1. Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com
BÀI TẬP ĐẠO HÀM
Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y = 2x 1− tại x0 = 5
Giải: Tập xác định D =
1
x : x
2
 
≥ 
 
• Với ∆ x là số gia của x0 = 5 sao cho 5+ ∆ x ∈ ∆ thì
• ∆ y = 2(5 x) 1+ ∆ − - 10 1−
• Ta có:
y
x
∆
∆
=
9 2 x 9
x
+ ∆ −
∆
Khi đó: y’(5)=
x 0
y
lim
x∆ →
∆
∆
=
( )( )
( )x 0
9 2 x 3 9 2 x 3
lim
x 9 2 x 3∆ →
+ ∆ − + ∆ +
∆ + ∆ +
• =
( )x 0
9 2 x 9
lim
x 9 2 x 3∆ →
+ ∆ −
∆ + ∆ +
=
( )x 0
2
lim
9 2 x 3∆ →
+ ∆ +
=
1
3
Bài 2 : Chứng minh hàm số
x
y
x 1
=
+
liên tục tại x0 = 0, nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
HD: Chú ý định nghĩa: x =
x ,neáu x 0
-x ,neáu x<0
≥


Cho x0 = 0 một số gia ∆ x
∆ y = f(x0+∆ x) –f(x0) = f(∆ x) –f(0) =
x
x 1
∆
∆ +
y
x
∆
∆
=
( )
x
x x 1
∆
∆ ∆ +
• Khi ∆ x →0+
( thì ∆ x > 0) Ta có:
x 0
y
lim
x+
∆ →
∆
∆
=
( )x 0
x
lim
x x 1+
∆ →
∆
∆ ∆ +
=
( )x 0
1
lim
x 1+
∆ → ∆ +
=1
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =
2
x ,
,
− ≥


neáu x 0
x neáu x<0
a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0 b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x = 0 hay không ? Tại sao?
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =
2
(x 1) ,n
,n
 − ≥


2
eáu x 0
-x eáu x<0
không có đạo hàm tại x = 0. Tại x = 2
hàm số đó có đạo hàm hay không ?
Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =
2
(x 1) ,
,2
neáu x 0
(x+1) neáu x<0
 − ≥


không có đạo hàm tại x0 = 0, nhưng liên
tục tại đó.
HD:a) f(0) = (0-1)2
= 1;
x 0
y
lim
x+
∆ →
∆
∆
= -2;
x 0
y
lim
x−
∆ →
∆
∆
= 2⇒
x 0
y
lim
x+
∆ →
∆
∆
≠
x 0
y
lim
x−
∆ →
∆
∆
⇒ hàm số không có đạo
hàm tại x0 = 0
b) Vì x 0
lim f(x)+
∆ →
=1; x 0
lim f(x)−
∆ →
=1; f(0) = 1 ⇒ x 0
lim f(x)+
∆ →
= x 0
lim f(x)−
∆ →
= f(0) = 1
1
1

2. Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com
⇒ hàm số liên tục tại x0 = 0
Bài 6: Cho hàm số y = f(x) =
cos x,
sin x
Neáu x 0
Neáu x<0
≥

−
a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
b) Tính đạo hàm của f(x) tại x =
4
π
HD:a) Vì x 0
lim f(x)+
→
= x 0
lim cos x+
→
=1 và x 0
lim f(x)−
→
= x 0
lim( sin x)−
→
− = 0; f(0) = cos0 = 1 ⇒ x 0
lim f(x)+
→
≠
x 0
lim f(x)−
→
⇒ hàm số không liên tục tại x0 = 0 (hàm số gián đoạn tại x0 = 0)
Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y = ( 2
x -3x+3)( 2
x +2x-1); Đs: y’ = 4x3
-3x2
– 8x+ 9
2. y = ( 3
x -3x+2)( 4
x + 2
x -1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x
3. Tìm đạo hàm của hàm số: y = ( )2
3x x 1
x
 
