1.
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI............................................................................................................................................1
BAB I
PENDAHULUAN.....................................................................................................................................2
1.Latar Belakang................................................................................................................................2
2.Tujuan............................................................................................................................................2
BAB II
PEMBAHASAN.......................................................................................................................................3
1.Tata Surya (Solar System)...............................................................................................................3
2.Hukum Kepler................................................................................................................................4
2.1.Hukum Kepler 1.......................................................................................................................6
2.2.Hukum Kepler 2.....................................................................................................................10
3.Pendekatan Metode Euler...........................................................................................................11
BAB III
PENUTUP.............................................................................................................................................13
1.Kesimpulan...................................................................................................................................13
DAFTAR PUSTAKA...............................................................................................................................14
1

2.
BAB I
PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Karena massa total planet dan satelit jauh lebih kecil dari massa Matahari,
maka pengaruh antar planet dapat diabaikan untuk kalkulasi orbit yang tidak terlalu
teliti. Aproksimasi yang dilakukan mengacu pada “two-body problem”, dengan
mengambil batasan massa salah satu objek itu dapat diabaikan terhadap masa Matahari.
Dalam perkembangan ilmu Astronomi dikenal nama Ptolemaeus (sekitar
tahun 125 M) yang mengemukakan bahwa bumi adalah pusat jagad raya. Pendapat ini
dikenal sebagai pandangan geosentris. Semua benda langit beredar mengelilingi bumi.
Untuk menjelaskan adanya gerak balik (retrograde motion) planet-planet, dibayangkan
model "deferent and epicycle" yang melukiskan pergerakan planet pada sebuah
lingkaran yang lebih kecil (epicycle) pada saat melakukan peredarannya mengelilingi
bumi pada lingkaran yang lebih besar (deferent). Titik pusat epicycle itu terletak pada
diferent.
Diawali oleh para pendahulunya, Copernicus (1473-1543), membuat
pembaruan dengan pandangan heliosentris, yaitu pandangan yang menyatakan bahwa
matahari sebagai pusat peredaran planet-planet, termasuk bumi, serta bintang-bintang.
Dengan pandangan heliosentris dijelaskan bagaimana gerak balik (retrograde motion).
Lebih lanjut mengenai lintasan dan pergerakan planet dijelaskan oleh Johannes Kepler
(1571-1630). Setelah dengan teliti mengamati lintasan Mars. Kepler pada tahun 1609
merumuskan Hukum I dan II Kepler.
2. Tujuan
Tujuan dari makalah ini adalah untuk mengetahui Hukum Kepler 1 dan
Hukum Kepler 2 dengan pendekatan metode Euler.
2

3.
BAB II
PEMBAHASAN
1. Tata Surya (Solar System)
Bumi merupakan sebuah planet yang senantiasa mengitari bintang pusatnya,
yaitu Matahari. Selain Bumi, masih banyak benda-benda langit lainnya yang berputar
dalam pengaruh Matahari sebagai bintang pusat-nya. Benda-benda langit tersebut
adalah planet, planet kerdil, satelit, komet, asteroid, objek-objek trans neptunus, dan
yang lainnya. Seluruh benda langit tersebut beserta dengan Matahari berada dalam
suatu sistem yang dinamakan sistem tata surya.
Tata surya adalah kumpulan benda langit yang terdiri atas sebuah bintang
yang disebut Matahari dan semua objek yang terikat oleh gaya gravitasinya. Objekobjek tersebut termasuk delapan buah planet yang sudah diketahui dengan orbit
berbentuk elips, lima planet kerdil/katai, 173 satelit alami yang telah diidentifikasi, dan
jutaan benda langit (meteor, asteroid, komet) lainnya.
Tata surya merupakan sebuah sebuah
sistem yang terdiri dari matahari,
delapan planet, planet-kerdil, komet, asteroid dan benda-benda angkasa kecil lainnya.
Matahari merupakan pusat dari tata surya di mana anggota tata surya yang lain beredar
mengelilingi matahari.
Benda-benda langit tersebut beredar mengelilingi matahari secara konsentris
pada lintasannya masing-masing. anggota-anggota dalam sistem tata surya ditunjukkan
seperti Gambar 1.
3

