sistem persamaan linear tiga atau lebih variabel

1. Aljabar Linier dan Matriks
Prodi Teknik Informatika STKIP PGRI Sumenep
Muhammad Kamarudin, S.Pd.
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
TIGA ATAU LEBIH VARIABEL
Menaksir Nilai Variabel Sebuah SPL
Pada bagian sebelumnya, telah dibahas beberapa kemungkinan bentuk geometris dari sebuah
sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV), yaitu :
1. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem dependent jika kedua persamaan linier berupa
garis-garis yang berimpit. Artinya SPL tersebut mempunyai banyak solusi.
2. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem inconsisten jika kedua persamaan linier berupa
garis-garis yang paralel dan tidak berpotongan. Artinya SPL tersebut tidak mempunyai
solusi.
3. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem consisten jika kedua persamaan linier berupa
garis-garis yang saling berpotongan di satu titik. Artinya SPL tersebut mempunyai sebuah
solusi.
Selanjutnya dari bentuk SPL berikut :
a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 +…+ a3nxn = b3
..........................................................
..........................................................
am1x1 + am2x2 + am3x3 +…+ amnxn = bm
Dari bentuk SPL di atas juga memiliki 3 kemungkinan solusi atau nilai variabel-variabel
bebas yaitu :
1. Solusi banyak (dependent)
Contoh :
x1+2x2+x3 = 2
2x1+4x2+2x3 = 4
-2x1-4x2-2x3 = -2
Jika SPL di atas dikerjakan dengan menggunakan cara eleminasi, maka akan
menghasilkan bentuk pada ruas kiri maupun ruas kanan sama-sama bernilai nol (0).
Misalnya eleminasi pers. 1 dan pers 2
x1+2x2+x3 = 2 x2 2x1+4x2+2x3 = 4
2x1+4x2+2x3 = 4 x1 2x1+4x2+2x3 = 4 –
0 = 0
Jadi salah satu ciri suatu SPL memiliki banyak solusi adalah ketika dikerjakan dengan
menggunakan cara eleminasi, maka akan menghasilkan bentuk pada ruas kiri maupun ruas
kanan sama-sama bernilai nol (0).
2. Solusi tidak ada (inconsisten)
Contoh :
3x1-x2-x3 = 1
-3x1+x2+x3 = 3
6x1-2x2-2x3 = 1

2. Aljabar Linier dan Matriks
Prodi Teknik Informatika STKIP PGRI Sumenep
Muhammad Kamarudin, S.Pd.
Jika SPL di atas dikerjakan dengan menggunakan cara eleminasi, maka akan
menghasilkan bentuk pada ruas kiri bernilai nol (0) dan ruas kanan bernilai k (konstanta).
Misalnya eleminasi pers. 1 dan pers 3
3x1-x2-x3 = 1 x2 6x1-2x2-2x3 = 2
6x1-2x2-2x3 = 1 x1 6x1-2x2-2x3 = 1 –
0 = 1
Jadi salah satu ciri suatu SPL yang tidak memiliki solusi adalah ketika dikerjakan dengan
menggunakan cara eleminasi, maka akan menghasilkan bentuk pada ruas kiri bernilai nol
(0) dan ruas kanan bernilai k (konstanta).
3. Solusi unik/memiliki satu solusi (consisten)
Pada umumnya, untuk menentukan solusi (tupel) dari suatu SPL dikerjakan dengan cara
campuran (eleminasi dan substitusi)
Contoh 1 :
Tentukan tupel dari SPL berikut
3x1-x2-x3 = 0
x1+3x2+2x3 = 5
x1+2x2+x3 = 2
Penyelesaian :
3x1-x2-x3 = 0 ... pers.1
x1+3x2+2x3 = 5 ... pers.2
x1+2x2+x3 = 2 ... pers.3
eleminasi x1 pada pers.2 dan pers.3
x1+3x2+2x3 = 5
x1+2x2+x3 = 2 –
x2+x3 = 3 ... pers.4
eleminasi x1 pada pers.1 dan pers.2
3x1-x2-x3 = 0 x1 3x1 - x2 - x3 = 0
x1+3x2+2x3 = 5 x3 3x1+9x2+6x3 = 15 –
-10x2-7x3 = -15 ... pers.5
eleminasi x2 pada pers.4 dan pers.5
x2+ x3 = 3 x10 10x2+10x3 = 30
-10x2-7x3 = -15 x1 -10x2- 7x3 = -15 +
3x3 = 15
x3 = 5
substitusi x3=5 ke pers.4 (boleh ke pers.5)
x2+x3 = 3  x2+5 = 3
 x2 = -2
substitusi x2=-2 dan x3=5 ke pers.1 (boleh ke pers.2 atau pers.3)

