèles - Conséquences logiques
Une formule A est conséquence logique de A1, A2, . . . , An ssi tout
modèle de
A1, A2, . . . , An est un modèle de A.
Notation: A1, A2, . . . , An | = A.
Exemples de conséquences logiques
{p} | = p
{p,q} | = p
{p,q} | = q & p
{p− >q} | = q

Théorie des modèles - Conséquences logiques
Théorème de la conséquence logique
A | = B ssi | = A − > B.
DEMONSTRATION
A | = B est le cas ssi tout modèle de A est aussi un modèle de B,
i.e. I(A)=1 ⇒ I(B)=1 pour toute interprétation I.
Ce qui est équivalent à I(A − > B) = 1 pour tout I,
i.e. à la validité de A − > B.

Théorie de la preuve - Objectifs
Les Objectifs de la théorie de la preuve reposent sur
- une caractérisation finie des formules valides,
- en se basant sur :
1 les axiomes: un ensemble de vérités premières,
2 et les règles d’inférence: un ensemble de règles permettant de
produire toutes les vérités.

Théorie de la preuve - Axiomatique à la Hilbert
Les schémas d’axiomes de la logique propositionnelle
A− >(B− >A)
(A− >B)− >((A− >(B− >C))− >(A− >C))
A− >(B− >A∧B)
(A∧B)− >A
(A∧B)− >B
A− >A ∨B
B− >A∨B
(A− >C)− >((B− >C)− >(A∨B − >C))
(A− >B)− >((A− >˜B)− >˜A)
˜˜A− >A
˜FALSE

Théorie de la preuve - Axiomatique à la Hilbert
Règle d’inférence
A A − > B
B
La règle d’inférence correspond au modus ponens
A et A − > B sont appelées prémisses
B est appelée conclusion de la règle
Nota Bene. Dans les schémas d’axiomes, A, B, C sont des schémas de
formules. L’instance d’un schéma est appelée axiome.

Théorie de la preuve
Définition d’une Preuve
Soit A une formule.
Une preuve de A est une liste finie de formules (A1, A2, . . . , An) telle que
1 An = A
2 pour i = 1, . . . , n
la formule Ai est soit
l’instance d’un axiome,
obtenue par application d’une règle d’inférence à des prémisses
précédant Ai dans la liste.

Théorie de la preuve - Exemple de preuve
Exemple
Preuve de A− >A

Théorie de la preuve - Exemple de preuve (suite)
Résolution
1 A− >(A− >A)
instance de A− >(B− >A)
2 (A− >(A− >A))− >((A− >((A− >A)− >A))− >(A− >A))
instance de (A− >B)− >((A− >(B− >C))− >(A− >C))
3 ((A− >((A− >A)− >A))− >(A− >A))
obtenue par Modus Ponens à partir de 1. et 2.
4 A− >((A− >A)− >A)
instance de A− >(B− >A)
5 A− >A
obtenue par Modus Ponens à partir de 3. et 4.

Théorie de la preuve - Définition prouvabilité, consistance
prouvabilité, consistance
Soit A une formule.
A est prouvable (noté |− A) si il existe une preuve de A.
A est consistante si ˜A n’est pas prouvable. Sinon A est inconsistante.

Théorie de la preuve - Formules prouvables, consistantes
Légende
FP = formules prouvables
FCNP = formules consistantes et non prouvables
FI = formules inconsistantes
FP FCNP FI
p ∨ ˜p p p ∧ ˜p
p ∨ ˜p ∨ q p ∨ q FALSE
q − > q p − > q p ∧ ˜p ∧ q
(p ∧ q) -> (q ∧ p) q − > (q ∧ p) (p ∨ q) ∧ ˜p ∧ ˜q
(p∧q)− >p (p∨q)− >p (p∧p)− >q

Théorie de la preuve - déduction
déduction
Une déduction d’une formule A à partir d’hypothèses B1,. . . ,Bm (noté
B1,. . . ,Bm |− A) est une liste finie de formules (A1, . . . , An) telle que
An = A
pour i = 1,. . . ,n
la formule Ai est soit
1 un axiome
2 égal à une des hypothèses Bj
3 obtenue par application d’une règle d’inférence à des prémisses
précédant Ai dans la liste.

Théorie de la preuve - déduction
Exemples de déductions
p |− p
p, q |− p
p, q |− q
p, q |− q ∧ p
p, p − > q |− q
Corollaire. Donc une preuve est une déduction à partir d’un ensemble
vide d’hypothèses.
Nota Bene. Les axiomes sont appelées axiomes logiques, et les
hypothèses axiomes non-logiques.

Forme normale conjonctive
Mise en forme normale = simplification de formules complexes souvent
étape préalable des procédures de démonstration automatique.

