Laten we eens samen afdalen naar het rijk van de atomen. Hebben we er wel enig idee van hoe groot een atoom eigenlijk wel is? Laten we even een vergelijking maken. Er zijn ongeveer 100 miljard sterren in ons melkwegstelsel. En men raamt het aantal sterrenstelsels in het heelal eveneens van de orde van 100 miljard. Dus is het totaal aantal sterren van de grootteorde van een getal met 22 nullen. Maar dit getal is nog steeds kleiner dan het getal van Avogadro met 23 nullen. Dat betekent dat bijvoorbeeld 1 gram silicium meer atomen bevat dan er sterren zijn in het heelal. En dus kan het afdalen in die wereld even boeiend zijn als de exploratie naar de uiteinden van het universum. Reeds in 1959 gaf de latere Nobelprijswinnaar en visionair Richard Feynman een zeer opmerkelijke lezing onder de titel: “There's Plenty of Room at the Bottom”. An Invitation to Enter a New Field of Physics “Wanneer we die zeer kleine wereld betreden dan merken we plots dat de atomen zich niet meer gedragen volgens de klassieke wetmatigheden van onze dagelijks wereld. Ze volgen de wetten van de kwantumechanika. En nieuwe wetten geven ook mogelijkheden om nieuwe dingen te maken…Ik durf zelfs de vraag stellen of we ooit atomen één voor één zouden kunnen stapelen op de plaats waar wij hetzelf willen..”. Feynman heeft het niet meer mogen meemaken. Maar de dag van vandaag is zijn droom werkelijkheid geworden. Met moderne elektronenmicroskopen slaagt men er in individuele atomen zichtbaar te maken, een prestatie die vergelijkbaar is met het waarnemen van pingpongballetjes op het maanopervlak. Sterker nog, men slaagt er zelfs in individuele atomen te verplaatsen en daarmee nieuwe strukturen te maken met nieuwe eigenschappen. Dus als het ware opbouwen van onderuit. Dat is het terrein van de nanotechnologie. In de lezing gaan we samen dat onbekend terrein verkennen. En de kwantumechanika is daarbij onze handleiding. Maar het is een hele uitdaging om kwantummechanica uit te leggen zodat een leek die kan begrijpen. Immers zelfs Richard Feynman zei daarover in 1965 “Ik kan gerust stellen dat niemand eigenlijk kwantummechanika begrijpt”. Toch ben ik die uitdaging aangegaan.

1. Kwantumfysica
Dirk Van Dyck.
Universiteit Antwerpen
Elcker-ik 31/03/2015

2. Richard Feynman (1965)
Ik kan gerust stellen dat niemand
eigenlijk kwantummechanika
begrijpt.
Lezing vandaag
Kwantumfysica zonder formules ?

3. Kwantumfysica
-Geschiedenis
-Wat is kwantumfysica ?
-Toepassingen van de kwantumfysica
-Kunnen we kwantumfysica begrijpen?

4. Situatie rond 1900
nieuwe ontdekkingen
• 1895 X-stralen (Röntgen)
• 1896 Radioactiviteit (Becquerel, Curie,
Rutherford).
• 1897 Ontdekking elektron (Thompson)

5. Situatie rond 1900
Wetenschappelijke problemen
• Atoomtheorie (bestaan atomen echt ?) :
Einstein (1905) Brownse beweging.
• Lichtsnelheid constant (Michelson- Morley):
Einstein (1905) Relativiteitstheorie.
• Soortelijke warmte (experiment < theorie):
Einstein (1906).

6. Situatie rond 1900
Wetenschappelijke problemen
Start van de kwantumfysica
• Stralingswetten (UV catastrofe):
Planck(1900) kwantummechanica
• Foto-elektrisch effect (Hertz):
Einstein (1905)
• Structuur van het atoom:
Rutherford (1909), Bohr (1913)

7. Eerste Nobelprijzen fysica
• 1901 Röntgen
• 1902 Lorentz, Zeeman.
• 1903 Becquerel, P&M Curie
1904 Rayleigh
• 1906 J.J Thompson.
• 1908 Michelson
• 1908 Rutherford (radioactiviteit, niet atoommodel)
• 1918 Planck (kwantummechanica)
• 1921 Einstein (foto- elektrisch effect).

