Elaborato corso di Costruzioni Metalliche

1. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE
CORSO DI COSTRUZIONI METALLICHE
A.A. 2012 - 2013
CONCETTI DI PROGETTAZIONE DI
STRUTTURE IN ACCIAIO
STUDENTI:
Enrico Beltrami
Nico Di Marco
DOCENTE:
Prof. Ing. Franco Bontempi
ASSISTENTI:
Ing. Francesco Petrini
Ing. Pierluigi Olmati

3. SOMMARIO
1)
Introduzione ....................................................................................................................... 7
2)
Basi di Comportamento Strutturale .................................................................................... 9
2.1)
Concetti di base .............................................................................................................. 9
2.1.1)
Semplicità ed affidabilità strutturali......................................................................... 9
2.1.2)
Comportamenti elementari ..................................................................................... 9
2.1.3)
Percorso dei carichi ................................................................................................12
2.1.4)
Conclusioni ............................................................................................................12
2.2)
Performance strutturali .................................................................................................14
2.2.1)
Stato Limite di Esercizio..........................................................................................14
2.2.2)
Stato Limite Ultimo ................................................................................................16
2.2.3)
Comportamento ciclico ..........................................................................................18
2.3)
3)
Shear Lag .......................................................................................................................20
Ottimizzazione Strutturale .................................................................................................23
3.1)
Ottimizzazione dimensionale (sizing) .............................................................................23
3.2)
Ottimizzazione topologica ..............................................................................................24
3.3)
Ottimizzazione morfologica ...........................................................................................25
3.4)
Introduzione sottostrutture: gli OUTRIGGERS.................................................................25
4)
Concezione Strutturale ......................................................................................................27
4.1)
Strutture interne ............................................................................................................29
4.1.1)
Moment Resistant Frames (MRF) ...........................................................................29
4.1.2)
Concentric Braced Frames (CBF) .............................................................................31
4.1.3)
Eccentric Braced Frames (EBF) ...............................................................................33
4.1.4)
Pareti di taglio ........................................................................................................34
4.1.5)
Sistema ibrido ........................................................................................................34
4.1.6)
Outrigger ...............................................................................................................35
4.2)
Strutture esterne ...........................................................................................................36
4.2.1)
Soluzioni tubolari ...................................................................................................37
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4. 4.2.2)
Traliccio spaziale .................................................................................................... 39
4.2.3)
Super telaio ........................................................................................................... 40
4.2.4)
Esoscheletro .......................................................................................................... 40
5)
Zone Nodali ....................................................................................................................... 41
6)
Teoria della plasticità......................................................................................................... 45
6.1)
Livello di materiale ........................................................................................................ 46
6.2)
Livello di sezione – elemento ......................................................................................... 52
6.2.1)
Elementi semplicemente inflessi: teoria elasto-plastica della trave inflessa ............ 52
6.2.2)
Elementi presso-inflessi ......................................................................................... 59
6.2.3)
Elementi soggetti a flessione e taglio ..................................................................... 62
6.3)
Livello di sistema strutturale .......................................................................................... 63
6.3.1)
Iperstaticità............................................................................................................ 63
6.3.2)
Distribuzione dei carichi ......................................................................................... 63
6.3.3)
Distribuzione delle rigidezze................................................................................... 64
6.3.4)
Ridistribuzione delle energie immesse ................................................................... 64
6.3.5)
Meccanismi di collasso locale e globale .................................................................. 66
6.4)
7)
Comportamento ciclico di una sezione inflessa .............................................................. 66
Analisi plastica ................................................................................................................... 69
7.1)
Metodo incrementale (push-over) ................................................................................. 69
7.2)
Metodo semi-analitico ................................................................................................... 72
7.3)
Analisi limite .................................................................................................................. 75
7.3.1)
Teorema statico ..................................................................................................... 75
7.3.2)
Teorema cinematico .............................................................................................. 77
7.3.3)
Teorema di unicità ................................................................................................. 78
7.3.4)
Spazio delle azioni esterne ..................................................................................... 79
8)
Progettazione in zona sismica ............................................................................................ 81
8.1)
Metodo semplificato di progetto ................................................................................... 82
8.1.1)
Fattore di struttura ................................................................................................ 82
8.1.2)
Gerarchia delle resistenze ...................................................................................... 87
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5. 9)
Instabilità ..........................................................................................................................89
9.1)
Trattazione ....................................................................................................................89
9.1.1)
Formulazione continua...........................................................................................90
9.1.2)
Formulazione energetica ........................................................................................91
9.2)
10)
Interazione tra instabilità e plasticità .............................................................................92
Fatica.................................................................................................................................93
10.1)
Curve di Wöhler e Metodo del serbatoio ....................................................................94
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7. Corso di COSTRUZIONI METALLICHE
Prof. Franco Bontempi
Studenti:
Enrico Beltrami
Nico Di Marco
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8. Pagina | 6

9. 1) INTRODUZIONE
Nel presente lavoro si vogliono affrontare i concetti e alcune problematiche alla base della
progettazione delle strutture in acciaio, riportando inoltre alcuni approfondimenti su argomenti
specifici, talvolta supportati da modellazioni agli elementi finiti. Lo scopo è quello di presentare una
“guida ai concetti”, sintetica ed esaustiva.
Risulta utile far riferimento ad una mappa concettuale che presenta il flusso di lavoro da seguire
nel concepimento e nella successiva progettazione di una struttura in acciaio.
I processi di analisi e di sintesi strutturale sono due processi concettualmente distinti. Mentre
per il primo ci si affida a modelli di calcolo più o meno complessi e si segue un processo lineare,
utilizzando in ogni step successivo i dati ottenuti nello step precedente, il secondo è un processo
iterativo, nel quale entra direttamente in gioco la capacità del progettista di fornire soluzioni
adeguate alle necessità: si parla di ottimizzazione strutturale. Basandosi sulla conoscenza dei
concetti base alla base del comportamento strutturale, il progettista è in grado di prevedere diverse
tipologie di intervento.
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10. A monte di questo lavoro di progressiva ottimizzazione, vi è una fase di concezione strutturale,
che delinea le linee guida all’interno delle quali dovrà muoversi l’intero processo, definendo lo
schema strutturale in grado di sopportare i carichi.
Le due fasi sono comunque fortemente interconnesse, poiché in entrambi i processi si fa
riferimento alle medesime conoscenze ed agli stessi comportamenti elementari alla base del
comportamento di una struttura.
Con riferimento dal digramma di flusso precedentemente riportato, meritano un
approfondimento almeno due tra i blocchi presenti. In particolare con dati del problema strutturale
si intende l’insieme delle informazioni che concorrono nel definire il sistema strutturale e che
risultano indispensabili per affrontare la fase di calcolo.
Per quanto riguarda la modifica della soluzione di tentativo, questa si può esplicare intervenendo sul
complesso dei dati, a livello di dominio strutturale o di condizioni al contorno, ovvero sui limiti di
accettabilità; quest’ultima possibilità comporta un coinvolgimento dell’intero team di lavoro, dagli
architetti ai committenti dell’opera.
In generale, la soluzione del problema strutturale non è detto che esista e, anche quando
esistesse, non necessariamente è unica.
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11. 2) BASI DI COMPORTAMENTO STRUTTURALE
Per affrontare qualunque attività di concezione ed ottimizzazione strutturale è necessario avere
chiari alcuni concetti, derivanti dalla conoscenza degli aspetti strutturali di base, dei comportamenti
e delle performance delle strutture. Tali conoscenze costituiscono la base comune per un corretto
sviluppo delle successive attività di progettazione, nel senso più ampio del termine.
Questo studio viene articolato in due parti, introducendo dapprima i concetti di base e trattando
in seguito le performance strutturali richieste. Si riporta inoltre un comportamento strutturale tipico
degli edifici alti, lo shear lag.
2.1) Concetti di base
Le nozioni sulle quali si vuole porre l’accento sono:
1. Semplicità ed affidabilità strutturali;
2. Comportamenti elementari;
3. Percorso dei carichi.
2.1.1) Semplicità ed affidabilità strutturali
Il concepimento di un sistema strutturale adatto a sopportare i carichi verticali ed orizzontali non
è solitamente un’operazione semplice. Per far ciò ci si può riferire a comportamenti elementari noti e
a schemi di comprovata affidabilità, ovvero prendere spunto dalle forme naturali, evolutesi per
sostenere le medesime azioni. Si parla in quest’ultimo caso di evolutionary optimization.
In questo processo si deve comunque tenere presente che un eccessivo incremento delle parti
strutturali produce una diminuzione dell’affidabilità della struttura stessa. Si dimostra infatti che
all’aumentare del numero degli elementi strutturali, aumenta la probabilità che qualcuna di questi
collassi.
2.1.2) Comportamenti elementari
Si trattano brevemente i diversi tipi di comportamento strutturale coinvolti per resistere ad azioni
orizzontali e verticali, seguendo lo schema logico riportato nel diagramma.
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12. o
Azioni verticali
Il sistema resistente alle azioni verticali raccoglie i carichi agenti e li trasferisce alle strutture di
fondazione. Risultano quindi coinvolti due comportamenti elementari:
Distribuzione
tensioni
Elementi strutturali
coinvolti
1D
2D
Tipo di
comportamento
Funzione
strutturale
FLESSIONALE
raccolta carichi
Travi
ASSIALE
trasferimento
sollecitazioni
Colonne
Cavi o funi
Comportamento
SLE
SLU
Piastre
flessibile
duttile
Lastre
rigido
fragile
Per quanto riguarda il comportamento assiale è necessario distinguere le sollecitazioni di trazione
e di compressione. Nel primo caso è possibile infatti impiegare elementi strutturali quali cavi o funi,
non resistenti a compressione ma di proprietà meccaniche decisamente migliori; nel caso di aste
compresse si deve invece considerare la possibilità di fenomeni di instabilità.
Un esempio pratico permette di evidenziare un ulteriore aspetto. Consideriamo una massa,
vincolata ad un supporto rigido per mezzo di un numero variabile di bielle, sollecitate con sforzi
assiali di trazione o di compressione.
(a) Aste tese
Nel caso (a.1), l’asta, di area A, è sollecitata da uno sforzo di trazione N dovuto al peso proprio
della massa, che induce nell’elemento uno stato di sollecitazione
⁄ . È possibile disporre un
numero maggiore di elementi, in modo da aumentare la robustezza del sistema, ognuno dei quali
potrà avere un’area della sezione trasversale pari ad ⁄ , come mostrato in figura (a.2). Risulta
quindi vantaggioso suddividere la trazione in più elementi, incrementando la robustezza della
struttura.
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13. (b) Aste compresse
Nel caso di assenza di instabilità, le due soluzioni con aste tese o compresse, sarebbero del tutto
identiche; tuttavia quando le aste sono compresse, si deve considerare la possibilità che le aste si
instabilizzino. Consideriamo ancora i due casi, con la massa sostenuta da un unico elemento di area A
o da tre aste ognuna di area ⁄ , e calcoliamo il momento d’inerzia di ogni asta ed il relativo carico
critico. Le grandezze calcolate sono riferite al singolo elemento compresso.
carico critico euleriano
Schema
(b.1) – 1 elemento
(b.2) – 3 elementi
Area elemento
Momento
d’inerzia
(
Carico critico euleriano
(
)
( )
(
)
( )
[
)
[
]
]
Nel caso di compressione è quindi nocivo suddividere l’elemento in più parti, poiché elementi più
piccoli sono caratterizzati da un carico critico nettamente minore (funzione del cubo del lato). Si
cerca quindi di convogliare la compressione in pochi elementi di dimensioni maggiori.
o
Azioni orizzontali
Il comportamento di una struttura sotto carichi orizzontali può essere di tipo flessionale o
tagliante. Nel primo caso il comportamento della struttura è quello di una mensola incastrata alla
base, nella quale vale la teoria di Bernoulli-Navier e si ipotizza che le sezioni ruotino restando piane.
Nel secondo caso invece non sono trascurabili gli scorrimenti dovuti al taglio (teoria della trave di
Timoshenko), le sezioni restano rettilinee, ma non più perpendicolari alla linea d’asse; il
comportamento è quello di un telaio shear-type.
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14. I due comportamenti presentati rappresentano le due situazioni estreme di edifici con
comportamento flessionale puro e comportamento tagliante puro. In questi casi si osserva che:
comportamento flessionale puro
più flessibile in testa
più rigido alla base
comportamento tagliante puro
più rigido in testa
più flessibile alla base
È possibile accoppiare i due comportamenti, pervenendo ad uno schema ibrido in cui si sfrutti la
rigidezza del comportamento flessionale ai piani bassi e la rigidezza del comportamento tagliante ai
piani alti. Si presenterà questa possibilità in seguito, parlando di sistemi ibridi.
2.1.3) Percorso dei carichi
Il percorso dei carichi all’interno di una struttura può essere di vario tipo, coinvolgendo diversi
elementi strutturali. Una regola generale suggerisce di limitare tale percorso, rendendo più
immediata e diretta possibile la trasmissione del carico alle strutture di fondazione.
2.1.4) Conclusioni
Quelli presentati sono i concetti fondamentali di cui tener conto nel processo di progettazione di
una struttura, in particolare di una struttura in acciaio. Tali requisiti posso tuttavia condurre ad
esigenze di progettazione tra di loro contrastanti: è quindi necessario valutare il caso in esame
pesando ogni esigenza in funzione degli scopi cui si intende pervenire. Alla pagina seguente si
propone un esempio.
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15. Esempio
Consideriamo due possibili schemi strutturali per sopportare i carichi verticali:


