Más contenido relacionado La actualidad más candente (20) Similar a ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل السادس الهندسة الفضائية 2017 الأستاذ علي حميد (11) ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل السادس الهندسة الفضائية 2017 الأستاذ علي حميد2. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
380
السادس الفصل
الفضائٌة الهندسةSPACE GEOMETRY/
مراجعة:
1-.ٌحتوٌهما وحٌد ٍومست ٌوجد متقاطعٌن مستقٌمٌن لكل
2-وحٌد ٍومست ٌوجد متوازٌٌن مستقٌمٌن لكل.ٌحتوٌهما
3-التوازي عبارةوٌوازي النقطة تلك من ٌمر وحٌد مستقٌم فٌوجد إلٌه ًتنتم ال ونقطة مستقٌم علم (إذا
)المعلوم المستقٌم.
4-.اآلخر على ًاٌعمود ٌكون متوازٌٌن مستقٌمٌن أحد على العمودي المستقٌم الواحد المستوى ًف
5-عم ٌكون متوازٌٌن مستوٌٌن أحد على العمودي المستقٌم.اآلخر على ًاٌود
6-معلومة نقطة من معلوم مستقٌم على عمودي فقط واحد مستقٌم رسم ٌمكن الواحد المستوى ًفًتنتم (
)إلٌه ًتنتم ال أو للمستقٌم.
7-.ٌحتوٌهما فأنه اآلخر من ونقطة احدهما ٌحوي الذي فالمستوي مستقٌمان توازى إذا
8-ٌكون متوازٌٌن مستقٌمٌن أحد على العمودي المستوى.اآلخر على ًاٌعمود
9-.متوازٌان واحد مستقٌم على العمودٌان المستقٌمان الواحد المستوى ًف
10-.اآلخر ٌوازي احدهما ٌحوي الذي فالمستوي مستقٌمان توازى إذا
11-.مستوٌهما على ًاٌعمود ٌكون تقاطعهما نقطة من متقاطعٌن مستقٌمٌن على العمودي المستقٌم
12-على العمودي المستقٌم.المستوي ضمن أثره من المرسومة المستقٌمات جمٌع على ًاٌعمود ٌكون ٍومست
13-.المعلوم المستوي ٌوازي مستوٌهما فأن معلوم مستوي ٌوازٌان متقاطعٌن مستقٌمٌن من كل كان إذا
14-.مستوٌهما وتوازى الزاوٌتان تساوت أخرى زاوٌة ًضلع زاوٌة ضلعا وازى إذا
15-ٌب الواصلة المستقٌم قطعة.بالقٌاس نصفه وتساوي الثالث الضلع توازي مثلث ًضلع ًمنتصف ن
16-.ٌنصفها القاعدة على الساقٌن المتساوي المثلث رأس من النازل العمود
17-مستقٌم وازى إذامستويالمعلاوم للمساتقٌم ًاموازٌا المساتوي نقااط من نقطة أٌة من المرسوم فالمستقٌم
.المستوي ذلك ًف محتوى ٌكون
18-المستق.متوازٌان واحد ٍومست على العمودٌان ٌمان
19-.متوازٌان الفراغ ًف ثالث لمستقٌم الموازٌان المستقٌمان
20-.فٌه متقابلٌن ضلعٌن كل توازى إذا أضالع متوازي ًالرباع الشكل ٌكون
21-.فٌه متقابلٌن ضلعٌن وتساوى توازى إذا أضالع متوازي ًالرباع الشكل ٌكون
22-أ متوازي هو المستطٌل.قائمة زواٌاه أحدى ضالع
23-.معلومة نقطة من معلوم ٍومست على عمودي وحٌد مستقٌم رسم ٌمكن
24-.بهما محددة وزاوٌة بضلعٌن المثلثان ٌتطابق
25-.والمستوي المعلومة النقطة بٌن مسافة أقصر هو ٍومست على معلومة نقطة من النازل العمود
26-.ونتٌجتها الثالثة األعمدة مبرهنة
3. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
381
الزاوٌةالمتعامدة والمستوٌات الزوجٌة
:الزوجٌة الزاوٌةحافة لهما مستوٌٌن ًنصف اتحاد(Edge).مشتركة
بـ المشتركة الحافة وتسمى)الزوجٌة الزاوٌة (حرف.
