História dos números

HISTÓRIA DOSHISTÓRIA DOS
NÚMEROSNÚMEROS

 Você já usou muitas vezes osVocê já usou muitas vezes os
números, mas será que já parounúmeros, mas será que já parou
para pensar sobre:para pensar sobre:
 O modo como surgiram osO modo como surgiram os
números?números?
 Como foram as primeiras formas deComo foram as primeiras formas de
contagem?contagem?
 Como os números foram criados, ou,Como os números foram criados, ou,
será que eles sempre existiram?será que eles sempre existiram?

Como nasceu o conceito deComo nasceu o conceito de
número? Da experiência? Ou,número? Da experiência? Ou,
ao contrário, a experiênciaao contrário, a experiência
serviu simplesmente paraserviu simplesmente para
tornar explícito o que játornar explícito o que já
existia em estado latente naexistia em estado latente na
mente do homem primitivo?mente do homem primitivo?

A LINGUAGEM DOSA LINGUAGEM DOS
NÚMEROSNÚMEROS

Em todas as épocas da evoluçãoEm todas as épocas da evolução
humana, mesmo nas mais atrasadas,humana, mesmo nas mais atrasadas,
encontra-se no homem o sentido doencontra-se no homem o sentido do
número. Esta faculdade lhe permitenúmero. Esta faculdade lhe permite
reconhecer que algo muda em umareconhecer que algo muda em uma
pequena coleção (por exemplo, seuspequena coleção (por exemplo, seus
filhos, ou suas ovelhas) quando, semfilhos, ou suas ovelhas) quando, sem
seu conhecimento direto, umseu conhecimento direto, um
objeto tenha sido retirado ouobjeto tenha sido retirado ou
acrescentado.acrescentado.

A noção de número e suas extraordináriasA noção de número e suas extraordinárias
generalizações estão intimamente ligadasgeneralizações estão intimamente ligadas
à história da humanidade. E a própriaà história da humanidade. E a própria
vida está impregnada de matemática:vida está impregnada de matemática:
grande parte das comparações que ogrande parte das comparações que o
homem formula, assim como gestos ehomem formula, assim como gestos e
atitudes cotidianas, referem-seatitudes cotidianas, referem-se
conscientemente ou não a juízosconscientemente ou não a juízos
aritméticos e propriedades geométricas.aritméticos e propriedades geométricas.
Sem esquecer que a ciência, a indústria eSem esquecer que a ciência, a indústria e
o comércio nos colocam em permanenteo comércio nos colocam em permanente
contato com o amplo mundo dacontato com o amplo mundo da
matemática.matemática.

O sentido do número, em suaO sentido do número, em sua
significação primitiva e no seusignificação primitiva e no seu
papel intuitivo, não se confundepapel intuitivo, não se confunde
com a capacidade de contar, quecom a capacidade de contar, que
exige um fenômeno mental maisexige um fenômeno mental mais
complicado. Se contar é umcomplicado. Se contar é um
atributo exclusivamente humano,atributo exclusivamente humano,
algumas espécies de animaisalgumas espécies de animais
parecem possuir um sentidoparecem possuir um sentido
rudimentar do número. Assimrudimentar do número. Assim
opinam, pelo menos,opinam, pelo menos,
observadores competentes dosobservadores competentes dos
costumes dos animais. Muitoscostumes dos animais. Muitos
pássaros têm o sentido dopássaros têm o sentido do
número.número.

