1. CÁLCULO DE PROBABILIDADES ÍNDICE UNIDADE 5

3. 1. Introdución histórica: O concepto de probabilidade xorde asociado ós xogos de azar. Século XVI: Cardano comenta intuitivamente o concepto de equiprobabilidade (“os resultados de cada cara no lanzamento dun dado son equiprobables”).

4. 1. Introdución histórica Galileo Galilei resolve problemas asociados ó xogo dos dados (“ no lanzamento simultáneo de tres dados , que é máis probable, obter unha suma de puntos igual a 9 ou igual a 10?”).

5. 1. Introdución histórica Século XVII: Pascal e Fermat (a través da correspondencia mantida entre eles ) abordan distintos problemas relacionados cos xogos de azar e formulados polo cabaleiro de Meré (“como debera repartirse o diñeiro das apostas depositado na mesa, se os xogadores se viran obrigados a interromper a partida?”).

6. 1. Introdución histórica Pascal Fermat

7. 1. Introdución histórica Jacob Bernoulli introduce a idea da probabilidade a partir da lei de estabilidade das frecuencias.

8. 1. Introdución histórica Século XVIII: Laplace afondou no problema da asignación de probabilidades.

9. 1. Introdución histórica Século XX: Kolmogorov axiomatizou o concepto intuitivo de probabilidade.

10. 2. Experimentos aleatorios. Espazo mostral. Considera os seguintes experimentos e contesta a esta pregunta: O resultado é sempre o mesmo se se realiza en similares circunstancias, ou pola contra, aínda sabendo os resultados posibles, en circunstancias similares, non podemos dar de antemán un resultado concreto?

11. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral Extraer unha carta da baralla española.

12. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral Lanzar dous dados e anotar a suma dos puntos das súas caras superiores. 8

13. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral Lanzar unha moeda e anotar o resultado que apareza.

14. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral Abrir unha guía telefónica ó chou e anotar o nome e nº de teléfono que apareza de primeiro na páxina da esquerda.

15. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral Guindar unha pedra ó baleiro dende a pirámide de Giza e anotar a súa aceleración .

16. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral Medir a superficie dun círculo de raio 3

17. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral Quitar o freo de man dun coche nunha costa empinada.

18. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral Abrir as comportas dun encoro cheo.

19. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral Encher un globo aerostático con aire quente e observar o que acontece.

20. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral Como podes ver os experimentos: Guindar unha pedra ó baleiro dende a pirámide de Giza e anotar a súa aceleración. Medir a superficie dun círculo de radio 3 Quitar o freo de man dun coche nunha costa empinada. Abrir as comportas dun encoro cheo. Encher un globo aerostático con aire quente e observar o que acontece. Corresponden a experimentos nos que sempre obtemos o mesmo resultado en similares circunstancias. Chámanse experimentos deterministas .

21. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral Por outra banda, nos experimentos: Extraer unha carta da baralla española. Lanzar dous dados e anotar a suma dos puntos das súas caras superiores. Lanzar unha moeda e anotar o resultado que apareza. Abrir unha guía telefónica ó chou e anotar o nome e nº de teléfono que apareza de primeiro na páxina da esquerda. Pese a coñecer os seus posibles resultados, en circunstancias similares, somos incapaces de decidir de antemán o resultado concreto. Chámanse experimentos aleatorios.

22. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral Espazo mostral. Chamaremos espazo mostral, E, dun experimento aleatorio ó conxunto de tódolos resultados posibles do experimento. Cada un dos elementos que forman o espazo mostral chámase punto mostral.

24. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral 3. No experimento aleatorio “Lanzar dúas moedas ó aire e anotar os resultados” podemos recorrer a un diagrama de árbore para atopar o seu espazo mostral: 2ª tirada 1º tirada C X C X C X CC CX XC XX

25. 2. Experimento aleatorio. Espazo mostral 4. No experimento aleatorio “lanzar un dado e anotar o nº de puntos da cara superior” o espazo mostral sería: E={1, 2, 3, 4, 5, 6} e cada resultado é un punto mostral. 5. No experimento aleatorio “lanzar dous dados e anotar a suma dos puntos das caras superiores” hai que ter en conta que a suma menor que poderiamos obter é 1+1=2 e a máis elevada 6+6=12, polo que o espazo mostral sería: E={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} e cada posible resultado é un punto mostral.