Schema (a): carichi raccolti da elementi orizzontali inflessi e trasferiti a terra direttamente
mediante elementi verticali compressi;
Schema (b): carichi raccolti da elementi orizzontali inflessi, trasferiti ad elementi verticali
tesi e, attraverso una struttura a traliccio, trasmessi ad un nucleo centrale compresso.
Analizzando il comportamento delle due strutture mediante i criteri precedentemente illustrati
possiamo delineare vantaggi e svantaggi di entrambe:
Schema
Vantaggi
Svantaggi
Percorso dei carichi più breve
(a)
(b)
Instabilità membrature compresse
Semplicità strutturale 
 affidabilità
Elementi tesi: assenza instabilità
 elementi più snelli
 suddivisione della sollecitazione in più parti
Elementi compressi:
 concentrazione compressione
Percorso dei carichi più lungo
Struttura complessa
 minore affidabilità
Maggiore sensibilità al danneggiamento
 propagazione del collasso
Si è accennato alla sensibilità al danneggiamento nelle strutture con schema di tipo (b). Ciò deriva
dal fatto che, nel caso di collasso di un elemento verticale teso, in particolare se di bordo, la parte di
struttura al di sotto di esso perde la sospensione e il collasso si propaga. Questo comportamento può
essere corretto posizionando diversi outrigger, che permettono di suddividere adeguatamente la
struttura.
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16. 2.2) Performance strutturali
Nelle fasi di concezione e sintesi strutturale si devono considerare i requisiti che si intende
soddisfare.
Consideriamo una generica struttura soggetta ad una forza orizzontale H in sommità e misuriamo
lo spostamento  in testa. Possiamo tracciare su un piano ,H una curva che rappresenti il
comportamento della struttura.
I requisiti legati al comportamento in esercizio e al comportamento ultimo dell’opera sono
differenti e saranno affrontati separatamente.
2.2.1) Stato Limite di Esercizio
Nello Stato Limite di Esercizio il requisito principale è quello di garantire una buona rigidezza della
struttura al fine di assicurare un adeguato confort agli utenti. Quest’obiettivo può essere raggiunto
controllando i diversi parametri riportati nel diagramma seguente.
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17. o
Spostamenti: indipendentemente dalla tipologia, per ottenere una rigidezza adeguata occorre
limitare gli spostamenti;
spostamenti   rigidezza 
o
Frequenze: la rigidezza della struttura o di una sua parte possono essere controllate
monitorando una caratteristica dinamica come la frequenza di vibrazione (o il suo inverso, il
periodo proprio di vibrazione
⁄ ); in particolare per garantire una rigidezza adeguata
occorre che la frequenza sia elevata;
frequenza   rigidezza 
o
Tensioni: modo indiretto per assicurare una adeguata rigidezza è quello di limitare lo stato
tensionale nelle membrature e negli orizzontamenti; difatti:
tensioni   deformazioni   spostamenti   rigidezza 
Si nota come il controllo delle frequenze sia uno strumento più potente e versatile, poiché
permette di superare problemi specifici ed ambiguità che potrebbero presentarsi controllando
direttamente gli spostamenti ed è più affidabile del controllo indiretto delle tensioni. La frequenza
propria di vibrazione è determinata effettuando un’analisi modale, ovvero risolvendo un problema
agli autovalori.
Una volta individuato il parametro dimensionante nelle condizioni di esercizio, ci si pone il
problema di come raggiungere tale obiettivo. Ricordando che la rigidezza assiale è maggiore della
rigidezza flessionale, si cerca di coinvolgere elementi che siano sollecitati da azioni di compressione o
trazione introducendo elementi diagonali nei telai.
L’introduzione di elementi diagonali permette di ancorare direttamente il nodo ad un vincolo
esterno, individuando un sistema reticolare nel quale il comportamento meccanico coinvolto è di
tipo assiale (concetto di triangolazione).
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18. Introducendo due diagonali, si deve considerare la possibilità che quello compresso sia soggetto
ad instabilità. Se i diagonali sono dimensionati in modo da resistere anche alle sollecitazioni di
compressione si può ulteriormente ridurre lo spostamento f, realizzando una doppia triangolazione.
Maglie triangolari possono essere individuate con diverse disposizioni degli elementi diagonali.
2.2.2) Stato Limite Ultimo
Nelle condizioni ultime i requisiti da tenere in considerazione sono molteplici:
Si trascura in questa sede il primo punto.
o
Instabilità
Il fenomeno dell’instabilità, per quanto riguardi condizioni ultime, è determinata da grandezze
proprie del comportamento in esercizio (rigidezza flessionale membrature) e non da caratteristiche
ultime come la resistenza del materiale.
Dalla definizione del carico critico euleriano si evince come la stabilità della struttura sia
direttamente proporzionale alla rigidezza della stessa, sia in termini di rigidezza della membratura,
sia in funzione delle condizioni di vincolo
(attraverso la lunghezza libera di inflessione).
Si conclude quindi che più la struttura è
rigida o è rigidamente vincolata, più il carico
critico è alto e la struttura è stabile.
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19. o
Duttilità
Con il termine duttilità si indica la capacità di un corpo di deformarsi plasticamente prima di
arrivare a rottura. Le proprietà duttili del materiale possono essere studiate e definite in campo
statico o in termini ciclici; per la trattazione del comportamento ciclico si rimanda ad un successivo
paragrafo.
In campo statico, ovvero fin tanto che la forza applicata cresce in modo monotono, si possono
fornire diverse definizioni di duttilità. In particolare la si definisce in termini cinematici ed energetici
con riferimento al comportamento di un elemento teso.
(a) Considerazioni CINEMATICHE
La duttilità è definita in questo caso come il rapporto tra lo
spostamento ultimo e quello relativo alla fine del tratto elastico.
Nel caso in cui nella curva forza-spostamento non sia facilmente
individuabile la fine del ramo elastico, si procede ad
un’approssimazione della curva stessa con una bilatera.
(b) Considerazioni ENERGETICHE
Facendo riferimento a criteri energetici, si può definire la duttilità come il rapporto tra il lavoro
necessario ad arrivare fino a rottura e il lavoro elastico (ovvero l’energia elastica immagazzinata).
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20. La duttilità, a differenza dell’instabilità, risulta avere una correlazione negativa con la rigidezza.
Difatti più la struttura è rigida meno è duttile, ovvero il lavoro che devo spendere per portarla a
collasso è più basso.
Quindi, riassumendo:
instabilità
k   Pcr 
duttilità
k    
2.2.3) Comportamento ciclico
Consideriamo ora il medesimo schema di trave appoggiata, soggetta questa volta ad una forza o
ad uno spostamento ciclici.
Il comportamento ciclico è definito da due aspetti: il profilo della risposta strutturale (skyline) e la
modalità di scarico.
o
Profilo della risposta strutturale
Il profilo è ottenuto sottoponendo il sistema ad un carico monotono crescente, positivo o
negativo. Nel caso dell’acciaio si possono considerare profili di tipo elastico perfettamente plastico o
elasto-plastico incrudente. Mentre la pendenza del ramo elastico è definita dal modulo elastico E,
l’eventuale incrudimento assume valori
.
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21. o
Modalità di scarico
Nei materiali metallici, ed in particolare per l’acciaio, si assume che il ramo che si percorre nella
fase di scarico sia caratterizzato da una pendenza pari a quella del materiale vergine (E).
Si possono individuare due modelli di comportamento:
(a) Incrudimento di tipo CINEMATICO: la distanza tra i punti di snervamento in direzioni di
carico opposte rimane costante; si segue quindi un comportamento di carico e scarico
sempre con pendenza E all’interno del range definito da
. Questo modello simula con
sufficiente approssimazione il comportamento degli acciai ed in particolare coglie bene
l’effetto Bauschinger.
(b) Incrudimento di tipo ISOTROPO: modello appropriato per gli acciai ad alta resistenza,
lavorati a freddo (trafilati), prevede un incremento delle caratteristiche meccaniche del
materiale di ciclo in ciclo. Limitandoci al tratto di ciclo riportato in figura (b.1), si osserva
che lo snervamento a compressione è raggiunto per il valore di tensione massimo
raggiunto nella direzione di carico opposta. Gli acciai il cui comportamento è descritto da
questo modello generalmente sopportano un numero minore di cicli.
Per entrambi i casi perde di significato la definizione cinematica di duttilità, poiché non è possibile
individuare spostamenti ultimi, mentre resta sempre valida la definizione energetica, legata all’area
compresa nel ciclo.
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22. 2.3) Shear Lag
Nello studio delle strutture si fa sovente riferimento a modelli semplificati per interpretare e
descrivere il comportamento strutturale, tanto a livello di elemento (locale) che a livello di struttura
(globale). Uno dei modelli più semplici e potenti è quello di considerare, in un elemento inflesso, che
una generica sezione ruoti restando piana e perpendicolare all’asse dell’elemento. Tale ipotesi può
essere applicata anche ad un’intera struttura, a patto però che tale sezione piana sia materializzata
mediante l’inserimento di outrigger, dei quali si dirà in seguito. Diversamente infatti, tale ipotesi non
risulta soddisfatta.
Consideriamo una struttura soggetta ad un’azione orizzontale che viene sopportata da più
colonne che lavorano in parallelo. Tra queste le colonne di spigolo, essendo le più rigide, assorbono
una aliquota di carico maggiore: la deformazione risulta esaltata nelle colonne di spigolo e l’ipotesi si
sezione che ruota restando piana decade. Questo fenomeno, che tiene conto della deformabilità
delle sezioni trasversali, è noto come shear lag.
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23. Possiamo spiegare questo comportamento con riferimento ad una trave a doppio T incastrata ad
un estremo e sollecitata con forze concentrate all’altro estremo come in figura. Si considera un
profilo sottile, per il quale la generica sezione non ruota restando piana.
Si nota come i punti in cui sono applicate le forze concentrate risentono maggiormente del carico,
mentre il punto centrale subisce uno spostamento minore: la deformazione non risulta costante sullo
spessore (in figura è rappresentata mediante una spezzata, a rigore l’andamento sarebbe continuo).
Il trasferimento del carico alle fibre interne avviene per taglio (da cui la definizione shear); tali
fibre, come detto, ne risentono con un certo ritardo (lag).
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24. Pagina | 22