بـ المستوٌٌن ًنصف من كل وٌسمى)الزوجٌة الزاوٌة (وجه:الشكل ًف كما
حٌث⃡الزوجٌة الزاوٌة حرف هو
(X)و(Y)وجهاها هما
:بالتعبٌر الزوجٌة الزاوٌة عن وٌعبر– ⃡ –
.أخرى زاوٌة مع ًامشترك ٌكن لم أن الزوجٌة الزاوٌة بحرف عنها ٌعبر وقد
:ًالمث
:الزوجٌة الزاوٌة
– ⃡ –
– ⃡ –
– ⃡ –
بشكل الزوجٌة الزاوٌة تكتب أن ٌمكن وال⃡الحرف ألن المثال هذا ًف⃡.زوجٌة زاوٌة من أكثر ًف مشترك
مالحظة:واحد ٍومست ًف لٌست نقاط أربع تكون عندما
الزوجٌة الزاوٌة نكتبA – ⃡ – Dأو
المستوٌٌن بٌن الزوجٌة الزاوٌة(DBC)و
(ABC:الشكل ًف كما )
4. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
382
:ًكاآلت الزوجٌة الزاوٌة وتقاس
نقطة نأخذDالمشتركة الحافة على⃡من ونرسمDالعمودً⃡فوالعمودً⃡فالحرف على
⃡الزاوٌة قٌاس هو المستوٌٌن بٌن الزوجٌة الزاوٌة قٌاس فٌكونالزاوٌة وتسمىالعائدة الزاوٌة
:الشكل ًف كما ,الزوجٌة للزاوٌة
الزوجٌة الزاوٌة لدٌنا أخرى بعبارة– ⃡ –
ولدٌنا⃡ ⃡
⃡ ⃡ ⃡ ⃡
∢الزوجٌة للزاوٌة العائدة الزاوٌة ًه⃡أو– ⃡ –
الزوجٌة للزاوٌة العائدة المستوٌة الزاوٌة:من الزوجٌة الزاوٌة حرف على عمودٌان ضلعاها ًالت الزاوٌة ًه
.الزوجٌة الزاوٌة ًوجه أحد ًف منهما وكل إلٌه ًتنتم نقطة
:أوًوجه أحد ًف منهما وكل إلٌه ًتنتم نقطة من الزوجٌة الزاوٌة حرف على عمودٌٌن شعاعٌن اتحاد ًه
.الزوجٌة الزاوٌة
والزو العائدة الزاوٌتٌن تعرٌف ومن:ًاآلت استنتاج ٌمكن جٌة
1-.ثابت زوجٌة لزاوٌة عائدة زاوٌة قٌاس
2-.وبالعكس لها العائدة الزاوٌة قٌاس ٌساوي الزوجٌة الزاوٌة قٌاس
.وبالعكس متعامدان المستوٌٌن فأن قائمة الزوجٌة الزاوٌة كانت إذا
قٌاس كان أذا : أي– ⃡ – 𝟗𝟎°
فأن
5. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
383
( مبرهنة7(وزاري :)2011د /1(وزاري و )2013د /2)و(وزاري5201د /3):
احدهما ًف المرسوم فالمستقٌم مستوٌان تعامد إذاو.اآلخر المستوي على ًاٌعمود ٌكون التقاطع مستقٌم على العمودي
:أنه أي
:كان إذا
⃡
في ⃡ ⃡ ⃡
فأن⃡
:المعطٌاتنقطة ًف, D⃡ ⃡ ⃡ ⃡
:إثباته المطلوب⃡
:البرهان
ًفنرسم⃡ ⃡()معلومة نقطة من فٌه مستقٌم على عمودي وحٌد مستقٌم رسم ٌمكن الواحد المستوى ًف
⃡ ⃡ ⃡)(معطى
∢الزوجٌة للزاوٌة عائدة– ⃡ –)العائدة الزاوٌة (تعرٌف
∢ 𝟗𝟎)وبالعكس لها العائدة الزاوٌة قٌاس ٌساوي الزوجٌة الزاوٌة (قٌاس
⃡ ⃡مستقٌمٌن بٌن الزاوٌة قٌاس كان (إذا𝟗𝟎)وبالعكس متعامدان المستقٌمٌن فأن
⃡)مستوٌهما على ًاٌعمود ٌكون تقاطعهما نقطة من متقاطعٌن مستقٌمٌن على العمودي (المستقٌم
)م .هـ .(و
( مبرهنة نتٌجة7(وزاري :)2013د /3)و(وزاري5201د /2):
ًاٌعمود احدهما ًف نقطة من المرسوم فالمستقٌم مستوٌان تعامد إذا.فٌه محتوى ٌكون اآلخر المستوى على
:المعطٌات⃡
:إثباته المطلوب⃡
:البرهانلٌكن⃡
ٌكن لم ان⃡
نرسم⃡على وعمودي⃡
من فٌه مستقٌم على عمودي وحٌد مستقٌم ٌوجد الواحد المستوى ً(ف)معلومة نقطة
6. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
384
)(معطى
⃡(مبرهنة7ٌكون التقاطع مستقٌم على العمودي احدهما ًف المرسوم فالمستقٌم مستوٌان تعامد إذا ( )
)اآلخر المستوى على ًاٌعمود
ولكن⃡)(معطى
⃡ ⃡من معلوم ٍومست على عمودي وحٌد مستقٌم (ٌوجد
ال أو ًتنتم نقطة)إلٌه ًتنتم
⃡
)م .هـ .(و
( مبرهنة8(وزاري :)2011د /1)و(وزاري6201د /1):
المستوي ذلك على ًاٌعمود ٌكون آخر ٍومست على عمودي بمستقٌم مار ٍومست كل
: أومستقٌم على أحدهما احتوى إذا المستوٌان ٌتعامد.اآلخر على عمودي
:المعطٌات⃡,⃡⃡
إثباته المطلوب:
:البرهانلٌكن⃡)مستقٌم بخط المستوٌان (ٌتقاطع
⃡)المشتركة النقاط على ٌحتوي التقاطع (مستقٌم
ًفنرسم⃡ ⃡)معلومة نقطة من فٌه مستقٌم على عمودي وحٌد مستقٌم ٌوجد الواحد المستوى ً(ف
⃡)معطى (
⃡ ⃡ ⃡المستقٌمات جمٌع على ًاٌعمود ٌكون مستوى على العمودي (المستقٌمًف المحتوى
)أثره من والمارة المستوي
⃡)(معطى
∢الزوجٌة للزاوٌة عائدة⃡)العائدة الزاوٌة (تعرٌف
⃡ ⃡ ألن ∢ 𝟗𝟎°
الزوجٌة الزاوٌة قٌاس– ⃡ – 𝟗𝟎°ٌالزوج الزاوٌة (قٌاســـــٌس ةــــاويالعائدة الزاوٌة قٌاس
)وبالعكس لها
(الزوجٌة الزاوٌة قٌاس كان إذا90 °وبالعكس متعامدان المستوٌٌن فأن)
)م .هـ .(و
⇒ 𝑦 𝑥
أنه أي:𝑨𝑩⃡ 𝒙
𝑨𝑩⃡ 𝒚
7. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
385
( مبرهنة9(وزاري :)2014د /1:)
ٍومست على عمودي غٌر مستقٌم منٌوجد معلومٍومستعمودي وحٌد
المعلوم المستوى على.
