1. O documento apresenta um guia para resolução de equações diferenciais ordinárias, com exemplos e exercícios resolvidos.
2. Inicialmente, fornece conselhos sobre a importância de praticar exercícios e não decorar fórmulas.
3. Em seguida, explica os sete passos necessários para resolver problemas de valor inicial, apresentando um exemplo detalhado.
2. 2
Deus seja Louvado.
Guerreiro, Helder
Eu odeio EDO 2ª ed./ Helder Guerreiro – Manaus, 2016.
Bibliografia
Livro não catalogado e não institucional, o mesmo é amador.
3. 3
SUMÁRIO
1. Conselhos de um amigo 6
2. No início da sua vida antissocial - Problema de valor inicial 7
2.1 Teorema de existência e unicidade 7
2.2 Os sete passos 7
2.3 Primeiro Exemplo 8
2.4 Segundo Exemplo 9
3. Os mais lights - Variação de parâmetros e variáveis separáveis 10
3.1 Variação de parâmetros 10
3.1.1 Primeiro Exemplo 11
3.1.2 Exemplo sem variação de parâmetros 12
3.2 Variáveis separáveis 13
3.2.1 Primeiro Exemplo 13
3.2.2 Segundo Exemplo 13
3.2.3 Terceiro Exemplo 14
4. Ta ficando chato - Equações diferenciais exatas 15
4.1 A função solução 15
4.2 Primeiro Exemplo 16
4.3 Segundo Exemplo 17
4.4 Complicando a sua vida – Equação não exata em equação Exata 18
4.4.1 Primeiro Exemplo 18
4.5 Equação exata transformada – Fator integrante em função de y 20
4.5.1 Primeiro Exemplo 21
5. Uma alternativa interessante - Equações homogêneas 22
5.1 Primeiro Exemplo 23
6. Super Exemplo – Tá na hora de treinar 24
6.1 Equação homogênea 24
6.2 Variáveis separáveis 25
6.3 Equações exatas 25
6.4 Variação de parâmetros 26
6.5 Método comum 27
Um bônus para sua mente – Integral por partes 28
Exemplos 29
Integrais infinitas 30
4. 4
Exemplo 31
Exercícios resolvidos – Já estou bonzinho demais 32
Primeira questão 32
Segunda questão 46
7. Lembranças de um futuro esquecido - Trajetórias ortogonais 56
7.1 Primeiro Exemplo 57
8. Equações de Riccati – Nome difícil para uma coisa difícil 58
8.1 Primeiro Exemplo 59
Exercícios resolvidos – Para não enferrujar 60
9. Equações lineares de segunda ordem – Aumentando o grau de dificuldade 68
9.1 Sua forma 68
9.2 Soluções gerais 68
9.3 Equação característica 69
9.4 Primeiro Exemplo 70
9.5 Segundo Exemplo 70
9.6 Terceiro Exemplo 71
10. Equações de Bernoulli e equações não lineares de segunda ordem 73
10.1 Equações de Bernoulli – Um dia você vai se lembrar desse nome 73
10.1.1 Primeiro Exemplo 73
10.2 Equação de 2º ordem não linear sem o termo em y 74
10.2.1 Primeiro Exemplo 75
10.3 Equação de 2º ordem não linear sem a variável independente t 76
10.3.1 Primeiro Exemplo 76
11. Conjunto fundamental de soluções – Álgebra? Me esquece por favor! 77
11.1 Primeiro Exemplo (Regra de Cramer) 78
11.2 Primeiro Exemplo (Sistema Comum) 79
11.3 Segundo Exemplo (Regra de Cramer) 80
11.4 Segundo Exemplo (Sistema Comum) 81
12. Equações características com raízes negativas – Sua vida cada vez mais negativa 83
12.1 Número Complexos 83
12.2 Equações características com raízes negativas 84
12.3 Primeiro exemplo 86
13. Equação de coeficientes variáveis – Sim, o demônio é real 86
13.1 Primeiro exemplo 88
14. Equações características com raiz única – Uma pegadinha básica 90
5. 5
14.1 Primeiro exemplo 91
14.2 Segundo exemplo 91
15. Redução de Ordem – Domando o diabo 92
14.1 Primeiro exemplo 93
14.2 Primeiro Exemplo (método comum) 94
Exercícios resolvidos – Se parar, a bicicleta cai 96
Primeira questão 96
Segunda questão 100
Terceira questão 100
16. Equações de segunda ordem não homogenias com coeficientes constantes 104
16.1 Uma equação não homogenia – Ou seja, um saco de problema 104
Primeiro teorema 104
Segundo teorema 104
Explicando 105
16.2 Método dos coeficientes indeterminados – Sua vida indeterminada 105
16.3 Primeiro Exemplo 106
16.4 Segundo Exemplo 107
16.5 Terceiro Exemplo 107
16.6 Quarto Exemplo 108
17. Formas de equações não homogenias – Diferentes formas de sofrer 109
Terceiro Teorema 109
Explicação 110
17.1 Primeiro Exemplo 110
18 Caso especial de equação não homogênea – Ainda mais problemas 110
18.1 Exemplo destrutivo 111
18.2 Solução 111
18.3 Exemplo Construtivo 112
19. Variação de parâmetros – Variando a sua pressão 114
19.1 Primeiro Exemplo 116
19.2 Segundo exemplo (com formula) 117
20. Equações de ordem superior – Estamos ferrados 119
20.1 Primeiro Exemplo 119
6. 6
1. Conselhos de um amigo
Olá, meu nome é Helder Guerreiro aluno de Engenharia Química na Universidade Federal do Amazonas
(UFAM), esses conselhos que lhe darei é para você que está pouco se lixando para a matéria ou está com uma grande
dificuldade em aprender a calcular as nossas queridas Equações Diferenciais Ordinárias.
