24hchiase.com toadophang

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 1
TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d x y1 : 7 17 0- + = ,
d x y2 : 5 0+ - = . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d d1 2, một tam
giác cân tại giao điểm của d d1 2, .
· Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là:
x y x y x y ( )
x y ( )
1
2 2 2 2 2
7 17 5 3 13 0
3 4 0
1 ( 7) 1 1
D
D
- + + - é + - =
= Û ê - - =ë+ - +
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1D hoặc 2D .
KL: x y3 3 0+ - = và x y3 1 0- + =
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d x y1 : 2 5 0- + = .
d x y2 :3 6 –7 0+ = . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d1, d2.
· d1 VTCP a1 (2; 1)= -
r
; d2 VTCP a2 (3;6)=
r
Ta có: a a1 2. 2.3 1.6 0= - =
uur uur
nên d d1 2^ và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường
thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d A x B y Ax By A B: ( 2) ( 1) 0 2 0- + + = Û + - + =
d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450
A B A B
A AB B
B A
A B
0 2 2
2 2 2 2
2 3
cos45 3 8 3 0
3
2 ( 1)
- é =
Û = Û - - = Û ê = -ë+ + -
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d x y:3 5 0+ - =
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x y: 3 5 0- - =
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d x y:3 5 0+ - = ; d x y: 3 5 0- - = .
Câu hỏi tương tự:
a) d x y1 : 7 17 0- + = , d x y2 : 5 0+ - = , P(0;1). ĐS: x y3 3 0+ - = ; x y3 1 0- + = .
Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d x y1 :3 5 0+ + = , d x y2 :3 1 0+ + = và điểm
I(1; 2)- . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt d d1 2, lần lượt tại A và B sao cho
AB 2 2= .
· Giả sử A a a d B b b d1 2( ; 3 5) ; ( ; 3 1)- - Î - - Î ; IA a a IB b b( 1; 3 3); ( 1; 3 1)= - - - = - - +
uur uur
I, A, B thẳng hàng
b k a
IB kIA
b k a
1 ( 1)
3 1 ( 3 3)
ì - = -
Þ = Û í- + = - -î
uur uur
· Nếu a 1= thì b 1= Þ AB = 4 (không thoả).
· Nếu a 1¹ thì
b
b a a b
a
1
3 1 ( 3 3) 3 2
1
-
- + = - - Û = -
-
AB b a a b t t
22 2 2
( ) 3( ) 4 2 2 (3 4) 8é ù= - + - + = Û + + =ë û (với t a b= - ).
t t t t2 2
5 12 4 0 2;
5
Û + + = Û = - = -
+ Với t a b b a2 2 0, 2= - Þ - = - Þ = = - x y: 1 0Þ D + + =

PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 2
+ Với t a b b a
2 2 4 2
,
5 5 5 5
- -
= Þ - = Þ = = x y: 7 9 0Þ D - - =
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1 : 1 0+ + = ,
d x y2 : 2 – –1 0= . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương
ứng tại A và B sao cho MA MB2 0+ =
uuur uuur r
.
· Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1).
Từ điều kiện MA MB2 0+ =
uuur uuur r
tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0
Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d)
đi qua M và cắt hai đường thẳng d x y d x y1 2: 1 0, : –2 2 0+ + = + = lần lượt tại A, B sao cho
MB = 3MA.
·
A d A a a MA a a
B d B b b MB b b
1
2
( ) ( ; 1 ) ( 1; 1 )
( ) (2 2; ) (2 3; )
ìì Î ïì - - = - - -
Û Þí í íÎ - = -î ïî î
uuur
uuur .
Từ A, B, M thẳng hàng và MB MA3= Þ MB MA3=
uuur uuur
(1) hoặc MB MA3= -
uuur uuur
(2)
(1) Þ
A
d x y
B
2 1
;
( ) : 5 1 03 3
( 4; 1)
ì æ ö
- -ï ç ÷ Þ - - =í è ø
ï - -î
hoặc (2) Þ ( )A
d x y
B
0; 1
( ): 1 0
(4;3)
ì -
Þ - - =í
î
Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d)
đi qua M và cắt hai đường thẳng d x y d x y1 2:3 5 0, : 4 0- - = + - = lần lượt tại A, B sao cho
MA MB2 –3 0= .
· Giả sử A a a d1( ;3 5)- Î , B b b d2( ;4 )- Î .
Vì A, B, M thẳng hàng và MA MB2 3= nên
MA MB
MA MB
2 3 (1)
2 3 (2)
é =
ê
= -ë
uuur uuur
uuur uuur
+
a b a A B
a b
b
5 5 52( 1) 3( 1)
(1) ; , (2;2)22(3 6) 3(3 ) 2 22
ì æ öïì - = - =Û Û Þí í ç ÷- = -î è øï =î
. Suy ra d x y: 0- = .
+
a b a
A B
a b b
2( 1) 3( 1) 1
(2) (1; 2), (1;3)
2(3 6) 3(3 )
ì
1
ì- = - - =
Û Û Þ -í í- = - - =î î
. Suy ra d x: 1 0- = .
Vậy có d x y: 0- = hoặc d x: 1 0- = .
Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi
qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho OA OB( 3 )+ nhỏ nhất.
· PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b):
x y
a b
1+ = (a,b>0)
M(3; 1) Î d
Cô si
ab
a b a b
3 1 3 1
1 2 . 12
-
= + ³ Þ ³ .
Mà OA OB a b ab3 3 2 3 12+ = + ³ =
a b
a
OA OB
b
a b
min
3
6
( 3 ) 12 3 1 1
2
2
ì =
ï ì =
Þ + = Û Ûí í
== = îïî
Phương trình đường thẳng d là:
x y
x y1 3 6 0
6 2
+ = Û + - =
Download tài li u h c t p, xem bài gi ng t i : http://24hchiase.com

Trang 3
Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(4;1)
và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB+ nhỏ nhất.
· x y2 6 0+ - =
Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2)
và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho
OA OB2 2
9 4
+ nhỏ nhất.
· Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên
A a B b( ;0); (0; ) với a b. 0¹ Þ Phương trình của (d) có dạng
x y
a b
1+ = .
Vì (d) qua M nên
a b
1 2
1+ = . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có :
a b a b a b
2 2
2 2
1 2 1 3 2 1 9 4
1 . 1. 1
3 9
æ ö æ ö æ öæ ö
= + = + £ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷
è ø è ø è øè ø
Û
a b2 2
9 4 9
10
+ ³ Û
OA OB2 2
9 4 9
10
+ ³ .
Dấu bằng xảy ra khi
a b
1 3 2
: 1:
3
= và
a b
1 2
1+ = Û a b
20
10,
9
= = Þ d x y: 2 9 20 0+ - = .
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(3;1)
và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2).
· x y x y3 6 0; 2 0+ - = - - =
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo
với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S 4= .
· Gọi A a B b a b( ;0), (0; ) ( , 0)¹ là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra:
x y
d
a b
: 1+ = .
Theo giả thiết, ta có: a b
ab
2 1
1
8
ì
+ =ï
í
ï =î
Û
b a ab
ab
2
8
ì + =
í
=î
.
· Khi ab 8= thì b a2 8+ = . Nên: b a d x y12; 4 : 2 4 0= = Þ + - = .
· Khi ab 8= - thì b a2 8+ = - . Ta có: b b b2
4 4 0 2 2 2+ - = Û = - ± .
+ Với ( ) ( )b d x y2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0= - + Þ - + + - =
+ Với ( ) ( )b d x y2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0= - - Þ + + - + = .
a) M S(8;6), 12= . ĐS: d x y:3 2 12 0- - = ; d x y:3 8 24 0- + =
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình
x y2 – 3 0+ = . Lập phương trình đường thẳng (D) qua A và tạo với d một góc α có cosα
1
10
= .
· PT đường thẳng (D) có dạng: a x b y( –2) ( 1) 0+ + = Û ax by a b–2 0+ + = a b2 2
( 0)+ ¹
Ta có:
a b
a b2 2
2 1
cos
105( )
a
-
= =
+
Û 7a2
– 8ab + b2
= 0. Chon a = 1 Þ b = 1; b = 7.
Þ (D1): x + y – 1 = 0 và (D2): x + 7y + 5 = 0
Download tài li u h c t p, xem bài gi ng t i : http://24hchiase.com

Trang 4
Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d x y: 2 3 4 0+ + = .
Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 0
45 .
· PT đường thẳng (D) có dạng: a x b y( –2) ( 1) 0+ - = Û ax by a b–(2 ) 0+ + = a b2 2
( 0)+ ¹ .
Ta có:
a b
a b
0
2 2
2 3
cos45
13.
+
=
+
Û a ab b2 2
5 24 5 0- - = Û
a b
a b
5
5
é =
ê = -ë
+ Với a b5= . Chọn a b5, 1= = Þ Phương trình x y: 5 11 0D + - = .
+ Với a b5 = - . Chọn a b1, 5= = - Þ Phương trình x y: 5 3 0D - + = .
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d x y: 2 2 0- - = và điểm I(1;1) .
Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng
d một góc bằng 0
45 .
· Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax by c 0+ + = a b2 2
( 0)+ ¹ .
Vì ·d 0
( , ) 45D = nên
a b
a b2 2
2 1
2. 5
-
=
+
a b
b a
3
3
é =
Û ê = -ë
· Với a b3= Þ D: x y c3 0+ + = . Mặt khác d I( ; ) 10D =
c4
10
10
+
Û =
c
c
6
14
é =
Û ê = -ë
· Với b a3= - Þ D: x y c3 0- + = . Mặt khác d I( ; ) 10D =
c2
10
10
- +
Û =
c
c
8
12
é = -
Û ê =ë
Vậy các đường thẳng cần tìm: x y3 6 0;+ + = x y3 14 0+ - = ; x y3 8 0;- - = x y3 12 0- + = .
Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1, d2 có
phương trình lần lượt là x y3 2 0+ + = và x y3 4 0- + = . Gọi A là giao điểm của d1và d2 .
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1và d2 lần lượt tại B , C
( B vàC khác A ) sao cho
AB AC2 2
1 1
+ đạt giá trị nhỏ nhất.
· A d d A1 2 ( 1;1)= Ç Þ - . Ta có d d1 2^ . Gọi D là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu
vuông góc của A trên D . ta có:
AB AC AH AM2 2 2 2
1 1 1 1
+ = ³ (không đổi)
Þ
AB AC2 2
1 1
+ đạt giá trị nhỏ nhất bằng
AM2
1
khi H ºM, hay D là đường thẳng đi qua M
và vuông góc với AM. Þ Phương trình D: x y 2 0+ - = .
a) Với M(1; 2)- , d x y1 :3 5 0+ + = , d x y2 : 3 5 0- + = . ĐS: x y: 1 0D + + = .
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y( ): –3 –4 0= và đường
tròn C x y y2 2
( ): –4 0+ = . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm
A(3; 1).
· M Î (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b)
N Î (C) Þ (2 – 3b)2
+ (2 – b)2
– 4(2 – b) = 0 Þ b b
6
0;
5
= =

Trang 5
Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M N
38 6 8 4
; , ;
5 5 5 5
æ ö æ ö
-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng D: x y2 3 4 0+ + = . Tìm
điểm B thuộc đường thẳng D sao cho đường thẳng AB và D hợp với nhau góc 0
45 .
· D có PTTS:
x t
y t
1 3
2 2
ì = -
í = - +î
và VTCP u ( 3;2)= -
r
. Giả sử B t t(1 3 ; 2 2 ) D- - + Î .
AB 0
( , ) 45D = Þ AB u
1
cos( ; )
2
=
uuur r AB u
AB u
. 1
. 2
Û =
uuur r
r
t
t t
t
2
15
13169 156 45 0
3
13
é
=ê
Û - - = Û ê
ê = -
ë
.
Vậy các điểm cần tìm là: B B1 2
32 4 22 32
; , ;
13 13 13 13
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y: 3 6 0- - = và điểm N(3;4).
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích
bằng
15
2
.
· Ta có ON (3;4)=
uuur
, ON = 5, PT đường thẳng ON: x y4 3 0- = . Giả sử M m m d(3 6; )+ Î .
Khi đó ta có ONM
ONM
S
S d M ON ON d M ON
ON
21
( , ). ( , ) 3
2
D
D = Û = =
Û
m m
m m m
4.(3 6) 3 13
3 9 24 15 1;
5 3
+ - -
= Û + = Û = - =
+ Với m M1 (3; 1)= - Þ - + Với m M
13 13
7;
3 3
æ ö- -
= Þ -ç ÷
è ø
Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d x y: 2 2 0- + = . Tìm
trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC .
· Giả sử B b b C c c d(2 2; ), (2 2; )- - Î .
Vì DABC vuông ở B nên AB ^ d Û dAB u. 0=
uuur r
Û B
2 6
;
5 5
æ ö
ç ÷
è ø
Þ AB
2 5
5
= Þ BC
5
5
=
BC c c21
125 300 180
5
= - + =
5
5
Û
c C
c C
1 (0;1)
7 4 7
;
5 5 5
é = Þ
ê æ ö
ê = Þ ç ÷
è øë
Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1 : 3 0+ - = , d x y2 : 9 0+ - = và
điểm A(1;4). Tìm điểm B d C d1 2,Î Î sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
· Gọi B b b d C c c d1 2( ;3 ) , ( ;9 )- Î - Î Þ AB b b( 1; 1 )= - - -
uuur
, AC c c( 1;5 )= - -
uuur
.
DABC vuông cân tại A Û AB AC
AB AC
. 0ì =
í
=î
uuur uuur
Û
b c b c
b b c c2 2 2 2
( 1)( 1) ( 1)(5 ) 0
( 1) ( 1) ( 1) (5 )
ì - - - + - =
í
- + + = - + -î
(*)
Vì c 1= không là nghiệm của (*) nên

