Đề thi thử Đại học mốn Toán- Khối A- Năm 2013 trường Chuyên Vĩnh Phúc

1. www.MATHVN.com
www.mathvn.com 1
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán 12. Khối A.
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm)
Câu I (2,5 điểm) Cho hàm số : 3
3 2y x mx= − + ( )1 , m lµ tham sè thùc.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )1 khi 1m =
2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè ( )1 cã tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 7 0d x y+ + = góc α,biết
1
cos
26
α = .
Câu II (2,5 điểm) 1) Giải phương trình :
4
3 4cos2 8sin 1
sin 2 cos2 sin 2
x x
x x x
− −
=
+
2) Giải hệ phương trình:
( )
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x
 + = +

+ = +
( , )x y ∈R .
Câu III (1,0 điểm) Tính giới hạn :
3 2
22
6 4
lim
4x
x x
L
x→
− − +
=
−
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình lập phương 1 1 1 1.ABCD A B C D cã độ dài cạnh bằng 3 và điểm M thuộc cạnh
1 2CC = .Mặt phẳng ( )α đi qua ,A M và song somg với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện.
Tính thể tích hai khối đa diện đó.
Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực , ,x y z thoả mãn 2 2 2
3x y z+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
3 7 5 5 7 3F x y y z z x= + + + + +
B. PHẦN RIÊNG (2,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1.Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa. ( 1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai ®iÓm ( ) ( )2;1 , 1; 3A B − − vµ hai ®−êng
th¼ng 1 2: 3 0; : 5 16 0.d x y d x y+ + = − − = T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm ,C D lÇn l−ît thuéc 1 2,d d sao cho tø gi¸c
ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.
Câu VIIa. ( 1,0 điểm) Tính tổng : 2 1 2 2 2 3 2 2012
2012 2012 2012 20121 2 3 2012S C C C C= + + + +⋯
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb. ( 1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ toạ độOxy cho e líp ( )
2 2
: 1
9 4
x y
E + = vµ c¸c ®iÓm ( )3;0A − ;
( )1;0I − .T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm ,B C thuéc ( )E sao cho I lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC
Câu VII B:(1,0 điểm): Tính tổng:
0 1 2 2012
2012 2012 2012 2012
1 2 3 2013
C C C C
T = + + + +⋯
-----------------------------------------------------------HẾT ------------------------------------------------------
Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì!
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang)

2. www.MATHVN.com
www.mathvn.com 2
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012-2013 – LẦN 1
MÔN TOÁN – KHỐI A
(Đáp án gồm 5 trang)
Câu Nội dung trình bày Điểm
I(2,0đ) 1. (1,50 điểm)
Khi 1m = hàm số (1) có dạng 3
3 2y x x= − +
a) Tập xác định D = ℝ
b) Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: 2
' 3 3y x= − , ' 0 1y x= ⇔ = ± . Khi đó xét dấu của 'y :
+ +- 00
1-1 +∞∞∞∞-∞∞∞∞
y
x
hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ( ); 1 , 1;−∞ − + ∞ và nghịch biến trên khoảng ( )1;1− .
0,50
+) Cực trị: hàm số đạt cực đại tại 1, 4CDx y= − =
Hàm số đạt cực tiểu tại 1, 0CTx y= =
+) Giới hạn: 3 3
2 3 2 3
3 2 3 2
lim lim 1 ; lim lim 1
x x x x
y x y x
x x x x→−∞ →−∞ →+∞ →+∞
   
= − + = −∞ = − + = +∞   
   
0,25
+) Bảng biến thiên:
:
x −∞ -1 1 +∞
y' + 0 − 0 +
y
4 +∞
−∞ 0
0,25
c) Đồ thị: 3
0 3 2 0 1, 2y x x x x= ⇔ − + = ⇔ = = − , suy ra đồ thị hàm số cắt trục Ox tại Ox
tại các điểm ( ) ( )1;0 , 2;0−
'' 0 6 0 0y x x= ⇔ = ⇔ = ⇒ đồ thị hàm số nhận điểm ( )0;2 làm điểm uốn.
0,50

3. www.MATHVN.com
www.mathvn.com 3
2. (1,0 điểm)
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có VTPT ( )1 ; 1n k= −
Đường thẳng : 7 0d x y+ + = tiếp tuyến có VTPT ( )2 1;1n =
0,25
Ta có
( ) 1 2
1 2 2
1 2
11
cos cos ,
26 2 1
n n k
n n
n n k
⋅ −
α = = ⇔ =
+
2 3 2
12 26 12 0
2 3
k k k k⇔ − + = ⇔ = ∨ =
0,25
YCBT thoả mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
, 2 2
, 2 2
3 3 2 1 2 1
3 3 0
2 2 2 2
2 2 9 2 9 2
3 3 0
3 3 9 9
m m
y x m x
m m
y x m x
+ +   
= − = = ≥   
⇔ ⇔ ⇔   
+ +   = − = = ≥
      