أنه أي:⃡على عمودي غٌر
ٌحتوي وحٌد مستوي فٌوجد⃡على وعمودي
:المعطٌات⃡على عمودي غٌر
:إثباته المطلوبٌحتوي وحٌد ٍومست إٌجاد⃡على وعمودي
:البرهان
نقطة مننرسمً⃡تنتم ال نقطة من معلوم ٍومست على عمودي وحٌد مستقٌم (ٌوجد)إلٌه
⃡ ⃡متقاطعان
مثل وحٌد ٍومست ٌوجدٌحوٌهما)ٌحوٌهما وحٌد ٍومست ٌوجد متقاطعٌن مستقٌمٌن (لكل
(مبرهنة8))اآلخر على عمودي مستقٌم على أحدهما احتوى إذا المستوٌان (ٌتعامد
:الوحدانٌة ولبرهنة
( لٌكنZٌحوي آخر مستوي )⃡على وعمودي
⃡)(بالبرهان
⃡مبرهنة (نتٌجة7)
)ٌحوٌهما وحٌد ٍومست ٌوجد متقاطعٌن مستقٌمٌن (لكل
)م .هـ .(و
( مبرهنة نتٌجة9(وزاري :)2012د /3:)
مستقٌم فأن ثالث ٍومست على ًاٌعمود متقاطعٌن مستوٌٌن من كل كان إذاالمستوى على ًاٌعمود ٌكون تقاطعهما
.الثالث
:المعطٌات⃡
:إثباته المطلوب⃡
:البرهانٌكن لم إن⃡على ًاٌعمود
ٌحوي مستوي من أكثر وجد لما⃡على وعمودي(مبرهنة9)
⃡
)م .هـ .(و
8. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
386
( مثال1:)
ًف∆ ABC
̅̅̅̅̅ ∢ 𝟑𝟎°
𝟏𝟎 𝟓
الزوجٌة الزاوٌة قٌاس جد– ̅̅̅̅ –
:المعطٌات
̅̅̅̅̅ ∢ 𝟑𝟎° 𝟏𝟎 𝟓
:إثباته المطلوبالزوجٌة الزاوٌة قٌاس إٌجاد– ̅̅̅̅ –
:البرهان
المستوى ًفنرسم̅̅̅̅ ̅̅̅̅نقطة ًفآخر على عمودي وحٌد مستقٌم ٌوجد الواحد المستوى ً(ف
)معلومة نقطة من
̅̅̅̅̅)(معطى
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)الثالثة األعمدة (مبرهنة
∢الزوجٌة للزاوٌة عائدة̅̅̅̅العائد الزاوٌة (تعرٌفة)
̅̅̅̅ ̅̅̅̅(المســـالمستوى ًف المحتواة المستقٌمات جمٌع على ًاٌعمود ٌكون مستوي على العمودي تقٌم
)أثره من والمارة
∆ DBEًف الزاوٌة قائمB
ًف∆ BEAًف الزاوٌة القائمE:
𝟑𝟎 ⇒
𝟏
𝟐 𝟏𝟎
⇒ 𝟓
ًف∆ DBEًف الزاوٌة القائمB:
∢
𝟓
𝟓
𝟏
قٌاس∢ 𝟒𝟓°
الزوجٌة الزاوٌة قٌاس– ̅̅̅̅ – 𝟒𝟓°()وبالعكس لها العائدة الزاوٌة قٌاس هو الزوجٌة الزاوٌة قٌاس
)م .هـ .(و
9. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
387
( مثال2:)
لٌكنABCولٌكن ًامثلث
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
:أن برهن
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
:المعطٌات
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
:إثباته المطلوب
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
:البرهان
̅̅̅̅)(معطى
(مبرهنة8احدهما احتوى إذا المستوٌان (ٌتعامد ))اآلخر على عمودي مستقٌم على
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)(معطى
̅̅̅̅(مبرهنة7التقاطع مستقٌم على والعمودي احدهما ًف المرسوم فالمستقٌم مستوٌان تعامد (إذا )
)اآلخر على ًاٌعمود ٌكون
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅)(معطى
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)الثالثة االعمدة مبرهنة (نتٌجة
)م .هـ .(و
10. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
388
( مثال3(وزاري :)2012د /2)
متعامدان مستوٌان,
⃡ ⃡على عمودٌان⃡وٌقطعانًفC, Dالترتٌب على