Forme normale conjonctive - définitions
LITTERAL, CLAUSE, FORME NORMALE CONJONCTIVE (FNC)
Un littéral est une formule atomique ou la négation d’une formule
atomique.
Une clause est une disjonction de littéraux.
Une formule est en forme normale conjonctive si elle est une conjonction
de clauses.

Forme normale conjonctive - Exemples
En FNC Pas En FNC
p∨˜q FALSE
˜p∧q p − > q
˜p∧p ˜˜p
(˜p∨q)∧r ˜(p∧q)
(˜p∨q)∧(r∨˜s) (˜(p∧q)∨r)
Notation. Par convention, une disjonction de 0 littéraux est FALSE (la
clause vide), et une conjonction de 0 clauses est TRUE.

Forme normale conjonctive - Algorithme
Algorithme de mise en forme normale conjonctive
entrée: une formule A
sortie: une formule en forme normale conjonctive
debut
éliminer − > , < − >, FALSE
Appliquer autant que possible les équivalences suivantes (en remplaçant le
membre gauche par le membre droit), dans n’importe quel ordre :
˜Ã < − > A
˜(A∨B) < − > Ã∧˜B
˜(A∧B) < − > Ã∨˜B
A∨(B∧C) < − > (A∨B)∧(A∨C)
fin

Forme normale conjonctive - Mise en forme
DES SITUATIONS D’INTEGRATION
1 (p ∧ q) ∨ (r ∧ s)
2 ((p − > q) − > p) − > p

SITUATION D’INTEGRATION 1: Corrigé
(p ∧ q) ∨ (r ∧ s) = ((p ∧ q) ∨ r) ∧ ((p ∧ q) ∨ s)
= ( p ∨ r) ∧ ( q ∨ r) ∧ ((p ∧ q) ∨ s)
= ( p ∨ r) ∧ ( q ∨ r) ∧ ( p ∨ s) ∧ ( q ∨ s)

Remarquer la croissance de la longueur de la formule qui resulte de
l’application de la loi de De Morgan
(p − > q) − > p = ˜(˜p ∨ q) ∨ p
= (˜˜p ∧˜q) ∨ p
= ( p ∧ ˜q) ∨ p
= (p ∨ p) ∧ (˜q ∨ p)

SITUATION D’INTEGRATION 2 (Suite et fin): Corrigé
((p − > q) − > p) − > p = ˜(˜(˜p ∨ q) ∨ p ) ∨ p
= ˜((˜˜p ∧˜q) ∨ p ) ∨ p
= ˜((p ∧˜q) ∨ p ) ∨ p
= (˜(p ∧˜q) ∧˜p) ∨ p
= ((˜p ∨ ˜˜q) ∧˜p) ∨ p
= ((˜p ∨ q) ∧˜p) ∨ p
= ( ˜p ∨ q ∨ p) ∧(˜p ∨ p)

Forme normale conjonctive - Des Théorèmes
Théorème
Pour toute entrée A,
l’algorithme de mise en forme normale conjonctive
s’arrête.
Il retourne une formule en forme normale conjonctive
équivalente à l’entrée.

Forme normale conjonctive - Des Théorèmes
Théorème
Une formule en forme normale conjonctive est valide
ssi toute clause contient deux littéraux contradictoires, i.e.
chaque clause est de la forme
L1 ∨ . . . ∨ p ∨ . . . ∨ ˜p ∨ . . . ∨ Ln.

Les propriétés
Propriétés d’adéquation et de complétude
1 Lemme - La règle de modus ponens préserve la
validité.
Si | = A et | = A − > B alors | = B
2 Lemme - La substitution uniforme préseve la
validité.
Soient A et B des formules et p un atome.
Si | = A alors | = A[pB].

Théorèmes
1 d’Adéquation
Si |− A alors | = A
2 De complétude
Si | = A alors |− A

La méthode de balayage - résolution non-clausale
Algorithme de Balayage
entrée : une formule A
sortie: TRUE ou FALSE
debut
éliminer − > , < − >;
tantque non(A = TRUE) et non(A = FALSE) faire
Choisir une variable propositionnelle p apparaı̂ssant dans A;
Remplacer A par la formule A[pTRUE] ∧ A[pFALSE] ;
Appliquer autant que possible les équivalences suivantes (en remplaçant le
membre gauche par le membre droit), dans n’importe quel ordre :
˜FALSE < − > TRUE
˜TRUE < − > FALSE
B ∨ TRUE < − > TRUE
B ∧ FALSE < − > FALSE
B ∧ TRUE < − > B
B ∨ FALSE < − > B

DES SITUATIONS D’INTEGRATION
1 (p − > q) − > p
2 (q − > q) − > p

1. élimination de − > ˜(˜p ∨ q) ∨ p
2. Choix de p et substitution (˜(˜TRUE ∨ q) ∨ TRUE) ∧ (˜(˜FALSE ∨ q) ∨
3. Simplification TRUE ∧ ˜(˜FALSE ∨ q)
˜(˜FALSE ∨ q)
˜(TRUE ∨ q)
˜TRUE
FALSE

