ΙΣΤΟΡΙΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 2ο
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 115_2020
1. 115
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ ΓΕΓΟΝΟΤΑ
B΄B΄ΕΥΚΛΕΙΔΗΣΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ - ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ - ΜΑΡΤΙΟΣ 2020 ευρώ 3,5
Μαθηματικό περιοδικό για το ΛΥΚΕΙΟ
Με την ευκαιρία της ανακήρυξης της 14ης Μαρτίου (14/3) ως
παγκόσμιας μέρας των Μαθηματικών (παραπέμποντας στην γραφή 3,14
με την οποία αρχίζει ο υπολογισμός του π, του λόγου της περιφέρειας
προς την διάμετρο κάθε κύκλου), η ΕΜΕ καλεί την ελληνική κοινωνία και
την πολιτεία
και για τις
δυνατότητες που προσφέρει η Μαθηματική Επιστήμη στον σχεδιασμό
έργων ειρήνης, δημοκρατίας, συνύπαρξης και στην κοινωνική οργάνωση
με όρους αλληλεγγύης, ανοχής και ανθρώπινης αξιοπρέπειας.
Τα Μαθηματικά, ως το κατεξοχήν μάθημα (ετυμολογική
προέλευση του όρου μαθηματικά)
καθώς με τον λογικό συλλογισμό μπορούν να διαπερνούν τα όρια των
αισθήσεων για να επινοήσουν νέες
μαζί με τις μηχανικές της κατασκευής τους.
Παροτρύνουμε τις Σχολικές Μονάδες να οργανώσουν
διεπιστημονικές συζητήσεις και δράσεις για να αναδείξουν την
μαθηματική συμβολή και παρουσία στον κριτικό και ακριβή τρόπο σκέψης
και έκφρασης όλων των γνωστικών πεδίων, επισημαίνοντας τη σημασία
των μαθηματικών στο σύγχρονο κόσμο,
Το Διοικητικό Συμβούλιο καλεί τα Παραρτήματα της ΕΜΕ σε όλη
την Ελλάδα να πάρουν μέρος σε εκδηλώσεις με θέμα
, που επέλεξε για την φετινή "μέρα Πί" στις 14 Μαρτίου
2020, ηΔιεθνής Ένωση Μαθηματικών (https://www.mathunion.org ). “
να σχεδιάσουμε έναν αναστοχασμό για τη σημασία της
Μαθηματικής Εκπαίδευσης στον σύγχρονο κόσμο
βρίσκονται στον πυρήνα του
ανθρώπινου συλλογισμού, αλλά και της ανθρώπινης φαντασίας,
και να ανακαλύψουν
πραγματικότητες
το δικαίωμα όλων των παιδιών
στην μαθηματική εκπαίδευση και την αναγκαιότητα της μαθηματικής
καλλιέργειας για κάθε πολίτη στην ψηφιακή εποχή.
"τα Μαθηματικά
είναι παντού"
το π =3,14
Τα Μαθηματικά
είναι παντού
Γυναίκες
μαθηματικοί
Γυναίκες
μαθηματικοί
14 / 3 / 202014 / 3 / 2020
Ευκλείδης 2020
Αρχιμήδης 2020
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
Ταχ.Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Ταχ.Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
ΑριθμόςΆδειας
4156
ΑριθμόςΆδειας
4156
ΕΛΤΑHellenicPostHellenicPost
ΕΚΔΟΤΩΝ
ΕΝΤΥΠΟΚΛΕΙΣΤΟΑΡ.ΑΔΕΙΑΣ1099/96ΚΕΜΠ.ΑΘ.ΕΝΤΥΠΟΚΛΕΙΣΤΟΑΡ.ΑΔΕΙΑΣ1099/96ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Ελληνικ Μαθηματικ Εταιρε αή ή ίΕλληνικ Μαθηματικ Εταιρε αή ή ί
ΕΜΕ:ΧΡΥΣΟ ΜΕΤΑΛΛΙΟ 2018 ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΑΘΗΝΩΝ
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100
2. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ
ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ
Τεύχος 115 - Ιανουάριος - Φεβρουάριος - Μάρτιος 2020 - Ευρώ: 3,50
e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr
ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34
106 79 ÁÈÇÍÁ
Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532
Fax: 210 3641025
Ανάργυρος Φελλούρης
Παναγιώτης Δρούτσας
Åêäüôçò:
ÄéåõèõíôÞò:
ÁíäñïõëáêÜêçò Íßêïò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò
Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò
ÊáêáâÜò Áðüóôïëïò
Êáìðïýêïò ÊõñéÜêïò
ÊáñêÜíçò Âáóßëçò
Êáôóïýëçò Ãéþñãïò
Êáñäáìßôóçò Óðýñïò
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Êïíüìçò ¢ñôé
ÊõâåñíÞôïõ ×ñõóô
Êõñéáêüðïõëïò Áíôþíçò
Êõñéáêoðïýëïõ Êùí/íá
Ëáæáñßäçò ×ñÞóôïò
ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
ÌáëáöÝêáò ÈáíÜóçò
ÌáõñïãéáííÜêçò Ëåùíßäáò
ÌÞëéïò Ãåþñãéïò
Ìðåñóßìçò Öñáãêßóêïò
Ìðñßíïò Ðáíáãéþôçò
Ìþêïò ñÞóôïò
Óßóêïõ Ìáñßá
ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò
ÓôñáôÞò ÃéÜííçò
Táðåéíüò Íéêüëáïò
T
ÔñéÜíôïò Ãåþñãéïò
ÔõñëÞò ÉùÜííçò
× éóôüðïõëïò ÈáíÜóçò
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Øý÷áò ÂáããÝëçò
Απατσίδης Δημήτρης
Βλάχος Σπύρος
Γαμβρέλλης Αργύρης
Γιώτης Γιάννης
Δρούτσας Παναγιώτης
Ζέρβας Νίκος
Ζώτος Ευάγγελος
Κουτσούρης Λέων
αλένια
Λουμπαρδιά Αγγελική
Μανιατοπούλου Αμαλία
Μπρούζος Στέλιος
Χ
Μωραΐτου Κατερίνα
Πανταζή Αφροδίτη
ουρναβίτης Στέργιος
Τσικαλουδάκης Γιώργος
Τσίτος Χρήστος
Τσιφάκης Χρήστος
Τσουλουχάς Χάρης
ρ
ΔΔ π ππ π
Επίκαιρα Θέματα
Γενικά Θέματα
Τα Μαθηματικά είναι Παντού 1
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες, 5
19
Άλγεβρα: Εξισώσεις και Ανισώσεις, 25
Γεωμετρία: Θέματα Γεωμετρίας, 30
Άλγεβρα: Τριγωνομετρικές Εξισώσεις, 33
Γεωμετρία: Κανονικά Πολύγωνα - Μέτρηση Κύκλου, 38
Αναλυτική Γεωμετρία: Εισαγωγή στις Κωνικ΄ές τομές, 43
Επαναληπτικά Θέματα, 47
Το Βήμα του Ευκλείδη, 60
Όταν το γράφημα δίνει νόημα στο ορισμένο ολοκλήρωμα 63
Επίλυση προβλημάτων από αρχαία Αίγυπτο και την Μεσοποταμία
με σύγχρονη αντιμετώπιση και συμβολισμούς, 67
Ο Ευκλείδης προτείνει..., 70
Τα Μαθηματικ΄ά μας Διασκεδάζουν, 79
.................................................................
......................
................................................................
.....................................................
..............................
.............................................................................
................................................................................
....................
.....................................
...........................................................................
........................................................
Homo Mathematicus, ..................................................................................
.......................................................
............................
Α΄
Β΄
Γ΄
Τάξη
Τάξη
Τάξη
Γυναίκες και Μαθηματικά, 75.........................................................................
Αγαπητοίφίλοι,
μαθητέςκαισυνάδελφοι,
μεεπιμονήκαικαλήδιάθεση
νααντιμετωπίσουμε
τοαπρόοπτοκαι
τοδύσκολοπουσυμβαίνει
μεκουράγιο
καιπίστη
σταθεροίστοόνειρο,στοταξίδι,...
καιόπωςλέεικαιοποιητής...
“Το ανοιχτό να ατενίσουμε
κάτι δικό μας να αναζητήσουμε,
όσο, κι αν είναι μακριά”
Friedrich Holderlin [1770-1843]
Γερμανός ποιητής
H ó íôá òεπιτροπή ύ ξη
του περιοδικού
Υ.Γ. Υπεύθυνοι για την επιμέλεια της ύλης των τάξεων
Είναι οι συνάδελφοι:
Α΄ Λυκείου
Β΄ Λυκείου
Γ΄ Λυκείου
[ Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Χ. Τσίτος],
[ Β. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης],
Δ. Αργυράκης, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς]
Γ. Κατσούλης, Λ. Κουτσούρης,
Απ. Κακκαβάς, Μ. Σίσκου,
Ν. Αντωνόπουλος,[
Γράμμα της Σύνταξης
Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054
ISSN: 1105 - 8005
Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50•
• Ïé óõíåñãáóßåò,
ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (12,00 + 2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ = åõñþ 14,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 12,00
Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å.
[ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êëð.] ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí
Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç B´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé.
.
Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρια ευθύνη τη φέρει ο
εισηγητής
Åêôýðùóç: (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Ä. ÐáðáäüðïõëïòROTOPRINT Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ:
Ζώτος Ευάγγελος
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò
Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò
ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
Τσίτος Χρήστος
Τσιφάκης Χρήστος
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Το να έχει χαρά
και ελπίδα για το καλύτερο ...
2020
Η έγκαιρη πληρωμή της
βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού
συνδρομής
Εξώφυλλο:
Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται
και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr
Υπεύθυνοι για το Δ.Σ
Επιτροπή Έκδοσης
ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Συντακτική Επιτροπή
Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών
Ευκλείδης:
Θαλής:
Αρχιμήδης:
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
9 2019Νοεμβρίου
22 2020Φεβρουαρίου
18 Ιανουαρίου 2020
Εικαστική σύνθεση βασισμένη
στο “π” και στην επικαιρότητα των Μαθηματικών
ΕΛΤΑHellenic PostHellenic Post
Το για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται:
Με κατάθεση του αντιτίμου της συνδρομής στους παρακάτω λογαριασμούς
ΕΘΝΙΚΗ Τράπεζα λογαριασμός όψεως 080/48002300 ΙΒΑΝ GR 87 0110 0800 0000 0804 8002 300
ALPHA , 10 100 200 20 19 98 ΙΒΑΝ GR 86 0140 1010 1010 0200 2019 988
EUROBANK , 0026.0201.94.0201575138 ΙΒΑΝ GR 90 0260 2010 0009 4020 1575 138
Mε απλή ταχυδρομική επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ Γραφείο 54, Τ.Θ. 30044
Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε
αντίτιμο
1.
2.
3.
4.
5.
7. 115 (2020) .3/5
E.M.E.
80
“ ”
18 2020
1
, 1
x, x 2, x :
3 3 2 2
2 2 3 3
13
6
.
x, x 1, : 2 2
x (1)
(1) ,
, :
1
3 2 2 3 2 2 3 3 3 3
x x x x 1 . (2)
, ;
3 3
2 2
x 1 x 1
x x
2 2
3 3
x x
x 1 x 1
.
x :
2 2 2 2
2
x 1 x 13
6 x 1 x 13x x 1 12x 12x 6 13x 13x
x x 1 6
x x 6 0 x 2 ( , x 2) x 3.
2
, :
: .
:
10. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/8
4
5
,
4
5
.
2
: 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
P x,y x x y x y x y x y x y xy y , x,y .
( ) P x,y 2.
( ) xy 1, x,y 0,
P x,y x,y .
( )
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6
6 4 2 2 4 6 4 2 2 4 2 2
4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
222 2 2 2 2 2 2 2
P x,y x x y x y x y x y x y xy y
x x x y x y y y x x y x y y
x x y x y y x y x x y y x y x y
x y x y x y x y 2x y 2x y x y x y
x y 2xy x y x y x y 2xy x y 2xy x2 2
y x y .
( ) 4 4 2 2
P x,y x y x y x y .
xy 1, x,y 0, : 4 4 2 2
x y 2x y 2 ( x y 1),
2 2
x y 2xy 2 ( x y 1),
x y 2 xy 2 ( x y 1),
4 4 2 2
P x,y x y x y x y 8,
x y 1.
3
.
:
1 20 30.
11 25 20.
16 30 10.
( ) .
( ) 16 20
20, .
( )
:
1 10 ,
11 15 ,
16 20 ,
21 25 ,
26 30 .
, , :
12. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/10
1
n , n 1,2,3,....
1 2 n
n
...
M , n 1,2,3,...
n
n n 2
n 1
M M
M ,
2
n 1,2,3,... n , n 1,2,3,... .
n 2 n 1 n 1 nM M M M , n 1,2,3,...,
1 2 n
n
...
M , n 1,2,3,...
n
.
, : n 1 1M M n 1 n 1 , n 1,2,3,... (1)
nM :
n 1 2 n 1 n
n 1 1 2 n 1
nM ...
n 1 M ...
: n n n 1nM n 1 M .
, (1), :
n n n 1 1 1
n 1 1 1
nM n 1 M n n 1 n 1 n 2
n n 1 n 1 n 2 2n 2 n 1 2 .
n , n 1,2,3,... 2 .
2
.
:
1 15 10.
6 20 20.
11 30 30.
( ) .
( ) 11 15
10, .
( )
:
1 5 ,
6 10 ,
11 15 ,
16 20 ,
21 30 .
, , :
5 5 5
10
15 30 (1)
5 5 5
20 60 (2)
15
2 120 (3)
5 5 10
30
20
, (1) (3), :
13. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/11
5 5 5 5 10 5 2 5 150 . (4)
(1) max 30 , ,
0, 30, 2 90 , 0, 30, 45 .
, min 0 , ,
30, 60, 2 120 10, 20, 40, 40 .
, (4) : min max5 150 5 150 30 600 ,
max min5 150 5 150 0 750.
( ) 10 , 5 150 10 700 .
3.
P x
22
P x P x 2P x 2, x .
22
P x 1 P x 1 , (1)
x , , Q x P x 1, :
22
Q x Q x , (2)
x . :
( ) Q x Q x c . (2) :
2
c c c 0 c 1, P x 1 P x 2.
( ) Q x n 1. :
n
nQ x x R x , 0, degR x r n 1 R x 0. (3)
R x 0 , (2) :
2 22n 2 2 2n n 2 n
n n n n nx R x x 2 x R x R x 1 R x 2 x R x R x .
,
2r ,
n r , r n, . R x 0
n n
Q x x P x x 1,n 1.
, : n
P x 1 P x 2 P x x 1, n 1.
4
, .
.
, ,
, .
. : .
, :
.
, .
15. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/13
37
« »
22 2020
1
P x Q x
:
3 3
P Q(x) xP x Q(x) .
: deg ( ) 1, deg ( ) 1.P x m Q x n
, :
*
3mn 1 m 3n m 1 3n 1 2 m 1 1,3n 1 2 m 1 2, 3n 1 1( )
m 2, n 1.
2
P x x bx c, ,b,c , 0, Q x dx e,d,e ,d 0.
:
23 3 3
Q(x) b Q(x) c xP x Q(x) , (1)
Q x c ,
c 0 . (1) :
23 3 3 3 3
Q(x) b Q(x) xP x Q(x) 0 Q(x) Q(x) b xP x
Q(x) 0
3
Q(x) b xP x 0
3
xP x Q(x) b (2)
(2) :
32 3 2 3 3 2 2 2 3
x x bx dx e b x bx d x 3 d ex 3 de x e b
,d 0
3 2 2 3
d , b 3 d e, 3 de 0, e b 0 d 1, e 0, b 0, .
: 2
P(x) x , Q(x) x, .
2
3 .
.
ˆ ˆ .
,
, .
ˆ , : 0 0ˆ ˆ90 90 , (1)
ˆ ˆ , 0ˆ 90 ,
0 0 0ˆˆ ˆ 90 90 180 180 , , .
, , .
,
. , ˆ ˆ ˆ ,
. ˆˆ , : .
:
0
0 0 0180ˆˆ ˆ 180 180 90
2 2
. (2)
27. 115 (2020) .3/25
:
: 2
f x x x , 0 f x x .
.
6.3 7.3 .
1
2
f x x x , 0,
.
N :
) f x 0 .
) 0;
)
,
2 4
, ,
0 1
4
0
1 0 0
4
.
f x 0
.
) 0 0
f x 0 .
2
2
f x x x , 0
3 1
, .
2 4
) N : .
) 0 :
i)
f x .
ii) 2 9 1
f x x 3 x
4
) ,
2 4
1
.
4 4
) 0 0
.
i)
3
3
2 2
,
3.
ii) (i), 3 .
3
2 2
4 9 4
0 9 1
9 4 1
4
.
,
f , , 2 9 1
f x x 3 x
4
3
)
2
f x x x , 0 .
, , , .
)
, , :
2 2 .
35. 115 (2020) .3/33
:
– .
1 . : -
P x x 3, -
P 4x 5 x 2.
. P x
x 3 P 3 0 1 .
x 2
1
P 4 2 5 P 3 0 .
P 4x 5 x 2 .
2 . :
4 3 2
P x x 9x 25x 24x 4
2
x 2 .
. : P x
: 4 3 2
P x x 9x 25x 24x 4
4 3 3 2 2
x 2x 7x 14x 11x 22x 2x 4
3 2
x x 2 7x x 2 11x x 2 2 x 2
3 2
x 2 x 7x 11x 2 x 2 q x .