Bom, primeiramente é importante falar a você que qualquer matéria que envolva matemática só pode ser
vencida se você pôr em prática as listas que o professor passa em sala. Faça quantas puder o mais rápido que puder,
dessa forma você está preparado para qualquer prova que vier pela frente. Nos meus estudos, percebi que a maior
dificuldade enfrentadas por muitos são as relíquias da morte do Cálculo I, ou seja, muitas pessoas ainda carregam a
cruz de não ter aprendido cálculo muito bem, aí sua alma fica dividia entre EDO e Cálculo que nem uma horcrux
(entendedores entenderão). Por isso, treine bem o seu cálculo, por que não adianta de nada saber tão bem os passos a
se fazer na prova e chegar no dia e ficar travado numa integral de cotg (x).
Nunca decore, aprenda! O importante aqui é que você consiga resolver as EDO’s que apareceram pela frente.
Esse curso está aí para que você tenha habilidades lá na frente, pois existem matérias que exigirão de você esse
conhecimento. Preste atenção nas dicas que eu te der, sabe por que? Por que eu sou um cara leigo como qualquer
outra pessoa, então eu sei muito bem o que é passar dificuldade numa matéria na faculdade.
Este material foi preparado durante meu 3° período da faculdade, onde uma turma imensa foi formada ao
comando de um ótimo professor. Todos os assuntos contidos nesta apostila foram baseados nas aulas do meu professor
de EDO, Prof. Carlos Wagner. Não usei o livro como base de meu conhecimento, pois o professor já se baseava nele
para nos dar aulas. Os assuntos contidos aqui não são necessariamente todos os assuntos de EDO, mas os que foram
possíveis em ser ministrados no período letivo de aula.
Agradeço por ter esta apostila em mãos e faça bom proveito. Esta apostila é e sempre será gratuita para quem
quiser de onde quer que seja, além de usá-la compartilhe-a também, pois assim como esta apostila pode lhe ajudar,
também pode ajudar outras pessoas.
Fim de papo! Hora de sofrer!
7. 7
2. No início da sua vida antissocial - Problema de valor inicial
2.1 Teorema de existência e unicidade
“Se as funções p e q são contínuas num intervalo aberto 𝐼 = (𝛼, 𝛽), que contém o ponto 𝑡 = 𝑡0, então existe uma única
função 𝑦 = ∅(𝑡) que satisfaz a equação diferencial:
𝑦′
+ 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑞(𝑡)
Para cada 𝑡 ∈ 𝐼 e que também satisfaz a condição inicial: 𝑦(𝑡0) = 𝑦0, onde 𝑦0 é um valor inicial arbitrário. ”
- Ou seja, este teorema está dizendo que 𝑦′
+ 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑞(𝑡) é uma regra a se seguir para a resolução de PVI’s.
2.2 Os sete passos
São necessários 7 passos para resolver estes problemas:
Ajeitar a questão para regra geral
A regra geral apresentada pelo PVI deve ser da seguinte forma: 𝑦′
+ 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑞(𝑡), basicamente consiste em não haver
coeficiente algum a frente do 𝑦′. Caso a equação não apresente essa forma, deve-se ajeita-la.
Encontrar o fator integrante
O integrante será encontrado da seguinte forma 𝜇(𝑡) = 𝑒∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡
, basta pegar a função 𝑝(𝑡) integrar e depois usar como
expoente de “e”.
Multiplicar o fator integrante
Encontrando-se o fator integrante multiplique-o pelos dois lados.
