Construções fundamentais

1. Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes
Geom´etricas
Em´ılio Eiji Kavamura
Eng. Mecˆanica
Universidade Positivo
6 de fevereiro de 2009
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

2. SUM ´ARIO
1 construc¸ ˜oes Fundamentais
Perpedincular a uma reta dada por um ponto
distinto
Bissetriz de um ˆangulo
Transportar o ˆangulo
Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais
Paralela a uma reta por um ponto
Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia
Divis˜ao um segmento em partes iguais
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

3. T ´OPICOS
1 construc¸ ˜oes Fundamentais
Perpedincular a uma reta dada por um ponto
distinto
Bissetriz de um ˆangulo
Transportar o ˆangulo
Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais
Paralela a uma reta por um ponto
Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia
Divis˜ao um segmento em partes iguais
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4. Problema no1 - Perpedincular a uma reta
Dada uma reta a e
um ponto P fora dela,
trac¸ar por P a perpendicular
`a reta dada.
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5. Problema no1 - Perpedincular a uma reta
Dada uma reta a e
um ponto P fora dela,
trac¸ar por P a perpendicular
`a reta dada.
2009-02-06
Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
Construc¸ ˜oes Fundamentais
Perpedincular a uma reta dada por um ponto distinto
Problema no1 - Perpedincular a uma reta
Definic¸ ˜ao: duas retas s˜ao ditas perpendiculares quando
possuem um ponto em comum e formam entre si um ˆangulo de
90o