4.
Gambar 2.1. Matahari, planet, dan planet kerdil (dwarf planet) yang menjadi anggota
tata surya. Besar diameter dihitung relatif terhadap diamater Matahari
sedangkan jarak tidak diskalakan.
IAU secara umum mengelompokkan benda angkasa yang mengeliligi
Matahari menjadi tiga yaitu:
Planet
Sebuah benda langit dikatakan planet jika memenuhi kriteria sebagai berikut:
•
mengorbit Matahari
•
bentuk fisiknyanya cenderung bulat
•
orbitnya bersih dari keberadaan benda angkasa lain
• Planet-Kerdil
Sebuah benda langit dikatakan sebagai planet-kerdil jika:
•
mengorbit Matahari
•
bentuk fisiknya cenderung bulat
•
orbitnya belum bersih dari keberadaan benda angkasa lain
•
bukan merupakan satelit
Benda-benda Tata Surya Kecil (Small Solar System Bodies)
Seluruh benda angkasa lain yang mengelilingi Matahari selain planet atau
planet-kerdil. Benda-benda Tata Surya Kecil tersebut di antaranya adalah komet,
asteroid, objek-objek trans-neptunian, serta benda-benda kecil lainnya.
2. Hukum Kepler
Hukum–hukum Kepler merupakan salah satu batu bata dasar ilmu astronomi
dan amat berguna dalam segenap bagian dalam jagat raya, mulai dari sistem Bumi dan
satelitnya (baik satelit alami maupun buatan), planet–planet dan satelitnya, Matahari
dan planet–planetnya hingga sistem tata surya non–Matahari maupun sistem bintang
kembar yang saling mengedari serta sistem bintang–bintang mengedari pusat galaksi
dalam sebuah galaksi yang berputar. Aplikasi yang amat luas ini barangkali tidak
pernah disadari oleh seorang Johannes Kepler saat mempublikasikannya untuk yang
4

5.
pertama kali di tahun 1609. Pada saat itu Kepler adalah astronom besar yang juga
merupakan asisten sekaligus rekan kerja astronom besar Tycho Brahe, ia hanya berfikir
untuk menerapkan hukum–hukum tersebut dalam sistem tata surya Matahari saja.
Hukum–hukum Kepler terdiri dari tiga bagian, hukum-hukum ini sering
disebut juga sebagai Hukum Kepler 1, Hukum Kepler 2 dan Hukum Kepler 3. Hukum
Kepler 1 menyatakan setiap planet beredar mengelilingi Matahari dalam orbit yang
berbentuk ellips (lonjong), dengan Matahari terletak pada salah satu dari dua titik fokus
ellips tersebut. Sementara Hukum Kepler 2 berbunyi vektor radius (yakni garis
imajiner yang menghubungkan pusat sebuah planet dengan pusat Matahari) menyapu
area dengan luas yang sama dalam ellips tersebut untuk interval waktu yang sama. Dan
Hukum Kepler 3 menyatakan kuadrat dari periode orbit sebuah planet sebanding
dengan dengan pangkat tiga setengah sumbu utama orbitnya. Hukum Kepler 1 dan
Hukum Kepler 2 dipublikasikan pada tahun 1609, sedang Hukum Kepler 3 baru
dipublikasikan sepuluh tahun kemudian setelah Kepler selesai menganalisis data posisi
planet–planet hasil observasi Tyco Brahe selama bertahun–tahun yang tercetak dalam
“Rudolphine Tables”
Untuk memahami hukum Kepler, perlu terlebih dahulu memperhatikan
lintasan orbit benda langit yang bentuknya secara umum dinyatakan dalam irisan
kerucut. Sebagian besar objek tata surya bergerak dalam lintasan yang berbentuk elips
kecuali komet yang memiliki bentuk lintasan hiperbola atau parabola. Elips adalah
sebuah bangun geometri memiliki kelonjongan tertentu.
5

