Ky material është punuar me qëllim të lehtësimit të punës së studentëve gjatë përgatitjes për provim dhe është pa pagesë. Ndalohet shitja, ripublikimi nëpër web-faqe apo çdo lloj përdorimi i këtij punimi me qëllim të përfitimit material!

1. FAKULTETI EKONOMIK
MATEMATIKË
Prishtinë
Grupi: B 4
Emri dhe Mbiemri:
Faton Bajrami
Nr. ID: 141600
1.
a) Zgjidhni sistemin e ekuacioneve lineare:
b) Njëhsoni
nëse:
.
2. Të gjendet progresioni aritmetik nëse
njëhsohet:
dhe
dhe të
.
3. Të paraqiten grafikisht drejtëzat:
dhe të njëhsohet
4. Të studiohet dhe të paraqitet grafikisht funksioni:
5.
a) Të njëhsohet integrali:
b) Të njëhsohet integrali:
Vërejtje: Detyrat me numër rendor 1 dhe 5 të zgjidhet vetëm njëra nga to: a) ose b) .
dhe parabola
.

2. Zgjidhje:
1.
a)
Rreshtit të parë ia ndërrojmë vendin me rreshtin e dytë, pasiqë minori (vlera) e parë
në rreshtin e parë është 2, ndërsa në rreshtin e dytë është 1, për ta bërë më të lehtë
llogaritjen me 1, dhe fitojmë sistemin:
Gjatë llogaritjes së sistemit, esenca e saj është që ta sjellim sistemin në rastin kur
vlerat në trekëndëshin e vizatuar të jenë 0. Fillojmë llogaritjet ashtu që së pari sjellim
shtyllën e parë në vlera 0, pastaj tjerat. Për të sjellur shtyllën e parë në vlera zero,
duhet që rreshtat e saj t’i shumëzojmë me vlerat e dhëna më lartë, dhe fitojmë
sistemin:
Pasi kemi fituar shtyllën e parë vlerat zero, kryejmë veprimet e caktuara më lartë për të
fituar edhe në shtyllën e dytë vlerat zero, dhe fitojmë sistemin:

3. Tani fituam edhe në shtyllën e dytë vlera zero. Kryejmë veprimin e caktuar për të fituar edhe në
shtyllën e tretë zero, dhe fitojmë sistemin:
Ky është sistemi përfundimtar me vlerat zero në kushtin e ‘trekëndëshit’. Gjejmë zgjidhjet nga
sistemi i mbetur:
Përfundimisht zgjidhjet e sistemit janë:

4. b)
Për të gjetur
duhet së pari të gjejmë matricen inverse
, pastaj të shumëzojmë
me vetvetën edhe një herë (d.m.th.:
). Matrica inverse e ka formulën:
Llogarisim së pari determinantën e saj:
pastaj, gjejmë adjunguaren e saj:
=
=
Dhe matrica inverse është:
Shumëzojmë,
:
=
=

5. Zëvendësojmë në kushtin e detyrës sonë dhe kemi:
Përfundimisht, fituam:

6. 2. Për të llogaritur vlerat:
progresionin aritmetik për:
, duhet të gjejmë
, e cila gjendet me anën e formulës:
Dhe kemi:
Vlerat e fituara më lartë zëvendësojmë në kushtin tonë të detyrës dhe kemi:
Gjejmë
nga sistemi i fituar:
Vlera e përgjithshme e progresionit aritmetik është:
Pra:
Zëvendësojmë në detyrën e limitit për ta zgjidhur atë, dhe kemi:

7. 3.
Paraqitja grafike e funksionit
Për
:
:
Paraqitja grafike e funksionit
Për
:
:
Meqë funksioni më lartë është funksion kuadratik, atëherë ai paraqet parabolë.
Për ta paraqitur grafikisht këtë funksion duhet të gjejmë Pikat e Përkufizimit, një pikë që pret
boshtin y dhe Kulmin e Parabolës.

8. Gjejmë pikat e përkufizimit:
Gjejmë një pikë që e pret boshtin y:
Gjejmë Kulmin e Parabolës
Meqë
:
, atëherë kulmi i parabolës ka formën: .

9. Zgjedhja e limitit është:
Meqë vlera
gjejmë
i takon ekuacionit kuadratik të formës:
me anë të formulës:
Zëvendësojmë më lartë për të gjetur formulën e përgjithshme për
zëvendësojmë tek limiti formulën e gjetur dhe zgjedhim limitin më lartë.
4.
1. Zona e përkufizimit:
dhe pastaj

10. 2. Zerot e funksionit:
Funksioni nuk e pret boshtin
, sepse nuk ka zero reale.
3. Shenjat e Funksionit:
Funksioni është negativ në intervalin
intervalin
.
, ndërsa është pozitiv në
4. Simetria e Funksionit:
Meqë funksioni nuk është as çift, as tek atëherë ai është asimetrik.

11. 5. Asimptotat e Funksionit:
a) Asimptota Vertikale
b) Asimptota Horizontale
c) Asimptota e pjerrët

12. 6. Monotonia dhe Vlerat Ekstreme:

13. Funksioni është monotono rritës në intervalin
zvogëlues në intervalin
.
7. Konkaviteti, konveksiteti dhe pikat e lakimit:
ndërsa monotono

14. 8. Paraqitja Grafike:
5.
a)
852 2−7 +15
Gjejmë :
Gjejmë :
=1122 −7 2−7 +15
+852
2−7 +15

15. Dhe përfundimisht, kemi:
b)