Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ : https://www.facebook.com/thuvienluanvan01 HOẶC https://www.facebook.com/garmentspace/ https://www.facebook.com/thuvienluanvan01 https://www.facebook.com/thuvienluanvan01 tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh

2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
LÊ NGỌC DƯƠNG
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
VỀ CÁC NGUYÊN LÝ TRONG CƠ HỌC
Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN
HÀ NỘI, 2018

3. i
LỜI CẢM ƠN
Với tấm lòng tri ân và biết ơn chân thành, em xin được bày tỏ lời cảm
ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Thị Phương Lan đã trực tiếp hướng dẫn tận tình
và tạo điều kiện thuận lợi để em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn các Thầy (Cô) giáo trong khoa Vật Lý
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em
hoàn thành khóa luận này.
Cuối cùng, em xin được bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn
động viên, khích lệ và tạo mọi điều kiện vật chất và tinh thần để em hoàn
thiện được khóa luận của mình.
Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều để thực hiện đề tài một cách hoàn
chỉnh nhất, song không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong
nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để khóa luận của em được
hoàn thiện hơn.
Em xin trân trọng cảm ơn!
Sinh viên
Lê Ngọc Dương

4. ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận là kết quả của sự cố gắng và nỗ lực nghiên
cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của Th.S Nguyễn Thị Phương
Lan không trùng khớp với bất kì tài liệu nào. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu
trách nhiệm.
Hà Nội, ngày tháng năm 2018
Sinh viên
Lê Ngọc Dương

5. iii
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................... 1
3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc của luận văn.................................................................................... 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
Chương 1: Nguyên lý di chuyển khả dĩ. ........................................................... 3
1.1 Cơ sở lý thuyết. ........................................................................................... 3
1.1.1 Di chuyển khả dĩ – Số bậc tự do .............................................................. 3
1.1.1.1 Di chuyển khả dĩ ................................................................................... 3
1.1.1.2 Số bậc tự do........................................................................................... 4
1.1.2 Tọa độ suy rộng – Lực suy rộng. ............................................................. 4
1.1.2.1 Tọa độ suy rộng..................................................................................... 4
1.1.2.2 Lực suy rộng.......................................................................................... 4
1.1.3 Nguyên lý di chuyển khả dĩ. .................................................................... 5
1.1.3.1 Liên kết lý tưởng................................................................................... 5
1.1.3.2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ. ................................................................. 5
1.1.3.3 Điều kiện cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do........................... 7
1.2 Các dạng bài tập về nguyên lý di chuyển khả dĩ......................................... 7
Chương 2: Nguyên lý Đalămbe ......................................................................14
2.1 Cơ sở lý thuyết. .........................................................................................14
2.1.1 Nguyên lý Đalămbe................................................................................14
2.1.1.1 Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm. ..............................................14
2.1.1.2 Nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ. .....................................................14

6. iv
2.1.2 Thu gọn hệ các quán tính của vật rắn. ...................................................16
2.1.2.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến.............................................................16
2.1.2.2 Vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng.......................................17
2.1.2.3 Vật rắn đồng chất chuyển động quanh một trục cố định. ...................18
2.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe...................................................18
Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng.....................................................24
3.1 Cơ sở lý thuyết. .........................................................................................24
3.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe – Lagrăng .................................25
Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu.........................................................30
4.1 Cơ sở lý thuyết. .........................................................................................30
4.1.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu..................................................................30
4.1.2 Ứng dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu...........................................31
4.2 Một số bài tập về nguyên lý tác dụng tối thiểu.........................................33
KẾT LUẬN.....................................................................................................37
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................38

7. 1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học là bộ môn khoa học tự nhiên, tập trung nghiên cứu vật chất
và chuyển động của nó trong không gian và thời gian. Vật lý học phát triển
không ngừng với nhiều chuyên ngành vật lý khác nhau, trong đó có chuyên
ngành “Vật lý lý thuyết” – diễn tả các quy luật, những học thuyết, suy luận
logic để tìm ra những nguyên lý mới chưa tìm được bằng thực nghiệm.
Để nghiên cứu các quy luật tổng quát của chuyển động và cân bằng của
các vật và sự tác dụng tương hỗ giữa chúng – bộ môn Cơ học lý thuyết ra đời.
Trong cơ học lý thuyết chúng ta cần chú ý bốn nguyên lý quan trọng. Đó là
“Nguyên lý di chuyển khả dĩ”; “Nguyên lý tác dụng tối thiểu”; “Nguyên lý
Đalămbe”; “Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng”. Các nguyên lý trong cơ học cho
phép ta thành lập được các phương trình vi phân chuyển động và điều kiện
cân bằng của cơ hệ. Và việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài
tập Cơ học lý thuyết là yêu cầu hàng đầu đối với chúng ta, qua đó giúp hiểu
sâu về lý thuyết đồng thời nâng cao tư duy và kỹ năng học tập. Chính vì vậy
tôi lựa chọn đề tài: “Một số dạng bài tập về các nguyên lý trong cơ học” để
hiểu rõ hơn về các nguyên lý và áp dụng các nguyên lý đó vào giải các dạng
bài tập.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về một số nguyên lý trong cơ học:
+ Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
+ Nguyên lý Đalămbe.
+ Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng.
+ Nguyên lý tác dụng tối thiểu.
- Áp dụng cơ sở lý thuyết của các nguyên lý trên vào việc giải các bài
toán cơ học.

8. 2
3. Đối tượng nghiên cứu
- Các nguyên lý:
+ Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
+ Nguyên lý Đalămbe.
+ Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng.
+ Nguyên lý tác dụng tối thiểu.
- Dạng bài tập về các nguyên lý.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về các nguyên lý trong cơ học.
- Nghiên cứu dạng bài tập về các nguyên lý đó.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo.
- Thống kê, lập luận, diễn giải.
6. Cấu trúc của luận văn
Chương 1: Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
1.1 Cơ sở lý thuyết
1.2 Các dạng bài tập
Chương 2: Nguyên lý Đalămbe.
2.1. Cơ sở lý thuyết
2.2. Các dạng bài tập
Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng.
3.1. Cơ sở lý thuyết
3.2. Các dạng bài tập
Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu.
4.1 Cơ sở lý thuyết
4.2 Một số bài tập

9. 3
NỘI DUNG
Chương 1: Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
1.1 Cơ sở lý thuyết.
1.1.1 Di chuyển khả dĩ – Số bậc tự do
1.1.1.1 Di chuyển khả dĩ.
Cơ hệ không tự do là cơ hệ tập hợp nhiều chất điểm mà chuyển động của
chúng không những phụ thuộc vào các lực tác động mà còn phụ thuộc vào
một số điều kiện ràng buộc về hình học và động học. Ngược lại thì ta có cơ hệ
tự do.
Di chuyển khả dĩ của cơ hệ không tự do là tập hợp di chuyển vô cùng
nhỏ của các chất điểm tại vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà cơ hệ có thể
thực hiện phù hợp với liên kết đặt lên hệ. Ký hiệu di chuyển khả dĩ của chất
điểm là ( , , )
r x y z
    (với r là vectơ định vị của chất điểm), để phân biệt
được với di chuyển thật ( , , )
dr dx dy dz .
Xét cơ hệ gồm N chất điểm, điều kiện để k
r
 ( )
1,
k N
= là di chuyển khả
dĩ nếu thỏa mãn 0
f
r
r


=

 hay trong dạng:
0
k k k
k k k
f f f
x y z
x y z
  
  
+ + =
  
(1.1)
Ta có thể dễ dàng nhận thấy di chuyển thực là một trong những di chuyển khả
dĩ. Do vậy di chuyển khả dĩ là di chuyển do ta tưởng tượng ở một thời điểm
cố định còn di chuyển thực thì được thực hiện theo thời gian.
Di chuyển thực dr phụ thuộc vào lực tác dụng và điều kiện đầu và liên kết đặt
lên hệ còn đối với di chuyển khả dĩ thì nó chỉ phụ thuộc vào liên kết đặt lên
nó do vậy di chuyển thực chỉ có một còn di chuyển khả dĩ có một hoặc nhiều
di chuyển.

