Modelos de probabilidade

E
Modelo de Probabilidade

Definição de Modelo de Probabilidade

           Valor médio e
       Variância Populacional
Modelo de Probabilidade
• É um modelo que descreve matematicamente
  um fenómeno aleatório em duas partes:
  primeiro, identifica os valores da variável
  aleatória e, em seguida, associa a cada um
  deles o valor da respetiva probabilidade. Cada
  uma destas probabilidades tem que estar
  entre 0 e 1 (ou 0% e 100%) e a soma de todas
  as probabilidades é 1 (ou 100%).
Modelo de Probabilidade
Experiência Aleatória – Identificação
do espaço de Resultados


    Correspondência entre os
    elementos do Espaço de resultados
    e um valor (quantitativo)

        Atribuição, a cada um dos valores
        anteriores, a respetiva
        probabilidade.
Exemplo:
X: “lançamento de duas moeda e observação das faces
voltadas para cima”

 E = {(N,N), (N,C), (C,N), (C,C)}



      Correspondência:
                “Número de faces N observadas”:
                          xi = 0, 1, 2



                    xi              0      1      2
                    pi              1/4   1/2     1/4
Valor Médio
e Variância Populacional

População         Amostra

                     Média
   Valor Médio
    E(X) ou           x

    Variância       Variância
   Populacional     Amostral
   Var(X) =   2     Var = s2
Valor Médio
 e Variância Populacional

População                  Amostra
      E(X) =     =                        xi         fi
                                x
                                          N
 =
        xi pi                        xi        fri


     Var(X) =    2=
                            Var = s2 =
 =     pi ( xi        )2    =       fri ( xi x)           2
Exemplo:
X: “lançamento de duas moeda e observação das faces
voltadas para cima”

       xi                      0          1          2

       pi                      1/4        1/2        1/4


                                       1   1   1
   E(X) =    =         xi       pi   0   1   2   1
                                       4   2   4
    Var(X) =      2=

                           2     1     2 1     2 1    2
        pi ( xi        )           0 1     1 1     2 1 0,5
                                 4       2       4
            0,5 0,707
Modelo de Probabilidade

Modelos discretos/Modelos contínuos
 Modelos finitos/Modelos infinitos
Modelo Discreto
• Associado a uma variável aleatória discreta.
  – Exemplos:
     • N.º de faces Nacionais observadas no lançamento de
       duas moedas (modelo finito);
     • N.º de telefonemas atendidos por hora na central
       telefónica da EBSO (modelo infinito – modelo de
       Poisson).
Modelo Contínuo
• Associado a uma variável aleatória contínua.
  – Exemplos:
     • Tempo até ser atendido na fila supermercado (modelo
       infinito – modelo Exponencial);
     • Duração de um anuncio publicitário (modelo infinito –
       modelo Uniforme);
     • Altura dos rapazes aos 18 anos (modelo infinito –
       modelo normal).
Modelos finitos e
                                       Modelos infinitos
                                                      Modelos




Finitos - Definidos com auxílio de diagramas ou               Infinitos – Funções obtidas por modelação. Podem
observações. Apresentam-se em tabelas.                        apresentar-se por meio de uma expressão algébrica.
É o caso do modelo trabalhado anteriormente.




