O documento apresenta os conceitos fundamentais de antiderivada e integral indefinida. Na primeira parte, define antiderivada como a operação inversa da derivada e apresenta exemplos de como encontrá-la. A segunda parte introduz a notação da integral indefinida e apresenta algumas propriedades e fórmulas para antidiferenciar funções. Por fim, exemplifica o cálculo de antiderivadas através de alguns exercícios.
3. Antiderivadas
Se considerarmos a derivada como um
operador sobre as funções, a operação
inversa será chamada de antiderivada.
Definição 1: Uma função F será chamada de
função primitiva ou antiderivada de uma
função f, num intervalo I se F’(x)=f(x)
para todo x ∈ I.
Exemplo:Encontre a antiderivada da função
f(x)= 4x3
F1(x)=x4 F1’(x)=4x3
F2(x)=x4+1 F2’(x)=4x3
F3(x)=x4+200 F3’(x)=4x3
4. Antiderivada
Observação: Se foi informada apenas a
função f, a antiderivada não é única, pois
qualquer constante acrescentada a derivada
será a mesma.
Exemplo: Encontre a função primitiva de
f(x)=4x3:
F(x)= x4 + k, k constante k∈ lR.
Observação: Dizemos que a antiderivada de
f é uma família de funções, pois temos
infinitas possibilidades para k.
5. Antiderivadas
Exemplo: Encontre a antiderivada F da
função real f tal que f(x)= 4x3, sabendo
que F(1)=3.
F(x)= x4 + k 1+ k =3
F(1)= 1 + k K = 2
F(x)= x4 + 2
6. Interpretação Geométrica
Exemplo: Encontre a
família de funções
primitivas da função
real tal que
f(x)=2x.
F(x)=x2+k
Fixado qualquer
valor de x, as retas
tangentes a família
F em x são
paralelas.
7. Antidiferenciação
Definição 2: Antidiferenciação é o
processo de encontrar o conjunto de todas
as antiderivadas de uma dada função.
Notação: Integral
Indefinida Família de
antiderivadas
∫ f(x)dx = F(x)+ k
Função
Integrando
Diferencial da
Sinal de variável de
integração integração
8. Integral Indefinida
Observação: A notação da integral
indefinida (antidiferenciação), usa o
conceito de diferencial (introduzido por
Leibniz), pois além de estar de acordo com
a definição de antiderivada auxilia em
dispositivos práticos para obter a
antiderivada.
Seja F a função primitiva de f, ou seja,
F’(x)=f(x) para todo x ∈ D(f).
dy
Y=F(x) = F' = f(x)
(x)
dx
dy
∫ f(x)dx = ∫ dx ∫
.dx = dy = y
9. Teoremas sobre integrais indefinidas
Sendo k uma constante real:
∫
1 − dx = x + k d(x)
= 1
dx
d(au) du
2− ∫ ∫
af(x)dx = a f(x)dx
dx
= a
dx
a constante real
3 − ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
d(u + v) du dv
= +
dx dx dx
xn + 1
∫
4 − x n dx =
n + 1
+ k d(x n )
dx
= nx n − 1
para n ≠ 1
10. Observação: Para verificar se a integral
indefinida foi obtida corretamente,
podemos derivar o resultado e verificar se
a resposta é o integrando da integral
indefinida.
xn + 1
∫
4 − x n dx =
n + 1
+ k
para n ≠ 1
xn + 1
d
n + 1
= 1 d x n + 1)
( n + 1
⋅ = ⋅ xn + 1 − 1 = xn
dx n + 1 dx n + 1
12. Mais fórmulas básicas
vn + 1 d(v n ) n − 1 dv
5 − ∫ v n dv =
n + 1
+ k
dx
= nv
dx
dv d(lnv) 1 dv
6 − ∫ v
= ln v + k
dx
=
v
⋅
dx
av d(a v )
7 − ∫ a v dv =
ln a
+ k
dx
v
= a . ln a ⋅
dv
dx
d(ev )
8 − ∫ ev dv = ev + k
dx
v
= e ⋅
dv
dx