6.
Gambar 2.2 Bentuk irisan kerucut
2.1. Hukum Kepler 1
Gambar 2.3 Hukum Kepler Pertama dan Johannes Kepler
Hukum Kepler 1 berbunyi:
“Orbit suatu planet adalah ellips dengan matahari berada pada salah satu
fokusnya”.
Meski lingkaran merupakan bangun matematis yang sempurna karena setiap
titik di dalamnya berjarak sama dari sebuah pusat, namun implementasinya terhadap
posisi planet–planet dari waktu ke waktu menjumpai permasalahan besar. Sebab
pengamatan menunjukkan posisi planet–planet tersebut ternyata tidak pas dengan
prediksi sesuai orbit lingkaran sempurna. Model geosentris mencoba menjelaskannya
dengan menganggap setiap planet beredar dalam lingkaran sempurna yang lebih kecil,
yang dinamakan episiklus. Pusat episiklus tepat sama dengan garis lingkaran orbitnya.
Sehingga setiap planet dianggap berputar–putar pada episiklusnya dengan pusat
episiklus senantiasa bergeser pada kecepatan tetap di sepanjang garis orbit lingkaran.
6

7.
Gambar 2.4 Hukum Kepler pertama menempatkan Matahari di satu titik fokus edaran elips.
Meski terlihat sesuai dengan hasil pengamatan, namun secara matematis
penggunaan episiklus menyebabkan kompleksitas tersendiri. Kepler menyadari
kompleksitas ini tatkala menganalisis data–data pengamatan planet Mars. Ia mendapati
Mars selalu berada dalam koordinat yang sama pada sebuah rasi bintang tertentu setiap
687 hari sekali. Ini berarti periode orbit Mars adalah 687 hari. Kekhasan semacam ini
tidak bisa dijelaskan dengan baik oleh model geosentris dengan konsep episiklus,
sebab dengan konsep episiklus seharusnya periode orbit sebuah planet amat bervariasi
dari waktu ke waktu. Sebaliknya, jika konsep episiklus disingkirkan dan digantikan
dengan dengan ellips (yang secara matematis lebih sederhana), kekhasan yang dialami
Mars dapat dijelaskan dengan mudah. Belakangan saat hal yang sama diterapkan pada
Jupiter, kekhasan serupa juga dijumpai.
Walaupun bisa menjelaskan bahwa orbit sebuah planet dalam mengelilingi
Matahari adalah berupa ellips, namun Kepler tidak tahu mengapa berbentuk ellips dan
bukannya lingkaran sempurna, meskipun dalam geometri bentuk ellips merupakan
variasi dari lingkaran sempurna. Barulah pada masa Sir Isaac Newton, tepatnya pada
1686 lewat bukunya yang populer : Philosophiae Naturalis Principia Mathematica,
mengapa bentuk orbit planet adalah ellips menemukan penjelasannya. Newton
7

