..

1. ΕΕλληνική Μαθηματική Εταιρεία
E
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
Ταχ.Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Ταχ.Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
ΑριθμόςΆδειας
4156
ΑριθμόςΆδειας
4156
ΕΛΤΑHellenicPost
ΕΚΔΟΤΩΝ
ΕΝΤΥΠΟΚΛΕΙΣΤΟΑΡ.ΑΔΕΙΑΣ1099/96ΚΕΜΠ.ΑΘ.
ΑΠΡΙΛΙΟΣ - ΜΑΪΟΣ - ΙΟΥΝΙΟΣ 2019 ευρώ 3,00
Μαθηματικό περιοδικό για το
Josef Albers, (1888 - 1976)
Α΄Α΄116Γυμνάσιο
υκλείδης
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ
για το γυμνάσιο
Ευκλείδης α΄
ΠΕΡΕΧΟΜΕΝΑΠΕΡΕΧΟΜΕΝΑ
Τεύχος 161
Τιμή Τεύχους Εύρω3,00
e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr
Απρίλιος - Μάϊος - Ιούνιος 2020
Μαθηματικά και Ζωγραφική
Τα Μαθηματικά στο Σχολείο
Τα Μαθηματικά στο Σχολείο
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
Διάφορα ΟΧΙ Αδιάφορα
Μαθηματικά και Ζωγραφική
1
Ασκήσεις Γεωμετρίας με … STIJL
6
Φώτης Κουνάδης
Μαρία Ρουσούλη, Γιώργος Καραφέρης
........................................................
...............................
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί,
................................... 40Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών
Ταξιδεύοντας με τον Πυθαγόρα
42
Κλασική λογική - ασαφής λογική. Παραδείγματα
44
Διασκεδαστικά Μαθηματικά,
48
Χρήστος Ζαφειρόπουλος
Επιμέλεια: Χρήστος Ζιώγας
Παναγιώτης Χριστόπουλος
...............................................
...........................................
.............................................
=
=
Α΄ Τάξη
Β΄ Τάξη
Επαναληπτικά Θέματα Α΄Γυμνασίου 10
Προχωρημένα θέματα για όλους. Τάξη Β΄
27Επιμέλεια: Στέφανος Κεΐσογλου
................
.....................................
................ 18Επαναληπτικά Θέματα Β΄Γυμνασίου
= Γ΄ Τάξη
Επαναληπτικά Θέματα Γ΄Γυμνασίου .................. 29
Προχωρημένα θέματα για όλους. Τάξη Γ΄
38Επιμέλεια: Στέφανος Κεΐσογλου ......................................
Πανεπιστημίου 34
Τηλ 210.: 210 3617784 - 3616532
Fax: 210 3641025
Παναγιώτης Δρούτσας
Ανάργυρος Φελλούρης
Εκδότης
Διευθυντής
Συντονιστές:
Συντακτική Επιτροπή:
Αποκεντρωμένοι συνεργάτες
Κεΐσογλου Στέφανος
Τριανταφύλλου Ανδρέας
Φερεντίνος Σπυρίδων
Αρδαβάνη Πόπη
Διαμαντίδης Δημήτριος
Δοργιάκη Ιωάννα
Κυριακοπούλου Αθανασία
Λαγός Γεώργιος
Λυμπερόπουλος Γεώργιος
Μάλλιαρης Χρήστος
Νικολόπουλος Ιωάννης
Παλαιογιαννίδης Δημήτριος
Παπαδάκη Άννα
Παπαϊωάννου Δημήτριος
Σίσκου Μαρία
Τζίφας Νικόλαος
Τσικοπούλου Στάμη
Χριστόπουλος Παναγιώτης
Γεωργιάδου-Καμπουρίδη
Βαρβάρα
Ζιώγας Χρήστος
Κωστοπούλου Καλλιόπη
Παπαδάκη Μαλβίνα
Ρίζος Ιωάννης
Ρουσούλη Μαρία
Επιμέλεια Έκδοσης:
Κεΐσογλου Στέφανος
Κυριακοπούλου Αθανασία
Παλαιογιαννίδης Δημήτριος
Τριανταφύλλου Ανδρέας
ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑ της
ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ
Εκτύπωση:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
Στοιχειοθεσία – Σελιδοποίηση:
ROTOPRINT ( ).
: 210 6623778 - 358ΤΗΛ
A. Προύσαλη & ΣΙΑ ΕΕ
Δ. Παπαδόπουλος
Υπεύθυνος Τυπογραφείου:
l Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται σπό την Ε.Μ.Ε.
Οι συνεργασίες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ. πρέπει να
στέλνονται έγκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την ενδειξη «Για τον Ευκλείδη Α΄. Τα χειρόγραφα
δεν επιστρέφονται. Όλα τα άθρα υπόκειται σε κρίση
(10,00+2,00 Ταχυδρομικά=12,00 ευρώ)
10,00 ευρώ
Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται:
Ετήσια συνδρομή
Ετήσια συνδρομή για Σχολεία
l
Τιμή τεύχους: ευρώ 3,00
1. ΕΘΝΙΚΗ Τράπεζα
ALPHA
EUROBANK
απλήταχυδρομικήεπιταγή
γραφεία
λογαριασμός όψεως 080/48002300 ΙΒΑΝ GR 87 0110 0800 0000 0804 8002 300
2. ,10100200201998ΙΒΑΝGR8601401010101002002019988
3. ,0026.0201.94.0201575138ΙΒΑΝGR9002602010000940201575138
4. Mε σεδιαταγήΕ.Μ.Ε.ΤαχΓραφείο54Τ.Θ.30044
5. Πληρώνεταιστα τηςΕ.Μ.Ε
Αγαπητοί/ές αναγνώστες/ αναγνώστριες.Αγαπητοί / ές αναγνώστες
αναγνώστριες.
Αρχικά ευχόμαστε σε όλες και όλους υγεία και ομαλή μετάβαση στην
κανονικότητα μετά την δοκιμασία της πανδημίας .
Στο τεύχος αυτό θα βρείτε μία μεγάλη ποικιλία από επαναληπτικά θέματα
Μαθηματικών αφού είναι το τελευταίο τεύχος της εφετινής σχολικής χρονιάς.
Όμως δεν λείπουν και θέματα γενικού ενδιαφέροντος τα οποία πάντα
περιλαμβάνει κάθε τεύχος του περιοδικού.
Καθώς υπήρχε μεγάλη προσφορά υλικού από τους συναδέλφους, έχουμε
κρατήσει το κείμενο με τις δραστηριότητες σχολείων για το επόμενο τεύχος.
Ευχόμαστε να περάσετε ένα ευχάριστο και καλοκαίρι.
Εκ μέρους της του περιοδικού
Η του περιοδικού.
Συντακτικής επιτροπής
ομάδα συντονισμού
ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ
Κωδικός ΕΛ.ΤΑ. : 2054
ISSN: 1105 - 7998
Συντακτική Επιτροπή
Η έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής Βοηθάει
στην έκδοση του περιοδικού
Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών
Γράμμα της Σύνταξης
ΕΛΤΑHellenic PostHellenic Post
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100

