1. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Bài 1 Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;1) , B(1; 2) , träng t©m G cña tam gi¸c
27
n»m trªn ®-êng th¼ng x  y  2  0 . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng
2
Hướng dẫn: V× G n»m trªn ®-êng th¼ng x  y  2  0 nªn G cã täa ®é G  (t; 2  t ) . Khi ®ã
AG  (t  2;3  t ) , AB  (1; 1) VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ


2t  3
1
2 (t  2) 2  (3  t ) 2  1 =
2
2
27
27 9
NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng
th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng
 .
2
6 2
2t  3 9
VËy
 , suy ra t  6 hoÆc t  3 . VËy cã hai ®iÓm G : G1  (6;4) , G 2  (3;1) . V× G lµ träng t©m
2
2
tam gi¸c ABC nªn
xC  3xG  ( xA  xB ) vµ yC  3 yG  ( y A  yB ) .
S
1
AG 2 . AB 2  AG. AB
2
2



Víi G1  (6;4) ta cã C1  (15;9) , víi G 2  (3;1) ta cã C2  (12;18)
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y  4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3)
nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Hướng dẫn: Gọi  là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và AB
664
4 2
Ta có d  A,   
E
2
Vì  là đường trung bình của  ABC
 d  A; BC   2d  A;    2.4 2  8 2
Gọi phương trình đường thẳng BC là: x  y  a  0
B
H
C
a  4
 8 2  12  a  16  
Từ đó:
2
 a  28
Nếu a  28 thì phương trình của BC là x  y  28  0 , trường hợp này A nằm khác phía đối với BC và
66a
 , vô lí. Vậy a  4 , do đó phương trình BC là: x  y  4  0 .
Đường cao kẻ từ A của ABC là đường thẳng đi qua A(6;6) và  BC : x  y  4  0 nên có phương trình là
x  y  0.
Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC là nghiệm của hệ phương trình
x  y  0
 x  2

Vậy H (-2;-2)

 x  y  4  0  y  2
Vì BC có phương trình là x  y  4  0 nên tọa độ B có dạng: B(m; -4-m)
Lại vì H là trung điểm BC nên C(-4-m;m)
Suy ra: CE   5  m; 3  m  , AB  (m  6; 10  m) ;Vì CE  AB nên
AB.CE  0   a  6  a  5   a  3 a  10   0

a  0
2a 2  12a  0  
Vậy
 a  6
www.nguoithay.org
 B  0; 4 


C  4;0 

hoặc
 B  6; 2 

.

C  2; 6 

Page 1

2. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Bài 3 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A  1;2  và đường thẳng  d  : x  2 y  3  0 . Tìm trên đường thẳng (d)
hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC  3BC .
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra C là hình chiếu vuông góc của A trên (d)
Phương trình đường thẳng    qua A và vuông góc với (d) là: 2x  y  m  0
A  1;2       2  2  m  0  m  0
3

x   5
 3 6
2x  y  0 
Suy ra:    : 2x  y  0 .Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:
 C  ;  .
x  2y  3 
6
 5 5
y 
5


Đặt B  2t  3; t   (d) , theo giả thiết ta có: AC  3BC  AC 2  9BC 2
 16
2
2


t 
4 16
12   6 


 9  2t     t     45t 2  108t  64  0   15 .
4
25 25
5   5 



t 
 3
16
4
 13 16 
 1 4
 Với t 
Với t   B   ; 
 B ;  ;
15
3
 15 15 
 3 3
 13 16 
 1 4
Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là: B   ;  hoặc B   ;  .
 3 3
 15 15 
A  2;1
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
và các đường thẳng
d1  : x  2 y  1  0,  d2  : x  2 y  8  0
B   d1  , D   d2 

. Tìm
và C sao cho ABCD là hình vuông.
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: Tịnh tiến gốc tọa độ về điểmA, tìm pt đường (d1),(d2) trong hệ trục mới
B(m; n)   d1  => D(n; m)   d 2 
(do ABCD là hình vuông từ đó tìm được điểm B,D,C
 C  : x2  y 2  2 x  6 y  6  0 và điểm M  3;1 . Gọi
Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
 C  . Viết phương trình đường thẳng T1T2 .
T1
T
và 2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: Tính phương tích của điểm M đối với đường tròn(C),
Viết phương trình đường tròn tâm M ,bk
PM
(C )
 15  ( MT1 )2
r  15   x  3    y  1  15  x 2  y 2  6x  2 y  5  0
2
2
 x2  y 2  2x  6 y  6  0

 8 x  4 y  11  0
 2
2
T1
T2
x  y  6x  2 y  5  0
Tọa độ
và là các nghiệm của hê. 
.Suy ra phương trình
T1T2
đường thẳng
là: 8x  4 y  11  0
www.nguoithay.org
Page 2

3. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Bài 6 Trong mp với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giac PQR có đường cao hạ từ đỉnh P là d: 2x+y+3=0 và
đường phân giác trong của góc Q là d': x-y=0. PQ đi qua điểm I(0;-1) và RQ=2IQ. Viết phương trình
đường thẳng PR.
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: Gọi I; là điểm đối xúng của I qua đường phân giác trong của góc Q thi I’ nằm trên đường
thảng QR. Từ đây viết được pt QR => điểm Q và pt cạnh PQ, tọa độ điểm P. Có điểm Q và từ hệ thức
RQ=2IQ , ta sẽ tìm được điểm R ( sẽ có hai điểm R) Kiểm tra và kết luận.
Bài 7. Cho đường tròn (C ) : (x-1)2 + (y+3)2 =9
A(-1,1); B(2 ,-2) tìm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: (C) có tâm I(1;3) và bán kính R = 3. Dễ thấy A nằm ngoài (C) và B nằm trong (C)
Ta có AB = (3;3)  AB = 3 2
CD // AB  CD có vtpt n =(1;1)  CD: x  y + m = 0
2
2
3 2 
3 2
 CD 
R 
 32  

 2   2

 2 


2
ABCD là hình bình hành nên CD = AB = 3 2  d(I, CD) =
4m 3 2

2  m  4 = 3  m = 1  m = 7
2

 CD: x  y  1 = 0 hoặc x  y  7 = 0
( x  1)2  ( y  3) 2  9 ( x  1)2  ( x  2)2  9


y  x 1
x  y 1  0
Th1: CD: x  y  1 = 0  tọa độ C, D là nghiệm của hệ:

2 x 2  2 x  4  0  x  1  x  2



 y  x 1
 y  0  y  3  C(1;0), D(2;3) hoặc C(2;3), D(1;0)


( x  1)2  ( y  3) 2  9

x  y  7  0
( x  1)2  ( x  4) 2  9

y  x 7
Th2: CD: x  y  7 = 0  tọa độ C, D là nghiệm của hệ:


9  17
x 

4
2 x 2  9 x  8  0 
9  17 19  17
9  17 19  17
 y  19  17


y  x7
4
4
4
 

 C( 4
;
), D( 4
;
)
9  17 19  17
9  17 19  17
4
4
hoặc C( 4
;
), D( 4
;
)
Bài 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D, phương trình cạnh AD là
2 x  y  6  0 , điểm M  2;5 là trung điểm của BC và CD  BC 2  2 AB . Tìm tọa độ các đỉnh của hình
thang biết A có tung độ dương
+ ngoài lề : thông thường tìm tọa độ của 1 điểm :
giao của hai đường thẳng. (1)
vecto này bằng k lần vecto kia. (2)
Hướng dẫn:
12
10
E
8
B
6
M(2;5)
A
4
C
2
www.nguoithay.org
15
10
5
5
2
D
10
15
Page 3

4. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Gọi E là trung điểm của CD.
N …………………. AD;
F là giao của AD và BC
Pt MN : x – 2y + 8 = 0, suy ra N( -4 ; 2)
Dễ dàng nhận ra tam giác BEC vuông cân nên góc DFC = 450 = góc hai đường thẳng AD và BC.
n  (k ;1) ; của AD : n2  (2;1)
Giả sử VTPT của BC là 1
n1.n2
2k  1
1

2
n .n
2 suy ra k = 1/3 ; k = -3.
Cos(AD ;BC) = 1 2 = k  1. 5
Với k = -3 : PT BC : 3x – y – 1 = 0 => Suy F ( - 1 ; -4). Gỉa sử điểm A( a; -6 – 2a)
dễ thấy FA  2 AN suy ra A ( nhớ là tung độ A dương mới nhận, không dương ta xét nốt
k = 1/3) , từ đây bạn suy ra D. tới đây mình nghĩ có nhiều cách để suy ra C và B
C1 : Lập PT tìm giao điểm
C2 : vecto = k lân nhau
Bài 9
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn:
B(b; 0), C(0; c) ĐK: b, c > 0
+ ABC vuông tại A nên: 2b + c - 5 = 0 (1)
1
2
S ABC  AB. AC  b  2  1  1
2
+
=> b =2 và c = 1.
Bài 10
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn:
A(a; 0), B(0; b) ĐK: a, b > 0
x y
 1
AB có pt: a b
3 2
  1 (*)
+ AB qua M nên: a b
(*) 1 
1. Ta có:
www.nguoithay.org
3 2
6
 2
 ab  24
a b
ab
…..
Page 4

5. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
 3 2
  a  b  
2. ta có: OA + OB = a+b =  a b 
Tự tìm dấu bằng xảy ra => KQ.
3. Áp dụng bunhia
2


3 2

www.nguoithay.org
2
BĐT bunhia.

1
1 
1
1
1
 3 2
 1
 1
1      32  2 2  2  2   13




2
2 
2
2
8
b 
13 …Tự tìm ra dấu = xảy ra => KQ.
a b
a
 OA OB  OA OB
Bài 11
6
4
Hướng dẫn
Gọi C là giao của AB và d ,BH d ,
1
thì ta có Sin α =  α = 30°
2
Bài toán đưa về viết pt đường thẳng đi
15
10
qua A và tạo với d góc 30°
2
A (1;
3)
α
B
d
O
5
H
C
5
2
4
Bài 12.
6
8
8
6
Hướng dẫn:
Hướng dẫn:
* Từ giả thiết viết được pt AC và KH
* Xác định được tọa độ của A ε đtAc
và Bε đt KH nhận M làm trung điểm
* Viết được pt đt BC (đi qua
B,vuông góc AH )
10
5
4
A
K(0;2)
2
M(3;1)
8
C
H(1;0)
5
O
2
B
6
4
Bài 13
4
6
8
Hướng dẫn:
* Dễ dàng xác định được đỉnh C đối xứng
với A qua tâm I(1,-2) => C(0;2)
* Do diện tích ABC bằng 4 suy ra
4
10
5
d(B;AC)=
. B là giao điểm của
5
đường thẳng song song với AC và cách
4
AC 1 khoảng bằng
; với đường tròn
5
(C).
Kết quả ta có 4 điểm B có tọa độ là
(0.00, 0.00);;(2.00, –4.00) .......
www.nguoithay.org
2
A(2;0)
O
E
5
10
I
2
I
4
C(0;-4)
H
Page 5

6. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
8
Bài 14
6
Hướng dẫn:
* Dễ thấy các điểm M, C thuộc các
đường thẳng song song với AB và có
các pt tương ứng là : x-y-1=0 ;x-y-2=0
* Diện tích ΔABC là 2 thì diện tích
1
2
ΔIMC là ; do d(C;d2)=d(I;d)=
2 10
2
5
1
nên IM=
. Từ đó dễ dàng tìm được
2
tọa độ của M ( Có hai điểm M thoả
mãn đk)
d
4
d2
B
2
d1
I(2;1)
5
10
C
2
M
A
4
Bài 15
6
8
10
độ các đỉnh của tam giác.
8
6
Hướng dẫn:
* Viết pt đường thẳng (D) đi qua M
và tạo với đt d 1 góc 45°, Đỉnh B là
giao của (D) và d
* Viết pt đường thẳng (D') đi qua N
và vuông góc với (D). Đỉnh C là
giao của d và (D')
* Từ đó suy10ra đỉnh A
5
C
C' x+7y-31=0
4
B
2
N
A'
5
( Bài toán có nhiều hướng giải khác nhau)
A
2
Bài 16.
10
M
4
6
www.nguoithay.org
Page 6

