O documento apresenta uma introdução à teoria dos jogos no contexto da inteligência artificial. Discute brevemente a história da teoria dos jogos, tipos de jogos estudados pela IA como jogos de soma zero com informações perfeitas, e conceitos-chave como equilíbrio de Nash. Também apresenta exemplos como o dilema dos prisioneiros para ilustrar jogos estratégicos.
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Agenda
Notas históricas
Jogos - Teoria dos Jogos
Tipos de Jogos
Algoritmos de jogos e programas de computador
Árvore de Jogo - Decisões ótimas em jogos -
Decisões imperfeitas
Jogos Estocásticos - Jogos parcialmente
observáveis
Programas de Jogos de última geração
Equilíbrio de Nash
Dilema dos prisioneiros
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O que pensamos quando
imaginamos a “teoria dos jogos”?
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Mas a teoria dos jogos é muito mais do que
apenas diversão e jogos
É uma teoria com fortes fundamentos
matemáticos com desdobramentos em
diversos ramos do conhecimento.
Como Economia, Negócios, Biologia,
Computação e Engenharia, Logística, Filosofia,
Política e até mesmo defesa nacional!
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Um pouco de História
Registros antigos sobre teoria dos jogos remontam ao
século XVIII
Em correspondência dirigida a Nicolas Bernoulli, James
Waldegrave analisa um jogo de cartas chamado “le Her”
e fornece uma solução que é um equilíbrio de estratégia
mista
No início do século XIX, há o trabalho de Augustin
Cournot sobre duopólio
Em 1913, Ernest Zermelo publicou o primeiro teorema
matemático da teoria dos jogos
Émile Borel, que reinventou as soluções minimax
publicou artigos sobre jogos estratégicos e achava que
guerra e economia podiam ser estudadas de maneira
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Um pouco de História
Neste início a Teoria dos Jogos chamou pouca atenção
Isso mudou com o grande matemático John Von Neumann
Em 1928 ele demonstrou que todo jogo finito de soma zero com
duas pessoas possui uma solução em estratégias mistas
Junto com o economista Oskar Morgenstern, publicou o clássico
“The Theory of Games and Economic Behaviour” em 1944 e, com
isto, a teoria dos jogos invadiu a economia e a matemática aplicada
Em 1950, o matemático John Forbes Nash Júnior publicou quatro
artigos importantes para a teoria dos jogos
Nash provou a existência de um equilíbrio de estratégias mistas para
jogos não-cooperativos, denominado equilíbrio de Nash
Nash recebeu, em 1994, junto John Harsanyi, o Nobel de Economia.
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Primeiro, o que jogos NÃO
SÃO...
Aparentemente, temos uma noção intuitiva do
que é um jogo
Mas definições intuitivas não funcionam como
base para hipóteses científicas
Precisamos saber o que, formalmente, são os
jogos
Ou o que eles não são...
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Jogos não são...
Decisões isoladas, ou de agente único não são
jogos
Ex: decidir qual carro comprar
Decisões isoladas tomadas por agentes
inteligentes/racionais baseadas em sensores e
premissas
Ou seja, decisões isoladas não constituem
jogos...
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Jogos, jogos, jogos...
Em ambientes multiagentes, há pouca
previsibilidade
Ações dos outros agentes
É preciso tratar as contingências
Em ambiente competitivos, há conflito de
objetivos
Ex. negociação em comércio eletrônico
Nestes casos, temos “Busca contra adversário,
ou simplesmente “jogo”
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Jogos, jogos, jogos...
Os ambientes competitivos em que os objetivos
dos agentes estão em conflito e dão origem a
problemas de busca competitiva são conhecidos
como jogos (Russel & Novig, 2013)
A teoria de jogos (matemática), um ramo da
economia, visualiza qualquer ambiente
multiagente como um jogo, desde que o impacto
de cada agente sobre os outros seja
“significativo”, não importando se os agentes são
cooperativos ou competitivos. (Russel & Novig,
2013)
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Jogos...
Em IA, os jogos mais comuns são de um tipo
especializado denominado “jogos
determinísticos de revezamento de dois
jogadores de soma zero com informações
perfeitas” (como o Xadrez)
Nesse tipo de jogo dois agentes agem
alternadamente e em que os valores de utilidade
no fim do jogo são sempre iguais e opostos (ou
simétricos).