6. Problema no1 - Perpedincular a uma reta
a
Dada uma reta a e
um ponto P fora dela,
trac¸ar por P a perpendicular
`a reta dada.
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7. Problema no1 - Perpedincular a uma reta
a
P
Dada uma reta a e
um ponto P fora dela,
trac¸ar por P a perpendicular
`a reta dada.
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8. Problema no1 - Perpedincular a uma reta
a
P
Dada uma reta a e
um ponto P fora dela,
trac¸ar por P a perpendicular
`a reta dada.
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9. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao
a
P
1 α = {P, r},
r > dist{P, a};
2 α ∩ a = {A, B};
3 β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1}
4 I = β1 ∩ β2;
5 r3 ⊂ {P, I};
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10. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao
a
P
r
1 α = {P, r},
r > dist{P, a};
2 α ∩ a = {A, B};
3 β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1}
4 I = β1 ∩ β2;
5 r3 ⊂ {P, I};
Trac¸ar uma circunferˆencia com centro em P e raio r maior que
a distˆancia do ponto `a reta a;
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11. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao
a
P
A B
1 α = {P, r},
r > dist{P, a};
2 α ∩ a = {A, B};
3 β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1}
4 I = β1 ∩ β2;
5 r3 ⊂ {P, I};
a circunferˆencia intercepta a reta nos pontos A e B;
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12. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao
a
P
A B
β2β1
1 α = {P, r},
r > dist{P, a};
2 α ∩ a = {A, B};
3 β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1}
4 I = β1 ∩ β2;
5 r3 ⊂ {P, I};
trac¸ar 2 circunferˆencias de mesmo raio com centros nos pontos
A e B;
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13. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao
a
P
β2β1
I
1 α = {P, r},
r > dist{P, a};
2 α ∩ a = {A, B};
3 β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1}
4 I = β1 ∩ β2;
5 r3 ⊂ {P, I};
as 2 circunferˆencias se interceptam no ponto I;
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14. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao
a
P
I
r3
1 α = {P, r},
r > dist{P, a};
2 α ∩ a = {A, B};
3 β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1}
4 I = β1 ∩ β2;
5 r3 ⊂ {P, I};
trac¸ar uma reta que passa por P e por I,
que ´e a procurada;
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15. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao
a
P
r3
1 α = {P, r},
r > dist{P, a};
2 α ∩ a = {A, B};
3 β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1}
4 I = β1 ∩ β2;
5 r3 ⊂ {P, I};
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16. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
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17. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
r
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18. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
r
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19. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
r
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20. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
r
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21. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
r
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22. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
r
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23. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
r
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24. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
r
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25. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
r
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26. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
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27. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
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28. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1
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29. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1
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30. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1
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31. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1
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32. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1
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33. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1
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34. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1
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35. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1
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36. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1
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37. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1
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38. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1 β2
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39. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1 β2
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40. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1 β2
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41. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1 β2
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42. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1 β2
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43. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1 β2
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44. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1 β2
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45. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
A B
β1 β2
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46. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
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47. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
I
r3
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48. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
I
r3
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49. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
I
r3
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50. Revisando - Perpedincular a uma reta
a
P
I
r3
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51. T ´OPICOS
1 construc¸ ˜oes Fundamentais
Perpedincular a uma reta dada por um ponto
distinto
Bissetriz de um ˆangulo
Transportar o ˆangulo
Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais
Paralela a uma reta por um ponto
Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia
Divis˜ao um segmento em partes iguais
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52. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo
O
r
s
Dado um par de retas r e s e
o ponto O de cruzamento.
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53. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo
O
r
s
Dado um par de retas r e s e
o ponto O de cruzamento.
Determine a bissetriz do
ˆangulo formado por elas.
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54. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao
O
r
s
1 γ = {O, r};
2 γ ∩ r = {A};
γ ∩ s = {B};
3 β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1};
4 I = β1 ∩ β2;
5 r1 ⊂ {O, I};
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55. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao
O
r
s
γ
1 Trac¸ar um arco de circunferˆencia,
γ,
com centro em O e
raio r qualquer; γ = {O, r};
2 γ ∩ r = {A};
γ ∩ s = {B};
3 β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1};
4 I = β1 ∩ β2;
5 r1 ⊂ {O, I};
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56. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao
O
r
s
γ
A
B
1 γ = {O, r};
2 o arco intercepta as retas nos
pontos A e B;
γ ∩ r = {A};
γ ∩ s = {B};
3 β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1};
4 I = β1 ∩ β2;
5 r1 ⊂ {O, I};
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57. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao
O
r
s
γ
A
B
β1
β2
1 γ = {O, r};
2 γ ∩ r = {A};
γ ∩ s = {B};
3 Trac¸a-se dois arcos
com centro em A e em B;
β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1};
4 I = β1 ∩ β2;
5 r1 ⊂ {O, I};
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58. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao
O
r
s
γ
A
B
β1
β2
I
1 γ = {O, r};
2 γ ∩ r = {A};
γ ∩ s = {B};
3 β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1};
4 a intersecc¸ ˜ao das
2 circunferˆencias
define o ponto I;
I = β1 ∩ β2;
5 r1 ⊂ {O, I};
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59. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao
O
r
s
I r1
1 γ = {O, r};
2 γ ∩ r = {A};
γ ∩ s = {B};
3 β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1};
4 I = β1 ∩ β2;
5 trac¸ar uma reta que
passa por O e por I,
que ´e a procurada;
r1 ⊂ {O, I};
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60. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao
O
r
s
I r1
1 γ = {O, r};
2 γ ∩ r = {A};
γ ∩ s = {B};
3 β1 = {A, r1};
β2 = {B, r1};
4 I = β1 ∩ β2;
5 r1 ⊂ {O, I};
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61. T ´OPICOS
1 construc¸ ˜oes Fundamentais
Perpedincular a uma reta dada por um ponto
distinto
Bissetriz de um ˆangulo
Transportar o ˆangulo
Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais
Paralela a uma reta por um ponto
Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia
Divis˜ao um segmento em partes iguais
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62. Problema no4 - transporte de ˆangulo
b
a
O
Dado duas retas a e b, distintas.
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63. Problema no4 - transporte de ˆangulo
b
a
O
θ
c
P
Dado duas retas a e b, distintas.
Deseja-se transportar
o ˆangulo θ formado por elas,
para uma terceira reta c em seu ponto
P.
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64. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao
b
a
O
θ
c
P
1 γ = {O, r}, ∀r;
2 γ ∩ a = {A};
γ ∩ b = {B};
3 β1 = {P, r};
4 C = β1 ∩ c;
5 dist(A, B) = dist(C, D);
67 PD;
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65. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao
b
a
O
θ
c
P
γ
r
1 Trac¸ar um arco de
circunferˆencia, γ,
com centro em O e raio
qualquer r;
γ = {O, r}, ∀r;
2 γ ∩ a = {A};
γ ∩ b = {B};
3 β1 = {P, r};
4 C = β1 ∩ c;
5 dist(A, B) = dist(C, D);
67 PD;
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66. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao
b
a
O
θ
c
P
γ
r
B
A
1 γ = {O, r}, ∀r;
2 o arco intercepta
as retas no pontos A e B;
γ ∩ a = {A};
γ ∩ b = {B};
3 β1 = {P, r};
4 C = β1 ∩ c;
5 dist(A, B) = dist(C, D);
67 PD;
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67. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao
b
a
O
θ
c
P
γ
r
B
A
β1 r
1 γ = {O, r}, ∀r;
2 γ ∩ a = {A};
γ ∩ b = {B};
3 Trac¸ar o arco β1 com centro
em P e
raio r;
β1 = {P, r};
4 C = β1 ∩ c;
5 dist(A, B) = dist(C, D);
67 PD;
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68. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao
b
a
O
θ
c
P
γ
B
A
β1
C
r
1 γ = {O, r}, ∀r;
2 γ ∩ a = {A};
γ ∩ b = {B};
3 β1 = {P, r};
4 A intersecc¸ ˜ao do arco
com a reta c ´e o ponto C;
C = β1 ∩ c;
5 dist(A, B) = dist(C, D);
67 PD;
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69. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao
b
a
O
θ
c
P
γ
B
A
β1
C
dist (A,B)
1 γ = {O, r}, ∀r;
2 γ ∩ a = {A};
γ ∩ b = {B};
3 β1 = {P, r};
4 C = β1 ∩ c;
5 Transportar o arco A ˆOB
para C ˆPD ;
dist(A, B) = dist(C, D);
67 PD;
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70. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao
b
a
O
θ
c
P
γ
B
A
β1
C
dist (A,B)
D
1 γ = {O, r}, ∀r;
2 γ ∩ a = {A};
γ ∩ b = {B};
3 β1 = {P, r};
4 C = β1 ∩ c;
5 dist(A, B) = dist(C, D);
6 D est´a sobre o arco β1 a
uma distˆancia AB do ponto
C;
D = β1 ∩ (C, dist(A, B));
7 PD;
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71. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao
b
a
O
θ
c
P
γ
B
A
β1
C
dist (A,B)
D
1 γ = {O, r}, ∀r;
2 γ ∩ a = {A};
γ ∩ b = {B};
3 β1 = {P, r};
4 C = β1 ∩ c;
5 dist(A, B) = dist(C, D);
6 D = β1 ∩ (C, dist(A, B));
7 A reta definida por P e D ´e
a reta procurada;
PD;
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72. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao
b
a
O
θ
c
P
D
1 γ = {O, r}, ∀r;
2 γ ∩ a = {A};
γ ∩ b = {B};
3 β1 = {P, r};
4 C = β1 ∩ c;
5 dist(A, B) = dist(C, D);
6 D = β1 ∩ (C, dist(A, B));
7 PD;
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73. T ´OPICOS
1 construc¸ ˜oes Fundamentais
Perpedincular a uma reta dada por um ponto
distinto
Bissetriz de um ˆangulo
Transportar o ˆangulo
Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais
Paralela a uma reta por um ponto
Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia
Divis˜ao um segmento em partes iguais
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74. Problema no5 - Angulo em 4 partes iguais
O processo consiste em repetir a construc¸ ˜ao da bissetriz
3 vezes:
para dividir o ˆangulo em duas partes iguais;
para dividir cada uma das partes obtidas;
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75. O
r
s
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76. O
r
s
γ
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77. O
r
s
γ
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