7. 30
Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
28
26
24
22
Hướng dẫn:
* tìm M' là điểm đối xứng của M qua BD
* Viết pt đường cao AH . (Đi qua H, có
vtpt:n =HM'
* Tìm các điểm A và B thuộc các đường
phân giác BD và đường cao AH ,đối xứng
nhau qua M
20
18
x+y-5=0
16
14
D
12
M
10
8
6
4
2
c
35
30
25
20
M'
15
10
5
H
5
B
2
10
15
Bài 17
6
4
Hướng dẫn:
*Do tam giác ABC cân tại A, nên khi
dựng hình bình hành AMEM' thì
AMEM' là hình thoi và tâm I là hình
chiếu của M trên đường cao AH.
15
10
* Từ đó ta có cách xác định các đỉnh
A,B,C như sau:
+viết pt đt EM ( đi qua M,//d ); Xác
dịnh giao điểm E cảu ME và đường
cao AH.
+Xác định hình chiếu I của M trên
AH,và xác định tọa độ của A
+ xác định B là giao của MA và d
+Xác định C là điểm đối xứng của B
qua AH
.
2
M(1;1)
x+y+3=0
E
5
5
B
x-4y-2=0
I
2
H
4
A
M' C
6
8
8
Bài 18
6
A
Hướng dẫn:
*Dễ thấy đỉnh B có tọa độ: B(1;0)
* Đỉnh Aεd thì Ax;2 2(x-1); thì trung
điểm H của BC có tọa độ H(x;0)
* Chu vi ABC bằng 16 thì BA+BH=8
<=>3x-1+x-1 = 8 => x-1=2 <=>
10
5
4 2
x=3 =>A(3;4 2) => G 3;
3
4 2
hoặc x=-1 =>A(-1;-4 2) G -1;3




4
2
G
B
H
C5
10
2
4
Bài 19
6
www.nguoithay.org
Page 7

8. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
16
14
12
10
Hướng dẫn:
* Đường tròn (C) có tâm H(1;-2); bán kính
R=5 tiếp xúc với đường thẳng (d) tại A'(4;2)
* Tam giác ABC có trực tâm H, hai đỉnh B và
C thuộc (d) thì A' là chân đường cao thuộc BC
và A thuộc (C) nên AA' là đường kính và
A(-2;-5)
* do trung 20
điểm F của 15
AB thuộc (C) nên
25
10
5
1
HF//= A'B =>A'B=10 .Từ đây ta tìm được
2
tọa độ của B= (12;-4)
* Do C thuộc (d) nên tọa độ của C thỏa mãn
hệ thức:CA' =tA'B và CH . AB =0 => C(0;5).
Tọa độ các đỉnh của tam giác là :
8
6
C
4
A'
2
E
5
10
15
2
H
4
B
F
6
A
8
A=(-2;-5);B= (12;-4);C=(0;5)
10
12
Bài 20
6
4
Hướng dẫn:
*Từ giả thiết ta có B là chân
đường vuông góc kẻ từ A đến
dường thẳng x-2y-2=0 =>B(0;-1)
* Do tam giác ABC vuông cân
10
tại B nên C là giao của đường 5
thẳng đi qua B vuông góc với
BA, ta tìm được hai điểm C có
tọa độ C=2;0) hoặc C'=-2;-2)
2
C
O
B
x-2y-2=0
5
10
2
C'
A
4
Bài 21 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1;0 , B  2; 4 , C  1; 4 , D  3;5 và đường thẳng
d : 3x  y  5  0 . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam6 giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau
Hướng dẫn:
M thuộc d thi M(a;3a-5 )
x 1 y 8
  4x  3y  4  0
3
4
x 1 y  4
 CD   4;1  CD  17;  CD  :

 x  4 y  17  0
4
1
4a  3  3a  5  4 13a  19
a  4  3a  5   17 3  11a
- Tính : h1   M , AB  

, h2 

5
5
17
17
- Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì :
11

5. 13a  19
17. 3  11a
13a  19  3  11a
1
1
 a  12
 AB.h1  CD.h2 



2
2
5
17
13a  19  11a  3  a  8

- Mặt khác : AB   3; 4   AB  5,  AB  :
www.nguoithay.org
Page 8

9. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
 11 27 
- Vậy trên d có 2 điểm : M1  ;   , M 2  8;19 
 12 12 
Bài 22.
Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC , biết tọa độ chân các đường cao tương ứng là A’,B’,C’.
Hướng dẫn:
A
Gọi H là trực tâm
ABC,Dễ c/m dược
A'H,B'H,C'H là các đường
phân giác trong của tam
giác
A'B'C'. và viết được
phương trình của A'H, ,Từ
đó suy ra phương trình của
BC.
B'
C'
H
B
A'
C
Bài 23. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên
đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C
Hướng dẫn:
02
 2.
- Nếu C nằm trên d : y=x thì A(a;a) do đó suy ra C(2a-1;2a).- Ta có : d  B, d  
2
1
4
2
2
- Theo giả thiết : S  AC.d  B, d   2  AC 
  2a  2    2a  0 
2
2

1 3
a 
2
 8  8a 2  8a  4  2a 2  2a  1  0  

1 3
a 

2
 1 3 1 3 
 1 3 1 3 
- Vậy ta có 2 điểm C : C1 
;
 , C2 
 2
 2 ; 2 

2 




Bài 24. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(1;1) , B(2; 5) , ®Ønh C n»m trªn ®-êng
th¼ng x  4  0 , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®-êng th¼ng 2 x  3 y  6  0 . TÝnh diÖn tÝch tam
gi¸c ABC.
Hướng dẫn:
 AB  5
- Tọa độ C có dạng : C(4;a) , AB   3; 4   
 AB  : x  1  y  1  4 x  3 y  7  0
3
4

xA  xB  xC
1 2  4


1
 xG 
 xG 


3
3

- Theo tính chát trọng tâm ; 
 y  y A  yB  yC
 y  1 5  a  a  6
G
 G

3
3
3


 a6
- Do G nằm trên : 2x-3y+6=0 , cho nên :  2.1  3 
6  0  a  2.
 3 
4.4  3.2  7
1
1
15
 3  S ABC  AB.d  C , AB   5.3 
- Vậy M(4;2) và d  C , AB  
(đvdt)
2
2
2
16  9
www.nguoithay.org
Page 9

10. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Bài 25. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;1) , B(1; 2) , träng t©m G cña tam gi¸c
n»m trªn ®-êng th¼ng x  y  2  0 . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 .
3 1
Hướng dẫn: Ta có : M là trung điểm của AB thì M  ;   . Gọi C(a;b) , theo tính chất trọng tam tam
2 2
a3

xG 

a 3 b3

3
giác : 
; Do G nằm trên d :

 2  0  a  b  6 1
b3
3
3
y 
 G
3

3a  b  5
x  2 y 1

 3x  y  5  0  h  C , AB  
- Ta có : AB  1;3   AB  :
1
3
10
2a  b  5 2a  b  5
1
1
10.

 13,5
- Từ giả thiết : S ABC  AB.h  C , AB  
2
2
2
10
 2a  b  5  27
 2a  b  32
 2a  b  5  27  

 2a  b  5  27
 2a  b  22
- Kết hợp với (1) ta có 2 hệ :

20
 b   3
 a  b  6
 a  b  6




38

2a  b  32
3a  38
 38 20 


  a 
 C1  ;   , C2  6;12 

 a  b  6
 a  b  6
3

3 
 3



 b  12
 2a  b  22
 3a  18


 a  6

Bài 26 Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0
.Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích
ABC .
Hướng dẫn: - Đường thẳng (AC) qua A(2;1) và vuông góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ chỉ
x  2  t
phương n  1; 3   AC  : 
t  R 
 y  1  3t
x  2  t

- Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C :   y  1  3t
x  y 1  0

Giải ta được : t=2 và C(4;-5). Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra B(3a+7;a) . M là trung điểm của
 3a  9 a  1 
AB  M 
;
.
2 
 2
3a  9 a  1
- Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C : 

 1  0  a  3  B 1; 2 
2
2
12
x  2 y 1

 3x  y  5  0, h  C; AB  
- Ta có : AB   1; 3  AB  10,  AB  :
1
3
10
1
1
12
Vậy : S ABC  AB.h  C , AB  
10.
 6 (đvdt).
2
2
10
Bài 27 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực
cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC
www.nguoithay.org
Page 10

11. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
 a5 b2
M
Hướng dẫn: - Gọi B(a;b) suy ra M 
;
.
2 
 2
A(5;2)
nằm trên trung tuyến nên : 2a-b+14=0 (1).
- B,B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên :
2x-y+3=0
x  a  t
 BC  : 
t  R  .
y  b t
M
Từ đó suy ra tọa độ N :
N
 6a b
B
C
t 
x+y-6=0
2
x  a  t

3a  b  6


 x 
y  b t
2
x  y  6  0 

6ba

y 
2

 3a  b  6 6  b  a 
 N
;
 . Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a )
2
2


- Do C nằm trên đường trung tuyến : 5a-2b-9=0 (2)
2a  b  14  0
a  37
- Từ (1) và (2) :  

 B  37;88 , C   20; 31
5a  2b  9  0
b  88
Bài 28 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng  : x  3 y  8  0 ,  ' :3x  4 y  10  0 và
điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng  , đi qua điểm A và tiếp xúc với
đường thẳng  ’.
 x  2  3t
Hướng dẫn: : - Gọi tâm đường tròn là I , do I thuộc  : 
 I  2  3t; 2  t 
 y  2  t
 3t    3  t   R (1)
3  2  3t   4  t  2   10
- A thuộc đường tròn  IA 
2
2
- Đường tròn tiếp xúc với  ' 
13t  12
5
 R . (2)
13t  12
2
2
2
 25  3t    3  t    13t  12 


5
Bài 29 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
(C ) : x2  y 2 – 2 x – 2 y  1  0, (C ') : x2  y 2  4 x – 5  0 cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình
đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB
- Từ (1) và (2) :
 3t    3  t 
5
R
2
2

Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: * Cách 1.
 x  1  at
- Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương u   a; b   d : 
 y  bt
- Đường tròn  C1  : I1 1;1 , R1  1.  C2  : I 2  2;0  , R2  3 , suy ra :
 C1  :  x 1   y 1
2
- Nếu d cắt
 C1 
2
 1,  C2  :  x  2   y 2  9
2
t  0  M

2ab
2b 2 
tại A :   a  b  t  2bt  0  
 A 1  2
; 2
2
2 
t  2 2b 2
 a b a b 
 a b
www.nguoithay.org
2
2
2
Page 11

12. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
t  0  M

6a 2
6ab 
- Nếu d cắt  C2  tại B :   a  b  t  6at  0  
; 2
6a  B  1  2

2
t   2
a  b2 
 a b
2
a b

2
2
- Theo giả thiết : MA=2MB  MA  4MB *
2
2
2
2
2
2
 6a 2 2  6ab 2 
 2ab   2b 
  2 2   4  2 2    2 2  
- Ta có :  2
2 
 a b   a b 
 a  b   a  b  