1
2
2
9
m
m

≥ −

 ≥ −

1
2
m⇔ ≥ −
0,25
Vậy để đồ thị có tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 7 0d x y+ + = góc α ,có
1
cos
26
α = .
thì
1
2
m ≥ −
0,25
II(2,5đ)
1.(1,25 điểm). Giải phương trình :
4
3 4cos2 8sin 1
sin 2 cos2 sin 2
x x
x x x
− −
=
+
§/k ( )
sin 2 cos2 0 8 2
sin 2 0
2
x l
x x
l
x
x l
π π
π

≠ − ++ ≠ 
⇔ ∈ 
≠  ≠

Z
0,25
1-1
4
x
x
x
0
y
3
3 2y x x= − +

4. www.MATHVN.com
www.mathvn.com 4
ta cã:
2
4 1 cos2
8sin 8 3 4cos2 cos4
2
x
x x x
− 
= = = − + 
 
⋯
Ph−¬ng tr×nh
( )3 4cos2 3 4cos2 cos4 1
sin 2 cos2 sin 2
x x x
x x x
− − − +
⇔ =
+
( )
cos4 1
sin 2 cos2 0,sin 2 0
sin 2 cos2 sin 2
x
do x x x
x x x
−
⇔ = + ≠ ≠
+
0,50
( ) ( )
1
cos2 sin 2 cos2 sin 2 cos2 0
sin 2
x x x x x
x
⇔ − − = ⇔ + =
( )
( )
cos2 0 sin 2 cos2 0 2
2
4 2
x x x loai x k
x k k
π
π
π π
⇔ = ∨ + = ⇔ = +
⇔ = + ∈ℤ
0,25
VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm ( )
4 2
x k k
π π
= + ∈Z
0,25
2.(1,25điểm). Giải hệ phương trình:
( )
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x
 + = +

+ = +
( , )x y ∈R .
Viết lại hệ phương trình:
( )3 3
2 2
4 4 0(*)
5 4(**)
x y x y
y x
 + − − =

− =
Thay ( )** vào ( )* ta được: ( )( )3 2 2 3 3 2 2
5 4 0 21 5 4 0x y x y x y x x y xy+ − − − = ⇔ − − =
( )2 2 1 4
21 5 4 0 0
3 7
x x xy y x x y x y⇔ − − = ⇔ = ∨ = − ∨ =
0,25
0,25
• 0x = thế vào ( )** ta được 2
4 2y y= ⇔ = ±
•
1
3
x y= − thế vào ( )** ta được
2
2 2 3 15
4 9
3 19
y xy
y y
y x
= ⇒ = −
− = ⇔ = ⇔  = − ⇒ =
•
4
7
x y= − thế vào ( )** ta được
2
2 280 31
4 4
49 49
y
y y− = ⇔ − = Vô nghiệm
0,50
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: ( ) ( ) ( ) ( ); 0; 2 , 1; 3 , 1;3x y = ± − − 0,25
III(1đ) Tính giới hạn :
3 2
22
6 4
lim
4x
x x
L
x→
− − +
=
−
3 2 3 2
2 2 22 2 2
6 2 2 4 6 2 4 2
lim lim lim
4 4 4x x x
x x x x
L
x x x→ → →
− − + − + − − + −
= = −
− − −
0,25
( )( ) ( ) ( )
2 2 3
22 2 22 2 233
6 2 4 2
lim lim
4 6 2 4 4 2 4 4
x x
x x
x x x x x
→ →
− − + −
= −
 − − + − + + + + 
 
0,25

5. www.MATHVN.com
www.mathvn.com 5
( )( ) ( )
22 2 2 233
1 1
lim lim
2 6 2 4 2 4 4
x x
x x x x
→ →
−
= −
+ − + + + + +
1 1 7
16 12 48
= − − = − 0,25
Vậy giới hạn đã cho bằng
7
48
−
0,25
IV(1đ) Cho hình lập phương 1 1 1 1.ABCD A B C D cã độ dài cạnh bằng 3....
Dựng thiết diện của mặt phẳng đi qua ,A M và song song với BD .
Gọi 1 1 1 1 1, ,O AC BD O AC B D I AM OO= ∩ = ∩ = ∩ . Trong mặt phẳng ( )1 1BDD B qua I
kẻ đường thẳng song song với BD cắt 1 1,BB DD lần lượt tại ,K N .Khi đó AKMN là thiết
diện cần dựng.
0,25
Đặt 1 1 1 11 . . 2 . 1A BCMK A DCMN ABCD A B C DV V V V V V= + ⇒ = − .
Ta có:
1 1
1
2 2
OI AO
DN BK OI CM
CM AC
= = ⇒ = = = =
0,25
Hình chóp .A BCMK có chiều cao là 3AB = ,đáy là hình thang BCMK .Suy ra:
( ) 3
.
.1 1 3 9
. .
3 3 2 6 2
A BCMK BCMK
BC BK CM
V AB S AB
+
= = = = .
Tương tự .
9
2
A DCMNV =
0,25
Vậy 3
1 2
9 9
9 3 9 18
2 2
V V= + = ⇒ = − = (đvtt)
0,25
V(1,0đ) …Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2
3 7 5 5 7 3F x y y z z x= + + + + +
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2
3 6 12 18 2 2 18 2 2 3F x y z x y z x x    ≤ + + ≤ + + = + −        
0,25
Xét hàm số ( ) ( )2 2
2 2 3f x x x= + − trên miền xác định 3 3x− ≤ ≤
( )
( )
( )( )'
2
4
2 3; 3
2 3
x
f x x x
x
= − ∀ ∈ −
−
0,25
( )'
0f x = trên ( )3; 3−
0
1
x
x
=
⇔  = ±
( ) ( ) ( )3 3, 0 2 6, 1 5f f f± = = ± =
0,25
( ) 2
3; 3
max 5 18.5 90 3 10f x F F
 − 
⇒ = ⇒ ≤ = ⇒ ≤ dấu bằng khi 1x y z= = =
Vậy max 3 10 1F x y z= ⇔ = = = 0,25
6a(1,0đ)T Tim to¹ ®é c¸c ®iÓm ,C D lÇn l−ît thuéc 1 2,d d sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.
Do tø giác ABCD lµ h×nh b×nh hµnh nªn ta cã
( ) ( )
3
3;4 *
4
D C
D C
x x
CD BA
y y
− =
= = ⇒ 
− =
0,25