3. 116 (2020) .4/1
=======================================-====================================
«- ,
;
;»
.
;
;
;
;
.
, . , ,
.
. ,
, , ,
,
.
. , ,
.
, , -
:
, , ,
.
,
,
.
.
«
, ’
.
,
.
·
,
».
3
.
«
,
».
.

4. ------------------------------------------------------------------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/2
, ;
;
;
.
.
, , , .
.
, .
( ) .
.
.

5. ------------------------------------------------------------------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/3
( ) . .
.
, ,
.
, ,
,
.
. ,
,
.
. ,
. ,
, , ,
.
. ,
, .
,
.
.
, .
.
.
,
.
, ,
. A
: , , ,
. ,
, ( , ).
.

6. ------------------------------------------------------------------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/4
15
.
« » .
(Filippo Brunelleschi,1377-1446) (Leon Battista Alberti, 1404-
1472).
(1404-1472)
, ,
. ,
.
«
» (1467-1468) (Paolo Uccello, 1397-1475)
.
.
. , ;
.
.
3
( ,
) 3
. .
.
.

7. ------------------------------------------------------------------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/5
.
‘‘ ” . ( 1497).
Santa Maria Delle
Grazie .
.
( ) ( )
.
" " ,
, ,
,
( ) .
.
.
1. ’, 36 – - - 2000
2. , .
3. Alison Cole , , , -
.
4. . 218, 220, , P.J. Davis, R. Hersh,

8. 116 (2020) .4/6
… STIJL
==================================================== ,
Josef Alberts, Wassily Kandinsky, Piet Mondrian
. . . Piet Mondrian ,
(1921 – 1925), Max Bill, ,
, .
Piet
Mondrian Theo van Doesbourg, ,
.
,
.
.
« »: « ,
,
’ , …
» [1].
:
« ,
, ,
» [2]. « » : «
’ .
» [3]
,
, , , , .
(1917-1931)
– De Stijl ( – ) 1917 – 1920
. ,
, « » .
Stijl « »
. ,
.
( ). .
, ,
( , , , ).
.[7] [8] [9] [10].
Pieter Cornelis Mondriaan (Piet Mondriaan) (1872 – 1944)
: «
.
. Schoenmaekers
Mondriaan .

9. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- … STIJL -------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/7
Theo van Doesburg (1883 – 1931)
.
1917 1928 De Stijl
.
Mondriaan
De Stijl [4] [5] [6] [7]
[8].
… Stijl
1
, «Composition in Red Blue and Yellow» (1930)
Piet Mondrian, =5cm 24 2
cm ,
=1,7cm .
0,1cm .
Composition in Red Blue and Yellow 1930 Composition no iii 600x600
2
«Composition no iii» Piet Mondriaan 600mm.
49 2
cm , =3,9cm =4cm.
0,1cm ,
.
;
3
1 Theo van Doesburg “Arithmetic Composition” (1929), (
)
( 90 ) = 4 2 . ) .
)
=
1
3
, .

10. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- … STIJL -------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/8
Arithmetic Composition (1929) Counter Composition (1925)
4
Theo van Doesburg “Counter Composition” (1925)
, 10, =2 ( 90 ) .
.
500mm,
’ .
[1] , 51 c-d
[2] . , 1448 17
[3] , 1414a
[4] https://el.wikipedia.org/wiki/
[5] (De Stijl) – Art Magazine,
– 11-9-2013
[6] https://adelaideandothersadstories.wordpress.com/2014/10/13 - -destijl-
/
[7] https://www.youtube.com/watch?v=nMI7esY3p04 Art Aspects De Stijl
[8] , ,
« »
1
. 24 5
24
5
=4,8cm
= =1,7cm = + + =4,8+0,1+1,7=6,6
6,6cm
= 2 2
(6,6) 43,56cm

11. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- … STIJL -------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/9
2
( )= =3,9 4=15,6 2
cm .
49 2
cm 7cm.
= =3,9. =7-0,1-3,9=3cm
,
4 cm.
3 4=12 2
cm .
=7-4-0,1=2,9cm ( )=3 2,9=8,7 2
cm .
600mm=60cm
60 2
=3600 2
cm .
.
.
3600
49 12
x
3600 12=49x 2
881,6x cm
3
= = 4 2 :
2
= 2
+ 2
, 2 2
(4 2) (4 2) 32+32=64.
( )= 2
=64 . . (
, = 64 8 ).
, 4
2
4 16 , 2 4
1 1.
64+16+4+1=85.
=
1
3
=3 =3 4 2 12 2
2
(12 2) 288. 288 85= 203 . .
4
10 10²=100 . .
( )=( )+( ) ( )= 2 10 =20.
=x.
. . 2 2 2
100=2x
2 100
50
2
x ( )= 21 50
25
2 2
x .
( )=20+25=55 . .
500mm=50cm 50²=2500 2
cm .
.
.
2500
100 55
2500 55=100
=
137500
1375
100
2
cm (
50 25 2x 25 2 =5 2 )

12. 116 (2020) .4/10
Pierce-
1) = 8 = 8.
.
) , .
) ,
.
) ( , )
( , )
: ) 9, ) =80, = + , 80=9 8+8 ) 720, 1
2) )
1 1 4 1
1 2 1
2 2 3 3
A
)
2 3 3 2 4 3
1 1
3 5 7 3 5 5
)
8
9
8
15
, 3 5 .
: )
8
9
, )
8
15
, )
3)
1 1 1 3 1 1 3
: :
3 2 6 4 3 6 12
,
3 2 5 6 30 7
1 12
4 3 6 5 24 4
7 1
3 2
4 9
3 5 3
: 1
2 4 4
.
) .
) .
) 2 :
: ) 8 , 2 , )
1
8
, )
15
8
4) .
)
.
)
.
)
.
)

13. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/11
.
: ) =28 , = 35 , ) =28 , = 35 , ) = 117 , = 63 ,
) =27 ,
5) 3 4 x
Ny. . ,
, , , , .
: 20 , 20 , 70 , 20 , 90 , 160
6)
50m 80m.
2
5m.
) .
)
.
)
;
) (80m)
10%
;
: ) 4000 2
m , ) 3375 2
m , ) 15.625% , ) 45m
7) ,
x 127°.

14. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/12
) , .
) 11
6,5 ,
.
) . ;
.
: ) = 127°, = 53°, = 53°, ) = 5 , )
.
8) ( , ) .
)
)
)
)
) .
: ) =500
, =500
, ) = 800
, =500
,
=500
, )
, ) 2
1) .
) .
) .
)
.
)
.
180 40
70
2
) = 35o
.
=75 . =180 -75 =105 , .
x=35o
. x=y=35o
,
.
) =75 .
2) 1 // 2 . z
2 .

15. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/13
ˆ 40 , ˆ z 65 x y :
) N ˆ ˆ , .
) N ˆ , ˆ ˆ , .
) N z
ˆ .
) ˆ 40 ˆ ˆ 50
.
) ˆ 50 , ˆ 65 ˆ z ˆ 65
.
) ˆ ˆ .
ˆˆ180 65 , = ˆ =65 z ˆ .
3) ) :
2 5 5 21 5 8 16
:
3 2 6 10 12 9 15
) :
3 15 6 7 2 5
1
4 12 5 4 3 6
)
2016
3 1
)
2 5 5 21 5 8 16
:
3 2 6 10 12 9 15
4 15 1 7 5 8 15
6 6 2 2 12 9 16
11 7 5 1 5
6 4 12 3 2
11 21 5 5
6 12 12 6

16. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/14
11 16 5
6 12 6
11 8 5
6 6 6
14 7
6 3
)
3 15 6 7 2 5
1
4 12 5 4 3 6
3 4 3 1 7 4 5
4 4 2 1 4 6 6
1 6 7 9
4 4 4 6
1 1 9 3
4 4 6 2
)
7
3 1 1
3
2
2 7
3 3
14
9
4)
3
5
48
.
) ;
) 120 30
, :
i. ;
ii.
30 ;
)
3
5
2
5
.
1
5
24 ,
5
5
120.
120 120 48 72 .
) 120 30 150 72 78 .
i)
72
100% 48%
150
.
ii)
30 1 25
25%
120 4 100
.
5)
10%
.
.

17. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/15
) .
) 600
, .
) 1,62 €
35% ,
.
) 120 369,36 €
.
:
) 10% ,
90% .
3 ,
.
90%
=30%
3
2·30%=60%
60% .
)
2·600=1.200 .
, 30% 600 , 10%
200 .
600+1200+200=2000 .
) x€ 100%
1,62€ 135%
1,62 1,62
x= = =1,2
135% 1,35
€
) 120 1,62 €
194,4 € .
369,36-194,4=174,96€
194,4 € 100% 174,96 €
174,96
100%=0,9 100%=90%
194,4
6)
1
12
,
1
3
,
1
6
,
1
15
25% . , 3120€ .
) .
) ;
) x :
1
12 12
x
x
1
3 3
x
x

18. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/16
1
6 6
x
x
1
15 15
x
x
25 1
25% x
100 4 4
x
x x
, 3120
12 3 6 15 4
x x x x x
x .
. . .(1,3,4,6,12,15)=60,
5 20 10 4 15 60
3120
60 60 60 60 60 60
x x x x x x
,
6
3120
60
x
, 3120
10
x
, 10 3120x , 31200x €.
31200€.
)
.
3120€ 31200€
y€ 100€
31200 3120 100y ,
3120 100
31200
y , 10y .
, 10% .
7) cm . H
1
3
,
1
4
10cm.
)
.
)
.
) .
)
1
4 4
1
3 3
.
) ,
, 10
4 3
. . . .(1,3,4)=12,
3 4 12
10
12 12 12
,
12 3 4
10
12 12 12
,
5
10
12
, 24cm.
) i)
24 24
6
4 4
cm
cm, 6cm

19. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/17
24 24
8
3 3
cm
cm, 8cm.
8) ,
50 ,
10 ’
x
x 10 . x,
,
.
10o
x
.
180 50 , x ,
10o
x 50 10 180o o
x x ,
2 140o
x , 70o
x . 10o
x ,
70 10o
, 60o
. x ,
70 .
9) 640 . ,
3
4
20%
.
5
8
.
)
;
) ;
) ;
)
0,50€ 1,10€,
;
) 640 ·
3
4
= 480 640·
20
100
= 128
.
) 480 + 128 = 608 , 640 – 608 = 32
32 ·
5
8
= 20
) 32 - 20 = 12
) 608·0,5 = 304 € .
20 . 1,1 = 22 € 304 + 22 = 326 €

20. 116 (2020) .4/18
Pierce-
1
)
15 5 2 3
4 2 4 4
x x x
.
)
1 23 3( ) 7 7
3 1
3 2 2 4 4
x x
2x .
) 5 2 2
7 ( 85) 9
( 3) 2 3( 3) 1
.
( : . , . , . , , )
2
52 5 16 26 94 36 32 98 72 .
) , .
) 7 , 4 3 2
.
( : . 7 , 4, 3 2 , . )
3
3 ,
. 27 . 62 .
) .
) 5cm,
.
)
6 ?
( . . 7 , 17 , . 40 125,6cm2
, . )
4
. 6cm 8cm ,
)
)
) ( ) .
) .

21. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/19
( . . =10cm, . =4,8cm, . , . , , )
5
// . ,
^
0
30 , 8 3 cm,
2 cm ( ) 48 3 cm2
, :
) 4 3 , 12 ,
.
) 4 .
)
.
( . . , . , . )
6
.
=12,56cm2
= = 2 cm, :
) T .
) .
) .
( 3,14)

22. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/20
( . . , , . , . )
7
,
5 2cm
.
) 5cm
A .
) 5 3cm 5cm ,
.
) ,
.
( . . , , . , . )
8
(5 ,5 5) ( 3,2 10) ,
'x x
.
) .
) (4,4) .
i. .
ii.
(5,0) .
) 5y x , :
i. 'y y .
ii. .
( . . , . i. ii. , . i. ii. )
9
( , ) 6cm 6 3cm,
AB 2x 40 . ˆ 2x 10 .

23. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/21
10
( ):
1
y x
2
, ,
2
.
) ( ) .
) ( )
, :
x
2
3
4
y 2
1
3
) ( ) ( )
(2,6).
i. ( ) .
ii. ( ) y'y x'x .
( . . , . , , , , . i. ii. )
1
)
x x
1
2 3
x 3.
) x 7 x 2 5(x ) 4
3
;
) ˆA B 30 .
)
.
)
, = 6 cm, :
i. .
ii.
.
( . . , , . i. , ii.
)

24. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/22
) x = 3 :
3 3 3 3
1 6 6 6 1 3(3 ) 2(3 ) 6
2 3 2 3
9 3 6 2 6 3 2 6 6 9 9 9
) 9 :
7 3 2 5( ) 4 7 3 2 5 5 4
3 5 5 2 7 4 2 3 3 ( 2) 3 3
x x x x x x
x x x x x x
0.x = 0,
2 0 2
3 3
3 3 0 3 3 1
3 3
2
, .
126 . 5
. 20 . 2
. 220
, .
:
x .
125 x ( ).
5x .
20 .
2(125 )x .
,
, 220 .
5 2(125 ) 20 220x x .
:
5 2(125 ) 20 220 5 250 2 20 220
5 2 220 250 20 7 490 70
x x x x
x x x x
70 125-70=55
.
3
=6 cm = 8 cm.
= .
) .
) .
) , :

25. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/23
2 2 2
2 2 2 2
, :
6 8 100 10
, .
: 26 8
24
2 2
E cm .
:
10
, 24 24 5 4,8
2 2
E cm
) :
2
E .
2 9,6cm . ,
B:
2 2 2
2 2 2 2 2
, :
6 4,8 36 23,04 12,96 3,6
: 29,6 3,6
17,28
2 2
E cm
4
ˆ ˆ ˆˆ ˆ 180 , 37 90 180 , 53
) ˆ ˆ 180 180 74 106
) : 2 2 2
. .
2 2 2 2
6 8 100. 10 . 5
2
10
2
) 2 2 5 10L
) 2 2
5 25
5
1
1
y x
2
)
3
1,
2
.
6cm , 8cm ,
74 .
) .
) ˆ .
) 5cm .
) .
) .
)
180ˆ 90
2 2
74ˆ 37
2 2
.

26. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/24
) , 4,0
.
) , 2 1
. 2 .
) 1
2 .
)
.
)
3
1,
2
A 1x
3
2
y .
3 1 3 1 4
1 2
2 2 2 2 2
. 2 . 1
1
2
2
y x .
) 4x
1
4 2 2 2 0
2
y .
1 .
) 2 y x .
1 ,
1
2
y x .
) 1 , ,
.
2
. .
. . 2x ,
1
2
y x ,
1y . (2,1) .
)
'x x ,
.
:
3
4
2 3
2 2
OB A
E .
6
800
4%
30000 .

27. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/25
) x ,
y x .
) A 3000 ,
.
) ,
1000 ;
)
2% .
) y x .
) 800
x 4% x .
4
800
100
y x , , 800 0,04y x .
) 3000x , :
800 0,04 3000 800 120 920y .
) 1000 , 1000y ,
:
1000 800 0,04 0,04 200 5000x x x .
5000
1000 .
) y 2% x
2
100
y x , 0,02y x .
:
0,02 800 0,04 0,02 0,04 800 0,02 800 40000x x x x x x
30000 .
2%
.
)
800 0,04y x , -
0,800 'y y .
. . .
( ) 5000x 1000y
5000,1000 .

28. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/26
7
2 32 2 50 18 ,
75 12
27 48
27 63 12 28
) , .
) cm
cm . .
) cm
, :
i.
ii.
iii.
)
.
2 32 2 50 18 2 2 16 2 2 25 2 9 8 2 10 2 3 2 2
75 12 3 25 3 4 5 3 2 3 3 3
3
27 48 3 9 3 16 3 3 4 3 3
2 2
27 63 28 12 3 9 7 9 7 4 3 4 3 3 3 7 2 7 2 3
6 3 7 6 3 6 7 6 3 7 18 42 24
) x .
:
2
2 2 2 2
2 3 , 9 2 7 7x x x x
7cm .
) i. .
, 24cm.
2 2 24 . 2
2 2 24 2 2 2 24 6 24 4 .
4cm 8cm.
ii. 2
8 4 32cm
iii. ,
:
2 2 2
2 2 2
8 4 64 16 80
80 16 5 4 5cm

29. 116 (2020) .4/27
.
==============================================================
1) 4 .
1 32
+ 42
=52
2 52
+ 122
=132
3 72
+ 242
=252
4 92
+ 402
=412
5
6
7
7
.
2) 2009 .
7 .
200 300;
3) , + =10.
1 1
1+ 1+ .
, ;
: :
«
». 12
(6, 6) , 36.
4) 5
5,
.
( )
, ,
.

30. -------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/28
5)
15 9.
13
;
115
1) , x .
( )=3( )
+( -x) x
3
2 2
x=
2
,
.
2)
.
2 38. 38 7
31 24.
3) x
x
0,15
3
x
0,20
4
5x
0,24
12
.
x
0,15
3
+
x
0,20
4
+
5x
0,24
12
=3.200
x=16.000€.
4) 75 1×3×5×5.
1, 3, 5, 5
. 1+3+5+5=14.
5) :
3
2121212121210
1121212121211
=
3 707070707070
3 373737373737
.
70 37
:
70 10101010101 70
37 10101010101 37

31. 116 (2020) .4/29
Pierce-
1. :
2 22
2 22
x x 6 7x 14 x 3
A(x)
x 3x 10 2x 10 x 2
2 22
22 2
3x 2x 3 4 x 3
(x)
16 x 2 x 4x 9
.
i. (x)=1 P(x-1) 2
Q(x)= -x +3x-1
x 3
A(x)
x 2
2
2
3 3x 4x 9
(x)
x 8x 17
.
ii. 2
A(x ) A( x). iii.
: ii. x 0 x 1 iii. x=1 ( )
2. 2
P(x) 3x 4x
i. Q(-x) .
ii P(x-1)+2Q(-x)=-59 .
iii. 2
P x 1 2x 22
P x x 4x 50
.
: i. 2
P x 1 3x 10x 7 2
Q x x 3x 1
ii. x 8 ( ) iii.
3 x 1
2 x 5
3. i.
=
2
2 3
( 2 1) 2 2 1 1 2 2 1 3 ( 2 1) ( 6 2)
3 2
12 60 30 45
B
120 1353
ii. x, x< 0 , x + = x =
iii. : 0 0
90 180
x
.
: i. A 1.. B 6 ii. x,y 2,3 x,y 2, 3 .
iii.
5
3
5
3
2 5
5

32. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/30
4. i. , : 2
x x 3 0
2
2 -1.
ii. 0ˆ 30 , 4
, , = 4 + .
, .
: i. 0 2 ii. =8 0
45 =8 2
5. i. , :
0 0 2 0 0 2
( 150 30 ) ( 135 45 ) 2 2
(2 3 1) ( 3 2)
ii. ,
10 4
4x - 4 - 5 =0 ) x + 4 -5 = 0
: i. 3 20 ii.
3
A 2,
4
6. :
4 2
P(x) x 5x 4 , 3 2
Q(x) x 3x 2x 3
R(x) x 7x 6
i. :
3 2 2
(x 3) (x 1) 15(x 1) 8(x 1)(x 2) 2(7x 15) P(x)
ii. P(x) = 0
Q(x) = 0 Q(x) = 0
R(x) = 0.
iii. :
P(x)
Q(x) R(x)
: i. ii. P(x) = 0 0
Q(x) = 0 3.
7. , ,
, = 4.
, = 3.
i. .
ii.
.
iii. .
:
ii.
2
3
iii.
4
9

33. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/31
8.
.
i. x y.
ii.
.
iii.
2
( ) 17,5cm , o
.
( : 80 0,985, 80 0,174
80 5,671)
:
i. x 50 y 5,5cm
ii. 0,985 0,174 5,671
iii. AB 1,2cm
9.
2 2
A(x) 5x 2 2 2 5x x 3 3 x
2 2
(x) 4 2 x 9 2x 1 .
i. .
ii. A(x) 2 (x).
:
i.
2 2
A(x) 5x 2 2 2 5x x 3 3 x
2 2
5x 2 2 5x 2 x 3 x 3
2
5x 2 x 3
=
2
5x 2 x 3
=
2
4x 1
2 2
(x) 4 2 x 9 2x 1
2 2
2 2 x 3 2x 1 2 2 x 3 2x 1 2 2 x 3 2x 1
4 2x 6x 3 4 2x 6x 3 8x 7 4x 1
ii.
2
A(x)=2 (x) 4x 1 2 8x 7 4x 1
2
4x 1 2 8x 7 4x 1 0 4x 1 4x 1 16x 14 0
1
4x 1 20x 13 0 x
4
13
x
20
10. 3x 2y 6 0 , x x ( , 0)
y y (0, ). : 2
P(x) x x 2
2
Q(x) x 2 x 3 P(x) Q(x) .
i. .
ii. .

34. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/32
iii. P(x)= 0 Q(x) = 0.
iv.
P(x)
Q(x)
:
i. 3x – 2y + 6 = 0 x x y = 0, y = 0
: 3x 2 0 6 0
3x 6 0
3x 6
x 2.
x x (2, 0). : = 2.
3x – 2y + 6 = 0 y y x = 0, x = 0
: 3 0 2 y 6 0
2 y 6
y 3 .
y y (2, -3). : = -3.
ii. 2
P(x) x x 2 2, : P(2) 0
: 2
(2) 2 2 0
4 2 2 0
2 1 0 ( 2)
2 1
2
Q(x) x 2 x 3 -3, : Q( 3) 0
: 2
( 3) 2 ( 3) 3 0
9 6 3 0
3 2 1 0 ( 3)
3 2 1
:
2 1
3 2 1
.
:
2 1
3 2 1
2:
4 2 2
3 2 1
:
0 3 , 3. 3
: 2 3 1
6 1, : 5 .
= 3 = 5 P(x) Q(x) : 2
P(x) 3x 5x 2
2
Q(x) 3x 10x 3.
iii. : 2
3x 5x 2 0 2
3x 10x 3 0 .
.

35. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/33
:
2
3x 5x 2 0 2
5 4 ( 3) 2 25 24 49 0
, :
1,2
5 49 5 7
x
2 ( 3) 6
: 1
5 7 2 1
x
6 6 3
2
5 7 12
x 2
6 6
: 2
3x 10x 3 0
2
10 4 3 3 100 36 64 0
, :
1,2
10 64 10 8
x
2 3 6
: 1
10 8 2 1
x
6 6 3
2
10 8 18
x 3
6 6
iv. :
P(x)
Q(x)
.
:
2
P(x) 3x 5x 2 2
Q(x) 3x 10x 3.
P(x) :
1
1
x
3
2x 2 .
: 2 1
P(x) 3x 5x 2 3 x x 2
3
Q(x) : 1
1
x
3
2x 3.
:
1
Q(x) 3 x (x 3)
3
:
1
3 x x 2
P(x) (x 2) x 23
1Q(x) x 3 x 3
3 x (x 3)
3
11. 2
. 3
,
. .
:
x , 2
, 2x + 2.

36. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/34
= , : 2
x (2x 2) 2x 2x
3 , x + 3
, (2x + 2) :2 = x + 1.
:
2 2
(x 3)(x 1) x x 3x 3 x 4x 3
, , :
2 2
2x 2x x 4x 3
: 2 2
2x 2x x 4x 3
2 2
2x 2x x 4x 3 0
2
x 2x 3 0
2
x 3x x 3 0
2
x x 3x 3 0
x(x 1) 3(x 1) 0
(x 1)(x 3) 0
x 1 0 x 3 0 : x = 1 x = 3
x ;
x = -1 x .
x = 3, : = 3 . = 8 .
= 24 . .
: = 6 . = 4 .
= 24 . .
12. i. ( ) : x+y = 1, 0 0
0 90 (0,2)
= .
ii. 0 0
0 90 2
2x 5x 3 0
0
30 .
iii.
2 2
A .
:
i. x 0 y 2 2 1
1
2
0 0
0 90 60 .
ii. 2
2x 5x 3 0 :
=49 1
5 7 1
x
4 2
2
5 7
x 3
4
.
, 3
1
2
30
0 0
0 90 .
iii. :
22
2 2
1 3
2 2 1 1 1 4
A 2
3 1 2 23 1 3 1 3 1
4 4 42 2 2 2 2 2

37. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/35
13. , 5cm
.
ˆ
ˆ ,
.
, .
i.
.
ii. = 6cm,
.
iii.
.
:
i. :
ˆ ˆ 90 , ˆ ˆ
,
ˆˆ , ,
= , .
, (
), ,
.
, = , = ˆ ˆ .
ii. , :
2 2 2 2 2 2 2 2
6 10 100 36 64 8cm .
, = , = 8cm.
iii. :
ˆ ˆ 90 , ( ) ,
ˆ ˆ , ( ).
, , .
:
, :
10 8 6 8 48 24
6 10 10 5
.

38. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/36
14.
1
3
.
.
, .
i. 2
.
ii. .
iii. 2
4,5cm , :
2 2 2 2
5 95 175 85 .
:
i. // :
( 1).
// :
( 2).
1 2
2
ii. :
ˆ ˆ ( )
ˆ ˆ ( // )
, , .
:
2
23
3
2
3
.
iii.
2
22 4
9 18 2cm
3 4,5 9
:
2 2 2 2 2 2 2 2
5 95 175 85 5 180 85 180 5 85
22 2 2 2 2 2 2
5 85 5 85 5 5 85 85 1 1 2
, 2 2 2 2
5 95 175 85 .

39. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/37
15. .
.
.
i. = .
ii. .
iii.
.
:
i. .
:
= ( )
ˆ ˆ ( )
.
= , =
= .
, = + = + = .
ii. ,
= . = i = .
.
:
= ( )
= ( i)
, . =
.
iii. .
:
ˆ ˆ ( )
ˆˆ (=90 )
, , .
:
1
2 2
,
2
1 1
2 4

40. 116 (2020) .4/38
.
==============================================================
1) :
=(22
+42
+62
+82
+ … +1002
) (12
+32
+52
+72
+... +992
)
2) x 3 :
2 15
x =4
x
.
:
x·(x+1)·(x+2)·(x+3)
3) x : x2
-3x+1=0 :
x6
18x3
.
4)
.
.
5) 4
. 16 . 25 . ; ( .
¨ ¨)

41. -------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/39
115
1) .
6
1
6
1
=
1 1
3
6 2
.
= =
2
.
=
3
2
= 3
2)
2000.
2000 .
2000.
3)
2
( +2)
-3
2
( +2) ( -3)+7 +4 7 +4 7( -3)+25 25
+ + +7+
-3 -3 -3 -3 -3
:
,
25
-3
. -3 25, 1 5 25
4 8 28.
4) , 8
. .
, , + + =8. , ,
3 2
( ). 2.
1
3 ( ) 2
3 1 8 2 2 .
1
2 2 2 2 2
2
.
5)
8 1.
(2 +1)2
=4 2
+4 +1=4 ( +1)+1. ( +1)
2 2 +1 4·2 +1=8 +1.

42. 116 (2020) .4/40
====================================================== :
115
62. , , :
2 2 2 2 2 2
3 , 3 .
.
, 2002
, :
0
2
2 3 2 3 (1)
, :
2 2
2 3 2 3 . (2)
, (2) :
2 3 (3)
(1) (3) :
3 2
3 4, .
2 3
, : 1.
39. ,
0 , .
, 2014
0, 10 .
10
. :
10 , 0 10 , 0.
10 10, 1,2 5 ,
10
4, 7 9, 3, 6 8.
, 4, 7 9
4 7 9 252 .

43. ------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/41
43. ,
, 2 .
0 0ˆ ˆ45 60 .
ˆ .
, 2014
ˆ ,
:
0 0 0ˆ ˆˆ 60 45 15 .
2
, , . 0ˆ 30 ,
:
2
.
0
060ˆ 30
2
.
ˆ ,
0 0 0ˆ ˆ ˆ 30 15 15 ,
.
, ,
0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ45 15 30 .
: , .
: 0ˆ 45 , 0 0 0ˆ ˆ ˆ 45 30 75 .
63. , , ,
2 2 2
8 , 8 , 8 ,
.
44. .
, , . :
.
40. n
12n 119 75n 539 .