25. 3) OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
Il processo di progettazione di una struttura o di un oggetto è un insieme di operazioni che
collegano la fase di concezione a quella di realizzazione del prodotto. In questa fase assumo rilevanza
i processi di ottimizzazione, che consentono la ricerca della migliore configurazione, tra una serie di
configurazioni ammissibili, in funzione delle esigenze progettuali.
Si possono individuare diversi livelli di ottimizzazione, propri di diverse fasi o di diverse esigenze
progettuali. Inoltre devono essere presi in considerazione gli aspetti relativi ai costi di realizzazione,
ovvero ai profitti, che spesso possono condizionare ed indirizzare le scelte progettuali. Nella
definizione dell’obiettivo del processo di ottimizzazione di devono quindi contemplare le seguenti
proprietà strutturali:



Economicità: costo dei materiali, costo di fabbricazione, costo di manutenzione e utilizzo;
Proprietà meccaniche: globali e locali;
Esigenze estetiche.
3.1) Ottimizzazione dimensionale (sizing)
L’ottimizzazione dimensionale consiste nella determinazione delle sezioni ottimali delle
membrature, una volta che siano state individuate configurazione, forma, condizioni di carico e di
vincolo della struttura.
Si prenda ad esempio il dimensionamento di una delle colonne di un edificio in acciaio. L’obiettivo
è quello di realizzare un elemento in grado di assicurare una adeguata resistenza nei confronti delle
sollecitazioni cui è sottoposto, senza però porre in opera materiale in eccesso. Tale fine è raggiunto
rastremando la sezione della colonna, impiegando profili più grandi in basso, dove le sollecitazioni
sono maggiori, e profili più snelli ai piani alti, dove la colonna è meno sollecitata. Idealizzando tale
concetto si potrebbe pensare ad una colonna che assicuri in ogni sezione solamente la quantità di
materiale strettamente necessario. Tuttavia le colonne sono realizzate impiegando profili
commerciali, ed ad ogni cambiamento di sezione corrisponde la realizzazione di una unione.
Minimizzando il costo relativo al materiale si incrementa il costo relativo alla realizzazione delle
giunzioni, che presentano un onere non trascurabile. Rappresentando tali funzioni su un medesimo
piano cartesiano, si può determinare una funzione somma Costo Totale, sulla quale individuare il
punto di minimo, che consente di ottimizzare il dimensionamento.
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26. La struttura conserva quindi una topologia fissata, ovvero i percorsi dei carichi rimangono i
medesimi, indipendentemente dalle dimensioni degli elementi.
3.2) Ottimizzazione topologica
Per ottimizzazione topologica si intende un processo che consente, una volta definiti dominio
strutturale, condizioni di carico e condizioni di vincolo, di determinare il grado di connessione e la
configurazione strutturale. Per definire il grado di connessione (o grado di ottimizzazione topologica)
ci si riferisce al concetto di classe topologica: una classe topologica è detta n-volte connessa se si
rendono necessari n-1 tagli per continuare a collegare due punti dello stesso dominio, trasformando
un dato dominio molteplicemente connesso in un altro semplicemente connesso.
Classe topologica
Dominio e tagli
Grado di connessione
Dominio
semplicemente
connesso
1
Dominio
doppiamente
connesso
2
Dominio tre volte
connesso
3
Avendo definito il grado di connessione come la capacità di unire due punti di un dominio
seguendo percorsi diversi (ovvero la possibilità di unire due punti del dominio a seguito di un certo
numero di tagli), risulta intuitivo giungere alla conclusione che l’ottimizzazione topologica, applicata
ad una struttura, modifica il percorso dei carichi. Nel processo di ottimizzazione topologica si
inseriscono e si eliminano elementi, cambiando le connessioni tra varie parti della struttura, in modo
che il carico possa fluire seguendo percorsi differenti.
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27. 3.3) Ottimizzazione morfologica
Quest’ultimo livello di ottimizzazione riguarda la forma dell’oggetto ed è il più generale tra i livelli
di ottimizzazione finora presentati e li coinvolge entrambi. L’ottimizzazione morfologica consente
infatti di intervenire sulla disposizione degli elementi e sullo spessore degli stessi (rispettivamente
ottimozzazione topologica e sizing).
3.4) Introduzione sottostrutture: gli OUTRIGGERS
Il problema della scelta dello schema resistente i carichi è affrontato nel capitolo relativo alla
concezione strutturale; si vuole fornire in questo paragrafo un esempio di ottimizzazione del
comportamento strutturale. A tal fine in alcuni casi può risultare conveniente introdurre
sottostrutture, come nel caso degli ouriggers, ovvero lame di controvento orizzontali che ripristinano
la planarità della sezione. In questa sede si vuole presentare la ricerca della posizione ottimale di tali
sottostrutture al fine di limitare lo spostamento della struttura in sommità.
Si considera un generico edificio alto in acciaio (50 piani) e si sceglie inizialmente di posizionare un
unico outrigger. Si nota come l’effetto di questa sottostruttura dipenda dalla posizione di
inserimento dalla stessa; in particolare l’efficienza maggiore è raggiunta posizionando l’outrigger
intorno al 32° piano. Non sembra invece essere conveniente introdurre un secondo outrigger,
almeno nella configurazione presentata. Infatti, a fronte di un raddoppio dei costi, si ottiene una
modesta diminuzione dello spostamento in sommità della struttura.
Pagina | 25

28. Pagina | 26

29. 4) CONCEZIONE STRUTTURALE
Per la trattazione degli aspetti relativi alla concezione del sistema resistente i carichi si segue la
classificazione presentata nell’articolo “Structural Developments in Tall Buildings: Current Trends and
Future Prospects” (Mir M. Ali e Kyoung Sun Moon). La scelta di uno schema strutturale dipende da
molteplici fattori, dalle esigenze architettoniche e ingegneristiche a quelle economiche; si ritiene
pertanto conveniente presentare e commentare le diverse soluzioni adottabili.
A partire dalla fine del 1800 lo sviluppo economico ed industriale ha portato all’edificazione di
edifici adibiti ad uso uffici. L’impiego dell’acciaio in campo strutturale ha peraltro permesso di
realizzare edifici alti minimizzando le dimensioni delle membrature e garantendo pertanto ampi spazi
interni. Nella maggior parte delle strutture in questo periodo sono impiegati sistemi di telai rigidi con
controventature. Per assistere all’introduzione di innovazioni tecnologiche che permettano
un’ottimizzazione del materiale strutturale impiegato e il raggiungimento di altezze più elevate, si
deve aspettare la seconda metà del 1900, quando, sotto la spinta di un nuovo sviluppo economico e
tecnologico, si introducono innovazioni quali l’inserimento di sottostrutture orizzontali (outriggers),
forme tubolari resistenti ai carichi, strutture artificialmente smorzate o miste acciaio-calcestruzzo. La
maggiore conoscenza della meccanica dei materiali e del comportamento delle membrature e il
progressivo affermarsi del calcolo automatico, hanno permesso di sviluppare un approccio globale
all’analisi strutturale, con simulazioni tridimensionali piuttosto che lo studio di sistemi piani.
Negli edifici multipiano, il parametro che controlla il progetto è solitamente l’azione laterale del
vento; ciò dipende dal fatto che quando l’altezza della struttura supera i dieci piani lo spostamento
laterale diventa importante e la rigidezza, più che la resistenza, assume carattere vincolante.
L’ingegnere bengalese Fazlur Khan dimostrò che aumentare l’altezza della struttura produce un
aumento di materiale impiegato per resistere ai carichi orizzontali maggiore rispetto all’incremento
di materiale necessario per sopportare i carichi verticali. Egli chiamò la differenza tra queste due
quantità di materiale “structural height premium” ed osservò come tale scarto fosse differente per
ogni altezza prevista per l’edificio.
Pagina | 27

30. Lo stesso Khan riconobbe quindi la necessità di sviluppare schemi strutturali adeguati a soddisfare
i requisiti propri di ogni range di altezza raggiunta; nel 1969 classificò quindi i sistemi strutturali di
edifici alti in funzione della loro altezza e con riferimento alla loro efficienza. Si riporta un grafico
relativo alle strutture in acciaio.
I sistemi strutturali possono essere suddivisi in base alla distribuzione dei componenti del sistema
resistente primario ai carichi orizzontali. In quest’ottica si distinguono strutture interne, nella quali la
maggior parte del sistema resistente è posizionata all’interno della struttura, e strutture esterne,
nella quali il sistema resistente è dislocato lungo il perimetro dell’edificio o addirittura all’esterno
della struttura.
Pagina | 28

31. 4.1) Strutture interne
4.1.1) Moment Resistant Frames (MRF)
Sono i telai con comportamento flessionale, nei quali travi e colonne
sono rigidamente collegate tra di loro, in modo da ripristinare la continuità
flessionale. Difatti resistono alla azioni orizzontali principalmente mediante
la rigidezza flessionale delle membrature.
Pagina | 29

32. Consideriamo una mensola, la cui deformabilità sia tutta concentrata in un concio prossimo
all’incastro, mentre il resto sia rigido. Si nota come gli spostamenti dovuti ad una deformazione
flessionale del concio si esaltino al crescere della distanza dal concio stesso. Si deduce che il
comportamento flessionale non sia particolarmente rigido.
Le membrature soggette a flessione, a fronte di una scarsa rigidezza, offrono una buona duttilità,
sia in termini monotoni che ciclici. Ciò dipende tuttavia dalle caratteristiche di duttilità della sezione
degli elementi. Possiamo classificare le sezioni delle membrature in acciaio in quattro classi, in
funzione della zona in cui queste collassano (presentando una brusca caduta di resistenza in un piano
momento-curvatura normalizzati).
Classe I
duttile
Classe II
duttile, impiegabile con limitazioni
Classe III
non duttili
Classe IV
non duttili, neanche in campo statico
Pagina | 30

33. I telai con comportamento flessionale presentano quindi:
MRF
rigidezza K
(SLE)
Duttilità 
(SLU)


4.1.2) Concentric Braced Frames (CBF)
L’introduzione di controventi concentrici e nodi che non trasferiscano
momento flettente permette di realizzare strutture reticolari che resistono
ai carichi laterali principalmente attraverso la rigidezza assiale delle
membrature.
Considerando la medesima mensola soggetta ad un’azione assiale, vediamo come lo spostamento
della parte rigida sia uguale alla deformazione del concio. A parità di carico P, coinvolgendo un
comportamento assiale si ottengono spostamenti ridotti rispetto al caso flessionale;
conseguentemente la rigidezza assiale risulta essere maggiore.
Per quanto riguarda il comportamento ultimo, è necessario distinguere una sollecitazione assiale
monotona crescente da una storia di carico ciclica (propria peraltro di un elemento diagonale in un
sistema CBF). Mentre nel primo caso il materiale assicura un comportamento duttile, nel secondo si
ha un rapido deterioramento dello stesso.
Per studiare il comportamento ciclico del materiale si considera un elemento soggetto ad una
prova sperimentale a controllo di spostamenti assiali. Si riportano la storia di spostamenti imposta al
sistema e si rappresentano i valori delle forze assiali misurate. I risultati sono riportati su un piano
Forza – Spostamento.
Pagina | 31