                                                  Discretos                                                        Contínuos




                  Uniforme            Poisson             Geométrico           Binomial           Uniforme          Exponencial   Normal
Modelos teóricos (infinitos)
• Modelos discretos:
   – Modelo uniforme – todos os acontecimentos do espaço
     têm a mesma probabilidade.
   – Modelo de Poisson – determina a probabilidade se
     observarem um determinado número de vezes um dado
     acontecimento de uma experiência num determinado
     período de tempo.
   – Modelo Geométrico – determina a probabilidade de o
     número de realizações de dada experiência até se obter
     um valor dado ser igual a k.
   – Modelo Binomial – Determina a probabilidade de, em n
     repetições de uma certa experiência em iguais
     condições, se observar exactamente k vezes o
     acontecimento xi.
Modelos teóricos (infinitos)
• Modelos contínuos:
  – Modelo Uniforme – a probabilidade distribui-se de
    igual forma num dado intervalo de tempo.
  – Modelo Exponencial – determina a probabilidade de o
    tempo de espera para a realização de dado
    acontecimento se situar num determinado intervalo.
  – Modelo Normal – Modela a maioria das distribuições
    contínuas e aproxima de forma adequada as
    distribuições discretas quando o número de
    realizações da experiência que lhes está associada é
    grande (>20).
Modelos teóricos (infinitos)
• Para cada uma das variáveis aleatórias
  caracterizadas pelos modelos referidos vamos
  estudar:
  – A Expressão do modelo (se X …, então,
    P(X=k)=…)
  – O valor médio (E(X)= =…)
  – A variância e o desvio padrão populacional
    (Var(X)=… e =…)
  – Como usar a calculadora para calcular
    probabilidades com base em cada um dos
    modelos.
Modelos infinitos discretos:
          Modelo Uniforme
• Seja X uma variável aleatória cujo o espaço de
  resultados é composto por n acontecimentos
  elementares equiprováveis. Então:
  – X U (n) e P(X=k) = 1/n
  – O valor médio (E(X)= = média entre o maior e o
    menor valor da v.a.)
  – A variância e o desvio padrão populacional
    calculam-se usando as listas e o “varstat” do menu
    STAT da calculadora.
Modelos infinitos discretos:
            Modelo de Poisson
• Seja X uma variável aleatória que descreve o número
  de realizações de um dado acontecimento num
  determinado período de tempo, sobre a qual se sabe
  que a média de realizações é . Então, X é modelada
  por uma distribuição de Poisson:
                                k
  –X    P( ) e P(X=k) = e           , k   0, 1, 2, 3,...
                               k!
  – O valor médio é E(X)= =
  – A variância é Var(X)=
  – Calculadora: Seja X P(5); então, P(X=6) = 0,146
    (2nd/distr/poissonpdf(5,6)/enter); P(2≤X≤6) = P(X ≤ 6)-P(X
    ≤1) = 0.7621-0.0404 =0.7217 (poissoncdf(5,6)-
    poissoncdf(5,1)/enter)
Modelos infinitos discretos:
            Modelo Geométrico
• Seja X uma variável aleatória que modela o número de
  repetições de uma determinada experiência necessárias
  até que se obtenha o resultado xi, em que a probabilidade
  de ocorrer xi é p (entre 0 e 1) e de não ocorrer é 1-p.
  Então, X é modelada por uma distribuição Geométrica de
  parâmetro p:
   –X    Geom(p) e P(X=k)(1 p)k
                          =         1
                                        p
   – O valor médio é E(X)= = 1/p
   – A variância é Var(X)= (1-p)/p2
   – Calculadora: Seja X Geom(0.3); então, P(X=6) = 0.75x0.3 =
     0.05 (ou 2nd/distr/Geometpdf(0.3,6)/enter); P(2≤X≤6) = P(X ≤
     6)-P(X ≤1) = Geometcdf(0.3,6)-Geometcdf(0.3,1)/enter=0.5824
Modelos infinitos discretos:
              Modelo Binomial
• Seja X uma variável aleatória que modela a
  probabilidade de um acontecimento xi se realizar k
  vezes em n realizações de uma dada experiência. A
  probabilidade de xi é p (entre 0 e 1) e de não acontecer
  xi é q = 1-p. Então, X é modelada por uma distribuição
  Binomial de parâmetros n e p:
         Bi(n,p) e P(X=k) = Ckn p k (1 p)n     k
   –X

   – O valor médio é E(X)= = n x p
   – A variância é Var(X)= n x p x (1- p) = n x p x q
   – Calculadora: Seja X Bi(5, 0.3); então, P(X=3) = 0.1323
     (2nd/distr/Binompdf(5,0.3,3)/enter); P(2≤X≤4) = P(X ≤ 4)-P(X
     ≤1) = Binomcdf(5,0.3,4)-Binomcdf(5,0.3,1)/enter=0.4694
Modelos infinitos contínuos
• Um modelo de probabilidades diz-se contínuo se
  lhe está associada uma v. a. Contínua. Neste caso, o
  domínio do modelo será o intervalo ou intervalos
  onde está definida a variável. À função modelo
  chamamos função densidade e o seu gráfico situa-
  se completamente acima do eixo dos xx.
Modelos discretos vs Modelos contínuos