10. 4
1.1.1.2 Số bậc tự do
Số bậc tự do của cơ hệ là số tối đa các di chuyển khả dĩ độc lập tuyến
tính của cơ hệ, nghĩa là bằng số biến phân độc lập của các toạ độ.
Cách xác định số bậc tự do: Giả sử cơ hệ có n chất điểm và chịu m
phương trình liên kết độc lập với nhau trong cơ hệ thì số bậc tự do của hệ sẽ
là 3
S n m
= −
Phương trình liên kết: là các phương trình hay bất phương trình biểu thị
về mặt toán học mối ràng buộc về mặt hình học và động học đối với chất
điểm thuộc cơ hệ. Dạng của phương trình liên kết là:
1 1 1 1 1 1
( , , , ,..., , , , , , ,..., , , ) 0
n n n n n n
f t x y z x y z x y z x y z
  ( )
1,m
 = (1.2)
1.1.2 Tọa độ suy rộng – Lực suy rộng.
1.1.2.1 Tọa độ suy rộng
Tọa độ suy rộng là các tham số có thứ nguyên nào đó xác định một cách
đơn trị vị trí của cơ hệ tại một thời điểm đó. Số các tọa độ suy rộng bằng số
bậc tự do của cơ hệ.
Tọa độ suy rộng thường được kí hiệu là qi (i=1,2,…), có thể đại diện cho
đơn vị độ dài, góc quay, diện tích, điện lượng…
Tọa độ suy rộng đủ là số các tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của hệ.
Tọa độ dư thừa là vượt quá số tọa độ cần thiết để xác định vị trí của hệ.
1.1.2.2 Lực suy rộng
Xét cơ hệ gồm N chất điểm và chịu tác dụng của lực ( 1 )
k
F k N
=  tác
dụng vào chất điểm ( , , )
k k k k
M x y z , từ biểu thức tính công nguyên tố của công
khả dĩ ta được:
1 1
k k
N N
k
k k
A F r


= =
=
  (1.3)
Trong đó:
1
s
k
i
k
i i
r
r q
q
 
=

=

 : di chuyển khả dĩ k
r
 trong tọa độ suy rộng.

11. 5
Thế vào biểu thức trên ta được:
1 1
1
1 1
s N
k
k k k i
i k i
N N s
k
i
i i
k k
r
F
q
r
A F q q
q
  
= =
=
= =
 

=  

 

=
  
   (1.4)
Ta gọi đại lượng
1
j k
N
k
i
k
Q
r
F
q
=
=


 là lực suy rộng tương ứng với tọa độ
suy rộng qi.
Vậy lực suy rộng Qi ứng với tọa độ suy rộng qi là đại lượng vô hướng
biểu thị bằng hệ số của biến phân tương ứng trong biểu thức tổng công của
các hoạt lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển khả dĩ bất kì nào của cơ hệ đó.
1.1.3 Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
1.1.3.1 Liên kết lý tưởng.
Định nghĩa: Liên kết của cơ hệ được gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng
công nguyên tố của phản lực liên kết tác dụng lên cơ hệ trên mọi di chuyển
khả dĩ đều bằng không.
Biểu thức: 0
N
k k k
A N r
 
= =
 
Trong đó k
N là phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mk, k
r
 là véc tơ
di chuyển khả dĩ của chất điểm đó.
Nếu các liên kết không phụ thuộc vào thời gian, các lực ma sát trượt và
ngẫu lực ma sát lăn không sinh công trong di chuyển có thể của hệ thì cơ hệ
đó chịu liên kết lý tưởng.
1.1.3.2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
Phát biểu nguyên lý: khi cơ hệ chịu liên kết dừng và lý tưởng thì điều
kiện cần và đủ để nó cân bằng tại vị trí đang xét là tổng công của lực chủ
động tác dụng lên hệ trong mọi di chuyển khả dĩ của hệ tại vị trí đang xét
bằng không.
1
0
N
k k k
k
A F r
 
=
= =
  (k=1…N) (1.5)

12. 6
Chứng minh: Giả sử chất điểm thứ k của hệ chịu tác dụng của hợp lực
của các lực chủ động k
F và của hợp lực của các phản lực liên kết k
N
+ Điều kiện cần: Hệ ở trạng thái cân bằng thì các phản lực phải thỏa mãn
điều kiện:
0
k k
F N
+ = (k=1…N)
Ta cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ thì chất điểm thứ k có di chuyển khả dĩ
là k
r

Do đó: 0
k k k k
F r N r
 
+ =
Viết cho cơ hệ ta sẽ thu được:
1 1
0
k
N N
k k k
k k
F r N r
 
= =
+ =
 
Do cơ hệ chịu liên kết lý tưởng nên
1
0
N
k k
k
N r

=
=
 nên
1
0
k k
N
k
F r

=


+ Điều kiện đủ: Giả sử hệ thỏa mãn (1.5) ta phải đi chứng minh rằng điều
kiện này đủ để cho hệ tự cân bằng ở vị trí đang xét. Nếu hệ không cân bằng
nghĩa là hệ di chuyển suy ra dT >0
Theo định lý động năng
1 1
0
N N
k k k k
k k
dT F r N r
 
= =
= + 
 
Mà
1
0
N
k k
k
N r

=
=
 do hệ chịu liên kết lý tưởng nên
1
0
k k
N
k
F r

=

 điều này trái
với giả thiết. Vậy hệ cơ hệ không thể di chuyển được hay hệ cân bằng mãi
mãi.
Ý nghĩa: Ý nghĩa của nguyên lý di chuyển khả dĩ là ở chỗ nó cho ta điều
kiện cân bằng của mọi cơ hệ dưới dạng tổng quát, trong khi đó các phương
pháp tĩnh học yêu cầu xét sự cân bằng của từng vật thể trong hệ.
Lưu ý:
Nếu hệ có liên kết lý tưởng thì chỉ cần tính đến các lực chủ động còn các
phản lực liên kết có thể bỏ qua.

13. 7
Hệ có bao nhiêu bậc tự do phải có bấy nhiêu điều kiện cân bằng thỏa
mãn hệ thức (1.5)
1.1.3.3 Điều kiện cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do.
+ Trong tọa độ Đề các
Gọi , ,
k k k
X Y Z là hình chiếu của các lực chủ động k
F và , ,
k k k
y z
x
   là
hình chiếu của di chuyển có thể k
r
 của chất điểm thứ k xuống các trục tọa
độ.
Theo (1.5) ta có: ( )
1
0
k k k k k
k
N
k k k
k
F r
A X x Y y Z z

   
=
=
= + + =

  (1.6)
Đây là điều kiện cân bằng của hệ trong hệ tọa độ Đề các.
+ Trong tọa độ suy rộng q1,…,qm
Theo (1.5) ta có
1 1
0
N N
s
j j
k k k
k k
A F r Q q
  
= =
= = =
   . Do j
q
 biến thiên
một cách độc lập nên ta sẽ có điều kiện cân bằng sau:
1 2
0, 0,...., 0
M
Q Q Q
= = = . Đây chính là điều kiện cân bằng của hệ trong
tọa độ suy rộng.
1.2 Các dạng bài tập về nguyên lý di chuyển khả dĩ.
Từ những cơ sở lý thuyết được nêu trên ta có thể phân chia một số dạng
bài tập áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ như sau:
Dạng 1: Bài toán liên hệ giữa các lực chủ động để hệ cân bằng.
Dạng 2: Bài toán xác định phản lực liên kết khi hệ đã cân bằng.
Dạng 3: Tìm vị trí cân bằng khi đã biết các lực tác dụng lên hệ.
Bài tập tương ứng
Bài 1.1: Cho 2 tải trọng A và B trên các mặt nghiêng với những góc 𝛼 và β so
với phương nằm ngang, được giữ cân bằng nhờ tải trọng C như hình 1.1.