Trang 6
(*) Û
b c
b
c
c
b b c c
c
2
2 2 2 2
2
( 1)(5 )
1 (1)
1
(5 )
( 1) ( 1) ( 1) (5 ) (2)
( 1)
ì + -
- =ï -ï
í -
ï + + + = - + -
ï -î
Từ (2) Û b c2 2
( 1) ( 1)+ = - Û
b c
b c
2é = -
ê = -ë
.
+ Với b c 2= - , thay vào (1) ta được c b4, 2= = Þ B C(2;1), (4;5) .
+ Với b c= - , thay vào (1) ta được c b2, 2= = - Þ B C( 2;5), (2;7)- .
Vậy: B C(2;1), (4;5) hoặc B C( 2;5), (2;7)- .
Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có
phương trình: d m x m y m1 :( –1) ( –2) 2 – 0+ + = ; d m x m y m2 :(2 – ) ( –1) 3 –5 0+ + = . Chứng
minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 Ç d2. Tìm m sao cho PA PB+ lớn nhất.
· Xét Hệ PT:
m x m y m
m x m y m
( 1) ( 2) 2
(2 ) ( 1) 3 5
ì - + - = -
í - + - = - +î
.
Ta có
m m
D m m
m m
2
3 11 2
2 0,
2 1 2 2
æ ö- -
= = - + > "ç ÷- - è ø
Þ d d1 2, luôn cắt nhau. Ta có: A d B d d d1 2 1 2(0;1) , (2; 1) ,Î - Î ^ Þ D APB vuông tại P Þ P
nằm trên đường tròn đường kính AB. Ta có: PA PB PA PB AB2 2 2 2
( ) 2( ) 2 16+ £ + = =
Þ PA PB 4+ £ . Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung »AB
Û P(2; 1) hoặc P(0; –1) Û m 1= hoặc m 2= . Vậy PA PB+ lớn nhất Û m 1= hoặc
m 2= .
Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x y–2 –2 0= và hai điểm A( 1;2)- ,
B(3;4). Tìm điểm MÎ(D) sao cho MA MB2 2
2 + có giá trị nhỏ nhất.
· Giả sử M M t t AM t t BM t t(2 2; ) (2 3; 2), (2 1; 4)D+ Î Þ = + - = - -
uuur uuur
Ta có: AM BM t t f t2 2 2
2 15 4 43 ( )+ = + + = Þ f t f
2
min ( )
15
æ ö
= -ç ÷
è ø
Þ M
26 2
;
15 15
æ ö
-ç ÷
è ø
Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d x y: 2 3 0- + = và 2 điểm A B(1;0), (2;1) .
Tìm điểm M trên d sao cho MA MB+ nhỏ nhất.
· Ta có: A A B Bx y x y(2 3).(2 3) 30 0- + - + = > Þ A, B nằm cùng phía đối với d.
Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua d Þ A ( 3;2)¢ - Þ Phương trình A B x y: 5 7 0¢ + - = .
Với mọi điểm M Î d, ta có: MA MB MA MB A B¢ ¢+ = + ³ .
Mà MA MB¢ + nhỏ nhất Û A¢, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của A¢B với d.
Khi đó: M
8 17
;
11 11
æ ö
-ç ÷
è ø
.

Trang 7
TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d):
x y2 – –5 0= và đường tròn (C’): x y x2 2
20 50 0+ - + = . Hãy viết phương trình đường tròn
(C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1).
· A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x y x y2 2
4 8 10 0+ - - + =
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
, A(2; –3),
B(3; –2), trọng tâm của DABC nằm trên đường thẳng d x y:3 – –8 0= . Viết phương trình
đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.
· Tìm được C (1; 1)
1
- , C2( 2; 10)- - .
+ Với C1(1; 1)- Þ (C): 2 2
x y x y
11 11 16
0
3 3 3
+ - + + =
+ Với C2( 2; 10)- - Þ (C): 2 2
x y x y
91 91 416
0
3 3 3
+ - + + =
Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d x y1 : 2 3 0+ - = ,
d x y2 :3 4 5 0+ + = , d x y3 : 4 3 2 0+ + = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và
tiếp xúc với d2 và d3.
· Gọi tâm đường tròn là I t t( ;3 2 )- Î d1.
Khi đó: d I dd I d2 3) ( , )( , = Û
t t t t3 4(3 2 ) 5
5
4 3(3 2 ) 2
5
+ - +
=
+ - +
Û
t
t
2
4
é
ê
ë
=
=
Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x y2 2 49
25
( 2) ( 1) =- + + và x y2 2 9
( 4) ( 5)
25
- + + = .
a) Với d x y1 : –6 –10 0= , d x y2 :3 4 5 0+ + = , d x y3 : 4 3 5 0- - = .
ĐS: x y2 2
( 10) 49- + = hoặc x y
2 2 2
10 70 7
43 43 43
æ ö æ ö æ ö
- + + =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
.
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x y3 8 0+ + = ,
x y':3 4 10 0D - + = và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường
thẳng D , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D¢.
· Giả sử tâm I t t( 3 8; )- - Î D.. Ta có: d I IA( , )D¢ =
Û
t t
t t2 2
2 2
3( 3 8) 4 10
( 3 8 2) ( 1)
3 4
- - - +
= - - + + -
+
Û t 3= - Þ I R(1; 3), 5- =
PT đường tròn cần tìm: x y2 2
( 1) ( 3) 25- + + = .
Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng x y: 4 3 3 0D - + = và
x y':3 4 31 0D - - = . Lập phương trình đường tròn C( ) tiếp xúc với đường thẳng D tại điểm
có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với '.D Tìm tọa độ tiếp điểm của C( ) và 'D .
· Gọi I a b( ; ) là tâm của đường tròn (C). C( ) tiếp xúc với D tại điểm M(6;9) và C( ) tiếp
xúc với D¢ nên

Trang 8
aa b a bd I d I a a
IM u
a b a b
54 34 3 3 3 4 31( , ) ( , ') 4 3 3 6 85
45 5(3;4)
3( 6) 4( 9) 0 3 4 54D
D D
ìì -- + - -ì = ï ï - + = -=Û Ûí í í
^ =î ï ï- + - = + =î î
uuur r
a a
a b
a
a bb
25 150 4 6 85
10; 6
54 3
190; 156
4
ì - = -ï é = =
Û Û-í ê = - == ëïî
Vậy: C x y2 2
( ):( 10) ( 6) 25- + - = tiếp xúc với 'D tại N(13;2)
hoặc C x y2 2
( ):( 190) ( 156) 60025+ + - = tiếp xúc với 'D tại N( 43; 40)- -
Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; 1)- và tiếp
xúc với các trục toạ độ.
· Phương trình đường tròn có dạng:
x a y a a a
x a y a a b
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
é - + + =
ê
- + - =êë
a) Þ a a1; 5= = b) Þ vô nghiệm.
Kết luận: x y2 2
( 1) ( 1) 1- + + = và x y2 2
( 5) ( 5) 25- + + = .
Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y( ): 2 4 0- - = . Lập phương
trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).
· Gọi I m m d( ;2 4) ( )- Î là tâm đường tròn cần tìm. Ta có: m m m m
4
2 4 4,
3
= - Û = = .
· m
4
3
= thì phương trình đường tròn là: x y
2 2
4 4 16
3 3 9
æ ö æ ö
- + + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
· m 4= thì phương trình đường tròn là: x y2 2
( 4) ( 4) 16- + - = .
Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (D):
x y3 –4 8 0+ = . Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (D).
· Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB
d qua M(1; 2) có VTPT là AB (4;2)=
uuur
Þ d: 2x + y – 4 = 0 Þ Tâm I(a;4 – 2a)
Ta có IA = d(I,D) a a a2
11 8 5 5 10 10Û - = - + Û 2a2
– 37a + 93 = 0 Û
a
a
3
31
2
é =
ê
=ê
ë
· Với a = 3 Þ I(3;–2), R = 5 Þ (C): (x – 3)2
+ (y + 2)2
= 25
· Với a =
31
2
Þ I
31
; 27
2
æ ö
-ç ÷
è ø
, R =
65
2
Þ (C): x y
2
231 4225
( 27)
2 4
æ ö
- + + =ç ÷
è ø
Câu 9. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d x y: 2 3 0+ - = và x y: 3 5 0D + - = . Lập
phương trình đường tròn có bán kính bằng
2 10
5
, có tâm thuộc d và tiếp xúc với D .
· Tâm I Î d Þ I a a( 2 3; )- + . (C) tiếp xúc với D nên:
d I R( , )D =
a 2 2 10
510
-
Û =
a
a
6
2
é =
Û ê = -ë

Trang 9
Þ (C): x y2 2 8
( 9) ( 6)
5
+ + - = hoặc (C): x y2 2 8
( 7) ( 2)
5
- + + = .
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x2 2
4 3 4 0+ + - = . Tia Oy
cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C¢), bán kính R¢ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại
A.
· (C) có tâm I( 2 3;0)- , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I¢ là tâm của (C¢).
PT đường thẳng IA : x t
y t
2 3
2 2
ì =
í
= +î
, I IA'Î Þ I t t(2 3 ;2 2)¢ + .
AI I A t I
1
2 '( 3;3)
2
¢= Û = Þ
uur uur
Þ (C¢): x y2 2
( 3) ( 3) 4- + - =
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y y2 2
–4 –5 0+ = . Hãy viết
phương trình đường tròn (C¢) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M
4 2
;
5 5
æ ö
ç ÷
è ø
· (C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M
Þ I¢
8 6
;
5 5
æ ö-
ç ÷
è ø
Þ (C¢): x y
2 2
8 6
9
5 5
æ ö æ ö
- + + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2
2 4 2 0+ - + + = . Viết
phương trình đường tròn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho
AB 3= .
· (C) có tâm I(1; –2), bán kính R 3= . PT đường thẳng IM: x y3 4 11 0- - = . AB 3= .
Gọi H x y( ; ) là trung điểm của AB. Ta có:
H IM
IH R AH2 2 3
2
ì Î
ï
í
= - =ïî
Û
x y
x y2 2
3 4 11 0
9
( 1) ( 2)
4
ì - - =
ï
í
- + + =ïî
Û
x y
x y
1 29
;
5 10
11 11
;
5 10
é
= - = -ê
ê
ê = = -
ë
Þ H
1 29
;
5 10
æ ö
- -ç ÷
è ø
hoặc H
11 11
;
5 10
æ ö
-ç ÷
è ø
.
· Với H
1 29
;
5 10
æ ö
- -ç ÷
è ø
. Ta có R MH AH2 2 2
43¢ = + = Þ PT (C¢): x y2 2
( 5) ( 1) 43- + - = .
· Với H
11 11
;
5 10
æ ö
-ç ÷
è ø
. Ta có R MH AH2 2 2
13¢ = + = Þ PT (C¢): x y2 2
( 5) ( 1) 13- + - = .
Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2
( 1) ( 2) 4- + - = và điểm
K(3;4) . Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao
cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).
· (C) có tâm I(1;2) , bán kính R 2= . IABSD lớn nhất Û DIAB vuông tại I Û AB 2 2= .
Mà IK 2 2= nên có hai đường tròn thoả YCBT.
+ T1( ) có bán kính R R1 2= = Þ T x y2 2
1( ):( 3) ( 4) 4- + - =

Trang 10
+ T2( ) có bán kính R 2 2
2 (3 2) ( 2) 2 5= + = Þ T x y2 2
1( ):( 3) ( 4) 20- + - = .
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
với các đỉnh: A(–2;3), B C
1
;0 , (2;0)
4
æ ö
ç ÷
è ø
.
· Điểm D(d;0) d
1
2
4
æ ö
< <ç ÷
è ø
thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A
khi và chỉ khi
( )
( )
dDB AB
d d d
DC AC d
2
2
22
91 3
44 4 1 6 3 1.
2
4 3
æ ö
+ -ç ÷-
è ø
= Û = Þ - = - Þ =
-
+ -
Phương trình AD:
x y
x y
2 3
1 0
3 3
+ -
= Û + - =
-
; AC:
x y
x y
2 3
3 4 6 0
4 3
+ -
= Û + - =
-
Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là b1- và bán kính
cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có:
( )b b
b b b
2 2
3 1 4 6
3 5
3 4
- + -
= Û - =
+
Þ
b b b
b b b
4
3 5
3
1
3 5
2
é
- = Þ = -ê
ê
ê - = - Þ =
ë
Rõ ràng chỉ có giá trị b
1
2
= là hợp lý.
Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp DABC là: x y
2 2
1 1 1
2 2 4
æ ö æ ö
- + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x y4 3 12 0- - = và (d2):
x y4 3 12 0+ - = . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên
(d1), (d2) và trục Oy.
· Gọi A d d B d Oy C d Oy1 2 1 2, ,= Ç = Ç = Ç Þ A B C(3;0), (0; 4), (0;4)- Þ DABC cân đỉnh A
và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp DABC
Þ I R
4 4
;0 ,
3 3
æ ö
=ç ÷
è ø
.
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0- - = và hai đường tròn có
phương trình: (C1): x y2 2
( 3) ( 4) 8- + + = , (C2): x y2 2
( 5) ( 4) 32+ + - = . Viết phương trình
đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2).
· Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I a a d( ; –1)Î .
(C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II R R II R R II R II R1 1 2 2 1 1 2 2, – –= + = + Þ =
Û a a a a2 2 2 2
( 3) ( 3) 2 2 ( 5) ( 5) 4 2- + + - = - + + - Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2
Þ Phương trình (C): x y2 2
( 1) 2+ + = .
Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9),
M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp
DABC.