8.
menyebutkan gravitasi-lah yang bertanggung jawab untuk itu. Bentuk orbit lingkaran
sempurna hanya akan terjadi jika tata surya hanya berisi Matahari (sebagai pusat) dan
satu planet saja yang beredar mengelilingi Matahari. Pada situasi tersebut, gerak planet
itu hanya dipengaruhi oleh gravitasi Matahari. Namun tata surya kita tak hanya terdiri
dari sebuah planet, melainkan ada delapan. Belum terhitung pula planet kerdil beserta
anggota–anggota berskala kecil seperti asteroid dan komet. Sehingga tatkala beredar
mengelilingi Matahari, sebuah planet tak hanya dipengaruhi gravitasi Matahari semata,
namun juga gravitasi planet–planet lainnya yang menjadi tetangganya. Inilah yang
membuat orbit setiap planet, juga setiap anggota tata surya lainnya, menjadi ellips.
Dalam orbit planet, Matahari menempati salah satu pusat ellips. Sementara
pusat lainnya tidak terisi apapun dan tidak bermakna apapun bagi sifat orbit planet
yang bersangkutan. Dalam tata surya kita nilai eksentrisitas planet–planet bervariasi
dari yang terkecil adalah Venus (0,007) dan yang terbesar adalah Merkurius (0,2).
Bumi kita sendiri mempunyai eksentrisitas 0,017. Pada dasarnya planet–planet
memiliki nilai eksentrisitas orbit yang kecil, sehingga menjamin stabilitas posisinya
dalam orbitnya masing–masing berdasarkan perspektif hukum gravitasi universal.
Sebaliknya asteroid atau komet umumnya memiliki eksentrisitas besar (antara 0,3
hingga 0,7) sehingga relatif takstabil. Komet–komet tertentu bahkan memiliki
eksentrisitas 1 atau lebih besar, yang menjadikannya hanya mampu sekali mendekati
Matahari saja untuk kemudian terlontar keluar dari lingkungan tata surya kita, menuju
ke ruang antarbintang.
Kepler menduga, bahwa lintasan planet yang berbentuk elips seharusnya ada
gaya magnetik yang bekerja, tetapi Kepler tidak mengetahui alasan mengapa planet
bergerak dengan cara demikian. Ketika Newton mulai tertarik dengan gerakan planetplanet, Newton menemukan bahwa hukum Kepler bisa diturunkan secara
matematisdari hukum gravitasi universal dan hukum gerak Newton. Newton juga
menunjukkan bahwa di antara kemungkinan yang masuk akal mengenai hukum
gravitasi, hanya satu yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang konsisten
dengan hukum Kepler.
8

9.
Perhatikan orbit ellips yang dijelaskan pada hukum I Kepler. Sumbu panjang
pada orbit ellips disebut sumbu mayor alias sumbu utama, sedangkan sumbu pendek
dikenal dengan sumbu semi utama atau semimayor (Supardi, 2010).
Gambar 2.5 Posisi matahari dan planet dalam lintasan ellips
F1 dan F2 adalah titik fokus. Matahari berada pada F1 dan planet berada pada
P. tidak ada benda langit lainnya berada pada F2. Total jarak dari F1 dan F2 ke sama
untuk semua titik dalam kurva ellips. Jarak pusat ellips O dan titik fokus (F1 dan F2)
adalah ea, dimana e merupakan angka tak berdimensi yang besarnya berkisar ntara 0
dan 1 disebut eksentrisitas. Jika e=0 maka ellips berubah menjadi lingkaran.
Kenyataannya, orbit planet berupa ellips alias mendekati lingkaran. Dengan demikian
besar eksentrisitas tidak pernah sama dengan nol. Nila e untuk orbit planet bumi adalah
0.017. Perihelion merupakan titik terdekat dengan matahari, sedangkan titik terjauh
disebut aphehelon.
Pada persamaan hukum gravitasi Newton, telah dipelajari bahwa gaya tarik
gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak (1/r2), dimana hal ini hanya bisa
terjadi pada orbit yang berbentuk ellips atau lingkaran saja.
(1)
9

10.
2.2. Hukum Kepler 2
Hukum Kepler 2 berbunyi:
"Suatu garis khayal yang menghubungkan matahari dengan planet menyapu luas
juring yang sama dalam selang waktu yang sama."
Hukum ini dapat diilustrasikan dengan Gambar 2.4 di bawah:
Gambar 2.6 Illustrasi hukum Kepler kedua. Bahwa Planet bergerak lebih cepat di
dekat Matahari dan lambat di jarak yang jauh. Sehingga, jumlah area
adalah sama pada jangka waktu tertentu.
Hukum Kepler yang kedua memberikan implikasi mengenai kecepatan planet
yang berbeda-beda pada saat mengelilingi matahari. Jika jarak planet ke matahari dekat
maka kecepatannya besar dibandingkan ketika jaraknya dekat.
Adapun titik-titik sebuah planet saat mengorbit matahari, yaitu:
a. Aphelion
Aphelion adalah titik terdekat orbit sebuah planet dengan matahari. Pada saat
itu, kecepatan orbit planet lebih cepat karena gaya yang dihasilkan lebih besar.
Perihelon
Perihelon adalah titik terjauh orbit sebuah planet dengan matahari. Pada saat
itu, kecepatan orbit planet lebih lambat karena gaya yang dihasilkan lebih kecil.
(Berbanding terbalik dengan kuadrat jarak)
10