3 2
q x x 7x 11x 2
3 2 2
x 2x 5x 10x x 2
2
x x 2 5x x 2 x 2
2
x 2 x 5x 1 .
: P x x 2 q x
2
x 2 x 2 x 5x 1
2 2
x 2 x 5x 1
: -
P x 2
x 4x 4 :
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
x 9x 25x 24x 4 x 4x 4
x 4x 4x x 5x 1
5x 21x 24x 4
5x 20x 20x
x 4x 4
x 4x 4
0
P x
2 2
x 2 x 4x 4
: Horner :
1 9 25 24 4 2
2 14 22 4
1 7 11 2 0
x 2 P x
3 2
P x x 2 x 7x 11x 2 .
x 2 -
1 7 11 2 2
2 10 2
1 5 1 0
2 2
P x x 2 x 5x 1 .
:
x 2 y x y 2
4 3 2
P y 2 y 2 9 y 2 25 y 2
4 3 2
24 y 2 4 y y 5y 2 2
y y y 5 .
y x 2
2 2
P x x 2 x 2 x 2 5 .
P x
2
x 2 .
3 .
2v 2v
f x x 1 x 2x 1, v N
3 2
q x 2x 3x x .
. q x :
3 2 2
q x 2x 3x x x 2x 3x 1
x x 1 2x 1 . f x
q x , x 0 ,
x 1
1
x
2
. :
2v 2v
f 0 0 1 0 2 0 1 0 ,
2v 2v
f 1 1 1 1 2 1 1 0
2v 2v
1 1 1 1
f 1 2 1 0
2 2 2 2
f x q x .
36. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/34
4 .
P x
1
P 0
6
, :
2
P x P x 1 x x R .
i) P x
ii)
5
P x
6
, .
. i)
: 3 2
P x x x x
, , , R 0.
1
P 0
6
1
6
,
3 2 1
P x x x x
6
.
x R : 2
P x P x 1 x
3 23 2 1
x x x x 1 x 1
6
21
x 1 x
6
,
2 2
3 x 3 2 x x
1
33 1
1
3 2 0
2
0
1
6
3 21 1 1 1
P x x x x
3 2 6 6
.
ii) H :
3 25 1 1 1 1 5
P x x x x
6 3 2 6 6 6
3 2
2x 3x x 6 0.
, 6 1, 2, 3, 6 . -
Horner
1, 2, 3, 6
x 2 .
5 . R
4 3 2
x 5x 7x 5x 6 0 .
. -
,
6 1, 2, 3, 6 . Horner -
.
4
.
:
4 3 2
x 5x 7x 5x 6
2 2
x x 2 x bx 3
4 3 2
x b x 1 b x 3 2b x 6
b 5 b 5
1 b 7 b 6
3 2b 5 3 2b 5
2 , b 3
3 , b 2 3,b 2
3 2b 5
: 2 2
x 3x 2 x 2x 3
: 4 3 2
x 5x 7x 5x 6 0
2 2
x 3x 2 x 2x 3 0
2 2
x 3x 2 0 x 2x 3 0
2 3 17
x 3x 2 0 x
2
2
x 2x 3 0 , .
6 . R
x 6 4 x 2 x x 2 .
.
x 2 0 x 2 0
x 6 4 x 2 0 x 2 4 4 x 2 0
x 0 x 0
2
x 2 0
2 x 2 0 x 0
x 0
: x 6 4 x 2 x x 2
2
2 x 2 x x 2
x 1
2 x 2 x x 2 x 1 x 2 2
2 3
x 1 x 2 4 x 3x 2 0
x 2 x 1, .
x 2 .
37. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/35
7 . R
2 2
x 2x 5 3 2x 4x 5 0 .
. 2
2x 4x 5 0 , -
x R .
2
2 2
x 2x 5 3 2x 4x 5 0
2 2
2x 4x 10 6 2x 4x 5 0
2
2 2
2x 4x 5 6 2x 4x 5 5 0
2 2
2x 4x 5 5 2x 4x 5 1
2 2
2x 4x 5 5 2x 4x 5 25
2
1,2x 2x 10 0 x 1 11 , .
2 2
2x 4x 5 1 2x 4x 5 1
22
x 2x 2 0 x 1 1 0 , .
1,2x 1 11 .
8 .
3 2
f x x 2x 1 m x m , x R
m R . fC -
x'x
1A x ,0 , 2B x ,0 , 3x ,0 , -
m
2 2 2
1 2 3x x x 4 .
. fC
x'x 1A x ,0 ,
2B x ,0 3x ,0
f x 0 1x , 2x ,
3x . :
3 2
f x 0 x 2x 1 m x m 0
3 2
x 2x x mx m 0
2 2
x 1 x x m 0 x 1 x x m 0 .
1x 1 2
x x m 0
m 0 , m 0 -
2x 0 3x 1, .
1
0 1 4m 0 m
4
m 0 m 0
m 0
.
2 2 2 2 2
1 2 3 2 3x x x 4 1 x x 4
1 2
1 2
S x x 1
2
2 3 2 3
P x x m
x x 2x x 3 m 1.
1
m ,0 0,1
4
.
9 . R
2 2
2x 16x 18 x 1 2x 4 (1) .
.
2
2
2x 16x 18 0
x 1 0
2x 4 0
x 4 7 x 4 7
x 1 x 1
x 2
x 2, 1 1,
: 2 2
2x 16x 18 x 1 2x 4
2 2
x 1 2x 4 2x 16x 18
2
2 2
2
2
2x 4 2x 16x 18
x 1
2x 4 2x 16x 18
2
2
2
2 x 1
x 1
2x 4 2x 16x 18
2
2
2
2 x 1
x 1 1 0
2x 4 2x 16x 18
x 1
2
2
2 x 1
1 0
2x 4 2x 16x 18
x 1
(1)
2 2
2 x 1 2x 4 2x 16x 18
x 1 2
3 x 1 4x 8 x 1
2 2
9 x 1 16x 64x 64 x 1
2
7x 64x 73 0 x 1
32 3 57
x
7
32 3 57
x
7
.
32 3 57
S 1,1,
7
.
10 . R
2 3
x 1 x 1 x
. 2
x 1 0
x 1 0 x 1
x 0
.
,
2 3
x 1 x 1 x
2 3
x 1 x 1 2 x 1 x 1 x
3 2
x x x 2 2 x 1 x 1
6 5 4 3 2
x 2x x 2x x 0
38. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/36
2 4 3 2
x x 2x x 2x 1 0
2
:x 0
4 3 2
x 2x x 2x 1 0
2
2
1 1
x 2 x 1 0
x x
.
1
x y
x
2 2
2
1
x y 2
x
: 2
y 2y 1 0 y 1.
21 1 5
x 1 x x 1 0 x
x 2
.
11 . R :
i)
x 2
x 61
2
8
ii)
2 02x 10x 12
15 2020
iii) x 1 x x 1
9 13 6 4 0
. i)
x 6x 2 x 2 1
x 6
2
3
1 1
2 2
8 2
x 6
3x 6 2
x 6
2 2 3x 6
2
18
6x 12 x 6 x
7
.
ii)
2 202x 10x 12 2x 10x 12
15 2020 15 1
2
2x 10x 12 0 2
15 15 2x 10x 12 0
x 2 x 3 .
iii) x 1 x x 1
9 13 6 4 0
x x x
9 9 13 6 4 4 0
x x x
x x x
9 6 4
9 13 4 0
4 4 4
x
3
2x x
2
3 3
9 13 4 0
2 2
25 0
2 4
9 13 4 0 1
9
. -
:
x
3
1 x 0
2
x
3 4
x 2
2 9
12 . :
i)
4x 1 7
2020 1 ii)
2
2
x 2x
x 14x 41
5 0
625
iii) x x x
5 9 2 6 3 4
.
i) 4x 1 7 4x 1 7 0
2020 1 2020 2020
4x 1 7 0 4x 1 7
3
4x 1 7 4x 1 7 x x 2
2
ii)
2
2 2 2
x 2x
x 14x 4 4x 8x x 14x 41
5 0 5 5
625
404
2 2 2
4x 8x x 14x 4 5x 22x 4 0
11 101 11 101
x
5 5
.
iii)
x x x
x x x
x x x
9 6 4
5 9 2 6 3 4 5 2 3
9 9 9
x 2x
2 2
5 2 3
3 3
x
2
y 02x x
3
2 2
3 2 5 0
3 3
64
2 5
3y 2y 5 0 y y 1
3
.
x
2
1 x 0
3
.
13 .
m
2 2 2
x x x
2 3 m 3
R .
. :
2 2 2
x x x
2 3 m 3
2 2 2
x 1 x x
2 3 m 3
2
2
x
1 2 x2
3 m
3
.
2
t x t 0,1
:
t
1 2t2
3 m
3
. -
t t t
1 2t2 2 1
f t 3 3
3 3 9
t 0,1 .