Trang 11
· y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0.
Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C x y x2 2
: 2 0+ + = . Viết phương trình tiếp
tuyến của ( )C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30o
.
· C x y I R2 2
( ):( 1) 1 ( 1;0); 1+ + = Þ - = . Hệ số góc của tiếp tuyến (D) cần tìm là 3± .
Þ PT (D) có dạng x y b1 : 3 0D - + = hoặc x y b2 : 3 0D + + =
+ x y b1 : 3 0D - + = tiếp xúc (C) d I R1( , )DÛ =
b
b
3
1 2 3
2
-
Û = Û = ± + .
Kết luận: x y1( ): 3 2 3 0D - ± + =
+ x y b2( ): 3 0D + + = tiếp xúc (C) d I R2( , )DÛ =
b
b
3
1 2 3
2
-
Û = Û = ± + .
Kết luận: x y2( ): 3 2 3 0D + ± + = .
Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2
6 2 5 0+ - - + = và
đường thẳng (d): x y3 3 0+ - = . Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp
tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 0
45 .
· (C) có tâm I(3; 1), bán kính R = 5 . Giả sử (D): ax by c c0 ( 0)+ + = ¹ .
Từ:
d I
d
( , ) 5
2
cos( , )
2
D
D
ì =
ï
í
=ï
î
Þ
a b c
a b c
2, 1, 10
1, 2, 10
é = = - = -
ê = = = -ë
Þ
x y
x y
: 2 10 0
: 2 10 0
D
D
é - - =
ê + - =ë
.
Câu 20. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn C x y2 2
( ):( 1) ( 1) 10- + - = và đường thẳng
d x y: 2 2 0- - = . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn C( ) , biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng d một góc 0
45 .
· (C) có tâm I(1;1) bán kính R 10= . Gọi n a b( ; )=
r
là VTPT của tiếp tuyến D a b2 2
( 0)+ ¹ ,
Vì ·d 0
( , ) 45D = nên
a b
a b2 2
2 1
2. 5
-
=
+
a b
b a
3
3
é =
Û ê = -ë
· Với a b3= Þ D: x y c3 0+ + = . Mặt khác d I R( ; )D =
c4
10
10
+
Û =
c
c
6
14
é =
Û ê = -ë
· Với b a3= - Þ D: x y c3 0- + = . Mặt khác d I R( ; )D =
c2
10
10
- +
Û =
c
c
8
12
é = -
Û ê =ë
Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: x y3 6 0;+ + = x y3 14 0+ - = ; x y3 8 0;- - = x y3 12 0- + = .
Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C1): x y x y2 2
–2 –2 –2 0+ = , (C2): x y x y2 2
–8 –2 16 0+ + = .
· (C1) có tâm I1(1; 1), bán kính R1 = 2; (C2) có tâm I2(4; 1) , bán kính R2 = 1.
Ta có: I I R R1 2 1 23= = + Þ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)
Þ (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy.
* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: y ax b ax y b( ): ( ): 0D D= + Û - + = ta có:

Trang 12
a b
a ad I R a b hay
d I R a b
b b
a b
2 2
1 1
2 2
2 2
1
2 22
( ; ) 4 4
( ; ) 4 1 4 7 2 4 7 2
1
4 4
D
D
ì + - ì ì=ï = = -ï ïì = ï ï ï+Û Ûí í í í
= + - - +î ï ï ï= ==
ï ï ïî î+î
Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: x y x y x1 2 3
2 4 7 2 2 4 7 2
( ): 3, ( ): , ( )
4 4 4 4
D D D
+ -
= = - + = +
Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): x y2 2
( 2) ( 3) 2- + - = và
(C’): x y2 2
( 1) ( 2) 8- + - = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’).
· (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R 2= ; (C¢) có tâm I¢(1; 2) và bán kính R' 2 2= .
Ta có: II R R' 2 ¢= = - Þ (C) và (C¢) tiếp xúc trong Þ Tọa độ tiếp điểm M(3; 4).
Vì (C) và (C¢) tiếp xúc trong nên chúng có duy nhất một tiếp tuyến chung là đường thẳng qua
điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến là II ( 1; 1)¢ = - -
uur
Þ PTTT: x y 7 0+ - =
Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C x y y2 2
1( ): 2 3 0+ - - = và
C x y x y2 2
2( ) : 8 8 28 0+ - - + = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của C1( ) và C2( ) .
· C1( ) có tâm I1(0;1), bán kính R1 2= ; C2( ) có tâm I2(4;4) , bán kính R2 2= .
Ta có: I I R R1 2 1 25 4= > = + Þ C C1 2( ),( ) ngoài nhau. Xét hai trường hợp:
+ Nếu d // Oy thì phương trình của d có dạng: x c 0+ = .
Khi đó: d I d d I d c c1 2
( , ) ( , ) 4= Û = + Û c 2= - Þ d x: 2 0- = .
+ Nếu d không song song với Oy thì phương trình của d có dạng: d y ax b: = + .
Khi đó:
d I d
d I d d I d
1
1 2
( , ) 2
( , ) ( , )
ì =
í
=î
Û
b
a
b a b
a a
2
2 2
1
2
1
1 4 4
1 1
ì - +
=ï
ï +
í
- + - +ï =
ï + +î
Û
a b
a b
a b
3 7
;
4 2
3 3
;
4 2
7 37
;
24 12
é
= =ê
ê
ê = = -
ê
ê
= - =êë
Þ d x y:3 4 14 0- + = hoặc d x y:3 4 6 0- - = hoặc d x y: 7 24 74 0+ - = .
Vậy: d x: 2 0- = ; d x y:3 4 14 0- + = ; d x y:3 4 6 0- - = ; d x y: 7 24 74 0+ - = .
Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C x y y2 2
1( ): 4 5 0+ - - = và
C x y x y2 2
2( ) : 6 8 16 0+ - + + = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của C1( ) và C2( ) .
· C1( ) có tâm I1(0;1), bán kính R1 3= ; C2( ) có tâm I2(3; 4)- , bán kính R2 3= .
Giả sử tiếp tuyến chung D của C C1 2( ), ( ) có phương trình: ax by c a b2 2
0 ( 0)+ + = + ¹ .
D là tiếp tuyến chung của C C1 2( ), ( )Û
d I R
d I R
1 1
2 2
( , )
( , )
D
D
ì =
í
=î
Û
b c a b
a b c a b
2 2
2 2
2 3 (1)
3 4 3 (2)
ìï + = +
í
- + = +ïî
Từ (1) và (2) suy ra a b2= hoặc
a b
c
3 2
2
- +
= .
+ TH1: Với a b2= . Chọn b 1= Þ a c2, 2 3 5= = - ± Þ x y: 2 2 3 5 0D + - ± =

Trang 13
+ TH2: Với
a b
c
3 2
2
- +
= . Thay vào (1) ta được:
a
a b a b
a b
2 2
0
2 2 4
3
é =
ê- = + Û
= -ê
ë
.
Þ y: 2 0D + = hoặc x y: 4 3 9 0D - - = .
Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x y x2 2
4 3 4 0+ + - = . Tia Oy cắt (C) tại điểm
A. Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính R¢ = 2 sao cho (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại
A.
· (C) có tâm I( 2 3;0)- , bán kính R 4= . Tia Oy cắt (C) tại A(0;2). Gọi J là tâm của (T).
Phương trình IA: x t
y t
2 3
2 2
ì =
í
= +î
. Giả sử J t t IA(2 3 ;2 2) ( )+ Î .
(T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A nên AI JA t J
1
2 ( 3;3)
2
= Þ = Þ
uur uur
.
Vậy: T x y2 2
( ):( 3) ( 3) 4- + - = .
Câu 26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2
1+ = và phương trình:
x y m x my2 2
–2( 1) 4 –5 0+ + + = (1). Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của
đường tròn với mọi m. Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C).
· (Cm) có tâm I m m( 1; 2 )+ - , bán kính R m m2 2
' ( 1) 4 5= + + + ,
(C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 1, OI m m2 2
( 1) 4= + + , ta có OI < R¢
Vậy (C) và (Cm) chỉ tiếp xúc trong. Þ R¢ – R = OI ( vì R’ > R) Þ m m
3
1;
5
= - = .
Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn có phương trình C x y2 2
1
1
( ):( 1)
2
- + = và
C x y2 2
2( ) :( 2) ( 2) 4- + - = . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với C1( ) và cắt C2( )
tại hai điểm M N, sao cho MN 2 2= .
· C1( ) có tâm I1(1;0), bán kính R1
1
2
= ; C2( ) có tâm I1(2;2), bán kính R2 2= . Gọi H là
trung điểm của MN Þ
MN
d I d I H R
2
2
2 2 2( , ) 2
2
æ ö
= = - =ç ÷
è ø
Phương trình đường thẳng d có dạng: ax by c a b2 2
0 ( 0)+ + = + ¹ .
Ta có:
d I d
d I d
1
2
1
( , )
2
( , ) 2
ì
=ï
í
ï =î
Û
a c a b
a b c a b
2 2
2 2
2
2 2 2
ìï + = +
í
+ + = +ïî
. Giải hệ tìm được a, b, c.
Vậy: d x y d x y: 2 0; : 7 6 0+ - = + - = ; d x y: 2 0- - = ; d x y: 7 2 0- - =
Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x2 2
–6 5 0+ + = . Tìm điểm
M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó
bằng 0
60 .

Trang 14
· (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) Î Oy
Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB Þ
·
·
AMB
AMB
0
0
60 (1)
120 (2)
é =
ê
=êë
Vì MI là phân giác của ·AMB nên:
(1) Û ·AMI = 300 IA
MI
0
sin30
Û = Û MI = 2R Û m m2
9 4 7+ = Û = ±
(2) Û ·AMI = 600 IA
MI
0
sin60
Û = Û MI =
2 3
3
R Û m2 4 3
9
3
+ = Vô nghiệm Vậy có
hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0; 7- )
Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng D định bởi:
C x y x y x y2 2
( ): 4 2 0; : 2 12 0D+ - - = + - = . Tìm điểm M trên D sao cho từ M vẽ được với
(C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600
.
· Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R 5= .
Gọi A, B là hai tiếp điểm. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600
thì IAM là nửa tam
giác đều suy ra IM R=2 52= .
Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: x y2 2
( 2) ( 1) 20- + - = .
Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng D, nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ phương trình:
x y
x y
2 2
( 2) ( 1) 20 (1)
2 12 0 (2)
ì - + - =
í
+ - =î
Khử x giữa (1) và (2) ta được: ( ) ( )
y
y y y y
y
2 2 2
3
2 10 1 20 5 42 81 0 27
5
é =
ê- + + - = Û - + = Û
=ê
ë
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: ( )M 6;3 hoặc M
6 27
;
5 5
æ ö
ç ÷
è ø
( 1) ( 2) 9- + + = và đường
thẳng d x y m: 0+ + = . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ
được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC
vuông.
· (C) có tâm I(1; –2), R = 3. ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 IA 3 2Þ =
Û
m m
m
m
1 5
3 2 1 6
72
- é = -
= Û - = Û ê =ë
a) C x y d x y m2 2
( ): 1, : 0+ = - + = ĐS: m 2= ± .
( 1) ( 2) 9- + + = và đường
thẳng d x y m:3 4 0- + = . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được
hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (C) (A, B là hai tiếp điểm) sao cho PAB là tam giác đều.
· (C) có tâm I(1; 2)- , bán kính R 3= . DPAB đều Þ PI AI R2 2 6= = = Þ P nằm trên đường
tròn (T) có tâm I, bán kính r 6= . Do trên d có duy nhất một điểm P thoả YCBT nên d là tiếp

Trang 15
tuyến của (T) Þ
m m
d I d
m
11 19
( , ) 6 6
415
+ é =
= Û = Û ê = -ë
.
Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn C x y x y2 2
( ): 18 6 65 0+ - - + =
và C x y2 2
( ): 9¢ + = . Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C¢),
gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8.
· (C’) có tâm ( )O 0;0 , bán kính R OA 3= = . Gọi H AB OM= Ç Þ H là trung điểm của AB
Þ AH
12
5
= . Suy ra: OH OA AH2 2 9
5
= - = và
OA
OM
OH
2
5= = .
Giả sử M x y( ; ). Ta có:
M C x y x y
OM x y
2 2
2 2
( ) 18 6 65 0
5 25
ìïì Î + - - + =
Ûí í= + =î ïî
x x
y y
4 5
3 0
ì ì= =
Û Úí í= =î î
Vậy M(4;3) hoặc M(5;0).
Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2
( 1) ( 2) 4- + + = . M là điểm
di động trên đường thẳng d y x: 1= + . Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến MT1,
MT2 tới (C) (T1, T2 là tiếp điểm) và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng T T1 2 đi qua điểm
A(1; 1)- .
· (C) có tâm I(1; 2)- , bán kính R 2= . Giả sử M x x d0 0( ; 1)+ Î .
IM x x x R2 2 2
0 0 0( 1) ( 3) 2( 1) 8 2= - + + = + + > = Þ M nằm ngoài (C) Þ qua M kẻ được
2 tiếp tuyến tới (C).
Gọi J là trung điểm IM Þ
x x
J 0 01 1
;
2 2
æ ö+ -
ç ÷
è ø
. Đường tròn (T) đường kính IM có tâm J bán
kính
IM
R1
2
= có phương trình
x x x x
T x y
2 2 2 2
0 0 0 01 1 ( 1) ( 3)
( ):
2 2 4
æ ö æ ö+ - - + +
- + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT1, MT2 đến (C) Þ · ·IT M IT M T T T0
1 2 1 290 , ( )= = Þ Î
T T C T1 2{ , } ( ) ( )Þ = Ç Þ toạ độ T T1 2, thoả mãn hệ:
x x x x
x y x x x y x
x y
2 2
2 20 0 0 0
0 0 0
2 2
1 1 ( 1) ( 3)
( ) ( ) (1 ) (3 ) 3 0 (1)2 2 4
( 1) ( 2) 4
ì + - - + +
ï - + - = Þ - - + - - =í
ï - + + =î
Toạ độ các điểm T T1 2, thoả mãn (1), mà qua 2 điểm phân biệt xác định duy nhất 1 đường
thẳng nên phương trình T T1 2 là x x y x x0 0 0(1 ) (3 ) 3 0- - + - - = .
A(1; 1)- nằm trên T T1 2 nên x x x0 0 01 (3 ) 3 0- + + - - = Û x0 1= Þ M(1;2).
( –1) ( 1) 25+ + = và điểm
M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao
cho MA = 3MB.
· M CP /( ) 27 0= > Þ M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.
Mặt khác:
M CP MA MB MB MB BH2
/( ) . 3 3 3= = Þ = Þ =
uuur uuur
IH R BH d M d2 2
4 [ ,( )]Þ = - = =