O CORVOO CORVO
ASSASSINADOASSASSINADO

Um senhor feudal estava decidido a matar um corvoUm senhor feudal estava decidido a matar um corvo
que tinha feito ninho na torre de seu castelo.que tinha feito ninho na torre de seu castelo.
Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro,Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro,
mas em vão: quando o homem se aproximava, omas em vão: quando o homem se aproximava, o
corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante nocorvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no
alto de uma árvore próxima, e só voltava à torrealto de uma árvore próxima, e só voltava à torre
quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a umquando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um
truque: dois homens entraram na torre, um ficoutruque: dois homens entraram na torre, um ficou
lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não selá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se
deixou enganar e, para voltar, esperou que odeixou enganar e, para voltar, esperou que o
segundo homem tivesse saído. O estratagema foisegundo homem tivesse saído. O estratagema foi
repetido nos dias seguintes com dois, três erepetido nos dias seguintes com dois, três e
quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente,quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente,
cinco homens entraram na torre e depois saíramcinco homens entraram na torre e depois saíram
quatro, um atrás do outro, enquanto o quintoquatro, um atrás do outro, enquanto o quinto
aprontava o trabuco à espera do corvo. Então oaprontava o trabuco à espera do corvo. Então o
pássaro perdeu a conta e a vida.pássaro perdeu a conta e a vida.

Na prática, quando o homem civilizadoNa prática, quando o homem civilizado
precisa distinguir um número ao qual nãoprecisa distinguir um número ao qual não
está habituado, usa conscientemente ouestá habituado, usa conscientemente ou
não - para ajudar seu sentido do númeronão - para ajudar seu sentido do número
- artifícios tais como a comparação, o- artifícios tais como a comparação, o
agrupamento ou a ação de contar. Essaagrupamento ou a ação de contar. Essa
última, especialmente, se tornou parteúltima, especialmente, se tornou parte
tão integrante de nossa estrutura mentaltão integrante de nossa estrutura mental
que os testes sobre nossa percepçãoque os testes sobre nossa percepção
numérica direta resultaramnumérica direta resultaram
decepcionantes. Essas provas concluemdecepcionantes. Essas provas concluem
que o sentidoque o sentido visualvisual direto do númerodireto do número
possuído pelo homem civilizado raraspossuído pelo homem civilizado raras
vezes ultrapassa o número quatro, e quevezes ultrapassa o número quatro, e que
o sentidoo sentido tátiltátil é ainda mais limitado.é ainda mais limitado.

O NÚMERO SEMO NÚMERO SEM
CONTAGEMCONTAGEM

Através de uma série deAtravés de uma série de
circunstâncias, o homem aprendeucircunstâncias, o homem aprendeu
a completar sua percepção limitadaa completar sua percepção limitada
de número com um artifício quede número com um artifício que
estava destinado a exercerestava destinado a exercer
influência extraordinária em suainfluência extraordinária em sua
vida futura. Esse artifício é avida futura. Esse artifício é a
operação deoperação de contarcontar, e é a ele que, e é a ele que
devemos o progresso dadevemos o progresso da
humanidade.humanidade.

A técnica de contagem, em muitosA técnica de contagem, em muitos
povos primitivos, se reduzpovos primitivos, se reduz
precisamente a tais associações deprecisamente a tais associações de
idéias. Eles registram o número deidéias. Eles registram o número de
suas ovelhas ou de seus soldadossuas ovelhas ou de seus soldados
por meio de incisões feitas numpor meio de incisões feitas num
pedaço de madeira ou por meio depedaço de madeira ou por meio de
pedras empilhadas. Temos umapedras empilhadas. Temos uma
prova desse procedimento naprova desse procedimento na
origem da palavra "origem da palavra "cálculocálculo", da", da
palavra latinapalavra latina calculuscalculus, que significa, que significa
pedra.pedra.

Com o passar do tempo, asCom o passar do tempo, as
quantidades foram representadasquantidades foram representadas
por expressões, gestos, palavraspor expressões, gestos, palavras
e símbolos, sendo que cada povoe símbolos, sendo que cada povo
tinha a sua maneira detinha a sua maneira de
representação.representação.

