1. DALIL
PHYTAGORAS
Sumber :Indonesia Heritage,2002
Pernahkah kalian memerhatikan
para tukang kayu atau tukang
bangunan? Dalam bekerja, mereka
banyak
memanfaatkan
teorema
Pythagoras. Coba perhatikan kerangka
sebuah rumah yang dibuat dari kayu.
Pada kerangka rumah tersebut sebagian
besar rusuk tegak lurus terhadap rusuk
yang lain. Sudut-sudut yang terbentuk
pada rusuk yang saling tegak lurus
tersebut merupakan sudut siku-siku.
Sebelum mempelajari materi bab ini, kita harus menguasai materi
mengenai segitiga, segiempat, sudut, dan bilangan kuadrat, serta akar kuadrat.
Namun sebelumnya mari kita ingat kembali mengenai luas persegi dan luas
segitiga siku-siku.
1 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

2. PENGERTIAN DALIL
PHYTAGORAS
Siapakah Pythagoras itu? Pythagoras
adalah seorang ahli matematika dan filsafat
berkebangsaan Yunani yang hidup pada
tahun 569–475 sebelum Masehi. Sebagai ahli
metematika, ia mengungkapkan bahwa
kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga
siku-siku (salah satu sudutnya 900) adalah
sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi
yang lain.
Sumber:www.stenudd.co
m
Dalam dalil Phytagoras melibatkan
bilangan kuadrat dan akar kuadrat dalam
sebuah segitiga. Oleh karena itu, sebelum membahas dalil
Pythagoras, marilah kita mengingat kembali materi kuadrat
bilangan, akar kuadrat bilangan, luas daerah persegi, dan luas
daerah segitiga siku-siku.
2 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

3. 1.
KUADRAT DAN AKAR KUADRAT BILANGAN
Untuk menentukan kuadrat dari suatu bilangan adalah dengan cara
mengalikan bilangan tersebut dengan dirinya sendiri. Perhatikan contoh
berikut ini:
Contoh :
Tentukan kuadrat dari bilangan berikut!
a. 8,3
b. 12
Penyelesaian:
a. 8,32 = 8,3 × 8,3 = 68,89
b. 122 = 12 × 12 = 144
Kebalikan dari kuadarat suatu bilangan adalah akar kuadrat.
Misalkan, bilangan p yang tak negatif diperoleh p2 = 16. Maka bilangan
p dapat ditentukan dengan menarik √16 menjadi p= √16. Bilangan p
yang diinginkan adalah 4 karena 42 = 4 × 4 = 16. Bilangan p = 4
dinamakan akar kuadrat dari bilangan 16. Jadi, akar kuadrat suatu
bilangan adalah bilangan tak negatif yang apabila dikuadratkan akan
menghasilkan bilangan yang sama dengan bilangan semula.
3 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

4. Contoh :
Tentukan akar kuadrat dari bilangan √169.
Penyelesaian:
√169 = √13 × √13 = 13
2.
LUAS DAERAH PERSEGI
Luas persegi dapat ditentukan dengan cara mengalikan sisisisinya. Jika sisi sebuah persegi adalah s maka luasnya dapat dituliskan
sebagai berikut.
L = s × s = s2
Contoh :
Tentukan luas persegi jika diketahui sisi-sisinya berukuran 21 cm !
Penyelesaian:
L = s2
= 21 cm × 21 cm
= 441 cm2
Jadi luas persegi adalah 441 cm2.
4 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

5. 3.
LUAS DAERAH SEGITIGA
Kita tentu sudah mempelajari cara menghitung luas dan keliling
segitiga. Pada bab ini kita akan mempelajari hubungan antara luas
segitiga dengan luas persegi panjang. Perhatikan gambar persegi
panjang PQRS berikut!
Dari persegi panjang tersebut kita
memperoleh dua buah segitiga, yaitu ∆PQR
dan ∆PSR.
Luas ∆PQR = luas daerah ∆PSR.
Hal ini menunjukkan bahwa
Luas ∆PQR
=
× luas PQRS
= × panjang PQ× panjang QR
= × alas × tinggi
Jadi, luas segitiga dirumuskan:
L= ×a×t
dengana = alas segitiga, dan t = tinggi segitiga
5 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

