..

1. 116
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ ΓΕΓΟΝΟΤΑ
B΄B΄ΕΥΚΛΕΙΔΗΣΑΠΡΙΛΙΟΣ - ΙΟΣ - ΙΟΥΝΙΟΣ 20MA 20 ευρώ 3,5
Μαθηματικό περιοδικό για το ΛΥΚΕΙΟ
ΕΜΕ:ΧΡΥΣΟ ΜΕΤΑΛΛΙΟ 2018 ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΑΘΗΝΩΝ
Ελληνικ Μαθηματικ Εταιρε αή ή ίΕλληνικ Μαθηματικ Εταιρε αή ή ί
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
Ταχ.Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Ταχ.Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
ΑριθμόςΆδειας
4156
ΑριθμόςΆδειας
4156
ΕΛΤΑHellenicPostHellenicPost
ΕΚΔΟΤΩΝ
ΕΝΤΥΠΟΚΛΕΙΣΤΟΑΡ.ΑΔΕΙΑΣ1099/96ΚΕΜΠ.ΑΘ.ΕΝΤΥΠΟΚΛΕΙΣΤΟΑΡ.ΑΔΕΙΑΣ1099/96ΚΕΜΠ.ΑΘ.
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100

2. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ
ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ
Τεύχος 116 - Απρίλιος - Μάϊος - Ιούνιος 2020 - Ευρώ: 3,50
e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr
ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34
106 79 ÁÈÇÍÁ
Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532
Fax: 210 3641025
Ανάργυρος Φελλούρης
Παναγιώτης Δρούτσας
Åêäüôçò:
ÄéåõèõíôÞò:
ÁíäñïõëáêÜêçò Íßêïò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò
Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò
ÊáêáâÜò Áðüóôïëïò
Êáìðïýêïò ÊõñéÜêïò
ÊáñêÜíçò Âáóßëçò
Êáôóïýëçò Ãéþñãïò
Êáñäáìßôóçò Óðýñïò
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Êïíüìçò ¢ñôé
ÊõâåñíÞôïõ ×ñõóô
Êõñéáêüðïõëïò Áíôþíçò
Êõñéáêoðïýëïõ Êùí/íá
Ëáæáñßäçò ×ñÞóôïò
ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
ÌáëáöÝêáò ÈáíÜóçò
ÌáõñïãéáííÜêçò Ëåùíßäáò
ÌÞëéïò Ãåþñãéïò
Ìðåñóßìçò Öñáãêßóêïò
Ìðñßíïò Ðáíáãéþôçò
Ìþêïò ñÞóôïò
Óßóêïõ Ìáñßá
ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò
ÓôñáôÞò ÃéÜííçò
Táðåéíüò Íéêüëáïò
T
ÔñéÜíôïò Ãåþñãéïò
ÔõñëÞò ÉùÜííçò
× éóôüðïõëïò ÈáíÜóçò
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Øý÷áò ÂáããÝëçò
Απατσίδης Δημήτρης
Βλάχος Σπύρος
Γαμβρέλλης Αργύρης
Γιώτης Γιάννης
Δρούτσας Παναγιώτης
Ζέρβας Νίκος
Ζώτος Ευάγγελος
Κουτσούρης Λέων
αλένια
Λουμπαρδιά Αγγελική
Μανιατοπούλου Αμαλία
Μπρούζος Στέλιος
Χ
Μωραΐτου Κατερίνα
Πανταζή Αφροδίτη
ουρναβίτης Στέργιος
Τσικαλουδάκης Γιώργος
Τσίτος Χρήστος
Τσιφάκης Χρήστος
Τσουλουχάς Χάρης
ρ
ΔΔ
Επίκαιρα Θέματα
Γενικά Θέματα
Λωρίδα του 1
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες, 7
17
Άλγεβρα: Μαθηματικές συζητήσεις και θέματα 23
Γεωμετρία: Θέματα επανάληψης, 29
Άλγεβρα: Λογάριθμοι, 35
Γεωμετρία: Θέματα επανάληψης, 38
Αναλυτική Γεωμετρία: Θέματα επανάληψης, 42
Διαγωνίσματα αυτοαξιολόγησης, 46
Επαναληπτικά Θέματα, 50
Το Βήμα του Ευκλείδη, 66
Ο Ευκλείδης προτείνει..., 71
Τα Μαθηματικ΄ά μας Διασκεδάζουν, 76
Mobius
Homo Mathematicus,
....................................................................................
......................
...................................
.............................................................
.................................................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................................
................................................................................
...........................................................................
........................................................
..................................................................................
..........................................
Α΄
Β΄
Γ΄
Τάξη
Τάξη
Τάξη
Αγαπητοίφίλοι,
μαθητέςκαισυνάδελφοι,
ευχόμαστεότιτοκαλύτερο,
σεπροσπάθειες,προσδοκίες,όνειρα…
μένουμεμεεπιμονήστηψυχολογικήστήριξη,
καιστηνκαλήδιαχείρισητηςμαθησιακήςδιαδικασίας
δίπλα στους μαθητές και ειδικά σ' αυτούς που δίνουν
πανελλήνιες εξετάσεις …
είμαστεσυγκρατημένααισιόδοξοι
καιπεριμένουμεηνέασχολικήχρονιάναείναι
πιοξέγνοιαστηκαιπιοδημιουργική.
χαρά
εργασίες
δυσκολίες
κατανόηση
Η μας είναι πολύ μεγάλη για τις εύστοχες παρατηρήσεις και τις
πολλές συναδέλφων και μαθητών ,από όλη την Ελλάδα και τους
ευχαριστούμε και από αυτό το σημείο. Προσπαθήσαμε να αξιοποιήσαμε τις
περισσότερες. θαδημοσιευτούνκ
Τα πολλά απρόοπτα, η επικαιρότητα και ο επανασχεδιασμός του
τεύχους,μαζίμετις τηςέκδοσης,έκαναντηνπροσπάθειααυτήνα
φαίνεταιαδύνατη…
Σαςευχαριστούμεγιατην καιναείστεπάντακαλά.
Σεεπόμενατεύχη αιοιυπόλοιπες.
“Λέει τον καημό του,
στον ίσκιο του, πιο πολύ
παρά στους περαστικούς …”
από όλους ...
Υ.Γ. 1)
2)
ΕΓΝΟΙΑ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΓΝΟΙΑ
Βάσκο Πόπα [1922 - 1991]
Σέρβος ποιητής
[1984]
H ó íôá òεπιτροπή ύ ξη
του περιοδικού
Υ.Γ. Υπεύθυνοι για την επιμέλεια της ύλης των τάξεων
είναι οι συνάδελφοι:
Α΄ Λυκείου
Β΄ Λυκείου
Γ΄ Λυκείου
[ Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Χ. Τσίτος],
[ Β. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης],
Δ. Αργυράκης, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς]
Γ. Κατσούλης, Λ. Κουτσούρης,
Απ. Κακκαβάς, Μ. Σίσκου,
Ν. Αντωνόπουλος,[
Γράμμα της Σύνταξης
Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054
ISSN: 1105 - 8005
Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50•
• Ïé óõíåñãáóßåò,
ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (12,00 + 2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ = åõñþ 14,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 12,00
Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å.
[ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êëð.] ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí
Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç B´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé.
.
Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρια ευθύνη τη φέρει ο
εισηγητής
Åêôýðùóç: (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Ä. ÐáðáäüðïõëïòROTOPRINT Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ:
Ζώτος Ευάγγελος
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò
Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò
ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
Τσίτος Χρήστος
Τσιφάκης Χρήστος
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Η έγκαιρη πληρωμή της
βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού
συνδρομής
Εξώφυλλο:
Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται
και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr
Υπεύθυνοι για το Δ.Σ
Επιτροπή Έκδοσης
ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Συντακτική Επιτροπή
Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών
Ευκλείδης:
Θαλής:
Αρχιμήδης:
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
9 2019Νοεμβρίου
22 2020Φεβρουαρίου
18 Ιανουαρίου 2020
Εικαστική σύνθεση βασισμένη
στην πρόσφατη επικαιρότητα των Μαθηματικών
ΕΛΤΑHellenic PostHellenic Post
Το για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται:
Με κατάθεση του αντιτίμου της συνδρομής στους παρακάτω λογαριασμούς
ΕΘΝΙΚΗ Τράπεζα λογαριασμός όψεως 080/48002300 ΙΒΑΝ GR 87 0110 0800 0000 0804 8002 300
ALPHA , 10 100 200 20 19 98 ΙΒΑΝ GR 86 0140 1010 1010 0200 2019 988
EUROBANK , 0026.0201.94.0201575138 ΙΒΑΝ GR 90 0260 2010 0009 4020 1575 138
Mε απλή ταχυδρομική επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ Γραφείο 54, Τ.Θ. 30044
Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε
αντίτιμο
1.
2.
3.
4.
5.
καλό
καλοκαίρι
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100

3. 116 (2020) .4/1
H Möbius
H (Möbius strip),
. -
.
, 1858, .
, 1858, ,
-
.
, -
.
August Ferdinand Möbius
(1790–1868)
, ( 180 )
. «8»,
, , -
, -
,
.
-
, :
- ( )
( , ). , , -
, -
. T
.
- , ,
, , -
( . ).
, ,
, , ,
, . -
, (3600
).
1858;
-
200-250 . .,
Sentinum . , ,
,
( ). ,
Tellus ( )
,
. -
. [1]
, -
, ,

4. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Möbius -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/2
, . -
[1], 1 1, -
(0,0,0):
u
x u, 1 cos cosu
2 2
u
y u, 1 cos sin u
2 2
u
z u, sin , 0 u 2 , 1 1
2 2
, ,
, .
, “ ” , ,
( ). -
, ,
.
-
. , Gary Anderson, 1979 -
- .
Gary Anderson 1999 Resource Recy-
cling :
" Mobius,
.
. .
( ) (
, ). , , -
".
( -
, ), -
.
D , , -
Mobius -
.
,
.
(
), , , , -
.
[1] :

5. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Möbius -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/3
- ,
-
, -
.
- -
, -
1923.
/ .
- -
.
- ( . -
) Möbius Conveyor Belt ( )
, . , -
,
. Mobius -
.
, -
.[3]
' . ( -
) ( , 1963). -
,
. -
. -
,
. [1]:
.
-
, -
.
-
Armin Joseph Deutsch, Mobius (1950), -
M .
, Möbius
(Éric Rochant – 2013) Möbius (Gustavo Mosquera – 1996). Mosquera -
, ,
, , . 30 -
, -

6. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Möbius -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/4
. Möbius.
Deutsch,
.
.
John Robison (1935–2007),
“Immortality ( ), :
" , -
-
, .
.
.
; 100 -
.
(ETERNITY). -
,
. -
,
(DNA) ."
( www.bradshawfoundation.com immortality)
JOHN ROBINSON : Immortality (1982)
2 .
Centre for the Popularisation of Mathemat-
ics University of Wales, Bangor
Möbius
Möbius,
. ,
.
, . .
’ , , -
. , , -
. [2]
" " (1747) " -
": , ,
. – , -
. "Möbius Striptease"
1965 .
Mobius
-
-
-
, . . , -
, -
-
.
Mobius, -
-
. [4]

7. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Möbius -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/5
Mobius ,
, . . , , -
. Mobius House ( ) Antony Gibbon
,
.
,
. Mobius
Rem D. Koolhaas, ,
,
Barcelona ies Van Der Rohe. [4]
Mobius -
. -
[3]. , 33.000 m2, -
Möbius - :
.
...
, Janjaap Ruijssenaars -
" " -
,
. Ruijssenaars,
1.100 (12.000 -
) D-Shape,
.

8. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Möbius -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/6
"
, .
( 3D )
-
.
-
-
(5,3 . )
" Ruijssenaars. [6]
, ,
, -
. , , 2007 -
Nature Materials, , -
, . University
College London, , -
.
- -
: -
,
. -
. ,
. , « »
. ,
, ,
. [7]
:
[1] Larison, Lorraine L. (1973). «The Möbius band in Roman mosaics». American Scientist 61 (5):
544–547.
[2] : H , . 2011.
[3] Mobius | – 2019 https://el.verdauung-info.com ›
3237504-where-is-the-mobius-strip-used
[4] Mobius
...https://www.decobook.gr/.../h dynamikh-ths-lwridas-mobius-sthn-architektonikh-kai-t...
[5] https://divisare.com/projects/105362-Kazakhstan-s-new-National-Library
[6] https://pursuitist.com/architect-janjaap-ruijssenaars-to-use-3d-printer-to-build-a-house
[7] https://www.kathimerini.gr/292416/article/epikairothta/kosmos/h-tainia-mempioys-apokalyye-
telikws-to-mysthrio-ths

9. 116 (2020) .4/7
E.M.E.
9
15-21 2020 Egmond aan Zee (virtual),
9 15 21
.
4,5 .
: , [1 ]
, [ . . ]
, [ ]
, [2 ]
,
,
.

10. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/8

11. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/9

12. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/10

13. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/11

14. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/12

15. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/13

16. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/14
115
45. , :
2 2
3 .
2018
2 2
3 ,
2 2
3= (1)
2
3)( = 2
3( ) .
:
2
3 .
:
1. ,3 1 . ,
2
2 2 3 2 2
3, 1
2
( 3)
3 3
3 ( 1)
, , 2
(1) :
5 2 3
4 4 1, : 1, , 1, 1 .
2. ,3 3. 3 ,
(1) :
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
3 9 3 3 ,
3 3 3 ,
3 3 3 1 3.
1, 2
, , 3 , (1) :
5 2 3
3 12 4 1, , 1,3 .
3, 2
3 , 3 , 3 , (1) :
5 2 3
27 18 3 2, .
23. 300 .
: .
.
:
.
1 ,
.
2017
1 2 300, ,..., 300 . i
.i 201
.

17. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/15
202 1 2 201, ,..., .
, 1,2,...,202,i i 99,i 201.i
:
: 202,203,...,300 100.101,...,201i i , .
200 . 200
. , 200 i
200,...,i , 1,2,...,100.i : 200 201 , 1,2,...,100.i ii i i
60. 2
f x x bx c, ,b,c ,
:
2 21 3
x 2x 2016 f x x 6x 2020
2 2
.
2014
:
2 221 3
2 2014 2 2014
2 2
x f x ax bx c x (1)
(1) :
2014 2 2014 2 2014f f
4 2 2014a b c (2)
, (1) 1 3x x :
1 1
2014 2015 2015
2 2
a b c a b c (3)
1 1
2014 9 3 2015 2015
2 2
a b c a b c . (4)
(2) – (4) : 1, 4, 2018,a b c
22
4 2018 2 2014.f x x x x
2
2 2014f x x (1)
.x
49. , .
1 2
. 1 2
. . 2
. , .
2014
, ,
.
, , , , 3 ,
0ˆ ˆ 90 . 1 2, 1 3,
, ( 2 3, ,
, , .

18. -------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/16
, , , , 2 .
, , . ,
: ˆˆ ˆ ,
, 4.
2 ,
0 ˆ90 , ,
, , , , .
:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,
, , , , 5.
4 5 ,
4 2 ,
2 5 , , .
50. . 1
1 1 2 . 2
2
1 1 . 1 2 1 2 .
61. *
,nx n
1 1 2
0, , 1,n
n n
x
x a x x n
n
46. 1 2 ...a a a 1 2 ...b b
b . ,a b
:
10 10 11 11, .a b a a b b

19. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/17
HEMATICUS
Homo Mathematicus ,
: 1) , 2) , 3)
, 4) , 5)
.
: , , ,
I.
… «
».
«... ,
, .
, ,
.
:
.
'
( ,
, ' ,
). Whitehead
« »,
«
».
.
,
; -
,
. Hogben,
,
. « , ,
...
».
« » - - « »
( ,
,
). ' ,
Whitehead
...».
01: Lancelot Thomas Hogben (1895-
1975), «Mathematics for the
Million» ( : «
»)
02: Alfred North Whitehead (1891-
1947), ,
.
[ : Godfrey Harold Hardy (1877-1947), «
»,
(1993)]
II.
… ,
.
( ( ))
’
.
,
( ( )),
.
:

20. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/18
« , ,
».
:
«
,
»
, ,
,
.
, ,
,
.
(
( ))
,
( , ).
,
.
. .
,
( ( ))
III. ;
’ :
… G.H.H. Putney ,
.
S.I.R..
G.H.H.
, ,
, ,
«
1729. ».
S.I.R. ,
« , G.H.H! , G.H.H!
.
»...
;
[ ]
IV. « - »
1o
. ( )
.
6 . . , 1,03 .
,
.
.
6 . .
.
, ,
2015, (ITA – AITES)
« »
(International Tunneling Landmark).
1992
UNESCO. 10

21. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/19
,
, .
12.500 ,
5.000
, ,
!
.
« »,
.
2o
.
, . , ,
«
Regiomontanus
1460, .
1482 Erhard
Ratdolt ,
.
.
: 15 (01), 16 (13), 17 (21), 18 (21),
19 (21), 20 (05)
3o
. Hagia Sophia Journal o f Geometry
, ,
.
: « Kadir
Altintas
Hagia Sophia Journal
o f Geometry .
" "
».
, . ,
. ,
,
.
.
[(Wassim Jabi and
Iakovos Potamianos,
Geometry, Light, and
Cosmology in the Church of
Hagia Sophia ),
(http://papers.cumincad.org//
att/ijac 20075207
.content.pdf)]
:
https://dergipark.org.tr/tr/p
ub/hsjg)

22. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/20
4o
. Fields Medal
, ,
, Fields Medal ( Nobel ).
.
.
« Fields Medal,
( International Medal for
Outstanding Discoveries in Mathematics )
,
40 ,
(IMU), .
1924,
1936 2018.
John Charles Fields (1863-1932),
.
: United
States (13), France (12), Russia (8), United
Kingdom (5), Japan (3), Germany (2), Iran (2),
Italy (2), Belgium (2), Australia (2), China (01),
Norway (01), Sweden(01), Finland (01), Canada
(01), Israel (01), Austria (01), Switzerland (01),
Ukraine (01), New Zealand (01), Brazil (01),
Vietnam (01), South Africa (01)»
[ :http://en.wikipwdia.org/wiki/List of countries by number of Fields_Medalists]
5 , ...1932 !
« » ( , 4/02/2020),
:
«
. 1932
. .
. « »
. .:
«
.
. .
.
.
,
.
.
».
, ( ),
. .
, . .
, ,
:
« .
. . ( )
. . (;) .
, , ,
.
, , , ,
. . .
. ;
!…………………………………………………
. .
, 1932»

23. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/21
6
/ ,
.
: «...
,
. ,
(
).
, ,
;»
, ,
. 8,
« ,
,
, ,
.
.
,
«Principia», 1687. : «
;»
,
,
.
, :
. ,
,
(
), , ,
. NASA
«
»,
,
. 1993, ,
2000
,
,
, 8,
,
.
- ,
« ». 8
«
» ,
2015 ,
.
«
»,
,
,
.
:
,
.
.
,
' »

24. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/22
V. –
1.
(22-01-2020),
: « :
;
– « »
. «
», Scherlock Holmes
Watson, . Arthur
Conan Doyle
, Moriarity
«…
·
’
…»
2. (24.02.2020),
, :
,
.
.
, : «...
. , …, 1+1=2.
,
. ’
»
3. 14
:
=3,14. ,
14 , 14/3 ( .
).
, ,
3/14 ( ). , ’
, /
(,), 3,14 , .
.
4. A
mathematica.gr ,
« mick7» ( .
28, 2020 8:44 pm)
, Amol Sasane (Professor of
Mathematics - London School of conomics).
.
,
. « Amol Sasane
London School of Economics (LSE).
-
.
...» (http://personal.lse.ac.uk/sasane/)
3 3 3 3
1729 12 1 10 9
5. ,
, ,
. ,
«Trigonometry».
BBC ,
.
, :
70 Berlinale. ,
,
. ’
Trigonometry ,
BBC HBO
.
,
Attenberg Chevalier,
(
8 )»
( :https://mail.yahoo.com/d/folders/4/messages/36107?.intl=gr&.lang=el-GR&.partner=none&src=fp)
6. «...
, , ,
,
Colin Marshall
Open Culture.
.
, ,
, ,
» ( : Open Culture)
VI. " ;
’ Godfrey Harold Hardy
(1877-1947) Srinivasa Iyengar Ramanujan (1887-1920), . :
1729 = 123
+ 13
= 103
+ 93
.

25. 116 (2020) .4/23
: . -
-
.
: !
:
.
: , .
: …
2
3
2x 5x 3
x x
. ;
: . ;
: .
: 2
2x 5x 3 -
25 24 1
1
5 1 3
x
4 2
2
5 1
x 1
4
: , … .
« »;
:
« ».
: .
: -
. ,
, -
. -
2 3
2x 5x 3 0 x 1 x
2
: ;
:
:
3
(x 1) x
2
:
;
: … .
3
2(x 1) x
2
: -
;
: .
(2x 2)(2x 3)
: , …
;
: ,
-
.
: -
, -
.
: ,
(x 1)(2x 3)
: , -
;
: ;
: .
: ,
3 2
x x x(x 1) x(x 1)(x 1)
:
.
: , -
;
: .
:
(x 1)(2x 3) 2x 3
A
x(x 1)(x 1) x(x 1)
: ;
: … x
, 1.
: .
3
x x

26. _______________________________ _____________________________
116 (2020) .4/24
1
A
2
,
;
: x 1
2 22x 3 1
4x 6 x x x 5x 6 0
x(x 1) 2
x 1 x 6
: .
-
;
: .
:
1
2
;
: … , -
.
: ;
: -
.
:
, -
,
-
, , -
.
-
x
: :
3
x x 0 x(x 1)(x 1) 0
x 0 x 1 x 1
, x { 1, 0, 1},
2x 3
A , x { 1, 0, 1}
x(x 1)
, 1
x
.
:
,
.
: ;
: .
: -
;
:
-
, -
.
x
.
: ;
: -
2
4 3 2 2
x x 1
x x 2x 8x 6 x 1
, (1)
:
;
: .
-
.
: ;
: .
4 3 2
A {x / x x 2x 8x 6 0}
: , .
: ! ;
: :
3 2 4 3 2
(1) (x x)(x 1) x x 2x 8x 6
4 3 2 4 3 2
x x x x x x 2x 8x 6
2 2
3x 9x 6 0 x 3x 2 0 x 1 x 2
, -
.
1 , -
. -
2 (1).
: .
:
, -
: 4 3 2
x x 2x 8x 6 0 ;
: ,
.
: ,

27. _______________________________ _____________________________
116 (2020) .4/25
,
;
;
: , -
, -
2,18 .
.
,
2 2
3 3
x 3 x 2
A
x
-
; .
:
3 3 3 3
x 0 x x
:
3 3 2 2
x 0 (x )(x x ) 0
2 2
x x x 0
: !
!
: ;
: ;
:
;
: -
,
-
-
.
:
;
: . 2 2
x x
2 2 2
4 3
.
:
;
: .
: .
: , … . .
:
;
: !
: , .
;
: 0 -
3
x x 0
: :
0 -
x , 0 ,
, x 0. -
, -
. ;
: .
: .
: -
2 2 2
9 8
3
x
2
: ;
« »
; -
;
: . « -
» -
2
| | .
;
: .
, 0 , , 0
:
;
: . | |
: ’
( ) , -
-
. .
: . -
1x 2 2x , -
2 2
x 3 x 2 (x )(x 2 )
: ,
;
:
2 2 2 2
(x )(x 2 ) x 2
, x { }
(x )(x x ) x x
:
;
: , -
.