Ou seja, se um ganha o outro perde
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Tipo de jogo estudado pela IA
Dois jogadores (Two-player)
Soma-zero (Zero-sum): se um ganha, o outro perde
Discreto (discrete): todos os estados do jogo bem
como as decisões possíveis são valores discretos
Finite (finito): somente um número finito de estados e
decisões
Determinístico (deterministic): sem “lançamento de
dados”
Observável (perfect information): observável por
ambos os jogadores
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Teoria dos jogos
A Teoria dos Jogos estuda cenários onde existem
vários interessados em otimizar os próprios ganhos, as
vezes em conflito entre si.
Por exemplo, imagine que em sua empresa você tem
dúvidas sobre qual ação tomar para aumentar o seu
lucro: reduzir o preço, lançar outro produto ou fazer uma
campanha de marketing?
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Teoria dos Jogos
Teoria dos Jogos é isso: entender que sua
decisão não é independente e ambos os
ganhos dependem da combinação de muitas
ações em cadeia até chegar em um
equilíbrio.
Este equilíbrio é o chamado Equilíbrio de Nash
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Teoria dos Jogos
Para pesquisadores de IA, a natureza abstrata
dos jogos os torna um assunto atraente para
estudo.
É fácil representar o estado de um jogo e, em
geral, os agentes se restringem a um pequeno
número de ações cujos resultados são
definidos por regras precisas.
Os jogos físicos (como críquete, rúgbi ou
futebol) têm descrições complicadas, uma faixa
grande de ações e regras imprecisas
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Jogos e a atenção da IA
Com exceção do futebol de robôs, esses jogos
físicos não atraíram muito interesse na
comunidade de IA.
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Jogos e a IA
Jogos são interessantes porque são MUITO
difíceis de resolver
Ex: o xadrez tem um fator médio de
ramificação de cerca de 35, e as partidas com
frequência chegam até a 50 movimentos por
cada jogador
A árvore de busca tem aproximadamente 35100
ou 10154 nós (embora o grafo de busca tenha
“apenas” cerca de 1040 nós distintos).
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Formalmente
Elementos essenciais da formulação de um
jogo
Estado inicial: posições do tabuleiro + de quem é
a vez
Estado final: posições em que o jogo acaba
Operadores: jogadas legais para um dado estado
da partida
Função de utilidade (objetivo ou payoff): valor
numérico para os estados finais (pontuação)
Xadrez = +1, 0, -1; gamão = [-192,+192]
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Formalmente
A teoria dos jogos pode ser definida como a teoria dos
modelos matemáticos que estuda a escolha de decisões
ótimas sob condições de conflito.
O elemento básico em um jogo é o conjunto de
jogadores que dele participam.
Cada jogador tem um conjunto de estratégias.
Quando cada jogador escolhe sua estratégia, temos
então uma situação ou perfil no espaço de todas as
situações (perfis) possíveis
Cada jogador tem (matematicamente) uma função
utilidade que atribui um número real (o ganho ou payoff
do jogador) a cada situação do jogo
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Formalmente
Há, portanto, o conjunto finito de jogadores: 𝐺 = {𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔 𝑛}
Cada jogador 𝑔𝑖 possui um conjunto finito 𝑆 = {𝑆𝑖1, 𝑆𝑖2, … , 𝑆𝑖𝑛}
de opções denominadas estratégias puras
O conjunto de todos os perfis de estratégia pura formam, o
produto cartesiano
𝑆 =
𝑖=1
𝑛
𝑆𝑖 = 𝑆1 × 𝑆2 × ⋯ × 𝑆 𝑛
Denominado espaço de estratégia pura do jogo.
Para cada jogador 𝑔1 ∈ 𝐺, existe uma função utilidade
𝑢𝑖: 𝑆 → ℝ
𝒔 ↦ 𝑢𝑖 𝒔
Que associa o ganho (payoff) 𝑢𝑖 𝒔 do jogador 𝑔1 a cada perfil
de estratégia pura 𝑠 ∈ 𝑆
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Matriz de payoffs (Al e Bob)
Nesta matriz, os números de cada célula
representam os payoffs de Al e Bob para as
escolhas de Al e Bob
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Outro exemplo
(A batalha dos sexos) Um homem e a sua mulher desejam sair para
passear.
O homem prefere assistir a um jogo de futebol enquanto que sua
mulher prefere ir ao cinema.
Se eles forem juntos para o futebol, então o homem tem satisfação
maior do que a mulher.
Por outro lado, se eles forem juntos ao cinema, então a mulher tem
satisfação maior do que o homem.
Finalmente, se eles saírem sozinhos, então ambos ficam igualmente
insatisfeitos.