Objetos complexos de argila de
Susa (3300 a.C.)
Representam (da direita para a
esquerda e de cima para baixo):
1 ovelha; 1 unidade de óleo; 1
unidade de metal; 1 peça de
vestuário; 1 peça de vestuário; 1
medida de mel.
Tábua de argila
descrevendo a
quantidade de grão, de
Susa, 3100 a.C.
(Mesopotâmia)

Um dos sistemas de numeração maisUm dos sistemas de numeração mais
antigos que se tem notícia é oantigos que se tem notícia é o
egípcioegípcio. É um sistema de. É um sistema de
numeração de base dez e eranumeração de base dez e era
composto pelos seguintes símboloscomposto pelos seguintes símbolos
numéricosnuméricos

No princípio, os sistemas deNo princípio, os sistemas de
numeração não facilitavam osnumeração não facilitavam os
cálculos, logo, um dos instrumentoscálculos, logo, um dos instrumentos
utilizados para facilitar os cálculos foiutilizados para facilitar os cálculos foi
o ábaco muito usado por diversaso ábaco muito usado por diversas
civilizações orientais e ocidentais.civilizações orientais e ocidentais.

Algarismos RomanosAlgarismos Romanos
Letra I V X L C D M
Valor 1 5 10 50 100 500 1000
Leitura Um Cinco Dez Cinquenta Cem Quinhentos Mil

O DESENROLAR DOSO DESENROLAR DOS
NÚMEROSNÚMEROS

A idéia sobre os sinais vem dosA idéia sobre os sinais vem dos
comerciantes antigos. Oscomerciantes antigos. Os
matemáticos encontraram amatemáticos encontraram a
melhor notação para expressarmelhor notação para expressar
esse novo tipo de número. Vejaesse novo tipo de número. Veja
como faziam tais comerciantes:como faziam tais comerciantes:

Suponha que um deles tivesse emSuponha que um deles tivesse em
seu armazém duas sacas deseu armazém duas sacas de
feijão com 10 kg cada. Se essefeijão com 10 kg cada. Se esse
comerciante vendesse num dia 8comerciante vendesse num dia 8
Kg de feijão, ele escrevia oKg de feijão, ele escrevia o
número 8 com um traçonúmero 8 com um traço
(semelhante ao atual sinal de(semelhante ao atual sinal de
menos) na frente para não semenos) na frente para não se
esquecer de que no saco faltava 8esquecer de que no saco faltava 8
Kg de feijão.Kg de feijão.
(10)(10) – 8– 8

Mas se ele resolvesse despejarMas se ele resolvesse despejar
no outro saco os 2 Kg queno outro saco os 2 Kg que
restaram, escrevia o número 2restaram, escrevia o número 2
com dois traços cruzadoscom dois traços cruzados
(semelhante ao atual sinal de(semelhante ao atual sinal de
mais) na frente, para se lembrarmais) na frente, para se lembrar
de que no saco havia 2 Kg dede que no saco havia 2 Kg de
feijão a mais que a quantidadefeijão a mais que a quantidade
inicial.inicial.
(10)(10) + 2+ 2

Com essa nova notação,osCom essa nova notação,os
matemáticos poderiam, nãomatemáticos poderiam, não
somente indicar as quantidades,somente indicar as quantidades,
mas também representar omas também representar o
ganho ou a perda dessasganho ou a perda dessas
quantidades, através dequantidades, através de
números, com sinal positivo ounúmeros, com sinal positivo ou
negativo.negativo.
++ ouou --

SURGEM AS OPERAÇÕESSURGEM AS OPERAÇÕES
MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

AdiçãoAdição
2254 + 1258 = 35122254 + 1258 = 3512
MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades
11 11
22 22 55 44
11 22 55 88
33 55 11 22

Exercícios:Exercícios:
1) Arme e efetue as adições:1) Arme e efetue as adições:
a) 124 + 325 =a) 124 + 325 =
b) 276 + 934 =b) 276 + 934 =
2) Numa biblioteca existem 238 livros infantis. Ela2) Numa biblioteca existem 238 livros infantis. Ela
recebeu uma doação de mais 155 livros. Comrecebeu uma doação de mais 155 livros. Com
quantos livros infantis ela ficou?quantos livros infantis ela ficou?