6. Contoh :
Tentukan luas segitiga jika diketahui alasnya
berukuran 12 cm dan tingginya 5 cm!
Penyelesaian:
L =
=
× alas × tinggi
× 12 cm × 5 cm
= 30 cm2
Jadi luas segitiga adalah 30 cm2.
PEMBUKTIAN DALIL
PHYTAGORAS
Jika kita punya sebuah segitiga sikusiku dengan sisi a,b, dan c. Akan berlaku :
a2 + b2 = c2
Dalam teorema yang dikemukakan oleh Pythagoras, sisi c atau sisi miring
disebut dengan hipotenusa.
6 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

7. Jika kuadrat merupakan luasan persegi, maka berlaku luasan persegi
dari panjang sisi a + luasan persegi dari panjang sisi b = luasan panjang
dari sisi c.Luasan ini akan kita gunakan untuk membuktikan rumus teorema
Pythagoras, simak gambar dibawah ini.
dengan melihat gambar sebelumnya maka :
7 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

8. Banyak cara yang bisa digunakan untuk membuktikan kebenaran
teorema ini. Kita bisa praktek langsung dengan alat atau menggunakan coretcoretan di kertas. Berikut ini pembuktian paling sederhana tentang
kebenaran teorema Pythagoras dengan menggunakan luasan segitiga dan
luasan persegi. Jika kita punya segitiga siku-siku, cobalah menyusunnya
membentuk kotak seperti di bawah ini.
Luas Persegi Besar
=
Luas Persegi putih
Kecil + Luas 4 Segitiga
(a+b)2
a2 + 2ab + b2
a2 +b2
=
=
c2 + 2.a.b
c2 + 2ab
=
c2
8 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

9. MENGGUNAKAN
DALIL PHYTAGORAS
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita dapat menentukan
panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika diketahui dua sisi yang lainnya.
Selain itu, dalil ini dapat digunakan juga untuk menentukan jenis segitiga
dengan membandingkan kuadrat sisi miringnya dengan jumlah kuadrat sisi
siku-sikunya.
1.
MENGHITUNG PANJANG SALAH SATU SISI
SEGITIGA SIKU-SIKU
Pada sebuah segitiga siku-siku, jika dua buah sisinya diketahui
maka salah satu sisinya dapat dicari dengan menggunakan dalil
Pythagoras. Perhatikan contoh berikut ini!
9 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

10. Contoh:
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 15 cm. Jika panjang
salah satu sisi siku-sikunya 9 cm, tentukan panjang sisi segitiga sikusiku yang lainnya!
Penyelesaian:
BC2 = AB2 + AC2
AC2 = BC2 – AB2
= 152 – 92 = 225 – 81
= 144
AC
=√144 = 12 cm
Jadi, panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya (AC)=12 cm.
2.
MENENTUKAN SUATU JENIS SEGITIGA JIKA
DIKETAHUI PANJANG SISI-SISINYA
Dalil Pythagoras dapat digunakan untuk menentukan jenis segitiga
jika diketahui panjang sisi-sisinya. Namun demikian, sebelumnya akan
dibahas terlebih dahulu mengenai kebalikan dari dalil Pythagoras.
a.
Kebalikan Dalil Phytagoras
10 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

11. Pada bahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa kuadrat
miring (hypothenusa) atau sisi miring suatu segitiga siku-siku sama
dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya. Dari pernyataan
tersebut kita peroleh kebalikan dari dalil Pythagoras, yaitu:

Jika kuadrat sisi miring atau sisi terpanjang
sebuah segitiga sama dengan jumlah
kuadrat b panjang kedua sisinya, maka
segitiga tersebut merupakan segitiga sikusiku, atau

Jika pada suatu segitiga berlaku a2 = b2 + c2, maka segitiga ABC
tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan besar salah satu
sudutnya 90o.
11 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

12. Contoh :
Suatu segitiga ABC mempunyai panjang AB = 10 cm, BC = 24 cm,
dan AC = 26 cm. Tentukan apakah segitiga tersebut termasuk
segitiga siku-siku atau bukan!
Penyelesaian:
AB = 10, maka AB2 = 100
BC = 24, maka BC2 = 576
AC = 26, maka AC2 = 676
Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh hubungan bahwa
676 = 100 + 576.
Sehingga AC2 = AB2 + BC2
Jadi segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku
b.
Menentukan Jenis Segitiga Jika Diketahui
Panjang Sisinya
Misalkan sisi terpanjang dari segitiga tersebut adalah c dan
panjang sisi yang lainnya adalah a dan b, maka berlaku hubungan
sebagai berikut.
 Jika kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisisisi
c2 =a2 + b2
lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.
12 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