1. élimination de − > ˜(˜p ∨ q) ∨ p
2. Choix de q > et substitution (˜(˜p ∨ TRUE) ∨ p) &(˜(˜p ∨ FALSE) ∨ p)
3. Simplification (˜ TRUE ∨ p) ∧ (˜˜p ∨ p)
(FALSE ∨ p) ∧ (˜˜p ∨ p)
p ∧ (˜˜p ∨ p)
4. Choix de p et substitution (TRUE ∧ (˜˜TRUE ∨ TRUE)) ∧ (FALSE ∧ (˜˜FALSE ∨ FALSE))
5. Simplification (˜˜TRUE ∨ TRUE) ∧ FALSE

LOGIQUE DES PRÉDICATS
LOGIQUE DES PREDICATS - Langage
Définition
L’alphabet de la logique des prédicats est constitué de:
un ensemble dénombrable de symboles de prédicats à 0, 1, ou
plusieurs arguments, notés p, q, r, . . . , homme, mortel, père, . . .
un ensemble dénombrable de variables d’objets (ou variables
d’individu), notées x, y, z, x1, x2, . . .
un ensemble dénombrable de fonctions à 0, 1, ou plusieurs arguments,
notées f, g, . . . , père-de, . . .
les quantificateurs ∀, ∃
les connecteurs FALSE, ˜, ∧, ∨, − > ainsi que les parenthèses de la
logique propositionnelle

LOGIQUE DES PRÉDICATS - Terme
Définition
L’ensemble des termes est le plus petit ensemble de mots construits sur
l’alphabet de la logique des prédicats tel que
toute variable est un terme
f (t1, . . . , tn) est un terme si f est une fonction à n
arguments et t1, . . . , tn sont des termes

LOGIQUE DES PRÉDICATS - formule
Définition
Si p est un prédicat à n arguments et t1, . . . , tn sont des termes alors
p( t1, . . . , tn) est une formule atomique.
L’ensemble FOR des formules (ou formules bien formées) de la logique des
prédicats est alors défini de la même manière qu’en logique
propositionnelle, en rajoutant une clause pour les quantificateurs :
(Q x A) est une formule si Q est un quantificateur, x une variable
et A une formule
Nota Bene: Une expression est un terme ou une formule.

LOGIQUE DES PRÉDICATS - formule
Définition
L’ensemble FOR des formules (ou formules bien formées) de la logique des
prédicats est le plus petit ensemble de mots construits sur l’alphabet tel
que
si p est un prédicat à n arguments et t1, . . . , tn sont des termes alors
p(t1, . . . , tn) est une formule (aussi appelé formule atomique)
(Q x A) est une formule si A est une formule, Q un quantificateur et
x une variable
FALSE est une formule
(˜A) est une formule si A est une formule
(A∧B), (A∨B), (A − > B) sont des formules si A et B sont des
formules

LOGIQUE DES PRÉDICATS - exemples de traduction d’énoncés en formules
Des énoncés
1 Tout est relatif.
2 Une porte est ouverte ou fermée.
3 Une porte est ou bien ouverte ou bien fermée.
4 Tout ce qui brille n’est pas or.
5 Il y a des peines, il y a des plaisirs, mais aucune peine n’est un plaisir.
6 Tous les chemins mènent à Rome.
7 Pour tout entier, il existe un entier plus grand.
8 Il existe un plus grand entier.

LOGIQUE DES PRÉDICATS - exemples de traduction d’énoncés en formules
Des Traductions en formules
1 ∀x relatif (x)
2 ∀x (porte(x) − > (ouvert(x) ∨ fermé(x)))
3 ∀x (porte(x)− >((ouvert(x) ∨ fermé(x)) ∧ ˜(ouvert(x) ∧ fermé(x)))
4 ∃x (brille(x) ∧ ˜or(x))
5 (∃x peine(x)) ∧ (∃x plaisir(x)) & ∀x (peine(x) − > ˜plaisir(x))
6 ∀x (chemin(x) − > mène-à(x,Rome))
7 ∀x (entier(x) − > ∃y (entier(y) ∧ plus-grand(y,x)))
8 ∃x (entier(x) ∧ ∀y (entier(y) − > plus-grand(x,y)))

LOGIQUE DES PRÉDICATS - Portée d’un quantificateur, variable libre
Définition
Dans les formules ∀x A et ∃x A,
la formule A est appelé la portée du quantificateur.
Une occurrence d’une variable est libre si elle n’est dans la portée
d’aucun quantificateur. Sinon elle est liée.
Exemples de variables libres et liées
Dans ∀y ((p(x) ∨ ∃x p(x)) ∧ q(y))
la première occurrence de x est libre,
tandis que la deuxième occurrence est liée (muette).
L’occurrence de y est liée (ou muette).
L’arité d’une fonction est le nombre d’argument de la fonction.