8. Solvay conferenties ( 7 conseils de
physique tussen 1911 en 1933)
•Ernest Solvay: autodidact , rijke ondernemer
•Op initiatief van Nernst (>< Arhennius)
•Einstein kritisch (“heksensabbat”). Overtuigd
door Lorentz.
•Nagenoeg geen Engelsen (Solvay te “links”).

9. Solvay conferentie 1911 (Brussel Hotel Metropole)

10. Solvay conferentie 1927: kwantummechanica

11. Begin van de kwantummechanica
• Planck (1900) : Sleutelt aan de theorie van de zwarte
straler. Energie kan slechts in pakketjes bestaan.
Maar hij gelooft eerder in wiskundig trukje
• Einstein (1905) toont aan dat de straling ook echt
gekwantiseerd is en verklaart het foto-elektrisch
effect als een botsing tussen foton en elektron
• Bohr: verbetert het atoommodel van Rutherford met
de kwantisatie van de straling (energie niveaus)

12. Zwarte straler: ultraviolet
catastrofe

13. Begin van de kwantummechanica
• Planck (1900) : Sleutelt aan de theorie van de zwarte
straler. Energie kan slechts in pakketjes bestaan.
Maar hij gelooft eerder in wiskundig trukje
• Einstein (1905) toont aan dat de straling ook echt
gekwantiseerd is en verklaart het foto-elektrisch
effect als een botsing tussen foton en elektron
• Bohr: verbetert het atoommodel van Rutherford met
de kwantisatie van de straling (energie niveaus)

14. Elektromagnetische golven
Voorspeld door Maxwell (1873)
Eerste experiment Hertz (1887)
Toepassingen Marconi (1889)

15. Foto-Elektrisch effect (Hertz 1887)
Vonken ontstaan gemakkelijker als het metaal
belicht wordt met UV licht

16. Foto-elektrisch effect
Werkt met blauw licht maar niet met rood.

17. Begin van de kwantummechanica
• Planck (1900) : Sleutelt aan de theorie van de zwarte
straler. Energie kan slechts in pakketjes bestaan.
Maar hij gelooft eerder in wiskundig trukje
• Einstein (1905) toont aan dat de straling ook echt
gekwantiseerd is en verklaart het foto-elektrisch
effect als een botsing tussen foton en elektron
• Bohr: verbetert het atoommodel van Rutherford met
de kwantisatie van de straling (energie niveaus)

18. Atoommodel van Bohr-Rutherford
Energieniveaus van het elektron gekwantiseerd
Uitgezonden licht gekwantiseerd (spectroscopie)

19. Begin van de kwantummechanica
• Planck (1900) : Sleutelt aan de theorie van de zwarte
straler. Energie kan slechts in pakketjes bestaan.
Maar hij gelooft eerder in wiskundig trukje
• Einstein (1905) toont aan dat de straling ook echt
gekwantiseerd is en verklaart het foto-elektrisch
effect als een botsing tussen foton en elektron
• Bohr: verbetert het atoommodel van Rutherford met
de kwantisatie van de straling (energie niveaus)

20. Kwantumfysica
-Geschiedenis
-Wat is kwantumfysica ?
-Toepassingen van de kwantumfysica
-Kunnen we kwantumfysica begrijpen?

21. Richard Feynman (1959) : “There's Plenty
of Room at the Bottom”. An Invitation to
enter a New Field of Physics
“Wanneer we die zeer kleine wereld
betreden dan merken we plots dat de
atomen zich niet meer gedragen volgens
de klassieke wetmatigheden van onze
dagelijks wereld. Ze volgen de wetten van
de kwantumechanika. En nieuwe wetten
geven ook mogelijkheden om nieuwe
dingen te maken.

22. Het geheim van de kwantumfysica
• Op microscopische schaal zijn er alleen
golven. Dus golfmechanica
• Zolang we niet interageren gedraagt elk
deeltje zich als een golf.
• Hoe lichter het deeltje hoe groter de
golflengte (formule van De Broglie (1924)).
• Dus alleen van de lichtste deeltjes
(elektronen, fotonen) kunnen we het
golfkarakter goed waarnemen.