:أن برهن⃡
:المعطٌات
إن⃡ ⃡ ⃡ , )على عمودٌٌن⃡وٌقطعانًفC, D.الترتٌب على
:إثباته المطلوب⃡
:البرهان
لٌكنالمتقاطعٌن المستقٌمٌن مستوي⃡ ⃡)ٌحوٌهما ًاوحٌد ًاٌمستو ٌوجد متقاطعٌن مستقٌمٌن (لكل
⃡ ⃡ ⃡)(معطى
⃡(المستقٌم)مستوٌهما على ًاٌعمود ٌكون تقاطعهما نقطة من متقاطعٌن مستقٌمٌن على العمودي
⃡)(معطى
)اآلخر على عمودي مستقٌم على احدهما احتوى إذا المستوٌان (ٌتعامد
)(معطى
كان ولما⃡)منهما كل ًف محتوى (ألنه
⃡ف ثالث ٍومست على ًاٌعمود متقاطعٌن مستوٌٌن من كل كان (إذاًاٌعمود ٌكون تقاطعهما مستقٌم أن
)الثالث المستوي على
)م .هـ .(و
11. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
389
تمارين
س1/.حرفها على ًاٌعمود ٌكون زوجٌة لزاوٌة العائدة الزاوٌة مستوي أن برهن(وزاري2013د /1)
:المعطٌاتالزوجٌة الزاوٌة– ⃡ –
والزاوٌةCDE.لها عائدة مستوٌة زاوٌة
:إثباته المطلوب⃡
:البرهان
الزاوٌةCDEالزوجٌة للزاوٌة عائدة زاوٌة– ⃡ –)(معطى
⃡ ⃡)زوجٌة لزاوٌة العائدة الزاوٌة تعرٌف (من
⃡ ⃡اتحاد من الناتجة الزاوٌة ً(هشعاعٌنًتنتم نقطة من الزوجٌة الزاوٌة حرف على عمودٌٌن
وكل إلٌهاح ًف منهماد)الزوجٌة الزاوٌة ًوجه
⃡()مستوٌهما على ًاٌعمود ٌكون تقاطعهما نقطة من متقاطعٌن مستقٌمٌن على العمودي المستقٌم
)م .هـ .(و
(وزاري/2014د3)
س2/أن برهنه.متعامدان المستوٌٌن فأن آخر ٍومست على ًاٌعمود وكان ًاٌمستو مستقٌم وازى إذا
:المعطٌات⃡ ⃡
:إثباته المطلوب
:البرهان
ٌكن لم أنٌقطعفأن
⃡)(معطى
⃡على العمودي (المستقٌم)اآلخر على ًاٌعمود ٌكون متوازٌٌن مستوٌٌن احد
المعطٌات خالف هذا ولكنيقطع
ولٌكن⃡)مستقٌم بخط المستوٌان (ٌتقاطع
لتكن⃡ولتكن ,⃡ ⃡ال نقطة من معلوم مستقٌم ٌوازي وحٌد مستقٌم ٌوجد :التوازي (عبارة
)إلٌه ًتنتم
⃡)(معطى
⃡للمستقٌم ًاٌمواز المستوي نقط من نقطة أٌة من المرسوم فالمستقٌم ًاٌمستو مستقٌم وازى (إذا
)فٌه محتوى ٌكون المعلوم
⃡ ⃡)اآلخر على ًاٌعمود ٌكون متوازٌٌن مستقٌمٌن احد على العمود (المستوي
)اآلخر على عمودي مستقٌم على احدهما احتوى إذا المستوٌان (ٌتعامدأوبمستقٌم مار ٍومست (كل
)اآلخر ٍوالمست على عمودي ٌكون ٍومست على عمودي
)م .هـ .(و
12. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
390
(وزاري2014/د2)
س3/اآلخر على ًاٌعمود ٌكون متوازٌٌن مستوٌٌن احد على العمودي المستوي أن برهنًاأٌض.
:المعطٌات
:إثباته المطلوب
:البرهان
لٌكن⃡
⃡
ولتكن⃡
نرسم⃡بحٌث⃡ ⃡
مستقٌم على عمودي وحٌد مستقٌم رسم (ٌمكن)إلٌه ًتنتم ال نقطة من معلوم
(معطى)
⃡المرس فالمستقٌم مستوٌان تعامد (إذاـــمس على والعمودي احدهما ًف ومــــٌكون التقاطع تقٌم
)اآلخر على ًاٌعمود
ولكن)(معطى
⃡متوازٌٌن مستوٌٌن احد على العمودي (المستقٌم)اآلخر على ًاٌعمود ٌكون
)اآلخر على عمودي مستقٌم على احدهما احتوى إذا المستوٌان (ٌتعامد
)م .هـ .(و
س4/A, B, C, Dبحٌث واحد ٍومست ًف لٌست نقاط أربعو̅̅̅̅كانت فإذا∢
الزوجٌة للزاوٌة عائدة– ̅̅̅̅ –برهن.