14. 8
Tìm trọng lượng PA và PB của 2 tải trọng A,
B, bỏ qua ma sát, khối lượng ròng rọc và dây
cáp.
Bài giải:
Cơ hệ chịu liên kết holonom lý tưởng.
Dễ dàng nhận thấy cơ hệ có 2 bậc tự do.
Chọn hệ tọa độ suy rộng đủ
1 2
,
q x q y
= = và xác định vị trí các vật
A, B trên mặt nghiêng.
Chọn trục 1 2
0x x như hình vẽ, chiều
dương hướng xuống dưới.
Do dây không giãn nên chiều dài
dây không đổi nên ta có
1 2 2 c
x x x const
+ + =
Suy ra: 1 2 2 0
c
x x x
  
+ + = hay ( )
1 2
1
2
c
x x x
  
= − +
Để tìm lực suy rộng ta cho hệ di chuyển khả dĩ
1 2 1
1
0; 0
2
c
x x x x
   
 =  = −
Tổng công khả dĩ của các lực chủ động trong di chuyển khả dĩ trên là:
1 1
( ) sin
x c
A
k
A F P x P x
  
= +
 1 1
1
( ) sin
2
x A
k P
A F P x
  
 
 
 
 = −

1
1
1
( )
sin
2
k
x
x A
A F P
Q P
x



= = = −

Tương tự ta có: 2
2
2
)
(
sin
2
k
x
x B
A F P
Q P
x



= = −

H×nh1.
O1
O2

B

A
C
O1
O
O2

x1 x2
B
xc

A
P

15. 9
Theo điều kiện cân bằng ta có: 1
2
0 2sin
0
2sin
A
x
x
B
P
P
Q
P
Q P





 

 
 



=
=
= =
Bài 1.2 Cho cơ hệ được biểu
diễn trên hình vẽ. Dây mềm
mảnh, nhẹ và không giãn được
buộc vào vật A, vòng qua ròng
rọc cố định C, ròng rọc động D
và ròng rọc cố định E, cuối cùng
buộc vào vật nặng B. Tại trục
ròng rọc động D có treo vật K có
trọng lượng Q. Cho biết hai vật
A, B có cùng trọng lượng P. Xác định P theo Q và xác định hệ số ma sát trượt
giữa vật A và mặt phẳng ngang để hệ cân bằng.
Bài giải:
Cơ hệ chịu liên kết holonom lý tưởng. Cơ hệ có 2 bậc tự do.
Chọn hệ tọa độ suy rộng đủ 1 2
,
q x q y
= = . Chọn trục tọa độ như hình vẽ.
Các lực chủ động tác động lên cơ hệ , ,
ms
F Q P
Cho hệ một di chuyển khả dĩ 1
, , 0
x y y
   
Khi đó ta có: 1
( ) ms
k
A F F x P y Q y
   
= − + +

Suy ra ( ) ( )
2
k
y x
A F P x P y Q
 
   
−
= − + + −

Với 1
2
y x
y
 

−
= − di chuyển khả dĩ của vật K;  là hệ số ma sát.
Khai triển phương trình trên ta thu được:
( )
2 2
k
Q Q
A F P P
x y
   
   
   
   
= − + −
+

x
C E Q
B
A
y
Hinh 1.2
K

16. 10
Kết hợp với điều kiện cân bằng của công khả dĩ 0
( )
k
A F
 =

Suy ra
0
2
2
1
0
2
hay
Q
Q
P
P
Q
P





 
 
 



− + =
=
=
− =
Bài 1.3 Hai thanh đồng chất OA, AB, có cùng độ dài 21 trọng lượng bằng
nhau 1 2
P P P
= = được nối với nhau bằng khớp tại A và gắn vào trần bằng khớp
ở O (hình 1.3). Tại B tác dụng lực Q nằm ngang. Bỏ qua ma sát ở các khớp
nối. Tìm các góc 1 2
,
  lập giữa OA, AB với phương thẳng đứng khi hệ cân
bằng.
Bài giải
Xét cơ hệ gồm 2 thanh OA, OB. Với giả
thiết bỏ qua ma sát hệ chịu liên kết lý tưởng.
Hệ có 2 bậc tự do được xác định bằng 2
tọa độ đủ: 1 1 2 2
,q
q  
= = .
Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm
trọng lượng 1 2
,
P P và lực Q .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta cho hệ
một di chuyển khả dĩ OA quay góc 1
 , AB quay góc 2
 .
Theo (1.6) tổng công của các lực tác dụng lên cơ hệ trên một di chuyển
khả dĩ là:
( ) 1 1 2 2
1
0
k k k k k B
k
N
k k k
k
P y P y
F r Q
A X x Y y Z z x  

    
=
+ + =
=
= + + =

 
Trong đó:
( )
( )
1 2 1 1 2 2
1 1 1 1 1
2 1 2 2 1 1 2 2
2 sin 2 sin 2 cos cos
cos sin
2 cos cos 2sin sin
B B
x l l x l
y l y l
y l l y l
      
   
      







= +  = +
=  = −
= +  = − +
Hình 1.3

17. 11
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
1
0
2 cos 3 sin 2 cos sin
N
k
k
A l Q P l Q P
      
=
=
= − + −
 
Các di chuyển góc 1 2
,
  độc lập với nhau thì để phương trình trên thỏa
mãn với mọi 1 2
,
  thì các hệ số của các di chuyển phải đồng thời bằng 0.
( )
( )
1 1
2 2
2 cos 3 sin 0
2 cos sin 0
l Q P
l Q P
 
 





− =
− =
Giải hệ phương trình trên ta thu được:
1
2
2
3
2
Q
tg
P
Q
tg
P









=
=
Bài 1.4 Trên hình 1.4 ta có sơ đồ cơ cấu culic của máy bào ngang. Tay quay
OA có chiều dài là a, cần lắc CB có chiều dài là l, còn khoảng cách giữa hai
trục O và C là d. Ở vị trí đang xét OA tạo với phương thẳng đứng một góc
quay . Tay quay OA chịu tác dụng một ngẫu lực có mômen M, còn cần lắc
chịu tác dụng của lực ngang F

tại B hướng từ trái sang phải. Bỏ qua ma sát
và trọng lượng bản thân của các khâu. Tìm điều kiện cân bằng của cơ cấu tại
vị trí đó.
Bài giải
Khảo sát cơ hệ là cơ cấu culic của máy bào
ngang.
Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng và
lý tưởng. Cơ hệ có 1 bậc tự do.
Các lực chủ động gồm F và ngẫu lực có
mômen M. Chọn hệ toạ độ suy rộng đủ q 
= là
góc quay của tay quay OA
Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ 0
  ngược
chiều kim đồng hồ. Khi đó CB quay quanh C một góc  .
l1
Hình 1.4