2
2
b  6a  d : 6 x  y  6  0
4b
36a
 2
 4. 2
 b2  36a 2  
2
2
a b
a b
b  6 a  d : 6 x  y  6  0
* Cách 2.
1
- Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k=  . ( Học sinh tự làm )
2
Bài 30 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm
H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3;1) .
Bài giảng bằng video tại www.nguoithay. Com
Hướng dẫn: - Theo tính chất đường cao : HK vuông
góc với AC cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp
tuyến
KH  1; 2    AC  : x  2  y  2   0  x  2 y  4  0 .
M(3;1)
- B nằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương
KH  1; 2   B 1  t; 2t  .
B
- M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t).
- Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 ,
suy ra t=1 . Do đó A(4;4),B(2;-2)
- Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) ,
BC   2t  2; 4  t  , HA   3; 4  . Theo tính chất đường cao kẻ từ A :
A
K(0;2)
H(1;0)
C
 HA.BC  0  3  2t  2   4  4  t   0  t  1 . Vậy : C(-2;1).
- (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương BA   2;6  // u  1;3   AB  :
 3x  y  8  0
x4 y4

1
3
- (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến HA   3;4    BC  : 3  x  2   4  y  2   0
 3x  4 y  2  0 .
Bài 31 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình  C1  : x2  y 2  4 y  5  0 và
 C2  : x2  y 2  6 x  8 y  16  0. Lập phương trình tiếp tuyến chung của  C1 
Hướng dẫn: : - Ta có :
2
 C1  : x2   y  2  9  I1  0; 2 , R1  3,
- Nhận xét : I1I 2  9  4 
C2  :  x  3   y  4
13  3  3  6   C1  không cắt  C2 
2
2
và  C2  .
 9  I 2  3; 4  , R2  3
- Gọi d : ax+by+c =0 ( a 2  b2  0 ) là tiếp tuyến chung , thế thì : d  I1 , d   R1 , d  I 2 , d   R2
www.nguoithay.org
Page 12

13. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
 2b  c
 3 1
 2
2b  c
3a  4b  c
3a  4b  c  2b  c
 a  b2



 2b  c  3a  4b  c  
a 2  b2
a 2  b2
3a  4b  c  2b  c
 3a  4b  c  3 2
 
 a 2  b2

 a  2b
2
. Mặt khác từ (1) :  2b  c   9 a 2  b2 

3a  2b  2c  0
- Trường hợp : a=2b thay vào (1) :

2b  3 5c
b 
4
2
 2b  c   9  4b2  b2   41b2  4bc  c 2  0. 'b  4c 2  41c 2  45c 2  

23 5 c
b 


4
- Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm :




2  3 5  x  2  3 5  y 1  0  2 2  3 5 x  2  3 5 y  4  0

 

2
4
2  3 5  x  2  3 5  y 1  0  2 2  3 5 x  2  3 5 y  4  0
d :

 

2
4
d1 :
1
- Trường hợp : c 
2b  3a
, thay vào (1) :
2
2b 
2b  3a
2
a b
2
2
 3  2b  a  a 2  b 2
a

b  0, a  2c
b  0  c   2
2
2
2
2
  2b  a   a  b  3b  4ab  0  

b  4a , a  6c
4a
a
b 
c
3


3
6

- Vậy có 2 đường thẳng : d3 : 2 x  1  0 , d4 : 6 x  8 y  1  0
Bài 32 Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp xúc với
đường thẳng d : x  y  2  0 tại điểm A có hoành độ bằng 4.
Hướng dẫn: - Do A thuộc d : A(4;2)
x2 y 2
16 4
- Giả sử (H) : 2  2  1*  A   H   2  2  11
a b
a b
- Mặt khác do d tiếp xúc với (H) thì hệ sau có 12 nghiệm bằng nhau :
 b2  a 2  x 2  4a 2 x  4a 2  a 2b 2  0
b2 x 2  a 2  x  2 2  a 2b 2
b2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2





y  x  2
y  x  2
y  x  2


  'a  4a 4   b2  a 2  4a 2  a 2b2   4a 2b2  a 2b4  a 4b2  a 2b2  4  b2  a 2   0  a 2  b2  4
2
16b2  4a 2  a 2b 2
 4
 2
x2 y 2

b  8b  16  0
b  4
- Kết hợp với (1) :  2
 2
 2
 H : 
1
2
2
8
4
a  b  4
a  b  4
a  8



Bài 33 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y +
1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh
của hình chữ nhật
Hướng dẫn: - Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ :
x  2 y 1  0
 21 13 
 B ; 

 5 5
 x  7 y  14  0
www.nguoithay.org
Page 13

14. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:
21

x  t


5
u  1; 2    BC  : 
 y  13  2t

5

- Ta có :  AC, BD   BIC  2 ABD  2  2  AB, BD 
- (AB) có n1  1; 2  , (BD) có n2  1; 7   cos =
- Gọi (AC) có n   a, b   cos  AC,BD   cos2 =
n1.n2

n1 n2
1  14
15
3


5 50 5 10
10
4
9
 2cos 2   1  2    1 
5
 10 
50 a  b
a-7b
2
2
- Do đó :  5 a  7b  4 50 a 2  b2   a  7b   32  a 2  b2   31a 2  14ab  17b2  0
2
17
17

a   b   AC  :   x  2    y  1  0  17 x  31y  3  0
31
31
- Suy ra : 

 a  b   AC  : x  2  y  1  0  x  y  3  0

21

x  5  t

13
7

 14 5 
- (AC) cắt (BC) tại C   y   2t  t   C  ; 
5
15
 3 3

x  y  3  0


x  2 y 1  0
x  7
- (AC) cắt (AB) tại A :  

 A  7; 4 
x  y  3  0
y  4
x  7  t
- (AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy ra (AD) : 
 y  4  2t
x  7  t
7

 98 46 
 t   D ; 
- (AD) cắt (BD) tại D :  y  4  2t
15
 15 15 
 x  7 y  14  0

- Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 …..làm tương tự .
Bài 34 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và
C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường tròn
có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG
Hướng dẫn: : - B thuộc d suy ra B :
A(2;3)
x  t
 x  7  2m
, C thuộc d' cho nên C: 
.

 y  5  t
y  m
x+2y-7=0
- Theo tính chất trọng tâm :
 t  2m  9   2, y  m  t  2  0
G(2;0)
 xG 
G
3
3
C
M
B
mt  2
m 1



- Ta có hệ : 
x+y+5=0
t  2m  3 t  1
- Vậy : B(-1;-4) và C(5;1) . Đường thẳng (BG)
qua
(BG):
G(2;0) có véc tơ chỉ phương u   3; 4  , cho nên
www.nguoithay.org
Page 14

15. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
20  15  8 13
x2 y
  4 x  3 y  8  0  d  C; BG  
 R
3
4
5
5
13
169
2
2
- Vậy đường tròn có tâm C(5;1) và có bán kính R=   C  :  x  5   y  1 
5
25
Bài 35Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên
đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1
Hướng dẫn: - Đường (AB) cắt (BC) tại B
A
2 x  5 y  1  0
12x-y-23=0

12 x  y  23  0
M(3;1)
Suy ra : B(2;-1). . (AB) có hệ số góc k=12, đường thẳng
2
(BC) có hệ số góc k'= , do đó ta có :
H
5
B
C
2
2x-5y+1=0
12 
5  2 . Gọi (AC) có hệ số góc là m thì ta
tan B 
2
1  12.
5
2
m
2  5m

có : tan C  5
. Vì tam giác ABC cân tại A cho nên tanB=tanC, hay ta có :
2m
5  2m
1
5
8

 2  5m  4m  10
2  5m
m   9
 2  2  5m  2 2m  5  


5  2m
 2  5m  4m  10
 m  12
9
9
- Trường hợp : m     AC  : y    x  3  1  9 x  8 y  35  0
8
8
- Trường hợp : m=12 suy ra (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại vì nó //AB ).
- Vậy (AC) : 9x+8y-35=0 .
Bài 36 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn :
(C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25
Hướng dẫn: - Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15. (C') có J(1;2) và R'=5. Gọi d là tiếp tuyến chung có
phương trình : ax+by+c=0 ( a 2  b2  0 ).
5a  12b  c
a  2b  c
 15 1 , h  J , d  
 5  2
- Khi đó ta có : h  I , d  
a 2  b2
a 2  b2
5a  12b  c  3a  6b  3c
- Từ (1) và (2) suy ra : 5a  12b  c  3 a  2b  c  
5a  12b  c  3a  6b  3c
 a  9b  c

. Thay vào (1) : a  2b  c  5 a 2  b2 ta có hai trường hợp :
 2a  3 b  c

2
2
- Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) :  2a  7b   25  a 2  b2   21a 2  28ab  24b2  0

 14  10 7 
14  10 7
175  10 7
 d :
0
a 
x y


21
21
21



Suy ra : 
 a  14  10 7  d :  14  10 7  x  y  175  10 7  0





21
21
21



www.nguoithay.org
Page 15

16. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
3
2
- Trường hợp : c  2a  b  1 :  7b  2a   100  a 2  b2   96a 2  28ab  51b2  0 . Vô nghiệm . (
2
Phù hợp vì : IJ  16  196  212  R  R '  5  15  20  400 . Hai đường tròn cắt nhau ) .
Bài 37. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2  y2  2x  8y  8  0 . Viết phương
trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài
bằng 6.
Hướng dẫn: Đường thẳng d' song song với d : 3x+y+m=0
A
3  4  m m  1
- IH là khoảng cách từ I đến d' : IH 

K
5
5
x+2y-5=0
 AB 2 
- Xét tam giác vuông IHB : IH 2  IB 2  
  25  9  16
 4 
 m  1

C
 m  19  d ' : 3x  y  19  0
B(2;-1)
H
 16  m  1  20  
25
 m  21  d ' : 3x  y  21  0
3x-4y+27=0
Bài 38. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phân giác trong
qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y– 5=0
 x  2  3t
Hướng dẫn: - Đường thẳng (BC) qua B(2;-1) và vuông góc với (AH) suy ra (BC): 
, hay :
 y  1  4t
x  2 y 1


 4 x  3 y  7  0  n   4;3
3
4
 x  2  3t

- (BC) cắt (CK) tại C :   y  1  4t  t  1  C  1;3
x  2 y  5  0

2
- (AC) qua C(-1;3) có véc tơ pháp tuyến n   a; b 
Suy ra (AC): a(x+1)+b(y-3)=0 (*). Gọi   KCB  KCA  cos =
- Tương tự : cos =
a+2b

a+2b

46
10
2


5 16  9 5 5
5
2
2
  a  2b   4  a 2  b2 
5
5 a 2  b2
5 a 2  b2
 a  0  b  y  3  0  y  3  0
2
 3a  4ab  0  
 a  4b  4  x  1   y  3  0  4 x  3 y  5  0

3
3

 y  3

 y  3  0
  x  5


3x  4 y  27  0
 31 582 
- (AC) cắt (AH) tại A : 
   x   31  A1  5;3 , A2    ;

 4 x  3 y  5  0

 25 25 

25



582
 3x  4 y  27  0

 y 
25

- Lập (AB) qua B(2;-1) và 2 điểm A tìm được ở trên . ( học sinh tự lập ).
Bài 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A, phương
trình đường thẳng BC là : 3 x – y - 3 = 0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội
tiếptam giác ABC bằng 2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .
www.nguoithay.org
Page 16

17. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Hướng dẫn: - Đường thẳng (BC) cắt Ox tại B : Cho y=0 suy ra x=1 , B(1;0) . Gọi A(a;0) thuộc Ox là
đỉnh của góc vuông ( a khác 1 ).. Đường thẳng x=a cắt (BC) tại C : a; 3  a  1 .