34. tratto OA
A
tratto AB
B
tratto BC
C
tratto CD
D
tratto DE
E
tratto EF
F
Comportamento elastico lineare
Snervamento del materiale
Comportamento plastico perfetto: scorrimento a forza costante
Termina la fase di carico, inizia lo scarico
Scarico, stessa pendenza del ramo di carico, recupero la deformazione elastica
Forza nulla, spostamento plastico residuo (allungamento)
Compressione nell’asta, ma spostamenti ancora positivi
Si è riportata l’asta alla sua configurazione iniziale; stato caratterizzato da tensioni di
compressione non nulle per via dell’allungamento plastico subito nella fase di trazione
Compressione, parte elastica
Insorgono fenomeni di instabilità
Asta instabilizzata, formazione di una cerniera plastica (kink)
Termina la fase di compressione, si ricomincia a allungare l’asta

Tratto F 

Seguo un percorso rettilineo con pendenza minore rispetto al ramo elastico iniziale, la
rigidezza è minore;
Per la presenza della cerniera plastica precedentemente formatasi non si ha più una
distribuzione uniforme di sforzi: anche la soglia in corrispondenza della quale entro
nuovamente in campo plastico è più bassa, la resistenza è minore.
Se rappresentiamo un certo numero di cicli notiamo come
questa combinazione tra plasticità ed instabilità conduca
rapidamente ad una notevole perdita di rigidezza e resistenza
del sistema.
Quando è coinvolto Il comportamento assiale delle membrature, il sistema strutturale presenta
quindi le caratteristiche:
CBF
rigidezza K
(SLE)
Duttilità 
(SLU)


Pagina | 32

35. o
Soluzioni progettuali
Possibili soluzioni progettuali per di ovviare al problema dell’instabilità dei diagonali (ovvero al degrado che
ne consegue) possono essere:


Aumento sezione dei diagonali;
Contenimento dell’instabilità.
È senz’altro possibile aumentare la dimensione dei controventi in modo che questi non si instabilizzino
affatto. Tuttavia, in questo modo tali membrature rimarrebbero in campo elastico, alterando il comportamento
della struttura in quanto provvedendo alla dissipazione di energia. Ciò si riflette inoltre in una diminuzione del
fattore di struttura e quindi in un aumento dell’azione sismica.
Viceversa, è possibile contenere l’instabilità dei diagonali all’interno di una camicia, nella quale si possano
formare tanti ondeggiamenti, cui corrisponde un incremento del carico critico euleriano. Confinando
l’instabilità si riesce ad avere un comportamento abbastanza duttile, evitando inoltre la formazione di
plasticizzazioni localizzate (kink).
4.1.3) Eccentric Braced Frames (EBF)
Posizionando un diagonale eccentrico che insista sul traverso e non
direttamente sul nodo, si possono cogliere i benefici di entrambi i sistemi
MRF e CBF, realizzando una struttura reticolare imperfetta, che introduca
perturbazioni flessionali che migliorano il comportamento ciclico del
telaio.


Comportamento in campo lineare (SLE) molto simile a quello
delle strutture reticolari, assicura una buona rigidezza;
Concentrazione negli elementi di tipo link del comportamento duttile sotto carico ciclico
(SLU), concentrando le plasticizzazioni e lasciando il resto della struttura in campo elastico
lineare.
In funzione dei rapporti geometrici tra altezza e lunghezza dell’elemento e degli spessori di anima
e piattabande della trave, si possono distinguere elementi caratterizzati da due diversi
comportamenti:
(a) Link flessionali o link lunghi: l’elemento è sottoposto ad un regime tensionale flessionale,
il comportamento legato al momento è preponderante;
(b) Link taglianti o link corti: elemento tozzo, il regime tensionale preponderante è quello
tagliante.
Pagina | 33

36. Possiamo calibrare i momenti secondari che si sviluppano in modo da ottenere una buona
duttilità regolando l’inclinazione del diagonale, ovvero la lunghezza dell’elemento link. L’introduzione
di questo sistema consente di assorbire in modo proficuo le azioni cicliche (strutture in zona sismica)
e consente una agevole manutenzione.
EBF
rigidezza K
(SLE)
Duttilità 
(SLU)


4.1.4) Pareti di taglio
Sono pareti in calcestruzzo armato e possono essere trattate come mensole incastrate alla base.
Nel caso in cui sia necessario conferire una rigidezza notevole si può ricorrere ad un sistema
costituito da due o più pareti accoppiate: in questo caso la rigidezza del sistema supera la rigidezza
delle singola pareti. Questi elementi strutturali sono dislocati nel nucleo centrale dell’edificio.
4.1.5) Sistema ibrido
Si può pensare ad un sistema ibrido che consenta di sfruttare i punti di forza di pareti di taglio (o
analoghi tralicci) da un lato e dei sistemi intelaiati (MRF) dall’altro. Difatti la seconda soluzione non
risulta efficiente oltre i 30 piani poiché la componente della deformazione a taglio dovuta alla
flessione di travi e colonne implica una eccessiva deformazione della struttura; viceversa le pareti a
taglio assicurano una rigidezza adeguata in questo range di altezze. Quando i due sistemi sono
collegati mediante orizzontamenti rigidi, i due componenti sono obbligati ad assumere la medesima
deformata: ne risulta che nella parte superiore il nucleo centrale è sostenuto dai telai, mentre nella
parte inferiore dell’edificio è la parete di taglio a trattenere il sistema intelaiato, come mostrato in
figura.
Pagina | 34

37. 4.1.6) Outrigger
Nelle strutture con sistema resistente ai carichi orizzontali localizzato nel nucleo centrale, questo
si comporta come una mensola incastrata a terra; il resto della struttura risulta trascinato dal nucleo.
Inoltre, per grandi altezze, la resistenza a flessione del nucleo risulta essere inefficiente. La soluzione
risiede nel coinvolgere anche le colonne più esterne nel sistema resistente, introducendo strutture
reticolari disposte orizzontalmente: gli outriggers.
Il comportamento di una struttura con nucleo resistente interno ed outrigger, è analogo al
sistema di albero, crocette e sartie che permettono ad una imbarcazione a vela di sopportare l’azione
del vento sulle vele.
Pagina | 35

38. L’introduzione di questi elementi consente inoltre di:





Ripristinare l’ipotesi di sezione che ruota restando piana: l’intera struttura si comporta
come un’unica mensola;
Coinvolgere le colonne più esterne, che offrono un braccio maggiore nei confronti del
momento ribaltante;
Il sistema di telai perimetrali non necessita di connessioni rigide;
Evitare picchi di sollecitazione nei punti più esterni (vedi shear lag);
Pregio estetico.
4.2) Strutture esterne
Pagina | 36

39. 4.2.1) Soluzioni tubolari
Una soluzione tubolare sfrutta un sistema strutturale tridimensionale che impegna l’intero
perimetro dell’edificio per resistere alle azioni orizzontali. Questo tipo di schemi resistenti
permettono di sfruttare esplicitamente per la prima volta la risposta tridimensionale delle strutture.
Una scelta di questo tipo condiziona fortemente l’estetica della facciata, poiché implica il
posizionamento, a seconda della tipologia, di elementi diagonali, nodi resistenti a momento, colonne
molto vicine tra loro.
Le forme tubolari possono essere di diversi tipi in funzione dell’efficacia strutturale che possono
fornire per le diverse altezze, come rappresentato nella figura precedentemente riportata.
(a) Sistema tubolare intelaiato
Prevede il dimensionamento di telai a nodi rigidi sull’intero perimetro della struttura. Ciò
comporta un notevole vincolo architettonico sulla facciata, poiché inevitabilmente si perviene a
colonne tra loro vicine e travi alte, e l’insorgere del fenomeno dello shear lag.
(b) Sistema tubolare controventato
Per garantire una adeguata rigidezza si può far ricorso ad elementi sollecitati assialmente,
disponendo controventi diagonali. Questa soluzione porta quindi i seguenti benefici:




Irrigidimento dei telai nel loro piano;
I diagonali possono essere impiegati non solo come sistema di stabilizzazione per la azioni
orizzontali, bensì possono comportarsi anche come colonne inclinate, raccogliendo i
carichi verticali dagli orizzontamenti;
Eliminazione degli effetti del fenomeno dello shear lag;
Possibilità di spaziare maggiormente le colonne e ridurre le sezioni delle travi e delle
colonne stesse.
Si è individuata una inclinazione ottimale dei diagonali di
approssimativamente 45°.
Questa soluzione è stata sviluppata per il John Hancock
Center di Chicago dall’ingegnere Fazlur Khan, e successivamente
adottata in altre strutture. Khan dimostrò che in questo modo
era possibile raggiungere un comportamento a mensola puro
per tutta la struttura; diversamente, nel caso di un sistema
tubolare intelaiato, solo il 30% dello spostamento orizzontale
totale sarebbe stato attribuibile a questo comportamento,
mentre il restante 70% sarebbe stato dovuto ad un
comportamento a telaio. Il sistema intelaiato inoltre avrebbe
sviluppato del fenomeno dello shear lag, mentre il sistema
controventato permette di ridistribuire gli sforzi dovuti ad azioni
Pagina | 37

40. verticali ed orizzontali attraverso i diagonali, consentendo
alla struttura di rispondere in modo unico.
Come accennato, i diagonali provvedono ad una
ridistribuzione dei carichi gravitazionali. Fazlur Khan
dimostrò che il sistema di controventamento del John
Hancock consente ai carichi verticali di diffondersi tra le
colonne, seguendo percorsi diversi rispetto ad un sistema
intelaiato, nel quale il percorso dei carichi verticali è
prevalentemente verticale. In figura si nota come,
caricando direttamente anche solo due delle cinque
colonne, alla base risultino tutte ugualmente sollecitate.
Si nota inoltre come questa configurazione permetta di realizzare una migliore triangolazione di
più nodi direttamente a terra, con percorsi di carico per le forze orizzontali conseguentemente più
diretti.
(c) Sistema tubolare in fascio
Sistema costituito da una serie di tubi indipendenti collegati
insieme in modo da formare una singola entità. Una sezione
pluricellulare consente una migliore distribuzione delle
rigidezze, riducendo e frazionando il fenomeno dello shear lag.
Ciò consente di:


Raggiungere altezze maggiori;
Colonne perimetrali più spaziate tra loro
consentono di disporre le linee dei telai interni (di
bordo per ogni tubo) senza compromettere
l’utilizzabilità degli spazi;
Questa soluzione consente inoltre di realizzare architetture
innovative, come nel caso della Sears Tower a Chicago.
Osservando il diagramma delle tensioni su una sezione alla
base dell’edificio riportata di lato e replicata alla pagina
seguente, si osserva come l’introduzione del fascio di tubi
consenta di avvicinare l’andamento reale delle tensioni a
quello ideale di una sezione che ruoti restando piana.
Pagina | 38

41. (d) Sistema tubolare “tube in tube”
Basato sulla soluzione di un sistema tubolare intelaiato, prevede una collaborazione con il nucleo
centrale per resistere alle azioni orizzontali. Le azioni sono trasferite dal tubo esterno al nucleo
centrale mediante gli orizzontamenti. Questa soluzione consente inoltre una migliore difesa nei
confronti di attacchi terroristici alla struttura, come l’impatto di un aeromobile.
(e) Sistema tubolare “DIAGRID”
Consente di portare i carichi sia verticali che orizzontali
sfruttando una configurazione triangolare diagonale, distribuita
in modo uniforme su tutta la struttura: le colonne verticali di
facciata sono eliminate. Questa soluzione presenta un ulteriore
miglioramento rispetto all’introduzione di outrigger in quanto
consente di aumentare, oltre che la rigidezza flessionale, anche la
rigidezza a taglio. Tale obiettivo è raggiunto poiché il taglio è
portato attraverso azione assiale nei diagonali.
È la soluzione adottata nella St. Mary
Axe di Londra.
4.2.2) Traliccio spaziale
Soluzione che consiste in un sistema tubolare controventato modificato con
diagonali che connettono la facciata con l’interno della struttura. Nel caso della
Bank of China Tower di Hong Kong, questo sistema è realizzato disponendo
strutture tubolari controventate di forma triangolare, convergenti in un’unica
colonna centrale.
Pagina | 39