23. sJh ••= −34
106,6met (constante
van Planck)
deeltjeseigenschapgolfeigenschap
vm
h
•
=brogliede
λ
Formule van De Broglie (1924)
h is uiterst klein
Golfkarakter manifesteert zich pas als m zeer klein is

24. Eigenschappen van golven

28. Interferentie van golven
In fase: versterking
In tegenfase: uitdoving

29. Demonstratie proeven
Water: interferentie
Laser : diffractie

30. ……
golfmodel van Huyghens !
constructieve interferentie: in fase !
destructieve interferentie: in tegenfase !

36. Smalle spleet : grote hoek
Brede spleet: kleine hoek
Breedte spleet x breedte hoek = constant
Onzekerheidsrelatie van Heisenberg

37. Diffractie aan een rooster

38. Golven lopen heen en weer. Als de heengaande golf samenvalt
met de terugkerende golf ontstaat constructieve interferentie
1
2
L
λ
= ×
2
2
L
λ
= ×
3
2
L
λ
= ×
4
2
L
λ
= ×
5
2
L
λ
= ×
6
2
L
λ
= ×
1 1 v
v T en T v of f
f f
λ λ
λ
= × = ⇒ = × =
Er zijn enkel staande golven mogelijk waarbij
2
met = een geheel,positief getal
L
n
n
λ
×
=
met = een geheel,positief getal
2
v
f n n
L
= ×
×
Staande golven

39. Demonstratie proeven
Veer: staande golven in 1D
Trilplaat: staande golven in 2D
Video: Staande golven op brug

40. Deeltjesgolven
(Materiegolven)

41. Het opsluiten van deeltjesgolven leidt tot staande golven
dus kwantisatie van de energie
Dus kwantisatie is een gevolg van het golfkarakter
1
2
L
λ
= ×
2
2
L
λ
= ×
3
2
L
λ
= ×
4
2
L
λ
= ×
5
2
L
λ
= ×
6
2
L
λ
= ×
Er zijn enkel staande golven mogelijk waarbij
2
met = een geheel,positief getal
L
n
n
λ
×
=
Opsluiten van een deeltje (elektron)

42. Onzekerheidsrelaties van
Heisenberg (cfr diffractie aan spleet)
π4
h
px ≥∆•∆
hierin is h de constante van Planck
constante≥∆•∆ vx
Men kan nooit tegelijk plaats en snelheid van een
deeltje bepalen

43. Kunnen we een elektron opsluiten ?
• Waterstof atoom
• Elektron wordt aangetrokken door proton
• Elektron cirkelt rond proton
• Centripetale kracht Kc = mv2
/r
• Elektrostatische kracht Ke = α.e2
/r2
• Evenwicht Kc = Ke

44. Kunnen we een elektron opsluiten ?
• Elektron “opgesloten” in potentiaalput van proton
• De Broglie relatie h/λ = m.v
• Staande golf past de cirkelomtrek 2.π.r = n.λ
• Samen levert dit r = R = h2
/((2.π)2
.α.m.e2
• R is de Bohrstraal = 0.05 nm.
• Diameter atoom is van de orde van 0.1 nm.
• Energie is gekwantiseerd E = EB/n2
• Kwantisatie is een gevolg van golfkarakter

45. Atoommodel van Bohr-Rutherford
Energieniveaus van het elektron gekwantiseerd
Uitgezonden licht gekwantiseerd (spectroscopie)

46. 46
Hoe klein is een atoom?

47. 47
eGalaxies - Telescopes Nanocrystals - Microscopes
Stefan Hinderberger, NCEM
1022
Sterren in het universum. 1022
Atomen in een gram aluminium

48. Golf of Deeltje ?
Microscopische wereld
• Alleen golfkarakter (zolang we niet interageren)
• Golffunctie heeft amplitude en fase (2D)
• Complexe notatie
• Golfvergelijking (Schrödinger vergelijking)
• Golfeigenschappen
• Interferentie, staande golven

49. Golf of Deeltje ?
Macroscopische wereld
• Hoe zwaarder deeltje hoe kleiner golflengte
• Zwaar deeltje : destructieve interferentie
• Fase-informatie niet meer waarneembaar
• Het deeltje wordt “reëel” (1D)

50. Golf of Deeltje ?
Waarneming van een deeltje
• Interactie met de macro wereld.
• Door destructieve interferentie verdwijnt de
fase informatie (niet meer meetbaar).
• Colllaps van de golffunctie
• Alleen nog amplitude (intensiteit),geen fase.
• Van 2D naar 1D
• Intensiteit = probabiliteit
• Kopenhagen interpretatie (Bohr).