26. 3. Suceso aleatorio. Chámase suceso dun experimento aleatorio a cada un dos subconxuntos do espazo mostral. O conxunto de tódolos sucesos dun experimento chámase espazo de sucesos e desígnase por S. Nota: Suceso é algo que pode acontecer ó realizar un experimento aleatorio

27. 3. Suceso aleatorio Exemplos: No experimento aleatorio “lanzar un dado e anotar o resultado da cara superior” estudiaremos algúns sucesos como: Suceso “ saír par ” : este suceso acontece se ó realizar o experimento sacamos un 2, un 4 ou un 6; por este motivo dito suceso tamén se pode escribir como o conxunto {2, 4, 6} Suceso “ saír impar ”: este suceso acontece se ó realizar o experimento sacamos un 1, un 3 ou un 5; por este motivo dito suceso tamén se pode escribir como o conxunto {1, 3, 5}

28. 3. Suceso aleatorio Suceso “ saír múltiplo de tres ”: este suceso acontece se ó realizar o experimento sacamos un 3 ou un 6; por este motivo dito suceso tamén se pode escribir como o conxunto {3, 6} Suceso “ saír múltiplo de cinco ”: este suceso acontece se ó realizar o experimento sacamos un 5; por este motivo dito suceso tamén se pode escribir como o conxunto {5} Suceso “ saír número primo ”: este suceso acontece se ó realizar o experimento sacamos un 2, un 3 ou un 5; por este motivo dito suceso tamén se pode escribir como o conxunto {2, 3, 5}

29. 3. Suceso aleatorio Se o espazo mostral E ten n elementos, o espazo de sucesos S ten 2 n elementos. Exemplo: No experimento aleatorio “lanzar unha moeda e anotar o resultado” o espazo mostral é E={C, X}, e ten 2 elementos; mentras o espazo de sucesos ten 2 2 =4 elementos: { {C}, {X}, {C,X}, Ø } S Ø “ non saír nin cara nin cruz” {C,X} “ saír cara ou cruz” {X} “ saír cruz” {C} “ saír cara”

30. 3. Suceso aleatorio Verificación dun suceso. Consideremos o experimento aleatorio “lanzar un dado e anotar o resultado da cara superior” e o suceso “saír un número impar” ({1, 3, 5}). Dicimos que este suceso se verifica se ó efectuares o experimento obtemos de feito como resultado un 1, un 3, ou un 5. Pola contra se obtemos 2, 4, ou 6 diremos que non se verifica. En xeral, diremos que un suceso A se verifica se ó efectuarmos unha proba do experimento aleatorio obtemos como resultado un dos puntos mostrais do suceso A .

31. 4. Distintos tipos de sucesos. Suceso elemental: é un suceso formado por un só punto mostral. Formado por un só resultado. Suceso composto: é aquel que está formado por dous ou máis puntos mostrais. Formado por varios resultados. Suceso certo ou seguro: é aquel que sempre se realiza. Formado por tódolos resultados posibles. É o propio espazo mostral E. Suceso imposible: é aquel que nunca se realiza. Desígnase por Ø.