 Discretos                             Contínuos
                                                   Área total
             Soma das
                                                   compreendida entre o
             probabilidades
                                                   gráfico da função
             associadas a cada valor
                                                   densidade e o eixo dos
             da v.a. é 1
                                                   xx é 1


                                                   P(a≤X≤b) = área
                                                   compreendida entre o
             P(a≤X≤b) = P(X=a) +
                                                   gráfico e o eixo dos xx
             P(X=a+1) + (…) +
                                                   na barra
             P(X=b)
                                                   correspondente ao
                                                   intervalo [a , b].
Modelos infinitos contínuos:
             Modelo Uniforme
• Associado a v.a. contínuas que se encontram
  uniformemente distribuídas num intervalo [a,b], isto
  é, uma v.a. em que, dados quaisquer dois valores do
  intervalo, a probabilidade que lhes está associada é
  exatamente a mesma. Seja X uma v.a. Uniforme em
  [a,b]. Então:
                                  d c
  –X    U[a,b]   e P(c ≤ X ≤ d) =     , a   c d   b
                                  b a
  (área do retângulo de lados d-c e b-a)

  – O valor médio é E(X)= = (a+b)/2
  – Obs.: P(a ≤ X ≤ b) = 1.
Modelos infinitos contínuos:
              Modelo Exponencial
• Seja X uma variável aleatória que modela a probabilidade de
  o tempo de espera (entre chegadas numa fila de
  espera, entre falhas num dispositivo eletrónico, entre
  chegadas de um pedido a um servidor de Internet, etc.) se
  situar num dado intervalo, então X é modelada por uma
  distribuição Exponencial de parâmetro :
   –X    Exp( ) e P(a ≤ X ≤ b) =e    a
                                         e   b


   – O valor médio é E(X)= =1/

   – Não existe esta distribuição na calculadora. Assim, seja
     X Exp(0.2) (significa que, por exemplo, o tempo médio de
     espera é 1/0.2 = 5); e 0.2 2 P(2 0.2X6≤ 6) .369
                          então, e ≤          0=
Modelos infinitos contínuos:
              Modelo Normal
• Baseia-se na distribuição Normal, que é a mais
  importante distribuição contínua, já estudada no
  10.º ano (características no manual).
• Se X N( , ), então:
  – O valor médio é E(X)=
  – A variância é Var(X)= 2;
  – é o desvio-padrão populacional
  – Calculadora: P(a≤X≤b) = normalcdf(a,b, , ).
    Exemplo:
    Seja X N(5, 0.7); então, P(4≤X≤6) = normalcdf(4,6,5,0.7)=0.8469
1 de 23

