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1. Semestre :2
Module : Méthodes Quantitatives
Elément : Mathématiques Economiques
Enseignant : Mr BENMOUSSA
Eléments du cours
Les Fonctions
Les Intégrales simples
Les Intégrales doubles
Extrêmes de fonctions de deux variables
Numérisation & Conception
Mr Mohamed-Fadil ZIADI

2. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
PROGRAMME
I- Les Fonctions :
- Fonctions trigonométriques.
- Fonctions ex.
- Fonction log x.
- Elasticité.
II- Les Intégrales simples :
- Par parties.
- Par changement de variables.
- Fractions rationnelles.
- Fractions irrationnelles.
- Intégrales impropres.
III- Les Intégrales doubles.
IV- Extrêmes de fonctions de deux variables.
©
-2-

3. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
Chapitre 1 : FONCTIONS TRIGONOM2TRIQUES.
I- Définition : cercle trigonométrique :
Sin tan
π/2
+
Sin α
π α 2π Cos
-1 cosα 1
3π
2
Rayon = 1.
-1 ≤ cos α ≤ 1
R=1 ⇒ -1 ≤ sin α ≤ 1
- ∞ < tg α < + ∞
α 0 π π π π
4 2 6 3
Cos α 1 2 0 3 ½
2 2
Sin α 0 2 1 1 3
2 2 2
Tg α 0 1 0 3 3
3
Sin (- α) = - sin α sin (π - α) = sin α
-α cos (- α) = cos α π-α cos (π - α) = - cos α
tg (- α) = - tg α tg (π - α) = - tg α
©
-3-

4. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
sin (π + α) = - sin α
π+α cos (π + α) = - cos α
tg (π + α) = tg α
π
sin ( + α) = cos α
2
π π
+α cos ( +α) = - sin α
2 2
π 1
tg ( + α) = - = - cotg α.
2 tgα
II- Formules trigonométriques:
Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
Sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b.
Cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b.
Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
Sin 2a = 2 sin a cos a.
Cos 2a = cos2 a – sin2 a.
Théorème de Pythagore :
A
B α O
OA2 = AB2 + OB2
⇒ 12 = sin2 α + cos2 α
⇒ cos2 α + cos2 α = 1
cos 2 α + sin 2 α 1
⇒ = .
cos α
2
cos 2 α
1
⇒ 1 + tg2 α =
cos 2 α
sin 2α 2 sin α . cos α 2tgx
tg 2α = = . = .
cos 2α cos 2 α − sin 2 α 1 − tg 2α
2 sin α .2 cos α
= cos 2 α
cos 2 α − sin 2 α
cos 2 α
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III- Dérivées des fonctions trigonométriques :
f (x) f ′ (x)
sin x cos x
cos x - sin x
tg x 1
= 1 + tg2 x
cos (ax + b) 2
cos x
sin (ax + b) - a . sin ( ax + b)
a . cos (ax + b)
IV- Fonctions réciproques :
Y = cos x ⇔ x = arcos y
Y = sin x ⇔ x = arc sin y
Y = tg x ⇔ x = arc tg y
V- Etude de la fonction (y = sin x) :
1- Domaine de définition :
Df = ℜ.
2- Parité :
Si f (-x) = f (x). ⇒ la fonction est paire.
Si f (-x) = - f (x) ⇒ la fonction est impaire.
Donc sin (-x) = - sin (x) ⇒ y est une fonction impaire.
3- Périodicité :
Une fonction est périodique de période T.
⇔ f (x + T) = f (x). sin
y = sin (x)
sin (α + 2π) = sin α.
Sin (α + 4π) = sin α.
Sin (α + kπ) = sinα. Sin α
cos
α
Donc dans ce cas T = 2π cos α
F
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4- Dérivée :
π π
y ′ = cos x ⇔ cos x ≥ 0 ⇔ - ≤ x ≤
2 2
π 3π
cos x ≤ 0 ⇔ ≤x≤
2 2
5- Tableau de variation :
x π 3π 2π
0
2 2
y′ + - +
y 1 0
0 -1
6- La courbe :
y
1
x
π 3π
2π
2 2
-1
T=2π
VI- Etude de la fonction (y = cos x) :
La dérivée de cette fonction est la suivante :
y ′ = - sin x.
La table de variation se présente comme suit :
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x 0 π 2π
y′ - + -
y 1 1
-1
y
1
0          x
π 3π
π 2π
2 2
-1
VII- Etude de la fonction (y = tg x) :
1- Période :
Tg (α + π) = tg α ⇒ tg α est périodique et T = π.
2- Parité :
tg (-x) = -tg x ⇒ y = tg x est impaire.
3- Dérivée :
1
y′= ≠ 0.
cos 2 x
4- Le tableau de variation :
©
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x −π π
2 2
y′ +
y +∞
-∞
5- La courbe :
y
y = tg x
x
Remarque : les asymptotes :
VIII- Exercices :
1/ Calculer le (sin x) et la (tg x), sachant que cos x = 1 - 2 .
2/ Résoudre dans RR les équations :
a- 2 sin 3 x = 1.
3
b- cos 2 x =
2
Solution :
1- On sait que sin2x + cos2x = 1
⇒ sin2x = 1- cos2x.
On sait aussi que : cos x = 1- 2 .
©
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⇒ cos2x = (1- 2 )2 = 1- 2 2 + 2.
⇒ sin2x = 1- (1- 2 2 + 2).
⇒ sin2x = 2 2 - 2 = 2( 2 - 1).
⇒ sin x = ± 2( 2 − 1) = ± 2 −1 × 2
• tg = ?
1
On sait que 1+ lg2 = .
cos 2 x
1
⇒ tg2 x = -1.
cos 2 x
2 1 1 − (1 − 2 ) 2 2( 2 − 1)
⇒ tg x = 2
-1= 2
= .
(1 − 2 ) (1 − 2 ) (1 − 2 ) 2
2
⇒ tg2 x = - .
(1 − 2 )
−2 2
⇒ tg2 x = ± = ± .
(1 − 2 ) ( 2 − 1)
2- a- 2 sin (3x) = 1
⇒ sin 3x = 1 2
π
⇒ sin 3x = sin .
6
Observation: sin x = sin α ⇒ * x = α + 2kπ.
* x = (π - α) + 2kπ.
cos x = cos α ⇒ * x = α + 2kπ.
* x = - α + 2kπ.
π
Donc : sin 3x = sin .
6
π
⇒ 3x = + 2kπ. ; (k∈Ζ)
6
π
3x = (π - ) + 2kπ.
6
π2kπ
⇒ x= + ; (k∈Ζ)
18 3
5π 2kπ
x= +
18 3
©
-6-