32. 4. Distintos tipos de sucesos Exemplo: No experimento aleatorio “ Extraer unha carta da baralla española” son sucesos elementais : “ sacar o as de ouros” , “sacar a sota de copas”

33. 4. Distintos tipos de sucesos Son sucesos compostos : “ sacar un as” “sacar ouro”

34. 4. Distintos tipos de sucesos O suceso seguro sería “sacar calquera carta da baralla española” Un suceso imposible sería “sacar un as da baralla inglesa”

35. 4. Distintos tipos de sucesos Sucesos contrarios. Dado un suceso A do espazo de sucesos S, chamamos suceso contrario do suceso A, e desígnase por , a un suceso que se verifica cando non se verifica A e reciprocamente. O suceso contrario ó suceso certo é o suceso imposible, é dicir, Reciprocamente

36. 4. Distintos tipos de sucesos Exemplo: No experimento aleatorio “lanzar un dado e anotar o resultado da cara superior” son contrarios entre outros: Suceso seguro = =E={1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso imposible, D=Ø “ saír 1 ou nº composto” ={1, 4, 6} “ saír nº primo” C={2, 3, 5} “ non saír múltiplo de 3” ={1, 2, 4, 5} “ saír múltiplo de 3” B={3, 6} “ saír impar” ={1,3,5} “ saír par” A={2, 4, 6}

38. 5. Operacións con sucesos Exemplo: Dado o experimento “extraer unha carta da baralla española”. Consideramos os sucesos: A =“saír ouro” B = “saír as” C = “saír rei de copas ou as de espadas”. Interpretar os sucesos :

39. 5. Operacións con sucesos B C A C A B BUC AUC AUB C B A B C={as de espadas} B C=“saír as e , rei de copas ou as de espadas”=“saír as de espadas” A C=Ø A C=“saír ouro e , rei de copas ou as de espadas”=Ø A B={as de ouros} A B=“saír ouro e as”=“saír as de ouros” BUC={as de ouros, as de bastos, as de copas, as de espadas, rei de copas} BUC=“saír as ou rei de copas ou as de espadas”=“saír as ou rei de copas” AUC={as de ouros, 2 de ouros,…, rei de ouros, rei de copas, as de espadas} AUC=“saír ouro ou rei de copas ou as de espadas” AUB={as de ouros, 2 de ouros,…,rei de ouros, as de bastos, as de copas, as de espadas} AUB=“saír ouro ou as” C={rei de copas, as de espadas} C=“saír rei de copas ou as de espadas” B={as de ouros, as de bastos, as de copas, as de espadas} B=“saír as” A={as de ouros, 2 de ouros, 3 de ouros,…,7 de ouros, sota de ouros, cabalo de ouros, rei de ouros} A=“saír ouro”

40. 5. Operacións con sucesos Leis de Morgan: Dados dous sucesos calquera, verifícase:

41. 5. Operacións con sucesos Sucesos incompatibles. Se =Ø entón A e B son sucesos incompatibles . Se ≠Ø entón A e B son sucesos compatibles . Nota : Os sucesos contrarios son sucesos incompatibles

42. 5. Operacións con sucesos Exemplo: No experimento aleatorio “lanzar un dado e anotar o resultado da cara superior” os sucesos: A=“saír múltiplo de 5”={5} B=“saír múltiplo de 3”={3, 6} son incompatibles pois Por outra banda A e o suceso: C=“saír número primo”={2, 3, 5} son compatibles pois “saír múltiplo de 5 e primo”={5}

43. 6. Sistema completo de sucesos Dise que os sucesos constitúen un espazo completo de sucesos para un determinado experimento aleatorio, se verifican: 1) 2) son incompatibles dous a dous. Nota: Dous sucesos contrarios constitúen sempre un sistema completo de sucesos

45. 7. Experimentos compostos. Chamamos experimentos compostos a aqueles que están formados por varios experimentos aleatorios simples encadeados. Chamamos espazo composto ou espazo produto ó espazo mostral dun experimento composto. Nota: Para calcular o espazo mostral dun experimento composto é moi útil empregar diagramas de árbore.

46. 7. Experimento composto Exemplo: Dado o experimento composto “lanzar unha moeda ó aire e, deseguido, lanzar un dado anotando ámbolos dous resultados”, calcular o espazo composto

47. 7. Experimento composto Lanzar moeda C X 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 (C,1) (C,2) (C,3) (C,4) (C,5) (C,6) (X,1) (X,2) (X,3) (X,4) (X,5) (X,6) Lanzar dado Lanzar dado

48. 8. Lei dos grandes números. Idea intuitiva de probabilidade. Jacob Bernoulli(1654-1705) definiu a probabilidade dun suceso mediante a lei dos grandes números que di: “ A frecuencia relativa dun suceso tende a estabilizarse en torno a un número, a medida que o número de probas do experimento medra indefinidamente. A este número chamámolo probabilidade do suceso.”