44. 116 (2020) .4/42
=====================================================================
(
;)
.
« » :
(
).
. – ,
– 20 Km/h .
2 . – 1000
Km, .
:
u Km/h –
.
, ,
(2 ) 2u Km. :

45. --------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/43
u Km/h ,
u+20 Km/h.
, ,
(2 )
– Km. :
.
:
( _ _ )2
+ ( _ _ )2
=
( _ _ )2
= ( ).
, 343 Km/h 343+20 = 363 Km/h.
« » :
(
). .
– , –
10 .
4 . – 256
, .
: 1 = 1852 .
.
:
« ».

46. 116 (2020) .4/44
- .
.
: – MSc============================================
-
- (
),
19 .
“ ” –
,
(
)
, . (384 - 322 . .).
.
,
.
.
:
.
.
, .
,
.
,
. ,
.
, 0 1. ,
, 0 ( )
1 ( ). .
, , ,
.
:
1022 . ( 1)
100 10. ( 0)
-1 x2
+ 1=0. ( 0)
. ( 1)
. ( 1)
. ( 0)
, :
200
C.
.
.

47. -------------------------------------------------------------------- - . -----------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/45
1000 €.
, - ,
0 1, .
, ,
. . . 7 . .,
7.30 . ., . . .
– .
. .
. « ’ ; ; ’ ;»
1955.
,
.
1965, Zadeh - –
,
. To
( 1 0)
.
,
– . . .
1 .
" Zadeh
, , 0.8
, 0.6
, 0.9 . . .
0 .
,
.
1 .
={ 9}.
- -
9. ={6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
9.
1 0 :
1 9
0.6 8 10
0.3 7 11
0 6 12
, : =
1,0 0,6 0,6 0,3 0,3 0,0 0,0
9 8 10 7 11 6 12
.
. +
. (
) .

48. -------------------------------------------------------------------- - . -----------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/46
.
:
i. . . 3 14,
« 9» 0.
ii. = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16 17, 18, 19, 20} ,
1 9 .
2 . Y={ , , , , , }
, , , ,
. = {
}.
, -
: =
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,0
: Y ,
.
.
1
(fuzzy logic) ,
,
,
.
.
,
1
: https://christosziogas.mysch.gr/wp-content/uploads/2020/01/ - - -
.pdf

49. -------------------------------------------------------------------- - . -----------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/47
.
;
.
:
,
,
,
. 70%
.
, , .
, , , , .
, .
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
ABS,.
,
.
. .
, .
, .
.
, .
(
)
, .

50. 116 (2020) .4/48
.
9
: 360 =3+6+0=9
: 180 =1+8+0=9
: 90 =9+0=9
: 45 =4+5=9
: 22,5 =2+2+5=9
: 11,25 =1+1+2+5=9
: 5,625 =5+6+2+5=18=1+8=9
: 2,8125 =2+8+1+2+5=18=1+8=9
: 1,40625 =1+4+0+6+2+5=18=1+8=9
…………… ……………
;
;
;
4
. 7 .
4 10
.
1:120000
13/17.
.
200€
10€. 20€ 10€.
;
100
100 , 3 , 2
1 . 1/5
;
.
.
.
;

51. ---------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------
116 (2020) .4/49
3 2 7632. ;
( , , , , 7632 1 9)
;
;
6
6 7, 11, 13, 1001;
8 ( ).
2020
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
.115
3
3 6
2/3 6 1/3 =18.
« » .
4 1 2. 1
4 . 2
8. 4x(1000x2 + 100 + 10 + 8) = 1000x8 + 100 + 10 +2 400 + 40 + 30=
= 100 + 10 1 + 13 = 2 2 <20 =1 =7.
2178 x 4 = 8712.
,
: 10 + = 7 ( + ), = 2 . = 1, 2, 3 4,
= 2, 4, 6 8. 0 2 1 , 4 2 , 6 3 84,
.
2 €, 1 € 0,50 €, :
100 € = 2 + + 0,50 + + = 100, .
, .
= 100 ,
= 100-1,50 .
, , = 40, = 40 = 20.

52. Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα
fax: 210 3641025
www.hms.gr e-mail: info@hms.gr
τηλ.: 210 3616532, 210 3617784
Κεντρική Διάθεση: Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα
fax: 210 3641025
www.hms.gr e-mail: info@hms.gr
τηλ.: 210 3616532, 210 3617784
Κεντρική Διάθεση:
της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείαςτης Ελληνικής Μαθηματικής ΕταιρείαςΕκδόσεις
Τιμή τεύχους: 3€
Τιμή 12€βιβλίου: Τιμή 12€βιβλίου: Τιμή 12€βιβλίου:
Τιμή τεύχους: 3,5€Τιμή τεύχους: 3€
Τιμή 18€βιβλίου: Τιμή 15€βιβλίου: Τιμή 20€βιβλίου:
Τιμή βιβλίου: 30€ Τιμή βιβλίου: 20€ Τιμή βιβλίου: 25€
ΠεριοδικάΔιαγωνισμοίΟλυμπιάδεςΒιβλία
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100