1. COURS DE MATHEMATIQUES
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e e
Trigonom´trie
e
Fonctions circulaires
Ce cours porte exclusivement sur la pr´sentation des fonctions circulaires
e
cosinus et sinus.
1 L’id´e g´n´rale
e ee
Ethymologiquement, la trigonom´trie s’emploie a mesurer les angles d’un
e `
triangle. Le cercle trigonom´trique a pour centre (O) un des sommets du
e
triangle consid´r´, et pour rayon un des deux cˆt´s issus de O. Le troisi`me
ee oe e
sommet du triangle est alors n’importe quel point du cercle trigonom´trique.
e
Sur la base de cette construction, la trigonom´trie d´finit des fonctions et
e e
des formules qui permettent de d´terminer entre autres la mesure des angles
e
du triangle consid´r´.
ee
2 La th´orie
e
Ce cours au format particulier dresse un descriptif non exhaustif des fonc-
tions circulaires. Par cons´quent, s’il ne propose aucun exercice, ce cours
e
d´crit les propri´t´s et fournit la courbe repr´sentative des fonctions cosinus
e ee e
et sinus.
1

2. 2.1 La fonction cosinus
On consid`re le cercle trigonom´trique de centre O(0; 0) et de rayon
e e
R = 1. La rayon correspondant a la portion positive de l’axe des abscisses
`
constitue un cˆt´ du triangle. Le troisi`me sommet du triangle est un point
oe e
quelconque du cercle trigonom´trique.
e
Sur cette base, le cosinus repr´sente la mesure du segment reliant le centre
e
du cercle trigonom´trique a la projection orthogonale du troisi`me sommet
e ` e
du triangle sur l’axe des abscisses.
Soit la fonction r´elle f : x → cos x
e
– f est appel´e fonction cosinus ;
e
– f est d´finie sur un ensemble de d´finition D = R ;
e e
– f est d´rivable sur D = R ;
e
– f est paire sur D = R :
∀x ∈ R, cos(−x) = cos x ;
– la courbe repr´sentative Cf de f est sym´trique par rapport a l’axe des
e e `
ordonn´es ;
e
– f est p´riodique sur D = R de p´riode 2π :
e e
∀x ∈ R, ∀k ∈ Z, cos(x + 2kπ) = cos x ;
– ∀k ∈ Z, f est strictement d´croissante sur [0 + 2kπ; π + 2kπ] ;
e
– ∀k ∈ Z, f est strictement croissante sur [π + 2kπ; 2π + 2kπ] ;
π
– ∀k ∈ Z, f est nulle en x = + kπ ;
2
π π
– ∀k ∈ Z, f est strictement positive sur − + 2kπ; + 2kπ ;
2 2
3π
π
– ∀k ∈ Z, f est strictement n´gative sur
e + 2kπ; + 2kπ ;
2 2
– la d´riv´e de f est la fonction f : x → − sin x.
ee
2

3. 1
cos(x)
0.5
0
-0.5
-1
-6.28319 -3.14159 0 3.14159 6.28319
La fonction cosinus
1
cos(x)
-sin(x)
0.5
0
-0.5
-1
-6.28319 -3.14159 0 3.14159 6.28319
La fonction cosinus et sa d´riv´e
ee
3

4. 2.2 La fonction sinus
On consid`re le cercle trigonom´trique de centre O(0; 0) et de rayon
e e
R = 1. La rayon correspondant a la portion positive de l’axe des abscisses
`
constitue un cˆt´ du triangle. Le troisi`me sommet du triangle est un point
oe e
quelconque du cercle trigonom´trique.
e
Sur cette base, le sinus repr´sente la mesure du segment reliant le centre du
e
cercle trigonom´trique a la projection orthogonale du troisi`me sommet du
e ` e
triangle sur l’axe des ordonn´es.
e
Soit la fonction r´elle f : x → sin x
e
– f est appel´e fonction sinus ;
e
– f est d´finie sur un ensemble de d´finition D = R ;
e e
– f est d´rivable sur D = R ;
e
– f est impaire sur D = R :
∀x ∈ R, sin(−x) = − sin x ;
– la courbe repr´sentative Cf de f est sym´trique par rapport a l’origine
e e `
O(0; 0) du rep`re ;
e
– f est p´riodique sur D = R de p´riode 2π :
e e
∀x ∈ R, ∀k ∈ Z, sin(x + 2kπ) = sin x ;
π π
– ∀k ∈ Z, f est strictement croissante sur − + 2kπ; + 2kπ ;
2 2
3π
π
– ∀k ∈ Z, f est strictement d´croissante sur
e + 2kπ; + 2kπ ;
2 2
– ∀k ∈ Z, f est nulle en x = 0 + kπ ;
– ∀k ∈ Z, f est strictement positive sur ]0 + 2kπ; π + 2kπ[ ;
– ∀k ∈ Z, f est strictement n´gative sur ] − π + 2kπ; 0 + 2kπ[ ;
e
– la d´riv´e de f est la fonction f : x → cos x.
ee
4

5. 1
sin(x)
0.5
0
-0.5
-1
-6.28319 -3.14159 0 3.14159 6.28319
La fonction sinus
1
sin(x)
cos(x)
0.5
0
-0.5
-1
-6.28319 -3.14159 0 3.14159 6.28319
La fonction sinus et sa d´riv´e
ee
5