1. Indagine sul pensiero
proporzionale
Ostacoli ed errori
Bologna
17 maggio 2012
Docenti: Bedodi Maria, Carpi Stefania

2. • L’uso dei “buoni problemi” può incidere sulla
costruzione del pensiero proporzionale?

3. “Buoni problemi”
• I “buoni problemi” devono:
• stimolare comportamenti di ricerca;
• essere autovalidanti,
• permettere la “costruzione” di una soluzione
lavorando in gruppo.

4. Attività in classe (metodologia)
• Gruppi di 3/4 alunni.
• Ogni alunno ha una copia del problema.
• 5 minuti di silenzio nei quali ognuno si “appropria”
del contenuto.
• Scambio e comunione dei pareri.
• Confronto tra le varie ipotesi.
• Verifica delle ipotesi.
• Soluzione.

5. Esempi di “buoni problemi”
• Le marmellate (15° RMT) classi prime scuola sec. 1° grado
• Le decorazioni (11° RMT) classi seconde scuola sec. 1° grado
• I tartufi al cioccolato (9° RMT) classi terze scuola sec. 1° grado
Nei testi dei problemi non compaiono volutamente
parole che possono influenzare o guidare l’alunno.
Ad es.:
– PROPORZIONE
– SIMILE
– RAPPORTO

6. Le marmellate
Ambito concettuale : Proporzionalità “intuitiva
C’è la raccolta delle ciliegie. La nonna prepara la marmellata in un
enorme paiolo, per la sua famiglia e i vicini.
Lunedì cuoce 8 Kg di ciliegie con 5 Kg di zucchero.
Martedì cuoce 10 Kg di ciliegie con 7 Kg di zucchero.
Giovedì giorno di maggior raccolta, cuoce 16 Kg di ciliegie con 10 Kg
di zucchero.
Sabato, fine della raccolta, cuoce 5 Kg di ciliegie con 3 Kg di zucchero.

7. Qual è il giorno in cui la nonna ha preparato la marmellata più
zuccherata?
Ci sono giorni in cui le marmellate hanno lo stesso grado di
dolcezza?
Spiegate come avete trovato la vostra risposta.
• Eseguito da: 56 alunni 14 gruppi

8. Soluzione
• La marmellata più zuccherata è quella di martedì.
• Quelle ugualmente zuccherate si hanno lunedì e giovedì
• 5 gruppi sono arrivati alla soluzione mediante tabella
Lunedì Martedì Giovedì Sabato
Zucchero (Kg) 5 7 10 3
Ciliegie (Kg) 8 10 16 5
Rapporto 5/8 = 0,625 7/10 =0,7 10/16 = 0,625 3/5 =0,6
• 5 gruppi sono arrivati alla soluzione utilizzando il rapporto
inverso
• 4 gruppi non arrivano alla soluzione

9. Difficoltà
• Rendersi conto che bisogna considerare le due grandezza e
non solo lo zucchero.
• Interpretare i rapporti nel modo CORRETTO e confrontarli.
Errori
• Considerare solo lo zucchero e dire che la più zuccherata è
quella di giovedì.
• Ragionare sugli scarti o sulle differenze tra Kg di ciliegie e di
zucchero.
• Commettere errori nel calcolo dei rapporti (numeri razionali)

10. Le decorazioni
Ambito concettuale : Proporzionalità
Confronto e misure di aree
Un pittore ha dipinto quattro figure diverse su un muro.
Ha utilizzato dei barattoli di colore della stessa grandezza:
18 barattoli di rosso per una figura, 21 barattoli di blu per
un’altra figura, 27 barattoli di giallo per un’altra figura ancora
e alcuni barattoli di nero per la figura che resta.
Alla fine del suo lavoro tutti i barattoli erano vuoti.

11. Indicate il colore di ogni figura.
Quanti barattoli di colore nero ha utilizzato?
Spiegate come avete trovato la risposta.
Eseguito da: 56 alunni 14 gruppi

12. Soluzione
• 24 barattoli di colore nero
• 10 gruppi sono arrivati alla soluzione prendendo come unità
di misura dell’area un quadretto:
 Figura 1: 8 quadretti
 Figura 2: 7 quadretti
 Figura 3: 9 quadretti
 Figura 4: 6 quadretti
Hanno associato ad ogni area il barattolo in base alla grandezza.
La prima figura 1 è risultata nera, la 2 blu, la 3 gialla e la 4 rossa.
Hanno diviso ogni barattolo per l’area della sua figura che ha
portato alla corrispondenza:
1 quadratino 3 barattoli . Si arriva così alla soluzione
• 4 gruppi non sono arrivati alla soluzione

13. Difficoltà
• Scegliere una opportuna unità di misura per l’area
• Capire la corrispondenza tra aree e numero di barattoli
Errori
• Valutare “ad occhio” le aree
• Calcolare le aree in modo scorretto
• Non associare all’area maggiore il numero più alto di barattoli
• Invertire il rapporto

14. I tartufi al cioccolato
Ambito concettuale : Proporzionalità e conteggio
Ecco qualche confezione della ditta Tartuffardi contenenti tutte
lo stesso tipo di tartufi al cioccolato:
Ed ecco le etichette che indicano il peso del contenuto, da
incollare sulle confezioni:
Ma queste etichette non sono in ordine e ne manca una.

15. Trovate la confezione per la quale non c’è etichetta
ed indicate il suo peso.
Spiegate il vostro ragionamento.
Eseguito da 42 alunni 11 gruppi

16. Soluzione
• 360 gr “ Piccolo”
8 gruppi sono arrivati alla soluzione associando come prima
ipotesi il maggior peso alla scatola con più cioccolatini.
Hanno verificato poi che lo stesso rapporto peso/numero
cioccolatini (22,5 g) si ritrovava in altre due scatole.
Di conseguenza moltiplicando il peso di un cioccolatino per il
numero dei cioccolatini della scatola restante, trovano il peso
di 360 g.
3 gruppi non arrivano alla soluzione

17. Difficoltà
• Considerare le due grandezze che interagiscono
• Intuire la corrispondenza etichetta-scatola
• Prendere in esame le 4 ipotesi possibili
Errori
• Fare confronti “ad occhio” tra le scatole di tartufi
• Lasciare invariato l’ordine tra etichette e scatole
• Dividere il numero dei cioccolatini per il peso presunto della
scatola

18. Considerazioni
• Dopo queste attività si può osservare che:
– Classi prime: gli alunni si dimostrano in grado di
applicare il concetto di rapporto a diverse situazioni
reali.
– Classi seconde: gli alunni sono in grado di applicare
con più facilità il concetto di similitudine alle figure
geometriche.
– Classi terze: gli alunni sono in grado di individuare
funzioni tra grandezze utilizzando come rapporti
anche numeri decimali.

19. Conclusioni
Con l’utilizzo dei “buoni problemi” i ragazzi sono
stati in grado di avvalersi del ragionamento
proporzionale facendo ricorso alla costanza
dei rapporti in gioco.
Tale ragionamento è applicabile in situazioni di
problem solving e in contesti reali.