49. 8. Lei dos grandes números Exemplo: No portal educativo do instituto de estatística de Canarias atopamos este exemplo práctico cunha ruleta

50. 8. Lei dos grandes números Esta definición presenta un gran inconveniente de tipo práctico: para calcular a probabilidade dun suceso é necesario realizar un gran número de probas para obter ese número ó que se aproximan as frecuencias relativas; ademais sempre será un valor aproximado .

51. 9. Definición clásica de probabilidade Pierre Simon Laplace(1749-1827) definiu probabilidade da seguinte maneira: A probabilidade dun suceso A é o cociente entre o número de casos favorables do suceso A e o nº de casos posibles do experimento aleatorio.

52. 9. Definición clásica de probabilidade Os casos posibles son tódolos resultados do experimento aleatorio, é dicir, o nº de elementos do espazo mostral. Os casos favorables son os que compoñen o suceso A. Nota: Para empregar esta fórmula os sucesos elementais deben ser igualmente probables.

53. 9. Definición clásica de probabilidade Exemplo 1: Nun sorteo ordinario da lotería nacional hai 12 series de 100.000 billetes e de cada billete fanse 10 fraccións, os chamados décimos. Chámase premio especial a un premio que se asigna a un só décimo do número que obtivo o primeiro premio.

54. 9. Definición clásica de probabilidade Se compramos un décimo: a. Cal é a probabilidade de obter o primeiro premio?. b. Cal é a probabilidade de obter o premio especial?. c. Cal é a probabilidade de obter o reintegro?.

55. 9. Definición clásica de probabilidade O experimento aleatorio consiste en “extraer ó chou un número entre 100.000” e todos eles teñen as mesmas posibilidades de saír (todos os resultados son equiprobables) polo que podo empregar a regra de Laplace.

56. 9. Definición clásica de probabilidade a. casos favorables=1 (o nº comprado) casos posibles=100.000 (os números sorteados) b. casos favorables=1 (o décimo comprado) casos posibles=12x100.000x10 (12 series de 100000 billetes cada unha e cada billete formado por 10 décimos)

58. 9. Definición clásica de probabilidade Exemplo 2: Para facer unha aposta na lotería primitiva hai que marcar con cruces 6 números no primeiro bloque, onde figuran números do 1 ó 49.

60. 9. Definición clásica de probabilidade O experimento aleatorio consiste na extracción de 6 números entre 49. Os distintos grupos de 6 números que podo obter son igualmente probables , polo que podo empregar a regra de Laplace.

61. 9. Definición clásica de probabilidade Os casos posibles son o total de resultados do experimento aleatorio. Os grupos de seis números obtidos na extracción diferéncianse entre si nos elementos pero non na orde de extracción, e ademais, non se repiten, polo que se trata de combinacións ordinarias ou sen repetición de 49 elementos tomados 6 a 6.

62. 9. Definición clásica de probabilidade a. casos favorables=1 (a aposta feita) b. casos favorables= os grupos de 5 números sen repetir, e sen importar a orde, que podes formar cos 6 números da túa aposta = C 6 5 =

63. 9. Definición clásica de probabilidade c. casos favorables=os grupos de 3 números sen repetir, e sen importar a orde, que podes formar cos 6 números da túa aposta = C 6 3 =

64. 10. Definición axiomática de probabilidade. Propiedades. Andrei Kolmogorov (1903-1987) é o creador da teoría axiomática da probabilidade e define probabilidade inspirándose nas propiedades das frecuencias relativas, para traballar en aqueles experimentos aleatorios nos cales os sucesos elementais non son igualmente probables. Chámase probabilidade a unha lei que asocia a cada suceso A, do espazo de sucesos dun experimento aleatorio, un número real que chamamos probabilidade de A ( representámolo por p(A)) e que cumpre os seguintes axiomas: 1. , sendo A calquera suceso do espazo de sucesos. 2. p(E)=1, a probabilidade do suceso seguro é sempre 1. 3. Sexan A e B dous sucesos incompatibles:

65. 10. Definición axiomática de probabilidade Consecuencias da definición axiomática de probabilidade. 1. Se é o suceso contrario a A entón: 2. Ø é o suceso imposible, entón p( Ø)=0. 3. Se , entón 4. ,para calquera suceso A.