M
C
A
B
O

18. 12
Gọi A
V là vận tốc tuyệt đối của A.
t
V là vận tốc tương đối do A chạy trên CB.
k
V là vận tốc kéo theo do CB quay quanh C.
Khi đó t
A k
V V V
= + được biểu diễn như hình vẽ.
Ta có ,
A k
OA V CB
V  
= = với và  lần lượt là vận tốc quay của OA và
vận tốc góc của CB.
Mà cos( )
K A
V V  
= − suy ra cos( )
CB
OA
   
= −
Hay
1
cos( )
a
l
   
= −
Tổng công khả dĩ của các lực chủ động là:
1
( ) cos cos cos( )
k
a
A F M Fa M Fl
l
       
= − = − −

Vậy lực suy rộng Q ứng với toạ độ suy rộng :
1
( )
cos .cos( ).
k
A F a
Q M Fl
l



  

= = − −

Để hệ cân bằng thì 0
Q = tức là
1
cos( )cos .
a
M Fl
l
  
= −
Từ các bài tập ở trên ta có thể khái quát được tiến trình giải một bài tập áp
dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ như sau:
Bước 1: Xác định số bậc tự do của hệ, kiểm tra điều kiện liên kết lý tưởng.
Bước 2: Chọn các toạ độ suy rộng đủ thông qua bậc tự do
Đặt các lực chủ động lên cơ hệ.
Đối với loại bài toán xác định phản lực liên kết: giải phóng liên kết
và thay thế phản lực cần tìm – coi nó như một lực hoạt động.

19. 13
Bước 3: Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ hợp lý rồi biểu diễn những di
chuyển khả dĩ các điểm đặt các lực hoạt động theo di chuyển khả dĩ độc lập tự
chọn phù hợp với bậc tự do.
Viết biểu thức tính công khả dĩ. Từ điều kiện cân bằng ta tìm được các giá
trị cần xác định. Nếu hệ có nhiều bậc tự do thì các tính toán được áp dụng là
các di chuyển khả dĩ độc lập với nhau.

20. 14
Chương 2: Nguyên lý Đalămbe
2.1 Cơ sở lý thuyết.
2.1.1 Nguyên lý Đalămbe.
2.1.1.1 Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm.
Xét chất điểm có khối lượng m chuyển động với gia tốc w dưới tác dụng
của các lực 1 2
, ,..., n
F F F và lực quán tính của chất điểm là w
qt
F m
= −
Phương trình cơ bản của động lực học viết cho chất điểm:
1 2
1
w ...
N
n i
i
m F F F F
=
= + + + = 
Hay ( )
1
w 0
N
i
i
F m
=
+ − =
 suy ra
1
0
N
qt
i
i
F F
=
+ =

Các lực
1
N
i
i
F
=
 và qt
F đồng quy tại chất điểm nên có thể viết lại
( )
1 2
, ,..., , 0
qt
n
F F F F = (1.6)
Đây là biểu thức nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm và được phát biểu
như sau: Tại mỗi thời điểm các lực tác dụng lên chất điểm và lực quán tính
của nó lập thành một hệ cân bằng.
2.1.1.2 Nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ.

21. 15
Xét cơ hệ có n chất điểm, chất điểm thứ k có khối lượng mk, chịu tác
dụng của tổng các nội lực i
k
F và tổng các ngoại lực e
k
F (k=1,…,n). Nếu chất
điểm chuyển động với gia tốc w thì lực quán tính tác dụng lên chất điểm là
w
qt
k
F m
= − và chất điểm chịu tác dụng của hệ lực cân bằng:
0
qt
i e
k k k
F F F
+ + = (k=1,…,n) (1.7)
Biểu thức (1.7) là biểu thức nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ và được
phát biểu như sau: Khi hệ chuyển động, tại mỗi điểm chịu tác dụng của các
lực (gồm cả nội lực và ngoại lực) cùng với lực quán tính tương ứng thì hệ sẽ
tạo thành một hệ lực cân bằng.
Điều kiện cân bằng của hệ thức (1.7) được viết như sau
( )
, 1
0
n
qt
i e
k k k
k i
F F F
=
+ + =
 (1.8)
0 0 0
, 1
( ) ( ) ( ) 0
n
qt
i e
k k k
k i
m F m F m F
=
 
 
 
 + + =

Theo tính chất của nội lực ta có
, 1
0
n
i
k
k i
F
=
=
 và 0
, 1
( ) 0
n
i
k
k i
m F
=
=

Biểu thức (1.8) tương đương
( )
, 1
0 0
, 1
0
( ) ( ) 0
n
qt
e
k k
k i
n
qt
e
k k
k i
F F
m F m F
=
=




  
 
  

+ =
+ =


Đặt
, 1
n
qt qt
k
k i
R F
=
=  : véctơ chính của các lực quán tính
0 0
, 1
( )
n
qt qt
k
k i
M m F
=
=  : véctơ mômen chính của các lực quán tính.

22. 16
Ta thu được
, 1
0 0
, 1
0
( ) 0
n
qt
e
k
k i
n
qt
e
k
k i
F R
m F M
=
=







+ =
+ =


(1.9)
Chiếu (1.9) lên tọa độ Đề các ta thu được các phương trình cân bằng tĩnh
học
0
0
0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
qt
e
x
k
qt
e
y
k
qt
e
z
k
qt
e
x x
k
qt
e
y y
k
qt
e
z z
k
X R
Y R
Z R
m F M
m F M
m F M
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =






(1.10)
Trong đó , , , , ,
qt qt qt
e e e
x y z
k k k
X Y Z R R R là thành phần hình chiếu của các ngoại
lực e
k
F và véc tơ chính của lực quán tính qt
R lên các trục tọa độ Đề các.
( ), ( ), ( ), , ,
qt qt qt
e e e
x y z x y z
k k k
m F m F m F M M M là thành phần hình chiếu của mô men
của ngoại lực e
k
F và mô men chính của lực quán tính lên các trục tọa độ.
Lưu ý:
Nguyên lý Đalămbe chỉ áp dụng được trong hệ quy chiếu quán tính, các
lực quán tính được tìm qua các gia tốc tuyệt đối.
Nguyên lý Đalămbe cho ta phương pháp giải các bài toán động học một
cách đơn giản (phương pháp tĩnh học vật rắn).
2.1.2 Thu gọn hệ các quán tính của vật rắn.
Vật rắn là là tập hợp các chất điểm mà khoảng cách giữa 2 chất điểm bất
kì luôn không đổi.
2.1.2.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến.

23. 17
Xét vật chuyển động tịnh tiến ta có
gia tốc bằng với gia tốc khối tâm
W W
k c
=
Khi đưa các lực quán tính về khối
tâm C ta được:
w ;
w
w
( ) w
qt qt
c c c
k k
qt qt
c c c c
k k k k
R F m M
M m F r m Mr





= = − = −
= =  = − 
 
 
Do vật rắn không quay quanh khối tâm C nên 0
qt
c
M =
Vậy trong trường hợp vật chuyển động tịnh tiến hợp lực của lực quán
tính bằng véc tơ chính và đi qua khối tâm C.
2.1.2.2 Vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng.
(Chuyển động song phẳng là chuyển động khi mỗi điểm thuộc vật luôn luôn
chuyển động trong một mặt phẳng cố định song song với mặt phẳng quy
chiếu đã chọn trước)
Xét vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng.
Ta đưa các lực quán tính về khối tâm C ta thu được:

24. 18
w ;
qt
c c
qt
c c
R M
M J 





= −
= −
Trong đó C
J là momen quán tính của vật đối với trục quay,  là gia tốc
góc.Dấu “ – “ chứng tỏ qt
c
R và qt
c
M ngược chiều với Wc và  .
2.1.2.3 Vật rắn đồng chất chuyển động quanh một trục cố định.
Xét vật rắn đồng chất chuyển động quanh một trục cố định.
Ta có vécto chính của các lực quán tính và vecto momen chính của các
lực quán tính trong trường hợp này là:
( w ) ( w )
qt qt qt n
c n c c
R R R M M