LOGIQUE DES PRÉDICATS - formule fermée, formule ouverte
Définition
Une formule est fermée (ou close) si elle ne contient pas de variables
libres. Sinon elle est ouverte.
Exemples
La formule A = ∀y ((p(x) ∨ ∃x p(x)) ∧ q(y)) est ouverte, car il y a une
occurrence de variable libre.
La formule ∀x ∀y ((p(x) ∨ ∃x p(x)) ∧ q(y)) est fermée (c’est la fermeture
universelle de A).
La formule ∃x ∀y ((p(x) ∨ ∃x p(x)) ∧ q(y)) est
également fermée (c’est la fermeture existentielle de A).

LOGIQUE DES PRÉDICATS - substitution de variables
Définition
Une substitution de variables est une application des variables dans les
termes qui est l’identité presque partout.
L’application d’une substitution à une expression E est le résultat du
remplacement simultanée de toutes les occurrences libres des variables
dans E par leur terme associé.
Si E est une expression alors (E)s est appelé une instance de E.
La composition de substitutions est la composition de fonctions.
Notation
Soit x1 ,. . . , xn l’ensemble des variables tel que s(x) est différent de
x. La substitution s est alors notée s = {x1 t1,. . . , xn tn}.

LOGIQUE DES PRÉDICATS - substitution de variables
Exemples de substitutions
(p(x) ∨ q(x,y)){xz} = p(z) ∨ q(z,y)
(p(x) ∨ q(x,y)){xy} = p(y) ∨ q(y,y)
(∀x q(x,y)){xz} = ∀x q(x,y)
(p(x) ∨ q(x,y)){xz,yz} = p(z) ∨ q(z,z)
(p(x) ∨ q(x,y)){xf(x)} = p(f(x)) ∨ q(f(x),y)
(p(x) ∨ q(x,y)){xy,ya} = p(y) ∨ q(y,a)
(p(x) ∨ q(x,y)){xy,yx} = p(y) ∨ q(y,x)

LOGIQUE DES PRÉDICATS - Théorie des modèles
On fixe d’abord un ensemble de modèles (aussi appelés valuations ou
interpretations). Ensuite, pour un modèle donné, on stipule des conditions
de vérité permettant d’établir pour n’importe quelle formule A du langage
si A est vraie ou fausse dans ce modèle.
Pour donner un ‘sens’ aux variables, constantes et fonctions du langage, il
faut un domaine d’objets (ou domaine d’individu, ou univers de discours).
À chaque variable et constante sera associé un élément du domaine. À
chaque fonction sera associé une application dans le domaine.
Ensuite, pour pouvoir donner un ‘sens’ aux formules, il faut une fonction
associant à chaque symbole de prédicat à n places l’ensemble des n-uplets
d’éléments du domaine qui le rendent vrai.
Finalement, la valuation d’une formule A se fait comme en logique
propositionnelle : I(A) prend une valeur dans l’ensemble {0,1}
(‘vrai’/‘faux’), où la quantification universelle ∀x A est interprétée comme
‘pour toute valuation de x, A est vrai’, et la quantification existentielle ∃x
A est interprétée comme ‘il existe une valuation de x telle que A est vrai’.

interprétation
Une interprétation I est constituée de
un ensemble non-vide D appelé domaine d’individus
une fonction IV de l’ensemble des variables dans D
une fonction IP associant à chaque prédicat à n arguments une
application de Dn dans {0,1}
une fonction IF associant à chaque fonction à n arguments une
application de Dn dans D
Par abus, les fonctions d’interprétation IV , IP , IF sont souvent notées I.

interprétation des termes
Une interprétation donnée I peut être étendue aux termes par
I(f(t1, . . . , tn)) = (IF(f))(I(t1), . . . , I(tn))

interprétation des formules
Une interprétation I’ est une variante en x de I si I’ est identique à I sauf
en x (la seule différence entre I et I’ est la valeur qu’elles donnent à x).
Nota Bene
I et I’ peuvent être identiques : I est une variante de I en x.
Une interprétation donnée I peut être étendue aux formules par :
I(p(t1, . . . , tn)) = 1 ssi IP(p)( I(t1, . . . , I(tn)) = 1
I(∀x A) = 1 ssi I’(A) = 1 pour toute variante I’ de I en x
I(∃x A) = 1 ssi il existe une variante I’ de I en x telle que I’(A) = 1