Simplificar e tornar integral
Do lado esquerdo da igualdade simplifique a expressão de tal forma que encontre a primitiva da derivada do produto
dessa forma:
𝑑
𝑑𝑥
[𝑘𝑥], e coloque uma integral no lado direito da igualdade anulando a derivada do lado esquerdo.
Integrar
Agora focando no lado direito, resolva a integral ordinária (não é um insulto).
Solução geral
Trocando a integral do lado direito pelo seu resultado (não esqueça da constante C) hora de isolar o y, ao terminar de
isolá-lo essa será a solução geral.
Solução do PVI
Com a solução geral pronta use o ponto que foi dado pelo enunciado usando um valor para y e um para t e encontre o
valor de C. Depois volte a solução geral e substitua o valor de C.
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Passo 7
15. 15
4. Ta ficando chato - Equações diferenciais exatas
Veja esta equação diferencial:
2𝑥 + 𝑦2
+ 2𝑥𝑦𝑦′
= 0
Organizando-a fica assim: (2𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0
Se tentarmos resolve-la com separação de variáveis não conseguiremos.
Veja esta função ao lado: 𝛹(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
+ 𝑥𝑦2
- Derivando-a fica assim: 𝑑𝛹 = (2𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦)𝑑𝑦
- Perceba que a derivada da função Ψ é igual a equação diferencial apresentada acima, se elas são iguais a
função é igual a equação que é igual a zero:
𝑑𝛹 = 0
- Integrando para encontrar a solução geral temos:
∫ 𝑑𝛹 = ∫ 0 → 𝛹 = 𝑐 → 𝑥2
+ 𝑥𝑦2
= 𝑐
Isso significa que a função 𝛹 é a solução para a equação diferencial proposta no enunciado, essa função por ser igual a
equação será igual a zero que ao integrar para encontrar a solução geral será igual a constante.
Para aprender a encontrar a função 𝛹 e o valor da constate c siga os passos abaixo.
4.1 A função solução
A equação diferencial deve estar nesta forma:
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
𝑀(𝑥, 𝑦) e 𝑁(𝑥, 𝑦) são o valor das derivadas parciais da função solução:
{
𝜕𝛹
𝜕𝑥
= 𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝛹
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
A partir desse sistema se encontrará a função solução, mas este sistema somente será possível SE E SOMENTE SE
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
.
Após verificar se é possível, deve-se substituir os respectivos valores de M e N.
Esse sistema será resolvido assim:
𝐼
𝐷𝐼
{
𝜕𝛹
𝜕𝑥
= 𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝛹
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
A letra “I” significa integrar e “DI” significa derivar e integrar.
16. 16
- Primeiro parte-se da derivada parcial em relação a x, integre o valor dos dois lados e pronto.
{
∫
𝜕𝛹
𝜕𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝜕𝛹
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
- Segundo, na derivada parcial em relação a y como o valor de M e N são os mesmos o mesmo valor que foi
achado na derivada parcial em relação a x (valor de M) será o valor de y, pois se 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) então
𝜕𝛹
𝜕𝑥
=
𝜕𝛹
𝜕𝑦
.
{
∫
𝜕𝛹
𝜕𝑥
𝑑𝑥 = 𝑅 + 𝑐
𝜕𝛹
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
(𝑅 + 𝑐)
Com esse valor atribuído deriva-se o valor do resultado em relação a y, substitua o valor original de
𝜕𝛹
𝜕𝑦
no lado
esquerdo enquanto no lado direito fica o valor da 𝛹(𝑥, 𝑦) isso será o suficiente para encontrar a constante “c”, após
encontra-la integre dos dois lados.
A constante “c” neste caso está se comportando mais como uma função, ao derivá-lo não podemos zerá-lo e ao integrá-
lo não podemos adicionar uma variável, então vamos mudar seu nome para: 𝑐 = 𝑓(𝑦).
Após encontrar o valor de 𝑓(𝑦) substitua em 𝛹(𝑥, 𝑦) e pronto, sua função solução já está pronta.
Neste caso a função solução é a solução do PVI e a solução igual a uma constante “c” é a solução geral.
Essa constate “c” aparece por que após identificar a solução função reconheceremos que 𝑑𝛹 = 0, logo temos que 𝛹 = 𝑐.