- Độ dài các cạnh : AB  a  1 , AC  3 a  1  BC  AB  AC  BC  2 a  1
2

2

2
- Chu vi tam giác : 2p= a  1  3 a  1  2 a  1  3  3 a  1  p 
3  3  a 1
2
1
1
3
S
2
.(*) Nhưng S= AB. AC  a  1 3 a  1 
 a  1 . Cho nên (*) trở thành :
2
2
2
r
a  3  2 3
1
3
2
3 3  1 a 1 
 a  1  a  1  2 3  1  
2
4
 a  1  2 3

- Trọng tâm G :

2 3  2 3 1 7  4 3
2a  1

 xG 
xG 


74 3 2 36
3


3
3


 G1 
;


3
3 
3  a  1 
3 22 3


y 
2 36

 G
 yG 
3

3
3


2 1  2 3  1
2a  1

1 4 3
 xG 
xG 


 1 4 3 2 3  6 
3


3
3


 G2  
;


3
3 
3  a  1
3 2  2 3


y 

2 36

 G
 yG 
3

3
3

Bài 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) : x 2  y 2  4 x  2 y  1  0
và đường thẳng d : x  y  1  0 . Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến
Hướng dẫn:
- M thuộc d suy ra M(t;-1-t). . Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với
nhau thì MAIB là hình vuông ( A,B là 2 tiếp điểm ). Do đó
AB=MI= IA 2 =R 2 = 6 2  2 3 .
- Ta có : S=pr suy ra p=










- Ta có : MI 
2  t   2  t 
2

2

A
 2t 2  8  2 3
- Do đó :

I(2;1)

t   2  M1  2; 2  1
M
.
2t 2  8  12  t 2  2  
t  2  M
2;  2  1
2


x+y+1=0
* Chú ý : Ta còn cách khác
- Gọi d' là đường thẳng qua M có hệ số góc k suy ra d' có
phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0 (1) .
2k  kt  t  2
 6
- Nếu d' là tiếp tuyến của (C) kẻ từ M thì d(I;d')=R 
1 k 2


B
  2  t  k  t  2  6 1  k 2    t 2  4t  2  k 2  2  t  2  2  t  k   t 2  4t  2   0


2
www.nguoithay.org
Page 17

18. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org

t 2  4t  2  0


- Từ giả thiết ta có điều kiện :   '   4  t 2    t 2  2  4t  t 2  2  4t   0
 2
 t  4t  2  1
 t 2  4t  2

t  2  6
1



k1  k2  
2
2
-   '  t 19  t   0  t   2  
2  k1; k2  M
2
k k  1
 1 2
t  2

Bài 41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho elip (E) : x 2  4 y 2  4  0 .Tìm những điểm N trên elip
ˆ
(E) sao cho : F1NF2  600 ( F1 , F2 là hai tiêu điểm của elip (E) )
x2
 y 2  1  a 2  4, b2  1  c 2  3  c  3
Hướng dẫn: : - (E) :
4
2
2
 x0  4 y0  4

3
3

x0 ; MF2  2 
x0 . Xét tam giác F1MF2 theo hệ thức hàm số cos
- Gọi N  x0 ; y0    E    MF1  2 
2
2

 F1 F2  2 3

:  F1F2   MF12  MF22  2MF1MF2cos600 
2
2
2

3  
3  
3 
3 
 2 3  2
x0    2 
x0    2 
x0  2 
x0 

 
 


2
2
2
2

 
 



4 2
1

 x0  
 y0   3
3 2 
3 2
9 2
32
1
3
2
2
 12  8  x0   4  x0   x0  8  x0 

 y0   
2
4 
4
9
9


4 2
y  1
 x0 
 0 3

3

 4 2 1 
 4 2 1 
 4 2 1
 4 2 1
- Như vậy ta tìm được 4 điểm : N1 
;   , N2 
;  , N3 
;   , N4 
 3
 3
 3
 3 ;3

3
3
3








Bài 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng  : 2x + 3y + 4 =0
Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng  sao cho đường thẳng AB và  hợp với nhau góc 450.
Hướng dẫn: - Gọi d là đường thẳng qua A(1;1) có véc tơ pháp tuyến n   a; b  thì d có phương trình


2
dạng : a(x-1)+b(y-1)=0 (*). Ta có n   2;3 .
- Theo giả thiết : cos  d,  
2a  3b
 cos450 
1
2
 2  2a  3b   13  a 2  b 2 
2
13 a 2  b2
1
1

2
2
 a   5 b  d :  5  x  1   y  1  0  x  5 y  4  0
 5a  24ab  5b  0 

 a  5b  d : 5  x  1   y  1  0  5 x  y  6  0

- Vậy B là giao của d với  cho nên :
x  5 y  4  0
5 x  y  6  0
 32 4 
 22 32 
 B1 
 B1   ;  , B2 : 
 B2  ;  
 13 13 
 13 13 
2 x  3 y  4  0
2 x  3 y  4  0
www.nguoithay.org
Page 18

19. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Bài 43. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x  y  5  0 .
d2: 3x +6y
– 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng
d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.
Hướng dẫn: : - Trước hết lập phương trình 2 đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau :
2x  y  5
 3x  6 y  7

 3 5
9 x  3 y  8  0
5


 3x  6 y  7 2 x  y  5
3x  9 y  22  0

 3 5
5

- Lập đường thẳng 1 qua P(2;-1) và vuông góc với tiếp tuyến : 9x+3y+8=0 .
x  2 y 1
 1 :

 x  3y  5  0
9
3
x  2 y 1
- Lập  2 qua P(2;-1) và vuông góc với : 3x-9y+22=0   2 :

 3x  y  5  0
3
9
x2 y2
Bài 44. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình:

 1 . Viết
16 9
phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ
sở của (H).
Hướng dẫn: : - (H) có a 2  16, b2  9  c2  25  c  5  F1  5;0  , F2  5;0  . Và hình chữ nhật cơ sở
của (H) có các đỉnh :  4; 3 ,  4;3 ,  4; 3 ,  4;3 .
x2 y 2

 1 . Nếu (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) thì ta có phương trình :
a 2 b2
c 2  a 2  b2  25 1
- Giả sử (E) có :
- (E) đi qua các điểm có hoành độ x 2  16 và tung độ y 2  9 
16 9
  1  2
a 2 b2
x2 y 2

1
40 15
Bài 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x 2  y 2  4 3x  4  0
Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A
Hướng dẫn: - (C) có I( 2 3;0 ), R= 4 . Gọi J là tâm đường tròn cần tìm :
- Từ (1) và (2) suy ra : a 2  40, b2  15   E  :
J(a;b)   C ' :  x  a    y  b   4
-Do (C) và (') tiếp xúc ngoài với nhau cho nên khoảng cách IJ
2
=R+R' 
a  2 3
2
2
y
A(0;2)
 b2  4  2  6  a 2  4 3a  b2  28
- Vì A(0;2) là tiếp điểm cho nên :  0  a    2  b   4  2 
2

2
I(-2

;0)
x
 a  2 3 2  b 2  36
2
 2

a  4 3a  b  24
- Do đó ta có hệ : 
 2
2
a  4b  b  0
a 2   2  b 2  4


- Giải hệ tìm được : b=3 và a=


3   C '  : x  3   y  3  4 .
2
2
* Chú ý : Ta có cách giải khác .
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của J trên Ox suy ra OH bằng a và JH bằng b
IA IO OA
4
2 3
2


 

- Xét các tam giác đồng dạng : IOA và IHJ suy ra :
IJ IH HJ
6 a2 3 b
www.nguoithay.org
Page 19

20. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
- Từ tỷ số trên ta tìm được : b=3 và a= 3 .
Bài 46. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường
chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Hướng dẫn: - Hình vẽ : ( Như bài 12 ).
x  2 y 1  0
- Tìm tọa độ B là nghiệm của hệ : 
 B  7;3 .
 x  7 y  14  0
x  7  t
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và   AB   uBC  1; 2    BC  : 
 y  3  2t
1 1

1
1
1
1
 2 x  y  17  0  kBC   . Mặt khác : k BD  , k AB   tan   7 2 
11 3
7
2
2
1
72
1
2
k
7  7k  1  2 tan   3  3
- Gọi (AC) có hệ số góc là k  tan 2 
k
7  k 1  tan 2  1  1 4
1
7
9
17

 28k  4  3k  21  k  
- Do đó : 4 7k  1  3 k  7  

31

 28k  4  3k  21
k  1
- Trường hợp : k=1 suy ra (AC) : y=(x-2)+1 , hay : x-y-1=0 .
x  7  t

- C là giao của (BC) với (AC) :   y  3  2t  t  1, C  6;5 
x  y 1  0

x  7  t

 t  0, A 1;0 
- A là giao của (AC) với (AB) :   y  3  2t
x  2 y 1  0

- (AD) //(BC) suy ra (AD) có dạng : 2x+y+m=0 (*) , do qua A(1;0) : m= -2 . Cho nên (AD) có phương
trình : 2x+y-2=0 .
2 x  y  2  0
- D là giao của (AD) với (BD) : 
 D  0; 2 
 x  7 y  14  0
17
- Trường hợp : k=cách giải tương tự ( Học sinh tự làm ).
31
Bài 47. Trong mp (Oxy) cho đường thẳng () có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2);
B (3;4). Tìm điểm M  () sao cho 2MA 2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn: - M thuộc  suy ra M(2t+2;t )
2
2
- Ta có : MA2   2t  3   t  2   5t 2  8t  13  2MA2  10t 2  16t  26
Tương tự : MB2   2t  1   t  4   5t 2  12t  17
2
2
- Do dó : f(t)= 15t 2  4t  43  f '  t   30t  4  0  t  
2
641
. Lập bảng biến thiên suy ra min f(t) =
15
15
2
2
 26
 M  ; 
15
 15 15 
Bài 48. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4)
đạt được tại t  
www.nguoithay.org
Page 20

21. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm của
AB
2
2
Hướng dẫn: - Đường tròn (C) :  x  1   y  3  4  I 1;3 , R  2, PM /(C )  1  1  4  2  0  M
nằm trong hình tròn (C) .
 x  2  at
- Gọi d là đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ chỉ phương u   a; b   d : 
 y  4  bt


- Nếu d cắt (C) tại A,B thì :  at  1   bt  1  4  a 2  b2 t 2  2  a  b  t  2  0 1 ( có 2 nghiệm t ) .
2

2

Vì vậy điều kiện :  '   a  b   2 a 2  b2  3a 2  2ab  3b2  0 *
2
- Gọi A  2  at1;4  bt1  , B  2  at2 ;4  bt2   M là trung điểm AB thì ta có hệ :
4  a  t1  t2   4
a  t1  t2   0




 t1  t2  0 . Thay vào (1) khi áp dụng vi ét ta được :
8  b  t1  t2   8
b  t1  t2   0


2  a  b
x2 y4
 t1  t2   2
 0  a  b  0  a  b  d :

 d : x y6  0
2
a b
1
1
x2 y 2
Bài 49. Viết phương trình các tiếp tuyến của e líp (E):

 1 , biết tiếp tuyến đi qua điểmA(4;3)
16 9
Hướng dẫn: - Giả sử đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n   a; b  qua A(4;3) thì d có phương trình là
:a(x-4)+b(y-3)=0 (*) , hay : ax+by-4a-3b (1) .
2
- Để d là tiếp tuyến của (E) thì điều kiện cần và đủ là : a 2 .16  b2 .9   4a  3b 
a  0  d : y  3  0
 16a 2  9b2  16a 2  24ab  9b2  24ab  0  
b  0  d : x  4  0
Bài 50. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I
và đường thẳng : mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng  cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B
thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
2
2
Hướng dẫn: - (C) :  x  1   y  m   25  I (1; m), R  5 .
m

y   4 x

- Nếu d : mx +4y=0 cắt (C) tại 2 điểm A,B thì  2
2
 m  16  x 2  2  4  m  x  m 2  24  0 1