Exemple d’interprétation des formules
Soit le domaine d’individus D = Alice, Bernard, Christian. Soit
l’interprétation de variables telle que IV(x) = Alice, I(y) = Bernard,
I(z) = Christian. Soit l’interprétation des prédicats telle que
IP(aime) (Alice,Bernard) = IP(aime) (Bernard,Alice)
= IP(aime) (Christian,Alice) = 1, et 0 sinon.
Le même domaine D avec l’interprétation de variables IV’ telle que
IV’(x) = Alice, IV’(y) = Bernard = IV(z) et la même interprétation des
prédicats est une variante de I en z.
I est un modèle de I n’est pas un modèle de
aime(z,x) aime(x,z)
∃z aime(x,z) ∀z aime(z,x)
∀x ˜aime(x,x) ∃x aime(x,x)
∃x∃y aime(x,y) ∀y∃x aime(x,y)
∀x∃y aime(x,y) ∃x∀y aime(x,y)
∃u ∃v (aime(u,v)∧ aime(v,u)) ∃y ∀x aime(x,y)

LOGIQUE DES PRÉDICATS - Théorie des preuves
axiomatique à la Hilbert
Les schémas d’axiome de la logique des prédicats sont ceux de la logique
propositionnelle, plus
∀x A − > ((A){xt})
(A){xt} − > ∃x A
(où xt est une substitution quelconque), et les règles d’inférence sont le
Modus Ponens :
A A − > B
B
plus les deux règles pour les quantificateurs
A − > B
A − > (∀x B)

LOGIQUE DES PRÉDICATS - Théorie des preuves
axiomatique à la Hilbert
s’il n’y a pas d’occurrence libre de x dans A et
A − > B
(∃x A) − > B
s’il n’y a pas d’occurrence libre de x dans B

LOGIQUE DES PRÉDICATS - Formes normales
Problématique
Pour une formule A de la logique des prédicats il n’existe pas toujours une
formule en forme normale conjonctive équivalente (comme c’est le cas en
logique propositionnelle).
Il sera cependant possible d’obtenir une formule A’ telle que A est
satisfiable ssi A’ est satisfiable. On procède en trois étapes :
1 mise en forme normale prénexe : séparation en une suite de
quantificateurs et une formule sans quantificateurs (la matrice)
2 mise en forme normale de Skolem : élimination des quantificateurs
existentiels
3 mise en forme normale conjonctive de la matrice, en utilisant le même
algorithme qu’en logique propositionnelle

LOGIQUE DES PRÉDICATS - Formes normales prénexes
Définition
Une formule A est en forme normale prénexe si elle est de la forme
Qx1 . . . Qxn B, où B est une formule sans quantificateurs.
La suite des quantificateurs est appelée préfixe, et B est appelée matrice.

LOGIQUE DES PRÉDICATS - Formes normales prénexes (FNP)
Des formules en forme normale prénexe
p(x) ∧ ˜p(y)
∀x ∃y ( (p(x) ∧ q(x,y)) ∨ r(z)) est en FNP. ∀x ∃y est le préfixe, et
(p(x) ∧ q(x,y)) ∨ r(z) est la matrice.
∃x ((p(x) − > ∀x p(x)) n’est pas en FNP.

Algorithme de mise en forme normale prénexe
sortie: une formule en forme normale prénexe
debut
éliminer − > , < − >, FALSE;
appliquer autant que possible les équivalences suivantes, dans n’importe
quel ordre (en remplaçant le membre gauche par le membre droit) :
˜Ã < − > A
˜(A ∨ B) < − > Ã ∧ ˜B
˜(A ∧ B) < − > Ã ∨ ˜B
˜(∀x A) < − > ∃x Ã
˜(∃x A) < − > ∀x Ã

Algorithme de mise en forme normale prénexe (suite)
tant que il existe une sous-formule Q x B telle que x apparaı̂t en dehors
de B dans A faire
remplacer Q x B par Q y (B){xy} , où y est une nouvelle variable
(n’apparaissant pas dans A) ;
fin tant que
appliquer autant que possible les équivalences suivantes, dans n’importe
quel ordre (en remplaçant le membre gauche par le membre droit) :
(Q x A) ∧ B < − > Q x (A ∧ B)
(Q x A) ∨ B < − > Q x (A ∨ B)
A ∧ (Q x B) < − > Q x (A ∧ B)
A ∨ (Q x B) < − > Q x (A ∨ B)
fin

SITUATION D’INTÉGRATION
Mettre les formules ci-dessous en forme normale prénexe:
1 ∃x ( p(x) − > ∀x p(x))
2 ˜( p(x) − > ((∃y q(x,y)) ∧ ∃y r(y)))

SITUATION D’INTÉGRATION 1: Corrigé
Soit ∃x ( p(x) − > ∀x p(x))
Éliminer − > : ∃x ( ˜p(x) ∨ ∀x p(x))
Renommer ∀x p(x) en ∀y p(y) : ∃x (˜p(x) ∨ ∀y p(y))
Sortir ∀y : ∃x ∀y (˜p(x) ∨ p(y))
Nota Bene. Le renommage est essentiel,
p.ex. ∃x ( ˜p(x) ∨ ∀x p(x)) n’est pas équivalent à ∃x ∀x (˜p(x) ∨ p(x))

LOGIQUE DES PRÉDICATS - Forme normale de Skolem(FNS)
Définition
Une formule est en forme normale de Skolem si elle est en forme normale
prénexe et ne contient pas de quantificateur existentiel.

