djeddi kamel

1. Universit´e Larbi ben M’hidi Oum EL Bouaghi
D´epartement de sciences et de la technologie
Examen de Rattrapage : MATHS 040
2i`eme
ann´ee ST
La date : 17 − 06 − 2013
Dur´ee : 1h
: 30m
Exercice 1 :(7 points)
Montrer que les fonctions avec une variable complexe suivantes sont holomorphes :
a) z →
sin z sur C
b) z → chz sur C
c) z →
2z2
− 3z + i sur C
.
Exercice 2 : (7 points)
Calculer les int´egrales suivantes :
1)
γ
z
z2 − 6z + 8
dz
o`u γ d´esignant le cercle | z |= 3.
2)
γ
zez
(z − 1
2
)2
dz
o`u γ d´esignant le cercle unit´e | z |= 1.
3)
+∞
−∞
dx
x4 + 1
.
Exercice 3 : (6 points)
Soit les s´eries enti`eres suivantes :
S(z) =
+∞
n=0
(
√
3 + i)n zn
n!
et T(z) =
+∞
n=0
(
√
3 − i)n zn
n!
1) Calculer le rayon de convergence des s´eries enti`eres S et T.
2) Calculer la somme des s´eries enti`eres S et T.
3) En d´eduire le d´eveloppement en s´erie enti`ere les fonctions suivantes
e
√
3z
cos z et e
√
3z
sin z.
Bon courage
Responsable de module Djeddi K amel.