51. Detectie van een deeltje

52. Intensiteit = waarschijnlijkheid
waarschijnlijkheden:intensiteiten:
De kwantummechanica beschrijft niet de beweging van elk
individueel elektron, maar wel de waarschijnlijkheid om dat
elektron ergens te detecteren.
Wat golft er ??
kans of waarschijnlijkheid om
een elektron daar aan te treffen !
Waarschijnlijkheidsgolven: - niet reëel waarneembaar
- verklaren goed de waargenomen verschijnselen

53. Elektronen zijn golven.
Intensiteit = waarschijnlijkheid
Physics World (Poll 2002) : The most
beautiful experiment in physics.
Merli,Missiroli,Pozzi (Bologna1976)

54. Video
Mister quantum

55. Solvay conferentie 1927: kwantummechanica

56. Solvay conferentie 1927
• Levendig debat Einstein-Bohr
• Bohr: Kopenhageninterpretatie (statistisch).
• Einstein: “God würfelt nicht”

57. Solvay conferentie 1927: vervolg
• Einstein Podolski Rosen (EPR) paradox (1935)
• Verborgen variabelen
• Bell ongelijkheden : Kwantumfysica is statistisch
• Spooky action on a distance (kwantum verstrengeling,
-teleportatie, -encriptie,-computing.. )
• Experimenten Aspect , Clauser, Zeilinger…

58. Kwantumfysica
-Geschiedenis
-Wat is kwantumfysica ?
-Toepassingen van de kwantumfysica
-Kunnen we kwantumfysica begrijpen?

59. 59
kwantum eigenschappen van
deeltjes
• Golfkarakter
• Foto-elektrisch effect (fotocel,LED,Laser)
• Opsluiting (confinement) : kwantisatie
• Kwantumchemie: atomen aan oppervlak
hebben andere eigenschappen
• …

60. De elektronenmicroscoop
Microscoop: scheidend vermogen beperkt
tot de golflengte (licht = micrometer).
Elektronen kunnen ook worden gebruikt
voor mikroscopie
Hoe sneller het elektron, hoe korter de
golflengte
300.000 Volt  2 picometer
Kan men atomen zien?

62. 62
STEM / HRTEM :
Scanning coils
preparaat
gefocuseerde bundel
HAADF
detector
Beeldfilter
In staat om elk atoom af te beelden
Spectroscopische informatie van één
atoomkolom (energie resolutie ~ 50 meV)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
390 400 410 420 430 440
On core
Off core
Counts(arb.unit)
Energy Loss (eV)
Beeld lokaal energiespectrum
dislocatie kern in GaN [0001]
0.2 nm
ref. N. Browning, C. Kisielowski
Atomen zien en meten
Elektronenmicroscopie

63. 63
Nieuwe nanostructuren
Opbouw atoom per atoom
Structuur met collectief golfkarakter

64. 64
kwantum eigenschappen van
deeltjes
• Golfkarakter
• Foto-elektrisch effect (fotocel,LED,Laser)
• Opsluiting (confinement) : kwantisatie
• Kwantumchemie: atomen aan oppervlak
hebben andere eigenschappen
• …

65. 65
Foto-elektrisch effect (LED)
Nobelprijs fysica 2014

66. Werking van de LED : foto-elektrisch effect

67. Kwantum laser: staande golven

69. 69
kwantum eigenschappen van
deeltjes
• Golfkarakter
• Foto-elektrisch effect (fotocel,LED,Laser)
• Opsluiting (confinement) : kwantisatie
• Kwantumchemie: atomen aan oppervlak
hebben andere eigenschappen
• …

70. 70
Kwantumstippen hebben een unieke
elektronische struktuur
Energylevels
Absorption
Radiationless
decay
Fluorescence
Valence
Band
Band gap
Small
Molecules
Qdots Semiconductors
Conduction
Band

71. 71
Quantum dots change color with size because additional
energy is required to “confine” the semiconductor
excitation to a smaller volume.
Optische eigenschappen van
kwantumstippen
(kleur afhankelijk van het volume)

73. 73
Kwantumstip: spectrale
barcode
Wavelength (nm)
Wavelength ( nm )
Conventionalbarcodes-linethicknessandspacinggivecode
Qdotspectralcodes-emissioncolorsdeterminecode. Can'barcode'cells,beads,…