Algorithme de mise en FNS
sortie: une formule en forme normale de Skolem
debut
mettre A en forme normale prénexe ;
pour tout quantificateur existentiel ∃x apparaissant dans A faire
appliquer la substitution {xf(x1, . . . , xn)} à la matrice de A , où
x1, . . . , xn sont les quantificateurs universels précédant ∃x dans le
préfixe de A;
f est une nouvelle fonction qui n’a pas encore été utilisée;
supprimer ∃x du préfixe de A;
fin pour tout
fin

SITUATION D’INTÉGRATION
Mettre les formules ci-dessous sous la forme normale de Skolem:
1 ∃x ∀y p(x,y)
2 ∀x ∃y p(x,y)
3 ∃u ∀x ∃y ∀z ∃t ( p(x) ∧ q(y) ∧ r(x,z,t) ∧ s(y) ∧ k(u))

SITUATION D’INTÉGRATION: Corrigé
1 Soit ∃x ∀y p(x,y), remplacer x par la constante a:
∀y p(a,y)
2 Soit la formule ∀x ∃y p(x,y), remplacer y par la fonction f(x):
∀x p(x,f(x))
3 Soit ∃u ∀x ∃y ∀z ∃t (p(x) ∧ q(y) ∧ r(x,z,t) ∧ s(y) ∧ k(u))
remplacer u par la constante a :
∀x ∃y ∀z ∃t (p(x) ∧ q(y) ∧ r(x,z,t) ∧ s(y) ∧ k(a))
remplacer y par la fonction f(x) :
∀x ∀z ∃t (p(f(x)) ∧ q(f(x)) ∧ r(f(x),z,t)∧ s(y) ∧ k(a))
remplacer t par la fonction g(x,z):
∀x ∀z ( p(f(x))∧ q(f(x)) ∧r(f(x),z,g(x,z))∧ s(y) ∧ k(a))

LOGIQUE DES PRÉDICATS - Démonstration automatique
Définition - unifieur
Une substitution s unifie deux termes si elle les rend identiques :
s unifie t et t’ si (t)s = (t’)s.
Un unifieur d’un ensemble fini d’équations entre termes
E = {t1 = t′
1, . . . , tn = t′
n} est une substitution qui unifie les deux termes
de chaque équation.
Exemple
Soit E = {x=f(y) , y=z}.
Un unifieur de E est s = {xf(a) , ya , za}.
Un autre unifieur de E est s = {xf(z) , yz}.

Définition - unifieur le plus général (upg)
Soient t et t’ deux termes, et s un unifieur de t et t’.
s est un unifieur le plus général (upg) si pour tout unifieur
s’ de t et t’ il existe une substitution s” telle que s’ = s” o s.
Exemple
Soit E = {x=f(y) , y=z}.
Un upg de E est s = {xf(z) , yz}.
Un autre upg de E est s = {xf(u) , yu , zu}

Définition - équations résolues
Un ensemble d’équations E est résolu si
1 toutes les parties gauches des équations sont des variables
2 chaque variable apparaı̂t au plus une fois dans E.
Soit E = {x1 = t1, . . . , xn = tn}, un ensemble d’équations résolu.
La substitution associé à E est
sE = {x1 t1, . . . , xn tn}

Algorithme d’unification
entrée: un ensemble fini E d’équations entre termes
sortie: ou bien échec, ou bien un upg de E
debut
tant que E n’est pas résolu faire
choisir une équation de E ;
appliquer une des règles suivantes à cette équation :
si elle est de la forme t = t alors la supprimer
si elle est de la forme f(t1, . . . , tn) = g(t′
1, . . . , t′
m) et f et g sont
différentes alors échec
si elle est de la forme f(t1, . . . , tn) = f(t′
1, . . . , t′
n) alors la remplacer
par n équations t1 = t′
1, . . . , tn = t′
n

Algorithme d’unification (suite)
si elle est de la forme t = x et t n’est pas une variable alors la
remplacer par x = t
si elle est de la forme x = t et x apparaı̂t dans t alors échec
si elle est de la forme x = t et x n’apparaı̂t pas dans t alors remplacer
x par t partout ailleurs dans E
fin tant que
rendre la substitution sE associé à E;
fin

Remarque
Si un ensemble de termes est unifiable alors
l’algorithme calcule leur upg
sinon il s’arrête sur échec.