Trang 16
Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2
+ b2
> 0).
aa b
d M d
a ba b2 2
06 4
[ ,( )] 4 4 12
5
é =- -
ê= Û = Û
= -ê+ ë
. Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0.
Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2)
và cắt đường tròn (C) có phương trình x y2 2
( 2) ( 1) 25- + + = theo một dây cung có độ dài
bằng l 8= .
· d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 Û ax + by – a – 2b = 0 ( a2
+ b2
> 0)
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài l 8= nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d
bằng 3.
( ) a b a b
d I d a b a b
a b
2 2
2 2
2 2
, 3 3 3
- - -
= = Û - = +
+
a
a ab
a b
2
0
8 6 0 3
4
é =
êÛ + = Û
= -ê
ë
· a = 0: chọn b = 1 Þ d: y – 2 = 0 · a = b
3
4
- : chọn a = 3, b = – 4 Þ d: 3x – 4 y + 5 = 0.
a) d đi qua O, C x y x y2 2
( ): 2 6 15 0+ - + - = , l 8= . ĐS: d x y:3 4 0- = ; d y: 0= .
b) d đi qua Q(5;2) , C x y x y2 2
( ): 4 8 5 0+ - - - = , l 5 2= .
ĐS: d x y: 3 0- - = ; d x y:17 7 71 0- - = .
c) d đi qua A(9;6) , C x y x y2 2
( ): 8 2 0+ - - = , l 4 3= .
ĐS: d y x: 2 12= - ; d y x
1 21
:
2 2
= - +
Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x y x y2 2
2 8 8 0+ + - - = . Viết
phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng d x y:3 2 0+ - = và cắt đường tròn
(C) theo một dây cung có độ dài l 6= .
· (C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng D có dạng: x y c c3 0, 2+ + = ¹ .
Vì D cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:
( )
c c
d I
c2
3 4 4 10 1
, 4
4 10 13 1
D
- + + é = -
Þ = = Û ê
= - -ë+
.
Vậy phương trình D cần tìm là: x y3 4 10 1 0+ + - = hoặc x y3 4 10 1 0+ - - = .
a) C x y2 2
( ):( 3) ( 1) 3- + - = , d x y:3 4 2012 0- + = , l 2 5= .
ĐS: x y:3 4 5 0D - + = ; x y:3 4 15 0D - - = .
Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn C x y2 2
( ):( 4) ( 3) 25+ + - = và
đường thẳng x y:3 4 10 0D - + = . Lập phương trình đường thẳng d biết d ( )D^ và d cắt (C)
tại A, B sao cho AB = 6.
· (C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do d D^ nên
PT của d có dạng: x y m4 3 0+ + = .
Ta có: d I 1( ,( ))D = IH = AI AH2 2 2 2
5 3 4- = - = Û
mm
m2 2
2716 9
4
134 3
é =- + +
= Û ê
= -ë+

Trang 17
Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: x y4 3 27 0+ + = và x y4 3 13 0+ - = .
2 2 3 0+ - - - = và điểm
M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có
độ dài ngắn nhất.
· (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5 . IM = 2 5< Þ M nằm trong đường tròn (C).
Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d.
Ta có: AB = 2AH = IA IH IH IM2 2 2 2
2 2 5 2 5 2 3- = - ³ - = .
Dấu "=" xảy ra Û H º M hay d ^ IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI (1; 1)= -
uuur
Þ Phương trình d: x y 2 0- + = .
a) Với (C): x y x y2 2
8 4 16 0+ - - - = , M(–1; 0). ĐS:
d x y: 5 2 5 0+ + =
Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm
M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có
diện tích lớn nhất.
· Tam giác OAB có diện tích lớn nhất Û DOAB vuông cân tại O. Khi đó d O d
5 2
( , )
2
= .
Giả sử phương trình đường thẳng d: A x B y A B2 2
( 2) ( 6) 0 ( 0)- + - = + ¹
d O d
5 2
( , )
2
= Û
A B
A B2 2
2 6 5 2
2
- -
=
+
Û B AB A2 2
47 48 17 0+ - = Û
B A
B A
24 5 55
47
24 5 55
47
é - -
=ê
ê
- +ê
=êë
+ Với B A
24 5 55
47
- -
= : chọn A = 47 Þ B = 24 5 55- -
Þ d: ( )x y47( 2) 24 5 55 ( 6) 0- - + - =
+ Với B A
24 5 55
47
- +
= : chọn A = 47 Þ B = 24 5 55- +
Þ d: ( )x y47( 2) 24 5 55 ( 6) 0- + - + - =
a) C x y x y2 2
( ): 4 6 9 0+ + - + = , M(1; 8)- . ĐS: x y x y7 1 0; 17 7 39 0+ + = + + = .
6 2 6 0+ - + - = và điểm
A(3;3) . Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách
giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C).
· (C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3) Î (C).
PT đường thẳng d có dạng: a x b y a b2 2
( 3) ( 3) 0, 0- + - = + ¹ Û ax by a b3 3 0+ - - = .
Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B Þ AB = 4 2 . Gọi I là tâm hình vuông.
Ta có: d I d AD AB
1 1
( , ) 2 2 ( )
2 2
= = =
a b a b
a b2 2
3 3 3
2 2
- - -
Û =
+

Trang 18
b a b a b a b2 2 2 2
4 2 2Û = + Û = Û = ± . Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1.
Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: x y 6 0+ - = hoặc x y 0- = .
Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x y2 2
13+ = và (C2):
x y2 2
( 6) 25- + = . Gọi A là một giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương trình
đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
· (C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 = 13 . (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = 5. Giao điểm
A(2; 3). Giả sử d: a x b y a b2 2
( 2) ( 3) 0 ( 0)- + - = + ¹ . Gọi d d O d d d I d1 2 2( , ), ( , )= = .
Từ giả thiết Þ R d R d2 2 2 2
1 1 2 2- = - Û d d2 2
2 1 12- = Û
a a b a b
a b a b
2 2
2 2 2 2
(6 2 3 ) ( 2 3 )
12
- - - -
- =
+ +
Û b ab2
3 0+ = Û
b
b a
0
3
é =
ê = -ë
.
· Với b = 0: Chọn a = 1 Þ Phương trình d: x 2 0- = .
· Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 Þ Phương trình d: x y3 7 0- + = .
Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: mx y4 0+ = , đường tròn (C):
x y x my m2 2 2
2 2 24 0+ - - + - = có tâm I. Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.
· (C) có tâm I m(1; ) , bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
m m m
IH d I
m m2 2
4 5
( , )
16 16
+
= D = =
+ +
;
m
AH IA IH
m m
2
2 2
2 2
(5 ) 20
25
16 16
= - = - =
+ +
IABS 12D = Û
m
d I AH m m
m
2
3
( , ). 12 3 25 48 0 16
3
é = ±
êD = Û - + = Û
= ±ê
ë
Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C x y2 2
( ): 1+ = , đường thẳng
d x y m( ): 0+ + = . Tìm m để C( ) cắt d( ) tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.
· (C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B d O d( ; ) 1Û <
Khi đó: · ·
OABS OA OB AOB AOB
1 1 1
. .sin .sin
2 2 2
= = £ . Dấu "=" xảy ra Û ·AOB 0
90= .
Vậy AOBS lón nhất Û ·AOB 0
90= . Khi đó d I d
1
( ; )
2
= m 1Û = ± .
Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d( ) : x my2 1 2 0+ + - = và
đường tròn có phương trình C x y x y2 2
( ): 2 4 4 0+ - + - = . Gọi I là tâm đường tròn C( ) . Tìm
m sao cho d( ) cắt C( ) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam
giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.
· C( ) có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.
(d) cắt C( ) tại 2 điểm phân biệt A, B d I d R( , )Û < m m22 2 1 2 3 2Û - + - < +

Trang 19
m m m m m m R2 2 21 4 4 18 9 5 4 17 0Û - + < + Û + + > Û Î
Ta có: ·S IA IB AIB IA IB
IAB
1 1 9
. sin .
2 2 2
= £ =
Vậy: S
IAB
lớn nhất là
9
2
khi ·AIB 0
90= Û AB = R 2 3 2= Û d I d
3 2
( , )
2
=
Û m m
3 2 21 2 2
2
- = + m m22 16 32 0Û + + = m 4Û = -
a) Với d x my m: –2 3 0+ + = , C x y x y2 2
( ): 4 4 6 0+ + + + = . ĐS:
m m
8
0
15
= Ú =
Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn C x y x y2 2
( ): 4 6 9 0+ + - + = và
điểm M(1; 8)- . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân
biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).
· (C) có tâm I( 2;3)- , bán kính R 2= .
PT đường thẳng d qua M(1; 8)- có dạng: d ax by a b: 8 0+ - + = (a b2 2
0+ ¹ ).
· ·
IABS IA IB AIB AIB
1
. .sin 2sin
2D = = .
Do đó: IABSD lớn nhất Û ·AIB 0
90= Û d I d IA
2
( , ) 2
2
= =
Û
b a
a b2 2
11 3
2
-
=
+
Û a ab b2 2
7 66 118 0- + = Û
a b
a b
7
7 17
é =
ê =ë
.
+ Với b a1 7= Þ = Þ d x y: 7 1 0+ + = + Với b a7 17= Þ = Þ d x y:17 7 39 0+ + =
Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2
4 4 6 0+ + + + = và
đường thẳng D: x my m–2 3 0+ + = với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C).
Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DIAB lớn nhất.
· (C) có tâm là I (–2; –2); R = 2 . Giả sử D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Kẻ đường cao IH của DIAB, ta có: SDABC = ·
IABS IA IB AIB
1
. .sin
2
= = ·AIBsin
Do đó IABS lớn nhất Û sin·AIB = 1 Û DAIB vuông tại I Û IH =
IA
1
2
= (thỏa IH < R)
Û
m
m2
1 4
1
1
-
=
+
Û 15m2
– 8m = 0 Û m = 0 hay m =
8
15
a) Với C x y x y2 2
( ): 2 4 4 0+ - + - = , x my: 2 1 2 0D + + - = . ĐS: m 4= - .
b) Với C x y x y2 2
( ): 2 4 5 0+ - - - = , x my: 2 0D + - = . ĐS: m 2= -
Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x y–5 –2 0= và đường tròn (C):
x y x y2 2
2 4 8 0+ + - - = . Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường
thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho

Trang 20
tam giác ABC vuông ở B.
· Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình
y xx y x y
y xx y
2 2 0; 22 4 8 0
1; 35 2 0
ì ì = =+ + - - = Ûí í = - = -- - = îî
. Vì Ax 0> nên ta được A(2;0), B(–3;–1).
Vì ·ABC 0
90= nên AC là đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I
của đường tròn. Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4).
Câu 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ): x y x y2 2
2 4 8 0+ + - - = và
đường thẳng ( D ): x y2 3 1 0- - = . Chứng minh rằng ( D ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt
A, B . Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn (C ) sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất.
· (C) có tâm I(–1; 2), bán kính R = 13 . d I R
9
( , )
13
D = < Þ đường thẳng (D ) cắt (C) tại
hai điểm A, B phân biệt. Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có ABMS AB d M
1
. ( , )
2D D= . Trong đó
AB không đổi nên ABMSD lớn nhất Û d M( , )D lớn nhất.
Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với (D ). PT đường thẳng d là
x y3 2 1 0+ - = .
Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C). Toạ độ P, Q là nghiệm của hệ
phương trình: x y x y
x y
2 2
2 4 8 0
3 2 1 0
ì + + - - =
í
+ - =î
Û
x y
x y
1, 1
3, 5
é = = -
ê = - =ë
Þ P(1; –1); Q(–3; 5)
Ta có d P
4
( , )
13
D = ; d Q
22
( , )
13
D = . Như vậy d M( , )D lớn nhất Û M trùng với Q.
Vậy tọa độ điểm M(–3; 5).
2 4 5 0+ - - - = và A(0;
–1) Î (C). Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho DABC đều.
· (C) có tâm I(1;2) và R= 10 . Gọi H là trung điểm BC. Suy ra AI IH2.=
uur uur
H
3 7
;
2 2
æ ö
Û ç ÷
è ø
ABCD đều Þ I là trọng tâm. Phương trình (BC): x y3 12 0+ - =
Vì B, C Î (C) nên tọa độ của B, C là các nghiệm của hệ phương trình:
x y x y x y x y
x y x y
2 2 2 2
2 4 5 0 2 4 5 0
3 12 0 12 3
ì ì+ - - - = + - - - =Ûí í
+ - = = -î î
Giải hệ PT trên ta được: B C
7 3 3 3 3 7 3 3 3 3
; ; ;
2 2 2 2
æ ö æ ö+ - - +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
hoặc ngược lại.
Câu 50. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2
( 3) ( 4) 35- + - = và điểm
A(5; 5). Tìm trên (C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
· (C) có tâm I(3; 4). Ta có:
AB AC
IB IC
ì =
í =î
Þ AI là đường trung trực của BC. DABC vuông cân
tại A nên AI cũng là phân giác của ·BAC . Do đó AB và AC hợp với AI một góc 0
45 .
Gọi d là đường thẳng qua A và hợp với AI một góc 0
45 . Khi đó B, C là giao điểm của d với
(C) và AB = AC. Vì IA (2;1)=
uur
¹ (1; 1), (1; –1) nên d không cùng phương với các trục toạ độ
Þ VTCP của d có hai thành phần đều khác 0. Gọi u a(1; )=
r
là VTCP của d. Ta có:

Trang 21
( ) a a
IA u
a a2 2 2
2 2 2
cos ,
21 2 1 5 1
+ +
= = =
+ + +
uur r
Û a a2
2 2 5 1+ = + Û
a
a
3
1
3
é =
ê
= -ê
ë
+ Với a = 3, thì u (1;3)=
r
Þ Phương trình đường thẳng d:
x t
y t
5
5 3
ì = +
í = +î
.
Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là:
9 13 7 3 13 9 13 7 3 13
; , ;
2 2 2 2
æ ö æ ö+ + - -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
+ Với a =
1
3
- , thì u
1
1;
3
æ ö
= -ç ÷
è ø
r
Þ Phương trình đường thẳng d:
x t
y t
5
1
5
3
ì = +
ï
í
= -ïî
.
Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là:
7 3 13 11 13 7 3 13 11 13
; , ;
2 2 2 2
æ ö æ ö+ - - +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
+Vì AB = AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là:
7 3 13 11 13 9 13 7 3 13
; , ;
2 2 2 2
æ ö æ ö+ - + +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
và
7 3 13 11 13 9 13 7 3 13
; , ;
2 2 2 2
æ ö æ ö- + - -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu 51. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2
4+ = và các điểm A
8
1;
3
æ ö
-ç ÷
è ø
,
B(3;0). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tam giác MAB có diện tích bằng
20
3
.
· AB AB x y
64 10
4 ; : 4 3 12 0
9 3
= + = - - = . Gọi M(x;y) và h d M AB( , )= .
Ta có:
x y x y
h AB h
x y
4 3 121 20 4 3 8 0
. 4 4
4 3 32 02 3 5
- - é - + =
= Û = Û = Û ê - - =ë
+
x y
M M
x y2 2
4 3 8 0 14 48
( 2;0); ;
25 754
ì æ ö- + =
Þ - -ç ÷í
+ = è øî
+
x y
x y2 2
4 3 32 0
4
ì - - =
í
+ =î
(vô nghiệm)
Câu 52. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn C x y x y2 2
( ): 2 6 9 0+ + - + = và đường
thẳng d x y:3 4 5 0- + = . Tìm những điểm M Î (C) và N Î d sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.
· (C) có tâm I( 1;3)- , bán kính R 1= Þ d I d R( , ) 2= > Þ d C( )Ç = Æ .
Gọi D là đường thẳng qua I và vuông góc với d Þ x y( ): 4 3 5 0D + - = .
Gọi N d N0 0
1 7
;
5 5
D
æ ö
= Ç Þ ç ÷
è ø
.
Gọi M M1 2, là các giao điểm của D và (C) Þ M M1 2
2 11 8 19
; , ;
5 5 5 5
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Þ MN ngắn nhất khi M M N N1 0,º º .
Vậy các điểm cần tìm: M C
2 11
; ( )
5 5
æ ö
- Îç ÷
è ø
, N d
1 7
;
5 5
æ ö
Îç ÷
è ø
.