42. 4.2.3) Super telaio
Sistema composto da megacolonne costituite da telai,
eventualmente controventati, di grandi dimensioni disposti ai vertici
dell’edificio, connessi da tralicci orizzontali multipiano ogni 15-20
piani. È il caso del Parque Central Complex Towers di Caracas.
4.2.4) Esoscheletro
Il sistema resistente ai carichi
orizzontali può essere infine dislocato
fuori dal perimetro dell’edificio,
esternamente alle facciate, realizzando
particolari architetture. Ne sono esempi
l’Hotel de las Artes di Barcellona e l’O-14
building di Dubai
Pagina | 40

43. 5) ZONE NODALI
Quando si pensa alle zone nodali di una struttura in acciaio, si fa generalmente riferimento alle
due condizioni di vincolo di cerniera o di incastro. Tali condizioni rappresentano però situazioni
estreme, cui raramente è possibile o è lecito ricorrere: in generale tutte le condizioni di vincolo
possono essere considerate intermedie.
Rappresentiamo una trave inflessa ed evidenziamo la dipendenza dell’andamento di spostamenti
e sollecitazioni flettenti in funzione delle condizioni di vincolo.
Nel caso di cerniera ideale la trave agli estremi è libera di ruotare ed il vincolo non offre nessun
ritegno flessionale. Nel caso di trave incastrata invece la sezione terminale della trave è vincolata a
rimanere verticale; ciò incrementa notevolmente la rigidezza del sistema strutturale.
Queste condizioni, come detto, sono da considerarsi estreme. In generale ogni configurazione di
vincolo fornisce una coppia di ritegno, che modifica la distribuzione dei momenti lungo l’asse della
trave. Tale condizione può essere considerata modellando il vincolo per mezzo di una molla
rotazionale, di rigidezza opportunamente calibrata.
Pagina | 41

44. Considerando un comportamento elastico lineare del
materiale, si può determinare la rigidezza della molla
rotazionale come rapporto tra il momento agente nel
nodo e la rotazione della sezione terminale.
La rigidezza k fornisce la pendenza di una retta in un piano Momento-Rotazione. È quindi possibile
posizionare su questo piano tutte le possibili configurazioni di nodi semirigidi.
In letteratura sono forniti abachi di questo tipo, che legano particolari configurazioni nodali con
valori delle rigidezze rotazionali. Tali abachi sono utilizzabili per un predimensionamento, mentre per
una determinazione accurata della rigidezza k è consigliabile effettuare modellazioni più accurate
delle regioni nodali.
Si sottolinea inoltre che gli abachi, come quello riportato di seguito, sono tracciati in funzione di
grandezze adimensionalizzate, in accordo a quanto definito nell’Eurocodice 3 parte2 [§ 5.2.2], che
normalizza la classificazione dei nodi in funzione della rigidezza.
EC3[2] – § 5.2.2.1
Pagina | 42

45. ̅
rigidezza adimensionalizzata
̅
momento adimensionalizzato
̅
rotazione adimensionalizzata
ki
Mpb
Ib
L
rigidezza rotazionale iniziale della
connessione
momento plastico della trave
momento di inerzia della trave
lunghezza della trave
Classificazione:
Cerniere perfette
̅
̅
Nodi semirigidi
Nodi rigidi
̅
Pagina | 43

46. Pagina | 44

47. 6) TEORIA DELLA PLASTICITÀ
Affrontare lo studio di una struttura in campo plastico consente di introdurre nella trattazione le
non linearità che caratterizzano il comportamento strutturale. I tipi di non linearità che si possono
riscontrare sono molteplici:




Di materiale: legame costitutivo del materiale di tipo elasto-plastico;
Di geometria: equilibrio scritto nella configurazione deformata, regime di grandi
spostamenti;
Di vincolo: vincoli non bidirezionali (monolateri);
Di forze: forze posizionali, che seguono la deformata.
In questa sede ci si sofferma sullo studio dei primi due tipi.
In termini di risoluzione del problema il considerare queste non linearità comporta:



Non validità principio di sovrapposizione degli effetti: non si ha più diretta proporzionalità
tra l’aumento dell’azione esterna e l’aumento della risposta;
Non validità del teorema di unicità della soluzione (Kirchoff);
Equazioni risolutive del problema non lineari: le matrici di rigidezza e delle forze esterne
dipendono dai gradi di libertà
( )
( )
Affrontiamo ora lo studio della plasticità a livello di materiale, di sezione e di struttura, per poi
riportare alcuni cenni di comportamento ciclico in campo elasto-plastico.
Pagina | 45

48. 6.1) Livello di materiale
Per la caratterizzazione in campo plastico del materiale occorre definire la soglia a partire dalla
quale si ha tale comportamento e caratterizzare lo stato post-snervamento. Si analizza
successivamente il legame costitutivo dell’acciaio e si presentano alcuni legami semplificati.
(a) Individuazione limite plastico
In funzione del tipo di materiale strutturale impiegato il passaggio da un comportamento di tipo
elastico ad un comportamento di tipo plastico può essere più o meno definito e localizzato.
Tracciando i legami costitutivi si nota come per l’acciaio (a) il limite di plasticità sia ben definito,
mentre il calcestruzzo (b) presenta un comportamento più graduale.
In generale tuttavia gli stati di tensione non sono mai monoassiali; per definire il limite di
plasticità si fa ricorso a superfici di snervamento, definite come il luogo dei punti sul piano delle
tensioni che rappresentano stati di snervamento del materiale.
Pagina | 46

49. Superfici di snervamento adottabili sono quelle fornite dai criteri di rottura di Tresca e Von Mises.
Si riportano le relazioni che definiscono tali superfici limite.
o
Criterio di Tresca
{[
] [
] [
]}
massima tensione tangenziale agente
massima tens.tg. ammissibile in stato monoassiale
o
Criterio di Von Mises
̅
̅
√
∫
∫
( )
√
√(
)
(
)
(
)
tens.tg. media
√
Tutti i criteri di resistenza per i materiali duttili hanno nello spazio delle tensioni principali una
rappresentazione cilindrica con l’asse del cilindro l’asse idrostatico (uguaglianza delle tensioni
principali). La sezione del cilindro è definita dal particolare criterio considerato.
Pagina | 47

50. (b) Incrudimento: comportamento post-snervamento
Il comportamento nel ramo post-snervamento è caratterizzato dall’incrudimento, ovvero dal
comportamento del materiale a livello dei cristalli che lo compongono, con conseguente variazione di
diverse proprietà fisico-meccaniche del materiale.
Nel caso dell’acciaio, l’incrudimento si caratterizza in funzione dello stato di tensione:


Stato monoassiale: pendenza del tratto post-snervamento;
Stato biassiale: isotropia e staticità.
Considerando il caso biassiale, la prima caratteristica riguarda il cambiamento di dimensioni ma non
di forma del dominio, mentre la seconda riguarda lo spostamento dei punti del dominio. Si
ottengono quindi quattro combinazioni.
ISOTROPIA
STATICITA’
incrudimento isotropo
incrudimento non isotropo
incrudimento statico
incrudimento cinematico
dominio cambia di dimensioni ma non di forma
1
dominio cambia di dimensioni e di forma
2
dominio non si sposta
3
dominio si sposta
4
Pagina | 48

51. (c) Legame costitutivo
Sottoponendo un provino di acciaio cilindrico di sezione A0 ad una prova di carico di trazione
monoassiale a controllo di spostamenti, si traccia la curva tensioni-deformazioni caratteristica del
materiale.
Pagina | 49

52. Si possono individuare i seguenti tratti:
1. Fase elastica lineare: proporzionalità diretta tra tensioni e deformazioni;
2. Fase elastica non lineare: tratto leggermente curvo, in caso di scarico si recuperano queste
deformazioni;
3. Decadimento: decadimento verticale della tensione a deformazioni costanti fino ad un limite
di snervamento inferiore;
4. Fase di snervamento: aumento di deformazioni a tensioni costanti;
5. Hardening: aumento tensioni fino a rottura con pendenza variabile;
6. Softening (a): ramo decrescente, se
7. Softening (b): ramo crescente, se
⁄
;
⁄ ;
8. Deformazioni residue: nel caso in cui si effettui uno scarico ed un successivo ricarico in fase
plastica, le due curve sono caratterizzate da una pendenza media pari a quella che
caratterizzava il materiale in fase elastica; al termine dello scarico il provino subisce una
deformazione residua plastica, mentre la parte elastica è recuperata.
Il legame reale, ricavato da una prova sperimentale, è evidentemente troppo complesso per
essere implementato e considerato come legame costitutivo nei calcoli strutturali; si deve pertanto
ricorrere a legami semplificati, introducendo necessarie approssimazioni. Si riporta di seguito un
elenco di possibili legami semplificati, a complessità crescente.
Legame rigido perfettamente plastico
1 o 2 parametri
Legame elasto-plastico perfetto
3 parametri
Legame elasto-plastico incrudente
4 parametri
Legame elasto-plastico incrudente con
tratto a deformazione libera
5 parametri
Aggiornamento modulo tangente
Sono presentati:



Forma del legame costitutivo;
Modello reologico corrispondente;
Legame in comportamento ciclico.
Pagina | 50
( )

53. Pagina | 51

54. Altro legame costitutivo, utilizzato prevalentemente in ambito di ricerca, è il legame MenegottoPinto. Tale legame si adatta a studi del comportamento ciclico delle strutture, quindi
prevalentemente in zona sismica. È uno dei metodi più affidabili, ma i coefficienti di
adimensionalizzazione 0 ed 0 ed il parametro n devono essere calibrati con riferimento ad
evidenze sperimentali.
(
( )
)( )
( )
[
( ) ]
6.2) Livello di sezione – elemento
Si distingue la trattazione in funzione dello stato di sollecitazione dell’elemento; in particolare si
affronta lo studio di elementi semplicemente inflessi e di elementi presso-inflessi.
6.2.1) Elementi semplicemente inflessi: teoria elasto-plastica della trave inflessa
La teoria della trave si basa su tre assunzioni, riportate di seguito, che consentono di descrivere lo
stato tensionale nell’elemento in termini di caratteristiche di sollecitazione, ovvero di risultanti delle
tensioni sulla sezione.