SITUATION D’INTÉGRATION:
Appliquer l’algorithme d’unification sur les ensembles fini E d’équations
entre termes suivantes:
1 {x=y’ , f(y)=u}
2 {g(y)=g(z) , x=f(y)}
3 {x=y , x=f(y)}
4 {x=g(y) , f(x)=z , y=a}

SITUATION D’INTÉGRATION: Corrigé
1 Soit {x=y’, f(y)=u}
Inversion de f(y)=u : {x=y’, u=f(y)}
L’upg associé est donc: {xy’, uf(y)}
2 {g(y)=g(z), x=f(y)}
décomposition de g(y) = g(z) : {y=z, x=f(y)}
remplacement yz : {y=z, x=f(z)}
L’upg associé est donc : {yz, xf(z)}
3 {x=y, x=f(y)}
remplacement xy : {x=y , x=f(x)}
échec par ’occur check’ (car x apparaı̂t dans t(x))
4 Soit {x=g(y), f(x)=z, y=a}
remplacement ya: {x=g(a), f(x)=z, y=a}
remplacement xg(a): {x=g(a), f(g(a))=z, y=a}
inversion de f(g(a))=z: {x=g(a), z=f(g(a)), y=a}
L’upg associé est donc: {xg(a), zf(g(a)), ya}

LOGIQUE DES PRÉDICATS - Réfutation
Définition
Une réfutation des clauses C1,. . . , Cm est une liste finie de clauses (D1,
. . . , Dn) telle que
i) Dn est la clause vide {}
ii) pour i = 1, . . . , n, la clause Di est
soit égale à une des clauses Cj ,
soit elle est résolvante de deux clauses Dj , Dk précédant Di dans la liste
soit elle est facteur d’une clause Dj précédant Di dans la liste.

Notation:
Dans une réfutation, on utilise une ligne numérotée par clause.
On commence par écrire les clauses de départ.
Ensuite on associe un commentaire à chaque ligne spécifiant comment elle
a été obtenue.
”résolvante de 3,1 et 4,1” signifie que la clause présente a été obtenue à
partir de la 3ème et 4ème clause, par unification des premiers littéraux de
chaque clause.

Exemple d’application 1:
Soient les clauses {p(x), p(x’)} et {˜p(y), ˜p(y’)}.
(1) {p(x), p(x’)} clause 1
(2) {˜p(y), ¬p(y’)} clause 2
(3) {p(x)} facteur de 1,1 et 1,2 avec {x’x}
(4) {˜p(y)} facteur de 2,1 et 2,2 avec {y’y}
(5) {} résolvante de 3,1 et 4,1 avec {xy}
Nota Bene: remarquer qu’ici une réfutation est impossible sans utiliser la
factorisation.

Exemple d’application 2:
Soient les clauses {p(x)} , {˜p(y) , p(f(y))} et {˜p(f(f(z)))}.
Une réfutation est
(1) {p(x)} clause 1
(2) {˜p(y), p(f(y))} clause 2
(3) {˜p(f(f(z)))} clause 3
(4) {p(f(y))} résolvante de 1,1 et 2,1 avec {xy}
(5) {p(f(f(y’)))} résolvante de 4,1 et 2,1 avec {yf(y’)}, après avoir
renommé {yy’} en clause 4
(6) {} résolvante de 5,1 et 3,1 avec {zy’}
Nota Bene: Cet exemple d’application illustre qu’il ne suffit pas qu’au
départ les variables dans des clauses différentes soient différentes, et qu’il
faut parfois renommer ”en cours de route”.

Définition (réfutation linéaire)
Une réfutation est linéaire si
chaque facteur est obtenu à partir de la clause immédiatement
précédente
chaque résolvante est obtenue à partir de deux clauses dont
exactement une la précède immédiatement

LOGIQUE DES PRÉDICATS - Réfutation linéaire
Exemple d’application:
Soient les clauses {p(x), p(x’)} et {˜p(y) , ˜p(y’)}.
Une réfutation linéaire est
(1) {p(x), p(x’)} clause 1
(2) {˜p(y), ˜p(y’)} clause 2
(3) {p(x)} factorisation de 1,1 et 1,2 avec {x’x}
(4) {˜p(y’)} résolvante de 3,1 et 2,1 avec {xy}
(5) {} résolvante de 4,1 et 3,1 avec {xy’}

LOGIQUE DES PRÉDICATS - Réfutation linéaire
Théorème
Soit E un ensemble de clauses.
Si il existe une réfutation de E alors
il existe une réfutation linéaire de E.

PROLOG
Programmation Logique
Introduction
Prolog est un langage de programmation logique.
Prolog est aussi un sigle qui signifie ”PROgrammation en
LOGique”.
Il a été créé par Alain Colmerauer et Philippe Roussel vers
1972 à Luminy, Marseille.

PROLOG
Programmation Logique
Objectif
Créer un langage de programmation où seraient définies les règles logiques
attendues d’une solution et de laisser le compilateur la transformer en
séquence d’instructions.
Prolog est utilisé en intelligence artificielle, dans le traitement linguistique
par ordinateur, et plus.
Prolog est basé sur les calculs des prédicats du premier ordre, et n’accepte
que les clauses de Horn.
Il est aussi possible de construire une base de connaissance de faits et de
règles, puis résoudre des séries de problèmes logiques.