Trang 22
TĐP 03: CÁC ĐƯỜNG CÔNIC
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E):
x y2 2
1
25 16
+ = . A, B là các điểm trên (E)
sao cho: AF BF1 2 8+ = , với F F1 2, là các tiêu điểm. Tính AF BF2 1+ .
· 1AF AF a2 2+ = và BF BF a1 2 2+ = Þ 1 2AF AF BF BF a1 2 4 20+ + + = =
Mà 1AF BF2 8+ = Þ 2AF BF1 12+ =
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình elip với các tiêu điểm
F F1 2( 1;1), (5;1)- và tâm sai e 0,6= .
· Giả sử M x y( ; ) là điểm thuộc elip. Vì nửa trục lớn của elip là
c
a
e
3
5
0,6
= = = nên ta có:
MF MF x y x y2 2 2 2
1 2 10 ( 1) ( 1) ( 5) ( 1) 10+ = Û + + - + - + - = Û
x y2 2
( 2) ( 1)
1
25 16
- -
+ =
Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E):
x y2 2
1
4 1
+ = . Tìm toạ độ
các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam
giác ABC là tam giác đều.
· A B
2 4 3 2 4 3
; , ;
7 7 7 7
æ ö æ ö
-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
x y2 2
1
100 25
+ = . Tìm các điểm M Î (E) sao
cho ·F MF 0
1 2 120= (F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)).
· Ta có: a b10, 5= = Þ c 5 3= . Gọi M(x; y) Î (E) Þ MF x MF x1 2
3 3
10 , 10
2 2
= - = + .
·F F MF MF MF MF F MF2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 22 . .cos= + -
Û ( ) x x x x
2 2
2 3 3 3 3 1
10 3 10 10 2 10 10
2 2 2 2 2
æ ö æ ö æ öæ öæ ö
= - + + - - + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷
è ø è ø è øè øè ø
Û x = 0 (y= ± 5). Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5).
Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm F F1 2( 3;0); ( 3;0)- và đi qua điểm
A
1
3;
2
æ ö
ç ÷
è ø
. Lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M trên elip, hãy tính biểu
thức: P F M F M OM F M F M2 2 2
1 2 1 2–3 – .= + .
· (E):
x y
a b a b
2 2
2 2 2 2
3 1
1 1
4
+ = Þ + = , a b2 2
3= + Þ
x y2 2
1
4 1
+ =
Þ M M M M MP a ex a ex x y a e x2 2 2 2 2 2 2
( ) ( – ) –2( ) –( ) 1= + + + - =

Trang 23
Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 2
4 16 64+ = . Gọi F2 là tiêu điểm bên phải
của (E). M là điểm bất kì trên (E). Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 và
tới đường thẳng x
8
:
3
D = có giá trị không đổi.
· Ta có: F2( 12;0) . Gọi M x y E0 0( ; ) ( )Î Þ
x
MF a ex 0
2 0
8 3
2
-
= - = ,
x
d M x 0
0
8 38
( , )
3 3
D
-
= - = (vì x04 4- £ £ ) Þ
MF
d M
2 3
( , ) 2D
= (không đổi).
Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 2
5 16 80+ = và hai điểm A(–5; –1),
B(–1; 1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích DMAB.
· Phương trình đường thẳng (AB): x y2 3 0- + = và AB 2 5=
Gọi M x y E x y2 2
0 0 0 0( ; ) ( ) 5 16 80.Î Þ + = Ta có:
x y x y
d M AB 0 0 0 02 3 2 3
( ; )
1 4 5
- + - +
= =
+
Diện tích DMAB: S AB d M AB x y0 0
1
. . ( ; ) 2 3
2
= = - -
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 2 cặp số x y0 0
1 1
; , ( 5 ; 4 )
25
æ ö
-ç ÷
è ø
có:
( )x y x y
2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1 9
. 5 .4 5 16 .80 36
2 5 4 205
æ ö æ ö
- £ + + = =ç ÷ ç ÷
è øè ø
x y x y x y x y0 0 0 0 0 0 0 02 6 6 2 6 3 2 3 9 2 3 9Û - £ Û - £ - £ Û - £ - + £ Þ - + £
x y
x y
x y
x y
x y
0 0
0 0
0 0
0 0
5 4
5 81 1
max 2 3 9
2 625
2 3 9
ì
=ï ì = -ï
Þ - + = Û Û-í í
- =îï
ï - + =î
x
y
0
0
8
3
5
3
ì
=ï
Û í
ï = -
î
Vậy, MABS khi M
8 5
max 9 ;
3 3
æ ö
= -ç ÷
è ø
.
Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp
x y
E
2 2
( ): 1
9 4
+ = và hai điểm A(3;–2), B(–3;
2) . Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích
lớn nhất.
· PT đường thẳng AB: x y2 3 0+ = . Gọi C(x; y) Î (E), với x y0, 0> > Þ
x y2 2
1
9 4
+ = .
ABC
x y
S AB d C AB x y
1 85 85
. ( , ) 2 3 3.
2 13 3 22 13
= = + = +
x y2 2
85 170
3 2 3
13 9 4 13
æ ö
£ + =ç ÷
ç ÷
è ø
Dấu "=" xảy ra Û
x y
x
x y
y
2 2
21 39 4 2
2
3 2
ì
ì+ =ïï ï =Ûí í
ï ï= =îïî
. Vậy C
3 2
; 2
2
æ ö
ç ÷
è ø
.

Trang 24
Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip
x y
E
2 2
( ): 1
25 9
+ = và điểm M(1;1). Viết phương
trình đường thẳng đi qua M và cắt elip tại hai điểm A B, sao cho M là trung điểm của AB .
· Nhận xét rằng M OxÏ nên đường thẳng x 1= không cắt elip tại hai điểm thỏa YCBT.
Xét đường thẳng D qua M(1; 1) có PT: y k x( 1) 1= - + . Toạ độ các giao điểm A B, của D và
E( ) là nghiệm của hệ:
x y
y k x
2 2
1 (1)
25 9
( 1) 1 (2)
ì
ï + =
í
ï = - +î
Þ k x k k x k k2 2 2
(25 9) 50 ( 1) 25( 2 9) 0+ - - + - - = (3)
PT (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, với mọi k . Theo Viet:
k k
x x
k
1 2 2
50 ( 1)
25 9
-
+ =
+
.
Do đó M là trung điểm của AB M
k k
x x x k
k
1 2 2
50 ( 1) 9
2 2
2525 9
-
Û + = Û = Û = -
+
.
Vậy PT đường thẳng D: x y9 25 34 0+ - = .
a) Với
x y
E
2 2
( ): 1
9 4
+ = , M(1;1) ĐS: x y: 4 9 13 0D + - =
x y2 2
1
8 2
+ = . Tìm điểm M Î (E) sao cho
M có toạ độ nguyên.
· Trước hết ta có nhận xét: Nếu điểm x y E( ; ) ( )Î thì các điểm x y x y x y( ; ),( ; ),( ; )- - - - cũng
thuộc (E). Do đó ta chỉ cần xét điểm M x y E0 0( ; ) ( )Î với x y x y Z0 0 0 0, 0; ,³ Î .
Ta có:
x y2 2
0 0 1
8 2
+ = Þ y2
0 2£ Þ y00 2£ £ Þ
y x loaïi
y x
0 0
0 0
0 2 2 ( )
1 2
é = Þ =
ê
= Þ =êë
Þ M(2;1).
Vậy các điểm thoả YCBT là: (2;1),( 2;1),(2; 1),( 2; 1)- - - - .
x y2 2
1
8 2
+ = . Tìm điểm M Î (E) sao cho
tổng hai toạ độ của M có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
· Giả sử M x y E( ; ) ( )Î Þ
x y2 2
1
8 2
+ = . Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki, ta có:
x y
x y
2 2
2
( ) (8 2) 10
8 2
æ ö
+ £ + + =ç ÷
è ø
Þ x y10 10- £ + £ .
+ x y 10+ £ . Dấu "=" xảy ra Û
x y
x y
8 2
10
ì
=ï
í
ï + =î
Û M
4 10 10
;
5 5
æ ö
ç ÷
è ø
.
+ x y 10+ ³ - . Dấu "=" xảy ra Û
x y
x y
8 2
10
ì
=ï
í
ï + = -î
Û M
4 10 10
;
5 5
æ ö
- -ç ÷
è ø

Trang 25
x y2 2
1
9 3
+ = và điểm A(3;0) . Tìm trên
(E) các điểm B, C sao cho B, C đối xứng qua trục Ox và DABC là tam giác đều.
· Không mất tính tổng quát, giả sử B x y C x y0 0 0 0( ; ), ( ; )- với y0 0> .
Ta có:
x y
x y
2 2
2 20 0
0 01 3 9
9 3
+ = Û + = . BC y02= và BC x x0( ): = Þ d A BC x0( ,( )) 3= -
Do A OxÎ , B và C đối xứng qua Ox nên DABC cân tâị A
Suy ra: DABC đều Û d A BC BC
3
( ,( ))
2
= Û x y0 03 3- = Û y x2 2
0 03 ( 3)= -
Þ
x
x x
x
2 2 0
0 0
0
0
( 3) 9
3
é =
+ - = Û ê =ë
.
+ Với x0 0= Þ y0 3= Þ B C(0; 3), (0; 3)- . + Với x0 3= Þ y0 0= (loại).
Vậy: B C(0; 3), (0; 3)- .
x y2 2
1
9 4
+ = và các đường thẳng
d mx ny1 : 0- = , d nx+my2 : 0= , với m n2 2
0+ ¹ . Gọi M, N là các giao điểm của d1 với (E),
P, Q là các giao điểm của d2 với (E). Tìm điều kiện đối với m n, để diện tích tứ giác MPNQ
đạt giá trị nhỏ nhất.
· PTTS của d d1 2, là:
x nt
d
y mt
1
1
1
:
ì =
í
=î
,
x mt
d
y nt
2
2
2
:
ì = -
í
=î
.
+ M, N là các giao điểm của d1 và (E)
Þ
n m n m
M N
m n m n m n m n2 2 2 2 2 2 2 2
6 6 6 6
; , ;
9 4 9 4 9 4 9 4
æ ö æ ö- -
ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
+ + + +è ø è ø
+ P, Q là các giao điểm của d2 và (E)
Þ
m n m n
P Q
m n m n m n m n2 2 2 2 2 2 2 2
6 6 6 6
; , ;
4 9 4 9 4 9 4 9
æ ö æ ö- -
ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
+ + + +è ø è ø
+ Ta có: MN ^ PQ tại trung điểm O của mỗi đường nên MPNQ là hình thoi.
MPNQS S MN PQ OM OP
1
. 2 .
2
= = = = M M P P
m n
x y x y
m n m n
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
72( )
2 .
(9 4 )(4 9 )
+
+ + =
+ +
Áp dụng BĐT Cô-si:
m n m n
m n m n m n
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2(9 4 ) (4 9 ) 13
(9 4 )(4 9 ) ( )
2 2
+ + +
+ + £ = +
Þ
m n
S
m n
2 2
2 2
72( ) 144
13 13
( )
2
+
³ =
+
. Dấu "=" xảy ra Û m n m n m n2 2 2 2
9 4 4 9+ = + Û = ±
Vậy: S
144
min
13
= khi m n= ± .
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình:
x y2 2
1
16 9
- = .