:المعطٌاتA, B, C, Dواحد ٍومست ًف لٌست مختلفة نقاط أربع
∢الزوجٌة للزاوٌة عائدة– ̅̅̅̅ –
:إثباته المطلوب
:البرهان
∢الزوجٌة للزاوٌة عائدة– ̅̅̅̅ –)(معطى
̅̅̅̅ ̅̅̅̅الزوجٌة الزاوٌة حرف على عمودٌٌن شعاعٌن اتحاد من الناتجة الزاوٌة ًه العائدة (الزاوٌة
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)الزوجٌة الزاوٌة ًوجه أحد ًف منهما وكل إلٌه ًتنتم نقطة من
المثلث ًفABC)(معطى
الساقٌن متساوي مثلث رأس من النازل (العمود)ٌنصفها القاعدة على
المثلثانDEBوDEC:فٌهما
∢ 𝟏 ∢ 𝟐)(قوائم
)مشترك (ضلع
CE = BE)(بالبرهان
.بهما محددة وزاوٌة بضلعٌن المثلثان ٌتطابق
:ٌنتج التطابق ومن
)م .هـ .(و
مستقٌم بخط المستوٌان ٌتقاطع
13. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
391
(وزاري2015/د1)
س5/برهنأنهإذامتقاطعٌن مستوٌٌن على عمودٌٌن وكانا معلوم ًاٌمستو متقاطعٌن مستقٌمٌن من كل وازى
المعلوم المستوى على ًاٌعمود ٌكون المتقاطعٌن المستوٌٌن تقاطع مستقٌم فأن.
:المعطٌات⃡ ⃡
يوازيان ⃡ ⃡
⃡
:إثباته المطلوب⃡
:البرهان
لٌكنالمتقاطعٌن المستقٌمٌن مستوي⃡ ⃡)ٌحتوٌهما وحٌد مستوي ٌوجد متقاطعٌن مستقٌمٌن (لكل
⃡ ⃡)(معطى
ًاٌمستو ٌوازٌان متقاطعٌن مستقٌمٌن من كل كان (إذا)المعلوم المستوي ٌوازي مستوٌهما فإن ًامعلوم
ولكن⃡
⃡
)اآلخر على عمودي مستقٌم على أحدهما احتوى إذا المستوٌان (ٌتعامد
)(معطى
⃡كل كان إذا (منعلى ًاٌعمود متقاطعٌن مستوٌٌنًاٌعمود ٌكون تقاطعهما مستقٌم فأن ثالث ٍومست
)الثالث المستوي على
⃡)اآلخر على ًاٌعمود ٌكون متوازٌٌن مستوٌٌن احد على العمودي (المستقٌم
)م .هـ .(و
)(معطى
14. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
392
س6/قطرها دائرة̅̅̅̅ ̅̅̅̅مس على عموديــــتوٌها,Dأن برهن للدائرة ًتنتم نقطةعمودي
على
:المعطٌات
̅̅̅̅و دائرة ًف قطر̅̅̅̅̅.الدائرة مستوي
D.للدائرة ًتنتم نقطة
:إثباته المطلوب
:البرهان
∢محٌطٌة زاوٌة
∢ 𝟗𝟎°)قائمة دائرة لنصف المقابلة المحٌطٌة (الزاوٌة
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)متعامدٌن المستقٌمٌن فأن قائمة مستقٌمٌن بٌن الزاوٌة كانت (إذا
̅̅̅̅الدائرة مستوي على عمودي)(معطى
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)الثالثة االعمدة (مبرهنة
:لدٌنا اصبح̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅)(بالبرهان
̅̅̅̅̅متقاطعٌن مستقٌمٌن على العمودي (المستقٌم)مستوٌهما على ًاٌعمود ٌكون تقاطعهما نقطة من
ولكن̅̅̅̅
)اآلخر على عمودي مستقٌم على أحدهما احتوى إذا المستوٌان (ٌتعامد
)م .هـ .(و
15. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
393
ٍومست على العمودي االسقاط
1-:ٍومست على نقطة مسقطالعمود أثر هو.المستوي على النقطة تلك من المرسوم
2-:مستوي على نقط مجموعة مسقطلتكنLاثار كل مجموعة هو مسقطهما فأن الفراغ ًف نقاط من مجموعة
نقاط من المرسومة االعمدةه.المستوي على
3-:معلوم ٍومست على عمودٌة غٌر مستقٌم قطعة مسقطالمستقٌم قطعة هوالمرسومٌن العمودٌن بأثري المحددة