= + = − + −
Và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng đối xứng và có momen bằng
qt
c c
M J 
=−
Dấu “–“ cũng thể hiện rõ chiều của ngẫu lực ngược chiều với chiều của
gia tốc góc.
2.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe
Nguyên lý Đalămbe giúp ta đưa việc giải một bài toán động lực về việc
thành lập các phương trình cân bằng tĩnh học. Đặc biệt nguyên lý này được sử

25. 19
dụng rất thuận tiện trong việc xác định các phản lực liên kết nếu ta đã biết
chuyển động.
Việc sử dụng nguyên lý Đalămbe để giải các bài toán, cụ thể là áp dụng
phương pháp tĩnh hình học đưa ta đến hai loại bài toán:
Dạng 1: Khi đã biết chuyển động của cơ hệ, tìm các lực tác dụng lên cơ
hệ.
Dạng 2: Viết phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ, đặc biệt là
các phương trình vi phân chuyển động của vật rắn.
Các bài tập tương ứng:
Bài 2.1 Hai vật A, B có trọng lượng P1, P2 liên kết với nhau bằng một sợi dây
không giãn có khối lượng không đáng kể (hình 2.1). Hai vật chuyển động trên
mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát µ nhờ tác dụng lực Q vào vật B theo
phương ngang. Xác định gia tốc của hai vật và lực căng dây.
Bài giải
Xét cơ hệ gồm cả 2 vật, các lực tác dụng lên cơ hệ gồm có , , ,
mst
P N F Q
Gọi các lực quán tính đặt lên 2 vật A, B là 1 2
,
qt qt
F F
Ta có: 1
1 1 1 1
w w
qt P
F m
g
= − = − và 2
2 2 2 2
w w
qt P
F m
g
= − = −
Với gia tốc 1 2
w w w
= = do dây không giãn và khối lượng không đáng kể.
Theo nguyên lý Đalambe: 0
qt
i e
k k k
F F F
+ + =
Hình 2.1

26. 20
Ta có phương trình chuyển động của vật: 1 2 1 2 0
qt qt
Q F F F F
− − − − =
Hay ( )
2 1
2 1
Q= w 0
P P
P P
g

+
− − + =
Suy ra
1 2
w
Q
g
P P

 
 
 
 
= −
+
Để cơ hệ chuyển động thì
1 2
Q
P P
 
+
Xét vật B có các lực tác dụng 2 2 2 2
, , , , , qt
P N F Q T F
Áp dụng nguyên lý Đalămbe: 0
qt
i e
k k k
F F F
+ + =
Phương trình chuyển động của vật B:
2 2 0
qt
Q T F F
− − − =
Với 2
2 2 2
; w
qt P
F P F
g

= = Suy ra 1
1 2
T=
QP
P P
+
Bài 2.2 Hai vật nặng có trọng lượng P1, P2 quấn
vào hai tầng của ròng rọc có trọng lượng Q, có bán
kính quán tính đối với trục quay là . Tầng một có
bán kính tang là r, tầng hai là R (hình 2.2). Tìm gia
tốc của ròng rọc và phản lực của trục quay. Biết
tải trọng chuyển động dưới tác dụng của trọng lực.
Bài giải
Khảo sát cơ hệ gồm hai vật nặng P1, P2 và
ròng rọc trọng lượng Q. Lực tác dụng lên hệ là các
trọng lực và phản lực 0
R của trục.
Đặt vào 2 vật nặng 2 lực quán tính 1 2
;
qt qt
F F . Ta giả
xử vật nặng P1 đi xuống và vật P2 đi lên. Ta có hệ lực quán tính thu thành một

R
r
Mqt
O
Hình 2.2

27. 21
ngẫu lực có chiều âm, về trị số mômen
2
.
qt Q
M J
g
  
= = ( là gia tốc của
ròng rọc)
Áp dụng nguyên lý Đalămbe cho cơ hệ: ( )
1 2 0
, , , , 0
qt
P P Q R F =

Ta lấy momen của hệ lực cân bằng đối với O được:
0 1 2 1 2
2
1 2
1 2
2 2 2
1 2 1 2
( ) 0
0
( ) 0
qt qt qt
m F PR P r F R F r M
P P Q
PR P r R R r r
g g g
PR P r PR P r Q
g
   


= − − − − =
 − − − − =
 − − + + =

1 2
2 2 2
1 2
PR P r
g
PR P r Q


−
 =
+ +
Dễ dàng nhận thấy 0
R là lực có phương thẳng đứng.
Ta có phương trình: 1 1 2 2 0 0
qt qt
P F P F R
+ + + + =
Chiếu lên trục thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên ta được:
1 2 1 2 0
1 2
0 1 2 2 1 1 2
2
1 2
1 2 1 2 1 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
0 2
1 2
0
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
qt qt
qt qt
P P F F R
P P
R P P F F P P R r
g g
PR P r
P P PR P r P P
g PR P r Q
P R PP R PP r P r P P Q PR P r
PR P r Q
PP R r P P Q
R
PR P
 





 − − + − + =
 = + + − = + − +
−
= + − − = + −
+ +
+ + + + + − −
=
+ +
+ + +
 =
+ 2 2
r Q
+
Bài 2.3 Hai vật nặng A và B có trọng lượng P1 và P2 buộc vào một sợi dây
không giãn vắt qua ròng rọc không trọng lượng và ròng rọc này quay quanh
trục cố định O. Những vật A, B có thể trượt trên hai cạnh của lăng trụ tam

28. 22
giác mà hệ số ma sát của vật lăng trụ là  . Tìm gia tốc w của các vật nặng và
sức căng của sợi dây, nếu những góc ,
  đã biết. (hình 2.3)
Bài giải
Khảo sát hệ gồm 2 vật A
và B chuyển động tịnh tiến.
Các ngoại lực tác dụng lên cơ
hệ gồm
1 2 1 2 1 2
, , , , ,
ms ms
P P N N F F và
lực căng ở 2 đầu dây nối vật
1 2
,
T T
Do dây có khối lượng không
đáng kể và không giãn nên 1 2
1 2
w w w
T T T





= =
= =
Đặt tại A và B các lực quán tính có độ lớn lần lượt là 1
1 w
qt P
F
g
= và
2
2 w
qt P
F
g
=
Theo nguyên lý Đalămbe hệ lực cân bằng nên ta có phương trình cân bằng đối
với vật A, B là: 1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
qr
ms
qt
ms
P N F T F
P N F T F





+ + + + =
+ + + + =
Chiếu các phương trình cân bằng lên chiều chuyển động 1 2
,
x x ta được:
1 1
2 2
1
2
sin 0
sin 0
ms
ms
qt
qt
P F F T
P F F T







− − − =
+ + − =
2
1
1 1
2
2
sin cos 0
sin cos 0
P
P P w T
g
P
P P w T
g
  
  







− − − =

+ + − =
Giải hệ phương trình ta được
Hình 2.3
x2

x1
y1
y2
O

A
B

29. 23
1 2
1 2
1
1 1 2
1 2
(sin cos ) (sin cos )
w
(sin cos ) (sin cos ) (sin cos )
P P
g
P P
P
T P P P
P P
     
        




  
 


− − +
=
+
= − − − − +
+
Hay 1 2
1 2
sin sin (cos cos )
PP
T
P P
    
 
 
+ − +
=
+
Từ việc giải một số bài toán ở trên, chúng ta có thể rút ra được tiến trình
chung trong việc giải một bài toán bằng nguyên lý Đalămbe là:
Bước 1: Chọn vật hay hệ vật khảo sát và giả thiết các yếu tố động lực a, .
Bước 2: Đặt ngoại lực tác dụng lên hệ.
Bước 3: Đặt lên hệ vật các lực quán tính.
Bước 4: Thiết lập các phương trình:
0 0
0
( ) 0
qt
e
k
qt
e
k
F R
m F M





+ =
+ =


dưới dạng hình
chiếu và giải các phương trình ấy, rút ra đại lượng cần tìm.