1 2
1 2
t t
2
1
3
1 2 t t1
1
9
2 2
3 3
t t
1 1
9 9
1 2
1 2
t t
t t
2 2
3 3
1 1
3 3
9 9
1 1 2 2t t t t
1 2
2 1 2 1
3 3 f t f t
3 9 3 9
f 0,12 .
f
0 t 1 f 1 f t f 0 1 m 4
2
.
m 1,2,3,4 .
14 .
2 2
1 1
1
x x 1
f x e 0, .
39. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/37
m
n
f 1 f 2 f 3 ... f 2017 e ,
m,n N
m
n
, -
2
P m n .
. : 22
1 1
1
x x 1
2 2
1 1 1 1 1
2 1 1
x x 1 x x 1 x x 1
f :
2
2 2
1 1 1 11 1x x 1 x x 1
f x e e
1 1 1 1 1 11 1
x x 1 x x 1 x x 1
e e e e .
1
1
2
f 1 e e ,
1 1
2 3
f 2 e e ,
1 1
3 4
f 3 e e ,
…
1 1
2016 2017
f 2016 e e
1 1
2017 2018
f 2017 e e .
1
1
2017 2018
f 1 f 2 f 3 ... f 2017 e e
2
2017 2017 2017 2019 2018 1
2017
2017 2018 2018 2018 2018
e e e e e
2
m 2018 1 n 2018
2
P m n 1.
15 . S
:
3 3 3
x x x x
3 9 9 3 9 3 12
. x
3 9 , x
9 3
x x
3 9 12 .
:
33 3
3 3 3 3
3 0
3 0 0 0 0 .
0 x 2 . 0
1
x
2
. 0
2
x x x x
3 9 12 0 3 3 12 0
x
3 4 x
3 3 x 1.
1 7
S 2 1
2 2
.
:
Euler,
33 3
0
0
33 3
0 3 0
.
16 .
x 1 3 x
f x 2 2 , x R .
x R f -
.
. – :
x 1 3 x x 1 3 x
2 2 2 2 2 2 4 4
x R . x 1 3 x
f x 2 2 4 f 2
f x 2
f 2 4.
17 . S
2 2 2
x x x x 2 x x 1
2 2 4 1, x R
.
. :
2 2 2
x x x x 2 x x 1
2 2 4 1
2
2 2
x x
x x x x 12
2 4 1
4
2
2 2
x x
x x x x 4
4 2 2 4 4
4
22 2 x xx x
5 2 2 4
2 22
x x x x
2 5 2 4 0 .
2
x x
2 y 0 : 2
y 5y 4 0
y 1 y 4 .
y 1
2
x x 2
2 1 x x 0 x 0 x 1
y 4
2
x x 2 2
2 4 x x 2 x x 2 0
x 2 x 1.
S 1,0,1,2 ,
4 2.
:
1. 02-631 Cau Tn Mu - Logarit - Muc do Thong
Hieu - Giai Chi Tiet. [ ].
2. , 1980
: : 6 : -
114, 59-60
, -
-
, .
0
,
df x
dt
-
0
,
t t
df x
dt
0 0 .x x t
45. _______________________________ B ______________________________
115 (2020) .3/43
– – –
,
,
« » ,
4 ,
,
.
Leibniz «
»
I. : ,
. :
,
,
1. (0,0) :
( ,y)
( ) 2 2
x y
(c): x2
+y2
= 2
2 2
x y
( )
(x1,y1) ( , ),
,
2. (x0,y0) ,
:
(c) :
3.
( )
2 2
4 0
A B
K( , )
2 2
2 2
4
2
( 2 2
4 0
, )
:
1. (–3,2) = 5
, c: (x+3)2
+ (y– 2)2
= 25
2. c: (x–1)2
+ y2
=5
(1,0) = 5
1.
)
d(K,( )) <R
y
x
x,y
A ,0O
2
1 1x x y y
2 2
x y x y 0 (I)
2 2
4 0
2 2 2
0 0x x y y
46. ____________________________________
B
____________________________________
115 (2020) .3/44
)
d(K,( )) =R
)
d(K,( )) > R
:
) d(K,( )) <R ) d(K,( )) =R ) d(K,( )) >R
:
( )
(c)
, :
( ) ,
( )
– –
,
( ) ( )
.
: 1.
x + y =
4 – 2 + 4
x2
+y2
+ 4x – 8y + 4 = 0
H
( ): x + y – 4 + 2 – 4 = 0.
0
A
x 2
2
, 0
By 4
2
.
(–2, 4)
2 2
2 4
4
2 16 64 16
4
= 16
4 .
2 2
2 4 4
d K,
2 4
( )( )
4
4
1
= 4 = .
.
2. ( , 1), ( , 2),
d .
0 | 1– 2| 1+ 2
d=
(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
3.
1 : ,
.
2 :
(
) .
II. : ( ,
) ( ,
). :
,
,
d( ,( ))=
,
x x y y
) x x,
:
47. _______________________________ B ______________________________
115 (2020) .3/45
i. : y2
=2px
ii. x x,
p
( ,0)
2
iii. ( ):
p
x
2
iv. (x1,y1) ,
,
,
( ): 1 1)y y p(x x 1
1
p
, 0y
y
v. p<0
y y
p>0
y y
) y y, :
i. : 2
x 2py
ii. y y,
p
(0, )
2
iii. ( ):
p
y
2
iv. (x1,y1) ,
,
,
( ): 1 1x x )p(y y
1x
p
v. p<0
x x
p>0
x x
II . : 2
, , ( )
. 2 > :
, 2 ,
2 .
x x y y
) x x, :
i. :
2 2
2 2
1
x y
,
2 2 2
=
ii. x x, (- ,0), ( ,0)
iii. (x1,y1) ,
,
,
( ):
1 1
2 2
x x y y
1
1 2
1
1
x
( ) ,y 0
y
) y y, :
i. :
2
2 2
x y
1, 2 2 2
=
2
> 2
,
2
ii. y y, (0,- ), (0, )
iii. (x1,y1) ,
,
,
( ):
1 1
2 2
x x y y
1
1 2
1
1
x
( ) ,y 0
y
,
2 2 2
2 2
2 2
1 ( )
.
,
.
IV. : 2
, , ( )
. 2 < :
,
2 , – 2 .
) x x, :
i. :
2 2
2 2
x y
1, 2 2 2
= +
ii. x x,
(- ,0), ( ,0)
iii. ,
, ( 1): y x ( 2): y x
) y y, :
i. :
2 2
2 2
y x
1, 2 2 2
= +
ii. y y, (0,- ), (0, )
iii. , ,
( 1): y x ( 2): y x
1.
48. ____________________________________
B
____________________________________
115 (2020) .3/46
1.
:
x2
+y2
–6x–10y+9=0 8
2 2
4 36 100 36 100
(3,5)
=5.
4
5 , 2 2
5 4 3
d( ,( ))=3.
, y x
x y 0 K K
2
x y |
d( ,( ))=3 3
1
2
3 5|
3
1
2
3 5| 3 1 2 2
(3 5) 9( 1)
2 2
9 30 25 9 9
8
15
,
8
y x
15
.
2. (1,0)
1
=
2
.
–1,
,
: 2 2
(x 3) (y 6) 5 .
(1,0) =1
1
=
2
=2.
2 2 2
= 2
=3
2 2
x y
1
4 3
–1
2 2 2
3x 4y 12 4y 12 3 2 9
y
4
y>0
3
y
2
.
:
3
y
1x 2 1
4 3
3x 6y 12 .
(3,6) 5 ,
d( ,( ))= = 5
2 2
| 3 3 6 6 12|
d( ,( ))=
( 3) 6
15
d( ,( ))= 5
3 5
3. 2
x 12y
.
, y y (0,–1).
.
y y,
p=6, (0,3).
,
1 1A(x ,y ) , ( ): 1 1x x )p(y y
x 0 1 10 y yy y
y y (0, 1y ).
1y 1 2
x 12y , 2
x 12
x 2 3
A(2 3,1) A( 2 3,1)
.
( )= 2
(2 3) 4 16 4
( )= 2
(2 3) 4 16 4
( )= 2
0 (3 1) 16 4 .
.
1. Analytic Geometry: Kindle Joseph
2. Analytische Geometrie: Kohlmann Wilmut
3. , G. Loria
4.
: . 114, 45, 6.i.
,
4
.
49. 115 (2020) .3/47
:
, ,
1
x
e , x
f(x) 1
, x
x
2
x x x
g(x) (x 1)(e x) e , x
2
. -
, (0, 1)
f ox . f -
ox ;
. g
.
. gC
g -
ox ( ).
.
of(x )1 2
1 1
2e e e
.
2
1
x 2x x
0
e e 1 (x 1)dx
. f
x x
lim f (x) f( ) lim f (x) , (1)
x
lim f(x) e f( ),
x
1
lim f (x)
1
(1) e
x 1
e
x
-
( ) (0,1).
x 1
h(x) e , x 0
x
.
f(1) e 1 0
f((0, 1]) ( , e 1]
0.