+ − ÷
 
Giải: y’ = ( )2
3x ' x 1
x
 
+ − ÷
 
+ ( )2
3x x 1 '
x
 
+ − ÷
 
= ( )2
2
3 x 1
x
 
− + − ÷
 
=
2 1
3x
x 2 x
  
+ ÷ ÷
  
= ( )2
2
3 x 1
x
 
− + − ÷
 
+
1 3x
x x 2 x
+
3. y = ( ) 1
x 1 1
x
 
+ − ÷
 
4. y = ( )( )3 23
x 2 1 x 3x+ + +
5. y = ( 2
x -1)( 2
x -4)( 2
x -9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x
6. y = (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x )
7. y =
1 x
1 2x
+
+
8. y =
3
3
1 2x
1 2x
−
+
9. y =
x 1
x 1
+
−
; Đs:- 3
1
(x 1)(x 1)+ −
10. y =
2
2
1 x
1 x
−
+
; Đs:- 2 2 3
2x
(1 x )(1 x )− +
11.
12. y = cos2
1 x
1 x
 −
 ÷ ÷+  ; Đs:
2
1 1 x
sin 2
x(1 x) 1 x
 −
 ÷ ÷+ + 
13. y = (1+sin2
x)4
; Đs: 2 3
(1 sin x) sin 2x+
14. y =sin2
(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x
15. y =
sin x cos x
sin x cos x
−
+
; Đs: 2
2
(sin x cos x)+
2
2

3. Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com
16. y = 2
sin3x
sin x.cos x
518) y = f(x) =
x
1 cos x−
; y’ =
( )
2
1 cos x xsin x
1 cos x
− −
−
519) y = f(x) =
tan x
x
; y’ = 2 2
x sin x cos x
x cos x
−
522) y = f(x) =
sin x
1 cos x+
; y’ =
1
1 cos x+
523) y = f(x) =
x
sin x cos x+
; y’ =
sin x cos x x(sin x cos x)
1 sin 2x
+ + −
+
526) y = f(x) =
41
tan x
4
; y’ = tan3
x. 2
1
cos x
527) y = f(x) = cosx
31
cos x
3
− ; y’ = -sin3
x
528) y = f(x) = 3sin2
x –sin3
x; y’ =
3
sin 2x(2 sin x)
2
−
529) y = f(x) =
1
3
tan3
x –tanx + x; y’ = tan4
x
535) y = f(x) = tan
x 1
2
+
; y’ = 2
1
x 1
2cos
2
+
539) y = f(x) = cos3
4x; y’ = -12cos2
4x.sin4x
544) y = f(x) =
1
1 tan x
x
 
+ + ÷
 
; y’ =
2
2 2
x 1
1 1
2x cos x 1 tan x
x x
−
   
+ + + ÷  ÷
   
672) y = f(x) = 3cos2
x –cos3
x; y’ =
3
2
sin2x(cosx-2)
682) y = f(x) =
2
2sin x
cos2x
; y’ = 2
2sin 2x
cos 2x
684) y = f(x) =
x x
tan cot
2 2
x
+
; y’ = 2 2
2(x cos x sin x)
x sin x
+
−
685) y = f(x) =
2 x x
sin cot
3 2
; y’ =
1 x 2x
cot sin
3 2 3
21 x
sin
2 2
− ….
689) y = f(x) = 2 4
1 tan x tan x+ + ; y’ =
2
2 2 4
tan x(1 2tan x)
cos x 1 tan x tan x
+
+ +
694) y = f(x) =
6 81 1
sin 3x sin 3x
18 24
− ; y’ = sin5
3xcos3
3x
705) y = f(x) = cosx.( )2
1 sin x+ ; y’ =
3
2
2sin x
1 sin x
−
+
706) y = f(x) = 0.4
2
2x 1
cos sin0.8x
2
+ 
− ÷
 