.المعلوم المستوي على القطعة ًنهاٌت من
لٌكن̅̅̅̅على عمودي غٌر
ولٌكن̅̅̅̅مسقطAعلىهو
̅̅̅̅̅مسقطBعلىهو
مسقط̅̅̅̅علىهو̅̅̅̅
:مالحظةكان إذا̅̅̅̅فأن
4-ٍومست على المائل المستقٌم.له وقاطع المستوي على العمودي غٌر المستقٌم هو :
5-:المٌل زاوٌة.المستوي على ومسقطه بالمائل المحددة الزاوٌة ًه
لٌكن⃡على ًالمائًف
ولٌكنً̅̅̅̅ف
مسقطعلىحٌث
كذلكحٌث نفسها مسقط
̅̅̅̅مسقط̅̅̅̅على
أن أي𝟎 𝛉 𝟗𝟎°
𝜽 𝟎 𝟗𝟎°
6-:المسقط طول= ٍومست على مستقٌم قطعة مسقط طولالمائل طول.المٌل زاوٌة تمام جٌب
تكون فعندما̅̅̅̅على ًالمائمٌلة وزاوٌة𝜽ومسقطه̅̅̅̅فأن𝛉
7-على مائل مستوي مسقط:مٌل زاوٌةٍومستعلىللزاوٌة العائدة المستوٌة الزاوٌة قٌاس هو معلوم ٍومست
.بٌنهما الزوجٌة
= معلوم ٍومست على مائلة منطقة مسقط مساحةالمائلة المنطقة مساحةالمٌل زاوٌة تمام جٌب
و المائلة المنطقة مساحةو المسقط مساحة𝜽المٌل زاوٌة قٌاس𝛉
16. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
394
( مثال4(وزاري :)2013د /2:)
.متعامدان المستوي على ضلعٌهما ًمسقط فأن ًامعلوم ًاٌمستو قائمة زاوٌة ًضلع أحد وازى إذا
:المعطٌات∢ًف قائمةB
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅مسقط هو̅̅̅̅على
̅̅̅̅̅̅مسقط هو̅̅̅̅على
:إثباته المطلوبA'B' ┴ B'C'
:البرهان
̅̅̅̅̅̅مسقط̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅مسقط̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅العمودٌن بأثري المحددة القطعة هو معلوم ٍومست على مستقٌم قطعة (مسقط
من المستوي على المرسومٌن)المستقٌمة القطعة ًطرف
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅)متوازٌان واحد ٍومست على العمودٌان (المستقٌمان
المتوازٌٌن بالمستقٌمٌننعٌن
المتوازٌٌن بالمستقٌمٌننعٌن
لكن̅̅̅̅)(معطى
)مستقٌم بخط المستوٌان (ٌتقاطع
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅المس جمٌع ٌوازي فأنه ًامعلوم ًاٌمستو مستقٌم وازى (إذاــــهذا تقاطع من الناتجة تقٌمات
تحوي ًالت والمستوٌات المستوي)المستقٌم
كذلك̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅أثره من المرسومة المستقٌمات جمٌع على ًاٌعمود ٌكون مستوي على العمودي (المستقٌم
)المستوي ذلك ضمن
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅(اآلخر على ًاٌعمود ٌكون متوازٌٌن مستقٌمٌن أحد على العمودي المستقٌم :الواحد المستوي ًف)
لكن̅̅̅̅ ̅̅̅̅ألن (∢ 𝟗𝟎)معطى
̅̅̅̅̅̅)اآلخر على ًاٌعمود ٌكون متوازٌٌن مستقٌمٌن أحد على العمودي (المستوي
̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅أثره من المرسومة المستقٌمات جمٌع على ًاٌعمود ٌكون مستوي على العمودي (المستقٌم
.)المستوي ذلك ضمن
هـــ .(و.)م
(وحٌد ٍومست ٌوجد متوازٌٌن مستقٌمٌن لكلٌحتوٌهما)
يحتويهما
)(معطى
17. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
395
( مثال5:)
,مثلث̅̅̅̅المثلث مستوي بٌن الزوجٌة والزاوٌةوالمستويقٌاسها𝟔𝟎°كان فإذا
𝟏𝟑 𝟏𝟎اداجاثاالمثل اقطامساىاعلاقطامس ااحةامس اداج اماث
ABC∆على.