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Modelos de probabilidade

  • 1. Modelo de Probabilidade Definição de Modelo de Probabilidade Valor médio e Variância Populacional
  • 2. Modelo de Probabilidade • É um modelo que descreve matematicamente um fenómeno aleatório em duas partes: primeiro, identifica os valores da variável aleatória e, em seguida, associa a cada um deles o valor da respetiva probabilidade. Cada uma destas probabilidades tem que estar entre 0 e 1 (ou 0% e 100%) e a soma de todas as probabilidades é 1 (ou 100%).
  • 3. Modelo de Probabilidade Experiência Aleatória – Identificação do espaço de Resultados Correspondência entre os elementos do Espaço de resultados e um valor (quantitativo) Atribuição, a cada um dos valores anteriores, a respetiva probabilidade.
  • 4. Exemplo: X: “lançamento de duas moeda e observação das faces voltadas para cima” E = {(N,N), (N,C), (C,N), (C,C)} Correspondência: “Número de faces N observadas”: xi = 0, 1, 2 xi 0 1 2 pi 1/4 1/2 1/4
  • 5. Valor Médio e Variância Populacional População Amostra Média Valor Médio E(X) ou x Variância Variância Populacional Amostral Var(X) = 2 Var = s2
  • 6. Valor Médio e Variância Populacional População Amostra E(X) = = xi fi x N = xi pi xi fri Var(X) = 2= Var = s2 = = pi ( xi )2 = fri ( xi x) 2
  • 7. Exemplo: X: “lançamento de duas moeda e observação das faces voltadas para cima” xi 0 1 2 pi 1/4 1/2 1/4 1 1 1 E(X) = = xi pi 0 1 2 1 4 2 4 Var(X) = 2= 2 1 2 1 2 1 2 pi ( xi ) 0 1 1 1 2 1 0,5 4 2 4 0,5 0,707
  • 8. Modelo de Probabilidade Modelos discretos/Modelos contínuos Modelos finitos/Modelos infinitos
  • 9. Modelo Discreto • Associado a uma variável aleatória discreta. – Exemplos: • N.º de faces Nacionais observadas no lançamento de duas moedas (modelo finito); • N.º de telefonemas atendidos por hora na central telefónica da EBSO (modelo infinito – modelo de Poisson).
  • 10. Modelo Contínuo • Associado a uma variável aleatória contínua. – Exemplos: • Tempo até ser atendido na fila supermercado (modelo infinito – modelo Exponencial); • Duração de um anuncio publicitário (modelo infinito – modelo Uniforme); • Altura dos rapazes aos 18 anos (modelo infinito – modelo normal).
  • 11. Modelos finitos e Modelos infinitos Modelos Finitos - Definidos com auxílio de diagramas ou Infinitos – Funções obtidas por modelação. Podem observações. Apresentam-se em tabelas. apresentar-se por meio de uma expressão algébrica. É o caso do modelo trabalhado anteriormente. Discretos Contínuos Uniforme Poisson Geométrico Binomial Uniforme Exponencial Normal
  • 12. Modelos teóricos (infinitos) • Modelos discretos: – Modelo uniforme – todos os acontecimentos do espaço têm a mesma probabilidade. – Modelo de Poisson – determina a probabilidade se observarem um determinado número de vezes um dado acontecimento de uma experiência num determinado período de tempo. – Modelo Geométrico – determina a probabilidade de o número de realizações de dada experiência até se obter um valor dado ser igual a k. – Modelo Binomial – Determina a probabilidade de, em n repetições de uma certa experiência em iguais condições, se observar exactamente k vezes o acontecimento xi.
  • 13. Modelos teóricos (infinitos) • Modelos contínuos: – Modelo Uniforme – a probabilidade distribui-se de igual forma num dado intervalo de tempo. – Modelo Exponencial – determina a probabilidade de o tempo de espera para a realização de dado acontecimento se situar num determinado intervalo. – Modelo Normal – Modela a maioria das distribuições contínuas e aproxima de forma adequada as distribuições discretas quando o número de realizações da experiência que lhes está associada é grande (>20).
  • 14. Modelos teóricos (infinitos) • Para cada uma das variáveis aleatórias caracterizadas pelos modelos referidos vamos estudar: – A Expressão do modelo (se X …, então, P(X=k)=…) – O valor médio (E(X)= =…) – A variância e o desvio padrão populacional (Var(X)=… e =…) – Como usar a calculadora para calcular probabilidades com base em cada um dos modelos.