4.2 Primeiro Exemplo
(𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2
𝑒 𝑦
− 1)𝑑𝑦 = 0
Teste do sistema
𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑦
𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2
𝑒 𝑦
− 1
{
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑦
|
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑦
}
Sistema
{
𝜕𝛹
𝜕𝑥
= 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑦
𝜕𝛹
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
{
𝛹(𝑥, 𝑦) = ∫(𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑦)𝑑𝑥
𝜕𝛹
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→ {
𝛹(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2
𝑒 𝑦
+ 𝑓(𝑦)
𝜕𝛹
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
{
𝛹(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2
𝑒 𝑦
+ 𝑓(𝑦)
𝜕𝛹
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
(𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2
𝑒 𝑦
+ 𝑓(𝑦))
→ {
𝛹(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2
𝑒 𝑦
+ 𝑓(𝑦)
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2
𝑒 𝑦
− 1⏟
𝜕𝛹
𝜕𝑦
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2
𝑒 𝑦
+ 𝑓′(𝑦)⏟
𝑁(𝑥,𝑦)
Passo 1
Passo 2
Obs.:∫
𝜕𝛹
𝜕𝑥
𝑑𝑥 = 𝛹(𝑥, 𝑦)
Fazendo ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = 𝑅 + 𝑐
São iguais!
22. 22
{
𝛹(𝑥, 𝑦) = 𝑒2𝑦
𝑦 + 𝑓(𝑦)
2𝑥𝑒2𝑦
−
1
𝑦
= 2𝑥𝑒2𝑦
+ 𝑓′
(𝑦)
→ {
𝛹(𝑥, 𝑦) = 𝑒2𝑦
𝑦 + 𝑓(𝑦)
𝑓′(𝑦) = −
1
𝑦
→ 𝑓(𝑦) = − ln|𝑦| = ln |
1
𝑦
|
Função solução
𝛹(𝑥, 𝑦) = 𝑒2𝑦
𝑦 + ln |
1
𝑦
|
Solução geral
𝑑𝛹 = 0 → 𝛹 = 𝑐
𝑐 = 𝑒2𝑦
𝑦 + ln |
1
𝑦
|
Perceba que quando o valor de M é complicado é melhor evita-lo usando fator integrante em função de x, e quando o
valor de N é complicado é melhor evita-lo usando fator integrante em função de y.
5. Uma alternativa interessante - Equações homogêneas
Equações homogêneas geralmente têm este formato:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
Uma equação pode ser testada como homogênea mudando o seu domínio:
𝑓(𝑥, 𝑦) → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
Após a mudança se o resultado for igual ao original, temos uma equação homogênea. A equação homogênea pode nos
ajudar pois toda equação homogênea pode se tornar uma equação de variáveis separáveis. Como? Toda equação
homogênea pode representada do jeito como está abaixo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐹 (
𝑦
𝑥
)
Com isso podemos fazer uma substituição e trocar essa fração por uma variável simples como abaixo:
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
Ao derivá-la temos o seguinte:
𝑦 = 𝑢𝑥 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢
Com isso podemos fazer uma troca de domínios pois:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐹 (
𝑦
𝑥
) → 𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹(𝑢)
Depois dessa troca você substitui na equação e assim poderá manejá-la para que ela se transforme em uma equação
por variáveis separáveis. Não entendeu? Calma, veja esse exemplo abaixo primeiro e veja os passos.
Passo 5
Passo 6
24. 24
6. Super Exemplo – Tá na hora de treinar
Está na hora de um super exemplo, que é a resolução de um único exercício usando todas as ferramentas
apresentadas aqui até agora, se você está com dúvida nas questões analise-as mais devagar e veja como efetuar cada
passo nas contas.
6.1 Equação homogênea
2𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0
Organizar
2𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 → 2𝑦𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑦 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑦
𝑥
Teste de homogeneidade
𝑓(𝑥, 𝑦) → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) =
2𝑡𝑦
𝑡𝑥
=
2𝑡𝑦
𝑡𝑥
=
2𝑦
𝑥
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹(𝑢)
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 2𝑢 → 𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑢
Variáveis separáveis
𝑑𝑢
𝑢
=
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
∫
𝑑𝑢
𝑢
= ∫
𝑑𝑥
𝑥
ln|𝑢| = ln|𝑥| + 𝑐
𝑢 = 𝑐𝑥
Retornando a variável original (solução geral)
𝑢 = 𝑐𝑥 → y = cx2
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Passo 7
27. 27
𝑐′(𝑥) = 0𝑥2
→ 𝑐′(𝑥) = 0
∫ 𝑐′(𝑥) = ∫ 0𝑑𝑥
𝑐(𝑥) = 𝑐
Solução geral
𝑦 = 𝑐(𝑥)𝑥2
→ 𝑦 = 𝑐𝑥2
6.5 Método comum
2𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0
Organizar para regra geral
𝑥𝑦′
− 2𝑦 = 0 →
𝑥𝑦′
𝑥
−
2𝑦
𝑥
= 0 → 𝑦′
−
2𝑦
𝑥
= 0
Fator integrante
𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = −∫
2
𝑥
𝑑𝑥 = −2 ∫
𝑑𝑥
𝑥
=−2ln|𝑥| =ln|𝑥−2|
= 𝑒ln|𝑥−2|
= 𝑥−2
Multiplicar pelo fator integrante
𝑦′
−
2𝑦
𝑥
= 0 → 𝑥−2
𝑦′
−
𝑥−2
2𝑦
𝑥
= 0 →
𝑦′
𝑥2
−
2𝑦
𝑥3
= 0
Simplificar e integrar
𝑦′
𝑥2
−
2𝑦
𝑥3
= 0
𝑑
𝑑𝑥
[
𝑦
𝑥2
] = 0
𝑦
𝑥2
= 𝑐
Solução geral
𝑦 = 𝑐𝑥2
Perceba que entre Variação de parâmetros e o Método comum, variação de parâmetro se torna inviável por que a
equação já tinha zero em sua igualdade.