74. 74
Gebruik van kwantumstippen
• Biolabels voor : flow cytometrie
microarray analyse (gene chips)
fluorescentie microscopie (cel analyse)
• Fotovoltaïsche cellen
• Omzetten van blauw LED licht in wit
• Kleurscherm voor TV

75. 75
Core Nanocrystal
Inorganic Shell
Capping Group
Organic coating
Functionality
Crosslinker and
Biomolecule
Kwantumstip bio-probe

76. 76
Labelling met
kwantumstippen

77. http://www.azonano.com/details.asp?ArticleID=2428
A p-n junction is formed by placing p-type and n-type semiconductors next to one another.
The p-type, with one less electron, attracts the surplus electron from the n-type to stabilize
itself. Thus the electricity is displaced and generates a flow of electrons, otherwise known as
electricity. When sunlight hits the semiconductor, an electron springs up and is attracted
toward the n-type semiconductor. This causes more negatives in the n-type semiconductors
and more positives in the p-type, thus generating a higher flow of electricity. This is the
photovoltaic effect.
Kwantum stippen voor fotovoltaïsche cel

78. Witte LED met kwantumstippen

79. Warm-witte LED met gebruik van kwantum dots

80. Samsung SUHD TV Quantum Dot technology from Nanosys(feb 2015)

81. 81
kwantum eigenschappen van
deeltjes
• Golfkarakter
• Foto-elektrisch effect (fotocel,LED,Laser)
• Opsluiting (confinement) : kwantisatie
• Kwantumchemie: atomen aan oppervlak
hebben andere eigenschappen
• …

82. Nano eigenschappen
I: Oppervlakte/Volume ratio
http://www.youtube.com/watch?v=2NySRur62gg

83. 83
Nanodeeltjes als katalysatoren
Zeer grote verhouding oppervlakte/volume

84. Katalytische activiteit van goud nanoclusters
Meest actieve grootte : 3-3.5 nm
Science, 281 (1998) 1647

85. Nieuwe trend : hybride materialen
Nanodeeltjes in poreuze materialen
katalytische activiteit en selectiviteit
EMAT voorbeeld: nanodeeltjes (Au, Ru,
Pd, Cu) in metaal organisch framework
met extreem hoge katalytische activiteit

86. Natuurlijke fotosynthese Artificiele fotosynthese
Efficient to sustain live Efficient to sustain fuel?
Substrate
Energie problematiek : HELIOS project (VS)
•Earth abundant materials
•Low cost (coal)

87. Kwantumfysica
-Geschiedenis
-Wat is kwantumfysica ?
-Toepassingen van de kwantumfysica
-Kunnen we kwantumfysica begrijpen?

88. Wat is begrijpen?
•

89. waarnemingen
hypothese(n) voorspelling
door logisch redeneren
binnen een model
het experiment bevestigt
de voorspelling wel !
het experiment bevestigt de voorspelling niet

90. Begrijpen we de mechanica?
• Het wiskundig model (wetten van Newton) laat toe elk
mogelijk experiment uit de mechanica correct te
voorspellen.
• Dan kunnen we toch stellen dat men de mechanica
begrijpt (cfr de Turing test voor computer intelligentie).
• Maar het model bevat grootheden die niet zelf
observeerbaar zijn (bvb kracht, tijd..)
• Maar door eigen ervaring als bewegend object zijn we
daarmee vertrouwd.

91. De grot van Plato
• Volgens Plato (500 BC) was de gehele materiële
kosmos doordrongen van wiskundige
verhoudingen en kon de natuurkunde worden
uitgedrukt in wiskundige vergelijkingen, maar is
onze dagelijkse wereld chaotisch.
• De metafoor van de grot beschrijft de relatie van
de menselijke kennis tot de realiteit.