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3
b- cos 2x = .
2
π
⇒ cos 2x = cos
6
π
⇒ 2x = + 2kπ. ; (k∈Ζ)
6
π
2x = - + 2kπ.
6
π
2kπ
⇒ x= + ; (k∈Ζ)
12 2
π 2kπ
x=- +
12 2
Consequences:
Il existe quatre solutions :
π
• x1 = .
12
π
• x2 = +π.
12
π
• x3 = - .
12
π
• x4 = - + π.
12
©
-7-

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x
Chapitre 2 : FONCTION « y = e »
I- Définition :
e0 = 1
e = 2,718.
II- Propriétés :
1- y’ = ex.
2- ea+b = ea.eb
3- ea.b = (ea)b
ea
4- = ea-b
eb
III- Etude de la fonction f(x) = ex :
1- ex est strictement croissante.
2- Df = ℜ = ]− ∞,+∞[
3- lim ex = + ∞ .
+∞
en −1
lim
0
= 1.
h
x
lim e = 0.
−∞
Exercice:
1- Simplifier les expressions suivantes:
a- ex . e-2x
b- (e2x)2 . (e-3x)4.
c- (ex + e-x)2 – (ex – e-x)2.
ex −1
2- Soit la fonction : f(x) = .
ex +1
a- Calculer lim f(x)
−∞
et lim f(x).
+∞
e −1x
3- Calculer lim ( ).
0 3x
Solution:
1- a- ex.e-2x = e-x.
b- (e2x)2 . (e-3x)4 = e4x . e-12x = e-8x.
c- (ex + e-x) – (ex – e-x) = 4.
w
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12. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
ex −1
2- On considère que : f(x) =
ex +1
lim f(x) = -1.
−∞
1− 1
ex
lim f(x) = x [ ex ] = 1.
+∞ e 1+ 1
ex
1
Car on sait que lim = 0.
+∞ ex
ex −1 1 ex −1
3- lim = lim .
0 3x 3 0 x
1
= .
3
IV- Tableau de variation:
x -∞ 0 +∞
y’ +
y 1 +∞
0
Car on sait que : y’ = ex ≠ 0.
La courbe :
y
y = ex
1
x
0
V- Autres limites :
ex
lim
+∞
= +∞.
x
x
lim x e = 0.
−∞
©
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13. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
VI- Equations et inéquations:
* ea = eb ⇒ a = b.
* ea > eb ⇒ a > b. Car ex est strictement croissante.
VII- Exercices :
1- Calculer lim f(x) = lim (ex – x + 1).
+∞ +∞
2- Etudier le sens de variation de la fonction : f(x) = (x – 2)ex.
Solution :
ex 1
1- lim (ex – x + 1) = lim (
+∞ +∞
- 1 + ) = +∞.
x x
2- Df = ℜ = ]− ∞,+∞[ .
On sait qu’au règle générale : (f.g)’ = f’.g + f.g’
f’(x) = ex + (x – 2)ex = ex (1 + x – 2)
= ex (x – 1).
x -∞ 1 +∞
f’(x) - 0 +
f(x) 0 +∞
y
0 І
1 x
-e
©
- 10 -

14. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
Chapitre 3 : FONCTIONS LOGARITHMES.
I- Définition :
On appelle logarithmes de base « a » :
log( x)
y= .
log(a )
Cas particulier : quand a = e ⇒ y = log x (c’est le logarithme népérien).
1
y = log x = dx. x > 0.
x
∫
1 x
1 1
Pour: x = 1 ⇒ log 1 = 0 = ∫
1
dx.
x
+
Pour : x = 0 ⇒ log x = - ∞.
1- Dérivée :
1
y = log x ⇒ y’ = .
x
2- Propriétés:
* log (a.b) = log a + log b.
a
* log = log a – log b.
b
1
* log = - log a.
a
* log an = n. log a
II- Etudier la fonction y = log x :
* Df = ]0,+∞[
1
* y’ = ≠0.
x
x 0+ 1 +∞
y’ +
y 0 +∞
-∞
©
- 11 -

15. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
y
y = log x
0 i x
1
Exercices :
Etude des fonctions :
a- y = 3 log x + 2.
b- y = log (x – 2).
Solutions :
a- Df = ]0,+∞[
3
f’(x) = .
x
x 0+ 1 +∞
f’(x) +
f(x) 2 +∞
-∞
b- Df = ]2,+∞[
1
f’(x) =
x−2
x 2 3 +∞
f’(x) +
f(x) 0 +∞
-∞
©
- 12 -

16. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
III- Limites :
* lim ln x = +∞.
+∞
* lim ln x = -∞.
0+
ln x
* lim
+∞
= 0-
x
* lim x lnx = 0-
0
ln x
* lim =1
1 x −1
ln( x + 1)
* lim
0
=1
x
IV- Exercices:
1
1- Etude de la fonction : y = x2 e x .
Et tracer le graphique.
2- Etude de la fonction : y = x logx – 3x.
1
−
3- Etude de la fonction : y = (x – 2) e x .
Solution :
1
2
1- Etude de la fonction : y = x e . x
* Df = ℜ * = ]− ∞,0[ ∪ ]0,+∞[ car on a (x ≠ 1).
1 1
1
* y’ = 2x. e + x2 (-
x
). e x
x2
1
= (2x – 1). e x .
1
On a: y’ = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ou e x = 0.
1 1
1
⇔ x= on sait que e > 0 donc : e ≠ 0.
x x
2
Donc le tableau de variation est le suivant :
x -∞ 0
1
+∞
2
y’ - - +
y +∞ +∞ +∞
1 2
0 e
4
©
- 13 -

17. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
1
* lim f(x) = lim (x2. e x ) = +∞
−∞ −∞
1
2
* lim f(x) = lim (x . e ) = +∞
+∞ +∞
x
1
2
* lim f(x) = lim (x . e ) = 0 x
0− 0−
1
2
* lim f(x) = lim (x . e ) = 1
0+ 0+
x
y
e2
4
0 1
x
2
2- Etude de la fonction : y = x log x – 3x.
* Df = ]0,+∞[ .
* y’ = (x log x)’ – (3x)’ = log x + x (log x)’ – 3
y’ = log x – 2.
On a : y’ = 0 ⇔ log x – 2 = 0.
⇔ x = e2 .
* Tableau de variation :
x 0 e2 +∞
y’ - 0 +
y +∞ +∞
-2
e
* lim f(x) = lim x.(log x – 3) = +∞.
+∞ +∞
* lim f(x) = lim x. log x – 3x = 0
0+ 0+
©
- 14 -

18. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
* Représentation graphique:
y
y = x log x – 3x.
e2 e3
x
-e2
1
−
3- Etude de la fonction : y = (x – 2) e x
:
* Df = ℜ * = ]− ∞,0[ ∪ ]0,+∞[
1 1
− 1 −
* f’ (x) = e x
+ (x – 2). 2
.e x
x
1 1
− x − 2 −x
=e x
+ .e
x2
1
− x+2
=e x
(1 + 2 ).
x
1 2
− x + x+2
=e x
( ).
x2
1
− x2 + x + 2
On a f’(x) = 0 ⇔ e x ( )=0
x2
1
−
On sait que e ≠ 0 et x2 ≠ 0. x
Donc x2 + x + 2 = 0
∆ = 9 = 32.
x1 = 1 et x2 = -2.
* Tableau de variation :
x -∞ -2 0 1 +∞
y’ + - - +
y -4 2 0 +∞
-∞ -∞
©
- 15 -

19. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
1
−
* lim f(x) = lim (x – 2) e x
= -∞.
−∞ −∞
1
−
* lim f(x) = lim (x – 2) e
+∞ +∞
x
= +∞.
1
−
* lim f(x) = lim (x – 2) e x
= -∞.
0− 0−
1
−
* lim f(x) = lim (x – 2) e
0+ 0+
x
= 0.
* Asymptotes obliques:
1
− 1
f ( x) ( x − 2).e x
x 2 −
- lim
+∞
= lim+∞
= lim . (1 - ) . e x .
+∞ x
x x x
f ( x)
⇒ lim
+∞
= 1.
x
1
−
- lim [f(x) – x] = lim (x – 2). e
+∞ +∞
x
- x.
1 1
− −
= lim x e
+∞
x
-2 e x
- x.
1 1
− −
= lim x [ e
+∞
x
- 1] – 2 e x .
1
On met: X=- .
x
1
Donc : lim -
+∞
[eX – 1] – 2 eX = -3.
X
* Représentation graphique :
1
-
e
-4 e
- 16 -

20. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
Chapitre 4 : INTEGRALES
I- Principes :
1- 1er cas :
Un train roule à la vitesse de v = 70 m s Durant un temps de t = 15 secondes.
Quelle est la distance parcourue par le train ?
On sait que : d = v.t donc : d = 70 * 15 = 1050 m.
v (ms )
v1 = 70
t (secondes)
t1 = 15
d = v.t = aire du rectangle hachuré.
2- 2ème cas :
La vitesse du train n’est pas constante et varie en fonction du temps « t », donc v= v(t).
On sait que : d = v.t.
Donc : d(t) = v(t) . t.
v (ms )
V(t)
v1 = 70
S
0 t (secondes)
t1 = 15
©
- 17 -

21. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
15
d = ∑ di = ∫ f (t ) dt = S.
0
C’est la somme des aires des petits rectangles.
II- Intégrale d’une fonction sur un intervalle :
1- Définition :
f(x)
f(x)
v1 = 70
S
0 x
a b
b
I= ∫ f ( x) dx = aire S.
a
Remarque:
L’intégrale (aire) peut être positif ou négatif.
v (ms )
0 t (secondes)
a b
- 18 -

22. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
2- Propriétés :
b
Si « f » est constante ⇒ I = ∫ kf ( x) dx.
a
I = k (b – a).
3- Valeur moyenne d’une fonction f(x) :
1
b
M= ∫ f ( x) dx.
(b − a ) a
III- Propriétés générales d’une intégrale :
1- Théorème :
Toute fonction continue sur un intervalle I = [a, b] admet un intégrale.
2- Propriétés :
a
* ∫ f ( x) dx = 0.
a
b a
* ∫ f ( x) dx = - ∫ f ( x) dx.
a b
b c c
* ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx.
a b a
b b
* ∫ kf ( x) dx =k ∫ f ( x) dx.
a a
b b b
* ∫ f ( f + g )( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx.
a a a
* Si f(x) ≤ g(x) ⇒ ∫ f (x) ≤ ∫ g (x) .
IV- Primitives d’une fonction :
1- Théorème :
Soit f(x) une fonction continue sur I = [a, b] .
L’application : F : x → F(x) = ∫ f (t ) dt est dérivable sur I, et la dérivé de F(x) est F’(x) =
f(x).
2- Propriétés :
- 19 -

23. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
Toute fonction f(x) continue sur I possède plusieurs primitives.
Si « f » admet une primitive « F » sur I, alors « G = F + k » est aussi primitive de « f ».
Avec « k » constante.
L’intervalle « I » Fonction « f » Primitive « F »
ℜ a ax + b
ℜ x 1 2
x +c
2
ℜ xn ; n∈ ℵ 1 n+1
x +c
n +1
+ −
ℜ * ou ℜ * 1 1
- +c
x2 x
+ −
ℜ * ou ℜ * 1 −1
+c
xn (n − 1) x n −1
+
ℜ* 1 2 x +c
x
ℜ +
x r
; r∈( Q/ {− 1} ) 1
* xr+1 + c
r +1
ℜ 1 Artan x + c
1+ x2
ℜ Cos x Sin x + c
ℜ Sin x - cos x + c
 π π  1 Tan x + c
 − 2 + kπ ; 2 + kπ  1+ tan2x =
  (cos) 2
]kπ ; π + kπ [ 1+ cotan2x =
1 - cotan x + c
(sin) 2
« u » est dérivable sur I et u’ × un ; n ∈(Q/ {− 1} ) 1
strictement positive sur I un+1 + c
n +1
« u » est dérivable sur I et u' 2 u +c
strictement positive sur I
u
« u » est dérivable sur I u' Arctan (u) + c
1+ u2
« v » est dérivable et ne v' 1
s’annule pas sur I - +c
v2 v
« u et v » sont dérivables u’ + v’ u+v+c
sur I
« u et v » sont dérivables u’v + uv’ u.v + c
sur I
« u et v » sont dérivables u ' v − uv' u
+c
sur I et v ≠ 0 v2 v
« v » est dérivable sur I et u’(v(x)) × v’(x) (uov)(x) + c
« u » est dérivable sur v(I)
ℜ Cos (ax + b) ; a ≠ 0 ( 1 ) sin (ax + b) + c
a
ℜ sin (ax + b) ; a ≠ 0 - ( 1 ) cos (ax + b) + c
a
©
- 20 -

24. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
V- Intégration par partie :
∫ U '.V = U.V - ∫ U .V ' .
Exemples :
Calculer les intégrales suivantes :
π
1- I = ∫ x. cos x .dx .
0
On pose: V=x V’ = 1
U’ = cos x U = sin x
π
I = [x. sin x]π0 - ∫ sin x .dx
0
= [x. sin x]π0
+ [cos x]π0
= (π. Sin π - 0) + (cos π - cos 0).
I = -2.
2
2- I = ∫ ( x 2 + ) dx.
x
2
I = ∫ x 2 dx + ∫x dx.
x3
I= + 2 log x + k.
3
4
3- I = ∫ x x 2 + 4 dx.
2
4 1
1
I= ∫ 2 x( x
2
+ 4) 2
dx.
2 2
1
+1
 2
1  x2 + 4  1
3
I=   dx . = ( x 2 + 4) 2 .
2  1  3
 +1 
 2 
U m +1
Car on sait que: ∫ U '.U =
m
.
m +1
4- I= ∫ 5x
3
x 4 + 1 dx.
1
I = ∫ 5 x 3 ( x 4 + 1) 2 dx.
©
- 21 -

25. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
1
+1 3
5 ( x 4 + 1) 2 15 3
= = ( x + 1) 2 .
4 1 16
+1
3
e
5- I = ∫ log x dx.
1
On pose : U’ = 1 U=x
1
V = log x V’ =
x
e
I = [x log x]e1 - ∫ dx = [x log x –x]e1.
1
I = 1.
π
2
π
6- I = ∫ sin(2 x + ) dx.
0
4
1
On sait que : dx = -
cos (ax + b).
∫ sin(ax + b)
a
1 π 1 π π
Donc: I = [- cos (2x + )] = - [cos (π + ) – cos ].
2 4 2 4 4
π π
On sait que : cos (π + ) = -cos .
4 4
1 2 2 1
Donc : I = - [- - ] = . 2
2 2 2 2
1
7- I = ∫ (2t − 4)e t dt.
0
On pose : U = (2t – 4) U’ = 2
V’ = et V = et.
1 1
I = ∫ (2t − 4)e t dt = [et (2t – 4)]10 - ∫ 2e t dt.
0 0
= [e (-2) – (-4)] – 2 [et]10.
= -4e + 6.
©
- 22 -

26. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
log x
e
8- I= ∫ 2
dx.
1 x
1
On pose : V = log x V’ =
x
1 1
U’ = U=-
x2 x
1 1
e
I = [- .log x]e1 + ∫ 2 dx.
x 1 x
1 1
= [ - . Log e + 1. log 1] – [ - 1].
e e
2
=- + 1.
e
π
9- I = ∫ 2t sin t dt.
0
On pose : V = 2t V’ = 2
U’ = sin t U = -cos t.
π
I = - [2t.cos t]π0 + ∫ 2 cos t dt.
0
= - [2 π cos π - 0] + 2 [sin t]π0.
= 2 π.
VI- Décomposition :
1+ x
Décomposition de : R(x) = .
( x + 4) 2 ( x − 1)
1+ x A B C
R(x) = 2
= + 2
+ .
( x + 4) ( x − 1) ( x + 4) ( x + 4) ( x − 1)
3
* Calculer B : B =
5
2
* Calculer C : C =
25
2
* Calculer A : A = -
25
3- Lorsque d° P(x) ≥ d° Q(x) :
La méthode des calcules est la division euclidienne.
©
- 23 -

27. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
P(x) Q(x)
p(x)
r(x)
P( x) r ( x)
= p(x) + avec d° r(x) < d° Q(x).
Q( x) Q( x)
Exemple :
P( x) x4
= . On a d° P(x) > d° Q(x).
Q( x) x( x + 1) 2
x (x + 1)2 = x (x2 + 2x + 1).
= x3 + 2x2 + x.
x4 x3 + 2x2 + x
x4 + 2x3 + x2
x-2
3 2
- 2x – x
2x + 4x2 + 2x
3
3x2 + 2x
x4 x4 3x 2 + 2 x
= 3 = (x – 2) + 3 .
x( x + 1) 2 x + 2x x + 2x 2 + x
3x + 2
= (x – 2) + .
( x + 1) 2
x4
Calcul de I = ∫ x(x + 1) 2 dx.
3x + 2
I = ∫ x − 2 dx + ∫ dx.
( x + 1) 2
On pose: I1 = ∫ x − 2 dx.
3x + 2
I2 = ∫ ( x + 1) 2
dx.
3x + 2 x 2
I2 = ∫ ( x + 1) 2
dx. = 3 ∫ (x + 1) 2
dx + ∫ ( x + 1) 2
dx.
3 2x + 1 − 1 2
= ∫x 2
dx + ∫ ( x + 1) 2
dx
2 + 2x + 1
©w
- 24 -

28. Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques
3 2x + 1 1 2
= [∫ 2
dx - ∫ dx] + ∫ ( x + 1) dx.
2 ( x + 1) ( x + 1) 2 2
3 1 2
= [log (x + 1) + ]- .
2 x +1 x +1
Donc : I + I1 + I2.
Exercice :
2x + 1
Calculer : ∫ ( x + 1)( x 2
dx
+ 1)
P( x) 2x + 1 A Bx + C
R(x) = = 2
= + 2 .
Q( x) ( x + 1)( x + 1) x +1 ( x + 1)
* Calculer A :
1
A = [R(x) × (x+1)]x = -1 = -
2
* Calculer B :
2x 2 AxBx 2
3
= +=A+B=0
x x x2
1
⇒B=-A= .
2
* Calculer C :
C
On donne à x = 0. Donc 1 = A + ⇒ A + C = 1.
1
⇒ C = 1 – A.
3
⇒C= .
2
1 3
−1  x+ 
I= ∫ 2 dx +  2 2
( x + 1) ∫ ( x 2 + 1) dx.
1
I = - log x + 1 + I2
2
1 3
 x+ 
2 2 1 x+3
I2 = ∫  2 dx = ∫ 2 dx.
( x + 1) 2 x +1
1 x 3 dx
= ∫ x 2 + 1 dx + 2 ∫ x 2 + 1 dx.
2
1 2x 3 dx
= ∫ x 2 + 1 dx + 2 ∫ x 2 + 1 dx.
4
1 3
= log (x2 + 1) + artang x.
4 2
1 1 3
I = - log x + 1 + log (x2 + 1) + artang x.
2 4 2
©
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