:المعطٌات̅̅̅̅
قٌاس– ⃡ – 𝟔𝟎°
𝟏𝟑 𝟏𝟎
:إثباته المطلوبمسقط إٌجادعلى
مسقط مساحة وإٌجادعلى
:البرهان
نرسمًف)معلومة نقطة من مستوي على عمود رسم (ٌمكن
̅̅̅̅مسقط̅̅̅̅̅
̅̅̅̅مسقط̅̅̅̅
̅̅̅̅على نفسه مسقط
مسقطعلى
ًفنرسم̅̅̅̅ ً̅̅̅̅ف)معلومة نقطة من آخر على عمود مستقٌم رسم ٌمكن الواحد المستوى ً(ف
أن وبما)(معطى
𝟓)ٌنصفها القاعدة على الساقٌن متساوي مثلث رأس من النازل (العمود
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)الثالثة االعمدة مبرهنة (نتٌجة
∢عائدةالزوجٌة للزاوٌة̅̅̅̅)العائدة الزاوٌة (تعرٌف
الزوجٌة الزاوٌة قٌاس لكن𝟔𝟎° ̅̅̅̅)(معطى
ًفًف القائم:√𝟏𝟔𝟗 𝟐𝟓 √𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟐
ًفًف القائم:𝟔𝟎 ⇒
𝟏
𝟐 𝟏𝟐
⇒ 𝟔
𝟏
𝟐
𝟏𝟎 𝟔 𝟑𝟎 𝟐
=المثلث مساحةBCD
).م هـ .(و
العمودٌن بأثري المحددة القطعة هو معلوم ٍومست على مستقٌم قطعة (مسقط
المستوي على المرسومٌن)المستقٌمة القطعة ًطرف من
18. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
396
تمارين
س1/المس قطعة طول أن برهنــلمس الموازي تقٌمــمع ٍوتٌس لومـــــمس طول اويـــالمستوي على قطهالمعلوم
.وٌوازٌه(وزاري2011د /1و2014د /1و2016د /1)
:المعطٌات̅̅̅̅
̅̅̅̅مسقط̅̅̅̅على
:إثباته المطلوب
: ًالأو̅̅̅̅ ̅̅̅̅
: ًاٌثان
:البرهان
̅̅̅̅مسقط̅̅̅̅على)(معطى
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅على عمودانالمرس العمودٌن بأثري المحددة القطعة هو ٍومست على مستقٌم قطعة (مسقطـومٌن
)المستوي على القطعة ًطرف من
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅)متوازٌان واحد ٍومست على العمودٌان (المستقٌمان
المتوازٌٌن بالمستقٌمٌننعٌن)ٌحتوٌهما وحٌد ٍومست ٌوجد متوازٌٌن مستقٌمٌن (لكل
̅̅̅̅)(معطى
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)اآلخر وٌوازي احدهما ًف محتوى مستقٌم كل ٌوازي مستوٌٌن تقاطع (مستقٌم
أوالمستوي هذا تقاطع من الناتجة المستقٌمات جمٌع ٌوازي فأنه ًامعلوم ًاٌمستو مستقٌم وازى (إذا
)المستقٌم هذا تحوي ًالت المستوٌات مع
( )م . هـ .(و1)
الشكلأضالع متوازي)متوازٌٌن فٌه متقابلٌن ضلعٌن كل (ألن
األضالع متوازي خواص)بالطول متساوٌٌن فٌه متقابلٌن ضلعٌن كل (
( )م . هـ .(و2)
19. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
397
س2/مس قطع إذا أنه برهنـــ.علٌه اآلخر مٌل ٌساوي احدهما على مٌله فأن بمستقٌم متوازٌان توٌان
(وزاري2012د /2)و(وزاري2015د /3)
:المعطٌات
⃡ { }
⃡ { }
:إثباته المطلوب
مٌل⃡علىمٌل⃡على
:البرهان
نرسم⃡(معلومة نقطة من معلوم ٍومست على عمودي وحٌد مستقٌم رسم ٌمكن)
)(معطى
⃡نقطة ًف)اآلخر على ًاٌعمود ٌكون متوازٌٌن مستوٌٌن أحد على العمودي (المستقٌم
⃡مسقط⃡على
وكذلك⃡مسقط⃡على
∢𝟏مٌل زاوٌة ًه⃡على
∢𝟐مٌل زاوٌة ًه⃡على
⃡ ⃡(ثالث ٍوبمست متوازٌٌن مستوٌٌن تقاطع خطأمتوازٌان)
∢𝟏 ∢ 𝟐(تساو أخرى زاوٌة ًضلع زاوٌة ضلعا وازى إذاىوتواز قٌاسهماىمستوٌهما)
مٌل⃡علىمٌل⃡على
)م . هـ .(و
المستقٌم قطعة هو معلوم ٍومست على عمودٌة غٌر مستقٌم قطعة (مسقط
)المستوي على القطعة ًطرف من المرسومٌن العمودٌن بأثري المحددة
(المحاددة الزاوٌاة ًها معلوم ٍومست على مائل مستقٌم مٌل زاوٌة
على ومسقطه بالمائلذلكالمستوي)
20. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
398
س3/بره.نفسه المٌل ٍومست على المائلة المتوازٌة للمستقٌمات أن على ن
وزاري (2011د /3(وزاري )2013د /3)
:المعطٌات
⃡ ⃡على مائل منهما وكل
:إثباته المطلوب
مٌل زاوٌة قٌاس⃡على=مٌل زاوٌة قٌاس⃡على
:البرهان
لٌكنً⃡ف
ولٌكنً⃡ف
⃡مسقط⃡على
⃡مسقط⃡على