 16 
 4 

m  
m 

- Điều kiện :  '  m2  25  0  m  R . Khi đó gọi A  x1 ;  x1  , B  x2 ;  x2 
4  
4 

m2
m2  16
m2  25
2
 AB   x2  x1  
8
 x2  x1   x2  x1
16
4
m2  16
m  4m
5m

- Khoảng cách từ I đến d =
2
m  16
m2  16
5m
1
1
m2  25
m2  25
.
 4 5m
 12
- Từ giả thiết : S  AB.d  .8
2
2
m2  16
m2  16 m2  16
2
2
m2  25
 5m
 3  25m2  m2  25  9  m2  16 
2
m  16
- Ta có một phương trình trùng phương , học sinh giải tiếp .
www.nguoithay.org
Page 21

22. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
Bài 51. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - 2 = 0,
phương trình cạnh AC: x + 2y - 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh BC
Hướng dẫn:
x  y  2  0
- (AB) cắt (AC) tại A :  
 A  3;1
x  2 y  5  0
- B nằm trên (AB) suy ra B(t; t-2 ), C nằm trên (AC) suy ra C(5-2m;m)
t  2m  8

3
 xG 
t  2m  1 m  2  C 1; 2 


3
- Theo tính chất trọng tâm : 


t  m  7
t  5  B  5;3
 y  t  m 1  2

G

3

Bài 52. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với đường thẳng có
phương trình 3x – y + 9 = 0.
Hướng dẫn:
Gọi M là trung điểm AB suy ra M(3;3 ) . d' là đường trung trực của AB thì d' có phương trình : 1.(x-3)2(y-3)=0 , hay : x-2y+3=0 .
- Tâm I của (C) nằm trên đường thẳng d' cho nên I(2t-3;t) (*)
3  2t  3  t  9
5t
10
- Nếu (C) tiếp xúc với d thì h  I , d   R 


t  R . (1)
2
10
10
- Mặt khác : R=IA=
 5  2t    5  t 
- Thay (2) vào (1) :
 5  2t    5  t 
2
2
2
2
. (2) .

10
t  4  5t 2  30t  50   10t 2
2
t  6  34
. Thay các giá trị t vào (*) và (1) ta tìm được tọa độ tâm I và bán kính R
 t 2  12t  2  0  
t  6  34

của (C) .
* Chú ý : Ta có thể sử dụng phương trình (C) : x2  y 2  2ax  2by  c  0 ( có 3 ẩn a,b,c)
- Cho qua A,B ta tạo ra 2 phương trình . Còn phương trình thứ 3 sử dụng điều kiện tiếp xúc của (C) và d :
khoảng cách từ tâm tới d bằng bán kính R .
Bài 53. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0.
Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C')
A
ắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB  3 .
Hướng dẫn: - Đường tròn (C) :
H
2
2
 x  1   y  2  3  I 1; 2 , R  3 .
I
M
- Gọi H là giao của AB với (IM). Do đường tròn (C') tâm
M
B
có bán kính R' = MA . Nếu AB= 3  IA  R , thì tam giác
3. 3 3
 ( đường cao
2
2
3 7
tam giác đều ) . Mặt khác : IM=5 suy ra HM= 5   .
2 2
AB 2 49 3

  13  R '2
- Trong tam giác vuông HAM ta có MA2  IH 2 
4
4 4
2
2
- Vậy (C') :  x  5   y  1  13 .
IAB là tam giác đều , cho nên IH=
Bài 54. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®-êng trßn (C) cã ph-¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = 9 vµ
®-êng th¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®-êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®-îc hai
tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®-êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng.
www.nguoithay.org
Page 22

23. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
Hướng dẫn:
- (C) có I(1;-2) và bán kính R=3 . Nếu tam giác ABC
vuông góc tại A ( có nghĩa là từ A kẻ được 2 tiếp tuyến
tới (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau ) khi đó
ABIC là hình vuông . Theo tính chất hình vuông ta có
IA= IB 2 (1) .
- Nếu A nằm trên d thì A( t;-m-t ) suy ra :
IA 
 t  1   t  2  m 
2
2
www.nguoithay.org
x+y+m=0
B
A
. Thay vào (1) :
 t  1   t  2  m   3 2
 2t 2  2  m  1 t  m2  4m  13  0 (2). Để trên d có

2
I(1;-2)
2
C
đúng 1 điểm A thì (2) có đúng 1 nghiệm t , từ đó ta có điều
kiện :     m2  10m  25  0    m  5  0  m  5 .Khi đó (2) có nghiệm kép là :
2
m  1 5  1

 3  A  3;8
2
2
Bài 55. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0.
Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy.
4 x  3 y  12  0
Hướng dẫn: - Gọi A là giao của d1 , d 2  A : 
 A  3;0   Ox
4 x  3 y  12  0
- Vì (BC) thuộc Oy cho nên gọi B là giao của d1 với Oy : cho x=0 suy ra y=-4 , B(0;-4) và C là giao của
t1  t2  t0 
d 2 với Oy : C(0;4 ) . Chứng tỏ B,C đối xứng nhau qua Ox , mặt khác A nằm trên Ox vì vậy tam giác ABC
là tam giác cân đỉnh A . Do đó tâm I đường tròn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy ra I(a;0).
IA AC 5
IA  IO 5  4
OA 9
- Theo tính chất phân giác trong :

 



IO AO 4
IO
4
IO 4
4OA 4.3 4
4
 IO 

 . Có nghĩa là I( ; 0 )
9
9
3
3
1
1
15 1  AB  BC  CA 1  5  8  5
18 6
- Tính r bằng cách : S  BC.OA  .5.3  

r   .
2
2
2 2
r
2
r
15 5
Bài 56. Trong mặt phẳng toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng :  : 3x  4 y  4  0 . Tìm trên 
hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng15
Hướng dẫn: - Nhận xét I thuộc  , suy ra A thuộc  : A(4t;1+3t) . Nếu B đối xứng với A qua I thì B có
tọa độ B(4-4t;4+3t)  AB  16 1  2t   9 1  2t   5 1  2t
2
2
- Khoảng cách từ C(2;-5) đến  bằng chiều cao của tam giác ABC : 
6  20  4
6
5
t  0  A  0;1 , B  4; 4 
1
1
- Từ giả thiết : S  AB.h  5. 1  2t .6  15  1  2t  1  
2
2
t  1  A  4; 4  , B  0;1

x2 y 2

 1 và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tìm
9
4
trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn: - A,B có hoành độ là hoành độ của 2 đỉnh của 2 bán trục lớn của (E) , chúng nằm trên
đường thẳng y-2=0 . C có hoành độ và tung độ dương thì C nằm trên cung phần tư thứ nhất
- Tam giác ABC có AB=6 cố định . Vì thế tam giác có diện tích lớn nhất khi khoảng cách từ C đến AB lớn
nhất .
Bài 57. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp ( E ) :
www.nguoithay.org
Page 23

24. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
- Dễ nhận thấy C trùng với đỉnh của bán trục lớn (3;0)
Bài 58. Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng
3
vµ träng
2
t©m thuéc ®-êng th¼ng  : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C.
Hướng dẫn: - Do G thuộc  suy ra G(t;3t-8). (AB) qua A(2;-3) có véc tơ chỉ phương u  AB  1;1 ,
x2 y 3
5 5

 x  y  5  0 . Gọi M là trung điểm của AB : M  ;   .
1
1
2 2
5
11
5
 5

- Ta có : GM    t;   3t  8     t;  3t  . Giả sử C  x0 ; y0  , theo tính chất trọng tâm ta có :
2
2
2
 2

cho nên (AB) :

5 
 x0  t  2  2  t 
 x0  5  2t



GC  2GM  

 C  2t  5;9t  19 1
 y0  9t  19
 y  3t  8  2  11  3t 


 0
2


3  2t  5   9t  19   8 4  3t
- Ngoài ra ta còn có : AB= 2 , h  C ,   

10
10
4  3t 3
1
1
2
  2 4  3t  3 10
- Theo giả thiết : S  AB.h  C ,   
2
2
2
10
 2  4  3t 
2
 43 5
 76 5

 C
; 7  9 5 
t 


3
3



2
 90  9t  24t  29  0  
t  4  3 5  C   6 5  7 ;9 5  7 





3
3



1
2
Bài 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ( ;0)
Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh
của hình chữ nhật đó
Hướng dẫn: - Do A thuộc (AB) suy ra A(2t-2;t) ( do A có hoành độ âm cho nên t<1)
- Do ABCD là hình chữ nhật suy ra C đối xứng với A qua I : C  3  2t; t  .
1

x   t
- Gọi d' là đường thẳng qua I và vuông góc với (AB), cắt (AB) tại H thì : d ' : 
2 , và H có tọa độ là
 y  2t

H  0;1 . Mặt khác B đối xứng với A qua H suy ra B  2  2t;2  t  .
- Từ giả thiết : AB=2AD suy ra AH=AD , hay AH=2IH 
 2  2t   1  t 
2
2
 2 1
1
4
t  1  1 t  0
5
2
 5t 2  10t  5  4.   t  1  1  

4
t  1  1
t  2  1
1
- Vậy khi t =  A  2;0  , B  2; 2  , C  3;0  , D  1; 2  .
2
* Chú ý : Ta còn có cách giải khác nhanh hơn
www.nguoithay.org
Page 24

25. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
1
02
5
2
- Tính h  I ; AB  
, suy ra AD=2 h(I,AB)=

2
5
 AB 

2
 2 AD 

5
2
5
25
5
5
 IA=IB =
4
4
4
4
2
-Do đó A,B là giao của (C) tâm I bán kính IA cắt (AB) . Vậy A,B có tọa độ là nghiệm của hệ :
x  2 y  2  0

2
2

1
 5   A  2;0  , B  2; 2  (Do A có hoành độ âm
2
 x  2   y   2 

 

- Theo tính chất hình chữ nhật suy ra tọa độ của các đỉnh còn lại : C(3;0) và D(-1;-2)
Bài 60. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH : x  y  1  0 , phân giác
trong BN : 2 x  y  5  0 .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn: - Đường (AB) qua A(1;-2) và vuông
x  1 t
C
2x+y+5=0
góc với (CH) suy ra (AB): 
.
y  2  t

- Mặt khác : IA  IH
2
2
 IH
2
 IH 2  AD 2 
x  1 t

 t  5
- (AB) cắt (BN) tại B:   y  2  t
2 x  y  5  0

Do đó B(-4;3).Ta có :
1  2 1
k AB  1, kBN  2  tan  

1 2
3
- Gọi A' đối xứng với A qua phân giác (BN) thì A'
nằm trên (AB). Khi đó A' nằm trên d vuông góc với
 x  1  2t
(BN)  d : 
 y  2  t
N
B
H
A(1;-2)
x-y+1=0
 x  1  2t

 t  1  H  1; 3 .
- d cắt (BN) tại H :  H :  y  2  t
2 x  y  5  0

- A' đối xứng với A qua H suy ra A'(-3;-4) . (BC) qua B,A' suy ra : u  1; 7 
 x  4  t
 x  4  t
3

 13 9 
  BC  : 
. (BC) cắt (CH) tại C:   y  3  7t  t   C   ;  
4
 4 4
 y  3  7t
x  y 1  0