De todas estas variáveis separáveis foi a técnica mais viável com apenas três passos e pouca conta, isso se dá, pois, a
equação estava visivelmente facilitando a separação.
Passo 2
Passo 7
Passo 1
Passo 3
Passo 4
Passo 5
28. 28
Um bônus para sua mente – Integral por partes
Temos uma integral por partes
∫ 𝑡2
𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡
Escolha as melhores opções para u e v, a variável u deve ser qualquer função que ao derivá-la uma ou mais vezes ela
possa zerar e a variável v deve ser uma função que ao integrá-la ou derivá-la ela nunca chegue a zero. O polinômio é a
melhor das escolhas para u, ele pode zerar e o neperiano nunca zera então ele será v.
Faça um quadro com as nomeações “u sinal v” posicionados acima do quadro:
[
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
42
∙
+
→
∙
−
→
∙
+
→
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙ ]
Variável u começa sendo simplesmente copiado,
não precisa deriva-lo ainda.
A variável v já começa a ser integrada logo na primeira aparição
Após isso trace uma reta entre os dois,
isso significa que um será multiplicado pelo outro.
Depois da reta traçada continue a derivar o u e a integrar o v
sempre colocando as setas na mesma linha.
Você irá derivar e integrar até a última
derivada de u, ou seja, antes de zerá-lo.
A variável u será derivada e
a variável v será integrada
[
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
42
∙
+
→
∙
−
→
∙
+
→
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙ ]
[
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
42
∙
+
→
∙
−
→
∙
+
→
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙ ]
[
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
.
2
∙
+
→
∙
−
→
∙
+
→
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙ ]
29. 29
Assim que já se chegou antes de zerar o u
é hora de alternar sinais nas setas, isso é,
colocar positivo e negativo nas setas sempre alternando os sinais.
Isso significa que esse sinal faz parte do v, ou seja, quando
o sinal for (+) o v será positivo, quando o sinal for (-) o v será
negativo.
Esse sinal que aparece na reta é como se fosse uma multiplicação
-1 ou +1, ou seja, caso o v já esteja negativo e a seta estiver com o (-) então teremos uma simples multiplicação de
negativo com negativo que dará positivo.
O mesmo vale para o u, no final das contas o u sempre irá multiplicar com o seu respectivo v, ou seja, cuidado com o
jogo de sinais.
Para o resultado final, basta multiplicar
os sinais e cada u com seu v e somar tudo
de cima para baixo.
Exemplos
3 ∫ cos(2𝑡) 𝑡 𝑑𝑡 →
[
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡
+
→ 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
1
2
1
−
→ −cos(2𝑡)
1
4]
→ 3 [𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
1
2
+ 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)
1
4
]
3
2
∫ 𝑡𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡 → [
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡
+
→ 2𝑒
𝑡
2
1
−
→ 4𝑒
𝑡
2
] →
3
2
[2𝑡𝑒
𝑡
2 − 4𝑒
𝑡
2]
∫ 𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡 → [
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡
+
→ −𝑐𝑜𝑠(𝑡)
1
−
→ −sen(𝑡)
] → −𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑐
3
2
∫ 𝑡2
𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡 →
[
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
.
2
∙
+
→
∙
−
→
∙
+
→
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙ ]
→
3
2
[2𝑡2
𝑒
𝑡
2 − 8𝑡𝑒
𝑡
2 + 16𝑒
𝑡
2]
∫ 𝑡𝑒−𝑡
𝑑𝑡 → [
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡
+
→ −𝑒−𝑡
1
−
→ 𝑒−𝑡
] → −𝑡𝑒−𝑡
− 𝑒−𝑡
+ 𝑐
[
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
.
2
∙
+
→
∙
−
→
∙
+
→
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙ ]
[
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
.