30. 24
Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng
3.1 Cơ sở lý thuyết.
Như chúng ta đã tìm hiểu ở trên thì nguyên lý Đalămbe cho phép chúng
ta giải bài toán động lực học bằng phương pháp tĩnh học, còn nguyên lý di
chuyển khả dĩ cho phép ta giải bài toán cân bằng tĩnh học bằng phương pháp
tổng quát. Kết hợp 2 phương pháp giải này cho ta phương pháp tổng quát giải
các bài tập động lực học.
Xét cơ hệ gồm n chất điểm có liên kết lý tưởng chịu tác dụng của các lực
chủ động a
k
F và phản lực liên kết k
N .
Áp dụng nguyên lý Đalămbe ta thu được hệ lực cân bằng.
( ) ~ 0
qt
k k k
F F N
+ +
Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ sau khi cho hệ một di chuyển khả dĩ
k
r
 ta được:
( ) 0
qt
k k k k
F F N r

+ + =

( ) 0
qt
k k k k k
F F r N r
 
 + + =
  (1.11)
Do hệ liên kết lý tưởng nên 0
k k
N r
 =

( )
(1.11) 0
qt
k k k
F F r

 + =
 (1.12)
Phương trình (1.12) là phương trình tổng quát động lực học hay nguyên
lý Đalămbe – Lagrăng.
Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng được phát biểu: Khi cơ hệ liên kết lý
tưởng thì tại mỗi điểm tổng công nguyên tố của các lực chủ động và lực quán
tính đặt vào cơ hệ trên mọi di chuyển khả dĩ đều bằng không.
Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng có thể được viết dưới dạng giải tích sau:
( ) ( ) ( ) 0
qt qt qt
kx kx k ky ky k kz kz k
F F x F F y F F z
  
 
 
 
+ + + + + =


31. 25
Trong đó: , ,
kx ky kz
F F F là hình chiếu của các lực chủ động k
F lên các trục tọa
độ.
, ,
qt qt qt
kx ky kz
F F F là hình chiếu của các lực quán tính qt
k
F lên các trục tọa
độ.
3.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe – Lagrăng
Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng cho ta phương pháp tổng quát nhất để có
thể giải các bài toán động lực học. Đặc biệt là bài toán xác định gia tốc của
các điểm và các vật hoặc bài toán xác định điều kiện cân bằng tương đối của
hệ.
Những bài toán áp dụng phương trình Lagrăng thường là những bài toán
thành lập phương trình vi phân chuyển động của hệ hay xác định những gia
tốc trong trường hợp hệ có một bậc tự do.
Các bài tập tương ứng
Bài 3.1 Cho cơ hệ như hình vẽ. Các
phần dây nằm trên trục ròng rọc theo
phương thẳng đứng. Các vật A, B, C
lần lượt có khối lượng tương ứng
m1=2kg, m2=3kg, m=4kg. Hãy xác
định khối lượng, gia tốc của 3 vật
nặng. Bỏ qua ma sát ròng rọc, khối
lượng ròng rọc và dây nối không
đáng kể.
Bài giải
Khảo sát cơ hệ gồm 3 vật, dây,
ròng rọc, liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết lý tưởng và cơ hệ có hai bậc tự do.
C
B
A
x1 x2
Hình 3.1

32. 26
Gọi gia tốc của 3 vật nặng lần lượt là 1 2
w ,w ,w. Các ngoại lực đặt lên cơ
hệ là 1 2
, ,
P P P và có các lực quán tính 1 2
, ,
qt qt qt
F F F .
Giả sử cơ hệ chuyển động như hình vẽ. Ta cho cơ hệ một di chuyển khả
dĩ vật A di chuyển khả dĩ 1
x
 , vật B di chuyển khả dĩ 2
x
 vật C sẽ có di
chuyển khả dĩ là: 1 2
3
2
x x
x
 

+
= −
Áp dụng phương trình tổng quát động lực học
3
1
( w ) 0
i i i i
i
F m x

=
− =

Suy ra 2 2
1 1 1 1 2 2 3
( w ) ( w ) ( w) 0
P m x P m x P m x
  
− + − + − =
Khai triển phương trình trên ta được:
1 1 1 1 2 2 2 2
w w
( w ) ( w ) 0
2 2
P m P m
P m x P m x
 
− −
− − + − − =
Ta có 1 2
3
2
x x
x
 

+
= − nên 1 2
w w
w
2
+
= −
Và 1
x
 độc lập với 2
x
 nghĩa là
1 1 1
2 2 2
w
w 0
2
w
w 0
2
P m
P m
P m
P m







−
− − =
−
− − =
Giải 2 phương trình trên ta được:
1 2 1 1 2 2
2
1 1 1 2
( ) w w 0
( ) ( )w w 0
2 4 4
m m g m m
m m m
m g m





− − + =
− − + − =
Thay số vào ta thu được kết quả:
1
2
1
w
11
3
w
11
1
w=
11
g
g
g









= −
=
−
Bài 3.2 Máy chuyển vật liệu chuyển động nhờ ngẫu lực có mômen không đổi
M tác dụng lên puli B. Xác định gia tốc chuyển động của băng chuyền. Biết
trọng lượng của vật A được nâng là P, các puli B, C có cùng trọng lượng Q,

33. 27
bán kính r và được xem là các đĩa tròn đổng chất. Băng chuyền hợp với
phương ngang một góc α và trọng lượng của nó có thể bỏ qua, ngoài ra không
có sự trượt giữa A và băng chuyền, cũng như giữa các băng chuyền với các
puli. Bỏ qua ma sát ở các ổ trục.
Bài giải
Gọi gia tốc chuyển động băng
truyền là w
Xét cơ hệ gồm 3 vật A, B, C
chịu tác dụng của các lực hoạt
động: trọng lượng Q của puli B, C
và trọng lượng P của vật A, ngẫu
lực M. Các lực quán tính tác dụng
lên hệ gồm , ,
qt qt qt
B
A C
F M M
Do hệ bỏ qua ma sát nên cơ hệ chịu liên kết lý tưởng, hệ có một bậc tự do.
Chọn tọa độ suy rộng đủ của cơ hệ là góc quay  của 2 puli.
Ta cho hệ một di chuyển khả dĩ  , khi đó vật A di chuyển lên trên một
đoạn s r
 
= . Từ phương trình tổng quát động học (1.12) ta có:
( ) ( ) 0
qt qt qt
B
A C
P F s M M
 
 
 
 
+ + + =
Khai triển theo cơ hệ dịch chuyển khả dĩ
sin 0
C
qt qt qt
B A
M P s M M F s
    