Trang 26
Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp
hình chữ nhật cơ sở của (H).
· (H) có các tiêu điểm F F1 2( 5;0); (5;0)- . HCN cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3),
Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng:
x y
a b
2 2
2 2
1+ = ( với a > b)
(E) cũng có hai tiêu điểm F F a b2 2 2
1 2( 5;0); (5;0) 5 (1)- Þ - =
M E a b a b2 2 2 2
(4;3) ( ) 9 16 (2)Î Û + =
Từ (1) và (2) ta có hệ:
a b a
a b a b b
2 2 2 2
2 2 2 2 2
5 40
9 16 15
ì ìï ï= + =
Ûí í
+ = =ï ïî î
. Vậy (E):
x y2 2
1
40 15
+ =
Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình
x y2 2
1
9 4
- = .
Giả sử (d) là một tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm của (H), kẻ FM ^(d).
Chứng minh rằng M luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó
· (H) có một tiêu điểm F( 13;0) . Giả sử pttt (d): ax + by + c = 0 . Khi đó: 9a2
– 4b2
= c2
(*)
Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với (d) là (D): b( x 13)- – a y = 0
Toạ độ của M là nghiệm của hệ:
ax by c
bx ay b13
ì + = -
í
- =î
Bình phương hai vế của từng phương trình rồi cộng lại và kết hợp với (*), ta được x2
+ y2
= 9
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y x2
= và điểm I(0; 2). Tìm toạ độ
hai điểm M, N Î (P) sao cho IM IN4=
uuur uur
.
· Gọi M x y N x y0 0 1 1( ; ), ( ; ) là hai điểm thuộc (P), khi đó ta có: x y x y2 2
0 0 1 1;= =
IM x y y y2
0 0 0 0( ; 2) ( ; 2)= - = -
uuur
; IN y y y y IN y y2 2
1 1 1 1 1 1( ; 2) ( ; 2); 4 (4 ; 4 8)= - = - = -
uur uur
Theo giả thiết: IM IN4=
uuur uur
, suy ra:
y y
y y
2 2
0 1
0 1
4
2 4 8
ìï =
í
- = -ïî
y x y x
y x y x
1 1 0 0
1 1 0 0
1 1; 2; 4
3 9; 6; 36
é = Þ = = - =
Û ê = Þ = = =ë
Vậy, có 2 cặp điểm cần tìm: M N(4;–2), (1;1) hay M N(36;6), (9;3) .
Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y x2
8= . Giả sử đường thẳng d đi
qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x x1 2, .
Chứng minh: AB = x x1 2 4+ + .
· Theo công thức tính bk qua tiêu: FA x1 2= + , FB x2 2= + Þ AB FA FB x x1 2 4= + = + + .
Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): x y2 2
5 5+ = , Parabol P x y2
( ): 10= .
Hãy viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng x y( ): 3 6 0D + - = , đồng thời
tiếp xúc với trục hoành Ox và cát tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P).
· Đường thẳng đi qua các giao điểm của (E) và (P): x = 2
Tâm I Î D nên: I b b(6 3 ; )- . Ta có:
b b b
b b
b b b
4 3 1
6 3 2
4 3 2
é é- = =
- - = Û Ûê ê
- = - =ë ë
Þ (C): x y2 2
( 3) ( 1) 1- + - = hoặc (C): x y2 2
( 2) 4+ - =

Trang 27
TĐP 04: TAM GIÁC
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho DABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương
trình d1: x y3 –4 27 0+ = , phân giác trong góc C có phương trình d2: x y2 –5 0+ = . Tìm toạ
độ điểm A.
· Phương trình BC:
x y2 1
3 4
- +
=
-
Þ Toạ độ điểm C( 1;3)-
+ Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d2, I là giao điểm của BB’ và d2.
Þ phương trình BB’:
x y2 1
1 2
- +
= x y2 5 0Û - - =
+ Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:
x y x
I
x y y
2 5 0 3
(3;1)
2 5 0 1
ì ì- - = =
Û Þí í+ - = =î î
+ Vì I là trung điểm BB’ nên: B I B
B I B
x x x
B
y y y
'
'
2 4
(4;3)
2 3
ì = - = ¢Þí
= - =î
+ Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y –3 =0.
+ Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
y x
A
x y y
3 0 5
( 5;3)
3 4 27 0 3
ì ì- = = -
Û Þ -í í- + = =î î
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM
và phân giác trong BD. Biết H M
17
( 4;1), ;12
5
æ ö
- ç ÷
è ø
và BD có phương trình x y 5 0+ - = . Tìm
tọa độ đỉnh A của tam giác ABC.
· Đường thẳng D qua H và vuông góc với BD có PT: x y 5 0- + = . BD I I(0;5)D Ç = Þ
Giả sử AB H 'D Ç = . D BHH ' cân tại B Þ I là trung điểm của HH H' '(4;9)Þ .
Phương trình AB: x y5 29 0+ - = . B = AB Ç BD Þ B(6; 1)- Þ A
4
;25
5
æ ö
ç ÷
è ø
Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3). Biết phương trình
đường phân giác trong (AD): x y2 5 0+ - = , đường trung tuyến (AM): x y4 13 10 0+ - = .
Tìm toạ độ đỉnh B.
· Ta có A = AD Ç AM Þ A(9; –2). Gọi C¢ là điểm đối xứng của C qua AD Þ C¢ Î AB.
Ta tìm được: C¢(2; –1). Suy ra phương trình (AB):
x y9 2
2 9 1 2
- +
=
- - +
Û x y7 5 0+ + = .
Viết phương trình đường thẳng Cx // AB Þ (Cx): x y7 25 0+ - =
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
, A(2;–3),
B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): x y3 – –4 0= .
· PTTS của d:
x t
y t4 3
ì =
í = - +î
. Giả sử C(t; –4 + 3t) Î d.
( )S AB AC A AB AC AB AC
2
2 21 1
. .sin . .
2 2
= = -
uuur uuur
=
3
2
Û t t2
4 4 1 3+ + = Û
t
t
2
1
é = -
ê =ë
Þ C(–2; –10) hoặc C(1;–1).

Trang 28
Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(2; –3), B(3; –2), có diện tích bằng
3
2
và
trọng tâm G thuộc đường thẳng D : x y3 – –8 0= . Tìm tọa độ đỉnh C.
· Ta có: AB = 2 , trung điểm M
5 5
;
2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
. Phương trình AB: x y 5 0- - = .
ABCS AB d C AB d C AB
1 3 3
. ( , ) ( , )
2 2 2
= = Þ = .
Gọi G t t( ;3 8) D- Î Þ d G AB
1
( , )
2
= Þ
t t(3 8) 5 1
2 2
- - -
= Û
t
t
1
2
é =
ê =ë
· Với t 1= Þ G(1; –5) Þ C(–2; –10) · Với t 2= Þ G(2; –2) Þ C(1; –1)
a) Với A B(2; 1), (1; 2)- - , ABCS
27
2
= , G x y: 2 0DÎ + - = . ĐS: C(18; 12)- hoặc C( 9;15)-
Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d x y: 2 3 0+ - = và hai điểm
A( 1;2)- , B(2;1) . Tìm toạ độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC
bằng 2.
· AB 10= , C a a( 2 3; )- + Î d. Phương trình đường thẳng AB x y: 3 5 0+ - = .
ABCS 2D = AB d C AB
1
. ( , ) 2
2
Û =
a 21
10. 2
2 10
-
Û =
a
a
6
2
é =
Û ê = -ë
· Với a 6= ta có C( 9;6)- · Với a 2= - ta có C(7; 2)- .
a) Với d x y: 2 1 0- - = , A(1; 0), B(3; -1) , ABCS 6= . ĐS: C(7;3) hoặc C( 5; 3)- - .
Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –3), B(3; –2), diện tích tam
giác bằng 1,5 và trọng tâm I nằm trên đường thẳng d: x y3 8 0- - = . Tìm toạ độ điểm C.
· Vẽ CH ^ AB, IK ^ AB. AB = 2 Þ CH = ABCS
AB
2 3
2
D = Þ IK = CH
1 1
3 2
= .
Giả sử I(a; 3a – 8) Î d. Phương trình AB: x y 5 0- - = .
d I AB IK( , ) = Û a3 2 1- = Û
a
a
2
1
é =
ê =ë
Þ I(2; –2) hoặc I(1; –5).
+ Với I(2; –2) Þ C(1; –1) + Với I(1; –5) Þ C(–2; –10).
Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A B(1;0), (0;2) , diện tích tam
giác bằng 2 và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng d: y x= . Tìm toạ độ điểm C.
· Phương trình AB x y: 2 2 0+ - = . Giả sử I t t d( ; )Î Þ C t t(2 1;2 )- .
Theo giả thiết: ABCS AB d C AB
1
. ( , ) 2
2D = = Û t6 4 4- = Û t t
4
0;
3
= = .
+ Với t 0= Þ C( 1;0)- + Với t
4
3
= Þ C
5 8
;
3 3
æ ö
ç ÷
è ø
.
Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 5); B(4; –3), đường phân
giác trong vẽ từ C là d x y: 2 8 0+ - = . Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.

Trang 29
· Gọi E là điểm đối xứng của A qua d Þ E Î BC. Tìm được E(1;1)
Þ PT đường thẳng BC: x y4 3 1 0+ + = . C d BC= Ç Þ C( 2;5)- .
Phương trình đường tròn (ABC) có dạng: x y ax by c a b c2 2 2 2
2 2 0; 0+ - - + = + - >
Ta có A, B, C Î (ABC) Þ
a b c
a b c a b c
a b c
4 10 29
1 5 99
6 10 34 ; ;
2 8 4
8 6 25
ì - + = -
ì -ï
- - + = - Û = = =íí
îï - + + = -î
Vậy phương trình đường tròn là: x y x y2 2 5 99
0
4 4
+ - - - = .
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là
M( 1;2)- , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(2; 1)- . Đường cao của tam giác kẻ từ A có
phương trình x y2 1 0+ + = . Tìm toạ độ đỉnh C.
· PT đường thẳng AB qua M và nhận MI (3; 3)= -
uuur
làm VTPT: AB x y( ): 3 0- + = .
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
x y
x y
3 0
2 1 0
ì - + =
í + + =î
Þ A
4 5
;
3 3
æ ö
-ç ÷
è ø
.
M( 1;2)- là trung điểm của AB nên B
2 7
;
3 3
æ ö
-ç ÷
è ø
.
Đường thẳng BC qua B và nhận n (2;1)=
r
làm VTCP nên có PT:
x t
y t
2
2
3
7
3
ì
= - +ï
í
ï = +
î
Giả sử C t t BC
2 7
2 ; ( )
3 3
æ ö
- + + Îç ÷
è ø
.
Ta có: IB IC t t
2 2 2 2
8 10 8 10
2
3 3 3 3
æ ö æ ö æ ö æ ö
= Û - + + = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
Û
t loaïi vì C B
t
0 ( )
4
5
é = º
ê
=ê
ë
Vậy: C
14 47
;
15 15
æ ö
ç ÷
è ø
.
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với AB 5= , đỉnh C( 1; 1)- - ,
đường thẳng AB có phương trình x y2 3 0+ - = , trọng tâm của DABC thuộc đường thẳng
d x y: 2 0+ - = . Xác định toạ độ các đỉnh A, B của tam giác ABC.
· Gọi I a b( ; ) là trung điểm của AB, G là trọng tâm DABC Þ CG CI
2
3
=
uuur uur
Þ
G
G
a
x
b
y
2 1
3
2 1
3
ì -
=ï
í
-ï =
î
Do G dÎ nên
a b2 1 2 1
2 0
3 3
- -
+ - = Þ Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:
a b
a b
2 3 0
2 1 2 1
2 0
3 3
ì + - =
ï
- -í
+ - =ïî
Þ
a
b
5
1
ì =
í = -î
Þ I(5; 1)- .
Ta có
A B AB
IA IB
, ( )
5
2
ì Î
ï
í
= =ïî
Þ Toạ độ các điểm A, B là các nghiệm của hệ:
x y
x y2 2
2 3 0
5
( 5) ( 1)
4
ì + - =
ï
í
- + + =ïî

Trang 30
Û
x y
x y
1
4;
2
3
6;
2
é
= = -ê
ê
ê = = -
ë
Þ A B
1 3
4; , 6;
2 2
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
hoặc A B
3 1
6; , 4;
2 2
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm G(2;1) và hai đường thẳng
d x y1 : 2 7 0+ - = , d x y2 : 5 8 0+ - = . Tìm toạ độ điểm B d C d1 2,Î Î sao cho tam giác ABC
nhận điểm G làm trọng tâm, biết A là giao điểm của d d1 2, .
· Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
x y
x y
2 7 0
5 8 0
ì + - =
í + - =î
Û
x
y
1
3
ì =
í =î
Þ A(1;3).
Giả sử B b b d C c c d1 2(7 2 ; ) ; ( ;8 5 )- Î - Î .
Vì G là trọng tâm của DABC nên:
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
3
3
ì + +
=ïï
í + +ï =
ïî
Þ
b c
b c
2 2
5 8
ì - =
í - = -î
Þ
b
c
2
2
ì =
í =î
.
Vậy: B C(3;2), (2; 2)- .
Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;1). Đường cao BH có
phương trình x y3 7 0- - = . Đường trung tuyến CM có phương trình x y 1 0+ + = . Xác định
toạ độ các đỉnh B, C. Tính diện tích tam giác ABC.
· AC qua A và vuông góc với đường cao BH Þ AC x y( ): 3 7 0- - = .
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:
x y
x y
3 7 0
1 0
ì - - =
í + + =î
Þ C(4; 5)- .
Trung điểm M của AB có: B B
M M
x y
x y
2 1
;
2 2
+ +
= = . M CM( )Î Þ B Bx y2 1
1 0
2 2
+ +
+ + = .
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: B B
x y
x y
3 7 0
2 1
1 0
2 2
ì - - =
ï
+ +í
+ + =ïî
Þ B( 2; 3)- - .
Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ:
x y
x y
3 7 0
3 7 0
ì - - =
í + - =î
Þ H
14 7
;
5 5
æ ö
-ç ÷
è ø
.
BH AC
8 10
; 2 10
5
= = Þ ABCS AC BH
1 1 8 10
. .2 10. 16
2 2 5D = = = (đvdt).
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 2)- , phương trình đường
cao kẻ từ C và đường trung trực của BC lần lượt là: x y 2 0- + = , x y3 4 2 0+ - = . Tìm toạ độ
các đỉnh B và C.
· Đường thẳng AB qua A và vuông góc với đường cao CH Þ AB x y( ): 2 0- + = .
Gọi B b b AB( ;2 ) ( )- Î , C c c CH( ; 2) ( )+ Î Þ Trung điểm M của BC:
b c b c
M
4
;
2 2
æ ö+ - +
ç ÷
è ø
.
Vì M thuộc trung trực của BC nên: b c b c3( ) 4(4 ) 4 0+ + - + - = Û b c7 12 0- + + = (1)
BC c b c b( ; )= - +
uuur
là 1 VTPT của trung trực BC nên c b c b4( ) 3( )- = + Û c b7= (2)
Từ (1) và (2) Þ c b
7 1
,
4 4
= - = - . Vậy B C
1 9 7 1
; , ;
4 4 4 4
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.