; y’ = -0.8
2x 1
cos sin0.8x
2
+ 
− ÷
 
2x 1
sin cos0.8x
2
+ 
+ ÷
 
3
3

4. Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com
713) y = f(x) = 2
1
1 sin x+
; y’ =
( )
32
sin 2x
2 1 sin x
−
+
721) y = f(x) = sin2
x.sinx2
; y’ =2sinx(xsinx.cosx2
+cosx.sinx2
)
722) y = f(x) =
2cos x
cos2x
; y’ =
2sin x
cos2x cos2x
BÀI TẬP ĐẠO HÀM BỔ SUNG
1.Tìm đạo hàm của hàm số: y = x cot2x Giải: y’ = ( x )cot2x+ x (cot2x)’ =
1
2 x
cot2x 2
2 x
sin 2x
−
2. Tìm đạo hàm của hàm số: y = 3sin2
xcosx+cos2
x
y’ = 2(sin2
x)’cosx+3(sin2
x)(cosx)’+(cos2
x)’
= 6sinxcos2
x-3sin3
x-2cosxsinx =sinx(6cos2
x-3sin2
x-2cosx)
3. Cho hàm số : y = 2
x
x x 1+ +
Tìm TXĐ và tính đạo hàm của hàm số ? TXĐ: D = R
y’ =
2
2
2
2x 1
x x 1 x.
2 x x 1
x x 1
+
+ + −
+ +
+ +
=
( )
2
32
2(x x 1) x(2x 1)
x x 1
+ + − +
+ +
=…
Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:
a) y = sin6
x + cos6
x +3sin2
xcos2
x;
HD:
Cách 1: y = (sin2
x)3
+(cos2
x)3
+3sin2
xcos2
x= (sin2
x+cos2
x)(sin4
x-sin2
xcos2
x+cos4
x) +3sin2
xcos2
x
= [(sin2
x)2
+[(cos2
x)2
+2sin2
xcos2
x-3sin2
xcos2
x] +3sin2
xcos2
x
=[(sin2
x+cos2
x)2
-3sin2
xcos2
x] +3sin2
xcos2
x
= 1
⇒ y’ = 0 (đpcm)
Cách 2:
y’ = 6sin5
x.(sinx)’ +6cos5
x.(cosx)’+3[(sin2
x)’.cos2
x+sin2
x(cos2
x)’]
= 6sin5
x.cosx -6cos5
x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2
x+sin2
x.2cosx.(cosx)’]
= 6sinx.cosx(sin4
x-cos4
x) + 3[2sinx.cosx. cos2
x-sin2
x.2cosx.sinx]
= 6sinx.cosx(sin4
x-cos4
x) + 6sinx.cosx(cos2
x – sin2
x)
b) y = cos2
x
3
π 
− ÷
  +cos2
x
3
π 
+ ÷
  +cos2
2
x
3
π 
− ÷
  +cos2
2
x
3
π 
− ÷
  -2sin2
x.
Bài : Cho hàm số y = f(x) = 2cos2
(4x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x)
Bài : Cho hàm số y = f(x) = 3cos2
(6x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x)
Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình :
a) y = 2
2x x− ; y3
y"+1 = 0. b) y = e4x
+2e-x
; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e2x
sin5x; y"-4y'+29y = 0
d) y = 3
x [cos(lnx)+sin(lnx)]; 2
x y"-5xy'+10y = 0. e) y =( )
2
2
x x 1+ + ; (1+ 2
x )y"+xy'-4y = 0
Bài : Cho hàm số
y= f(x) = 2x2
+ 16 cosx – cos2x.
1/. Tính f’(x) và f”(x), từ đó tính f’(0) và f”(π). 2/. Giải phương trình f”(x) = 0.
Bài : Cho hàm số y = f(x) =
x 1
2
−
cos2
x
a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0
4
4

5. Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com
Bài : Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng:
f(x) = 3x+
60
x 3
64
x
− +5; b) f(x) =
sin3x
3
+cosx- 3
cos3x
sin x
3
 
+ ÷
 
Giải:
f’(x) = 3 2
60
x
− +
2
6
64.3x
x
== 3 2
60
x
− + 4
64.3
x
== 3 2 4
20 64
1
x x
 
− + ÷
 
f’(x) = 0 ⇔ 2 4
20 64
1
x x
 
− + ÷
 
= 0⇔ x4
-20x2
+64 = 0 (x ≠ 0) ⇔ …{ }2; 4± ±
5
5

6. Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com
Bài : Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng:
f(x) = 3x+
60
x 3
64
x
− +5; b) f(x) =
sin3x
3
+cosx- 3
cos3x
sin x
3
 
+ ÷
 
Giải:
f’(x) = 3 2
60
x
− +
2
6
64.3x
x
== 3 2
60
x
− + 4
64.3
x
== 3 2 4
20 64
1
x x
 
− + ÷
 
f’(x) = 0 ⇔ 2 4
20 64
1
x x
 
− + ÷
 
= 0⇔ x4
-20x2
+64 = 0 (x ≠ 0) ⇔ …{ }2; 4± ±
5
5