− − − − =
Khi ( )
sin 0
qt qt qt
B C A
s r M Pr M M rF
   
=  − − − − =
Do  độc lập nên sin 0
qt qt qt
B C A
M Pr M M rF

− − − − =
Trong đó:
w
w, w w
2
qt qt qt
B C A
Qr P
M M J J F m
r g g

= = = = = =
sin w w 0
Qr Pr
M Pr
g g

 − − − = hay
sin
w
( )
M Pr
g
P Q r

−
=
+
Hình 3.2

34. 28
Bài 3.3 Một con lăn A trọng lượng Q trong khi lăn không trượt xuống dưới
theo mặt phẳng nghiêng với góc phương ngang một góc α, đã nâng vật C
trọng lượng P nhờ một sợi dây không giãn, không trọng lượng vắt qua ròng
rọc cố định B. Khi đó ròng rọc B quay quanh trục cố định đi qua tâm 0 của nó
và trực giao với mặt phẳng của ròng rọc. Con lăn A và ròng rọc B là những
đĩa tròn đồng nhất có cùng bán kính và trọng lượng.Tìm gia tốc của trục con
lăn?
Bài giải
Khảo sát cơ hệ gồm con
lăn A, ròng rọc B, vật nặng
C và dây.
Các lực chủ động và
phản lực liên kết tác dụng
lên cơ hệ gồm 0
, , ,
Q P N R
Các lực quán tính tác
dụng lên hệ có độ lớn là:
2
;
2
w ; w qt
z
qt qt
c c A A
Q
M J R
g
P Q
F F
g g
 
= =
= = và w w
C A
= .
Hệ có một bậc tự do. Chọn hệ tọa độ suy rộng đủ là góc  . Ta cho hệ một
di chuyển khả dĩ  , khi đó độ dịch chuyển của vật A là s R
 
= .
Áp dụng phương trình tổng quát động lực học (1.12) và chiếu lên chiều
dịch chuyển di chuyển khả dĩ ta được:
( ) ( )
2
sin 2 0
sin w 2 w 0
2
sin
w
2
qt qt qt
A C
Q F s M P F s
Q Q s P
Q s R P s
g g R g
Q P
Q P
   

   

   
   
   
   
− − − + =
 − − − + =
−
 =
+
Hình 3.3

35. 29
Từ việc giải một số bài tập ở trên chúng ta có thể rút ra được tiến trình
giải bài toán áp dụng nguyên lý Đalămbe - Lagrăng:
Bước 1: Xác định cơ hệ khảo sát và số bậc tự do, kiểm tra điều kiện liên
kết lý tưởng, giả thuyết về chiều gia tốc a,  .
Bước 2 : Xác định các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ.
Bước 3 : Đặt các lực quán tính lên cơ hệ.
Bước 4 : Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ hợp lý theo toạ độ suy rộng rồi
viết phương trình tổng quát động lực học. Tiến hành biến đổi toán học, rút ra
kết quả.

36. 30
Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu
4.1 Cơ sở lý thuyết.
4.1.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu
Có thể nói nguyên lý tác dụng tối thiểu là tiền đề của cơ học lý thuyết.
Ta xét cơ hệ hôlônôm (Cơ hệ với liên kết hôlônôm thì được gọi là cơ hệ
hôlônôm. Nếu trong phương trình liên kết không chứa các yếu tố vận tốc hoặc
có chứa các yếu tố vận tốc nhưng nhờ các phép tính tích phân đưa được về
dạng không chứa các yếu tố vận tốc thì liên kết ấy được gọi là liên kết
hôlônôm), N chất điểm với s bậc tự do.
Vị trí khả dĩ của cơ hệ phù hợp với liên kết được xác định bởi tọa độ
( , )
k
q t  ( 1, )
k s
= với t là thởi gian, α là tham số thực.
Khi α thay đổi:  
→ + thì ( , ) q ( , )
k k
q t t
  
→ + .
Đại lượng: q q ( , ) ( , ) k
k k k
q
t q t
    


= + − =

được gọi là biến phân
qk
Giả sử với 0
 = thì ( , )
k
q t  sẽ diễn tả chuyển động thực của cơ hệ trong
khoảng thời gian từ t1 đến t2 (t2 rất
gần so với t1). Với 0
  thì
( , )
k
q t  sẽ mô tả chuyển động
khả dĩ từ t1 đến t2. Chúng ta chỉ
hạn chế khảo sát những chuyển
động khả dĩ của cơ hệ và chuyển
động thực có chung điểm đầu và
điểm cuối.
Tại thời điểm 1 2
,
t t các hàm qk
trùng nhau nên ta có:

37. 31
1 2
( ) 0, ( ) 0
k k
q t q t
 
= =
Giả sử hàm Lagrăng của hệ: ( , , )
k k
L L q q t
= 1,
( )
s
k = (L=T-U). Lực vô hướng
Ldt được gọi là tác dụng nguyên tố theo Haminton.
Ta có tích phân:
2
1
( , , )
t
k k
t
S L q q t dt
=  gọi là tác dụng theo Haminton trong
khoảng thời gian 1 2
t t
→ . Đặt ( , )
k k
q t q
 = và ( , )
k k
q t q
 = ta được:
2
1
( , ), ( , ),
t
k k
t
S L q t q t t dt
 
 
 
= 
Suy ra biến phân của tác dụng S là:
2
1
t
t
S
S Ldt
  


= =
 
Nguyên lý tác dụng tối thiểu: Đối với cơ hệ Hôlônôm chịu liên kết lý tưởng
và dưới tác dụng của các lực thế, chuyển động thực đưa cơ hệ từ trạng thái A
sang trạng thái B là chuyển động tương ứng với giá trị cực trị của hàm tác
dụng S, hay nói các khác chuyển động thực của cơ hệ, biến phân cấp một của
hàm S bị triệt tiêu.
Nghĩa là:
0
0
S

 =
 
 
 

=

hay 0
S
 =
4.1.2 Ứng dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu
+ Lập phương trình Haminton từ nguyên lý tác dụng tối thiểu
Sử dụng định nghĩa hàm Haminton ( , )
k k
H H q p
= và
1
N
k k
k
H p q L
=
= −
 ta có
thể viết nguyên lý tác dụng tối thiểu dưới dạng:
2
1 1
0
N
t
k k
t
k
S p dq Hdt
 
=
 
 
 
 
= − =


Thay đổi thứ tự phép tính tích phân và phép tính biến phân ở vế trái ta
được:
2 2
1 1
1 1
( )
N N
t t
k k k k k
t t
k k
k k
H H
S q p q dt p d q
p q
   
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= − − +
 
 
 

38. 32
Áp dụng tích phân từng phần và điều kiện 1 2
( ) ( ) 0
k k
q t q t
 
= = ta được:
2 2
1 1
1 1
( )
N N
t t
k k k k
t t
k k
p d q p q dt
 
= =
= −
 
 
Vì ,
k k
q p
  độc lập nhau nên
k
k
k
k
H
q
p
H
p
q








=


= −

Đây được gọi là phương trình Haminton.
+ Nguyên lý tác dụng tối thiểu và phương trình chuyển động của hệ
Cùng với chuyển động thực ta biểu diễn các chuyển động bằng các phương
trình thông số: * ( ) ( )
k k k
q t q t q

= + . Trong đó biến phân k
q
 là hàm khả vi vô
cùng bé bất kì, thỏa mãn các điều kiện ở hai đầu mút 1 2
( ) ( ) 0
k k
q t q t
 
= = .
Với độ chính xác đến các số hạng bé bậc nhất với ,
k k
q q
  ta có:
1 1
( , , ) ( , , )
N N
k k k k k k k k
k k
k k
L L
L L q q q q t L q q t q q
q q
    
= =
 
= + + − = +
 
 
Ta lại có:
2 2
1 1
1
0
N
t t
k k
t t
k k k
L L
S Ldt q q
q q
   
=
 
 
 
 
 
= = + =
 

 
2
1
1
0
N t
k
t
k k k
L d L
S q dt
q dt q
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = − =
 
 0
k k
L d L
q dt q
 
 
 
 
 