3. Aljabar Linier dan Matriks
Prodi Teknik Informatika STKIP PGRI Sumenep
Muhammad Kamarudin, S.Pd.
3x1-x2-x3 = 0  3x1-(-2)-5 = 0
 3x1-3 = 0
 3x1 = 3
 x1 = 1
Jadi tupel dari SPL di atas adalah (1,-2,5)
Contoh 2 :
Tentukan tupel dari SPL berikut
2x1+x2+2x3+x4 = 1 ... pers.1
-x1-x2-2x3 = 2 ... pers.2
-2x1-3x2+x3-2x4 = -2 ... pers.3
Penyelesaian :
eleminasi x4 pada pers.1 dan pers.3
2x1 + x2+2x3+ x4 = 1 x2 4x1+2x2+4x3+2x4 = 2
-2x1-3x2+ x3 -2x4 = -2 x1 -2x1-3x2+ x3 - 2x4 = -2 +
2x1-x2+5x3 = 0 ... pers.4
eleminasi x2 dan x3 pada pers.1 dan pers.2
2x1+x2+2x3+x4 = 1
-x1 -x2 -2x3 = 2 +
x1+x4 = 3
x4 = 3-x1
substitusi x4=3-x1 ke pers.3
-2x1-3x2+x3-2x4 = -2  -2x1-3x2+x3-2x4 = -2
 -2x1-3x2+x3-2(3-x1) = -2
 -2x1-3x2+x3-6+2x1 = -2
 -3x2+x3 = 4 ... pers.5
eleminasi x2 pada pers.4 dan pers.5
2x1-x2+5x3 = 0 x3 6x1-3x2+15x3 = 0
-3x2+x3 = 4 x1 -3x2+ x3 = 4 –
6x1+14x3 = -4 ... pers.6
eleminasi x2 pada pers.2 dan pers.4
-x1-x2- 2x3 = 2
2x1-x2+5x3 = 0 –
-3x1-7x3 = 2 ... pers.7
eleminasi x3 pada pers.6 dan pers.7
6x1+14x3 = -4 x1 6x1+14x3 = -4
-3x1-7x3 = 2 x2 -6x1-14x3 = 4 +
0 = 0
Karena cara eleminasi menghasilkan bentuk pada ruas kiri maupun ruas kanan
sama-sama bernilai nol (0), maka SPL di atas memiliki banyak solusi.

4. Aljabar Linier dan Matriks
Prodi Teknik Informatika STKIP PGRI Sumenep
Muhammad Kamarudin, S.Pd.
Catatan :
- Bentuk 0 = 0 atau 0 = k harus berlaku bagi semua persamaan yang tersedia agar dapat
disimpulkan bahwa SPL mempunyai banyak solusi atau tidak mempunyai solusi.
- Menyelesaikan SPL tiga atau lebih variabel dengan cara campuran tentu membutuhkan
langkah yang panjang dan membutuhkan penalaran tingkat tinggi. Pada pertemuan
selanjutnya akan diperkenalkan langkah-langkah penyelesaian yang lebih sistematis dan
logis, diantaranya dengan menggunakan Metode Gauss (Eleminasi Gauss)
LATIHAN
1. Jumlah tiga buah bilangan adalah 75. Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan
lain. Bilangan kedua sama dengan
1
4
dari jumlah bilangan yang lain. Bilangan pertamanya
adalah …
Jawaban : 40
2. Diketahui tiga tahun lalu, umur A sama dengan 2 kali umur B. Sedangkan dua tahun yang
akan datang, 4 kali umur A sama dengan umur B ditambah 36 tahun. Umur A sekarang
adalah … tahun
Jawaban : 9
3. Tentukan tupel dari SPL berikut :
3x + 7y + 2z = 8
4x + 2y – 5z = -19
6y – 4z = 14
Jawaban : (-5,3,1)
4. Tentukan tupel dari SPL berikut :
x2 – x4 + 2x1 – 3x3 = – 4
x2 + 8x4 + 2x1 = – 7
– 3x3 + 2x4 – 4x1 – 2x2 = – 10
– x1 + 4x2 – x3 + 4x4 = – 2
Jawaban : (0,1,2,-1)
5. Tentukan nilai k agar SPL berikut memiliki sebuah solusi :
2x1 + 4x2 – 2x3 = k
– x1 – x2 – x3 = −
5
8
x1 – 2x2 + 4x3 =
7
4
Jawaban : k = 0