13.  Jika kuadrat sisi terpanjang lebih besar dari jumlah kuadrat sisisisi lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul.
 Jika kuadrat sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah kuadrat sisic2>a2 + b2
sisi lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip.
c2<a2 + b2
c.
Triple Phytagoras
Bilangan-bilangan 3, 4, dan 5 serta 6, 8, dan 10 merupakan
bilangan -bilangan yang memenuhi Dalil Pythagoras, yaitu 52 = 32
+ 42 dan 102 = 62 + 82. Bilangan-bilangan tersebut dapat dipandang
sebagai panjang sisi sebuah segitiga siku-siku. Bilangan-bilangan
yang memenuhi dalil Pythagoras seperti itu disebut tripel
Pythagoras. Jadi, tripel Pythagoras adalah bilangan bulat positif
yang kuadrat bilangan terbesarnya sama dengan jumlah kuadrat
bilangan yang lainnya.
Contoh :
Tentukan apakah bilangan {8, 10, 13}berikut termasuk tripel
Pythagoras atau bukan!
Penyelesaian:
⇔
⇔
⇔
132
82 + 102
132
= 169
= 64 + 100 = 164
≠ 82 + 102
Jadi, {8, 10, 13} bukan bilangan tripel Pythagoras.
13 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA
3.
MENGHITUNG PERBANDINGAN SISI-SISI
SEGITIGA KHUSUS

14. Segitiga siku-siku merupakan segitiga yang salah satu sudutnya
membentuk sudut 90o. Bagaimana menghitung perbandingan sisi-sisi
segitiga yang memiliki ciri khusus seperti segitiga sikusiku, sama kaki,
dan segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 30o? Perhatikan
penjelasan berikut ini!
a) Segitiga siku-siku sama kaki
Segitiga siku-siku sama kaki diperoleh
dengan cara membagi sebuah persegi melalui
diagonalnya menjadi dua bagian. Perhatikan
persegi ABCD yang panjang
sisinya a seperti pada gambar di
samping! Jika bangun persegi tersebut dibagi dua
melalui diagonal BD, maka akan diperoleh dua
buah segitiga siku-siku sama kaki yaitu ΔBAD dan
ƦBCD. Besar sudut ABD adalah 45o.
14 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

15. Dengan menggunakan dalil Pythagoras kalian dapat
menentukan panjang sisi BD yang belum diketahui. Berdasarkan
dalil Pythagoras diperoleh hubungan sebagai berikut.
BD2 = AB2 + AD2
⇔
BD2 = a2 + a2
⇔
BD2 = 2a2
⇔
BD = √2
= a√2
Dengan demikian kita dapat membandingkan panjang sisisisi
segitiga siku-siku BAD sebagai berikut.

AB : BD = a : a√2 = 1:√2

AD : BD = a : a√2 = 1:√2

AB : AD = a : a = 1 : 1

AB : AD : BD = a : a : a√2 = 1 : 1 : √2
15 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

16. Contoh:
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang sisi AC 6√2
cm. Jika ∠BAC = 45o, tentukan panjang sisi AB dan BC!
Penyelesaian:
AB :AC = 1 : √2
⇔
⇔
√
=
√
AB = 6 × 1= 6
BC :AB = 1 : 1 maka BC = AB = 6 cm
Jadi, panjang AB = BC = 6 cm.
b) Segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 300
Segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya memb entuk sudut
30 diperoleh dengan cara membagi sebuah segitiga sama sisi
menjadi dua bagian.
o
Jika kita membagi dua segitiga sama
sisi di samping menjadi dua bagian yang
sama besar maka akan diperoleh segitiga
BDC siku-siku di D dan segitiga ADC
siku-siku di D. Besar ∠DBC = 60o karena
segitiga ABC adalah segitiga sama sisi.
Besar ∠BCD = 30o.
16 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

17. Dengan menggunakan dalil Pythagoras kalian dapat
menentukan panjang sisi CD yang belum diketahui. Berdasarkan
dalil Pythagoras diperoleh hubungan sebagai berikut.
BC2 = BD2 + CD2
⇔ CD2 = BC2 – BD2
⇔ CD2 = (2a)2 – a2
⇔ CD2 = 4a2 – a2
⇔ CD2 = 3a2
⇔ CD= √3
⇔ CD= a√3
Dengan demikian kita dapat membandingkan panjang sisi-sisi
segitiga siku-siku BDC sebagai berikut.
•
BD : BC
= a : 2a
=1: 2
•
CD : BC
= a√3 : 2a
= √3 : 2
•
BD : CD
= a : a√3
= 1 :√3
•
BD : CD : BC = a : a√3 : 2a
= 1 :√3 : 2
17 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