28. _______________________________ _____________________________
116 (2020) .4/26
.
: ;
;
: .
.
: ;
: !
: .
2 2 2 2
x 3 x 2 x x 2 x 2
x(x ) 2 (x ) (x )(x 2 )
.
:
.
: .
: .
,
2
5 10
2 7 6
;
: ;
: ! -
.
: ;
: ;
: … -
. .
2
2 7 6 -
2
3
2
, :
2 3
2 7 6 2( 2) ( 2)(2 3)
2
-
2
3
2
:
;
: . . -
{2} . -
3
2
,
,
.
: .
.
: -
, 5 10 5( 2) . -
, :
2
5 10 5( 2) 5
2 7 6 ( 2)(2 3) 2 3
{2}. ;
: ;
: !
;
: .
.
: .
, ,
: , -
, ;
:
, 2 3 1 2
. ...
... -
!
: .
.
:
1;
: .
2 3 1 1
1 5 .
: -
. ;
: .
-
5 1 5
: .
:
,
2 3 5 4
2 3 5 1
,
{ 1, 1, 4}.
: .
:
. ,
.

29. 116 (2020) .4/27
: …
.
.
1
A1) 2
, 0,x x
1 2, ,x x :
1 2x x 1 2 .x x 13
2)
,
, ,
.
a) , :
0 0 0 .
b) , , .
c) 0, : .x x x
d) 0, , .
e) 2
, 0x x
1 2, ,x x :
2
1 2 .x x x x x x
f) ,
, , , .
12
1) , 1 3.x
8
B2) , 2
5 0.x x
8
B3)
2
1
1 3 .
5
f x x
x x
9
.
, , :
3 6
2 2 2.
1) : 2. 8
2) :
3 3
.
2 4 2
x x
8
3) :
11 6 5 2
0.x x x 9
2
5 6
.
2
x x
f x
x
1) A
.f 6
2) : 3, .f x x x A
6
3)
.f 6
4) :
2
2 4, .f x x x A 7
2
1) : ,
, . ; 13
2)
,
, ,
.
a) 2
, .
b) 0,
, .
c)
, ,f x x
.
d) ,
x .x
e) 2
, 0,x x

30. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/28
0,
2
2
.x x x
f) 2
, 0,x x
0
x .
12
- :
1) 2
3 4 0x x 2
3 4 0.x x
8
2)
2
3 4 0x x 2
3 4 0.x x
8
3)
2
2
3 4
1.
3 4
x x
x x
9
2 2
2 1 4 4.x x x x
1)
.x
8
2) 0, .x
8
3) 1 2,x :
3 . 9
2
4 4 4 3 , .x x
1)
16 1 3 . 6
2)
. 6
3) 1 2,x x
1 2 1 24 4 4 29 0,x x x x :
4. 6
4) 2,999 ,
2
4 4 4 3 0.x x 7
1
2)
a) b) c)
d) e) f) .
1) 2 4x x
B2) 0 5x
B3) 4,5
1)
1 11
3 62
2 2 2 ...
2) 1 5x x
3)
5 6
2 2 0x x
5 6 6
2 2 2 .x x x
1) 2,2
2) 3,f x x x
3)
3, 0
3, 0
x x
f x
x x
4) , 2 2, 1 1,2 2,x
2
2)
a) b) c)
d) e) f)
1) 1 4 , 4 1.x x x
B2) 1 1 , 1 1.x x x
B3) 0,1 1,x
1).
2 2
1 2x x
2)
3
2
x
3) 1 2x x 1 2.x
1) 2,2
2) 0 1 3
3) 1 2 1 2
4 3
4, .
4
x x x x
4) 1 2,999 3, ,
.x .

31. 116 (2020) .4/29
:
1. .
(
). :
) 2 )
)
.
:
) .
,
(1) (2).
( ),
(3) (4). (1)
(3) 2 .
) (2) (4) :
)
2
.
2
2
2. ˆ ˆ2 90
.
)
.
)
.
) ˆ 30
.
:
)
, (1).
) , 1
ˆˆ ˆ2 (2).
( , , )
1
ˆ ˆ (3) ( –
). 1
ˆ
1 1 1
ˆ ˆ ˆ (4). (2), (3), (4)
1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 .
.
) ˆ 30 ˆ 60
(5).
( , )
.
3. ( , )
.
ˆ 30 .
:
) 2 ) ) 3
:
) ˆ 90 ( )
2
( ˆ 30 )
2 2 2 (1)
) ˆ 90 ( )
(2) (3) (
, ˆ 60 ).
2 . .
) (1) (3) .
2
.
3 .

32. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/30
4.
( , ) .
,
: )
) ˆ
) ˆ ˆ90
:
) .
(1)
) 1 2
ˆˆ (2).
1 1
ˆˆ (3) ( – (1) ).
1 2
ˆ ˆ
ˆ .
) ˆ ˆ2 (4)
(
) 3
ˆˆ (5).
3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ180 2 2 180
ˆ ˆ90
5.
.
)
2 .
)
2 .
) .
.
:
)
( , ) 2 .
)
, 2 2
2
) (
). (1). (
),
(2). (1), (2)
.
6.
.
) 1 1 1
ˆˆ ˆ .
) ˆ
:
i) ˆ 45 ii)
:
) 1 1
ˆˆ ( ) 1 1
ˆ ˆ (
).
1 1 1
ˆˆ ˆ (1)
) i) ˆ
. ˆ 45
ii) , 1 1 1
ˆ ˆ ˆ (1), (2).
2 1 1
ˆ ˆ ˆ45 45 (3)
ˆ
2 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ45 45 45 (4).
(3), (4) 2
ˆ ˆ .
,
.

33. 116 (2020) .4/31
1
0
90
0
30 . -
.
:
. , , .
.
, =2 .
. , -
2 .
. 0 0 0 0
45 90 45 180 ,
, , -
.
. 0 0
30 60
2
. -
.
: 0 0 0
60 90 150 .
0 0 0
2 150 180 15 .
0 0 0
45 15 30 , -
2
2 .
. ,
2 2
2
2
.
2
,
. , ,
, , , :
= .
/ /
2
(1).
.
(1)
/ /
2
.
2
-
2
.
.
, .
3
2 .
.
.
, , -
:
i. .
ii. = . iii. = .
i. . -

34. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/32
(1).
,
(1)
2 .
.
ii.
.
2 2
(2) =
,
,
2
.
(2),
= .
iii. ,
,
/ / / / -
, ,
. = .
,
, = .
4
( ,R) . -
.
, : .
-
.
/ / .
0
90 . ,
, 0
90
/ / .
-
5
-
.
0
30 . .
. :
i. ii.
iii. ,
.
iv. ,
.
i.
,
0
90 . -
.
0
30 . -

35. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/33
2
(1).
.
2
(2).
(1),(2)
4
4 .
ii. AEB -
. BE AP
To K
PA , PAB.
PK
P PK AB.
iii. P -
. P
A,P
, .
iv. P
0
30 . P
PK
TK
2
0
60
.
6
, . -
= -
= .
// .
.
0
2 180 0
180 2 (1).
:
0
180 2 (2).
, (1),(2)
0 0
180 2 180 2 .
0
90
. 0
90 .
0 0
90 90 . -
(3).
(4)
.
(3),(4)
/ /

36. 116 (2020) .4/34
1
)
) | + | | |+| | , .
;
) i) = = -
ii) > <0 < -
iii) < > , -
iv) <y<0 > -
v) =0 =0 =0 -
2
) : ( ( =1
) : ( + + ( - )=31
) ( -1) = -1, .
) i) 2
ii) -2x-15=0 iii) -x-2>0,
) : +2 -8=0 (1)
i) : (1) ,
ii)
,
.
3
) (°C)
(°F) F= C+32.
41°F 50°F.
°C. [ .: 5 c 10]
) 15
. 53
.
15
; [ .: =25, =585]
4
) = , y=
z= : xyz=1
)
( +5) -(2 +3) + -1=0, -5
) :
i) 0 ii)
iii) 1, 2
) =-1
= , = , =
) 2 1, 2
1= 2= .
1o
1.
.
2.
. ( ,R) ( , )
=R+ .
.
.
. .
.
.
.
. [15-10 .]
2o
< .
: ) = ) 2 = - [13-12 .]
3o
( = )
( , ).
:
) ˆ ˆ90 [13 .]
) ˆ ˆ2 [12 .]
4o
.
)
=2 .
)
=2 .
) = .
[7-8-10 .]

37. 116 (2020) .4/35
:
-
: alog x
x=
x
x log .
:
log x
log x
log
, ’
:
i) 10
: 10log x : log x
ii) e
: elog x : ln x
1.
i) 3 3 32log 12 log 80 log 45
ii) 3log2 2log30 log72
iii) 2 3 4 99log2 log 3 log 4 log 5 log 100
i) 3 3 32log 12 log 80 log 45
4
3 3 3
144 45
log log 81 log 3 4
80
ii) 3 2
log2 log30 log72
3 2
22 30
log log100 log10 2
72
iii)
log3 log4 log5 log100
log2
log2 log3 log4 log99
log100 2 .
iv)
2. : x x
ln(1 e ) ln(1 e ) x
x
x x
x
1 e
ln(1 e ) ln(1 e ) ln
1 e
x x
x
x
x x
1 e 1 e
ln ln lne x
1 e 11
e e
3. :
i) x
x log(1 5 ) (x 1)log2
ii) lnx x
x = lne
iii) 4 4 2 2log (log x) log (log x) 1
i) x ,
:
x x x 1
log[10 (1 5 )] log2
x x x 1
10 (1 5 ) 2 x x x x
2 5 (1 5 ) 2 2
x x
5 (1 5 ) 2 . x
5 0 ,
2
1 2 2 0 1
2 , 1
x
5 1 x 0
ii) x 0
: ln x
x = x .
,
,
lnx
lnx =lnx lnx lnx=lnx lnx(lnx 1) 0
ln x 0 ln x 1 x 1 x e ,
.
iii) 4log x 0 x 1
,
: 2 4
2 2
2
log (log x)
log (log x) 1
log 4
2 4
2 2
log (log x)
log (log x) 1
2
2 4 2 2log (log x) 2log (log x) 2
2 2
2 4 2 2 2log (log x) log (log x) log 2
2
2
2 4 2
(log x)
log (log x) log
4
2
2
4
(log x)
log x
4
2
2 2log x (log x)
2 4
2
2 22log x (log x) . 2log x
2
2 0 2 ,
2log x 0 x 1 ,
2log x 2 x 4, .
4. f :
f(x) ln(1 x) ln(1 x)
i)
ii) f
iii) f
iv) f
v) f(x) ln(4x 1)
i) f 1 x 0 1 x 0
x 1 x 1 1 x 1
A 1,1
ii) 1 2x ,x
1 21 x x 1 1 21 x x 1
1 22 1 x 1 x 0