Esta situação também pode ser modelada como um jogo
estratégico. Temos:
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Representação dos jogos
Forma normal
O jogo (ou modo estratégia) normal é uma matriz
a qual mostra os jogadores, estratégias, e
pagamentos.
Para dois jogadores, um escolherá as linhas e o
outro escolherá as colunas. Os pagamentos são
registrados no seu interior
Nesta forma presume-se que cada jogador atue
simultaneamente ou, ao menos, sem conhecer a
ação dos outros.
Se os jogadores têm alguma informação acerca
das escolhas dos outros jogadores, o jogo é
habitualmente apresentado na forma extensiva
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Representação dos jogos
Forma Extensiva
A forma extensiva de um jogo tenta capturar jogos onde a ordem
é importante.
Os jogos aqui são apresentados como árvores (como
apresentado na figura a esquerda). Onde cada vértice (ou nodo)
representa um ponto de decisão para um jogador.
O jogador é especificado por um número listado no vértice. Os
pagamentos são especificados na parte inferior da árvore.
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Tipos de Jogos
Mais comuns:
Jogos de soma nula e soma não-nula
Jogos Simétricos e assimétricos
Jogos cooperativos
Jogos transparentes (de informação perfeita ou complete
information, onde os payoffs são conhecidos, mas as ações
não)
Jogos Estratégicos (estáticos)
jogadores fazem um lance sem saber as jogadas dos outros
Jogos simultâneos e sequenciais (uma vez; repetidos-
finitos e infinitos)
Jogos Perfect Information (Informação perfeita:- todos os
jogadores conhecem os movimentos prévios feitos por
todos os outros jogadores)
Jogos infinitamente longos
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Jogos soma zero (soma nula)
Um jogo de soma zero se refere a jogos em
que o ganho de um jogador representa
necessariamente na perda para o outro jogador
O benefício total para todos os jogadores, para
cada combinação de estratégias, sempre
somam zero
Exemplos: Poker, Go e Xadrez.
O Dilema do prisioneiro é um jogo de soma
diferente de zero.
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Jogos simultâneos e
sequenciais
Jogos simultâneos são jogos onde ambos os
jogadores movem-se simultaneamente, ou se
eles não se movem simultaneamente, ao
menos os jogadores desconhecem
previamente as ações de seus adversários
(dilema prisioneiro)
Jogos sequenciais (ou dinâmicos) são jogos
onde o próximo jogador tem conhecimento da
jogada de seu antecessor (jogo da velha)
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Jogos simétricos e assimétricos
Jogo simétrico é aquele no qual os
pagamentos para os jogadores em uma
estratégia particular dependem somente da
estratégia escolhida, e não de quem está
jogando.
Ex: Prisioneiro, caça ao veado
Os jogos assimétricos mais comuns são jogos
onde existem grupos de estratégias diferentes
para cada jogador
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Informação perfeita, imperfeita e
completa
Um jogo é de informação perfeita se todos os
jogadores conhecem os movimentos prévios
feitos por todos os outros jogadores
A maioria dos jogos estudados na teoria dos
jogos são de informação imperfeita
Muitos dos jogos populares são jogos de
informação perfeita incluindo xadrez, go.
Informação completa requer que cada jogador
conheça as estratégias e pagamentos dos
outros jogadores, mas não necessariamente
suas ações
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Algoritmo minimax
Ideia: maximizar a utilidade (ganho) supondo que
o adversário vai tentar minimizá-la (todos jogam
otimamente!)
O agente é MAX e o adversário é MIN
Minimax faz busca cega em profundidade
Ele utiliza recursividade simples dos valores
minimax de cada estado sucessor, implementando
diretamente as equações da definição.
A recursão percorre todo o caminho descendente
até as folhas da árvore e, depois, os valores
minimax são propagados de volta pela árvore, à
medida que a recursão retorna.
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Melhoramento do minimax
Para melhorar (combinar duas
técnicas)
1) Podar a arvore onde a busca seria
irrelevante: poda alfa-beta (alfa-beta
pruning)
2) Substituir a profundidade n de min-
max(n) pela estimativa de min-max(n):
função de avaliação
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Funções de utilidade
Funções de Utilidade são, essencialmente,
heurísticas!
A função de utilidade deve refletir todos os
aspectos vinculados aos possíveis resultados
de um jogo, incluindo o sentimento de
satisfação de um jogador frente ao que ocorre
com seus adversários.
Para o jogo da velha, a árvore de jogo é
relativamente pequena, menos de 9! = 362.880
nós terminais.