18. Contoh
Diketahui segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang sisi AB 4 cm.
Jika ∠BCA = 30o, tentukan panjang sisi BC dan AC!
Penyelesaian:
AB : BC = 1 : 2
⇔
⇔
=
BC= 4 × 2 = 8
AB : AC = 1 : √3
⇔
⇔
=
√
AC = 4√3
Jadi, panjang sisi BC = 8 cm dan AC= 4√3 cm.
18 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

19. 4.
MENENTUKAN PANJANG DIAGONAL SISI DAN
DIAGONAL RUANG KUBUS
Dalil Pythagoras dapat digunakan untuk mencari panjang
diagonal sisi atau diagonal ruang kubus dan balok. Hal ini
dikarenakan diagonal sisi dan diagonal
ruang merupakan sisi miring bagi sisi
bidangnya.
Pada kubus ABCD.EFGH rusuk EB
merupakan salah satu diagonal sisi pada
kubus dan rusuk HB merupakan salah satu
diagonal ruangnya. Jika panjang sisi kubus
ABCD.EFGH adalah a satuan panjang maka kita dapat menentukan
panjang rusuk EB dan HB.
Untuk menentukan panjang diagonal
sisi EB, perhatikan segitiga siku-siku ABE
pada kubus ABCD. EFGH. Berdasarkan
dalil
Pythagorasdiperoleh
hubungan
sebagai berikut.
EB2 = AB2 + AE2
⇔
EB2 = a2 + a2
⇔
EB2 = 2 a2
⇔
EB = √2
= a√2
Jadi, panjang diagonal sisi sebuah kubus yang panjang sisinya a
adalah a√2.
19 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

20. Untuk menentukan panjang diagonal ruang HB, perhatikan
segitiga BDH yang siku-siku di D. Karena rusuk BD merupakan
diagonal sisi kubus ABCD.EFGH, maka panjangnya adalah
a√2.Dengan menggunakan dalil Pythagoras diperoleh hubungan
berikut.
HB2= DB2 + DH2
⇔ HB2 = (a√2)2 + a2
⇔ HB2 = 2a2 + a2
⇔ HB2 = 3a2
⇔ HB = √3
= a√3
Jadi, panjang diagonal ruang sebuah kubus yang panjang sisinya a
satuan adalah a√3
20 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

21. APLIKASI DALIL
PHYTAGORAS
DALAM KEHIDUPAN
SEHARI-HARI
Pada bagian sebelumnya kita telah mempelajari bagaimana
menggunakan dalil Pythagoras untuk menentukan jenis segitiga dan
panjang diagonal ruang serta diagonal sisi sebuah kubus. Setelah itu, kita
gunakan dalil Pythagoras untuk menyelesaikan permasalahan di
kehidupan sehari-hari. Di bawah ini adalah beberapa aplikasi yang
menggunakan teorema pythagoras dalam kehidupan sehari-hari.

Lapangan Baseball
Pada sebuah lapangan baseball,
terdapat tiga buah base dan sebuah
home plate. Jarak antara tiap base dan
home plate adalah 90 feet ( setara
dengan 27.432 m) dan membentuk
sudut siku-siku.
Menggunakan
teorema
pythagoras, kita dapat memecahkan
persoalan berikut; "Berapa jauh orang pada base ke dua untuk membuat
pelari lawan keluar sebelum dia memasuki home plate?".
21 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

22. Perhatikan gambar di bawah ini.
Jika c adalah jarak dari
base 2 ke home plate
maka,
Jadi orang pada base 2 harus melempar sejauh 127 feet.