  • 15. Modelos infinitos discretos: Modelo Uniforme • Seja X uma variável aleatória cujo o espaço de resultados é composto por n acontecimentos elementares equiprováveis. Então: – X U (n) e P(X=k) = 1/n – O valor médio (E(X)= = média entre o maior e o menor valor da v.a.) – A variância e o desvio padrão populacional calculam-se usando as listas e o “varstat” do menu STAT da calculadora.
  • 16. Modelos infinitos discretos: Modelo de Poisson • Seja X uma variável aleatória que descreve o número de realizações de um dado acontecimento num determinado período de tempo, sobre a qual se sabe que a média de realizações é . Então, X é modelada por uma distribuição de Poisson: k –X P( ) e P(X=k) = e , k 0, 1, 2, 3,... k! – O valor médio é E(X)= = – A variância é Var(X)= – Calculadora: Seja X P(5); então, P(X=6) = 0,146 (2nd/distr/poissonpdf(5,6)/enter); P(2≤X≤6) = P(X ≤ 6)-P(X ≤1) = 0.7621-0.0404 =0.7217 (poissoncdf(5,6)- poissoncdf(5,1)/enter)
  • 17. Modelos infinitos discretos: Modelo Geométrico • Seja X uma variável aleatória que modela o número de repetições de uma determinada experiência necessárias até que se obtenha o resultado xi, em que a probabilidade de ocorrer xi é p (entre 0 e 1) e de não ocorrer é 1-p. Então, X é modelada por uma distribuição Geométrica de parâmetro p: –X Geom(p) e P(X=k)(1 p)k = 1 p – O valor médio é E(X)= = 1/p – A variância é Var(X)= (1-p)/p2 – Calculadora: Seja X Geom(0.3); então, P(X=6) = 0.75x0.3 = 0.05 (ou 2nd/distr/Geometpdf(0.3,6)/enter); P(2≤X≤6) = P(X ≤ 6)-P(X ≤1) = Geometcdf(0.3,6)-Geometcdf(0.3,1)/enter=0.5824
  • 18. Modelos infinitos discretos: Modelo Binomial • Seja X uma variável aleatória que modela a probabilidade de um acontecimento xi se realizar k vezes em n realizações de uma dada experiência. A probabilidade de xi é p (entre 0 e 1) e de não acontecer xi é q = 1-p. Então, X é modelada por uma distribuição Binomial de parâmetros n e p: Bi(n,p) e P(X=k) = Ckn p k (1 p)n k –X – O valor médio é E(X)= = n x p – A variância é Var(X)= n x p x (1- p) = n x p x q – Calculadora: Seja X Bi(5, 0.3); então, P(X=3) = 0.1323 (2nd/distr/Binompdf(5,0.3,3)/enter); P(2≤X≤4) = P(X ≤ 4)-P(X ≤1) = Binomcdf(5,0.3,4)-Binomcdf(5,0.3,1)/enter=0.4694
  • 19. Modelos infinitos contínuos • Um modelo de probabilidades diz-se contínuo se lhe está associada uma v. a. Contínua. Neste caso, o domínio do modelo será o intervalo ou intervalos onde está definida a variável. À função modelo chamamos função densidade e o seu gráfico situa- se completamente acima do eixo dos xx.
  • 20. Modelos discretos vs Modelos contínuos Discretos Contínuos Área total Soma das compreendida entre o probabilidades gráfico da função associadas a cada valor densidade e o eixo dos da v.a. é 1 xx é 1 P(a≤X≤b) = área compreendida entre o P(a≤X≤b) = P(X=a) + gráfico e o eixo dos xx P(X=a+1) + (…) + na barra P(X=b) correspondente ao intervalo [a , b].
  • 21. Modelos infinitos contínuos: Modelo Uniforme • Associado a v.a. contínuas que se encontram uniformemente distribuídas num intervalo [a,b], isto é, uma v.a. em que, dados quaisquer dois valores do intervalo, a probabilidade que lhes está associada é exatamente a mesma. Seja X uma v.a. Uniforme em [a,b]. Então: d c –X U[a,b] e P(c ≤ X ≤ d) = , a c d b b a (área do retângulo de lados d-c e b-a) – O valor médio é E(X)= = (a+b)/2 – Obs.: P(a ≤ X ≤ b) = 1.
  • 22. Modelos infinitos contínuos: Modelo Exponencial • Seja X uma variável aleatória que modela a probabilidade de o tempo de espera (entre chegadas numa fila de espera, entre falhas num dispositivo eletrónico, entre chegadas de um pedido a um servidor de Internet, etc.) se situar num dado intervalo, então X é modelada por uma distribuição Exponencial de parâmetro : –X Exp( ) e P(a ≤ X ≤ b) =e a e b – O valor médio é E(X)= =1/ – Não existe esta distribuição na calculadora. Assim, seja X Exp(0.2) (significa que, por exemplo, o tempo médio de espera é 1/0.2 = 5); e 0.2 2 P(2 0.2X6≤ 6) .369 então, e ≤ 0=
  • 23. Modelos infinitos contínuos: Modelo Normal • Baseia-se na distribuição Normal, que é a mais importante distribuição contínua, já estudada no 10.º ano (características no manual). • Se X N( , ), então: – O valor médio é E(X)= – A variância é Var(X)= 2; – é o desvio-padrão populacional – Calculadora: P(a≤X≤b) = normalcdf(a,b, , ). Exemplo: Seja X N(5, 0.7); então, P(4≤X≤6) = normalcdf(4,6,5,0.7)=0.8469