Una dimensione predominante rispetto alle altre;
Validità del Principio di De Saint Venant: ad una certa distanza dagli estremi del solido si
può ipotizzare che la distribuzione delle forze sulle sezioni sia ininfluente, lo stato di
sollecitazione è descritto dalle risultanti;
Sezioni ruotano restando piane e perpendicolari all’asse.
Nello studio della teoria elasto-plastica della trave inflessa si considera inoltre:



Piccoli spostamenti: l’equilibrio è scritto nella configurazione indeformata;
Assenza fenomeni di instabilità;
Legame costitutivo elasto-plastico perfetto.
Pagina | 52

55. Consideriamo la generica sezione di una trave inflessa, aumentiamo progressivamente la
sollecitazione e tracciamo alcuni andamenti di tensioni e deformazioni, riferiti a situazioni tipiche o
limite:
(a) Limite elastico: tutte le fibre sono in campo elastico, solo le fibre estreme hanno
raggiunto la tensione di snervamento;
 My: momento di snervamento
(b) Generica situazione in campo plastico: le deformazioni sono ancora a farfalla (la sezione
ruota restando piana), mentre le tensioni non aumentano oltre la tensione di
snervamento (legame elasto-plastico perfetto);
(c) Completa plasticizzazione della sezione: tutte le fibre hanno raggiunto la tensione di
snervamento, il diagramma delle deformazioni non è tracciabile ().
 Mp: momento plastico
Pagina | 53

56. Come mostrato in figura, si individuano due valori tipici del momento, in corrispondenza delle
situazioni (a) e (c). E’ inoltre possibile individuare un valore ultimo del momento (Mu: momento
ultimo), corrispondente al raggiungimento della deformazione ultima nella fibra più sollecitata.
Questa situazione corrisponde al distacco di materiale per rottura delle fibre.
In funzione della duttilità del materiale si può avere
.
Per descrivere il comportamento di una sezione di una trave
inflessa in campo elasto-plastico si studia un concio di trave di
lunghezza unitaria inflesso secondo un raggio di curvatura r. Lo
scopo è quello di trovare la relazione tra momento sollecitante e
curvatura in campo elastico ed in campo elasto-plastico.
Considerando la fibra baricentrica ab e la generica fibra cd, si
ricava, ricorrendo alle similitudini tra gli archi, la dipendenza della
deformazione dalla curvatura.
̂
( ))
(
( )
̂
( )
Essendo la curvatura, in piccoli spostamenti, pari all’inverso del
raggio di curvatura
, è possibile ricavare:
( )
o
Campo elastico
per tutte le fibre
Scriviamo la relazione momento-curvatura per una trave semplicemente inflessa in campo
elastico:
( )
{
( )
( )
( )
{
( )
Pagina | 54

57. e ricaviamo la curvatura al limite elastico, corrispondente al raggiungimento della tensione di
snervamento nelle fibre più sollecitate:
o
{
{
{
Campo elsto-plastico
per tutte le fibre nel nucleo elastico,
altrove
Concentrando l’attenzione sul nucleo elastico, ovvero nella porzione di sezione più vicina all’asse
neutro le cui fibre non hanno ancora raggiunto lo snervamento, possiamo determinare l’espressione
della curvatura al limite dello stesso:
( )
Resta quindi determinato il legame tra la curvatura in campo elasto-plastico e la curvatura al limite
elastico:
{
⁄
⁄
Si vuole ora determinare il legame momento-curvatura in campo elasto-plastico di una sezione
inflessa. Il diagramma delle tensioni precedentemente riportato può essere visto come la somma di
tre diagrammi relativi a condizioni elementari:
Considerando il contributo di ogni diagramma costituente, si può scrivere l’espressione del momento
come:
Pagina | 55

58. dove We, Z, e Ze sono rispettivamente il modulo di resistenza elastico del nucleo elastico, il modulo
plastico dell’intera sezione ed il modulo plastico del nucleo elastico.
È possibile ottenere il medesimo risultato per via analitica, risolvendo l’integrale che lega la
tensione alla caratteristica di sollecitazione flessionale. Tale relazione, come mostrato, si può
scindere in due termini legati rispettivamente al contributo del nucleo elastico e delle fibre
plasticizzate.
∫
∫
∫
( )
( )
Per raggiungere l’obiettivo che ci si prefigge è utile procedere in termini di grandezze
adimensionalizzate. Dividendo l’espressione del momento per il momento di snervamento si ottiene:
[
]
[
]
[
]
Si osserva che i moduli di resistenza We e Ze che rientrano nella formulazione finale dipendono
dall’ampiezza del nucleo elastico ye la quale, a sua volta, mediante la relazione precedentemente
ricavata, dipende dalla curvatura della sezione.
[
]
(
)
{
La funzione  non esiste sempre in forma chiusa in funzione del tipo di sezione. La soluzione
esatta può essere determinata nel caso di sezione rettangolare.
SEZIONE RETTANGOLARE
modulo elastico sezione
modulo elastico nucleo elastico
modulo plastico sezione
modulo plastico nucleo elastico
Noti i moduli di resistenza, si determinano il fattore di forma  e il legame momento curvatura in
forma chiusa:
[
Pagina | 56
(
) ]

59. DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA
È quindi ora possibile tracciare il legame tra il momento sollecitante e la curvatura della sezione.
Tale legame è lineare in campo elastico,
mentre è quadratico in campo elastoplastico. L’andamento tende asintoticamente
al valore del momento plastico
.
Il diagramma può essere rappresentato in forma adimensionalizzata: ciò consente di
rappresentare il comportamento in campo elasto-plastico di diverse sezioni. Si nota come, mentre il
tratto elastico sia comune, il limite massimo raggiunto sia funzione delle risorse plastiche della
sezione, proporzionali alla quantità di materiale strutturale che si trova in prossimità dell’asse
neutro.
Pagina | 57

60. CERNIERA PLASTICA
Per lo studio dei sistemi di travi, ovvero il comportamento degli elementi e delle sezioni in campo
elasto-plastico, un concetto importante è quello di cerniera plastica. Si considera uno schema di
trave semplicemente appoggiata sollecitata con una forza concentrata in mezzeria.
Ipotizzando che la sollecitazione P sia tale da portare a
completa plasticizzazione la sezione di mezzeria, si può
determinare, facendo ricorso alla similitudine tra triangoli,
l’ampiezza l della zona con fibre in campo plastico.
⁄
⁄
⁄
(
)
L’ampiezza ricavata, essendo funzione del fattore di forma
 , risulta essere dipendente dalla forma della sezione
corrente. Per le sezioni a doppio T, caratterizzate da un
valore di  basso, l’estensione della zona plasticizzata risulta essere percentualmente limitata
rispetto alla luce della trave; è quindi accettabile l’approssimazione di considerare le plasticizzazioni
concentrate in un punto.
Una volta raggiunto il momento plastico Mp in corrispondenza di una sezione, ad un ulteriore
incremento di carico non corrisponde un incremento di momento interno: lo schema, per carichi
incrementali, diventa un meccanismo. La cerniera plastica fornisce quindi momento non nullo
(M=Mp), ma momento incrementale nullo (M=0). La sezione (e il suo intorno) ha un
comportamento a cerniera solo in carico monotono, ma in scarico si comporta in modo elastico.
Facendo l’ipotesi che la plasticizzazione sia concentrabile in un punto, lo studio della capacità
portante dell’elemento può essere effettuato monitorando lo stato della cerniera su un diagramma
momento-curvatura. Al raggiungimento del momento plastico corrisponde una curvatura ultima
teoricamente infinita, che può praticamente essere considerata pari a tre o quattro volte la curvatura
di snervamento.
Pagina | 58

61. 6.2.2) Elementi presso-inflessi
Si vuole ora investigare come la presenza di uno sforzo assiale possa influenzare il momento
plastico. In questo caso per rappresentare il comportamento di una sezione di un elemento pressoinflesso in campo elasto-plastico si fa ricorso a superfici di interazione, definite su un piano
momento-sforzo assiale. Le superfici di interesse sono:


Superficie limite plastica: luogo dei punti che produce la completa plasticizzazione della
sezione;
Superficie limite elastica: luogo dei punti che definisce la prima plasticizzazione di una
fibra della sezione.
Considerando una generica sezione sollecitata da uno sforzo assiale costante di compressione P e
da un momento flettente variabile M. Si nota come, al crescere della sollecitazione flettente, la
posizione dell’asse neutro sia variabile. I diagrammi sono tracciati nell’ipotesi di legame elastoplastico perfetto.
Determiniamo ora le due superfici limite.
o
Superficie limite plastica
Prendendo in esame la situazione, ideale, di completa plasticizzazione, possiamo dividere i
contributi dovuti alle due sollecitazioni.
risultante di compressione
momento flettente
con |
Pagina | 59
⁄
(
)⁄

62. Definiamo ora i limiti plastici sotto sollecitazioni semplici, ovvero lo sforzo assile ed il momento
che, se agiscono da soli, plasticizzano l’intera sezione:
È ora possibile ricavare la relazione che definisce la
superficie limite:
(
)
(
(
)
)
La superficie limite è definita da una curva del secondo ordine, con concavità verso il basso nel primo
quadrante e intersezione con gli assi per valori unitari delle grandezze adimensionalizzate.
o
Superficie limite elastica
Ci si riferisce ora alla situazione al limite elastico, in cui la prima fibra raggiunge lo snervamento.
Si riportano come sopra dapprima i termini relativi a questa situazione e successivamente i
termini di adimensionalizzazione, che questa volta rappresentano le sollecitazioni che, se applicate
da sole, portano a snervamento la prima fibra della sezione.
Con riferimento alla similitudine tra i triangoli evidenziati, si definisce la relazione:
(
(
)
(
)
Pagina | 60
)

63. (
(
)
)
È ora possibile ricavare la relazione che definisce la superficie limite:
(
)
In questo caso la superficie limite è una retta.
Le due superfici permettono
quindi di controllare lo stato di
sollecitazione della sezione,
definito come un punto sul
piano M/Mp – P/Pp.
Data la forma delle superfici,
risulta evidente che le risorse
plastiche della sezione sono
funzione del percorso di carico
seguito.
tratto
campo
sollecitazioni
O-A
elastico
aumento proporzionale carichi
aumento proporzionale carichi
A-A*
A-A’
A-A’’
elasto-plastico
aumento solo M, P=cost
aumento solo P, M=cost
Pagina | 61

64. 6.2.3) Elementi soggetti a flessione e taglio
Per lo studio dell’interazione tra il taglio e lo sforzo assiale prodotto nelle fibre dalla flessione, si
può far ricorso al criterio di rottura di Von Mises:




√
La sezione è dichiarata in crisi secondo il criterio di Von Mises, non quando tutte le fibre
ragglingono la tensione di snervamento y.
Questo problema di interazione non è semplicemente risolvibile in forma chiusa, sono quindi stati
proposti diversi modelli semplificativi basati sul criterio di Von Mises. Tali modelli si propongono di
determinare la riduzione di momento platico dovuta alla presenza di sforzi di taglio.
Per la distribuzione degli sforzi di taglio si assume che:



Siano concentrati nel solo nucleo elastico (consegueza criterio di rottura assunto);
Si abbia un andamento parabolico (teoria di Jourawsky);
Lo sforzo massimo di taglio è maggiore del 50% rispetto al valore medio.
Considerando una sezione rettangolare si ha la distribuzione di tensioni mostrata in figura, con
valore massimo dello sforzo di taglio localizzato in corrispondenza dell’asse neutro (baricentrico).
È quindi possibile determinare l’ampiezza del nucleo elastico:
|
√
Al fine di valutare la riduzione del momento plastico dovuto alla presenza dello sforzo di taglio, si
commenta l’andamento delle tensioni assiali sulla sezione.
Pagina | 62

65. [(
) ( )]
Definendo in modo ideale la forza agente che porterebbe a completa plasticizzazione la sezione
per solo taglio
, si può esprimere il momento ridotto adimensionalizzato rispetto al
momento plastico:
( )
(
)
6.3) Livello di sistema strutturale
Passando a considerare gli aspetti legati alla plasticità per i sistemi strutturali, di devono
considerare ulteriori fattori che intervengono nella trattazione:





Iperstaticità;
Distribuzione dei carichi;
Distribuzione delle rigidezze;
Ridistribuzione energie immesse;
Meccanismi di collasso locale e globale.
6.3.1) Iperstaticità
L’entrata in campo plastico può avere effetti differenti in funzione dell’iperstaticità del sistema. La
completa plasticizzazione di una sezione, come visto, materializza sull’elemento una cerniera
plastica. Definendo il collasso come la formazione di plasticizzazioni tali per cui la struttura non ha
più capacità portanti per successivi incrementi di carico e si trasforma in un cinematismo, è evidente
che maggiore è il grado di iperstaticità, maggiore è il numero di cerniere plastiche che si devono
formare prima che la struttura collassi.
6.3.2) Distribuzione dei carichi
Consideriamo una trave doppiamente incastrata soggetta a due condizioni di carico differenti. Si
definiscono con l’apice (*) le grandezze di carico relative alla formazione della prima cerniera plastica
e con il pedice (u) le grandezze di carico relative al collasso del sistema.
Pagina | 63

66. Raggiungo
la
prima
plasticizzazione
contemporaneamente nella sezione di
mezzeria e nelle sezioni di estremità
La prima plasticizzazione è raggiunta nelle
sezioni di estremità; Il sistema diventa
isostatico e può ancora sopportare un
incremento di carico
Le risorse plastiche del sistema non sono
nulle:
Le risorse plastiche del sistema sono nulle:
Il collasso avviene per la formazione
contemporanea di tre cerniere allineate.
Per la trattazione completa di questo sistema
si rimanda al punto (4).
La distribuzione dei carichi influisce in modo determinate sulla risposta del sistema.
6.3.3) Distribuzione delle rigidezze
In campo elastico due elementi in parallelo lavorano nei confronti di un incremento dell’energia
esterna, proporzionalmente alla loro rigidezza. Questa assunzione può essere estesa al campo
plastico, poiché in generale un problema plastico può essere affrontato come una successione di stati
elastici.
6.3.4) Ridistribuzione delle energie immesse
Una plasticizzazione locale comporta un cambio di schema statico e quindi una distribuzione di
energia differente rispetto alla situazione precedente.
Pagina | 64

67. Dopo il raggiungimento del momento plastico nelle sezioni più
sollecitate la struttura non è collassata, bensì resiste con uno
schema statico differente: da p* in poi (in ottica incrementale) è
una trave doppiamente appoggiata. Posso incrementare ancora il
carico di una quantità p tale che:
La trave quindi collassa per un carico:
Possiamo quindi quantificare le risorse plastiche del sistema
strutturale:
Il carico di collasso è il 33% più grande rispetto al carico di prima
plasticizzazione.
Si definiscono le risorse plastiche come la capacità del sistema di resistere ad un successivo
incremento di carico dopo aver raggiunto la plasticizzazione. Queste possono essere definite in
termini di:



Sistema: successione differenziata delle plasticizzazioni;
Forma della sezione: valore del fattore di forma ;
Incrudimento del materiale.
Pagina | 65

68. 6.3.5) Meccanismi di collasso locale e globale
Si possono individuare meccanismi di collasso a livello globale (di struttura) o a livello locale (di
elemento). Nel primo caso dato un sistema strutturale n volte iperstatico, questo collassa (ovvero
diventa un cinematismo) se si formano n+1 cerniere plastiche ben poste. Il secondo caso si verifica
invece quando la formazione di cerniere plastiche è tale che queste siano allineate lungo un
elemento; si ha un numero di cerniere minore di n+1.
6.4) Comportamento ciclico di una sezione inflessa
È di interesse estendere lo studio della teoria della plasticità di una sezione semplicemente
inflessa al caso in cui il carico sia di tipo ciclico. Ciò risulta essenziale nella progettazione di strutture
in zona sismica.
Tracciando gli usuali diagrammi delle tensioni sulla sezione, si associa un livello tensionale ad ogni
fibra; tutte le fibre sono descritte mediante il medesimo legame costitutivo, considerato in questo
caso di tipo elasto-plastico perfetto. Considerando una sezione rettangolare parzializzata possiamo
rappresentare la posizione di alcune fibre sul diagramma -:
Sottoponendo la sezione ad una storia di carico non più monotona, bensì ciclica, ogni fibra
differirà dalle altre, oltre che per il livello tensionale corrente, anche per la propria storia di
sollecitazione. Immaginiamo di sottoporre la sezione alla seguente storia di carico:
Pagina | 66

69. (a) Carico: incremento momento sollecitante fino al raggiungimento di un momento M*>My
e M*<Mu, tale quindi da parzializzare la sezione ma senza che risulti completamente
plasticizzata;
(b) Scarico: decremento del momento applicato fino ad annullamento dello stesso (-M*): si
nota come, anche se la sollecitazione esterna è stata rimossa, rimane determinato un
diagramma di autotensioni residue di equilibrio sulla sezione e permane una
deformazione plastica residua;
(c) Carico in direzione opposta: inversione del carico, incremento in direzione negativa fino al
raggiungimento dello snervamento nelle fibre estreme della sezione: sovrappongo al
diagramma del passo (a) un diagramma lineare di tensioni prodotto da un momento
complessivo pari a 2My: la sezione può essere sottoposta a storie di carico inverse
all’interno del range di 2My senza che si produca alcuna nuova plasticizzazione.
(d) Raggiungimento momento platico: continuo la fase di carico fino al completo
sfruttamento delle risorse plastiche della sezione.
Pagina | 67

70. Se una volta raggiunta la completa plasticizzazione della sezione per valori negativi del momento
si inverte la direzione di carico fino ad invertire il segno del momento sollecitante e fino al
raggiungimento del momento plastico positivo, e si ripete il percorso descritto in modo ciclico, si
producono cicli isteretici sul piano M-.
Pagina | 68

71. 7) ANALISI PLASTICA
Lo studio della capacità portante di una struttura in campo elasto-plastico può essere affrontato
seguendo tre differenti metodi di calcolo:



Metodo incrementale;
Metodo semi-analitico;
Metodo dell’analisi limite.
Partendo dalla conoscenza della geometria, delle condizioni di vincolo, della distribuzione dei
carichi e delle rigidezze ed ipotizzando un legame costitutivo del materiale di tipo elasto-plastico
perfetto, si vuole determinare il moltiplicatore del carico che porta la struttura a collasso.
7.1) Metodo incrementale (push-over)
Il metodo incrementale è un metodo step-to-step che consiste nel seguire il comportamento
strutturale attraverso una serie di analisi, tutte elastiche, considerando la formazione progressiva di
cerniere plastiche che modificano lo schema statico di calcolo. Si considera quindi un modello a
plasticità concentrata.
Aumentando il carico applicato alla struttura la distribuzione dei momenti su di essa aumenta
linearmente fino al raggiungimento, nella sezione caratterizzata da momento massimo, del momento
plastico: si forma la prima cerniera plastica. La struttura, se iperstatica, subisce pertanto un
cambiamento di schema statico ed è ancora in grado di sopportare incrementi di sollecitazione. La
seconda cerniera plastica si forma quando la somma dello stato tensionale riferito allo schema
statico attuale e dello stato limite dello schema statico originario consente il raggiungimento del
momento plastico in un’altra sezione. Si procede in questo modo fino alla trasformazione della
struttura in un meccanismo, con conseguente collasso della stessa.
Si riporta a titolo di esempio il caso di una trave doppiamente incastrata soggetta ad un carico
verticale eccentrico progressivamente crescente. Si considera una trave IPE120 (modulo plastico
Z=60.73 cm3), di acciaio S235. Il momento plastico risulta essere pari a
.
Pagina | 69

72. Pagina | 70

73. Si è ricavata la soluzione del problema elasto-plastico risolvendo una successione di problemi
elastici, riguardanti l’aumento incrementale del carico.
Si può rappresentare il comportamento in campo elasto-plastico della struttura su un piano forzaspostamento (lo spostamento è relativo al punto di applicazione della forza). Si nota come in
corrispondenza di ogni plasticizzaizone si abbia un cambiamento di pendenza, dovuto ad una
riduzione di rigidezza del sistema. È inoltre possibile stimare la duttilità come rapporto tra la freccia
ultima e quella relativa alla formazione della prima cerniera plastica.
È importante infine notare che ad ogni modifica dello schema statico corrisponde una
ridistribuzione delle energie immesse. Tale cambiamento produce un sistema strutturale differente
rispetto a quello precedente; non è quindi possibile definire a priori quale sarà la successione nelle
formazione delle cerniere plastiche.
Pagina | 71

74. 7.2) Metodo semi-analitico
Un metodo analitico permetterebbe di trovare soluzioni del problema elasto-plastico in forma
chiusa; tuttavia ciò risulta possibile in un numero limitato di casi. Si può ricorrere in modo proficuo ad
un metodo di tipo semi-analitico, che consenta di trovare la soluzione in forma chiusa a tratti.
Si tratta il caso di un sistema reticolare costituito da tre aste (9 gradi di libertà), nell’ipotesi di
materiale elasto-plastico perfetto (ipotesi di infinita duttilità di materiale). Il sistema è una volta
iperstatico. Si ricavano separatamente le soluzioni al problema elastico ed al problema elastoplastico.
o
Soluzione elastica
Si procede nell’ottica del metodo degli spostamenti: si impone lo spostamento  del punto in cui
convergono le tre aste, si scrive la congruenza ed imponendo l’equilibrio si ricavano gli sforzi nelle
aste X, Y. Le equazioni risolutive sono le equazioni di equilibrio scritte in termini di spostamento.
Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, si scrive l’equilibrio nella posizione indeformata
( ).
Congruenza

asta OA
( ⁄ )
aste OB, OC
⁄

( ⁄ )
Equilibrio
( )
Si risolve il sistema e si ricavano gli
sforzi nelle aste:
√
{
√
L’asta che assorbe la sollecitazione maggiore è l’asta OA, che sarà quindi anche la prima a entrare
in campo plastico. Si determina il valore del carico per il quale si raggiunge la tensione di
snervamento e la conseguente deformazione al limite elastico.
Pagina | 72

75. √

√

o
Soluzione elasto-plastica
Una volta raggiunto lo snervamento dell’asta OA, continuiamo ad incrementare il carico agente.
Per le ipotesi fatte lo sforzo nell’asta OA rimane costante e pari a
, mentre cresce la
sollecitazione nelle aste OB ed OC fino al raggiungimento del campo plastico.
Equilibrio
( )

{
√
È quindi possibile determinare il carico di rottura del sistema e, sfruttando le equazioni di
congruenza precedentemente riportate, lo spostamento corrispondente a tale condizione:

√
(
√ )

⁄
Possiamo quantificare i benefici portati dallo sfruttamento delle risorse plastiche del sistema in
termini di sovraresistenza e duttilità. In entrambi i casi l’incremento di capacità è consistente.
(
√ )
√
Osservando quest’ultimo risultato è
interessante osservare che, nonostante si sia
ipotizzata una duttilità di materiale infinita, la
duttilità di struttura non lo è. Ciò dipende dal
fatto che la struttura non collassa per crisi del
materiale, bensì perché si trasforma in un
meccanismo.
Si riportano infine i risultati ottenuti su un piano sforzo nelle aste – sollecitazione.
Pagina | 73

76. o
Scarico
Si può ipotizzare di effettuare uno scarico completo del sistema e valutare il comportamento delle
aste:


Asta OA: è plasticizzata, presenterà una deformazione residua;
Aste OB ed OC: non sono plasticizzate, tendono a recuperare interamente la
deformazione subita.
Conseguentemente:


Per congruenza le aste OB ed OC presenteranno una deformazione residua di allungamento,
saranno quindi tese;
L’asta OA, per equilibrio del nodo, risulterà compressa.
Analogamente a quanto ricavato per la fase elastica di carico e definito lo scarico P si ha:
(
√
√ )
{
√
Si ricavano quindi gli sforzi residui nelle aste come:
√
√
{
{
√
√
{
√
Per la convenzione dei segni scelta, come previsto l’asta OA risulta compressa (X), mentre le aste OB
ed OC risultano tese (Y).
Pagina | 74