- Tính diện tích tam giác ABC :
 AB  2 5
1
1
9
9 10


- Ta có : 
9  S ABC  AB.h(C , AB)  .2 5
2
2
4
2 2
h  C , AB  
2 2

Bài 61. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, tâm I là
giao điểm của đường thẳng d1 : x  y  3  0 và d2 : x  y  6  0 . Trung điểm của một cạnh là giao điểm
của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
www.nguoithay.org
Page 25

26. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
x  y  3  0
9 3
Hướng dẫn: - Theo giả thiết , tọa độ tâm I  
 I  ;  . Gọi M là trung điểm của AD
2 2
x  y  6  0
thì M có tọa độ là giao của : x-y-3=0 với Ox suy ra M(3;0). Nhận xét rằng : IM // AB và DC , nói một cách
khác AB và CD nằm trên 2 đường thẳng // với d1 ( có n  1; 1 .
x  3  t
-A,D nằm trên đường thẳng d vuông góc với d1  d : 
. Giả sử A  3  t; t  (1), thì do D đối xứng
 y  t
với A qua M suy ra D(3-t;t) (2) .
- C đối xứng với A qua I cho nên C(6-t;3+t) (3) . B đối xứng với D qua I suy ra B( 12+t;3-t).(4)
- Gọi J là trung điểm của BC thì J đối xứng với M qua I cho nên J(6;3). Do đó ta có kết quả là :
2t
 S ABCD  2h  A, d1  .MJ
: MJ  AB  AD  3 2 . Khoảng cách từ A tới d1 : h  A, d1  
2
2t
t  1
. Thay các giá trị của t vào (1),(2),(3),(4) ta tìm được các đỉnh
 S ABCD  2
3 2  12 t  12  
2
t  1
t  1  A  3;1 , D  4; 1 , C  7; 2  , B 11; 4 
của hình chữ nhật :  
t  1  A  4; 1 , D  2;1 , C  5; 4  , B 13; 2 

x 2 y2

1
3
Bài 62. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H): 2
và điểm M(2; 1). Viết phương
trình đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đó cắt (H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của
AB
 x  2  at
Hướng dẫn: - Giải sử d có véc tơ chỉ phương u   a; b  , qua M(2;1)  d : 
 y  1  bt

 x  2  at
2
2

 2  at   1  bt   1

- d cắt (H) tại 2 điểm A,B thì A,B có tọa độ :   y  1  bt 
2
3
 x2 y 2
 
1
2 3

 3  2  at   2  2  bt   6   3a 2  2b2  t 2  4  3a  b  t  4  0(1)
2
2
3a 2  2b 2  0

- Điều kiện :  
(*). Khi đó A  2  at1;1  bt1  , và tọa độ của B :
2
2
2
 '  4  3a  b   4  3a  2b   0

B  2  at2 ;1  bt2  , suy ra nếu M là trung điểm của AB thì : 4+a  t1  t2   4  t1  t2  0
4
4
2
2
 t1  t2  t2  2
 t2  
2
3
3a  2b
2b  3a
2b2  3a3
4  b  3a 
x  2 y 1
x  2 y 1
 0  b  3a  d :



- Áp dụng vi ét cho (1) : t1  t2  2
2
3a  2b
a
b
a
3a
- Vậy d : 3(x-2)=(y-1) hay d : 3x-y-5=0 .
Bài 63. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  có phương trình x+2y-3=0 và hai điểm
- Kết hợp với t1t2 
2
A(1;0),B(3;-4). Hãy tìm trên đường thẳng  một điểm M sao cho : MA  3MB là nhỏ nhất
Hướng dẫn: - D M    M  3  2t; t  có nên ta có : MA   2t  2; t  ,3MB   6t; 3t  12  . Suy ra tọa
độ của MA  3MB  8t; 4t  14   MA  3MB 
www.nguoithay.org
8t    4t  14
2
2
.
Page 26

27. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
- Vậy : f(t) =
8t    4t  14 
2
2
www.nguoithay.org
 80t 2  112t  196 . Xét g(t)= 80t 2  112t  196 , tính đạo hàm g'(t)=
112
51
 51  15.169
   g   
 196
80
80
80
 80 
51
 131 51 
- Vậy min MA  3MB  196  14 , đạt được khi t= 
và M  
; 
80
 40 80 
160t+112. g'(t)=0 khi t  
Bài 64. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn :  C1  : x2  y 2  13 và  C2  :  x  6   y 2  25 cắt
2
nhau tại A(2;3).Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt  C1  ,  C2  theo hai dây cung có độ dài bằng
nhau
Hướng dẫn:
- Từ giả thiết :  C1  : I   0;0  , R  13.  C2  ; J  6;0  , R '  5
 x  2  at
- Gọi đường thẳng d qua A(2;3) có véc tơ chỉ phương u   a; b   d : 
 y  3  bt
 x  2  at
2a  3b

- d cắt  C1  tại A, B :   y  3  bt   a 2  b 2  t 2  2  2a  3b  t   0  t   2


a  b2
 x 2  y 2  13

 b  2b  3a  a  3a  2b  
 B  2 2 ; 2 2  . Tương tự d cắt  C2  tại A,C thì tọa độ của A,C là nghiệm của hệ :
a b 
 a b
 x  2  at

2  4a  3b 
 10a 2  6ab  2b 2 3a 2  8ab  3b 2 

  y  3  bt
t 
 C
;

a 2  b2
a 2  b2
a 2  b2



2
2
 x  6   y  25

- Nếu 2 dây cung bằng nhau thì A là trung điểm của A,C . Từ đó ta có phương trình :

x  2
2
 a  0 ; d : 
2
2
 2b  3ab   10a  6ab  2b  4  6a 2  9ab  0  
y  3t

2
2
2
2

a b
a b
3
3

 a  b  u   b; b  // u '   3; 2 
2
2


 x  2  3t
Suy ra :  d : 
. Vậy có 2 đường thẳng : d: x-2=0 và d': 2x-3y+5=0
 y  3  2t
Bài 65. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình
x+y+1=0 trung tuyến từ đỉnh C có phương trình : 2x-y-2=0 . Viết phường trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC
Hướng dẫn: - Đường thẳng d qua A(3;0) và
vuông góc với (BH) cho nên có véc tơ chỉ phương
B
x  3  t
2x-y-2=0
(CK)
u  1;1 do đó d : 
. Đường thẳng d cắt
K
y  t
x  3  t

 t  4  C  1; 4 
tại C :  y  t
2 x  y  2  0

- Vì K thuộc (CK) : K(t;2t-2) và K là trung điểm
AB cho nên B đối xứng với A qua K suy ra B(2t4) . Mặt khác K lại thuộc (BH) cho nên : (2twww.nguoithay.org
C
A(3;0)
H
x+y+1=0
của
3;4t-
Page 27

28. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
3)+(4t-4)+1=0 suy ra t=1 và tạo độ B(-1;0) . Gọi (C) : x2  y 2  2ax  2by  c  0  a 2  b2  c  R 2  0  là
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Cho (C) qua lần lượt A,B,C ta được hệ :
1

a  2
9  6a  c  0



 b  0
 4  4a  c  0
5  2a  8b  c  0 c  6



2
1
25

- Vậy (C) :  x    y 2 
2
4

Bài 66. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(1;-1) ,B(2;1), diện tích bằng
11
và trọng tâm G
2
thuộc đường thẳng d : 3x+y-4=0 . Tìm tọa độ đỉnh C ?
Hướng dẫn: - Nếu G thuộc d thì G(t;4-3t). Gọi C( x0 ; y0 ) . Theo tính chất trọng tâm :
 1  2  x0
t 
 x0  3t  3

3


 y0  12  9t
4  3t  y0

3

Do đó C(3t-3;12-9t).
-Ta có :
x 1 y  1

( AB) : 1  2  2 x  y  3  0
AB  1; 2   
 AB  1  22  5

2  3t  3  12  9t   3 15t  21
1
- h(C,AB)=
. Do đó : S ABC  AB.h  C , AB  

2
5
5
 32
 17 26 
 32
t
t  15  C   5 ;  5 
 15
15t  21 15t  21 11
1


S
5

  15t  21  11  

2
2
2
5
 4
t  20
t  3  C 1;0 
 15


Bài 67.Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông có đỉnh (-4;5) và một đường chéo có phương trình : 7xy+8=0 . Viết phương trình chính tắc các cạnh hình vuông
Hướng dẫn: - Gọi A(-4;8) thì đường chéo (BD): 7x-y+8=0. Giả sử B(t;7t+8) thuộc (BD).
- Đường chéo (AC) qua A(-4;8) và vuông góc với (BD) cho nên có véc tơ chỉ phương
 x  4  7t
x  4 y 5
u  7; 1   AC  : 


 x  7 y  39  0 . Gọi I là giao của (AC) và (BD) thì tọa
7
1
y  5t
 x  4  7t
1

 1 9
 t   I   ;   C  3; 4 
độ của I là nghiệm của hệ :  y  5  t
2
 2 2
7 x  y  8  0

- Từ B(t;7t+8) suy ra : BA   t  4;7t  3 , BC   t  3;7t  4  . Để là hình vuông thì BA=BC :
t  0
Và BAvuông góc với BC   t  4  t  3   7t  3 7t  4   0  50t 2  50t  0  
t  1
www.nguoithay.org
Page 28

29. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
t  0  B  0;8 
 B  0;8  D  1;1
. Tìm tọa độ của D đối xứng với B qua I  

t  1  B  1;1
 B  1;1  D  0;8


x  4 y 5
- Từ đó : (AB) qua A(-4;5) có u AB   4;3   AB  :

4
3
x  4 y 5
(AD) qua A(-4;5) có u AD   3; 4    AB  :

3
4
x y 8
(BC) qua B(0;8) có uBC   3; 4    BC  : 
3
4
x  1 y 1
(DC) qua D(-1;1) có uDC   4;3   DC  :

4
3
* Chú ý : Ta còn cách giải khác
1
x 31
- (BD) : y  7 x  8 , (AC) có hệ số góc k   và qua A(-4;5) suy ra (AC): y   .
7
7 7
 x A  xC  2 xI
y  y  2y
C
I
 A

-Gọi I là tâm hình vuông :   yI  7 xI  8  C  3; 4 

 y   xC  31
 C
7 7

- Gọi (AD) có véc tơ chỉ phương u   a; b  ,  BD  : v  1;7   a  7b  uv  u v cos450
3
3
3
  AD  : y   x  4   5  x  8
4
4
4
4
4
1
3
3
7
Tương tự :  AB  : y    x  4   5   x  ,  BC  : y   x  3  4  x  và đường thẳng (DC):
3
3
3
4
4
4
4
4
y    x  3  4   x  8
3
3
Bài 68.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(-1;0) và đường tròn
( C ): x2 + y2 – 8x – 4y – 16 = 0.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt ( C ) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất.
2
2
Hướng dẫn: -  C  :  x  4    y  2   36  I  4; 2  , R  6
- Nhận xét : P/(M,C)=1+8-16=-7<0 suy ra E nằm trong (C)
 x  1  at
- Gọi d là đường thẳng qua E(-1;0) có véc tơ chỉ phương u   a; b   d : 
 y  bt
- Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm M,N có tọa độ là nghiệm của hệ :
 x  1  at


  y  bt
  a 2  b 2  t 2  2  5a  2b  t  7  0 . (1)

2
2
 x  4    y  2   36

- Gọi M(-1+at;bt),N( -1+at';bt') với t và t' là 2 nghiệm của (1). Khi đó độ dài của dây cung MN
 a  7b  5 a 2  b2 . Chọn a=1, suy ra b 
 a 2  t  t '  b2  t  t '  t  t ' a 2  b 2 
2
www.nguoithay.org
2
2 '
2 18a 2  20ab  11b2
a 2  b2 
a 2  b2
a 2  b2
Page 29

30. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
2
b
b
18  20    11 
2
2
a
 a   2 18  20t  11t  t  b  . Xét hàm số f(t)= 18  20t  11t
- 2


2
1 t2
a
1 t2

b
1  
a
- Tính đạo hàm f'(t) cho bằng 0 , lập bảng biến thiên suy ra GTLN của t , từ đó suy ra t ( tức là suy ra tỷ số
a/b ) ). Tuy nhiên cách này dài
* Chú ý : Ta sử dụng tính chất dây cung ở lớp 9 : Khoảng cách từ tâm đến dây cung càng nhỏ thì dây cung
càng lớn
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d bất kỳ qua E(-1;0). Xét tam giác vuông HIE ( I là
đỉnh ) ta luôn có : IH 2  IE 2  HE 2  IE 2  IH  IE . Do đó IH lớn nhất khi HE=0 có nghĩa là H trùng với
E . Khi đó d cắt (C) theo dây cung nhỏ nhất . Lúc này d là đường thẳng qua E và vuông góc với IE cho nên
d có véc tơ pháp tuyến n  IE   5; 2  , do vậy d: 5(x+1)+2y=0 hay : 5x+2y+5=0 .
Bài 69. Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là:
x + 2y – 5 = 0 và 3x – y + 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm F(1; - 3).
Hướng dẫn: - Ta thấy B là giao của (AB) và (BC)
cho nên tọa độ B là nghiệm của hệ :
A
9

x
x  2 y  5  0 
x+2y-5=0

7


F(1;-3)
3x  y  7  0  y   22

7

 9 22 
B
C
 B   ;   . Đường thẳng d' qua A vuông góc
3x-y+7=0
7 
 7
1
với (BC) có u   3; 1  n  1;3  k   . (AB) có
3
1
k AB   . Gọi (AC) có hệ số góc là k ta có phương trình :
2
1

1 1
1
 
k
k   8
15k  5  3  k
1 3k  1
2 3 
3  
 15k  5  3  k  

11
k
5 3 k
15k  5  k  3  k   4
1
1

23
3
7

1
1
- Với k=-   AC  : y    x  1  3  x  8 y  23  0
8
8
4
4
- Với k=   AC  : y    x  1  3  4 x  7 y  25  0
7
7
Bài 70. Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. Biết rằng
cạnh huyền nằm trên đường thẳng d: x + 7y – 31 = 0, điểm N(7;7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2;-3)
thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB
Hướng dẫn: - Gọi A  x0 ; y0   MA   x0  2; y0  3 , NA   x0  7; y0  7  .
- Do A là đỉnh của tam giác vuông cân cho nên AM vuông góc với AN hay ta có :
2
2
MA.NA  0   x0  2  x0  7    y0  3 y0  7   0  x0  y0  9 x0  4 y0  7  0
- Do đó A nằm trên đường tròn (C) :  x0  3   y0  2   20
- Đường tròn (C) cắt d tại 2 điểm B,C có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình :
 x  32   y  2 2  20
 x  31  7 y
 x  31  7 y





2
2
2
 x  7 y  31  0
 28  7 y    y  2   20
50 y  396 y  768  0


2
www.nguoithay.org
2
Page 30

31. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
198  2 201 99  201
99  201
, tương ứng ta tìm được các giá trị của

;y
50
25
25
 82  7 201 99  201 
82  7 201
82  7 201
x: x
. Vậy : A 
;x 
;
 và tọa độ của điểm


25
25
25
25


 82  7 201 99  201 
A
;



25
25


Bài 71. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1: 2x + y + 5 = 0, d2: 3x + 2y – 1 = 0 và điểm
G(1;3). Tìm tọa độ các điểm B thuộc d1 và C thuộc d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm.
Biết A là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d 2
- Do đó ta tìm được : y 
2 x  y  5  0
 x  11
Hướng dẫn: - Tìm tọa độ A là nghiệm của hệ : 

 A  11;17 
3x  2 y  1  0
 y  17
- Nếu C thuộc
C
d1  C  t; 2t  5 , B  d2  B 1  2m; 1  3m 
3x+2y-1=0
- Theo tính chất trọng tâm của tam giác ABC khi G là
 t  2m  10
1
M

t  2m  13
A

3
G
trọng tâm thì : 

11  2t  3m  3 2t  3m  2

3

2x+y+5=0
t  13  2m
t  13  2m t  35

B



2 13  2m   3m  2
m  24
m  24

- Vậy ta tìm được : C(-35;65) và B( 49;-53).
Bài 72. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y – 15 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên
đường thẳng d: 3x – 22y – 6 = 0, sao cho từ điểm M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các
tiếp điểm) mà đường thẳng AB đi qua điểm C (0;1).
2
2
Hướng dẫn: - (C) :  x  3   y  1  25 , có I(3;-1)
và R=5 .
- Gọi A  x1; y1  , B  x2 ; y2  là 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến
A
kẻ từ M .
I(3;-1)
- Gọi M  x0 ; y0   d  3x0  22 y0  6  0 (*)
H
- Hai tiếp tuyến của (C) tại A,B có phương trình là :
-  x1  3 x  3   y1  1 y  1  25 1 và :
-  x2  3 x  3   y2  1 y  1  25  2 
- Để 2 tiếp tuyến trở thành 2 tiếp tuyến kẻ từ M thì 2
tiếp tuyến phải đi qua M ;
-  x1  3 x0  3   y1  1 y0  1  25  3 và
-  x2  3 x0  3   y2  1 y0  1  25
M
3x-22y-6=0
B
 4
Từ (3) và (4) chứng tỏ (AB) có phương trình là :  x0  3 x  3   y0  1 y  1  25
- Theo giả thiết thì (AB) qua C(0;1) suy ra :
3  x0  3  2  y0  1  25  3x0  2 y0  14  0(6)
www.nguoithay.org
C(0;1)
 5
Page 31

32. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
 y0  1
3x0  22 y0  6  0

 16

- Kết hợp với (*) ta có hệ : 

16  M   ; 1
 3

3x0  2 y0  14  0  x0  
3

Bài 73.Trong mặt phẳng Oxy : Cho hai điểm A(2 ; 1), B( - 1 ; - 3) và hai đường thẳng d1: x + y + 3 = 0; d2
: x – 5y – 16 = 0. Tìm tọa độ các điểm C,D lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tứ giác ABCD là hình bình
hành.
Hướng dẫn: - Trường hợp : Nếu AB là một đường chéo
1

+/ Gọi I(  ; 1 , đường thẳng qua I có hệ số góc k suy ra d: y=k(x-1/2)-1
2

k 4


1

 x  2  k  1
 y  k  x   1 
+/ Đường thẳng d cắt d1 tại C  
2  

x  y  3  0
 y   7k  2


2  k  1


1

 k 4
7k  2 
 y  k  x   1
. Tương tự d cắt d 2 tại B : 
 C
2

 2  k  1 ;  2  k  1 



 x  5 y  16  0

- Từ đó suy ra tọa độ của B . Để ABCD là hình bình hành thì : AB=CD .Sẽ tìm được k
* Cách khác :
- Gọi C(t;-t-3) thuộc d1 , tìm B đối xứng với C qua I suy ra D (1-t;t+1)
- Để thỏa mãn ABCD là hình bình hành thì D phải thuộc d 2 :  1  t  5  t  1  16  0
10
 13 7 
 10 1 
và D  ;   và C   ; 
3
 3 3
 3 3
- Trường hợp AB là một cạnh của hình bình hành .
+/ Chọn C (t;-t-3) thuộc d1 và D (5m+16;m) thuộc d 2
Suy ra t=-
AC=BD
+/ Để ABCD là hình bình hành thì : 
AB //CD
+/ Ta có
  2  t 2   t  4 2   5m  17 2   m  32
 2  t 2   t  4 2   5m  17 2   m  32



: 
5m  t  16 m  t  3
17m  7t  55  0



3
4

t 2  2t  13m2  88m  89  0

. Giải hệ này ta tìm được m và t , thay vào tọa độ của C và D
  17m  55
t

7

Bài 74. Trong mặt phẳng tọa độ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1;2), hai đường cao xuất phát từ A và B
lần lượt có phương trình là x + y = 0 và 2x – y + 1 = 0. Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn: - (AC) qua C(1;2) và vuông góc với đường cao BK cho nên có :
x 1 y  2
u   2; 1   AC  :

 x  2y 5  0
2
1
3

x

2 x  y  1  0
5

 3 11 
5

 A  ;   AC 
- (AC) cắt (AH) tại A : 
5
5 5 
x  2 y  5  0
 y  11

5

www.nguoithay.org
Page 32

33. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
x  1 t
- (BC) qua C(1;2) và vuông góc với (AH) suy ra uBC  1;1   BC  : 
y  2 t
x  1 t
3

 1 1
- (BC) cắt đường cao (AH) tại B   y  2  t  t    B   ; 
2
 2 2
x  y  0

1
 1 5
9
1 5 9
9
2
- Khoảng cách từ B đến (AC) :

S 
.

2 5 2 5 20
5
2 5
Bài 75. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm F1 ( - 4; 0), F2 ( 4;0) và điểm A(0;3).
a) Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm A và có hai tiêu điểm F1 , F2 .
b) Tìm tọa độ của điểm M thuộc (E) sao cho M F1 = 3M F2 1
x2 y 2
 2  1 (1) . Theo giả thiết thì : c=4  c 2  16  a 2  b2  2 
2
a
b
x2 y 2
9
2
2
- (E) qua A(0;3) suy ra : 2  1  b  9 , thay vào (2) ta có a  25   E  : 
1
25 9
b
x2 y 2
- M thuộc (E)  M  x0 ; y0   0  0  1 2  . Theo tính chất của (E) ta có bán kính qua tiêu
25 9
4
4
4
4 
25

MF1  5  x0 , MF2  5  x0  MF1  3MF2  5  x0  3  5  x0   x0  . Thay vào (2) ta có
5
5
5
5 
8

Hướng dẫn: - Giả sử (E) :
551
551
 y0  
2
8
8
Bài 76. Trong mp Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm P(1;3).
a.Viết phương trình các tiếp tuyến PE, PF của đường tròn (C), với E, F là các tiếp điểm.
b.Tính diện tích tam giác PEF.
Hướng dẫn: - (C):
2
2
P(1;3)
 x  3   y  1  4  I  3; 1 , R  2
y
- Giả sử đường thẳng qua P có véc tơ pháp tuyến
n  a; b   d : a  x  1  b  y  3  0
Hay : ax+by-(a+3b)=0 (*).
F
- Để d là tiếp tuyến của (C) thì khoảng cách từ
H
tâm I đến d bằng bán kính :
O
3a  b  a  3b
2a  4b

2
2
a 2  b2
a 2  b2
I(3;-1)
E
2
y0 
x
  a  2b   a 2  b2  4ab  3b2  0
2
b  0  a  x  1  0  x  1  0
 b  4a  3b   0  
b  4 a  a  x  1  4 a  y  3  0  3x  4 y  6  0

3
3

-Ta có : PI=2 5 , PE=PF= PI 2  R2  20  4  4 .
Tam giác IEP đồng dạng với IHF suy ra :
www.nguoithay.org
Page 33

34. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
IF EP IP 2 5
IF
2
EP
4



 5  IH 

, EH 

IH EH IE
2
5
5
5
5
2
8
1
1 8 8 32
 PH  PI  IH  2 5 

 S EPF  EF.PH=

2
2 5 5 5
5
5
Bài 77. Trong mpOxy, cho 2 đường thẳng d1: 2x + y  1 = 0, d2: 2x  y + 2 = 0. Viết pt đường tròn (C) có
tâm nằm trên trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 và d2.

h  I , d1   h  I , d 2 
Hướng dẫn: - Gọi I(a;0) thuộc Ox . Nếu (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng thì : 
h  I , d1   R

 2a  1 2a  2

1

2
1
5
1
5
5
 5


. Từ (1) : a= , thay vào (2) : R=
 C  :  x    y2 
4
10
4
100

 R  2a  1 2
 

5

Bài 78. Trong mpOxy, cho 2 đường thẳng d1: 2x  3y + 1 = 0, d2: 4x + y  5 = 0. Gọi A là giao điểm của
d1 và d2. Tìm điểm B trên d1 và điểm C trên d2 sao cho ABC có trọng tâm G(3; 5).
2 x  3 y  1  0
7 3
Hướng dẫn: - Tọa độ A là nghiệm của hệ : 
 A ; 
8 2
4 x  y  5  0
- B  d1  B 1  2t;1  3t  , C  d2  C  m;5  4m  .
7
57


1  2t  m  8  9
2t  m  8


Tam giác ABC nhận G(3;5) làm trọng tâm :  

1  3t  5  4m  3  15 3t  4m   15



2

2
 31
 67 88 
t  5  B  5 ;  5 



Giải hệ trên suy ra : 
m   207  C   207 ; 257 



40
 40 10 

Bài 79. Cho đường tròn (C): x2 + y2  2x  4y + 3 = 0. Lập pt đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua
đường thẳng : x  2 = 0
2
2
Hướng dẫn: Ta có (C):  x  1   y  2   2  I 1; 2  , R  2
- Gọi J là tâm của (C') thì I và J đối xứng nhau qua d : x=2 suy ra J(3;2) và (C) có cùng bán kính R . Vậy
2
2
(C'):  x  3   y  2   2 đối xứng với (C) qua d .
 13 13 
Bài 80. Trong mpOxy, cho ABC có trục tâm H  ;  , pt các đường thẳng AB và AC lần lượt là: 4x 
5 5
y  3 = 0, x + y  7 = 0. Viết pt đường thẳng chứa cạnh BC.
Hướng dẫn: - Tọa độ A là nghiệm của hệ :
4 x  y  3  0
A(2;5)

x  y  7  0
 3 12 
Suy ra : A(2;5).  HA    ;  // u 1; 4  . Suy ra
 5 5
(AH) có véc tơ chỉ phương u 1; 4  . (BC) vuông góc
với (AH) cho nên (BC) có n  u 1; 4  suy ra (BC): x4y+m=0 (*).
www.nguoithay.org
K
4x-y-3=0
B
x+y-7=0
H
E
C
Page 34

35. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
22 
 13
- C thuộc (AC) suy ra C(t;7-t ) và CH    t; t    u AB  1; 4   CH . Cho nên ta có :
5 
5
13
 22 
 t  4  t    0  t  5  C  5; 2  .
5
5 

- Vậy (BC) qua C(5;2) có véc tơ pháp tuyến n  1; 4    BC  :  x  5  4  y  2   0
(BC):  x  4 y  3  0
Bài 81. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y  3 = 0 và 2 điểm A(1; 1), B(3;
4). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1.
Hướng dẫn: - M thuộc d suy ra M(t;3-t) . Đường thẳng (AB) qua A(1;1) và có véc tơ chỉ phương
x 1 y 1
u   4; 3   AB  :

 3x  4 y  4  0
4
3
3t  4  3  t   4
 1  t  8  5
- Theo đầu bài :
5
t  3  M  3;0 

t  13  M 13; 10 

* Chú ý :
Đường thẳng d' song song với (AB) có dạng : 3x+4y+m=0 . Nếu d' cách (AB) một khoảng bằng 1 thì
3 4 m
h(A,d')=1 
1
5
 m  2  d ' : 3x  4 y  2  0
. Tìm giao của d' với d ta tìm được M .

 m  12  d ' : 3x  4 y  12  0
Bài 82. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC có đỉnh A(4; 3), đường cao BH và trung tuyến
CM có pt lần lượt là: 3x  y + 11 = 0, x + y  1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C
 x  4  3t
Hướng dẫn: Đường thẳng (AC) qua A(4;3) và vuông góc với (BH) suy ra (AC) : 
y  3t
 x  4  3t

 2t  6  0  t  3  C  5;6 
(AC) cắt trung tuyến (CM) tại C :  y  3  t
x  y 1  0

- B thuộc (BH) suy ra B(t;3t+11 ). Do (CM) là trung tuyến cho nên M là trung điểm của AB , đồng thời M
 t  4 3t  14 
B
thuộc (CM) .  M 
;

2 
 2
t  4 3t  14
M
M   CM  

 1  0  t  4 .
x+y-1=0
2
2
Do đó tọa độ của B(-4;-1) và M(0;1 ).
C
2
2
H
A(4;3)
x
y

 1 và
Bài 83. Trong mpOxy, cho elip (E):
8
4
3x-y+11=0
đường thẳng d: x  2 y + 2 = 0. Đường thẳng d cắt elip
(E) tại 2 điểm B, C. Tìm điểm A trên elip (E) sao cho ABC có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn: -Do đường thẳng d cố định cho nên B,C cố định , có nghĩa là cạnh đáy BC của tam giác
ABC cố định .
- Diện tích tam giác lớn nhất khi khoảng cách từ A ( trên E) là lớn nhất
- Phương trình tham số của (E) :
www.nguoithay.org
Page 35

36. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
 x  2 2 sin t


 A 2 2 sin t; 2cos t
 y  2cos t

- Ta có :
2 2 sin t  2 2cost+2
 h  A, d  
3

www.nguoithay.org

y


4sin  x  
2 2  sin t  cost 
4
4




3
3
3
Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi


sin  x    1 .
4

x-
y+2=0
2
A
C
.
2
-2
-2
O
x
2
A
B
-2
 



 

x    k 2  x  2, y  2
sin  x  4   1  x     k 2



4
2
4
Nhận xét : Thay tọa độ 2



 

 x      k 2
 x  3  k 2  x  2, y   2
sin  x    1



4 2

4
4
 


điểm A tìm được ta thấy điểm A 2; 2 thỏa mãn .
Bài 84. Trong hệ trục 0xy, cho đường tròn (C): x2+y2 -8x+12=0 và điểm E(4;1). Tìm toạ độ điểm M trên
trục tung sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C), với A,B là các tiếp điểm sao cho E thuộc
đường thẳng AB
Hướng dẫn: - Đường tròn (C) :
2
y
 x  4  y 2  4  I  2;0 , R  2
M
- Gọi M(0;a) thuộc Oy . A  x1; y1  , B  x2 ; y2    C 
B
- Tiếp tuyến tại A và B có phương trình là :
1
E(4;1)
 x1  4 x  4  y1 y  4 ,  x2  4 x  4  y2 y  4
- Để thỏa mãn 2 tiếp tuyến này cùng qua M(0;a)
O
I(4;0)
x
  x1  4 0  4   y1a  4 ,  x2  4  0  4   y1a  4 .
A
Chứng tỏ (AB) có phương trình : -4(x-4)+ay=4
d'
- Nếu (AB) qua E(4;1) : -4(0)+a.1=4 suy ra : a=4
Vậy trên Oy có M(0;4 ) thỏa mãn .
3
Bài 85. Cho tam giác ABC có diện tích S= , hai đỉnh A(2;-3), B(3;-2) và trọng tâm G của tam giác thuộc
2
đt 3x-y-8=0. Tìm tọa độ đỉnh C
GA   2  t ;5  3t 

Hướng dẫn: - Vì G thuộc d suy ra G(t;3t-8)  
. Theo tính chất trọng tâm của
GM   x0  t ; y0  8  3t 

2  t  2 x0  2t
2 x0  3t  2

tam giác : GA  2GM  
. Theo tính chất trung điểm ta có tọa độ
5  3t  2 y0  16  6t
2 y0  9t  21
của C  3t  5;9t  19  .
www.nguoithay.org
Page 36

37. Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi
www.nguoithay.org
x2 y2

 x  y  4  0.
1
1
3t  5  9t  19  4 10  6t

Đồng thời : AB  2 . Khoảng cách từ C đến (AB) : 
2
2
- Theo giả thiết :
 13
 3 11 
t  6  C  2 ; 2 
10  6t
10  6t  3 
1
1
3


S  AB.h 
2
 5  3t   

 7
2
2
2
2
 3 7
10  6t  3
t   C   ;  
 2 2
 6
- (AB) qua A(2;-3 ) có véc tơ chỉ phương u  1;1   AB  :
Bài 86. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C ) coù baùn kính R = 2 tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh vaø coù taâm I naèm
treân ñöôøng thaúng (d) : x + y – 3 = 0.
Hướng dẫn: - Tâm I nằm trên d suy ra I(t;3-t) . Nếu (C) tiếp xúc với Ox thì khoảng cách từ I đến Ox
t  5  I1   5; 2 
3  t  2
bằng bán kính R=2 : 3  t  2  

3  t  2
t  1  I 2  1; 2 

- Như vậy có 2 đường tròn :  C1  :  x  5   y  2   4 ,  C2  :  x  1   y  2   4 .
2
2
2
2
Bài 87. Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho hoï ñöôøng thaúng phuï thuoäc tham soá  :
(x – 1)cos + (y – 1)sin – 1 = 0
a. Tìm taäp hôïp caùcñieåm cuûa maët phaúng khoâng thuoäc baát kyø ñöôøng thaúng naøo cuûa hoï.
b. Chöùng minh moïi ñöôøng thaúng cuûa hoï ñeàu tieáp xuùc vôùi moät ñöôøng troøn coá ñònh.
Hướng dẫn: b. Gọi I  x0 ; y0  là điểm cố định . Khoảng cách từ I đến d có giá trị là :
 x0  1 cos +  y0 -1 sin   1
 x0  1  0
 x0  1
1 

 I 1;1
1
sin   cos 
 y0  1  0
 y0  1
- Với kết quả trên chứng tỏ d luôn tiếp xúc với đường tròn (C) có tâm I và bán kính bằng 1 ( Không phụ
2
2
thuộc vào  . (C):  x  1   y  1  1

2
2

1
Bài 88. Laäp ph. trình caùc caïnh cuûa  ABC, bieát ñænh A(1 ; 3) vaø hai ñöôøng trung tuyeán xuaát phaùt töø B
vaø C coù ph.trình laø: x– 2y +1= 0 vaø y –1= 0.
Hướng dẫn: Gọi G là trọng tâm tam giác thì tọ
x  2 y 1  0
độ G là nghiệm của hệ 
 G 1;1 .
A(1;3)
 y 1  0
E(x;y) thuộc (BC), theo tính chất trọng tâm ta có :
M
N
GA   0;2  , GE   x  1; y  1  GA  2GE
x-2y+1=0
G
y-1=0
0  2  x  1


 E 1;0  . C thuộc (CN) cho
C
2  2  y  1

B
E
nên C(t;1), B thuộc (BM) cho nên B(2m-1;m) . Do
A'
B,C đối xứng nhau qua E cho nên ta có hệ phương
trình :
 2m  t  1  2
t  5

 B  5;1 , C  3; 1 . Vậy (BC) qua E(1;0) có véc tơ chỉ phương

m  1  0
m  1
x 1 y
BC  8; 2  // u   4;1   BC  :
  x  4 y  1  0 . Tương tự :
4
1
www.nguoithay.org
Page 37