2
∙
+
→
∙
−
→
∙
+
→
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙ ]
= 2𝑡2
𝑒
𝑡
2 − 8𝑡𝑒
𝑡
2 + 16𝑒
𝑡
2 + c
30. 30
Integrais infinitas
Em alguns casos pode-se ocorrer o que chamo de integral infinita, é quando tanto u como v são funções que nunca
zerão e como o objetivo deste método é derivar o u até que o mesmo zere, nunca chegaremos ao fim. Veja uma integral
de exemplo abaixo:
∫ 2 cos(𝑡) 𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡
Neste caso a variável u e v pode ser tanto um como outro a sua resposta não sairá errada independente da variável
escolhida o que pode acontecer é só que a sua conta fique um pouco maior.
No caso de uma integral infinita seguimos os passos comuns ensinados antes, só que como dessa vez u nunca irá
zerar, o nosso objetivo agora será encontrar o núcleo da integral. O que é isso? Veja abaixo:
∫ 2 cos(𝑡) 𝑒
𝑡
2⏟ 𝑑𝑡
𝑁ú𝑐𝑙𝑒𝑜
Ou seja, tudo que estiver dentro da integral.
Pelo método rápido o objetivo é encontrar a união que forma esse núcleo novamente, independentemente de qualquer
constante que esteja multiplicando. Preste atenção numa coisa, o 2 ao lado do cosseno é uma constante só que por
opção própria ela está dentro da integral então ela faz parte do núcleo e também deve ser encontrada junto com o
cosseno e o neperiano.
Perceba, o u escolhido foi
o cosseno, depois de derivá-lo
duas vezes voltamos para ele
e do outro lado o neperiano
não mudou, isso significa que
encontramos o núcleo.
Antes de começar a multiplicar os sinais, u e seus respectivos v, precisamos prestar atenção numa coisa muito
importante, essa integral por partes não foi terminada ela foi feita até o ponto em que o núcleo se repetisse. Então
preste atenção no formato da integral por partes:
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Perceba que dentro da integral do lado direito da igualdade o u já foi derivado, mas o v ainda não foi integrado, ou
seja, a integral só acontece quando o processo é totalmente terminado, isso significa dizer que o v não será integrado
na última fila, somente o u será derivado, assim:
Aqui temos a última integral
desconsiderada, neste caso
o último u será multiplicado
pelo v anterior e esses dois
formarão a integral ainda não
terminada.
Agora multiplicando os sinais, u e seus respectivos v desconsiderando o último v temos:
[
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
2cos( 𝑡)
∙
−2𝑠𝑒𝑛(𝑡)
∙
4−2cos( 𝑡)
∙
+
→
∙
−
→
∙
+
→
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙ ]
Lembre-se: para encontrar o núcleo não dependemos das
constantes, elas simplesmente ficaram fora da integral.
[
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
2cos( 𝑡)
∙
−2𝑠𝑒𝑛(𝑡)
∙
4−2cos( 𝑡)
∙
+
→
∙
−
→
∙
+
→
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙ ]
31. 31
[
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
2cos( 𝑡)
∙
−2𝑠𝑒𝑛(𝑡)
∙
4−2cos( 𝑡)
∙
+
→
∙
−
→
∙
+
→
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙ ]
→ 4𝑒
𝑡
2 cos(𝑡) + 8𝑒
𝑡
2 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 4 ∫ 2 cos(𝑡) 𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡
∫ 2 cos(𝑡) 𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡 = 4𝑒
𝑡
2 cos(𝑡) + 8𝑒
𝑡
2 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 4 ∫ 2 cos(𝑡) 𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡
Perceba que o 4 está do lado de fora da integral e não multiplica com o 2 que está lá dentro, isso porque o 2 faz parte
do núcleo. Devemos fazer tudo isso para que a integral mãe que originou tudo isso seja igual a uma outra integral
filha, se elas forem iguais podemos fazer uma simples conta de 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥
∫ 2 cos(𝑡) 𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡 = 4𝑒
𝑡
2 cos(𝑡) + 8𝑒
𝑡
2 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 4 ∫ 2 cos(𝑡) 𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡
4 ∫ 2 cos(𝑡) 𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡 + ∫ 2 cos(𝑡) 𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡 = 4𝑒
𝑡
2 cos(𝑡) + 8𝑒
𝑡
2 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
5 ∫ 2 cos(𝑡) 𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡 = 4𝑒
𝑡
2 cos(𝑡) + 8𝑒
𝑡
2 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
∫ 2 cos(𝑡) 𝑒
𝑡
2 𝑑𝑡 =
4
5
𝑒
𝑡
2 cos(𝑡) +
8
5
𝑒
𝑡
2 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑐
Exemplo
∫ 5𝑠𝑒𝑛(2𝑡)𝑒 𝑡
𝑑𝑡 →
[
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
∙
2 cos(2𝑡)
∙
4−4𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
∙
+
→
∙
−
→
∙
+
→
∙
5𝑒 𝑡
∙
.