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Árvore de Busca
Mas, para o xadrez, há mais de 1040 nós, de
modo que é melhor pensar na árvore de jogo
como sendo uma construção teórica que não
podemos perceber no mundo físico.
Mas, independentemente do tamanho da
árvore de jogo, é trabalho de MAX a busca de
uma boa jogada.
Usamos o termo árvore de busca para uma
árvore que está sobreposta à árvore de jogo
completa, examinando os nós o suficiente para
permitir que um jogador determine que lance
fazer.
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A poda (o corte)
A poda nos permite ignorar partes da árvore de
busca que não fazem diferença para a escolha
final
As funções de avaliação de heurísticas nos
oferecem a oportunidade de fazer uma
aproximação da verdadeira utilidade de um
estado sem realizar uma busca completa.
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Decisões ótimas em jogos
Em um problema de busca normal, a solução
ótima seria uma sequência de ações que levasse
a um estado objetivo — um estado terminal que
representa uma vitória.
Por outro lado, em um jogo, MIN tem alguma
relação com esse estado.
Portanto, MAX deve encontrar uma estratégia de
contingência que especifique o movimento de
MAX no estado inicial e depois os movimentos de
MAX nos estados resultantes de cada resposta
possível de MIN
E depois os movimentos de MAX nos estados
resultantes de cada resposta possível de MIN a
esses movimentos, e assim por diante.
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Decisões ótimas em jogos
Uma árvore de jogo de duas jogadas.
Os nós ∆ são “nós de MAX”, nos quais é a vez de MAX
efetuar um movimento, e os nós ∇ são “nós de MIN”.
Os nós terminais mostram os valores de utilidade para MAX;
os outros nós estão identificados com seus valores minimax.
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Complexidade do minimax
O algoritmo minimax executa uma exploração
completa em profundidade da árvore de jogo.
Se a profundidade máxima da árvore é m e
existem b movimentos válidos em cada ponto, a
complexidade de tempo do algoritmo minimax é O(
bm). (exponencial)
A complexidade de espaço é O( bm) para um
algoritmo que gera todos os sucessores de uma
vez ou O( m) para um algoritmo que gera ações,
uma de cada vez.
É claro que, em jogos reais, o custo de tempo é
totalmente impraticável
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Jogos estocásticos
Na vida real, existem muitos eventos externos
imprevisíveis que podem nos colocar em
situações inesperadas.
Muitos jogos refletem essa imprevisibilidade,
incluindo um elemento aleatório, como o
lançamento de dados.
Nós os chamamos de jogos estocásticos.
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Equilíbrio de Nash
Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash
de um jogo é um ponto onde cada jogador não
tem incentivo de mudar sua estratégia se os
demais jogadores não o fizerem.
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Programas de jogos de última
geração
Xadrez: Deep Blue (aposentado) derrotou o campão
mundial Gary Kasparov.
30 processadores em paralelo usando busca alfa-beta.
Buscava 30 bilhões de posições por movimento
14 camadas de profundidade
Hydra (sucessor do Deep Blue). Executa em cluster de
processador de 64 bits em forma de chips FPGA
200 milhões de avaliações por segundo, mas alcança 18
camadas de profundidade
RYBKA, vencedor do campeonato Mundial de Xadrez
de computador de 2008/2009 (Intel Xeon de 8-core e
3,2 Ghz)
Função de avaliação melhorada
A partir de então, os avanços são no software
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Programas de jogos de última
geração
Damas: CHINOOK, executa em PC’s e utiliza
busca alfa-beta
Derrotou o campeão humano em 1990
Base de dados de 39 trilhões de posições finais
Gamão: inclusão da incerteza no lançamento dos
dados torna a busca profunda um luxo dispendioso
Programas buscam melhorar a função de avaliação
Go: o jogo de tabuleiro mais popular da Ásia
O tabuleiro 19X19 gera um fator de ramificação de 361, um
valor assustador para os métodos de busca alfa-beta
comuns
A função de avaliação é difícil por causa do controle de
território
Os programas atuais, em tabuleiro 9 x 9 estão ainda em
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Amplitude da Teoria dos Jogos
Conflitos entre países, entre grupos sociais e
entre grupos étnicos;
Políticas de preço, de mercado financeiro e de
expansão de mercado;
Políticas de impostos e taxas;
Políticas sociais e de saúde;
Campanhas eleitorais e outras disputas de
poder entre facções políticas;
Práticas esportivas;
Dinâmica de comportamento animal.