124 + 325 = 449124 + 325 = 449
11 22 44
33 22 55
44 44 99

276 + 934 = 1210276 + 934 = 1210
11 11
22 77 66
99 33 44
11 22 11 00

238 + 155 = 393 livros238 + 155 = 393 livros
11
22 33 88
11 55 55
33 99 33

SubtraçãoSubtração
2254 - 1258 = 9962254 - 1258 = 996
2 – 1 = 12 – 1 = 1 2 – 1 = 12 – 1 = 1
1 + 10 = 111 + 10 = 11
5 – 1 = 45 – 1 = 4
4 + 10 = 144 + 10 = 14
4 + 10 = 144 + 10 = 14
22 22 55 44
11 22 55 88
00 99 99 66

1) Arme e efetue as subtrações:1) Arme e efetue as subtrações:
a) 758 - 325 =a) 758 - 325 =
b) 681 - 459 =b) 681 - 459 =
2) Durante as férias, uma padaria vendeu 2840 pães2) Durante as férias, uma padaria vendeu 2840 pães
numa semana. Normalmente, ela venderia 2615.numa semana. Normalmente, ela venderia 2615.
Quantos pães a mais ela vendeu?Quantos pães a mais ela vendeu?

758 – 325 = 433758 – 325 = 433
77 55 88
33 22 55
44 33 33

681 – 459 = 222681 – 459 = 222
8 – 1 = 78 – 1 = 7 1 + 10 = 111 + 10 = 11
66 88 11
44 55 99
22 22 22

2840 – 2615 = 225 pães2840 – 2615 = 225 pães
4 – 1 = 34 – 1 = 3 10 + 0 = 1010 + 0 = 10
22 88 44 00
22 66 11 55
00 22 22 55

MultiplicaçãoMultiplicação
236 x 25 = 5900236 x 25 = 5900
11 11 33
22 33 66
22 55
11 11 88 00

1) Arme e efetue as multiplicações:1) Arme e efetue as multiplicações:
a) 210 x 13 =a) 210 x 13 =
b) 634 x 2 =b) 634 x 2 =
2) Ricardo vende cervejas no campo de futebol. Cada2) Ricardo vende cervejas no campo de futebol. Cada
vez que vai ao campo, vende 122 latinhas.vez que vai ao campo, vende 122 latinhas.
Geralmente ele vai 4 vezes ao campo. QuantasGeralmente ele vai 4 vezes ao campo. Quantas
latinhas de cerveja ele consegue vender?latinhas de cerveja ele consegue vender?

210 x 13 = 630210 x 13 = 630
22 11 00
11 33
22 77 33 00

634 x 2 = 7608634 x 2 = 7608
11
66 33 44
22
11 22 66 88

122 x 4 = 488 latinhas122 x 4 = 488 latinhas
11 22 22
44
44 88 88

DivisãoDivisão
756 : 21 = 36756 : 21 = 36
756 21
363
12 6
6
126
0

1) Descubra o número oculto:1) Descubra o número oculto:
a) __ : 5 = 30a) __ : 5 = 30
b) __ : 4 = 132b) __ : 4 = 132
2) Raul tinha 210 folhetos para entregar para os2) Raul tinha 210 folhetos para entregar para os
moradores de 3 ruas. Quantos folhetos ele tinhamoradores de 3 ruas. Quantos folhetos ele tinha
que entregar pra cada rua?que entregar pra cada rua?

Como a divisão é a operação inversa da multiplicação, temos:
30 x 5 = 150
150 5
300
132 x 4 = 528
528 4
1320
210
3
70 folhetos
0

ONDE CHEGAMOSONDE CHEGAMOS
COM OS NÚMEROS?COM OS NÚMEROS?

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