Tinggi Sebuah Gedung
Tangga adalah salah satu peralatan penting bagi ornag-orang yang
bekerja di dunia konstruksi. Orang-orang di dunia konstruksi ini
menggunakan aplikasi teorema pythagoras untuk menyelesaikan
masalah-masalah dalam dunia kerja mereka.
Contoh :
Tinggi sebuah jendela lantai 2 pada
sebuah gedung kira-kira 8 meter. Di
depan gedung tersebut ada sebuah
taman dengan lebar 6 m. Berapa
panjang tangga minimum yang
dibutuhkan agar kaki-kaki tangga
tidak merusak taman tersebut?
Perhatikan sketsa di bawah ini.
Jika panjang
sebagai x
tangga
dianggap
22 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

23. maka:
= 8 +6
=
8 +6
= √64 + 36
= √100
= 100
Maka panjang tangga minimum adalah 10 m.
23 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

24. LATIHAN SOAL
1)
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, tentukan nilai x pada
segitiga siku-siku berikut!
a.
b.
2)
Tentukan jenis segitiga yang memiliki ukuran sebagai berikut.
a. 3 cm, 4 cm, 5 cm
b. 5 cm, 12 cm, 13 cm
c. 10 cm, 12 cm, 16 cm
3)
Sebidang tanah memiliki bentuk persegi dengan panjang sisi 8 meter.
Tentukan:
a. Luas Tanah,
b. Keliling Tanah,
c. Panjang Diagonal Tanah.
24 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

25. 4)
Perhatikan segitiga siku-siku ABC pada gambar berikut. Agar
memenuhi teorema Pythagoras, tentukan:
a.
b.
panjangAB.
c.
5)
nilai x,
panjangBC.
Sebuah televisi memiliki lebar layar 15 cm dan tinggi layar 8 cm.
Tentukanlah :
a. panjang diagonal layar televisi tersebut,
b. keliling layar televisi tersebut,
c. luas layar televisi tersebut.
25 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

26. DAFTAR PUSTAKA
Wahyuni, Tri dan Dewi Nuharini. 2008. Metematika Konsep
dan Aplikasinya Untuk Kelas VII SMP dan MTs. Jakarta :
Depdiknas
Nugroho, Heru. 2009. Matematika SMP dan MTs Kelas VIII.
Jakarta : Depdiknas
Avianti, Nuniek. 2007. Mudah Belajar Matematika Untuk
Kelas VIII SMP/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta : Depdiknas
Bigelow, Paul and Graema Stone. 1996. New Couse
Mathematics Year 9 Advanced. Victoria: Macmillan Education
Australia PTY LTD.
Bin, Oh Teik. 2003. The Essential Guide to Science and
Mathematics in English. Selangor: Shinano Publishing House.
Farlow, Stanley J. 1994. Finite Mathematics and its
Application.Singapore: McGraw-Hill Book Co.
Negoro.ST dan B. Harahap.1998. Ensiklopedia Matematika.
Jakarta: Ghalia Indonesia.
Nightingale, Paul. 2001. Vic Maths 6. Australia: Nightingale
Press.
26 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

27. PETUNJUK PENGGUNAAN
QUIZ MAKER
Berikut ini adalah langkah-langkah penggunaan quiz maker
kelompok Pangkat dan akar:
1. Langkah yang pertama adalah buku Quiz Maker dengan password
“L245G”. Judul dari Quiz Maker ini adalah Konsep Phytagoras
dan Aplikasinya Dalam Kehidupan Sehari-Hari.
2. Langkah kedua silahkan klik Continue atau Start yang berada di
bagian tengah bawah. Pada Quiz Maker ini terdapat 22 soal yang
berisikan beberapa jenis pernyataan diantaranya :
a. True/False.
b. Multiple Coice.
c. Matching.
d. Short Essay.
3. Langkah yang ketiga silahkan Anda menjawab soal-soal yang
telah disediakan dengan jawaban yang menurut Anda benar.
Waktu yang tersedia untuk semua soal adalah 90 menit dengan
passing rate 80 dan full score 220. Format Quiz ini adalah Anda
harus menjawab semua soal terlebih dahulu baru Anda dapat
mengetahui apakah jawaban Anda benar atau salah beserta
penjelasannya.
4. Langkah keempat jika sudah menjawab soal Anda dapat mengklik
Submit yang berada di sebelah kiri bawah untuk memastikan
jawaban yang Anda pilih benar atau salah.
27 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA

28. 5. Langkah kelima jika Anda ingin mengetahui jawaban benar dan
pemabahasan dari setiap soal silahkan Anda mengklik Review
setelah itu klik Feedback.
6. Langkah ketujuh setelah selesai silakan Anda mengklik Close.
Terimakasih Anda sudah berkunjung di Quiz Maker Konsep
Phytagoras dan Aplikasinya Dalam Kehidupan Sehari-Hari.
28 |KONSEP PHYTAGORAS DAN APLIKASINYA