6. www.MATHVN.com
www.mathvn.com 6
MÆt kh¸c : ( )1
2
3 0
**
5 16 0
C C
D D
x yC d
D d x y
+ + =∈ 
⇒ 
∈ − − = 
0,25
Tõ (*) vµ (**) ta gi¶i ®−îc
3 6
;
6 2
C D
C D
x x
y y
= = 
 
= − = −
ta cã ( ) ( )3;4 , 4; 3BA BC= = − cho nªn hai
vÐc t¬ ,BA BC kh«ng cïng ph−¬ng ,tøc lµ 4 ®iÓm , , ,A B C D kh«ng th¼ng hµng ,hay tø
gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.
0,25
.§¸p sè ( ) ( )3; 6 , 6; 2C D− − 0,25
7a(1,0đ) Tính tổng : 2 1 2 2 2 3 2 2012
2012 2012 2012 20121 2 3 2012S C C C C= + + + +⋯
( ) ( )2
2012 2012 2012 20121 1 1 1,2,...,2012k k k k
k C k k C k k C kC k = − + = − + ∀ = 
0,25
( )
( ) ( )
2 2 1
2012 2010 2011
2012! 2012!
1 2012(2011 ) 1,2..,2012
! 2012 ! ! 2012 !
k k k
k C k k k C C k
k k k k
− −
= − + = + ∀ =
− − 0,25
Từ đó ( ) ( )0 1 2010 0 1 2011
2010 2010 2010 2011 2011 20112012 2011S C C C C C C = + + + + + + + ⋯ ⋯
= ( ) ( ) ( )2010 2011 2010 2011 2010
2012 2011 1 1 1 1 2012 2011.2 2 2012.2013.2 + + + = + =
 
0,25
Đáp số : 2010
2012.2013.2S = 0,25
6b(1,0đ) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm ,B C thuéc ( )E sao cho I lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC
Ta cã 2IA = ⇒§−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã pt:( )
2 2
1 4x y+ + = 0,25
To¹ ®é c¸c ®iÓm ,B C cÇn t×m lµ nghiÖm cña hÖ pt:
( )
2 2
2 2
1 4
1
9 4
x y
x y
 + + =


+ =

0,25
( ) ( )
2 2
2 2
2
1 4
1 4
3
35 18 9 0
5
x y
x y
x xx x
 + + = + + = 
⇔ 
= − ∨ = −+ + = 

• 3 0x y B A C A= − ⇒ = ⇒ ≡ ∨ ≡ (lo¹i)
•
3 4 6 3 4 6 3 4 6
; , ;
5 5 5 5 5 5
x y B C
   
= − ⇒ = ± ⇒ − ± −      
   
∓
0,25
0,25
7b(1,0đ)
Tính tổng :
0 1 2 2012
2012 2012 2012 2012
1 2 3 2013
C C C C
T = + + + +⋯
( )
( ) ( )
12012
2013
2012!
! 2012 ! 1 2013! 1
1 1 2013 20131 ! 2013 1 !
k
kk kC
C
k k k k
+−
= = ⋅ = ⋅
+ +  + − + 
0,1,2,3,...,2012k∀ =
0,50

7. www.MATHVN.com
www.mathvn.com 7
( ) ( )
2013
20131 2 2013 0
2013 2013 2013 2013
1 1 2 1
1 1
2013 2013 2013
T C C C C
− ⇒ = + + + = + − =
 
⋯ 0,25
Đáp số
2013
2 1
2013
T
−
= 0,25
Lưu ý khi chấm bài:
-Đáp án chỉ trình bày một cách nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được
điểm.
-Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
-------------------------Hết------------------------