1∢مٌل زاوٌة ًه⃡على
2∢مٌل زاوٌة ًه⃡على
⃡ ⃡(معطى)
⃡ ⃡(متوازٌان ٍومست على العمودٌان المستقٌمان)
∢𝟑 ∢ 𝟒(وازى إذاتساو أخرى زاوٌة ًضلع زاوٌة ضلعاىمستوٌهما وتوازي قٌاسهما)
∢𝟓 ∢𝟔 𝟗𝟎°(المســمس على العمودي تقٌمــجم على ًاٌعمود ٌكون تويـالمس ٌعــــتقٌمات
) المستوي ذلك ضمن أثره من المرسومة
∢ 𝟏 ∢ 𝟐(المثلث زواٌا قٌاسات مجموع𝟏𝟖𝟎°)
قٌاسزاوٌةمٌل⃡علىقٌاسمٌل زاوٌة⃡على
)م .هـ .(و
(معلومة نقطة من معلوم ٍومست على عمودي وحٌد مستقٌم رسم ٌمكن)
(اتقٌماالمس اةاقطع اواه اومامعل ٍواتامس اىاعل اةاٌعمود اراٌغ اتقٌمامس اةاقطع اقطامس
المرسو العمودٌن بأثري المحددةالمستوي على القطعة ًطرف من مٌن)
(ًه معلوم ٍومست على مائل مستقٌم مٌل زاوٌةالمحددة الزاوٌة
المعلوم المستوي على ومسقطه بالمائل)
21. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
399
س4/زاوٌة أطولهما فإن معلوم ٍومست إلى ًتنتم ال نقطة من الطول ًف مختلفان مائالن رسم إذا أنه على برهن
مٌله.علٌه اآلخر مٌل زاوٌة من أصغر المستوي على
:المعطٌات
:إثباته المطلوب
مٌل زاوٌة̅̅̅̅علىمٌل زاوٌة̅̅̅̅على
:البرهان
لٌكن̅̅̅̅(إلٌه ًتنتم ال نقطة من ٍومست على عمودي وحٌد مستقٌم رسم ٌمكن)
⃡مسقط⃡على
⃡مسقط⃡على
𝛉 𝟏∢مٌل زاوٌة ًه⃡على
𝛉 𝟐∢مٌل زاوٌة ًه⃡على
(معطى)
𝟏𝟏
)التراجح (خواص
بـ المتراجحة ًطرف وبضرب:ٌنتج
𝜽𝟏 𝜽𝟐(وبرفعدالة ألن الطرفٌن)متزاٌدة دالة
𝛉 𝟏
𝜽 𝟐
مٌل زاوٌة̅̅̅̅علىمٌل زاوٌة̅̅̅̅على
)م .هـ .(و
(اراٌغ اتقٌمامس اةاقطع اقطامساتقٌماالمس اةاقطع اواه اومامعل ٍواتامس اىاعل اةاٌعمود
المرسو العمودٌن بأثري المحددةالمستوي على القطعة ًطرف من مٌن)
(المح الزاوٌة ًه معلوم ٍومست على مائل مستقٌم مٌل زاوٌةددة
على ومسقطه بالمائلذلكالمستوي)
22. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
400
س5/.األطول هو ًالٌم فأصغرهما ٍومست إلى ما نقطة من مائالن رسم إذا أنه على برهن
:المعطٌات
̅̅̅̅ ̅̅̅̅على مائالن
مٌل زاوٌة̅̅̅̅علىمٌل زاوٌة̅̅̅̅على
:إثباته المطلوب
:البرهان
لٌكن̅̅̅̅(إلٌه ًتنتم ال نقطة من ٍومست على عمودي مستقٌم رسم ٌمكن)
̅̅̅̅̅مسقط̅̅̅̅على
وكذلك̅̅̅̅مسقط̅̅̅̅على
𝛉 𝟏
∢مٌل زاوٌة ًه̅̅̅̅على
𝛉 𝟐
∢مٌل زاوٌة ًه̅̅̅̅على
∢ 𝛉 𝟏
∢ 𝜽 𝟐
الـ دالة وبأخذ:للطرفٌن
𝛉 𝟏
𝛉 𝟐
وعلى المتراجحة ًطرف بقسمةAD
𝟏 𝟏
ٌنتج التراجح وبقلب:
(التراجح خواص)
)م . هـ .(و
(المساتقٌم قطعاة هاو معلاوم ٍومسات علاى عمودٌاة غٌار مستقٌم قطعة مسقط
المرسو العمودٌن بأثري المحددةًطرف من مٌنالمستوي على القطعة)
(المحددة الزاوٌة ًه معلوم ٍومست على مائل مستقٌم مٌل زاوٌة
المعلوم المستوي على ومسقطه بالمائل)
23. حمٌد ًعل األستاذ /أعداد الفضائــــــــــــــــبة الهندسة /السادس الفصل𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
401
س6/المستقٌم بٌن المحصورة الزاوٌة من أصغر ٍومست على ومسقطه المستقٌم بٌن المٌل زاوٌة أنه على برهن
آخر مستقٌم وأي نفسهمرسوم.المستوي ذلك ضمن موقعه من(وزاري2012د /3)
:المعطٌات
̅̅̅̅على مائل,̅̅̅̅مسقط̅̅̅̅على
∢ , ̅̅̅̅̅بـ محددة̅̅̅̅و̅̅̅̅
∢بـ محددة̅̅̅̅و̅̅̅̅̅
:إثباته المطلوب
∢ ∢
:البرهان
نرسم̅̅̅̅)إلٌه ًتنتم ال نقطة من معلوم مستوي على عمودي وحٌد مستقٌم رسم (ٌمكن
ونرسم̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅على عمودي وحٌد مستقٌم رسم (ٌمكن)إلٌه ًتنتم ال نقطة من معلوم مستوي
لتكن∢ 𝜽 𝟐 ∢ 𝜽 𝟏
̅̅̅̅مسقط̅̅̅̅على)(معطى
AC AD)والمستوي المعلومة النقطة بٌن مسافة أقصر هو مستوي على نقطة من النازل (العمود
على وبالقسمةAB
)التراجح (خواص
𝜽 𝟏 𝜽 𝟐
𝜽 𝟏 𝜽 𝟐
∢ ∢
)م .هـ .(و