PROLOG
Programmation Logique - Clause de Horn
Définition
Une clause de Horn est une clause avec au plus un littéral positif.
Théorème
Soit E un ensemble de clauses de Horn.
Si il existe une réfutation de E alors il existe une réfutation linéaire de E où
la règle de factorisation n’est pas utilisée.
De la résolution à la programmation logique
En programmation logique, on sépare les clauses de Horn en faits, règles et
questions.
Un programme logique est constitué de faits et de règles.
C’est une séquence plutôt qu’un ensemble, car cette structure est
pertinente pour la stratégie appliquée.
Un programme logique est interrogé par des questions.

PROLOG
Programmation Logique - fait, règle, programme logique, question
Définition
Un fait est un littéral positif.
Une règle est une clause avec un littéral positif et au moins un littéral
négatif (elle est donc de la forme {p, ˜p1, . . . , ˜pn}, avec n > 0)
Un programme logique est une liste de faits et règles.
Une question est une clause sans littéral positif.
Exemple de clause de Horn
faits règles questions
{p(x)} {p(x), ˜q(x)} {˜q(x)}
{père(a,b)} {père(x,y), ˜fils(y,x)} {˜fils(b,a)}

PROLOG
Programmation Logique - réponse
Définition
Soit P un programme logique, et soit C une question. Alors une
substitution s est une réponse ssi PU{(C)s} est insatisfiable
Exemples de réponses
Soit le programme logique
P = {{père(a,b)},
{père(a,c)},
{père(d,a)},
{fils(x,y) , ˜père(y,x)} }
Soit la question {˜fils(z,a)}.
Alors les substitutions {zb} et {zc} sont des réponses.

PROLOG
Programmation Logique - Notation Prolog
Par convention, les expressions représentant des constantes et noms de
prédicat ont comme première lettre une minuscule.
Les expressions représentant des variables ont comme première lettre ou
bien une majuscule, ou bien l’underscore “ ”.
Les faits p sont notés “p.”.
Les règles {p, ˜p1, . . . , ˜pn} sont notées “p : −p1, . . . , pn”.
Les questions ˜P sont parfois notées “?p.”, mais en sont la plupart du
temps représentées dans un champ a part, et notées “p.” (ou ”p”) comme
les faits.

INTRO A LA LOGIQUE NON-CLASSIQUE
Introduction
La logique non classique est de plus ordre:
1) la logique intuitionniste: s’attache davantage à la connaissance que
l’on peut avoir de la vérité des énoncés, elle est en cela plus proche de
la programmation informatique, dans la mesure où elle ne prend en
compte que la constructibilité de preuves.
2) la logique modale: Alors que l’intuitionnisme est plus faible que la
logique classique, la logique modale la complète.
3) la logique auto-épistémique:Elle a pour objectif est de formaliser
les concepts de croyance et de justification.
4) la logique des défauts: Elle vise à gérer des connaissances typiques
ou particulières, mais sans s’engager dans des problèmes d’ordre ou de
nombre comme avec le flou. Il s’agit de donner un sens au
raisonnement révisable.
5) la logique temporelle: Une proposition dans la logique temporelle,
peut avoir différentes valeurs de vérité à des instants différents.

Introduction (suite)
Les logiques modales (qui font partie des logiques non-classiques) sont dess
extensions de la logique classique par des nouveaux connecteurs (ou
opérateurs). Ces opérateurs permettent d’analyser formellement des
concepts tels la croyance, le temps, l’incertitude, l’exécution d’un
programme, d’une actions, etc. Ainsi, la formule [a]A peut être lue
‘l’agent a croit que A’ dans une interprétation en termes de croyances,
‘A est vraie à l’instant a’ dans une interprétation temporelle,
‘A est vraie au degré a’ dans une interprétation en termes
d’incertitude,
‘A est vraie après terminaison du programme a’ dans une
interprétation en termes de programmes.
‘A est vraie après exécution de l’action a’ dans une interprétation en
termes d’actions.

Introduction (fin)
Plusieurs familles de logiques modales ont ainsi été définies dans la
littérature. Les interprétations particulières des opérateurs modaux
ont motivées l’application de ces logiques en particulier en intelligence
artificielle et en vérification des programmes.

Les documents de références
1 Prof.Dr.-Ing. habil. KOLYANG. (2009/2010). Logique Formelle.
Support de cours dispensé à l’École Normale Supérieure de Maroua
(ENS)
2 Karim Nour, René David, Christophe Raffalli, Pierre-Louis Curien.
Introduction à la logique Théorie de la démonstration - Cours et
exercices corrigés-Dunod (2004)

Introduction à la Logique Formelle (Part 1)

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