 − =
 
Đây là phương trình Lagrăng loại 2, nó đặc trưng cho chuyển động của hệ.
+ Phương trình Lagrăng loại 2 chứng minh được nguyên lý tác dụng tối
thiểu.
Từ phương trình 0
k k
L d L
q dt q
 
 
 
 
 
− =
 
ta nhân với k
q
 và lấy tổng ta được:

39. 33
1
1 1
1 1 1
1
0
0
0
0
N
k
k k k
N N
k k
k k
k k
N N N
k k k
k k k
k k k
N
k
k k
d L L
q
dt q q
d L L
q q
dt q q
d L L L
q q q
dt q q q
d L
L q
dt q

 
  
 
=
= =
= = =
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   
   
   
 
 
 
 
 
− =
 
 
 − =
 
  
 − + =
  

 − =


 
  

Nhân 2 vế với dt và tính tích phân từ giới hạn t1, t2 ta có:
2 2 2 2
2
1
1 1 1 1
1 1
0
N N
t t t t
t
t
k k
t t t t
k k
k k
d L L
Ldt q Ldt q Ldt
dt q q
    
= =
 
 
 
 
 
− = − = =
 
 
   
Hay 0
S
 =
4.2 Một số bài tập về nguyên lý tác dụng tối thiểu.
Bài 4.1 Xác định biểu thức của tác dụng của một dao động tử điều hòa một
chiều có khối lượng m.
Bài giải
Chọn hệ tọa độ suy rộng là k
q x
= .
Ta có động năng và thế năng của dao động tử điều hòa là:
2 2
2 2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
T mv mx
U kx m x








= =
= =
( )
const
 =
Hàm Lagrăng của dao động tử điều hòa:
2 2 2
1 1
2 2
L T U mx m x

= − = −
Từ phương trình 0
k k
d L L
dt q q
 
 
 
 
 
− =
 
ta có phương trình cho tọa dộ x:
2
0
x m x

+ = và phương trình này có nghiệm sin( t )
x a  
= + .

40. 34
cos( )
x a t
  
 = +
Thế vào hàm Lagrăng, sau đó đưa vào biểu thức tác dụng S và tính tích
phân ta thu được:
( ) ( )
2
1
2 2
1 2 2 1 1 2
2 1
1
S cos 2
2 sin ( )
t
t
m
Ldt x x t t x x
t t



 
 
 
= = + − −
−

Bài 4.2 Xác định biểu thức của tác dụng của hạt có khối lượng m, chuyển
động tự do.
Bài giải:
Chọn tọa độ suy rộng là k
q x
=
Ta có hàm Lagrăng cho hạt chuyển động tự do là: 2 2
1 1
( , , )
2 2
L x x t mv mx
= =
Từ phương trình 0
k k
d L L
dt q q
 
 
 
 
 
− =
 
ta có phương trình cho tọa dộ x: 0
mx =
ta có
2 1
2 1
x x
x const v
t t
x vt





−
= = =
−
=
Thế vào tác dụng S:
2
1
2
1
2
t
t
S mx
=  suy ra
( )
2
2 1
2 1
2
x x
m
S
t t
−
=
−
Bài 4.3 Trong chuyển động một chiều của hạt tự do, xung lượng
L
p
x

=

,
chứng minh rằng ở điểm bất kì x1 trên quỹ đạo, xung lượng có dạng
1
S
x
p


= .
Bài giải
Từ công thức nguyên
2
1
t
t
S Ldt
= 
Suy ra
2
2
1
1
t
t
t
t
L d L L
S x x dt
x dt x x
  
 
 
 
 
 
 
 
  
= − −
  


41. 35
Theo đề bài ta có
L
p const
x

= =

và
S
S x
x
 

=

Mặt khác
2
1
~ 0
t
t
d L L
x dt
dt x x

 
 
 
 
 
 
 
 
−
 
 suy ra
1 1
x x x x
S L
p
x x
= =
 
= =
 
Bài 4.4 Biểu thức năng lượng của chất điểm có dạng E L xp
= + . Chứng minh
rằng ở điểm bất kì x2 trên quỹ đạo, năng lượng có dạng
2
S
E
t

=

; t2 thời điểm
ứng với tọa độ x2.
Bài giải
Xét chất điểm chuyển động trong quỹ đạo từ 1 2
x x
→ trong thời gian từ t1
đến t2.
Ta có tác dụng S:
2
2
0
( , , ) ( )
t
S L x x t dt S t
= =

Suy ra
2
2
2
0
2 2 2 2
2 2
0
2
( )
t
t
S L x L x L
dt
t x t x t t
S L
x t dt L
t x
 
 
 
 
     
= + +
     
 
 = +
 


(do
2
0
x
t

=

vì nguyên lý tác dụng tối thiểu chỉ áp dụng cho hệ kín)
Từ phương trình Lagrăng mô tả chuyển động của chất điểm:
0
d L L d L L L L
dt
dt x x dt x x x x
   
   
   
     
− =  =  =
     

2 2
1
2
2 2
0
t t
t
t t
L L L
dt dt
x x x
=
  
 = =
  
 
Thế vào phương trình
2
S
t


ta được:
2
2 2
2
( ) ( )
t t
S L
x t L t
t x =
 
= +
 
mà
L
p
x

=

nên ( ) 2
2
t t
S
xp L E
t =

= + =


42. 36
Vì t2 tùy ý nên
2
S
E
t

=

Từ việc giải những bài tập ở trên chúng ta có thể rút ra phương pháp giải
chung cho các bài tập về nguyên lý tác dụng thiểu.
Bước 1: Xác định cơ hệ khảo sát. Xác định số bậc tự do của cơ hệ và
chọn toạ độ suy rộng, xác định điều kiện liên kết của hệ.
Bước 2: Tính động năng và thế năng của hệ và biểu diễn hàm Lagrăng
qua các toạ độ suy rộng qj và các vận tốc suy rộng qj.
Bước 3: Tính các đạo hàm , ,
j j j
T d T T
q dt q q
  
  
rồi thay các đại lượng này
vào các phương trình Lagrăng. Tiến hành biến đổi toán học và rút ra kết quả.

43. 37
KẾT LUẬN
Đề tài “Một số dạng bài tập về các nguyên lý trong cơ học” sau khi hoàn
thiện đã thu được những kết quả sau:
Khóa luận đề cập đến bốn nguyên lý cơ bản của cơ học cụ thể là các cơ
sở lý thuyết, nội dung của các nguyên lý. Đặc biệt khóa luận đã đưa ra cách
phân loại các dạng bài tập ứng với từng nguyên lý, sau đó đã đưa ra các bài
tập với lời giải cụ thể cho mỗi dạng bài tập.
Khóa luận đã đề xuất tiến trình giải chung nhất để sinh viên có thể áp
dụng và giải quyết các bài toán độc lập.

44. 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chu Tạo Đoan (1996), Cơ học lý thuyết, Trường đại học Giao thông vận
tải.
2. Chu Tạo Đoan (2007), Cơ học lý thuyết (tập 1), Nhà xuất bản Giao thông
vận tải.
3. Nguyễn Hữu Mình (1998), Cơ học lý thuyết, Nhà xuất bản Đại học Quốc
Gia.
4. Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc Nhập, Đỗ Đình
Thanh, Lê Trọng Tường (1998), Bài tập vật lý lý thuyết (tập 1), Nhà xuất
bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
5. Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường
(1990), Bài tập vật lý lý thuyết (tập 1), Nhà xuất bản Giáo Dục.
6. Đỗ Sanh (1996), Cơ học (tập 2), Nhà xuất bản Giáo Dục.
7. Đỗ Sanh, Lê Doãn Hồng (2003), Bài tập cơ học (tập 2), Nhà xuất bản
Giáo Dục.