66. 10. Definición axiomática de probabilidade Exemplo: Considera o experimento aleatorio “lanzar tres moedas e anotar o nº de caras obtidas”. Calcula: a. Probabilidade de obter dúas caras b. Probabilidade de obter polo menos unha cara. c. Probabilidade de obter polo menos dúas caras.

67. 10. Definición axiomática de probabilidade O espazo mostral deste experimento aleatorio sería: E={0, 1, 2, 3} pero as probabilidades dos sucesos elementais “non saír cara”, “saír 1 cara”, “saír 2 caras”, “saír 3 caras” non son iguais. Pensemos que pasa cando tiro 3 moedas:

68. 10. Definición axiomática de probabilidade 2ª tirada 3ª tirada 1ª tirada C X C X C X C X C X C X C X CCC CCX CXC CXX XCC XCX XXC XXX

69. 10. Definición axiomática de probabilidade A vista deste esquema onde os 8 resultados si son equiprobables, e empregando a Regra de Laplace concluímos: p(“non saír cara”)=1/8 p(“saír 1 cara”)=3/8 p(“saír 2 caras”)=3/8 (apartado a. do exercicio) p(“saír 3 caras”)=1/8

70. 10. Definición axiomática de probabilidade b. Para calcular a probabilidade de obter polo menos unha cara imos recorrer á primeira consecuencia da definición axiomática de Kolmogorov No noso caso: p(“obter polo menos 1 cara”)=1-p(“non obter cara”)= =1-1/8=7/8

71. 10. Definición axiomática de probabilidade c. Para calcular a probabilidade de obter polo menos dúas caras imos recorrer ó terceiro axioma de Kolmogorov. Sexan A e B dous sucesos incompatibles: “ Obter a lo menos 2 caras”=“Obter 2 ou 3 caras”=“Obter 2 caras”U”Obter 3 caras” sendo os sucesos “Obter 2 caras” e “Obter 3 caras” incompatibles.

72. 10. Definición axiomática de probabilidade Polo tanto: p(“saír polo menos 2 caras”)= P(“saír 2 caras”)+p(“saír 3 caras”)= 3/8+1/8=4/8=1/2

73. 11. Probabilidade da unión de sucesos Sucesos incompatibles. Un dos axiomas de probabilidade di que se dous sucesos A e B son incompatibles cumprirase que En xeral se son sucesos incompatibles dous a dous cúmprese:

74. 11. Probabilidade da unión de sucesos Sucesos compatibles . Exemplo: Consideramos o experimento aleatorio “lanzar un dado e anotar o resultado da cara superior” cuxo espazo mostral é E={1, 2, 3, 4, 5, 6} . Considero os sucesos : A=”obter nº impar”={1, 3, 5} B=”obter nº primo” ={2, 3, 5} con probabilidades Estes sucesos son compatibles pois

75. 11. Probabilidade da unión de sucesos A  B=”Obter nº impar ou nº primo”= {1, 2, 3, 5} A  B=”Obter nº impar e nº primo”= {3, 5} Vemos que En xeral, se A e B son dous sucesos compatibles, dun experimento aleatorio, pódese dicir que: Se temos tres sucesos A, B e C compatibles dous a dous:

76. 11. Probabilidade da unión de sucesos Vexamos agora gráficamente a razón da fórmula da probabilidade de dous sucesos compatibles. Nota: Esta aplicación gráfica foi obtida do banco de imaxes do ITE.