78. O
r
s
γ
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79. O
r
s
γ
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80. O
r
s
γ
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81. O
r
s
γ
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82. O
r
s
γ
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

83. O
r
s
γ
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

84. O
r
s
γ A
B
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85. O
r
s
γ A
B
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86. O
r
s
γ A
B
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87. O
r
s
γ A
B
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

88. O
r
s
γ A
B
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

89. O
r
s
γ A
B
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

90. O
r
s
γ A
B
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

91. O
r
s
γ A
B
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

92. O
r
s
γ A
B
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

93. O
r
s
γ A
B
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94. O
r
s
γ A
B
β1
β2
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95. O
r
s
A
B
β1
β2
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96. O
r
s
A
B
β1
β2
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

97. O
r
s
A
B
β1
β2
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98. O
r
s
A
B
β1
β2
I
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99. O
r
s
A
B
β1
β2
I
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

100. O
r
s
β1
β2
I
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

101. O
r
s
I
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

102. O
r
s
I
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

103. O
r
s
I
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

104. O
r
s
I r1
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105. O
r
s
I r1
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106. O
r
s
I r1
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107. O
r
s
I r1
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108. O
r
s
I r1
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109. O
r
s
I r1
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110. O
r
s
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111. O
r
s
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112. O
r
s
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113. O
r
s
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114. O
r
s
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115. O
r
s
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116. O
r
s
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117. O
r
s
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118. O
r
s
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119. O
r
s
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120. O
r
s
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121. O
r
s
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122. O
r
s
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123. O
r
s
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124. O
r
s
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125. O
r
s
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126. T ´OPICOS
1 construc¸ ˜oes Fundamentais
Perpedincular a uma reta dada por um ponto
distinto
Bissetriz de um ˆangulo
Transportar o ˆangulo
Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais
Paralela a uma reta por um ponto
Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia
Divis˜ao um segmento em partes iguais
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127. Problema no3 - Reta paralela
P
a
Dado uma reta a, e
um ponto P distintos.
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128. Problema no3 - Reta paralela
P
a
Dado uma reta a, e
um ponto P distintos.
Deseja-se trac¸ar uma segunda reta b
paralela a a pelo ponto P.
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129. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao
P
a
1 γ1 = {P, r}, r > dist(P, a);
2 γ1 ∩ a = {A};
3 (A, dist(a, P))
γ2
∩a = {B};
4 γ3 = (A, dist(B, P))
γ4 = (P, dist(B, P))
γ3 ∩ γ4 = {C};
5 PC;
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130. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao
P
a
r
γ1
1 Trace um arco de
circunferˆencia,
γ1, com centro em P e
raio r maior que
a distˆancia do ponto P a reta a;
γ1 = {P, r}, r > dist(P, a);
2 γ1 ∩ a = {A};
3 (A, dist(a, P))
γ2
∩a = {B};
4 γ3 = (A, dist(B, P))
γ4 = (P, dist(B, P))
γ3 ∩ γ4 = {C};
5 PC;
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131. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao
P
a
r
γ1
A
1 γ1 = {P, r}, r > dist(P, a);
2 γ1 intercepta a reta a no ponto
A;
γ1 ∩ a = {A};
3 (A, dist(a, P))
γ2
∩a = {B};
4 γ3 = (A, dist(B, P))
γ4 = (P, dist(B, P))
γ3 ∩ γ4 = {C};
5 PC;
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132. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao
P
a
r
γ1
A
γ2
B
1 γ1 = {P, r}, r > dist(P, a);
2 γ1 ∩ a = {A};
3 γ2 arco com centro em A e raio
AP
intercepta a no ponto B;
(A, dist(a, P))
γ2
∩a = {B};
4 γ3 = (A, dist(B, P))
γ4 = (P, dist(B, P))
γ3 ∩ γ4 = {C};
5 PC;
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133. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao
P
a
A
γ3 γ4
B
C
1 γ1 = {P, r}, r > dist(P, a);
2 γ1 ∩ a = {A};
3 (A, dist(a, P))
γ2
∩a = {B};
4 o arco centro em B e
abertura BP ´e transderido para
A;
γ3 = (A, dist(B, P))
γ4 = (P, dist(B, P))
γ3 ∩ γ4 = {C};
5 PC;
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134. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao
P
a
C
1 γ1 = {P, r}, r > dist(P, a);
2 γ1 ∩ a = {A};
3 (A, dist(a, P))
γ2
∩a = {B};
4 γ3 = (A, dist(B, P))
γ4 = (P, dist(B, P))
γ3 ∩ γ4 = {C};
5 a direc¸ ˜ao definida
pelos pontos P e C
suporta a reta procurada;
PC;
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135. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao
P
a
1 γ1 = {P, r}, r > dist(P, a);
2 γ1 ∩ a = {A};
3 (A, dist(a, P))
γ2
∩a = {B};
4 γ3 = (A, dist(B, P))
γ4 = (P, dist(B, P))
γ3 ∩ γ4 = {C};
5 PC;
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136. Revisando
P
a
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137. Revisando
P
a
r
γ1
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138. Revisando
P
a
r
γ1
A
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