92. De grot van Plato

93. Kwantumfysica en de grot van Plato
• Kwantumwereld (golfwereld) ligt buiten de grot
• Beschreven met amplitude en fase (complexe getallen)
• De reële wereld is de achterkant van de grot
• Meting geeft alleen deeltjes
• Waarschijnlijkheid = intensiteit (amplitude)2
• Dus projectie van 2D naar 1D
• We kunnen elke projectie berekenen en voorspellen
• Dus begrijpen we de kwantumfysica

94. Dank u

95. Evolutie: niveaus van (zelf) organisatie
(moleculair darwinisme)
complexiteit
tijd
Atomen >moleculen > koolstofketens > nucleotiden(4) > aminozuren(20) > DNA > genen >
proteïnen (50000, 3D) > organellen > cellen > meercelligen > planten >dieren > mens > mensheid

96. Filogenetische stamboom van cytochroom: aantal nucleotiden. ( R. Knippers).

97. fhE •=foton
h is de constante van Planck
sJh ••= −34
106,6

98. vm
h
•
=brogliede
λ
Golf-deeltje dualiteit
Relatie van De Broglie

99. vm
h
•
=brogliede
λ

100. Begrijpen we negatieve getallen
in een positieve wereld?
• Rekenkundig probleem
• x + a = b x = ?
• x + a + (-a) = b + (-a) symmetrisch element
• (x + a) + (-a) = x + (a + (-a)) associatief
• x + 0 = b + (-a) neutraal element
• x = c inwendig
• (-a) is negatief en niet direct aanwezig in de positieve wereld, dus abstract
• Maar wiskundige structuur (groep) geeft een methode waarmee elk
rekenkundig probleem kan worden opgelost (zelfs in de positieve wereld)
• Dus het compacte model primeert op het gebruik van abstracte
begrippen.

101. Electrostatica: positieve en negatieve
ladingen. Neutraliseert op grote afstand
Domineert de microwereld van de atomen
(kernen niet bespreken)
gravitatie: alleen positieve massa’s
Maar veel zwakker dan elektrostatica
Dus alleen belangrijk bij zeer grote
massa’s (sterren, planeten).
Domineert de macrowereld
Microwereld-Macrowereld

102. Opbouw (biochemie) microwereld
Maar ervaringswereld makrowereld
Antropisch principe
Om bewust te zijn van onze situatie moeten
we voldoende hersenen hebben
Dat bepaalt onze afmeting en tijdsschaal
Waar situeert zich de mens ?

103. Begin van de
kwantum(golf)mechanica
• De Broglie : golf-deeltje dualiteit (1924)
• Examencommissie kan doctoraat niet beoordelen
• Promotor Langevin vraagt advies aan Einstein
Einstein: “De Broglie heeft het grote mysterie
ontraadseld”
• Experimenten elektronen diffractie (Davisson,
Germer, Thomson, Elzasser)
• Schrödinger vergelijking
• Born, Heisenberg, Jordan,Pauli…

104. 104
De wet van Moore

105. 105
Eén-elektron transistor

106. 106
De ultieme limieten van Nano
Hoever staan we?
• Het atoom: bouwsteen (alfabet) van de materie
• Opbouw van onderuit atoom per atoom
• Het electron als kleinste schakeleenheid
• Eigenschappen begrijpen en voorspellen
• Toegepaste kwantumtheorie

107. 107
Recente en toekomstige
ontwikkelingen
Zelfreinigend
Bacteriedodend
Kwantumcomputer
Kwantum cryptografie
Fotosynthese
Bewustzijn (?)
…

110. Ingredienten
Deeltjes: proton, electron……
Krachten: elektrostatica, gravitatie…
Wetten : mechanica ,elektromagnetisme…
Golfkarakter van deeltje (De Broglie).
Hoe is de natuur opgebouwd?

111. Dualiteit golf-deeltje (licht)
fhE •=foton
sJh ••= −34
106,6met (constante
van Planck)
deeltjeseigenschap golfeigenschap

112. On zeker heid srelat ies van Heisenb er g
Me nk an nooit tege lijk pl aats e ni mpuls (of ene rgi e e nti jds tip) van e en de eltj e bepalen
4
h
x p
π
∆ × ∆ ≥ constantex v∆ × ∆ ≥
p m vγ= × ×
4
h
E t
π
∆ × ∆ ≥

113. Begrijpen we de mechanica?
• -Alle experimenten zijn samengevat in de vergelijkingen
van Newton (of Langrange-Hamilton).
• -Dit is de meest compacte voorstelling van de
waarnemingen (Occam principe).
• -Wij kunnen alleen de plaats van objecten observeren
• -Alle afgeleide begrippen (kracht, tijd..) zijn nodig om de
voorstelling compacter te maken
• -De wiskunde (infinitesimaalanalyse) geeft de meest
compacte taal
• -Dus is de wiskunde inherent (universeel) aanwezig (?)