5𝑒 𝑡
∙
∙
5𝑒 𝑡
∙ ]
→ 5𝑠𝑒𝑛(2𝑡)𝑒 𝑡
− 2 cos(2𝑡) 5𝑒 𝑡
− 4 ∫ 5𝑠𝑒𝑛(2𝑡)𝑒 𝑡
𝑑𝑡
32. 32
Exercícios resolvidos – Já estou bonzinho demais
Primeira questão
- Determine a solução geral para cada equação diferencial dada e use-a para determinar como as soluções se
comportam quando 𝑡 → ∞
a) 𝑦′
+ 𝑦 = 𝑡𝑒−𝑡
+ 1
Resolvendo por simples resolução de PVI
Encontrar o fator integrante
𝜇(𝑡) = 𝑒∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 1𝑑𝑡 = 𝑡
= 𝑒 𝑡
Multiplicar o fator integrante
𝑦′
+ 𝑦 = 𝑡𝑒−𝑡
+ 1 → y′
et
+ yet
= t + et
Simplificar
𝑦′
𝑒 𝑡
+ 𝑦𝑒 𝑡
→ 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑒 𝑡
+ 𝑒 𝑡
𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑦𝑒 𝑡
]
𝑑
𝑑𝑡
[𝑦𝑒 𝑡] = 𝑡 + 𝑒 𝑡
→ 𝑦𝑒 𝑡
= ∫ 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 𝑡
𝑑𝑡
Integrar (solução geral)
𝑦𝑒 𝑡
=
𝑡2
2
+ 𝑒 𝑡
+ 𝑐 → 𝑦 =
𝑡2
2𝑒 𝑡
+ 1 +
𝑐
𝑒 𝑡
Solução PVI
𝑡 → ∞
𝑦 =
𝑡2
2𝑒 𝑡
+ 1 +
𝑐
𝑒 𝑡
→ 𝑦 =
∞2
2𝑒∞
+ 1 +
𝑐
𝑒∞
𝑦 → 1
A função tende a infinito.
Os fatores do denominador são maiores que o do numerador.
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
56. 56
7. Lembranças de um futuro esquecido - Trajetórias ortogonais
Neste assunto fala-se em família de curvas, que são curvas cujo comportamento é parecido aos das curvas de nível
(assunto de cálculo II). Veja a família de curvas da função 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑐 abaixo:
Através dessa equação podemos encontrar outra família que intersecta a primeira ortogonalmente, ou seja, é uma
família de curvas onde cada uma é ortogonal a outra da primeira família.
Usando derivada implícita podemos analisar melhor a primeira família
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑐 → 2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
Se você olhar o resultado dessa derivada como se fosse uma função de primeiro grau perceba que o
𝑑𝑦
𝑑𝑥
é o coeficiente
angular dessa função
Isolando o coeficiente angular
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦
Com isso podemos encontrar o coeficiente angular da outra família que é ortogonal a essa.
Isso pode acontecer por que quando duas retas são ortogonais uma sempre terá o inverso negativo do coeficiente da
outra, veja:
𝑚1 𝑚2 = −1 → 𝑚1 = −
1
𝑚2
Então com essa consequência temos o coeficiente angular da família ortogonal
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
O próximo passo é questão de lógica
Se para encontra o coeficiente angular da primeira família foi necessário derivar a equação, agora com o coeficiente
angular da segunda família é somente fazer o caminho inverso, ou seja, integrar
∫
𝑑𝑦
𝑦
= ∫
𝑑𝑥
𝑥
→ ln|𝑦| = ln|𝑥| → 𝑦 = 𝑥
Temos a bissetriz dos quadrantes pares (reta que passa na origem pelos quadrantes 2 e 4),
essa é a equação da família em que todas curvas são ortogonais ás curvas da primeira
família.
67. 67
g) Família de parábolas: 2𝑐𝑦 + 𝑥2
= 𝑐2
, 𝑐 > 0
Derivando
2𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑥 = 0
Encontrando a inclinação da reta
2𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2𝑥
2𝑐
= −
𝑥
𝑐
Inclinação da segunda família
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑐
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑐
𝑥
Equação da segunda família
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑐
𝑥
→ 𝑑𝑦 =
𝑐
𝑥
𝑑𝑥 → ∫ 𝑑𝑦 = 𝑐 ∫
𝑑𝑥
𝑥
𝑦 = 𝑐 ln|𝑥|
𝑦 = ln|𝑥 𝑐|
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
68. 68
9. Equações lineares de segunda ordem – Aumentando o grau de dificuldade
9.1 Sua forma
Uma equação linear de segunda ordem obedece a seguinte forma:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑡2
= 𝑓 (𝑡, 𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
Essa função 𝑓 que aparece na igualdade nos diz que ela é linear em 𝑦 e na sua derivada em relação a 𝑡 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
),
Como assim?