, x 1
e
x
( -
) , (0, 1) -
f
ox .
x
x :
x x
x x
x
f (x) f( ) e e d(e )
lim lim e
x x dx
:
0
0
2 2DLHx x x
1
e
f(x) f( ) 1 1xlim lim lim
x x x
2
1
0 e
x
f(x) f( )
lim
x x
f (x) f( )
lim
x
, f .
. g
x x x x
g (x) e x (x 1)(e 1) e x (x 1)(e 1)
x 1 x
e 1.
, x 1 0 x 1
x
e 1 0 x 0
.
x 0 1
x 1 0
x
e 1 0
g (x)
g(x) T M
T E
-
g
-
( , 0] [1, ) -
[0, 1]
,
g(0) 2 x 1,
1
g(1) e
2
50. _______________________________ ______________________________
115 (2020) .3/48
. g
x x x
g (x) e 1 (x 1)e xe 1
g (x) 0 g
-
.
x 1
g (x) x e
x
g (x) -
x 1
e
x
.
, h(x) ,
( ) g (x) -
. , gC
g
.
. o0 x 1 g -
[0, 1] , :
o o
1
g(1) g(x ) g(0) e g(x ) 2
2
og(x )1 2
1
2e e e
og(x )1 2
1 1
2e e e
.
. :
2
1
x 2x x
0
e e 1 (x 1)dx
2
1 1
x 2x x
0 0
e (x 1)dx (e 1)(x 1)dx
2
1 1
x 2x 2 x
0 0
1
e (x 2x) dx (e 1)(x 1)dx
2
2
1 1
x 2x
0 0
1
e dx g (x)dx
2
2
1
x 2x
0
1
e g(x)
2
1 1 1 1 1
1 1 2
2 e 2e e 2
2
1 x
f(x) e x, x
. -
1
f
.
2
x
lim f(x) x 1 x
. ,
f( ) 2 f( ) 2 4
. x 0
x x x x x
f(e 1)e f(e 1) e f(e )
.
2
x 1
0
f(1 x) 1 x
dx
f(x) e x
. f
1 x
f (x) e 1
f (x) 0 , f
.
, f «1-1» .
f. H f
,
x x
f ( ) limf(x), limf(x) .
: 1 x
x x
limf(x) lim e x
1 x
x x
limf(x) lim e x
f ( ) ,
. :
2 1 x 2
x x
lim f(x) x 1 x lim e x x 1 x
1 x 1 x
2 2 2x x
e x e x 1
lim lim
2x 1 x x 1 x x 1 x
1 x
2x
e
lim 0
x 1 x
x 0
2x x
2
x x 1
lim lim
21x 1 x
x 1 1
x
. :
1 1
f( ) 2 e 2 e 1 1 2
1
e 1 1
. f ( ) 2 2
1. ,
f ( ) 2 f ( ) 2 4
f ( ) 2 f ( ) 2 4
f ( ) 2 1
f ( ) 2 1
. x 0
x x x x
[f(e 1) f(e )](e 1) f(e )
f
x
1, e , -
x
1x 1, e x x
2x e , e 1 -
51. _______________________________ ______________________________
115 (2020) .3/49
x
1
x
f (e ) f (1)
f (x )
e 1
x x
2
f (e 1) f (e )
f (x )
1
,
1 x
f (x) e 1 1 x
f (x) e 0
f
.
,
1 2f (x ) f (x )
x
x
f (e ) f (1)
e 1
x x
f (e 1) f (e )
1
x x x x
(e 1)[f(e 1) f(e )] f(e ) f(1)
f (1) 0
x x x x
(e 1)[f(e 1) f(e )] f(e )
.
. :
2 2
x
x 1 1 x x 1
0 0
f(1 x) 1 x e 1 x 1 x
dx dx
f(x) e x e x e x
2
x
1 x x 1
0
e
dx
e e
x 1 u
dx du , 1 2u 1, u 1
2 ( ) 2 x u …
1. ( ) -
1 x
g(x) e x , -
x 1, g(1) 2
f( ) 2 f( ) 2 4
1
2. , -
x u , g
[ , ], :
g(x ) 1
dx ( )
g(x ) g( x) 2
2
x
2 x x
0
e 1
e dx (2 0)e e
e e 2
3
f : -
,
2 2
f(x) x x 4 x
f(0) 2 .
2
g(x) x x 4, x ,
g(x) x 2 x
. f g
. -
f
. f
1
f
. :
2 2
2 2
x x
x x
x 4 x 4
. -
f -
B(2,0) ,
.
.
2
0
f(x)
dx 2 3 n3
x 1
.
3
t(x) x 2 x 2, x
1f : 0, 1f (x) f(x) x 0,
1f tC C -
.
. f
f
2
1
(x) , x
x 4
,
x x, y y x 2
.
2 2
f(x) x x 4 x (1)
f (0) 2 (2). 2
x 4 0
x , p(x) f(x) x
.
p(x) f(x) x -
,
p(0) f (0) 2 0
p(x) f(x) x 0 x .
(1) : 2
f(x) x x 4
x , 2
f(x) x x 4, x
x :
g(x) x 2 g(x) x 2 h(x) h(0)
h(x) g(x) x, x .
, h
52. _______________________________ ______________________________
115 (2020) .3/50
0x 0 -
, ,
Fermat h (0) 0 , -
g (0) 1 0 .
2
x
g (x) , x
x 4
,
1 0 , 1. 1
2
g(x) x x 4, x . f g ,
f g f (x) g(x) x .
.
2
x x
im f(x) im x x 4
2
2 2
2 2x x
x x 4 4
im im 0
x x 4 x x 4
2
x
im x x 4 .
y 0 , x x, -
f
.
y x
:
2
x x
f(x) x x 4
im im
x x
2 2x 0
x x x x
4 4
x x 1 x x 1
x xim im
x x
2x
4
im 1 1 1 1 0 2
x
2 ,
2
2
x x
im f (x) x im x x 4 2x
2
2 2
2
2x x
x x 4
im x x 4 im
x x 4
2x
4
im 0
x x 4
2
x
im x x 4 , 0
y 2x -
f .
f
.
. f
2
f (x) x x 4
2
2 2
x x 4 x
1 0
x 4 x 4
x ,
2
x 4 0 2 2
x 4 x x x ,
2
x 4 x 0 x .
f , 1-1.
f , 1
f
f(A) ,0
f , -
( )
x x
f(A) im f(x), im f(x) ,0
.
2 2
2 2
x x
x x
x 4 x 4
(3)
x 0 (3) .
x 0 : x x x x 0
(3) :
2 2
x x
1
x 4 x 4
2 2
x 4 x 4 x x
2 2
x x 4 x x 4 0
f x f x 0 , ,
f(A) ,0 ( ). (3)
x 0 .
2 : x 0 :
2 2 2 2
2 2
x x x 4 x 4
(3) x x
x x
2 2
x x x 4 x 4
2 2
x x 4 x x 4
f
f x f x x x ,
0 , x x
x 0
:
.
. -
f 0 0x ,f x ,
0 0 0( ): y f x f x x x . ( ) -
B(2,0) , ,
0 0 00 f x f x 2 x ,
0 0 0f x x 2 f x 0 .
f x x 2 f x 0 (4).
53. _______________________________ ______________________________
115 (2020) .3/51
1 : ( )
:f x x 2 f x 0 ... 2
x 4 x 2
:
x 2 0 x 2, -
. x 2 0 x 2 , :
22 2
x 4 x 2 x 4 x 2 2x 0 x 0
. , (4) -
x 0 . -
f
(0, 2)
B(2,0)
( ): y f 0 f 0 x 0 , ( ): y x 2
2 : ( )
(4)
.
h(x) f x x 2 f x ,x
h (x) f x x 2 f x ...
f x x 2 ,x
2
x
f x f x 1 ...
x 4
2 2
4
0
x 4 x 4
x .
h -
.
1 , 2 h(x) 0
0 ,
h 1-1 ,
.
2 2, h(x) 0
, 20 h 0, 2 2 2 .
h
2 2, ,
2
x x 2
h im h(x), imh(x) 0, 2 2 2
2x x
2x 4
im h(x) ... im 2
x 4
x
2
4
x 2
x
im 2
4
x 1
x
x 0
x x x
2
4
2
2 0xim 2 2 0
4 1 0
1
x
,
x 2
imh(x) f 2 2 2 2
h(x) 0 ,
f x x 2 f x 0
0x 0 .
-
f (0, 2)
B(2,0)
( ): y f 0 f 0 x 0 , ( ): y x 2
. f , f x 0
x ( ): y x 2
f,
( ), f (x) x 2 x .
x 0,2 x 1 0 f(x) x 2
:
f(x) x 2
f(x) x 2
x 1 x 1
f(x) 3
1
x 1 x 1
,
x 0 .