11.
Pada selang waktu yang sangat kecil, garis yang menghubungkan matahari
dengan planet melewati sudut dθ . Garis tersebut melewati daerah yang diarsir yang
berjarak r, dan luas
. Laju planet ketika melewati daerah itu adalah
disebut dengan kecepatan sektor (bulan vektor). Hal yang paling utama dalam hukum
Kepler II adalah kecepatan sektor mempunyai harga yang sama pada semua titik
sepanjang orbit yang berbentuk ellips. Ketika planet berada di perihelion nilai r kecil,
sedangkan
besar. Ketika planet berada di apehelion nilai r besar, sedangkan
kecil.
3. Pendekatan Metode Euler
Menurut hukum Newton tentang gravitasi dinyatakan bahwa gaya yang
ditimbulkan oleh dua buah benda didefinsikan sebagaimana persamaan (1). Jika m1
adalah matahari dan m2 adalah bumi, maka persamaan (1) dapat dinyatakan kembali
menjadi:
(2)
dimana ms adalah massa matahari dan me adalah massa bumi, sedangkan G
adalah konstanta gravitasi. Diasumsikan bahwa massa matahari sangat besar
dibandingkan dengan bumi sehingga gerakannya diabaikan. Untuk menghitung posisi
bumi sebagai fungsi waktu, melalui hukum kedua Newton tentang gerak diperoleh
bahwa:
(3)
dimana FG , x dan FG , y adalah gaya grafitasi pada komponen x dan y.
Selanjutnya FG, x dan FG, y dapat dinyatakan kembali sebagai:
11

12.
(4)
Dari persamaan (4) kita peroleh persamaan diferensial orde pertama sebagai
berikut:
(5)
Selanjutnya kita akan mengubah persamaan gerak (5) ke dalam persamaan
beda yang siap untuk dilakukan komputasi. Jadi dari (5) didapatkan:
(6)
Persamaan (12) adalah pendekatan Euler yang menjadi dasar bagi penyelesaian orbit
beberapa planet.
12

13.
BAB III
PENUTUP
1. Kesimpulan
a. Dari persamaan gaya gravitasi universal dijelaskan bahwa: gaya tarik menarik antara
dua titik massa, m1 dan m2 berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antaranya, dan
tanda minus berarti bahwa makin besar jarak kedua titik massa, makin kecil pula gaya
gravitasinya, sebaliknya makin kecil jarak ke dua titik massa, makin besar pula gaya
gravitasinya dan arah gaya gravitasi terdapat pada sepanjang garis hubung antara m 1
dan m2. Hal ini sesuai dengan Hukum Kepler II.
Beberapa persamaan membuktikan bahwa lintasan planet berbentuk elips, karena terjadi
perubahan jarak antara planet dan matahari pada saat planet melintasi lintasannya, serta
perubahan kecepatan orbit/revolusi planet pada saat planet melintasi lintasannya. Hal ini
sesuai dengan Hukum Kepler I.
Pendekatan Euler dapat menjadi dasar bagi penyelesaian orbit beberapa planet.
13

14.
DAFTAR PUSTAKA
Admiranto, A Gunawan. 2009. Menjelajah Tata Surya. Yogyakarta: Kanisius.
Maulana, Mochamad Erewin dan Yamin W Ono. Modul Tata Surya. PPPPTK IPA
Supardi dan R. Yosi Apriansari. 2010. Simulasi Gerak Planet
dalam Tatasurya
(Penelitian Kelompok FMIPA). Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.
http://astrolearningcenter.blogspot.com/2012/05/hukum-keppler-2.html
http://id.wikipedia.org/wiki/Tata_Surya
http://kafeastronomi.com/hukum-kepler-1.html
http://www.zakapedia.com/2013/01/pembahasan-hukum-kepler-i-ii-dan-iii.html
14