139. Revisando
P
a
r
γ1
A
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

140. Revisando
P
a
r
γ1
A
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

141. Revisando
P
a
r
γ1
A
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

142. Revisando
P
a
r
γ1
A
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

143. Revisando
P
a
r
γ1
A
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

144. Revisando
P
a
r
γ1
A
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145. Revisando
P
a
r
γ1
AA
γ2
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146. Revisando
P
a
A
γ2
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

147. Revisando
P
a
A
γ2
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

148. Revisando
P
a
A
γ2
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

149. Revisando
P
a
A
γ2
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

150. Revisando
P
a
A
γ2
B
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151. Revisando
P
a
A
γ2
B
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152. Revisando
P
a
A
γ2
B
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153. Revisando
P
a
A
γ2
B
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154. Revisando
P
a
A
γ2
B
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155. Revisando
P
a
A
γ2
γ3
B
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156. Revisando
P
a
A
γ2
γ3
B
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

157. Revisando
P
a
A
γ2
γ3
B
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158. Revisando
P
a
A
γ2
γ3
B
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

159. Revisando
P
a
A
γ2
γ3
B
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160. Revisando
P
a
A
γ2
γ3 γ4
B
C
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161. Revisando
P
a
A
γ3 γ4
B
C
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162. Revisando
P
a
A
γ3 γ4
B
C
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163. Revisando
P
a
A
γ3 γ4
B
C
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164. Revisando
P
a
A
γ3 γ4
B
C
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165. Revisando
P
a
A
γ3 γ4
B
C
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

166. Revisando
P
a
AB
C
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167. Revisando
P
a
AB
C
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168. Revisando
P
a
AB
C
eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

