Deret_Taylor

1. Dalam matematika, deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai
jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut
di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor
mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat
di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama
matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin.
PENDAHULUAN

2. Dengan n! melambangkan faktorial n dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f
pada titik a. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan (x − a)0 dan 0!
didefinisikan sebagai 1. Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret
Maclaurin.
Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga
dalam sebuah persekitaran sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat
Yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai
Pembahasan DERET TAYLOR

3. Contoh Soal Deret Taylor dan Penjelasannya:
1. Tentukan Deret Taylor dari dengan menggunakan
Jawaban dari Soal diatas :
Maka Ditemukan Deret Taylor Sebagai Berikut :

4. Bentuk umum dari deret taylor untuk fungsi, misal perhatikan dan pahami :
Untuk itu bentuk dari diubah menjadi
---------------------------
Sehingga didapat deret taylor =
/x/<1

5. Contoh Soal Deret Taylor dari fungsi sebelumnya serta Penjelasannya:
Tentukan Deret Taylor dari dengan menggunakan
Jawab :
Dari situ dapat disimpulkan
Didapat deret taylor sebagai berikut:

6. 1. Kombinasi = = = =
Contoh : = = = = =10
Untuk deret
Rumus diatas untuk menentukan Deret Taylor dari fungsi
Kombinasi itu sendiri.
Pembahasan Fungsi Kombinasi

7. Contoh soal dari fungsi Kombinasi, perhatikan dan pahami:
1.
= + + +
Jadi, dari contoh tersebut dapat diketahui Deret Taylor untuk
adalah

8. 1. Fungsi pembangkit biasa (FPB) dari an di definisikan sbb:
2. Fungsi pembangkit Exportert (FPE) dari an didefinisikan sbb:
FUNGSI PEMBANGKIT MEMPUNYAI 2 PENGERTIAN:
Pembahasan fungsi pembangkit

9. Contoh soal : Tentukan fungsi pembangkit FPB & FPE jika diketahui :
Catatan :
Jawab :

10. Jawaban untuk yang
Jadi FPB & FPE untuk contoh soal tersebut adalah :
FPB FPE

11. Fungsi pembangkit digunakan untuk merepresentasikan
barisan secara efisien dengan mengkodekan unsur barisan sebagai
koefisien dalam deret pangkat suatu variabel x .
Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk:
– memecahkan berbagai masalah counting,
– memecahkan relasi recurrence, dan
– membuktikan identitas kombinatorik.

12. Definisi dan contoh
Definisi.
Fungsi pembangkit (generating function) untuk barisan bilangan
real: a0, a1, …, ak, … adalah deret pangkat tak hingga:
.......)(
0
10 



k
k
k
k
k xaxaxaaxG
Contoh 1.
a. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 5 adalah




0
)3(
k
k
xk
k
k
k
x

0
3


0
5
k
k
x
b. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = k+3 adalah
c. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 3k adalah

13. Teorema 1
Contoh 2.
Misal f(x) = 1/(1-x)2.
Tentukan koefisien a0, a1, … dalam ekspansi f(x) =  akxk.
Solusi.
.)1(1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
00 0
2  



 













 k
k
k
k
k
j
xkx
xxx
Jadi, ak = k+1.
  .)()(
dan)()()(
Maka,.)(dan)(Misal
0 0
0
00
 



  









k
kk
j jkj
k
k kk
k
k k
k
k k
xbaxgxf
xbaxgxf
xbxgxaxf

14. Koefisien Binomial Diperluas
Misalkan u bilangan real dan k bilangan bulat tak
negatif.
Maka koefisien binomial diperluas didefinisikan
sebagai:













.0jika,1
,0jika,
!
)1)...(1(
k
k
k
kuuu
k
u
Contoh 3.
Tentukan nilai dari:
a.






5
2/1
.4
!3
)4)(3)(2(
3
2














3
2
.
!5
)42/1)(32/1)(22/1)(12/1)(2/1(
5
2/1 






b.

15. Teorema Binomial Diperluas
Teorema 2.
Misal x bilangan real dengan |x| < 1 dan
u bilangan real.
Maka,
.)1(
0










k
ku
x
k
u
x
Catatan.
Jika u bilangan bulat positif maka Teorema
Binomial Diperluas menjadi Teorema
Binomial.

16. Contoh 4
Tentukan fungsi pembangkit untuk
(1+x)-n dan (1-x)-n,
dengan n bilangan bulat positif.
Solusi.
k
k
kn
k
kn
xkknCx
x
k
n
x
),1()1()1(Maka,
.)1(2,TeoremaMenurut
0
0






















0
),1()1(
:xdgnxmenggantiDengan
k
kn
xkknCx

17. Masalah Counting dan Fungsi Pembangkit
Contoh 5.
Tentukan banyaknya solusi dari n1 + n2 + n3 = 17, bila n1, n2 dan
n3 bilangan bulat taknegatif dengan 2  n1  5, 3  n2  6 dan 4 
n3  7.
Solusi.
Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien x17 dalam ekspansi:
(x2+x3+x4+x5) (x3+x4+x5+x6) (x4+x5+x6+x7).
Setiap bentuk x17 dalam perkalian ini didapat dengan mengalikan
xn1 pada faktor pertama dengan
xn2 pd faktor kedua dan
xn3 pada faktor ketiga
yang memenuhi: n1 + n2 + n3 = 17.
Bila dihitung, didapat koefisien x17 adalah 3.
Jadi, ada tepat 3 solusi.

18. Contoh 6
Ada berapa cara untuk membagikan 8 kue yang identik kepada 3
anak jika setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih
dari 4 kue?
Solusi.
Misalkan cn: banyaknya cara membagikan n kue.
Karena setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih
dari 4 kue, maka untuk setiap anak ada suatu faktor yang
berbentuk:
(x2 + x3 + x4)
dalam fungsi pembangkit barisan {cn}.
Karena ada 3 anak maka fungsi pembangkitnya adalah:
(x2 + x3 + x4)3.
Cara untuk membagikan 8 kue adalah koefisien dari x8, yakni 6.
Jadi, ada 6 cara untuk membagikan 8 kue kepada 3 anak tadi.

19. 1. Tentukan koefisien x10 dalam deret pangkat fungsi-fungsi berikut ini:
a. 1/(1+x)2
b. 1/(1-2x)
c. x4/(1-3x)3
2. Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara
mendistribusikan 25 donat identik kepada 4 polisi sehingga setiap polisi
mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak lebih dari 7 donat.
Latihan soal