Trang 31
Câu 15. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A( 1;4)- và các đỉnh B, C thuộc đường
thẳng x y: 4 0D - - = . Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
· Gọi H là trung điểm của BC Þ H là hình chiếu của A trên D Þ H
7 1
;
2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
Þ AH
9
2
=
Theo giả thiết: ABCS BC AH BC
1
18 . 18 4 2
2D = Þ = Þ = Þ HB HC 2 2= = .
Toạ độ các điểm B, C là các nghiệm của hệ:
x y
x y
2 2
4 0
7 1
8
2 2
ì - - =
ï
íæ ö æ ö
- + + =ç ÷ ç ÷ï
è ø è øî
Û
x y
x y
11 3
;
2 2
3 5
;
2 2
é
= =ê
ê
ê = = -
ë
Vậy B C
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
æ ö æ ö
-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
hoặc B C
3 5 11 3
; , ;
2 2 2 2
æ ö æ ö
-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x y 5 0+ + = , d2:
x y2 –7 0+ = và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 và
điểm C thuộc d2 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
· Do B Î d1 nên B(m; – m – 5), C Î d2 nên C(7 – 2n; n)
Do G là trọng tâm DABC nên
m n
m n
2 7 2 3.2
3 5 3.0
ì + + - =
í - - + =î
m
n
1
1
ì = -
Û í =î
Þ B(–1; –4), C(5; 1)
Þ PT đường tròn ngoại tiếp DABC: x y x y2 2 83 17 338
0
27 9 27
+ - + - =
Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;6), phương trình các
đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là d x y1 : 2 13 0- + = và
d x y2 : 6 13 29 0- + = . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
· Đường cao CH : x y2 13 0- + = , trung tuyến CM : x y6 13 29 0- + = C( 7; 1)Þ - -
PT đường thẳng AB: x y2 16 0+ - = . M CM AB= Ç Þ M(6;5) Þ B(8;4).
Giả sử phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp ABC x y mx ny p2 2
: 0.D + + + + =
Vì A, B, C Î (C) nên
m n p
m n p
m n p
52 4 6 0
80 8 4 0
50 7 0
ì + + + =
ï
+ + + =í
ï - - + =î
m
n
p
4
6
72
ì = -
ï
Û =í
ï = -î
.
Suy ra PT đường tròn: x y x y2 2
4 6 72 0+ - + - = .
Câu 18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai
đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d x y1 : 5 0+ + = và d x y2 : 2 –7 0+ = . Viết
phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG.
· Giả sử B b b d C c c d1 2( 5 ; ) ; (7 2 ; )- - Î - Î .
Vì G là trọng tâm DABC nên ta có hệ: B C
B C
x x
y y
2 6
3 0
ì + + =
í
+ + =î
Þ B(–1;–4) , C(5; 1).
Phương trình BG: x y4 –3 –8 0= . Bán kính R d C BG
9
( , )
5
= =
Þ Phương trình đường tròn: x y2 2 81
( –5) ( –1)
25
+ =

Trang 32
Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 3;6)- , trực tâm H(2;1),
trọng tâm G
4 7
;
3 3
æ ö
ç ÷
è ø
. Xác định toạ độ các đỉnh B và C.
· Gọi I là trung điểm của BC. Ta có AG AI I
2 7 1
;
3 2 2
æ ö
= Þ ç ÷
è ø
uuur uur
Đường thẳng BC qua I vuông góc với AH có phương trình: x y 3 0- - =
Vì I là trung điểm của BC nên giả sử B BB x y( ; ) thì B BC x y(7 ;1 )- - và B Bx y 3 0- - = .
H là trực tâm của tam giác ABC nên CH AB^ ; B B B BCH x y AB x y( 5 ; ), ( 3; 6)= - + = + -
uuur uuur
B B B B
B B B B B
x y x x
CH AB
x x y y y
3 1 6
. 0
( 5)( 3) ( 6) 0 2 3
ì ì ì- = = =
= Û Û Úí í í
- + + - = = - =î î î
uuur uuur
Vậy ( ) ( )B C1; 2 , 6;3- hoặc ( ) ( )B C6;3 , 1; 2-
Câu 20. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao
CH x y: 1 0- + = , phân giác trong BN x y: 2 5 0+ + = . Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện
tích tam giác ABC.
· Do AB CH^ nên phương trình AB: x y 1 0+ + = .
+ B = AB BNÇ Þ Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:
x y
x y
2 5 0
1 0
ì + + =
í
+ + =î
Û
x
y
4
3
ì = -
í =î
Þ B( 4;3)- .
+ Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì A BC'Î .
Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x y2 5 0- - = .
Gọi I d BN( )= Ç . Giải hệ:
x y
x y
2 5 0
2 5 0
ì + + =
í
- - =î
. Suy ra: I(–1; 3) A'( 3; 4)Þ - -
+ Phương trình BC: x y7 25 0+ + = . Giải hệ: BC x y
CH x y
: 7 25 0
: 1 0
ì + + =
í
- + =î
Þ C
13 9
;
4 4
æ ö
- -ç ÷
è ø
.
+ BC
2 2
13 9 450
4 3
4 4 4
æ ö æ ö
= - + + + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
, d A BC
2 2
7.1 1( 2) 25
( ; ) 3 2
7 1
+ - +
= =
+
.
Suy ra: ABCS d A BC BC
1 1 450 45
( ; ). .3 2. .
2 2 4 4
= = =
Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABCD , với đỉnh A(1; –3) phương trình đường phân
giác trong BD: x y 2 0+ - = và phương trình đường trung tuyến CE: x y8 7 0+ - = . Tìm toạ độ
các đỉnh B, C.
· Gọi E là trung điểm của AB. Giả sử B b b BD( ;2 )- Î
b b
E CE
1 1
;
2 2
æ ö+ +
Þ - Îç ÷
è ø
Þ b 3= -
Þ B( 3;5)- . Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua BD Þ A¢ Î BC. Tìm được A¢(5; 1)
Þ Phương trình BC: x y2 7 0+ - = ;
x y
C CE BC C
x y
8 7 0
: (7;0)
2 7 0
ì + - =
= Ç Þí + - =î
.
Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –4). Phương trình
đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là d x y1 : 1 0+ - = và
d x y2 :3 9 0- - = . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC.

Trang 33
· Gọi C c c d2( ;3 9)- Î và M là trung điểm của BC Þ M m m d1( ;1 )- Î .
Þ B m c m c(2 ;11 2 3 )- - - . Gọi I là trung điểm của AB, ta có
m c m c
I
2 3 7 2 3
;
2 2
æ ö- + - -
ç ÷
è ø
.
Vì I Î d2( ) nên
m c m c2 3 7 2 3
3. 9 0
2 2
- + - -
- - = Û m 2= Þ M(2; 1)-
Þ Phương trình BC: x y 3 0- - = . C BC d C B2 (3;0) (1; 2)= Ç Þ Þ - .
Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường
thẳng d đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y - 4 = 0. Tìm tọa độ
các đỉnh B và C, biết điểm E(1; -3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
· Gọi H là chân đường cao xuất phát từ A Þ H đối xứng với A qua d Þ H( 2; 2)- -
Þ PT đường thẳng BC: x y 4 0+ + = . Giả sử B m m BC( ; 4 )- - Î Þ C m m( 4 ; )- -
Þ CE m m , AB m m(5 ; 3 ) ( 6; 10 )= + - - = - - -
uuur uuur
.
Vì CE AB^ nên AB CE m m m m. 0 ( 6)( 5) ( 3)( 10) 0= Û - + + + + =
uuur uuur
Û m m0; 6= = - .
Vậy: B C(0; 4), ( 4;0)- - hoặc B C( 6;2), (2; 6)- - .
Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2;4). Đường thẳng D
qua trung điểm của cạnh AB và AC có phương trình x y4 6 9 0- + = ; trung điểm của cạnh BC
nằm trên đường thẳng d có phương trình: x y2 2 1 0- - = . Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết
rằng tam giác ABC có diện tích bằng
7
2
và đỉnh C có hoành độ lớn hơn 1.
· Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua D, ta tính được A
40 31
' ;
13 13
æ ö
ç ÷
è ø
Þ BC x y: 2 3 1 0- + =
Ta gọi M là trung điểm của BC, thì M là giao của đường thẳng d và BC nên M
5
;2
2
æ ö
ç ÷
è ø
.
Giả sử
t
C t BC
3 1
; ( )
2
æ ö-
Îç ÷
è ø
. Ta có ABCS d A BC BC BC BC
1 7 1 7
( ; ). . 13
2 2 2 13
D = Û = Û =
CM
13
2
Û =
t t C
t
t C loaïi
2
23 6 13 3 (4;3)
( 2)
1 (1;1) ( )2 2
æ ö- é é=
Û + - = Û Ûç ÷ ê ê=è ø ë ë
Þ B(1;1).
Vậy: B(1;1), C(4;3) .
Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho DABC có tọa độ đỉnh B(3; 5) , phương trình
đường cao hạ từ đỉnh A và đường trung tuyến hạ từ đỉnh C lần lượt là d1: 2x – 5y + 3 = 0 và
d2 : x + y – 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C của tam giác ABC.
· Gọi M là trung điểm AB thì M Î d2 nên M a a( ;5 )- . Đỉnh A Î d1 nên
b
A b
5 3
;
2
æ ö-
ç ÷
è ø
.
M là trung điểm AB: A B M
A B M
x x x
y y y
2
2
ì + =
í
+ =î
a b a
a b b
4 5 3 2
2 5 1
ì ì- = =
Û Ûí í+ = =î î
Þ A(1; 1).
Phương trình BC: x y5 2 25 0+ - = ; C d BC2= Ç Þ C(5; 0).
Câu 26. Trong mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ Oxy, cho ABCD với AB 5,= đỉnh C( 1; 1)- - ,
phương trình cạnh AB x y: 2 3 0+ - = và trọng tâm G của ABCD thuộc đường thẳng

Trang 34
d x y: 2 0+ - = . Xác định tọa độ các đỉnh A B, của tam giác.
· Gọi I x y( ; ) là trung điểm AB , G GG x y( ; ) là trọng tâm của DABC
Þ
G
G
x
x
CG CI
y
y
2 1
2 3
2 13
3
ì -
=ï
= Û í
-ï =
î
uuur uur
G d x y: 2 0Î + - = nên có: G Gx y 2 0+ - = Û
x y2 1 2 1
2 0
3 3
- -
+ - =
Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ:
x y
Ix y
2 3 0
(5; 1)2 1 2 1
2 0
3 3
ì + - =
ï
Þ -- -í
+ - =ïî
Gọi A A A A
AB
A x y IA x y
2
2 2 2 5
( ; ) ( 5) ( 1)
2 4
æ ö
Þ = - + + = =ç ÷
è ø
.
Hơn nữa A AB x y: 2 3 0Î + - = suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
( ) ( )
A A A A
A A A A
x y x x
x y y y
2 2
2 3 0 4 6
5 1 3
5 1
4 2 2
ì ì ì+ - = = =
ï ï ï
Û Úí í í
- + + = = - = -ï ï ïî î î
Vậy: A B
1 3
4, , 6;
2 2
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
hoặc B A
1 3
4, , 6;
2 2
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
Câu 27. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm toạ độ các đỉnh của một tam giác vuông cân, biết
đỉnh C(3; 1)- và phương trình của cạnh huyền là d x y:3 2 0- + = .
· Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình cạnh huyền nên DABC vuông cân tại C. Gọi I
là trung điểm của AB . Phương trình đường thẳng CI: x y3 0+ = .
I CI AB= Ç Þ I
3 1
;
5 5
æ ö
-ç ÷
è ø
Þ AI BI CI
72
5
= = =
Ta có:
A B d
AI BI
,
72
5
ì Î
ï
í
= =ï
î
Û
x y
x y
2 2
3 2 0
3 1 72
5 5 5
ì - + =
ï
æ ö æ öí
+ + - =ç ÷ ç ÷ï
è ø è øî
Û
x y
x y
3 19
;
5 5
9 17
;
5 5
é
= =ê
ê
ê = - = -
ë
Vậy toạ độ 2 đỉnh cần tìm là:
3 19 9 17
; , ;
5 5 5 5
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; –5) và đường thẳng D có phương trình:
x y3 4 4 0- + = . Tìm trên D hai điểm A và B đối xứng nhau qua I
5
2;
2
æ ö
ç ÷
è ø
sao cho diện tích
tam giác ABC bằng 15.
· Gọi
a a
A a B a
3 4 16 3
; 4 ;
4 4
D
æ ö æ ö+ -
Î Þ -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Þ ABCS AB d C AB
1
. ( , ) 3
2
D= = Þ AB = 5.
a a
AB a
a
2
2 6 3 4
5 (4 2 ) 25
02
æ ö- é =
= Û - + = Ûç ÷ ê =ëè ø
. Vậy hai điểm cần tìm là A(0; 1) và B(4; 4).
Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với B(1; 2)- đường cao

Trang 35
AH x y: 3 0- + = . Tìm tọa độ các đỉnh A, C của tam giác ABC biết C thuộc đường thẳng
d x y:2 1 0+ - = và diện tích tam giác ABC bằng 1.
· Phương trình BC x y: 1 0+ + = . C = BC Ç d Þ C(2; 3)- .
Gọi A x y AH x y0 0 0 0( ; ) 3 0Î Þ - + = (1);
x y
BC AH d A BC 0 0 1
2, ( , )
2
+ +
= = =
ABC
x y x y
S AH BC
x y
0 0 0 0
0 0
1 1 2 (2)1 1
. 1 . . 2 1
1 2 (3)2 2 2
D
+ + é + + =
= = Û = Û ê + + = -ë
Từ (1) và (2)
x
A
y
0
0
1
( 1;2)
2
ì = -
Þ Þ -í
=î
. Từ (1) và (3)
x
A
y
0
0
3
( 3;0)
0
ì = -
Þ Þ -í
=î
Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A(2;1), điểm B nằm
trên trục hoành, điểm C nằm trên trục tung sao cho các điểm B, C có toạ độ không âm. Tìm
toạ độ các điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
· Giả sử B b C c b c( ;0), (0; ), ( , 0)³ .
DABC vuông tại A Û AB AC. 0=
uuur uuur
Û c b2 5 0= - + ³ Û b
5
0
2
£ £ .
ABCS AB AC
1
.
2D = = b c b b b2 2 2 2 21
( 2) 1. 2 ( 1) ( 2) 1 4 5
2
- + + - = - + = - +
Do b
5
0
2
£ £ nên ABCSD đạt GTLN Û b 0= Þ B C(0;0), (0;5) .
Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A( 1; 3)- - , trọng tâm
G(4; 2)- , trung trực của AB là d x y:3 2 4 0+ - = . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
· Gọi M là trung điểm của BC Þ AM AG
3
2
=
uuur uuur
Þ M
13 3
;
2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
.
AB d^ Þ AB nhận du (2; 3)= -
r
làm VTPT Þ Phương trình AB x y: 2 3 7 0- - = .
Gọi N là trung điểm của AB Þ N = AB Ç d Þ N(2; 1)- Þ B(5;1) Þ C(8; 4)- .
PT đường tròn (C) ngoại tiếp DABC có dạng: x y ax by c2 2
2 2 0+ + + + = (a b c2 2
0+ - > ).
Khi đó ta có hệ:
a b c
a b c
a b c
2 6 10
10 2 26
16 8 80
ì + - =
ï
+ + = -í
ï - + = -î
Û
a
b
c
74
21
23
7
8
3
ì
=ï
ïï
= -í
ï
ï =
ïî
. Vậy: C x y x y2 2 148 46 8
( ): 0
21 7 3
+ - + + =
Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2, 0) và phương
trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: x y4 14 0+ + = ; x y2 5 2 0+ - = . Tìm tọa độ các đỉnh
A, B, C.
· A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H( 1;6)- , các điểm
M N(2;2) (1;1) lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
· Đường thẳng CH qua H và vuông góc với MN Þ CH x y: 5 0+ + = .