Isso quer dizer as variáveis são 𝑦 e
𝑑𝑦
𝑑𝑡
enquanto o que estiver em função 𝑡 será constante.
Então podemos abrir essa função desse jeito:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑡2
= 𝑝(𝑡)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑞(𝑡)𝑦 + 𝑔(𝑡)
Aqui podemos usar a notação simplificada para as derivadas
𝑦′′
= 𝑝(𝑡)𝑦′
+ 𝑞(𝑡)𝑦 + 𝑔(𝑡)
Isolando o termo independente temos:
𝑦′′
+ 𝑝(𝑡)𝑦′
+ 𝑞(𝑡)𝑦 = 𝑔(𝑡)
(não troquei de sinal, mas não há necessidade disso)
Aqui chamamos o termo independente (no caso o 𝑔(𝑡)) de termo não homogêneo.
Aqui também usamos a palavra “homogênea” para nos relacionarmos a uma equação linear de segunda ordem, mas
não confunda isso com as equações homogêneas estudadas no assunto anterior.
Uma equação é dita homogenia quando o termo não homogêneo é nulo, ou seja:
𝑦′′
+ 𝑝(𝑡)𝑦′
+ 𝑞(𝑡)𝑦 = 0
Como 𝑝(𝑡) e 𝑞(𝑡) são constantes, então vamos trocar por algo mais atraente:
𝑦′′
+ 𝑎𝑦′
+ 𝑏𝑦 = 0
(equação linear homogênea de segunda ordem)
Se 𝑎 e 𝑏 não fossem constantes estaríamos num grande problema
9.2 Soluções gerais
Quando temos uma equação linear de segunda ordem devemos encontrar funções que representem essa equação, veja
o exemplo para entender melhor:
𝑦′′
− 𝑦 = 0
Temos uma equação homogênea de segunda ordem. Ela nos diz que devemos encontrar uma função cuja derivada
segunda seja igual a própria função.
69. 69
Que função faz isso? Veja
𝑦 = 𝑒 𝑡
𝑦′
= 𝑒 𝑡
𝑦′′
= 𝑒 𝑡
Mas também não é só isso, existem outras opções também
𝑦 = 𝑘𝑒 𝑡
𝑦′
= 𝑘𝑒 𝑡
𝑦′′
= 𝑘𝑒 𝑡
𝑦 = 𝑒−𝑡
𝑦′
= −𝑒−𝑡
𝑦′′
= 𝑒−𝑡
Mas para generalizar todas as possibilidades de uma vez devemos somar duas funções que obedeçam a equação, desta
forma:
𝑦(𝑡) = 𝑘1 𝑒 𝑡
+ 𝑘2 𝑒−𝑡
Dessa forma juntamos todas as possibilidades possíveis de combinação de soluções, ou seja, temos uma solução geral.
Vejamos outro caso
𝑦′′
+ 𝑦 = 0 → 𝑦′′
= −𝑦
Temos duas funções que conseguem fazer isso:
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑦′
= cos( 𝑡)
𝑦′′
= −𝑠𝑒𝑛(𝑡)
↔
𝑦 = cos( 𝑡)
𝑦′ = −𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑦′′
= − cos(𝑡)
Neste caso temos que sua função geral é:
𝑦(𝑡) = 𝑘1 𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 𝑘2 cos(𝑦)
9.3 Equação característica
Para conseguirmos valores e resultados para as nossas soluções gerais precisamos de um mecanismo que se chama
equação característica. Veja como encontra-la
𝑎𝑦′′
+ 𝑏𝑦′
+ 𝑐𝑦 = 0 (𝐼)
Temos uma equação homogênea e agora supondo que 𝑦(𝑡) = 𝑒 𝜆𝑡
seja a solução de (𝐼), então derivamos essa solução
até a segunda ordem para substituirmos na equação
𝑎𝜆2
𝑒 𝜆𝑡
+ 𝑏𝜆𝑒 𝜆𝑡
+ 𝑐𝑒 𝜆𝑡
= 0 → 𝑒 𝜆𝑡(𝑎𝜆2
+ 𝑏𝜆 + 𝑐) = 0
Nesse caso a exponencial nunca vai zerar, então a única coisa que pode acontecer é:
𝑎𝜆2
+ 𝑏𝜆 + 𝑐 = 0
(Equação característica de I)
O grau da equação característica será de acordo com a ordem da equação mãe