77. 7.3) Analisi limite
L’analisi limite è un metodo energetico per il calcolo del moltiplicatore critico dei carichi esterni,
ovvero del coefficiente di amplificazione di tali carichi che produce il collasso strutturale in campo
elasto-plastico. Per la determinazione del moltiplicatore critico si può far ricorso ai due teoremi
statico e cinematico, che consentono l’individuazione di due soluzioni “limite”.
In entrambi i casi si assume che siano rispettate le seguenti ipotesi:




Le sezioni ruotano restando piane;
Piccoli spostamenti (con conseguente assenza di fenomeni di instabilità);
Legame costitutivo elasto-plastico perfetto;
Duttilità infinita di elemento o di struttura.
Successivamente alla trattazione dei due teoremi si commenteranno i risultati ottenuti ed il loro
significato. In conclusione ci si soffermerà brevemente sulla definizione grafica del moltiplicatore di
collasso.
7.3.1) Teorema statico
Il teorema statico si basa su considerazioni legate all’equilibrio del sistema. In particolare si
assume che il carico di collasso possa essere stimato considerando una distribuzione di momenti in
equilibrio con i carichi esterni, tale che il momento in ogni punto lungo la struttura non ecceda il
momento plastico. Tale stima rappresenta il reale carico di collasso se il diagramma dei momenti
mostra che si sono formate un numero sufficiente di cerniere plastiche e che conseguentemente si
sia sviluppato un meccanismo di collasso. Nel caso in cui non siano state determinate un numero
sufficiente di cerniere, il carico determinato è una stima per difetto del carico di collasso esatto.
Si riporta a titolo di esempio il medesimo sistema precedentemente trattato e si elencano di
seguito i passi del metodo:
(a) Per ogni struttura iperstatica, si eliminano i gradi di iperstaticità interni e si determina il
sistema principale;
(b) Si determina il diagramma dei momenti del sistema isostatico di cui sopra;
(c) Si determinano i diagrammi risultati dall’applicazione di ogni incognita iperstatica al
sistema isostatico;
(d) Si combinano i diagrammi ricavati;
(e) Dal diagramma combinato si determinano le equazioni di equilibrio;
(f) Si stabilisce in quali punti il diagramma raggiunge il momento platico;
(g) Si risolvono le equazioni di equilibrio.
Pagina | 75

78. Il sistema in esame è, per carichi verticali, due volte iperstatica (n=2); sono quindi necessarie
n+1=3 cerniere plastiche affinché si sviluppi un meccanismo. Questo particolare sistema strutturale
genera una unica possibile dislocazione delle cerniere plastiche (f):


Ai nodi esterni;
Nel punto di applicazione del carico.
Si determina pertanto un'unica relazione di equilibrio (e) relativa al sistema (d):
(
(
)
)
Inoltre devono essere sodisfatte le condizioni di ammissibilità statica (condizioni limite delle singole
sezioni):
|
|
|
|
|
|
Si ricava il carico di collasso quando tutte le sezioni in esame raggiungono il momento plastico:
(
)
(
(
)
Pagina | 76
)

79. Considerando come nel caso dell’analisi incrementale un profilato IPE120, di momento plastico
MP=14.27kNm, si ottiene un carico critico pari a Pcr = 19.98 kN, coincidente con il valore
precedentemente determinato.
Nel caso in cui fosse possibile individuare più configurazioni staticamente ammissibili, si ricava il
carico di collasso relativo ad ognuna di esse. Il collasso sopraggiunge quando è raggiunto il carico
massimo tra quelli associati ad ogni configurazione staticamente ammissibile.
La potenza del metodo risiede nella possibilità di ottenere una stima del carico di collasso
mediante considerazioni grafiche, sommando i diagrammi dei momenti, operazione agevole per i
calcoli a mano.
7.3.2) Teorema cinematico
Nel metodo cinematico si ipotizza di conoscere il corretto cinematismo di collasso compatibile con
i carichi ed i vincoli del sistema strutturale. Il carico di collasso è il carico associato al meccanismo
ipotizzato, e può essere determinato attraverso il metodo dei lavori virtuali, ovvero deve essere
verificata l’uguaglianza tra il lavoro esterno prodotto dai carichi applicati ed il lavoro interno che il
momento plastico compie nelle rotazioni delle cerniere plastiche.
∑
∑
∫
( ) ( )
dove:
rotazione i-esima cerniera plastica
∑
∫
lavoro che i carichi concentrati compiono nei spostamenti
( ) ( )
lavoro che i carichi distribuiti compiono nei rispettivi spostamenti
Nell’applicazione del metodo si trascurano le deformate elastiche, essendo queste molto più
piccole rispetto a quelle plastiche.
Lo svantaggio del metodo consiste nel fatto che una erronea ipotesi circa il meccanismo di
collasso produce risultati a sfavore di sicurezza, stimando per eccesso il carico ultimo.
Risolvendo il precedente caso di studio:
Pagina | 77

80. (
Tenendo conto che
)
, uguagliando lavoro interno e lavoro esterno si ottiene:
(
)
ovvero il medesimo valore di carico critico determinato nell’approccio statico e nell’analisi
incrementale.
7.3.3) Teorema di unicità
Nella presentazione dei due precedenti teoremi si è messo in luce come debbano essere
soddisfatte tre condizioni:



Equilibrio tra carichi esterni e sollecitazioni interne;
In ogni sezione il momento non deve mai superare il momento plastico;
Quando si raggiunge il carico di collasso si deve sviluppare un meccanismo di collasso
cinematicamente compatibile.
È tuttavia possibile, come dimostrato nel caso dei teoremi statico e cinematico, sviluppare una
procedura di calcolo in campo plastico basandosi solo su alcune di queste condizioni. Ciò comporta
che i due suddetti teoremi non conducano necessariamente a soluzioni esatte, bensì rappresentino
rispettivamente un limite inferiore ed un limite superiore per la soluzione.
o
Teorema statico: LIMITE INFERIORE
Un carico di collasso calcolato sulla base di un assunto diagramma dei momenti in cui non sia
mai raggiunto il momento plastico è minore o al massimo uguale al reale carico di collasso.
Poiché l’equilibrio è soddisfatto tracciando un diagramma dei momenti, non si pone attenzione
allo sviluppo di un meccanismo di collasso valido.
o
Teorema cinematico: LIMITE SUPERIORE
Un carico di collasso calcolato sulla base di un assunto meccanismo di collasso risulterà sempre
più grande o al massimo uguale al reale carico di collasso.
Poiché l’equilibrio è soddisfatto ipotizzando un cinematismo di collasso, non si controlla se il
diagramma dei momenti supera il momento plastico, ma ci si affida a considerazioni energetiche per
la determinazione del carico ultimo.
Pagina | 78

81. o
Teorema di unicità
Il carico di collasso reale è il carico per il quale le soluzioni di limite superiore ed inferiore
coincidono.
Ciò è verificato quando sono soddisfatte tutte e tre le condizioni precedentemente esposte.
7.3.4) Spazio delle azioni esterne
È possibile individuare graficamente il moltiplicatore ultimo su un piano che riporti in ascissa ed
ordinata le azioni cui è sottoposto il sistema strutturale. A differenza delle superfici limite nello
spazio delle tensioni (i,j) e nello spazio delle caratteristiche della sollecitazione (N,M)
precedentemente presentate, la superficie nello spazio delle azioni esterne (Pi,Pj) non è univoca,
poiché dipende dalle condizioni di carico e di vincolo, ovvero dipende da come la membratura è
inserita all’interno del sistema strutturale.
Una volta nota questa superficie, il problema della
determinazione del moltiplicatore di collasso è facilmente
risolvibile, come indicato in figura.
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
È inoltre dimostrabile che tutte le superfici limite
menzionate sono convesse. Se infatti fossero presenti
concavità non sarebbero soddisfatte le due seguenti
ipotesi:


Data una combinazione di carico ammissibile il moltiplicatore cr di questa combinazione
è il massimo tra quelli che da questa producono combinazioni ancora ammissibili (ci
muoviamo lungo una retta);
Data una combinazione di carico ammissibile il moltiplicatore cr è unico.
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83. 8) PROGETTAZIONE IN ZONA SISMICA
Nell’affrontare lo studio ed il dimensionamento di una struttura in zona sismica si può ricorrere a
due metodi di progetto, come mostrata nel digramma riportato di seguito. Le normative moderne
sono sempre più orientate verso un approccio di tipo prestazionale, che consenta maggiore libertà al
progettista, purché questo soddisfi i requisiti prestazionali imposti dalla norma stessa. Di seguito ci si
soffermerà tuttavia sull’approccio tradizionale in duttilità e sulle assunzioni alla base della
trattazione.
Dimensionare una struttura in modo che questa, se soggetta all’azione sismica di design, rimanga
in campo elastico, è sicuramente possibile anche se comporta un impegno economico molto elevato;
ricorrere a questa soluzione risulta giustificato quindi solo per strutture di tipo strategico, che
devono rimanere perfettamente agibili ed operative
nelle prime fasi di emergenza post-sisma. Per le
strutture ordinarie si accetta che si verifichi un
danneggiamento, ovvero che parti della stessa
entrino in campo plastico; è responsabilità del
progettista decidere in quali elementi strutturali
concentrare le plasticizzazioni. Si parla di
progettazione in duttilità.
Ad esempio in una struttura a ritti pendolari si
concentrano le plasticizzazioni negli elementi
diagonali, mentre è richiesto che le colonne,
responsabili del trasferimento dei carichi verticali,
rimangano in campo elastico.
L’entrata in campo plastico permette inoltre una notevole dissipazione di energia, essendo questa
proporzionale all’area sottesa dai cicli di isteresi relativi alle singole membrature.
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84. 8.1) Metodo semplificato di progetto
Il metodo semplificato di progetto consiste in:
(a) Considerare le risorse plastiche in modo indiretto attraverso un fattore di struttura q:
tale fattore permette di considerare la dissipazione plastica continuando ad eseguire analisi di tipo
elastico lineare;
(b) Localizzare le plasticizzazioni mediante la gerarchia delle resistenze;
(c) Assicurare la duttilità locale nelle zone dissipative:
questo obbiettivo è raggiunto imponendo il rispetto delle due condizioni sul materiale
Si devono inoltre considerare eventuali errori nella
stima della resistenza fy del materiale: una eventuale
sovrastima potrebbe produrre un comportamento
differente da quello ipotizzato, con una differente
dislocazione delle plasticizzazioni. È quindi opportuno
adottare un opportuno coefficiente di sovraresistenza
come riportato in normativa.
La variabilità in funzione del tipo di acciaio dipende dal fatto che la fy può è un parametro
caratterizzato da incertezza minore per gli acciaio di caratteristiche più scadenti.
(d) Verifica a posteriori degli Stati Limite di Esercizio:
a differenza del metodo avanzato di progetto (Performance Based Design), nel quale il
dimensionamento può essere guidato indipendentemente da requisiti di SLU o SLE, nell’approccio
tradizionale si risolve un problema di resistenza per poi verificare le condizioni di esercizio.
8.1.1) Fattore di struttura
Il fattore di struttura permette di stabilire un legame tra un comportamento elasto-plastico
dissipativo reale ed un comportamento elastico lineare sfruttato nel calcolo. In particolare consente
di abbattere le forze sismiche elastiche, facendo affidamento sulle capacità di duttili della struttura.
La determinazione del fattore di struttura si basa sul principio di uguale spostamento elastico ed
elasto-plastico:
Preso un oscillatore elementare con le stesse caratteristiche di rigidezza e massa e soggetto
alla stessa forzante della struttura reale,
- una volta con capacità strutturale elastica,
- una volta con capacità strutturale elasto-plastica,
i due oscillatori hanno lo stesso spostamento massimo al collasso.
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