Trang 36
Giả sử C a a CH( ;5 )- Î Þ CN a a(1 ; 4)= - -
uuur
Vì M là trung điểm của AC nên A a a(4 ; 1)- - Þ AH a a( 5;7 )= - -
uuur
Vì N là trung điểm của BC nên B a a(2 ; 3)- -
Vì H là trực tâm DABC nên: AH CN. 0=
uuur uuur
Û a a a a( 5)(1 ) (7 )( 4) 0- - + - - = Û
a
a
3
11
2
é =
ê
=ê
ë
.
+ Với a 3= Þ C A B(3;2), (1;2), ( 1;0)-
+ Với a
11
2
= Þ C A B
11 1 3 9 7 5
; , ; , ;
2 2 2 2 2 2
æ ö æ ö æ ö
- - -ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phân giác trong AD và đường
cao CH lần lượt có phương trình x y 2 0+ - = , x y2 5 0- + = . Điểm M(3;0) thuộc đoạn AC
thoả mãn AB AM2= . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
· Gọi E là điểm đối xứng của M qua AD Þ E(2; 1)- .
Đường thẳng AB qua E và vuông góc với CH Þ AB x y( ): 2 3 0+ - = .
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
x y
x y
2 3 0
2 0
ì + - =
í + - =î
Þ A(1;1) Þ PT AM x y( ): 2 3 0+ - =
Do AB AM2= nên E là trung điểm của AB Þ B(3; 3)- .
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:
x y
x y
2 3 0
2 5 0
ì + - =
í - + =î
Þ C( 1;2)-
Vậy: A(1;1), B(3; 3)- , C( 1;2)- .
a) AD x y( ): 0- = , CH x y( ): 2 3 0+ + = , M(0; 1)- . ĐS: A(1;1); B( 3; 1)- - ;C
1
; 2
2
æ ö
- -ç ÷
è ø
Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC có
phương trình x y2 2 0+ - = . Đường cao kẻ từ B có phương trình x y 4 0- + = , điểm
M( 1;0)- thuộc đường cao kẻ từ C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.
· Toạ độ đỉnh B là nghiệm của hệ:
x y
x y
2 2 0
4 0
ì + - =
í - + =î
Þ B( 2;2)- .
Gọi d là đường thẳng qua M và song song với BC Þ d x y: 2 1 0+ + = .
Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B Þ Toạ độ của N là nghiệm của hệ:
x y
x y
4 0
2 1 0
ì - + =
í + + =î
Þ N( 3;1)- .
Gọi I là trung điểm của MN Þ I
1
2;
2
æ ö
-ç ÷
è ø
. Gọi E là trung điểm của BC Þ IE là đường trung
trực của BC Þ IE x y: 4 2 9 0- + = .
Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ:
x y
x y
2 2 0
4 2 9 0
ì + - =
í - + =î
Þ E
7 17
;
5 10
æ ö
-ç ÷
è ø
Þ C
4 7
;
5 5
æ ö
-ç ÷
è ø
.
Đường thẳng CA qua C và vuông góc với BN Þ CA x y
3
: 0
5
+ - = .
Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ:
x y
x y
4 2 9 0
3
0
5
ì - + =
ï
í
+ - =ïî
Þ A
13 19
;
10 10
æ ö
-ç ÷
è ø
.

Trang 37
Vậy: A
13 19
;
10 10
æ ö
-ç ÷
è ø
, B( 2;2)- , C
4 7
;
5 5
æ ö
-ç ÷
è ø
.
Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d:
x y–4 –2 0= , cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x y 3 0+ + = và trung
điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
· Ta có AC vuông góc với BH và đi qua M(1; 1) nên có phương trình: y x= .
Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ :
x
x y
A
y x
y
2
2 24 2 0 3 ;
2 3 3
3
ì
= -ï æ öì - - =
Û Þ - -í í ç ÷=î è øï = -
î
Vì M là trung điểm của AC nên C
8 8
;
3 3
æ ö
ç ÷
è ø
Vì BC đi qua C và song song với d nên BC có phương trình:
x
y 2
4
= +
x y
x
BH BC B Bx
yy
3 0
4
: ( 4;1)
12
4
ì + + =
ï ì = -
Ç = Û Þ -í í
== + îïî
Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao
BH x y:3 4 10 0+ + = , đường phân giác trong góc A là AD có phương trình là x y 1 0- + = ,
điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng 2 . Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC.
· Gọi N đối xứng với M qua AD . Ta có N ACÎ và N (1;1) Þ PT cạnh AC x y: 4 3 1 0- - =
A AC AD A(4;5)= Ç Þ . AB đi qua M, A Þ PT cạnh AB x y:3 4 8 0- + = Þ B
1
3;
4
æ ö
- -ç ÷
è ø
Gọi C a b AC a b( ; ) 4 3 1 0Î Þ - - = , ta có MC 2= Þ C(1;1) hoặc C
31 33
;
25 25
æ ö
ç ÷
è ø
.
Kiểm tra điều kiện B, C khác phía với AD, ta có cả hai điểm trên đều thỏa mãn.
Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung điểm
của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x y 2 0+ - = và d2:
x y2 6 3 0+ + = . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
· Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
x y
x y
2 0
2 6 3 0
ì + - =
í + + =î
Þ A
15 7
;
4 4
æ ö
-ç ÷
è ø
.
Giả sử: B b b( ;2 )- Î d1,
c
C c
3 2
;
6
æ ö- -
ç ÷
è ø
Î d2. M(–1; 1) là trung điểm của BC
Û
b c
c
b
1
2
3 2
2
6 1
2
ì +
= -ï
ï
- -í
- +ï
=ï
î
Û
b
c
1
4
9
4
ì
=ï
í
ï = -
î
Þ B
1 7
;
4 4
æ ö
ç ÷
è ø
, C
9 1
;
4 4
æ ö
-ç ÷
è ø
.
Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABCD cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa độ là các
số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB y x: 3 7( 1)= - . Biết chu

Trang 38
vi của ABCD bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
· B AB Ox B(1;0)= Ç Þ , ( )A AB A a a a;3 7( 1) 1Î Þ - Þ > (do A Ax y0, 0> > ).
Gọi AH là đường cao ABC H a C a BC a AB AC a( ;0) (2 1;0) 2( 1), 8( 1)D Þ Þ - Þ = - = = - .
( )Chu vi ABC a C A18 2 (3;0), 2;3 7D = Û = Þ .
Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng
chứa các cạnh AB, BC lần lượt là x y4 3 –4 0+ = ; x y– –1 0= . Phân giác trong của góc A
nằm trên đường thẳng x y2 –6 0+ = . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
· Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình:
x y x
A
x y y
4 3 4 0 2
( 2;4)
2 6 0 4
ì ì+ - = = -
Û Þ -í í+ - = =î î
Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình ( )x y x
B
x y y
4 3 4 0 1
1;0
1 0 0
ì ì+ - = =
Û Þí í- - = =î î
Phương trình AC qua điểm A(–2;4) có dạng: a x b y ax by a b( 2) ( 4) 0 2 4 0+ + - = Û + + - =
Gọi x y x y ax by a b1 2 3: 4 3 4 0; : 2 6 0; : 2 4 0D D D+ - = + - = + + - =
Từ giả thiết suy ra ( )·
( )·
2 3 1 2; ;D D D D= .
Do đó · · a b
a b
2 3 1 2
2 2
1. 2. 4.1 2.3
cos( ; ) cos( ; )
25. 55.
D D D D
+ +
= Û =
+
a
a b a b a a b
a b
2 2 0
2 2 (3 4 ) 0
3 4 0
é =
Û + = + Û - = Û ê - =ë
· a = 0 b 0Þ ¹ . Do đó y3 : 4 0D - =
· 3a – 4b = 0: Chọn a = 4 thì b = 3. Suy ra x y3 : 4 3 4 0D + - = (trùng với 1D ).
Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y – 4 = 0.
Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình:
y x
C
x y y
4 0 5
(5;4)
1 0 4
ì ì- = =
Û Þí í- - = =î î
Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường
trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa
độ các đỉnh của tam giác ABC.
· Gọi C c c( ; 2 3)+ và I m m( ;6 )- là trung điểm của BC. Suy ra: B m c m c(2 ; 9 2 2 )- - - .
Vì C’ là trung điểm của AB nên:
m c m c
C CC
2 5 11 2 2
' ; '
2 2
æ ö- + - -
Îç ÷
è ø
nên
m c m c
m
2 5 11 2 2 5
2 3 0
2 2 6
æ ö- + - -
- + = Þ = -ç ÷
è ø
I
5 41
;
6 6
æ ö
Þ -ç ÷
è ø
.
Phương trình BC: x y3 3 23 0- + = Þ C
14 37
;
3 3
æ ö
ç ÷
è ø
Þ B
19 4
;
3 3
æ ö
-ç ÷
è ø
.
Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC lần lượt là H(2;2), I(1;2) và trung điểm M
5 5
;
2 2
æ ö
ç ÷
è ø
của cạnh BC. Hãy tìm toạ độ các
đỉnh A B C, , biết B Cx x> ( Bx , Cx lần lượt hoành độ điểm B và C).
· Gọi G là trọng tâm DABC ta có : GH GI2= -
uuur uur
Þ G
4
;2
3
æ ö
ç ÷
è ø

Trang 39
Mặt khác vì GA GM2= -
uuur uuur
nên A( 1;1)- . Phương trình BC: x y3 10 0+ - = . Đường tròn (C)
ngoại tiếp D có tâm I(1; 2) và bán kính R 4 1 5= + = . Do đó (C) : x y2 2
( 1) ( 2) 5- + - = .
Khi đó toạ độ B ;C là nghiệm hệ :
x xx y
y yx y
2 2 2 3( 1) ( 2) 5
4 13 10 0
ì ì ì= =- + - = Û Úí í í
= =+ - = î îî
Vì B Cx x> nên B(3;1) ; C(2;4). Vậy : A(–1; 1); B(3; 1) ; C(2; 4).
Câu 43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại C có diện tích bằng 10,
phương trình cạnh AB là x y2 0- = , điểm I(4; 2) là trung điểm của AB, điểm M
9
4;
2
æ ö
ç ÷
è ø
thuộc
cạnh BC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết tung độ điểm B lớn hơn hoặc bằng 3.
· Giả sử B BB y y AB(2 ; )Î Þ B BA y y(8 2 ;4 )- - . Phương trình CI: x y2 10 0+ - = .
Gọi C CC x x( ;10 2 )- Þ CCI x5 4= -
uur
; BAB y20 2= -
uuur
.
ABC B C C BS CI AB y x x y
1
. 10 4 2 8 2
2
= = Û + - - = C B B C
C B B C
x y y x
x y y x
4 2 6 (1)
4 2 10 (2)
é - - = -
Û ê - - = -ë
Vì
( )C B
C B
x k y
M BC CM kMB
x k y
4 2 4
11 9
2
2 2
ì - = -
ï
Î Þ = Û æ öí
- + = -ç ÷ï
è øî
uuur uuur
C B B Cx y y x2 6 5 16 0Þ - - + = (3)
· Từ (1) và (3): C B B C B
C B B C B
x y y x y
x y y x y
4 2 6 1 2
2 6 5 16 0 1 2
ìì - - = - = - -ï
Þí í
- - + = = - +î ïî
(loại, vì By 3³ )
· Từ (2) và (3): C B B C B
CC B B C
x y y x y
xx y y x
4 2 10 3
22 6 5 16 0
ì ì- - = - =
Ûí í =- - + = îî
(thoả)
Vậy A(2; 1), B(6; 3), C(2; 6).
Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, các đỉnh A, B thuộc
đường thẳng d: y = 2, phương trình cạnh BC: x y3 2 0- + = . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C
biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3 .
· B d BC= Ç Þ B(0; 2). Giả sử A a d a( ;2) ,( 2)Î ¹ , C c c BC c( ;2 3) ,( 0)+ Î ¹ .
AB a AC c a c BC c c( ;0), ( ; 3), ( ; 3)= - = - =
uuur uuur uuur
Þ AB a AC c a c BC c2 2
, ( ) 3 , 2= = - + =
DABC vuông ở A và r 3= Þ AB AC
S pr
. 0ì =
í
=î
uuur uuur
Û
AB AC
AB BC AC
AB AC
. 0
1
. . 3
2 2
ì =ï
í + +
=ïî
uuur uuur
Û
( )
a c a
a c a c a c c a c2 2 2 2
( ) 0
( ) 3 2 ( ) 3 3
ì- - =ï
í
- + = + + - +ïî
Û
c a
a
0
3 3
ì = ¹
í
= +î
Þ
c a A C
c a A C
3 3 (3 3;2), (3 3;5 3 3)
3 3 ( 3 3;2), ( 3 3; 1 3 3)
é = = + Þ + + +
ê
= = - - Þ - - - - - -ë
Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm toạ độ các đỉnh của tam giác vuông cân ABC, có
phương trình hai cạnh AB x y: 2 1 0- + = , AC x y: 2 3 0+ - = và cạnh BC chứa điểm
I
8
;1
3
æ ö
ç ÷
è ø
.

24hchiase.com toadophang

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (7)

Similar a 24hchiase.com toadophang

Similar a 24hchiase.com toadophang (20)

Más de gadaubac2003

Más de gadaubac2003 (20)

24hchiase.com toadophang