2 2
0 0
f(x) 3
dx 1 dx
x 1 x 1
,
2
2
0
0
3
1 dx x 3 n x 1
x 1
x 2 +
h (x) + 0
h
2 2 2
O. .
54. _______________________________ ______________________________
115 (2020) .3/52
2 3 n3 0 n1 2 3 n3 .
2
0
f(x)
dx 2 3 n3
x 1
. ( ): y x 2
f (0, 2) , -
( ), -
1f (0, 2) , 1f -
f 0, . ( ): y x 2
-
t B(2,0) ,
tC ( ) t (2) 1 ,
3
t (x) x 2 x 2
2 2
3 x 2 x 2 1 3 x 2 1, x
( )
1f tC C . 1f tC C -
, x
2
t (x) 3 x 2 1 1 t (2)
x 0, :
1f
1 1x 0 f (x) f (0) 1
1f tC C -
( ): y x 2
. :
2
2 2
x x 4 x
f (x) 1
x 4 x 4
2
f(x)
, x
x 4
.
2
f(x)
f (x) , x
x 4
(5)
2
1
(x) , x
x 4
-
0,2 (x) 0
x 0,2
2
2
0
1
dx
x 4
(5)
2
f (x) 1
f(x) x 4
x , f (x) 0 x .
2 2
2
0 0
1 f (x)
dx dx
f(x)x 4
2
0
n f(x) n f(2) n f (0)
2 2 2
n 2 2 2 n2 n
2
n 2 1
.
2
2
0
1
dx n 2 1
x 4
4
f(x) x x 1, x 0,
x
, x 0
xg(x)
f(x), x 0,
. f
. -
f .
f ;
. g
. . . 0,
0, , -
g ,g( )
, (0,0)
,2 .
. -
g
.
2 x 2 f(x) x 2
3
x ,
4
. -
-
x x
h(x)
x
,
3
x ,
4
,
x x
3
x
4
x ,
55. _______________________________ ______________________________
115 (2020) .3/53
4
E 1 n
4 3
. f(x) x x 1, x 0,
f
0,
f (x) x x 1 x x x 0, ,
f (x) x x x x , x 0, .
: f (x) 0 x x 0
x x x
4
, x 0,
f , ,
0, , ,
4 4
f (0) 1 0 f ( ) 1 0, f (x) 0
x 0,
4
f (x) 0
x ,
4
f (x) 0 x x 0
3
x x x
4
x 0,
f , ,
3 3
0, , ,
4 4
f (0) 1 0 f ( ) 1 0,
f (x) 0
3
x 0,
4
f (x) 0
3
x ,
4
-
f -
.
. ( ) -
f :
f
3
x
4
.
f
3
, 1
4
.
. g
. . . 0, , :
g -
0, ,
0, 0, ,
x 0 x 0
im g(x) im f (x)
x 0
im x x 1 0 g(0).
g -
0, -
.
0, ,
g( ) g(0) f( ) f(0) 2
g ( ) . -
g ,g( )
, (0,0) ,2 ,
2
. -
,
2
f (x) -
0, ,
x 0 3 /4
f (x) + 0
f . .
x 0 /4 3 /4
f (x) 1 + + 0 -1
f (x) -1 0 + + 1
f
2
0
. . .E. . . . .
f(0)=0 f 1 2
4
3
,1
4
f( )=2
56. _______________________________ ______________________________
115 (2020) .3/54
g(x) f(x), x 0, .
2
(x) f (x) , x 0,
H
(x) f (x), x 0, .
, -
( ) ( ),
-
1
3
0,
4
,
1
2 2
(0), ( ) 1 , 2
1
2 2
0 1 , 2 1-1
1, ,
(x) 0 1
.
2
3
,
4
,
2 3
x
4
( ), im (x)
2 2
1 , 2 .
2
2 2
0 1 , 2 ,
(x) 0
2
3
,
4
(x) 0
0, .
0, ,
g ,g( ) -
, (0,0) ,2 .
.
x 0 x 0
x
img(x) im
x x 0
1
im x
x
,
x 0
im x 0 1
x 0
1
im
x
.
x 0 , y y
-
g.
x 0 :
xx 1 1
g(x)
x x x x
1
g(x)
x
,
1 1
g(x)
x x
x x
1 1
im 0 im
x x
.
x
im g(x) 0 .
y 0 , x x
-
g .
.
2 x 2 f(x) x 2
3
x ,
4
(1)
1 :
x (1) . (2)
3
x ,
4
f
. . . x, , -
( ), x, ,
f (x) f ( ) f (x) 2
f ( )
x x
(3)
( ) f
3
,
4
,
:
x 0 3 /4
(x) + 0
-1-2/ . . 1-2/
57. _______________________________ ______________________________
115 (2020) .3/55
3
f ,
4
3 3
x f f f
4 4
(3) x 0f (x) 2
1 2 2 x f(x) 2 x
x
2 x 2 f(x) x 2 (4)
(2), (4) :
2 x 2 f(x) x 2
3
x ,
4
2 :
2 x 2 f(x) , f (x) x 2 -
3
,
4
.
3 :
f
3
,
4
-
y x 2
f ,2 .
f (x) x 2
3
x ,
4
:
4
f(x) x 2 2 x 2
3
x ,
4
,
4
y x 2
, ,2
3
,1
4
fC .
f(x) 2 x 2
3
x ,
4
.
x x
h(x)
x
,
3
x ,
4
3
,
4
f (x)
h(x) 0
x
3
x ,
4
,
( ).
3 3
4 4
x x
h(x)dx dx
x
. (*)
( )
3
x ,
4
:
f(x) x 2 x x 1 x 2
x x x 1
3
:x ,
4
x x 1
1
x x
x .
,
3 3
4 4
x x 1
dx 1 dx
x x
(*)
3
4
E x 1 n x
3 3
E 1 n 1 n
4 4
3
E 1 n n
4 4
4
E 1 n
4 3
5
f :
e 1
f( 1) ln
e
, x , -
x
e x f (x) 1 x
.
.
. ,
x
x x
1 x A e x B e x
.
x
f(x) x ln e x , x
. 2020 x x
e e x
.
x
lim[f(x 1) f(x)]
. f (x)
g(x) e , x ,
1
0
g(x)dx 2
. x
e x 1 -
x , x x, :
x x
e x 1 e x 1
,
f (x)
x 1.
58. _______________________________ ______________________________
115 (2020) .3/56
,
f.
x -1
O. E
:
f
( 1] ,
[ 1, )
x 1. f
e 1
f( 1) ln
e
.
. x :
x x
1 x A e x B e x
x x
1 x A e x B(1 e )
, x 0 :
1 A B(1 1) A 1 , x 1
A 1, :
1 1 1 1
2 A e 1 B 1 e 1 e B 1 e B 1
A 1 B 1,
x x
1 x e x e x
x .
. x :
x x
x
e x e x
f (x)
e x
x
x
e x
f (x) 1
e x
( x
e x 0, x ) x
f (x) x ln e x
x
f(x) x ln e x c x 1, :
e 1
f( 1) 1 ln(e 1) c ln 1 c ln(e 1)
e
ln(e 1) 1 1 c ln(e 1) c 0
, x
f(x) x ln e x , x
. x . x
: 2020 x x x 2020 x
e e x e x e
x 2020 x
ln e x ln e
x
x ln e x 2020 f (x) 2020
2020 -
f.
H f -
1 ( , 1]
2 [ 1, )
e 1
f(1) ln
e
x
x x
lim f(x) lim x ln e x
x x x
x x
lim lne ln e x lim ln 1 xe
t 1
lim(ln t) 0
x u
x
x u ux x x DLH u
x u 1
lim xe lim lim lim 0
e e e
x
x
lim ln 1 xe 1
, 1
e 1
f( ) ln , 0
e
2020, f (x) 2020
1 ( , 1] .
,
x x
x x x
lim f(x) lim x ln e x lim ln 1 xe
t
lim lnt
x
1 xe t
x
x t
lim 1 xe lim t
, 2
e 1
f( ) ln ,
e
.
2020 2f ( )
f (x) 2020 2 .
f 2 .
. x 0 :
x 1 x
f (x 1) f (x) x 1 ln e x 1 x ln e x
x 1 1 x
x x
e x 1 e (x 1)e
1 ln 1 ln
e x 1 xe
1 x
x
e (x 1)e
w
1 xe
:
1 x x
x xx DLH x x
e (x 1)e (x 2)e x 2
lim lim lim 1
1 xe (x 1)e x 1
,
1 x
xx x
e (x 1)e
lim[f(x 1) f(x)] lim 1 ln
1 xe
w
lim 1 ln w 1 ln1 1
. x :
x
x ln e xf (x) x x x
g(x) e e e e x 1 xe
59. _______________________________ ______________________________
115 (2020) .3/57
1 1 1
x x
0 0 0
g(x)dx (1 xe )dx 1(1 0) x(e ) dx
1
x 1 x
0
0
1 [xe ] e dx 1 e (e 1) 2
6
f
:
t
2 2 2 4
lim t f (x)t t x t 0 x
f( 1) f(1) 0
g g(x) x , x 0,
. 2 4
f (x) x x .