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Conclusões
A Teoria dos Jogos é uma área excitante (e
enorme) para se trabalhar dentro da IA
Ela ilustra várias questões importantes da IA
Além de servir para inúmeras outras áreas da
ciência e da humanidade.
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Referências
AIMA: Ler capítulo “Adversarial Search”
Tutorial “Game Tree Search Algorithms, including
Alpha-Beta Search”, disponível em
http://www.autonlab.org/tutorials/
Russell, S., e P. Norvig. Inteligência artificial.
CAMPUS - RJ, 2004.
Sartini et al. Uma introdução a Teoria dos Jogos. II
Bienal da SBM – Universidade Federal da Bahia.
2004.
http://www.pucsp.br/~logica/Fuzzy.htm
http://www.matematicauva.org/semana2011/palestr
as/carpegiani.pdf
No jogo mostrado aqui, existem dois jogadores, Jogador 1 move primeiro escolhendo entre F ou U. O Jogador 2 vê o movimento do Jogador 1 e então escolhe entre A ou R.
Suponha que o Jogador 1 escolha U e então o Jogador 2 escolha A, então o Jogador 1 obterá 8 e o Jogador 2 obterá 2.
porque algumas saídas têm resultados combinados maior ou menor que zero.
Informalmente, em jogos de soma diferente de zero, o ganho de um dos jogadores não necessariamente corresponde à perda dos outros.
SEQUENCIAIS: Isto não necessita ser conhecimento perfeito a cerca de cada ação do jogador antecessor; ele necessita de muito pouca informação. Por exemplo, um jogador deve saber que o jogador anterior não pode realizar uma ação em particular, enquanto ele não sabe quais das outras ações disponíveis o primeiro jogador ira realmente realizar.
Reflete as chances de ganhar: baseada no valor material
ex. valor de uma peça independentemente da posição das outras
substantivo feminino
arte de inventar, de fazer descobertas; ciência que tem por objeto a descoberta dos fatos.
hist ramo da História voltado à pesquisa de fontes e documentos.
inf método de investigação baseado na aproximação progressiva de um dado problema.
Heurística ou eurística é um método ou processo criado com o objetivo de encontrar soluções para um problema. É um procedimento simplificador (embora não simplista) que, em face de questões difíceis envolve a substituição destas por outras de resolução mais fácil a fim de encontrar respostas viáveis, ainda que imperfeitas.[1] [2] Tal procedimento pode ser tanto uma técnica deliberada de resolução de problemas, como uma operação de comportamento automática, intuitiva e inconsciente[3] .
Na primeira forma é uma alternativa rápida e semi-intuitiva ao raciocínio lento e elaborado, que às vezes funciona razoavelmente bem se utilizada dentro de suas limitações. Mas que geralmente induz a vieses e erros graves e recorrentes quando realizada em sua 2ª forma, ou utilizada além de seu escopo.[4] [5]
O melhor movimento de MAX na raiz é a1 porque leva a um estado com o mais alto valor minimax, e a melhor resposta de MIN é b1 porque leva a um estado com o mais baixo valor minimax.
o padrão estocástico é aquele cujo estado é indeterminado, com origem em eventos aleatórios. Por exemplo, o lançar de dados resulta num processo estocástico, pois qualquer uma das 6 faces do dado tem iguais probabilidades de ficar para cima após o arremesso. Assim, qualquer sistema ou processo analisado usando a teoria probabilística é estocástico, ao menos em parte.
Em maio de 1997, após uma severa atualização, Deep Blue venceu Kasparov em um novo confronto de 6 partidas, com 2 vitórias, 3 empates e 1 derrota (pontuação final: 3,5 a 2,5), tornando-se o primeiro computador a vencer um campeão mundial de xadrez num match com regras de tempo oficiais.
Contudo, esse PC parece ridículo perto dos atuais 76,8 GFLOPS do iPhone 5S — valor quase mil vezes maior. Até mesmo o seu sucessor, o Cray-2, anunciado 10 anos mais tarde e considerado o computador mais rápido do mundo até 1990, fica bem longe do smartphone da Maçã com seu 1,9 GFLOPS.
E ainda tem mais. O Deep Blue, computador que venceu o campeão mundial de xadrez, Garry Kasparov, em maio de 1997, possui capacidade de transferência de 11,38 GFLOPS e de calcular 200 milhões de jogadas por segundo. Porém, aparentemente sua configuração não seria capaz de rodar Crysis. Contrastando com isso, só a GPU do Samsung Galaxy S5 atua a até 142 GFLOPS e o Tegra K1 a 364 GFLOPS. (LG G2)