169. Revisando
P
a
AB
C
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170. Revisando
P
a
AB
C
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171. Revisando
P
a
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172. T ´OPICOS
1 construc¸ ˜oes Fundamentais
Perpedincular a uma reta dada por um ponto
distinto
Bissetriz de um ˆangulo
Transportar o ˆangulo
Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais
Paralela a uma reta por um ponto
Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia
Divis˜ao um segmento em partes iguais
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173. Problema no6 - Paralela de uma reta
EF
a
Dado uma reta a, e uma distˆancia
EF.
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174. Problema no6 - Paralela de uma reta
EF
a
Dado uma reta a, e uma distˆancia EF.
Deseja-se
trac¸ar uma segunda reta b
paralela a a e distante de EF.
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175. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao
EF
a
1 A, B ∈ a, A = B;
2 a1⊥a, {A} ∈ a1;
a2⊥a, {B} ∈ a2;
3 a1 ∩ {A, EF} = {C};
a2 ∩ {B, EF} = {D};
4 {C, D} ∈ b;
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176. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao
EF
a A B
1 Escolha 2 pontos distintos
quaiquer, A e B;
A, B ∈ a, A = B;
2 a1⊥a, {A} ∈ a1;
a2⊥a, {B} ∈ a2;
3 a1 ∩ {A, EF} = {C};
a2 ∩ {B, EF} = {D};
4 {C, D} ∈ b;
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177. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao
EF
a A B
a1 a2
1 A, B ∈ a, A = B;
2 Trace as perpendiculares a
a por A e por B;
a1⊥a, {A} ∈ a1;
a2⊥a, {B} ∈ a2;
3 a1 ∩ {A, EF} = {C};
a2 ∩ {B, EF} = {D};
4 {C, D} ∈ b;
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178. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao
EF
a A B
a1 a2
C D
1 A, B ∈ a, A = B;
2 a1⊥a, {A} ∈ a1;
a2⊥a, {B} ∈ a2;
3 Transfira
a distˆancia EF
sobre a1 e
sobre a2;
a1 ∩ {A, EF} = {C};
a2 ∩ {B, EF} = {D};
4 {C, D} ∈ b;
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179. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao
a A B
C D
1 A, B ∈ a, A = B;
2 a1⊥a, {A} ∈ a1;
a2⊥a, {B} ∈ a2;
3 a1 ∩ {A, EF} = {C};
a2 ∩ {B, EF} = {D};
4 a reta que
cont´em os pontos C e D ´e a
resposta;
{C, D} ∈ b;
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180. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao
a
b
1 A, B ∈ a, A = B;
2 a1⊥a, {A} ∈ a1;
a2⊥a, {B} ∈ a2;
3 a1 ∩ {A, EF} = {C};
a2 ∩ {B, EF} = {D};
4 {C, D} ∈ b;
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181. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao
a
b
1 A, B ∈ a, A = B;
2 a1⊥a, {A} ∈ a1;
a2⊥a, {B} ∈ a2;
3 a1 ∩ {A, EF} = {C};
a2 ∩ {B, EF} = {D};
4 {C, D} ∈ b;
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182. T ´OPICOS
1 construc¸ ˜oes Fundamentais
Perpedincular a uma reta dada por um ponto
distinto
Bissetriz de um ˆangulo
Transportar o ˆangulo
Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais
Paralela a uma reta por um ponto
Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia
Divis˜ao um segmento em partes iguais
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183. Problema no7 - Divis˜ao de segmento
A D
Dado um segmento de reta AD,
dividi-la em trˆes partes iguais.
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184. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao
A D
1 b, b = AD, b ∩ AD = {A};
2 {A, r} ∩ b = {B1},
{B1, r} ∩ b = {C1},
{C1, r} ∩ b = {D1};
3 D1D;
4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;
B1B//D1D, {B} ∈ AD;
5 AB = BC = CD;
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185. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao
AD
b
A D
1 Trace um segmento de reta b
com extremidade na reta
dada;
b, b = AD, b ∩ AD = {A};
2 {A, r} ∩ b = {B1},
{B1, r} ∩ b = {C1},
{C1, r} ∩ b = {D1};
3 D1D;
4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;
B1B//D1D, {B} ∈ AD;
5 AB = BC = CD;
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186. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao
b
A D
B1
C1
D1
1 b, b = AD, b ∩ AD = {A};
2 Marque trˆes pontos
equidistantes sobre b:
B, C, D;
{A, r} ∩ b = {B1},
{B1, r} ∩ b = {C1},
{C1, r} ∩ b = {D1};
3 D1D;
4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;
B1B//D1D, {B} ∈ AD;
5 AB = BC = CD;
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187. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao
b
A D
B1
C1
D1
1 b, b = AD, b ∩ AD = {A};
2 {A, r} ∩ b = {B1},
{B1, r} ∩ b = {C1},
{C1, r} ∩ b = {D1};
3 Trace D1D;
D1D;
4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;
B1B//D1D, {B} ∈ AD;
5 AB = BC = CD;
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188. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao
b
A
B C
D
B1
C1
D1
1 b, b = AD, b ∩ AD = {A};
2 {A, r} ∩ b = {B1},
{B1, r} ∩ b = {C1},
{C1, r} ∩ b = {D1};
3 D1D;
4 Trace as parelelas a D1D:
C1C, B1B;
C1C//D1D, {C} ∈ AD ;
B1B//D1D, {B} ∈ AD;
5 AB = BC = CD;
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189. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao
A
B C
D
1 b, b = AD, b ∩ AD = {A};
2 {A, r} ∩ b = {B1},
{B1, r} ∩ b = {C1},
{C1, r} ∩ b = {D1};
3 D1D;
4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;
B1B//D1D, {B} ∈ AD;
5 o segmento AD ´e dividido em
trˆes partes iguais pelos
pontos B e C
AB = BC = CD;
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190. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao
A
B C
D
1 b, b = AD, b ∩ AD = {A};
2 {A, r} ∩ b = {B1},
{B1, r} ∩ b = {C1},
{C1, r} ∩ b = {D1};
3 D1D;
4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;
B1B//D1D, {B} ∈ AD;
5 AB = BC = CD;
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191. Revisando
A D
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192. Revisando
AD
b
A D
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193. Revisando
b
A D
B1
C1
D1
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194. Revisando
b
A D
B1
C1
D1
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195. Revisando
b
A
B C
D
B1
C1
D1
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196. Revisando
A
B C
D
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197. Revisando
A
B C
D
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