. 2
f(x) x x .
. -
f g .
. -
f, g -
.
. -
g .
(t)
(t) 4 (t) ,
ˆx M
1 1
, g
4 4
,
g
x x.
. x . t
(t 0) :
2 2 2 4
2 2 2 4
2 2 2 4
t f (x)t t x t
t f (x)t t x t
t f (x)t t x t
t
2 4 2 4
2 4 2 4
t f (x) x f (x) x
f (x) x f (x) x
t 1 t 1 1 1
t t t t
t
2 4
2 2 2 4 f (x) x
lim t f (x)t t x t
2
x
2 4
2 4f (x) x
0 f (x) x
2
. x :
2 4
f (x) x 0 , f (x) 0, x
f -
( ,0) (0, )
f
( ,0) (0, ).
f ( 1) f (1) 0 , f (x) 0
x ( ,0) (0, ).
2 4
f (x) x x , f (0) 0
f (x) 0 x .
x : 2 4 2
f (x) x f(x) x
f (x) 0
2 2
f(x) x f(x) x
. x f (x) x
x (0, )
1
g (x)
2 x
( ) -
60. _______________________________ ______________________________
115 (2020) .3/58
f ,f ( ) ,
:
: y f ( ) f ( )(x )
2
: y 2 (x ) 2
: y 2 x
( ) -
g ,g( ) ,
:
: y g( ) g ( )(x )
1
: y (x )
2
1
: y x
22
1
: y x
22
f
g -
, , :
2
1
2 (I)
2
(II)
2
(I)
(II) : 3 31 1 1
2
4 8 2
(II) :
0
1 1 1
4 2 2 4
: ,f ( ) ,
1 1
,
2 4
,g( ) ,
1 1
B ,
4 2
:
1
y x
4
. : 1 2( ) ( ) ( )
0 0 0
1 1 1
2 2 2
2 2
1
1 1
( ) x x dx x x dx dx
4 4
03
1
2
2
x x 1 1 1 1 1 1
0 0
2 3 4 2 8 24 8 24
1 1 1
4 4 4
1
2
0 0 0
2
1 1
( ) x x dx x x dx dx
4 4
1
43
2
0
2
x x 1 1 1 2 1 1
0 0
32 4 4 32 3 64 16
2
1 2 1 1 3 8 6 1
32 3 8 16 96 96
,
1 1 5
( )
24 96 96
.
1
g (
2
, -
t
1
t
2 (t)
(1)
A (t) 4 (t) (2)
(1) -
,
:
2 (t)
t t
4 (t)
1
2 (t)
2 (t)
t t
4 (t)
(2)
(t)
t t
4 (t) (t)
(1)
1
t t
(t)
1 1
t
4 (t) (t)
61. _______________________________ ______________________________
115 (2020) .3/59
0t :
0
0 0
1 1
t
4 (t ) (t )
0
1
(t )
4
,
, 0 0t t 1 rad
.
:
:
f
:
3
2h 0
2 2
f (x h) f (x h)
lim 2x
h 4h
x
f( 1) f(1) 1
g g(x) x , x 0,
. 2 4
f (x) x x
-
.
. h « » 0 (h 0) :
2
2 2
f (x h) f (x h) f(x h) f(x h) f(x h) f(x h)
h h 4h 4h
f(x h) f(x) f(x h) f(x) f(x h) f(x h)
h h h 4
H f ,
x :
h
f (x h) f (x)
lim f (x)
h
u h
h h
f (x h) f (x) f (x u) f (x)
lim lim f (x)
h u
f ,
,
h
limf (x h) f (x)
h
limf (x - h) f (x)
x .
, (*) :
2 2
2h 0
f (x h) f (x h) f(x) f(x)
lim f (x) f (x)
h 4h 4
f (x)f (x)
, x :
3 3 2 4
f(x)f (x) 2x 2f(x)f (x) 4x f (x) x
, 2 4
f (x) x c, x
x 1 :
2
f (1) 1 c 1 1 c c 0
, 2 4
f (x) x , x
:
:
f :
:
2 4
f (x) x 4 2
e e x f (x) x
f( 1) f(1) 1
g g(x) x , x 0,
. 2 4
f (x) x x
-
.
. x :
2 4
f (x) x 4 2
e e x f (x)
2 4
f (x) 2 x 4
e f (x) e x , (1)
x
g(x) e x, x
:
x
g (x) e 1 0
x , g
, «1-1». , :
2 4 2 4
(1) g f (x) g(x ) f (x) x , x
62. 115 (2020) .3/60
* « »,
, ,
, ,
.
5*
. x, , , :
2 2
x x .
: 0 ,
. 0 , x ,
: f (x) x x
2 2
2 2 2 2
x x
2 2 2
2 2
1
2 2
1 1,
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2 2 22 2 2 2
1,
, :
2 2
2 2
.
f (x) 2 2
x x
2 2
x , f(x) 2 2
x
2 2
x 2 2
.
, x , 2 2
x x .
5. :
2(1 x) x x , x 0, .
: x 0, , :
x
x x x x20 0 0
x2 2 2 2 2
2
*
: 114 ,
x x x
0
2 2 2
2 x x x
4 2x
2 2 2
1 x
4 x x
2
2(1 x) x x .
6. :
3
(1 x)(1 x) 2
2
, x .
: x ,
2 2
2
,
:
2 2
(1 x) (1 x)
(1 x)(1 x)
2
2 2
1 2 x x 1 2 x x
2
3 2 x x 3
x x
2 2
.
5, : x x 2 ,
, :
3
(1 x)(1 x) 2
2
, x .
7. : x x x x ,
x 0,
2
.
: x 0,
2
, :
x x x x 2x x x
x
2x x
x
1
2x x 1
x
x 1
2x x
x
2x x x 1 x
2 x
2x x x 2
2
2x x x
x x 2
2 2 2
3x x
x x 2
2 2
4
x
x2x x 2
x 2
2
63. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/61
4x x x
x
2 2 2
.
,
x x
0 x 0
2 2 2
.
, :
4 x
0 x
2
, x 0,
2
.
: 4 2 4x x x
x 2 1
2 2 2
2
4 2 2x x x
2 1 0 1 0
2 2 2
,
x 0,
2
.
8. x 0,
2
:
x x
x x
.
: , 0, , ,
, :
2
1 1
2
2
2
2 2 2
4
2 2 2
4 0
2 2
2 0
2
0 .
x 0,
2
, 1, :
2
x x
1 1
x x
2
x 1
x x
2
x 1
x
2 x
1 x 2
x x
4
2 2
x
2
2
x x
2 2 x
2 2
, x x x
2
x x x
x x
x x
, x 0,
2
.
9. x 0,
2
:
1 1
1 1 5
x x
.
: x 0,
2
,
2 2
2 , :
2 2
x x 2 x x 1 2 x x (1)
1
0 x 1 1
x
1
0 x 1 1
x
,
:
1 1
2
x x
x x 2 x x (2)
(1) (2)
x x 1 4 x x
x x x x 1 5 x x
x 1 x 1 x 5 x x
1 x 1 x 5 x x
1 x1 x
5
x x
1 1
1 1 5
x x
.
10. 0 x
2
, :
) 2 2x x 2 , .
) 1
1 x 1 x 2 , .
: ) 2 2
2 , :
2 2x x
2 2
4 4x x
4 42 x x 42 x x =2.
) 0 :
2 2
1 2 1 4 1 0 .
x 0,
2
: x 0 x 0 ,
:
1
2 21 x 2 x 1 x 2 x
1
2 21 x 2 x 1 x 2 x .
,
: 1 x 1 x
1
2 22 x x 2 2 2 ,
11. N
x , x ,
2
:
) 2 2
x x 2
) 2 2 1
1 x 1 x 2 .
: ) 0 :
2
1 1
2 0 ,
64. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/62
2 2 2
2
1
x x x 2
x
2 2
x x 2 .
) , 0 : 2
2 2
4 0,
2 2 2 2
1 x 1 x 2 1 x 1 x
2 2
2 1 x 1 x
2 2 2 2
2 1 x x x x
2 2
2 2 x x 1
2 4 2 2 2 .
12. N :
2
2 x 2 x ,
x, , .
: x, , , :
2 x 2 x
2 2
2 x 2 x 2 x x
2 2
2 x x 2x
2 2
2 2 2 2
2
2
,
x x 2 , 5.
13. N :
2 2
x y x y ,
x,y, , .
: x,y, , , :
x y x y
2 2
x x x y y x y y
2 2
2x x y y x 2y
2 2
2 2
2x x y 2y
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
.
14. N x,
0 : 2 2
x x 1 2 .
: x, 0 ,
2 2 2
2 , :
2
2 2
x x 1
2 2
2 x x 1 2 2 2 4 1 .