38. _______________________________ B ______________________________
116 (2020) .4/36
1 2ln(1 x ) ln(1 x ) (1)
1 21 x x 1 1 20 1 x 1 x 2
1 2ln(1 x ) ln(1 x ) 1 2ln(1 x ) ln(1 x ) (2)
(1), (2) :
1 1 2 2ln(1 x ) ln(1 x ) ln(1 x ) ln(1 x )
1 2f(x ) f(x ), f
iii) x x
f ( x) ln(1 x) ln(1 x)
= [ln(1 x) ln(1 x)] f (x) , f .
iv) f (x) 0 ln(1 x) ln(1 x) 0
ln(1 x) ln(1 x) 1 x 1 x x 0
f (0) 0 f ,
x 0 f (x) f (0) f (x) 0
x 0 f (x) f (0) f (x) 0
v) x ,
4x 1 0
1
x ( ,1)
4
.
: ln(1 x) ln(1 x) ln(4x 1)
ln(1 x) ln(1 x) ln(4x 1)
1 x (1 x)(4x 1)
2
1 x 4x 1 4x x 2
4x 4x 2 0
2
2x 2x 1 0 , 2 0 , 4 8 12 ,
1,2
2 12 2 2 3 1 3
x
4 4 2
,
1
1 3
x
2
2
1 3
x
2
1 2x ,x
1 3 1 3 1
x (( , ) ( , )) ( ,1)
2 2 4
1 3
x ,1
2
(
1 3 1
2 4
2 2 3 1 2 3 3 12 9 )
5. f :
2 2
f(x) ln x lnx ln(x 1) ln2
i)
x 1
f(x) ln
2 x
x
ii) f
iii) f(x) ln(3x)
i)
2 2
x 0 x 0 x 1 0
x 0 x 1, 1,0 0,
f (x) ln x 2ln x ln(x 1) ln 2
ln x ln(x 1) ln 2
ln(x 1) ln 2 ln x
x 1
ln
2 x
, x
ii)
x 1
f (x) 0 1
2 x
x 1 2 x , x 0
x 1 2x x 1 , x ( 1,0)
x 1 2x 3x 1
1
x
3
, .
iii)
x 1
f (x) ln(3x) ln ln3x
2 x
x 1
3x x 1 6x x
2 x
, x 0
2 2
x 1 6x 6x x 1 0, 25 0 ,
1 2
1 5
x ,x
12
, 1
1
x
2
2
1
x
3
, x ( 1,0) 2
x 1 6x
2
6x x 1 0 , 23 0 , .
6.
4 3 2 2
P(x)=x 3x ln 4x ln
x 1
, 0 x 1
P(1)=0 2
1 3 ln 4ln =0
2
1 3 ln 4ln =0 , ln
4 0
2
3 4 1 0 1 2
1
3
,
ln 1 e 31
ln e
3
7. :
23 log x ln(x 1)
2 e log1,25 log8
x 0 ,
2
3
log x
2
(x 1) log(1,25 8)
2
28
x 1 log10 8 x x x
x
36
2
1,2
2 6
x 2x 8 0 x
2
x 4( .)
x 2( )
8. f : x
f(x) ln(2 e )
i)
- 1
4

39. _______________________________ B ______________________________
116 (2020) .4/37
ii) f
iii) : f(2x) ln7 f(x)
iv) f(ln2) f(1)
i) x x
x ln 22 e 0 e 2 .
( ,ln 2)
ii) 1 2x ,x
1 2x x
1 2x x ln 2 e e 2
1 2x x
e e 2 1 2x x
2 e 2 e 0
1 2x x
ln(2 e ) ln(2 e ) 1 2f (x ) f (x )
f
iii) f(2x) ln7 f(x) 2x x
ln(2 e ) ln7 ln(2 e )
x
e
2x x 2x x
2 e 7(2 e ) e 7e 12 0
2
7 12 0 3 4.
x
e 3 x ln3 x
e 4 x 2ln 2
iv) 2 e ln2 lne ln2 1
f . f ln2 f 1
9.
x
e 1
f(x)
2e
, .
23
ln8 log 100 ln(log0,001) ln4
i)
2x
3
f(x)
2
ii) N :
1 1
f(2x ) f(x) f( ) 0
2 2
i)
2
3 3 2 23
ln 2 log10 ln(log10 ) ln(2 )
22
3ln 2 ln( 3) 2ln 2
3
2ln2 ln9 2ln2
2ln 2 2ln3 2ln 2 2ln3,
ln9
e e 9
x x
8 4
f(x)
18 9
2x
3
2
ii)
1 1
f (2x ) f (x) f ( ) 0
2 2
.
1
2(2x ) 2x 1
23 3 3
0
2 2 2
4x 1 2x 1
3 3 3
0
2 2 2
4x 2x 1
3 2 3 2
0
2 3 2 3
,
2x
3
0
2
,
2 2 2
0
3 3
25 0
2 1
2 3 2 0 2
2
,
.
2x
3 3
2 2xln ln 2
2 2
ln 2
x
2(ln3 ln 2)
10. :
i) 2x x
ln(ln(e 2e 2)) 0
ii)
lnx 2 lnx 3
1
lnx lnx 1
i) 2x x
e 2e 2 1,
x 0, 2x x
ln ln(e 2e 2) 0
2x x 2x x
ln(e 2e 2) 1 e 2e 2 e
2x x
e 2e 2 e = 0
x
e 0 , :
4 e 1 0
2
2 2 e 0 1 e 1 0
1 e 1 ,
x
e 1 e 1 x ln(1 e 1 ).
ii) : x 0 ln x 1
1
x
e
, ln x 0 x 1,
1 1
x (0, ) ( ,1) (1, )
e e
,
ln x 2 ln x 3
1
ln x ln x 1
(lnx 2)(lnx 1) lnx(lnx 3) lnx(lnx 1)
2 2
2ln x 2ln x 2 ln x ln x
2
ln x ln x 2 0 ln x 1 ln x 2
2
1
x e x
e
11.
2 4 8
1 1 1
, ,
log 3 log 3 log 3
.
, ,
2
4 2 8
2 1 1
log 3 log 3 log 3
,
( )
2 2
4
2
log 3 log 3
log 3
log 4 2
2 2
8
2
log 3 log 3
log 3
log 8 3
2 2 2 2 2
4 1 3 4 4
log 3 log 3 log 3 log 3 log 3
.

40. 115 (2020) .3/38
:
. , -
-
,
« » .
– -
. -
-
.
1
5 , 4
ˆ 60
.
2
8 . 2
, .
3
,
, -
x y z
4
-
1,5,2 3 ,
.
.
.
5
15 3 -
.
6
. -
.

41. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/39
7
3, 4 5 .
.
8
. -
.
9
-
.
.
10
10 -
-
.
1
:
2 2 2
2
2 2
5 4 2 5 4 60
1
25 16 40 21 21
2
2
, 6,
2 2
8 6 10 2 2
8 2 68
-
:
2 2 2
2
2 2 2
68 8 10 2 10 4,8
3
2 2
x y 9 12 15 -
z
108
9 12 z 5 z
5
108 183
x y z 15
5 5
4
AB 5 , 3,5 , 2 2
5 1 24 2 6
6 2 1,5 2,5, 3,5
2 2
2 2 35 25
(3,5) (2,5)
10 10

42. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/40
2 2
(35 25)(35 25)35 25
6
10 10
1,5 6 2 6 3 4,5 3 6 3 3 6
5
x
2
BZ 9 x 15 x
A ABZ ( ,
3 )
2
9 x 15 x
2 2
9 x (15 x) 54
x
5x 15
1 54
( ) 3 16,2
2 5
6
.
2 ,
2
.
6 6180 120 ˆ 60
:
6 6180 120 ˆ 60
2
1 3
( ) 60
2 4
2
6 6
1 3 3 3
( ) 6 3
2 2 2
2 2
( ) 3 3 3
( )
2 4 4
2
3
2
7
x,y AK :
:
8
x 8 x
8
:
6
y 6 y
6

43. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/41
-
:
8 6
10
4 2
24 48 0
2
12 4 6, 12 4 6 -
2
-
-
-
2
12 4 6
( ) 12 4 6 (3 4 5) 4 6 . .
8
:
27 12 3 3 3 2 3 3 6 3
3 3 ,
27 3 3
2 2
:
2
2
2 3 3 5(3 3) 3 3 2
(3 3)
2 4 2
3 3
,
3 3 2
2 2 3 3 2
2
2 2
(3 3 5) 135 . .
9
2 2( ) 1
( ) 4
,
1
2
2
2 , 3
2
1
2 2 4 2 4 2
2
2 3 6 6 2 12
12 (1 3 4) 4 .
10
x -
10 x
2
:
2
2 2 210 x
10 x x x 4x 60 0
2
H x 6 ( )
x 10 ( )
: 2
( ) 6 36 . .

44. 116 (2020) .4/42
:
– .
1 . 1
2 2
:C x y 1
2
2 2
:C x 3 y 2 4
) .
)
1 2K K .
) C1 C2
( , ),
, .
) ( , ), (
C1, C2) -
.
: ) 1
2 2
:C x y 1, 1K (0,0) 1R 1
. 2C 2K (3,2) 2R 2 .
2 2
1 2 2 1KK 3 2 13 1 R R ,
.
) 1 2K K , -
1 2K Ky x
1 2K K
2
3
1 2
2
K K : y x
3
.
) 1 2C ,C
, , . M M'
1 2C ,C ,
1 2AB M M
1
1 2
2 2
:
2
K K : y x
3
C x y 1
3 13 2 13
,
13 13
,
3 13 2 13
,
13 13
.
1 2
min
M M AB .
( , )
3 13 2 13
,
13 13
6 13 4 13
3 ,2
13 13
)
2 2
2
1 2
C : x 3 y 2 4
2
K K :y x
3
6 13 4 13 6 13 4 13
3 ,2 , 3 ,2
13 13 13 13
.
1 2
max
M M ( , )
3 13 2 13
,
13 13
6 13 4 13
3 ,2
13 13
.
2 . ,
2t,t 3 , t ,
B 1, 2 3 , 1 .
i.
t R -
: x 2y 6 0 .
ii.
1 .
iii. t AB 2B ;
iv. t 2 -
1 : y x 9
2 : y x 1.
v. , 1 2
.
: i. x 2t y t 3 .
:
x 2t x 2t
x 2y 6 0
y t 3 2y 2t 6
: x 2y 6 0 .
ii. B , -
.
B 1 2 2 6 0 2 3
3 2 1 6 0 2 1

45. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/43
1.
iii. 2t, t 2, 1 .
2 2t, t 4, 2 t 2 .
iv. t 2 A 4,5 .
,
, -
, 1 2 45
135 . 1 45 1
2 135 1.
: 1 : y 5 1 x 4 y x 9
2 : y 5 1 x 4 y x 1.
v. 2 1 1 2
:
2
2 4
2 2
2 4 1
, .
3 .
: 2 3 x 1 y 3 2 0 .
i. R
.
ii.
K , .
iii. -
C .
iv.
C .
v.
1 x'x
1 : x 1 .
: i.
3
2 3 0
2
1 0 1.
x y , -
R .
ii. 0 1 :3x y 2 0,
1 2 :x 2y 1 0 .
K 1,1 . -
K -
2 3 1 1 1 3 2 ... 0 .
.
iii.
1 : d O, 1
2 2
2 3 0 1 0 3 2
1
2 3 1
2 2
3 2 5 10 10 4 2 6 0
2 3
2 3 0 1
2
1 :x 1
2 : y 1.
iv. K
OK 2 1 , K
.
v. 1C o ox ,y
1 . -
x'x 1 :x 1 -
: o o ox 1 x 2 x 2
o o oy y 1 y 1
:
2 2
1C : x 2 y 1 1,
2 2
2C : x 2 y 1 1
2 2
3C : x 2 y 1 1,
2 2
4C : x 2 y 1 1
4 .
2 2
x y (3k 2)x (2 4k)y 27 k 0 , (1)
k .
) k
.
) -
.
)
,
(1), k.
: ) (1)
: 2 2
A B 4 0

46. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/44
2 2
3 2 2 4 4 27 0
2 2
9 12 4 4 16 16 108 4 0
2
25 100 0 2
25 4 0 2
4
2 2.
) 2 2
A B
K ,
2 2
3 2
K , 2 1
2
2 2 2
A B 4 5 4
2 2
.
) K x,y :
3 2
2x 3 2x
2
y 2 1
y 2 1
4x 6 4 1
3y 6 3 2
(1)
(2) : 4x 3y 7 (3).
2 3 6 3 2 4
3 2
2
2
3 2
2 x 2
2
2 3 6 3 2 8
3 2
4
2
3 2
4 x 4
2
x 2 (3) y 5
x 4 (3) y 3 .
-
: 4x 3y 7 ,
M 2, 5 x 2 -
: 4x 3y 7 ,
N 4,3 x 4 -
M N .
5 . :
2 2 2
x + 2 x 2( 1) + ( 1) = 0 (1)
) R -
(1) .
) -
,
( ): 3x + 4 - 8 = 0 .
: )
2 2 2 2 2
A B 4 4 4( 1) 4( 1) 2
4 0 .
0 -
0, 1 .
0
, 1 .
2 2 2
A B 4 4
R
2 2
.
) (1)
( )
2 2
3 4( 1) 8
d(K,( )) R
3 4
7 12
7 12 5
5
6 1.
6
2 2
6(C ): x 12x 10 25 0 , = 1
2 2
1(C ):x 2x 0
6 .
B 1,1 ,
2x y 5 0
x y 1 0. : i. .
ii. .
iii. -
.
iv. .
v. .
: i. 2 ,
1
2
.
1
:y 1 x 1 x 2y 3 0
2
.
ii.
A A .
2x y 5 0
x,y 2,1
x y 1 0
, A 2,1 .
.
2x y 5 0 7 11
x,y ,
x 2y 3 0 5 5
,
7 11
,
5 5
.
iii. -
.
A
O
x x 17
x
2 10
, A
O
y y 16
y
2 10
,
17 16
O ,
10 10
.
O BE :
B E
O E
x x 22
x x
2 5
B E
O E
y y 11
y y
2 5
,
22 11
E ,
5 5
.
iv.
.
3,0
3 6
,
5 5
,
3 0
1 9
. .3 6
2 5
5 5
18
. .
5

47. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/45
v.
.
: Ax x 4
x x
2 5
Ay y 17
y y
2 5
,
4 17
,
5 5
.
7 .
2
2 2 25
x y 3 4 x 4 3 y 0
4
1 ,
, .
A. 1
.
B.
:
i. ii.
iii. u 3 4 v 4 3
.
:
.
2 2 2
2 2 25
4 3 4 4 3 4
4
2 2 2 2
3 4 4 3 25 25 0 ,
.
3 4 4 3
,
2 2
2
25 5
2 2
.
. i.
:
3 4 3 4 5
...
2 2 2
2 2
16 24 16 0
2 2
2 3 2 0 1
4 3 4 3 5
...
2 2 2
2 2
9 24 9 0
2 2
3 8 3 0 2
1 2 :
2 2
3
2 2 2
2 3 2 0
3 8 3 0
2 2
2 2
6 9 6 0
6 16 6 0
25 0 0 -
.
ii. 1
2 :
2 2
8
2 2 3
2 3 2 0
3 8 3 0
2 2
2 2
16 24 16 0
9 24 9 0
2 2 2 2
25 25 0
iii. :
u v 3 4 4 3 ...
2 2
12 0 , , u v .
8 . ,
2
y 2px ,
. x'x
AB , . -
: (A ) (B )
: 2
C: y 2px .
, A AA(x ,y )
B BB(x ,y ) 2
B By 2px 2
A Ay 2px
A Bx x .
A Bx x
-
1 A A: y y p (x x )
2 B B: y y p (x x )
o o(x ,y ) :
o B o By y p (x x ) o A o Ay y p (x x ) ,
o o: y y p (x x) -
B A
AB
B A B A o
y y 2p p
x x y y y
B A
o
y y
y
2
oy y
AB ,
.

48. 115 (2020) .4/46
: …
1. ;
. , f
R f 0 0 .
. f
R
f x 0 x R .
:
2. «
x 1 ,x 1
f (x)
x 1 ,x 1
».
.
3. f
;
4. «
1
f(x)
x
».
.
5. «
A 1,5 B 3,3 ,
f ».
.
6. 1 2x x
6 3
1 2x x
; .
7. : x ,x 0,
3 2
3
x
2
; .
8. x
e ln x .
;
:
« x 1,2 x
ln x x e ».
;
:
, , B 2
(1,0), (0,1) .
1. : 2
2. :
1
2 2
2
3. :
1
1 2 2
2
4.
1
f( ) 2
2
, g( ) 1 2
,
.
:
1.
x AM , M
.
2.
:
2
2
x ,0 x 1
(x) x 8x 4
,1 x 4
3
« ».
:
x,0 x 1
f (x)
4 12 3x,1 x 4
3. , ,
f x ,E x .
4. I.
f 0,1
.
f 1,4
5. -
, E x y x .
,

49. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .4/47
,
,
f x .
;
1 ,
2 :
1
2 2
2 2
2
1 1
3 5 106
3 5 152
2
2 2
1
2 1
,
: 2
f( ) ln( 1)
, :
2 4 3
2
1
P(x) ( )x ln(e )x
1
2 2 2 lna
( )x (e 1)x ln1 1
1. f
2. f 0 .
3. f ( ) 0, 0 .
4. 0
5.
6. 3 2
P(x) x x x 1
7. :
.
P( )
1, [0, )
1 2
. 2
P( ) 1 2 x x 1 2
2 2x 1,
x (0, )
2
, .
1.
. f ,
x R f x f x , x 0
f 0 f 0 2f 0 0 f 0 0 .
. f
x R
f (x) f ( x)
f (x) f ( x)
2f (x) 0 f (x) 0
2. . , 1 1, ,
x A x A .
x 1 x 1,
f x x 1 f ( x) ( x) 1 x 1 f (x)
x 1 x 1, f x x 1
f x x 1 x 1 f (x)
x A : f x f(x) , .
3. .
. fA ( ,0) (0, ) ,
f
1A ( ,0) 2A (0, ) .
1 2 1x ,x A 1 2x x
1 2
1 1
x x
,
1f A . 1 2 2x ,x A 1 2x x
2f A . 1 2x 0 x
1 2
1 1
0
x x
1 2f (x ) f (x ) f
! f
( )
, 1A , 2A .
. . f
.
4. . . x ,
6 3
5. . .
1 x 1
1
3
6. x
ln x 1,2
1 x 2
e 1,2
1 x 2 ln1 ln x ln 2
1 x 2 e e e
<
<
x 2
0 lnx ln2 lne 1
2 e e e
2 e ln 2 lne x
lnx 1 x 2 e
x
lnx x e x [1,2],
1.
( ) 2 2
2
( )
1
2
2.
2 2
2
1
2 ,
1
2 2
2
3. 1 :
1 1
1 2 2 2
2 2
:
1
2 1 2
2
2 :
1 1
2 1
2 2
1
2 (1 2 )
2

50. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .4/48
3 : 2 , ,
, 2 .
1 1 1
1 1 90 2 2
2 2 2
1
2 2
2
. :
1
2 1 2
2
4.
1 2 2
f 2 ,
2 2
.
: f 0,
2
f ,
2
g( ) 1 2 ,
.
g 0,
4
,
3
,
4
3
,
4 4
.
1. 0 x 1
, :
x
2x,
1 2
21
x x 2x x ,0 x 1
2
1
( ) 1 2 1
2
1 x 4:
( )
( )
2
x 1, :
3
2 3
3 x 1 4 x
2
2 3 3
x 1, 2 . :
4 x
2 2 x 1
3
2
4 x 7 x
1 x 1 x 1
3 3
2
3
8x x 7
.
2
x 8x 7
3
:
2
x 8x 7
x 1
3
2
x 8x 4
,1 x 4
3
.
2
2
x ,0 x 1
E x x 8x 4
,1 x 4
3
2. :
1 2x ,x 0,1 2 2
1 2 1 2x x x x 1 2 )x (x
1 2x ,x 1,4 1 2x x
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x x x
8x 8x 8x 4 8x 4
2 2
1 1 2 2x 8x 4 x 8x 4
2 2
1 1 2 2
1 2
x 8x 4 x 8x 4
(x ) (x )
3 3
1x 0,1 2x 1,4 1 2x x :
2
1 1 1x 0,1 :0 x 1 0 x 1 10 (x ) 1
2
2 2 2 2
1 8 4
x 1,4 : x x x
3 3 3
,
1
0
3
( 4, 4)
2 4
2
x 8x 4
x
3
,4 4, .
1,4 E x
2 21 x 4 1 x 4 21 x 4
1 20 (x ) 1 x 4 .
1 2 )x (x .
1 2x ,x 0,4 1 2x x
1 2 )x (x , « ».

51. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .4/49
3. 0 x 1: 2 4 3
x x x x x x 1 0
x 0 0,1 x 1 (0,1]
, A 1,1 .
2
x 8x
41
4
12 3
3
4 xx :
2
x 8x 4 12 3 12 3x
2
x 4 3 12 3x
4
x 4 27 x 4 0
x 4 4,4
x 1 1,4 .
4. . f 0,1
. f 1,4 .
5.
, ,
, x
.
:
1 E x ,f x
y x .
2 f x
E x y x .
1. 2 2
0 1 1
2 2
1 1 0. R
2. 1 2, 0, 1 2
1 2
0
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2
1 2
1 1
1 2... f f ( ), f 0,
3.
2
f( ) 0 ln( 1) ln1
2
1 1
1 0
2 2
0
1 2 1
0 1
f 0, 0 .
4.
2 2
2 2
1
1
3 5 106
25
:
1 1
3 5 152
3 5
5.
2 2
2 2
25 3 5 25 106
5 3 3 5 15 152
2
2
3
5
:
25 25 106
2
5 3 15 152
, : 0
6.
2 2
2( 0) 2
7. :
2 2
2 2
1 1
0
1 1
ln e ln e 0 lne 1
2 2 2 2
1
lna
e 1 1 1 ln1 1 0 1 1
: 4 3 2
P(x) 0x 1x 1x 1x 1
8. .
1
11
0 1
0,
2
3 2
1 1
0 1
3 2 2
0 1 0
0 1 0 1
2
0 1
0 1
.
0
. 0: P( ) 1 1 1 0 , :
2 2
2 x x 1 2 2x 1
2 2
2 x x 1 2x 1
x 0,
2
2 2 2
4 x x 1 2x 1
0 x 1
0 x 1
2 2 2 2
4 x x 4 x (2 x x) 1
0 x 1 0 x 1
2
4 x 1
x
30 x 1

52. 116 (2020) .4/50
T :
1
2
f : ,
2
0 ,0 0,
2 2
x :
0
2 2
0 0
0
x x
0
x f x x f x
lim x 1
x x
:
1. 2
x f x x 1 ,
,0 0
2 2
x , .
2.
2
x x
, x ,0 0,
f x 2 2x
0 , x 0
.
3. f
4. f
.
5.
x 1 2
f x
lim , 0,1
1 1
f x f x
2 2
.
1. 2
A x x f x ,
x ,
2 2
,
2 2
,
.
0 ,0 0,
2 2
x :
0
2
0
2 2
0 0
0
x x
0
A x x f x
0
0
x x
0
x f x x f x
lim x 1
x x
A x A x
lim x 1
x x
A
,0 0,
2 2
A x x 1
2
x f x x 1, x ,0 0,
2 2
.
2. x ,0 0,
2 2
:
2
x f x x x
2
,
2
A x x
2
f x , x B x x x ,
,
2 2
x
,0 , 0,
2 2
,
1 2c ,c , :
2
1
2
2
x f x x x c ,x ,0
2
x f x x x c ,x 0,
2
x 0 :
2
1 1
2
2 2
0 f 0 0 0 c c 0
0 f 0 0 0 c c 0
2
2
x f x x x,x ,0
2
x f x x x,x 0,
2
2
x f x x x,x ,
2 2
2
x x
f x , x ,0 0,
x 2 2
f 0x 0
:
x 0 x 0 x 0
x 0 x 0 x 0
0
0
2
2D.L.H
0
0
D.L.H
x xx x
f 0 f x
x
x
x 1 xx 1
0
2x 22x
lim lim lim
lim lim lim
2
x x
, x ,0 0,
f x x 2 2
0, x 0

53. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/51
3.
x ,0 0,
2 2
:
2
4
2 2 2
4
4
3
x 1 x x x 2x
f x
x
x x x 2x x 2x
x
x x x x 2 x 2x
x
x x x 2 x
x
0x 0 :
x 0 x 0 x 0
x 0 x 0 x 0
x 0 x 0
2
3
0 0
0 0
2
3 2D.L.H D.L.H
x x
0f x f 0 x xx
x 0 x x
x x x 1x 1
3xx 3x
x 1 x 1 1
1 .
6x 6 x 6 6
lim lim lim
lim lim lim
lim lim
3
x x x 2 x
, x ,0 0,
2 2x
f x
1
, x 0
6
4.
x ,0 0,
2 2
:
3 3
g xx x x 2 x
f x
x x
g : , ,
2 2
g x x x x 2 x
g 0 0
x ,
2 2
,
g x x x x 1 2 x
x x x 1.
g 0 0
g x x x x x x x
g 0 0, g 0
2
g 0
2
.
x ,0
2
, x 0 x 0
x 0 , x x 0 g (x) 0
x 0,
2
, x 0 x 0
x 0 , x x 0 g x 0
g
g
x
2
0
2
g x
g . . 1 . . 2 . .
1
2
1
2
g 0 0
g x
,0 0,
2 2
g
,
2 2
,
g :
,0
2
0, ,
2
g
0x 0 , g 0 0.
x ,
2 2
:
g x g 0 0
x 0 .

54. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/52
x ,0 0,
2 2
g x 0 g
0x 0 , g
,
2 2
.
x ,0
2
:
g ,
2 2
x 0
2
3
x 0
3
g x
g x g 0 0 0 f x 0
x
x 0,
2
:
g ,
2 2
x 0
2
3
x 0
3
g x
g x g 0 0 0 f x 0
x
x ,0 0,
2 2
f x 0 f
0x 0, f
,
2 2
. f
,
2 2
x ,
2 2
f f x f
2 2
,
f 2x
2
2 2 2 2
2
1 4 22 2 2 2f
2
4 42
1x
2
2 2 2 2
2
1 2 42 2 2 2f
2
4 42
5.
x 1
x f :
x 1
lim x
limf x lim f f 0
0,1
f ,
2 2
0 f f 0 f 0
2
.
, :
f :
2
x 1
1 1 1 1
lim f x f x f 1 f 1 0
2 2 2 2
, 0.
0
21 1
f x f x
2 2
0x 1, x 1.
:
x 1 0
2 2 1 1
x 1 x x x x
2 2
2
f ,
2 2
2
1 1
x , x ,
2 2 2 2
1 1
f x f x
2 2
2
21 1
f x f x 0
2 2
, 2
x 1
1 1
lim f x f x 0
2 2
,
1
0
x 1 2
1
lim
1 1
f x f x
2 2
,
x 1
2
f x
lim
1 1
f x f x
2 2
f
f 0x 1
2
1
lim f x
1 1
f x f x
2 2
2
f : ,
f 0 0 .
f .
1. x
2 3x 1 .

55. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/53
2. f
, ,
fC .
3.
f *
f x x ,
f
,f , 0
2 ,f 2
.
4. 3
f x x ,x .
5. ,f
3
y x ,x 1 ,
1,1 .
,
t t t
, t
B
fC ,f
x, 0t 3 sec.
6.
( )
fC 1,f 1
f ,0 ,
x.
1. :
1
3x 1 0 x .
3
1
x ,
3
:
x x
3x 1 0 2 2 3x 1, ,
1
,
3
, x
2 3x 1 .
1
x
3
:
x
g x 02 3x 1
1 1
x x
3 3
,
x 1
g x 2 3x 1 , x ,
3
.
g 1 2 3 1 0 3
g 3 2 3 3 1 0 .
1
x ,
3
x
g x 2 ln 2 3
2x
g x 2 ln 2 0 .
g x 0
1 2 3
1
, , , ,
3
1 2 3
g 1 2,
2 3, .
g
1 2, 2 3, x
g x 2 ln 2 3.
1 2g g 2 3g g
g
Rolle 1 2,
2 3, , 1 1 2,
2 2 3, 1g 0
2g 0 .
g 1 2,
g
1 2,
2x
g x 2 ln 2
1 2g g 0
g
Rolle 1 2, ,
1 2, g 0 ,
2x
g x 2 ln 2 0
1
x
3
. g x 0,
x
2 3x 1,
, ,
1x 1 2x 3.
2.
*
x f x 0 f
, f
( )
.
f
,0 0, .
:
x 0
f x 2 1
f 4 . . 3

56. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/54
f
f
,0
0,
, f
0x 0, fC
M 0,f 0 ( f 0 0 ).
M 0,0 fC .
3. f
fC M ,f
2 ,f 2 :
f 2 f
f f
2
1 12
2 3
3
0
2 3 2 1 3
3 1 2 : 1 . ,
2 2 1 :
1
3 1 2 g 0
3
( 1)
1, f x x , x f x 1
, fC : y 1
, .
3
3
f x x , x .
4. t 0, t t ,
: t
t c e , t 0, .
0 1 c 1 1 c 1, t
t e ,t 0.
x 1, 2
f x 3x ,
3
A , : : y f f x
3 2 2 3
y 3 x y 3 x 2
,
,0 , : 2 3 2
0 3 2
3
.
t , t :
t
t e
t2 2
t t t e
3 3
.
t 0, , ,
t,
t t2 2
t e e . ./ sec
3 3
,
, 0t 3 sec,
32
3 e . ./ sec
3
.
5. x 2
f x 3x ,
fC f
1,f 1 , : y f 1 f 1 x 1 .
: f 1 1 2
f 1 3 1 3,
y 1 3 x 1 y 3x 2.
: y 3x 2 .
:
3
f x x , x ,0
h x 3x 2,x ( h
: y 3x 2 fC )
x 0,x
(
: y 0,( x x) )
:
f x h x , x ,0 . :
3 3
f x h x x 3x 2 x 3x 2 0
x ,0 x ,0x ,0
3 3
x 3x 2 0 x 4x x 2 0
x ,0 x ,0
2
x x 4 x 2 0
x ,0
x x 2 x 2 x 2 0
x ,0
x 2 x x 2 1 0
x ,0

57. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/55
2
x 2 x 2x 1 0
x ,0
x 2, x 1
x 2
x ,0
f ,h ,
2, 8 .
:
h x x ,x .
:
2
h x x 3x 2 0 x
3
.
h,
2
,0
3
.
:
f x x , x ,0 .
: 3
f x x x 0 x 0.
f,
0,0 .
,
f,h,
6.
f hC ,C ,C :
1 2 ,
1 1
h fC , C
x 2 x 0 2
2
hC , C
2
x 0 x .
3
:
0
1
2
f x h x dx
0
3
2
x 3x 2 dx
0
4 2
2
1 3
x x 2x
4 2
4 24 21 3 1 3
0 0 0 2 2 2 2
4 2 4 2
0 4 6 4 6 . .
2/3
2
0
x h x dx
2/32/3
2
00
3
0 3x 2 dx x 2x
2
2
2
2
3 2 2 3 4 2 2
2 0 0 . .
2 3 3 2 3 3 3
,
1 2
2 20
6 .
3 3
3
:
1
x
e , x 0
f x 0 , x 0
1
, 0 x 1
lnx
1. f
,1 .
2.
f.
3. f ,
,
.
f
.
4. f
f 1
f .
5.
fC ,
x x
1 : x 1, 2
1
: x
e
2
e
. .

58. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/56
1. x ,0
1
x
f x e ,
f ,0 ,
. x 0,1
1
f x
ln x
, f 0,1 ,
. :
1
x 0 x 0
1
lim f x lim 0
ln x
x 0
1
y1 x
yx
y1x 0 x 0
lim
x
lim f x lim e lim e 0
f 0 0
,
x 0x 0 x 0
lim f x lim f x 0 limf x 0 ,
x 0
limf x f 0 , f
0x 0.
f
,1 .
2. :
x ,0 ,
1 1 1
x x x
2
1 1
f x e e e
x x
x 0,1 ,
2 2
1 1 1
f x ln x
ln x ln x x ln x
x 0 x 0 x 0
1
f x f 0 1ln xlim lim lim
x 0 x x ln x
2
D.L.H.x 0 x 0 x 0 x 0
1 11
1xx xlim lim lim lim
1ln x xln x
x
f
0x 0 .
1
x
2
2
1
e , x 0
xf x
1
, 0 x 1
x ln x
.
:
x ,0 ,
1 1 1
2x x x
2 2
1 1
f x e x e e
x x
1 1 1 1
3 x x x x
2 3 2 2
1 1 2 1 1
2x e e e e
xx x x x
1 1 1
x x x
3 4 3 4
2 1 1 1 2x 1
e e 2 e
xx x x x
x 0,1 ,
2
22 2
1 1
f x xln x
xln x xln x
2 2
22
1
x ln x x ln x
x ln x
2
22
1 1
ln x x 2ln x
xx ln x
2
22
1
ln x 2ln x
x ln x
1
x
4
2
22
2x 1
e , x 0
x
f x
ln x 2lnx
,0 x 1
xln x
.
3.
1
x
2
2
1
e , x 0
xf x
1
, 0 x 1
x ln x
. :
x ,0 ,
1
x
2
1
f x e 0
x
x 0,1 , 2
1
f x 0
xln x
f 0, f
,1 .
1
x
4
2
22
2x 1
e , x 0
x
f x
ln x 2lnx
,0 x 1
xln x
.
x ,0 :
1
x
4
2x 1
f x e
x
:

59. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/57
1
x
4
2x 1
1e 0f x 0
xx
2x 0 x 0
1
x
4
2x 1
1e 0f x 0
x 0x
2x 0 x 0
1
x
4
2x 1
1e 0f x 0
xx
2x 0 x 0
x 0,1 :
22
ln x ln x 2
f x
xln x
.
22
x ln x 0
x 0,1
lnx: 0,
x 1 lnx 0
1
ln x 2 2
ln x 2 0 ln x 2 e e x e
x
e : 0,
lnx 2 2
lnx 2 0 lnx 2 e e x e
1
2
ln x 2 0 0 x e
x 0 2
e 1
ln x
ln x 2
f x 0 2
x 0,e
f x 0 2
x e ,1 .
f x f .
x 1/ 2 0 2
e 1
f x
f x 4 3 3 4
f
:
f
1
,
2
2
e ,1
f
21
,0 , 0,e
2
f 1
1
x
2
2
2x e
1
1
22
1
f e e
2
2
2
1 1
f e
2ln e
fC :
21
A ,e
2
2 1
B e ,
2
.
:
f ,1 .
1
0
x 1 x 1
1
lim f x lim
ln x
,
x 1
fC .
1
x
x x
lim f x lim e 1,
y 1 fC
.
f
1, 2 , 3
x 1 / 2 0 2
e 1
f x
f x
f x 8 2
e
7 7 1 / 2
8
fC .
4. f 1 1 ,
fD ,1 , f
1
x
y
O
1

60. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/58
1
f f ,1 f
.
x 1
lim f x
x
lim f x 1,
, ,1 , f
xx 1
f ,1 lim f x , lim f x ,1 .
1
f
f x y , x , fx D ,1
1
f
y D f ,1 ,1 .
x ,0
1
x
f x e
f : ,0
f ,0 xx 0
f ,0 lim f x , lim f x 0,1
2
:
1
x
f x y
e yx ,0
x 0, y 0,1
y f ,0 0,1
11
xln y
ln yx
x 0, y 0,1 y 0,1
x 0,1
1
f x ,
ln x
f : 0,1
f 0,1 x 1 x 0
f 0,1 limf x , lim f x ,0
2
:
f x y 1
y
x 0,1 ln x
x 0,1 ,y ,0y f 0,1 ,0
1
y
1
ln x
x ey
y ,0x 0,1 ,y ,0
f 0 0, 1
f 0 0.
:
1
1
y
1
, y 0,1
ln y
f y 0 , y 0
e , y 0
.
f
:
1 1
1
x
1
,x 0,1
lnx
f : ,1 , f x 0 ,x 0
e ,x 0
1
f f .
5.
fC , x x
1 : x 1, 2
1
: x
e
1 1
0e e
1 1 0
1
0 ef x 0 x 1,0
1
f x 0 x 0, 1 0
e
1
0 e
1 0
E f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx
f x dx f x dx.
.
x 1,0 :
f ,1
1
1 x 0 f 1 f x f 0 e f x 0
2
1
f x ,
e
1
f x
e
x 1, :
0
0 0
1 1
1
1 1 1
f x dx dx x
e e e
0
1
1
f x dx : 1
e
1
x 0,
e
:
f ,1
1
1 1
0 x f 0 f x f
e e
1 1
0 f x 1 f x 1
1 ln eln
e
2
f x 1
1
x
e
, :

61. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/59
11 1
ee e
00 0
1 1
e e
0 0
1
f x dx 1 dx x
e
1 1
f x dx f x dx : 2
e e
1 2
1
0
e
1 0
1 1 2 2
f x dx f x dx E . .
e e e e
4
f : 0, : f 0 0
2
x
f x x x
lim 1
x 1
.
1. 2
f x x , x 0, .
2. ,f , 0
,
:y x 1 .
3.
fC y x 1 ,
x 0 x 1,
1. 0y y
2. y kx
.
1.
2
f x x x
g x ,x 0, ,
x 1
2
f 0 0 0 0
g 0 0
0 1 1 x
lim g x 1.
. x x 1,
x .
2
A x f x x x
1
1 1 0x x ... x , 0, ,x
x (
A x ,
A x 0 , g x 0
x x
lim g x lim 0 0 1, ).
2
x x
f x x x
lim g x lim
x 1
1
11 0
x x x
x x ... x
lim lim lim x
x 1 x
:
1 1 0 ,
1
x x x
, 0x
lim g x lim lim x
, 0x
,
x
lim g x 1.
1 0 ( N ),
0
0 0
x x x
x
lim g x lim lim 0
x x
.
,
x
lim g x 1.
1. 1, :
1
1
1
x x
x
lim g x 1 lim 1 1
x
,
2
0 0
2
0
A x x f x x x x
f x x
.
, 2
0 0f 0 0 0 0 0 .
2
f x x ,x 0, .
2.
:
1
2
, :
d , :x y 1 0
2
22
1f 1
21 1
2 2
B Bx x y y
1 1 2

62. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/60
2 21 1
1 1
2 2
2
1 0
3 0
21
1
2
0
1 1
2 1
2 2
.
:
1 1
0 0
2 2
1 1
0 0
2 2
1 1
0 0
2 2
E 0,
:
1
0,
2
,
1
,
2
,
0
1
x
2
,
2
1 1 1 1 3
1 . .
2 2 2 2 8
0
1 1
,f
2 2
0
1 1
, .
2 4
3.
To :
f
y x 1
x 0 , x 1 :
2
1 1
2
0 0
x x 1 0
13 0
2
0
f x x 1 dx x x 1 dx
x x 1 dx
13 2
0
x x 1 1 5
x 1 . .
3 2 3 2 6
1.
,
1 1 1
O 1 1
2 2 2
.
1 5
O
2 2 12
,
x x
.
( )
0y y
x x
01 y 0 .
0y y y y ,
00,y .
M
0y y , y x 1,
:
0 00
0 0
0 0
y y y yy y
M y 1,y
y x 1 x y 1y x 1

63. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/61
1E , , :
1 0 0
1 1
E y 1 y 1
2 2
2 2
0 0
1 1
y 1 y 1
2 2
.
0y 1,0 1
E
E
2
.
:
2 2
1 0 0
E 1 1 5 5
E y 1 y 1
2 2 2 6 6
0 0
5 5
y 1 y 1
6 6
0 0
5 5
y 1 y 1
6 6
0
5
y 1 1,0
6
,
0
5
y 1 1,0
6
.
fC
y x 1, x 0
x 1,
5
y 1
6
.
2. O
2
,
y kx
x x .
k 0 .
y kx y x 1
:
k 1
1
y 1
y x 1 1 k
y kx kx x 1 1
x
1 k
1
y
1
x
, 1
1
1
k 1 k
1
d ,y y
1
,
2
. :
E 1 5
d , y y
2 2 12
1 1 5 6 6 1
1 1 1
2 1 12 5 5 5
1
y x
5
fC
y x 1, x 0
x 1, .
5
f : 0, ,
0,

64. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/62
, , , .
1.
,
fC .
2
4 cm .
2. ,
2
2
16
P , 0.
3.
i. ,
2
2
16
P x x , x 0
x
,
.
ii. x
OB OAB
,
OA,OB . ;
4.
P.
5. :
4 4
P P ,x 0,1
x 1 e
.
1. fC 0,
O ,
O , A , , ,
x 0, : 0 f x : 1 .
OB
,
y x, . OB
,
0
, : y x .
fC OB
0x 0,
f x x f x x 0 g x 0 .
g x f x x, x 0, . g
0, ,
. , g 0 f 0 0,
1 g f f 0,
1 , g 0 g 0
g
Bolzano 0, ,
0x 0,
0g x 0. fC OB
0x 0, .
2. O
2
4 cm :
4
4 4
O
2 2
B O B OOB x x y y
2 2 2 2
0 0
2
2 2
2
4 16
.
2
2
16
P , 0
O
0 .
3.
i. 0 ,
2
2
16
P
3
2
2
1
2 32
16
2
4
3
2
2
1 16
16
:
P 0
0
4
16 0 2
x
y
O A( , 0)
(0, ) ( , )

65. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/63
0
2 2
P 0 0 2
P 0,2 ,
2, ,
0 2,
2
2
16
P 2 2 8 2 2
2
.
ii. (E3i.)
O
2
: min OB 2 2 .
2
4 4
2
2
,
2 . , 2
2 , O
.
4. P
0, P ,
PC 1 : x 0 .
2
2
x 0 x 0
16
lim P x lim x
x
1 : x 0
PC .
y x , , .
2
2 2 x x x
x 02 4
x x
16 16
x x 1
P x x xlim lim lim
x x x
4
4x
16
x 1
16x
lim lim 1 1 0 1
x x
.
1.
2
2x x
16
lim P x x lim x x
x
2
2 2
2 2
2
2
x x
2 2
2 4
16 16x x x xx xlim lim
16 16
x x x 1 x
x x
2
x x x
x 0 2 2
x x
4 4
16 16
x xlim lim
16 16
x 1 x x 1 1
x x
3x
4
16 1 1
lim 0 0
2x 16
1 1
x
0 . 2 : y x
PC .
5. 0,1
4 4
P P
x 1 e
.
1 1
0 x 1 1 x 1 2 1
x 1 2
1 1 4
1 2 4
2 x 1 x 1
,
4
2,
x 1
.
2
2
2 2 2
2
4 4 16 16 16 16
e e
16e e e e4
ee
, e 2,
:
4
P P e
e
4 4 4
P P P P e
x 1 e x 1
x 0,1 x 0,1
4
,e 2,
x 1
P 2,
44
x 1e
ex 1
x 0,1 x 0,1
1
4
x 1 4 e
e x , 1
e
x 0,1
4 e
x , 1
e

66. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/64
:
1
f,g,G: 1,2
h: 1,2 :
f , 1,2
.
g .
G g.
f(x) - f(1)
h(x) =
x-1
.
:
i)
f(x) - f(1)
f (x) >
x-1
, x 1,2 .
ii) h 1,2 .
iii) f(x) (f(2) - f(1))(x-1) + f(1) , x 1,2
iv)
2
1
f(1)+f(2)
f(x)dx<
2
v)
2 2
1 1
(2x-3)g(x)dx=G(1)+G(2)-2 G(x)dx .
vi)
2
1
(2x-3)g(x)dx>0 .
i) 1 x 2 . f -
1,x ,
f(x)-f(1)
f( )=
x-1
f , f´ -
1,2 :
ii) h
2
f (x)(x-1) - (f(x) - f(1))
h (x) = , x 1,2
(x-1)
(i) :
f x x 1 f x f 1 0, x 1,2
h (x) > 0, x 1,2
h 1,2 ,
1,2 .
iii) x=1 x=2 . h
1,2 , :
1< x < 2 h(x) < h(2) f(x) < (f(2)-f(1))(x-1)+f(1).
iv) (iii)
1,2 , :
2 2
1 1
f(x)dx < [(f(2) - f(1))(x-1) + f(1)]dx
2 2
1 1
= (f(2) - f(1)) (x-1)dx+ f(1)dx
22
1
x
= (f(2) - f(1)) - x + f(1)
2
(f(2) - f(1)) f(1) + f(2)
= + f(1) =
2 2
.
v) G'(x)=g(x) x 1,2 , :
2 2
1 1
(2x-3)g(x)dx = (2x-3)G (x)dx
22
1 1
= (2x-3)G(x) -2 G(x)dx
2
1
=G(1)+G(2)-2 G(x)dx .
vi) G'=g g , G
. (iv) :
2
1
G(1) + G(2)
G(x)dx <
2
2
1
G(1)+G(2)-2 G(x)dx >0
(v) 2
1
(2x-3)g(x)dx > 0 .
2
f:
.
i) 0x
0f (x ) = 0 .
ii) f 0x
.
iii) , 0< x < , -
fC
( ,f( )) ( ,f( )), :
x -
lim f(x)=+
x
lim f(x)=+
iv)
f(x+ 2020) = f(x) .
i) f ,
1 2f(x ) = f(x ) .
1 2x x . f
, -
Rolle
1 2x ,x . 0 1 2x x ,x
0f (x ) = 0 .
ii) H f f -
. , 0 0x < x f (x) < f (x ) = 0
0 0x > x f (x) > f (x ) = 0
f 0x , -
0x .
iii) A B
fC

67. _______________________________ ______________________________
116 (2020) .4/65
:
f :
(1)
(2).
,
,
,
. (1) (2)
.
iv)
.
g
. -
(ii) f
0,x
0x , .
:
Bolzano,
. g
, ,
, :
.
g
g(x) = 0 , ,
f(x+ 2020) f(x) .
: (iv)
f(x+ 2020) f(x),
f .
.
.
-
,
.
†
,
4
2020.
,
1970
1972.
†
,
17 2020.
. . . .
.
†
,
27 2020.
.
.
,
, . .
.
.
4
,
,
.
, ,
.

68. 116 (2020) .4/66
Ky Fan
,
,
,
2019.
,
.
( .112) -
Jensen. : -
f I ,
:
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n nf x x x f x f x f x 1
1 2 nx ,x , ,x I
1 2 n, , ,
1 2 n 1. (1)
1 2 nx x x f -
. ,
Jensen
Ky Fan (1914-2010) , -
Santa Barbara
( . . ). ,
, 1961 Beck-
enbach E.F, Bellman R. “Inequalities” Berlin, Springer
1961 : 1 2 na ,a , ,a n 2
1
0,
2
.
1 2 n
n
a a a
A
n
1
n
n 1 2 nG a a a .
:
1 2 n
n
1 a 1 a 1 a
A
n
1
n
n 1 2 nG 1 a 1 a 1 a
1 2 n1 a ,1 a , ,1 a .
Ky Fan
1 2 na ,a , ,a :
n n
n n
G A
G A
1 2 na a a
f
1 x
f x ln
x
.
.
1
0,
2
,
22
1 2x
f x 0
x 1 x
1
x 0,
2
.
Jensen -
*
1 2 n
1
, n
n
1 2 n
1
x ,x , ,x 0,
2
.
’
1 2 n1 2 n
f x f x f xx x x
f
n n
1 2 n
1
x ,x , ,x 0,
2
, :
1 1 2 n
n
1 2 n
1
1 2 nn
1 2 n
x x x
x x x n
1 x 1 x 1 x
1 x 1 x 1 x
n
n n
n n
G A
G A
-
1 2 nx x x f
.
Ky Fan
1.
1
a , b 0,
2
,
2 2
1 a 1 ba b
a b 2 a b
2
2
a ba b
1 a 1 b 2 a b

69. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/67
Ky
Fan a
2.
2
2 2
x 1x
x x 1 3x 2x 3
[0, )
0 -
. 2
x
x 1
. 2
x 1
0
x 1 2
, -
Ky Fan :
2 2
2
22
2
2 2
x x
2 x 1 2 x 1G x
G x x 11 x x x 1
1
2 x 1 2 x 1
2
2 2
x 1x
x x 1 3x 2x 3
, -
: 2
x 1
x 1
x 1 2
: x 1.
3. x ,
3 2
-
2
2 2
x
2
x 2
xx 1 x x 2
2
:
, 2
2 x 1 2x
2 2
22
x x x x
1
1 x 1 x1 x 1 x
,
3 2
-
1
0,
2
, (1) -
Ky Fan
. «=»
, -
,
3 2
.
4. A ,B , -
,
2 2 23
2 2 2
A 3
1
A2 2 2
2 2 2
:
A
0 , 0 , 0
2 4 2 4 2 4
,
2 2 2A
, ,
2 2 2
1
0,
2
-
’ -
. :
2 2 23
2 2 23
2 2 23
A
A 2 2 2
2 2 2 A
2 2 2
Ky Fan
2 2 23
2 2 2
3
A
2 2 2
A
1 1 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2

70. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/68
2 2 2
2 2 2
2 2 2
A
3
2 2 2
A
2 2 2
3
1
A
2 2 2
2 2 23
2 2 2
A 3
1
A2 2 2
2 2 2
5. :
(i)
1 1
0 a , 0 b
2 2
,
1 a 1 b a b
1 b 1 a b a
(ii)
1 1 1
0 a , 0 b , 0 c
2 2 2
,
1 1 1
1 a 1 b 1 c
1 a 1 b 1 c
1 1 1
a b c
a b c
(i) ( 1) :
2
2
a bab
1 a 1 b 2 a b
:
2 2
1 a 1 b a b
1 a 1 b ab
2 2 2 2
1 a 1 b a b
2 2
1 a 1 b 1 a 1 b ab ab
1 a 1 b a b
1 b 1 a b a
(ii) :
1 1 1
1 a 1 b 1 c
1 a 1 b 1 c
1 b 1 c 1 c 1 a
1 c 1 b 1 a 1 c
(i) :
1 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a
3
1 b 1 a 1 c 1 b 1 a 1 c
a b b c c a
3
b a c b a c
1 1 1
a b c
a b c
.
6.
n
n
1 2 n n
1 1 1 2 1
2 1 2 1 2 1 1 n 1 2
:
n
2 n
n
1 2 n
n
2 n
1 1 1
1 1 1 2 2 2
2 1 2 1 2 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2
Ky Fan :
2
1 2
2
1 1 1
1 1 1 2 2 2
1 1 12 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
n
n
n
n
n
n
n
n
1
1
1 2
12 1
2 12
1 1 n 1 21
1 2n
12 1
2
7. :
2 2 2 2
2 2
x x
2 x 2 x
2 2
xx x1 x 1
22
.
:
2 2 2 2
2 22 2
x x
x x
2 2
xx 2 1 x 12 x 2
22
2 2
2 2
1 1 x
x
2 2 2
1 1 x
1 x 1
2 2 2
2 2
2 2
x
x
2
1 1 x
1 x 1
2 2 2
2 21 1 x
x ,
2 2 2
1
0,
2
, -
Ky Fan -
: 2 21 1 x
x , x k , k
2 2 2
.
, -
:
2 4
x 4k , x 4k , k
3 3
.

71. 116 (2020) .4/69
Ceva
,
. , .
( 3
) . ,
. -
,
.*
1
2
, ,
, , ( 1).
1 1 1
, ,
x y z
, ,
1 2 3
1 2 3
, , ,
, , ( ).
1.
xyz 1
x 1 y 1 (z 1)
:
1 2 3 1 2 3( )
1
1
y z x
1 ( )
y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1
*
Ceva
1 xyz
x 1 y 1 z 1
Ceva
, ,
( 2), :
1.
:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1.
( )
. , ,
( 2)
.
2.
, , ,
2
x 1 y 1 (z 1)
.
: [ 1],
Ceva xyz=1.
3.
, , ,
.
4
, , .
: x,y,z>0
xyz=1, x 1 y 1 z 1 8 (
x=y=z=1). , [ 2]
2
8 4
x y z 1 , , ,
.
4.
, , ,
2
1 2 32 .
:
1 21 1
, ,
x 1 y 1
3 1
.
z 1
Ceva*

72. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/70
,
1 2 3
3
1
x 1 y 1 (z 1)
. ,
[ 2],
2
.
x 1 y 1 (z 1)
.
.
, ,
, 2 .
3
: [ 4]
1 2 32
1 1
( )
2 2
1 1 1
2
2 2 2
2 ( )
.
, ,
.
5.
, , ,
1 2 3
6
1 2 3
6
1 1 1
.
.
,
3
3
1 1 13
(
– - ).
, .
3,
3 2 3
1 2 34 16( ) 16( ) 2
[ 4], 3
1 2 32 ,
–
,
1 2 3 1 2 3
2 .
3 6
[ 3],
3 2 3
1 2 34 4 8
[ 4], 3
1 2 32 ,
– ,
1 2 3 1 2 3
3 6
2 .
1 1 1 1 1 1
– –
1 2 3 ,
.
1) x,y,z 0 xyz 1,
x 1 y 1 z 1 8.
: x 1 2 x .
2) , , ,
3
3
1 1 13
.
: 3
3
3 3 3
x , y , z , -
3 3 3
x y z 3xyz.
. .
3) van Aubel , ,
,
.
4)
, .
: van
Aubel
.
5) , , ,
2
.
( )
6) ,
1
.
8
: . . ,
, [ : 1996]

73. 116 (2020) .4/71
« -
». . R. HALMOS
. –
332 . ( 112)
1
2 2
.
,
.
–
( - )
,
, , -
R. -
, :
,
,
,
, ,
, (1)
,
’ (1)
-
– , – . -
, – -
-
:
-
.
-
. ,
,
.
O ΕυκλείδηςO Ευκλείδης
προτείνει ...προτείνει ...

74. …
116 (2020) .4/72
.
, ,
.
-
, Euler
(
Euler)
Cauchy
Euler
333. ( 112)
( ˆ 90 ) -
. 1 2,
-
-
, -
1 2 1 2
1 2
–
( )
,
, (1)
,
, :
(1)
.
,
,
, :

75. …
116 (2020) .4/73
,
.
-
– –
334. ( 112)
, ,
2 2 2
3. -
4 3
( ) 9
( –
( – )
:
, (1)
(1)
,
– -
. .
( -
)
.
, -
-
, -
-
, d, e .
335. ( 112)
3 2
x 2x x 1 0
, , .
2 2 2
( - )
( – )
, (2)
, (3)
-
.
:

76. …
116 (2020) .4/74
(2)
, :
(1). (1) ,
, ,
, (3)
.
,
,
(Vieta)
.
« »
.
, ,
3
8x 2012x 2013 0
3 3 3
A ( ) ( ) ( )
(Vieta),
, , .
– , –
, , -
– . , -
– -
–
336 ( 113)
oˆA 60 oˆB 45 .
1
B
3
4 4
4
15
9 36
( - )
( - )
:
,
:
:
, (1)
,
, (2)

77. …
116 (2020) .4/75
(1) (2) :
. Stewart :
,
, , :
.
- .
,
351.
-
352. , ,
.
:
-
353. ,
, . -
, -
-
354. .
:
i. f
ii.
iii.
« -
» :
,
.
.
. -
( )
.
- .
355. -
. , ,
, -
, ,
, :
-
356.
. , ,
-
,
,
.
–
-
,
. -
,
336-340 346-350.
,
, .
, « -
» , .
(
313, 317, 318, 321, 325, 326 ).
-
-
.
.

78. 116 (2020) .4/76
.
2019 Abel.
, ,
.
.
1884 Herman Schwartz
,
.
,
. 2019 Abel
(Karen Keskulla Ulenbeck) 1942
2003.
.
: . ,
,
.
. «
,
…», .
, . Furstenberg G Margulis,
Abel 2020 . ,
, 1960 1970
.
. Furstenberg 1935, 2003
. G Margulis 1946,

79. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/77
Yale , 32 ,
Fields, .
7,5
( 700.000 ). ,
,
, 2020,
2021.
19 Abel 10 Galois.
, , .
Abel M 21
5
( ).
.
1825 .
« » , « » ,
.
, Abel, .
1828 Abel , ,
,
27 , 1829.
, . 2002
, ,
, .
Galois, 15 ,
. .
.
, « Galois», .
Galois
. 1825 14 ,
.
.
. Galois
. M.
Vernier. .
M. Vernier: «
. , ,

80. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/78
:
, .»
1828 Galois ,
.
Galois
.
.
.
1829 Louis Paul
Richartd, Galois
“Annales de mathématiques”.
, Cauchy, , ,
!!!
,
. .
, , .
« ,
…»
Galois Auguste Chevalier,
.
Galois !!! Galois,
“Bulletin de Férussac”.
.
Evarist Galois . 1830
, , .
,
Galois , ,
.
. Lacroix Poisson.
! 1831,
,
. .
.
. 1832, , ,
.
. « »
. Evarist Galois, 20 ,
, , ,
25 .

81. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/79
:
. 9 3 1982 98 .
(1828 1910), : «
. , .
, .»
: 2500 .
. ,
. (610 547 . .)
, , . .
9 .
: :
« .»
: « .» :
,
.
,
. . .
: ,
:
: ;
; ,
. . x2
= x * x
x + x + x +…+ x (x x) , x2
= x + x +
x +…+ x (x x). x : (x2
)’ = (x + x + x
+…+ x)’ (x2
)’ =2x
: (x + x + x +…+ x)’ = x’ + x’ + x’ +…+ x’ (x )
: 2x = 1 + 1 + 1 +…+ 1 (x ) 2x = x. x 0
2 = 1. ;
: , , ,
2015 ,
8 .
,
.
10 .
;
; 2+7 118=129 ,
;

82. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/80
: : 574=10.
;
:
;
3
;
2
;
:
100 .
.
4 ;
2 : 1225, 2
,
.
.
. :
« , , 5
, 5 .»
;
:
8572
757.957= ; 74532
6453 8453 =; .
;
: 21.
4/5 9/11 . ;
, 115
:
8 .
.
: . 77777 7777=70000
. 55777 5577=50200
:
0,
5 0 5,
2,4,6,8 0,2,4,6,8,
3 9
.
:
,
.
: 1 , 2
, 3 ( ,
), 4 , 5 ,
6 , ( , , ), 7
, 8 , 9 , 10
,
;
, :
, , , ,
( , ), ,
, , ,
, , , .
: 7
: 33, 55 33/55
3/5. 88.
: 3 3

83. 116 (2020) .4/81
10€ 10€
15€ 12€
…
500
.
[ . 2020 , ]
: , ,
…
. , . –
[ . 2020]
[3 ]
. .
[ 2020]
!!!
. .
[ . 2020]
(1990 2019)
. [ . 2019]
( )
[ . 2019, ]
…
:
, 114
30
(1990 – 2020). ,
:
…
.
–
.
.
10
.
.

84. Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα
fax: 210 3641025
www.hms.gr e-mail: info@hms.gr
τηλ.: 210 3616532, 210 3617784
Κεντρική Διάθεση: Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα
fax: 210 3641025
www.hms.gr e-mail: info@hms.gr
τηλ.: 210 3616532, 210 3617784
Κεντρική Διάθεση:
της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείαςτης Ελληνικής Μαθηματικής ΕταιρείαςΕκδόσεις
Τιμή τεύχους: 3€
Τιμή 12€βιβλίου: Τιμή 12€βιβλίου: Τιμή 12€βιβλίου:
Τιμή τεύχους: 3,5€Τιμή τεύχους: 3€
Τιμή 18€βιβλίου: Τιμή 15€βιβλίου: Τιμή 20€βιβλίου:
Τιμή βιβλίου: 30€ Τιμή βιβλίου: 20€ Τιμή βιβλίου: 25€
ΠεριοδικάΔιαγωνισμοίΟλυμπιάδεςΒιβλία
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100