2 2
x x 1 2 1 2
1 1 1 1 2 , -
2 ,
, 0 .
15.
x ,
2
,
: 2 2 4
x 2 x x 2 x x 1.
: x ,
2
, :
2 2
x 2 x x 2 x
4 2 2
x 2 x x 2 x x 2 x x
4 2
x 2 x x x 2x
4 2
x 2 x 2 1 4 2
x 2 x 1
2
2
2
2
1
x 1
x 4
1
x
.
2 2 4
x 2 x x 2 x x 1,
x ,
2
.
16.
N :
3 3
x x 1
y y x y
,
x,y 0,
2
.
: , , , :
22 2 2 2
,
3 3
x x
x y
y y
3 3
x x
x y x y
y y
2
3 3
x x
x y x y
y y
2
4 4
x x
22 2
x x 1.
, 0 x
2
y 0
2
,
x y
2 2
x y 0,
3 3
x x 1
y y x y
,
x,y 0,
2
.
84. Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα
fax: 210 3641025
www.hms.gr e-mail: info@hms.gr
τηλ.: 210 3616532, 210 3617784
Κεντρική Διάθεση: Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα
fax: 210 3641025
www.hms.gr e-mail: info@hms.gr
τηλ.: 210 3616532, 210 3617784
Κεντρική Διάθεση:
της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείαςτης Ελληνικής Μαθηματικής ΕταιρείαςΕκδόσεις
Τιμή τεύχους: 3€
Τιμή 12€βιβλίου: Τιμή 12€βιβλίου: Τιμή 12€βιβλίου:
Τιμή τεύχους: 3,5€Τιμή τεύχους: 3€
Τιμή 18€βιβλίου: Τιμή 15€βιβλίου: Τιμή 20€βιβλίου:
Τιμή βιβλίου: 30€ Τιμή βιβλίου: 20€ Τιμή βιβλίου: 25€
ΠεριοδικάΔιαγωνισμοίΟλυμπιάδεςΒιβλία
![ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ
ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ
Τεύχος 115 - Ιανουάριος - Φεβρουάριος - Μάρτιος 2020 - Ευρώ: 3,50
e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr
ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34
106 79 ÁÈÇÍÁ
Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532
Fax: 210 3641025
Ανάργυρος Φελλούρης
Παναγιώτης Δρούτσας
Åêäüôçò:
ÄéåõèõíôÞò:
ÁíäñïõëáêÜêçò Íßêïò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò
Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò
ÊáêáâÜò Áðüóôïëïò
Êáìðïýêïò ÊõñéÜêïò
ÊáñêÜíçò Âáóßëçò
Êáôóïýëçò Ãéþñãïò
Êáñäáìßôóçò Óðýñïò
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Êïíüìçò ¢ñôé
ÊõâåñíÞôïõ ×ñõóô
Êõñéáêüðïõëïò Áíôþíçò
Êõñéáêoðïýëïõ Êùí/íá
Ëáæáñßäçò ×ñÞóôïò
ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
ÌáëáöÝêáò ÈáíÜóçò
ÌáõñïãéáííÜêçò Ëåùíßäáò
ÌÞëéïò Ãåþñãéïò
Ìðåñóßìçò Öñáãêßóêïò
Ìðñßíïò Ðáíáãéþôçò
Ìþêïò ñÞóôïò
Óßóêïõ Ìáñßá
ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò
ÓôñáôÞò ÃéÜííçò
Táðåéíüò Íéêüëáïò
T
ÔñéÜíôïò Ãåþñãéïò
ÔõñëÞò ÉùÜííçò
× éóôüðïõëïò ÈáíÜóçò
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Øý÷áò ÂáããÝëçò
Απατσίδης Δημήτρης
Βλάχος Σπύρος
Γαμβρέλλης Αργύρης
Γιώτης Γιάννης
Δρούτσας Παναγιώτης
Ζέρβας Νίκος
Ζώτος Ευάγγελος
Κουτσούρης Λέων
αλένια
Λουμπαρδιά Αγγελική
Μανιατοπούλου Αμαλία
Μπρούζος Στέλιος
Χ
Μωραΐτου Κατερίνα
Πανταζή Αφροδίτη
ουρναβίτης Στέργιος
Τσικαλουδάκης Γιώργος
Τσίτος Χρήστος
Τσιφάκης Χρήστος
Τσουλουχάς Χάρης
ρ
ΔΔ π ππ π
Επίκαιρα Θέματα
Γενικά Θέματα
Τα Μαθηματικά είναι Παντού 1
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες, 5
19
Άλγεβρα: Εξισώσεις και Ανισώσεις, 25
Γεωμετρία: Θέματα Γεωμετρίας, 30
Άλγεβρα: Τριγωνομετρικές Εξισώσεις, 33
Γεωμετρία: Κανονικά Πολύγωνα - Μέτρηση Κύκλου, 38
Αναλυτική Γεωμετρία: Εισαγωγή στις Κωνικ΄ές τομές, 43
Επαναληπτικά Θέματα, 47
Το Βήμα του Ευκλείδη, 60
Όταν το γράφημα δίνει νόημα στο ορισμένο ολοκλήρωμα 63
Επίλυση προβλημάτων από αρχαία Αίγυπτο και την Μεσοποταμία
με σύγχρονη αντιμετώπιση και συμβολισμούς, 67
Ο Ευκλείδης προτείνει..., 70
Τα Μαθηματικ΄ά μας Διασκεδάζουν, 79
.................................................................
......................
................................................................
.....................................................
..............................
.............................................................................
................................................................................
....................
.....................................
...........................................................................
........................................................
Homo Mathematicus, ..................................................................................
.......................................................
............................
Α΄
Β΄
Γ΄
Τάξη
Τάξη
Τάξη
Γυναίκες και Μαθηματικά, 75.........................................................................
Αγαπητοίφίλοι,
μαθητέςκαισυνάδελφοι,
μεεπιμονήκαικαλήδιάθεση
νααντιμετωπίσουμε
τοαπρόοπτοκαι
τοδύσκολοπουσυμβαίνει
μεκουράγιο
καιπίστη
σταθεροίστοόνειρο,στοταξίδι,...
καιόπωςλέεικαιοποιητής...
“Το ανοιχτό να ατενίσουμε
κάτι δικό μας να αναζητήσουμε,
όσο, κι αν είναι μακριά”
Friedrich Holderlin [1770-1843]
Γερμανός ποιητής
H ó íôá òεπιτροπή ύ ξη
του περιοδικού
Υ.Γ. Υπεύθυνοι για την επιμέλεια της ύλης των τάξεων
Είναι οι συνάδελφοι:
Α΄ Λυκείου
Β΄ Λυκείου
Γ΄ Λυκείου
[ Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Χ. Τσίτος],
[ Β. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης],
Δ. Αργυράκης, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς]
Γ. Κατσούλης, Λ. Κουτσούρης,
Απ. Κακκαβάς, Μ. Σίσκου,
Ν. Αντωνόπουλος,[
Γράμμα της Σύνταξης
Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054
ISSN: 1105 - 8005
Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50•
• Ïé óõíåñãáóßåò,
ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (12,00 + 2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ = åõñþ 14,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 12,00
Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å.
[ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êëð.] ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí
Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç B´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé.
.
Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρια ευθύνη τη φέρει ο
εισηγητής
Åêôýðùóç: (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Ä. ÐáðáäüðïõëïòROTOPRINT Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ:
Ζώτος Ευάγγελος
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò
Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò
ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
Τσίτος Χρήστος
Τσιφάκης Χρήστος
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Το να έχει χαρά
και ελπίδα για το καλύτερο ...
2020
Η έγκαιρη πληρωμή της
βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού
συνδρομής
Εξώφυλλο:
Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται
και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr
Υπεύθυνοι για το Δ.Σ
Επιτροπή Έκδοσης
ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Συντακτική Επιτροπή
Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών
Ευκλείδης:
Θαλής:
Αρχιμήδης:
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
9 2019Νοεμβρίου
22 2020Φεβρουαρίου
18 Ιανουαρίου 2020
Εικαστική σύνθεση βασισμένη
στο “π” και στην επικαιρότητα των Μαθηματικών
ΕΛΤΑHellenic PostHellenic Post
Το για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται:
Με κατάθεση του αντιτίμου της συνδρομής στους παρακάτω λογαριασμούς
ΕΘΝΙΚΗ Τράπεζα λογαριασμός όψεως 080/48002300 ΙΒΑΝ GR 87 0110 0800 0000 0804 8002 300
ALPHA , 10 100 200 20 19 98 ΙΒΑΝ GR 86 0140 1010 1010 0200 2019 988
EUROBANK , 0026.0201.94.0201575138 ΙΒΑΝ GR 90 0260 2010 0009 4020 1575 138
Mε απλή ταχυδρομική επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ Γραφείο 54, Τ.Θ. 30044
Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε
αντίτιμο
1.
2.
3.
4.
5.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)